高二双曲线练习题及标准答案(整理)
高中数学双曲线练习题及答案
高中数学双曲线练习题及答案双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：A。
$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$B。
$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$C。
$\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$D。
$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$3.设 $e_1,e_2$ 分别是双曲线 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和 $-\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 的离心率，则$e_1^2+e_2^2$ 与 $e_1e_2$ 的大小关系是 $1:$定义：双曲线上任意一点 $P$ 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2.已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$点 $P(x,y)$ 在左支上PF_1│=-(e x+a)$；$│PF_2│=-(e x-a)$点 $P(x,y)$ 在右支上PF_1│=ex+a$；$│PF_2│=ex-a$运用双曲线的定义例1.若方程 $x^2\sin\alpha+y^2\cos\alpha=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的双曲线，则角 $\alpha$ 所在象限是（）A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限练1.设双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 上的点$P$ 到点 $(5,0)$ 的距离为 $15$，则 $P$ 点到 $(-5,0)$ 的距离是（）A。
7 B。
23 C。
5 或 23 D。
7 或 232.已知双曲线的两个焦点是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{5y^2}{32}=1$ 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。
A。
$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1$ B。
高二数学直线与双曲线(绝对精品,有答案超好的讲义,自己整理原创)
双曲线与直线一、双曲线性质：1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
双曲线的简单几何性质(同步练习)(含解析)-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期
3.2.1 双曲线的简单几何性质一、单选题1．已知双曲线()222102x y a a -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ）A B C D ．22．已知双曲线221y x m+＝（m ≠0）的一个焦点为F （3，0），则其渐近线方程为（ ）A ．y ±＝B ．y x ＝C ．2y x ±＝D ．12y x ±＝ 3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C D ．34．设双曲线222:1(0)4x C y a a -=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A ，B ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)⋃+∞⎝C ．⎫+∞⎪⎝⎭D ．⎝5．已知双曲线C 的离心率43e =，虚轴长为 ） A ．22143x y -= B ．22143x y -=或22134x y -= C ．22197x y -=D ．22197x y -=或22197y x -=二、多选题6．以下关于圆锥曲线的说法正确的是（ ）A ．设A ，B 为两定点，0m >，动点P 满足PA PB m -=，则动点P 的轨迹是双曲线B ．方程250x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C ．双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点D ．若双曲线C ：2213y x -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，P 为双曲线C 上一点，若152PF =，则212PF =或292PF =7．已知双曲线22:916144C x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为C 上的一点，且16PF =，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线的离心率为53B ．双曲线的渐近线方程为340±=x yC ．△12PF F 的周长为30D ．点P 在椭圆22110075x y +=上8．以下四个关于圆锥曲线的命题中真命题有（ ）A ．设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆B ．设定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为圆C ．方程2ln 20ln x x --=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D ．双曲线221925y x -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点三、填空题9．已知0a >，若圆()224x y a +-=经过双曲线2221x y a-=的焦点，则a =______．10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>> 的左.右焦点分别为12F F 、，过点1F 作直线:b l y x a=-的垂线，垂足为Q ，直线1F Q 与双曲线C 在第一象限的交点为P ，且点P 在以12F F 为直径的圆上.则此双曲线的离心率为____________.11．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>__________．四、解答题12．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；（2）求与双曲线22142x y -=有公共渐近线，且焦距为. 13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F ，斜率为1-，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求1F AB 的面积．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线的右支上一点．（1）求1PF ，2PF 的最小值；（2）若右支上存在点P ，满足124PF PF =，求双曲线的离心率的取值范围．参考答案1．A 【分析】根据题意渐近线的斜率为πtan 6=y x =，所以222a =⎝⎭，求得a =利用c =c 即可得解. 【详解】∵双曲线()222102x y a a -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，πtan 6=∴该渐近线的方程为y x =，∴222a =⎝⎭，解得a =∴c ==∴双曲线的离心率为c e a ==． 故选：A ． 2．A 【分析】根据双曲线的焦点求出m 的值，进而可以求出结果. 【详解】由双曲线方程()2210y x m m+=≠可知0m <，且21a =，2b m =-，则219c m =-=，得8m =-，所以双曲线的方程为2218y x -=，则渐近线方程为y =±. 故选：A. 3．B【分析】设()1,0F c -，()2,0F c ，2AF 的方程为：()by x c a=-，与双曲线的方程联立可得点A 的坐标，设1AF m =，2AF n =，直线2AF 的倾斜角为θ， 则sin A n y θ=，运用三角形面积相等，双曲线的定义，222c a b =+可得关于a 、c 的方程，由ce a=即可得离心率. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -、右焦点()2,0F c ，设双曲线的一条渐近线方程为：by x a=， 可得直线2AF 的方程为：()by x c a=-， 由()22221b y x c ax y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：()222222a c x c b a c y ac ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即()2222,22b a c a c A c ac ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 设1AF m =，2AF n =， 可得()1212121211223AF F A bSF F y F F AF AF =⋅⋅=⋅++⋅， 即()()2211222223b c a b c c m n ac -⋅⋅=⋅++⋅，整理可得：()2232c a c m n a-=++，即2332c m n a c a +=--，由双曲线的定义可得：2m n a -=，所以23522c n a c a =--，设直线2AF 的倾斜角为θ，在12AF F △中，()22sin 2b c a n acθ-=，tan baθ=，22sin cos 1θθ+=，所以sin θ所以()()()222222222sin 222b c a b c a b c a c c a n ac ac ac b aθ----===⋅=， 所以22235222c c a a c a a---=，整理可得：2220a ac c +-=， 解得：2a c =或a c =-（舍）， 所以双曲线的离心率为2ce a==， 故选：B.4．B 【分析】联立直线与双曲线的方程消元，利用Δ>0求出2a 的范围，然后可算出离心率的范围. 【详解】2221,41x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩()222214880a x a x a ⇒-+-=， 所以()2422140,Δ6448140,a a a a ⎧-≠⎪⎨=+⨯->⎪⎩2214120a a a ⎧≠⎪⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩(2,)e ⇒=+∞⎝， 故选：B 5．D 【分析】根据给定条件结合222c a b =+求出2a ，再按焦点位置即可写出标准方程. 【详解】设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a 、b ，半焦距为c ，则2b =b = 于是得227c a -=，而43c a =，解得29a =， 所以，当焦点在x 轴上时，双曲线方程为22197x y -=，当焦点在y 轴上时，双曲线方程为22197y x -=.故选：D 6．BC 【分析】A 、D 由双曲线的定义：动点到两定点的距离差的绝对值为常数k = 2a< 2c ，且动点到定点的距离范围为[,]c a c a -+，即可判断正误；B 令2()5f x x x =-+()f x 零点的分布，结合椭圆、双曲线离心率的性质即可判断正误；C 由曲线方程直接写出焦点坐标，即可判断正误. 【详解】A ：根据双曲线定义，仅当||PA PB m AB -=<时，动点P 的轨迹才是双曲线，故错误；B ：令2()5f x x x =-+，则(0)(1)40f f ==<且对称轴为52x =，若12,x x 为()f x 的两个零点且12x x <，则1201x x <<<，故原方程两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；C ：221259x y -=的焦点为(，22135x y +=的焦点为(，即有相同的焦点，故正确；D ：由双曲线C ：2213y x -=知：1a =、2c =，而1222PF PF a -==，152PF =，则2112PF c a =<-=不合要求，故292PF =，故D 错误. 故选：BC 7．BCD 【分析】由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A 、B 正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C 的正误；利用椭圆的定义判断P 是否在椭圆上，判断D 的正误. 【详解】双曲线22:916144C x y -=化为标准形式为221169x y -=，则4a =，3b =，5c ∴，故离心率54c e a ==，即A 错误； ∴双曲线的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，即340±=x y ，即B 正确； 由双曲线的定义知，12||||||28PF PF a -==，16PF =，则214PF =，∴△12PF F 的周长为12126141030PF PF F F ++=++=，即C 正确；对于椭圆22110075x y +=，有10a '=，b '=5c '=，126142022PF PF a c '+=+==>'，∴由椭圆的定义知，点P 在椭圆22110075x y +=上，即D 正确， 故选：BCD. 8．BC 【分析】依次分析4个命题，由椭圆的定义分析可得A 错误；对于B ，分析可得P 是AB 中点，结合垂径定理分析可得B 正确；对于C ，求出方程2ln 20ln x x --=的两根，分析可得两根的大小可得C 正确；对于D ，分析椭圆、双曲线的焦点位置即可得D 不正确，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：若动点P 的轨迹为椭圆则需满足||k AB >，故A 错误；若1()2OP OA OB =+，则P 是AB 中点，即90CPA ∠=︒，所以P 的轨迹是以CA 为直径的圆，故B 正确；方程2ln 20ln x x --=的两根分别为2x e =或1e，而211,1e e <>，故C 正确；双曲线焦点在y 轴上，椭圆的焦点在x 轴上，故D 不正确 故选：BC ．9【分析】求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得a 的值. 【详解】双曲线的焦点坐标是()，代入圆的方程，得(()224a +-=，2214a +=，0a >，解得：a =.10【分析】依题意画出草图，可得12PF PF ⊥，1QF OQ ⊥，求出()1,0F c -到直线:bl y x a=-的距离，即可得到1PF ，再利用勾股定理求出2PF ，由双曲线的定义得到2b a =，即可求出双曲线的离心率； 【详解】解：依题意可得12PF PF ⊥，1QF OQ ⊥，所以2//PF OQ ，因为O 为12F F 的中点，所以Q 为1PF 的中点，()1,0F c -到直线:b l y x a =-的距离1d QF b ===，所以1122PF QF b ==，OQ a ==，所以222PF OQ a ==又122PF PF a -=，即222b a a -=，所以2b a =，所以c e a ===11．【分析】由c e a==，结合222c a b =+，可得2246b a =，即得解 【详解】∵e =，又c e a= ∴22410c a =，2224410a b a +=，即2246b a =b k a ∴=±=．故答案为：12．（1）221167x y +=或221167y x +=；（2）221612y x -=或221126x y -=. 【分析】（1）根据题意求出,a b 的值进而可以直接写出椭圆的方程；（2）设所求双曲线的标准方程为2242x y λ-=，进而求出λ的值，化成标准方程即可.【详解】（1）由长轴长知：28a =，∴4a =，由焦距知：26c =，∴3c ，解得：27b =，∴椭圆标准方程为：221167x y +=或221167y x +=；（2）与双曲线22142x y -=有公共渐近线的双曲线可设为2242x y λ-=，即为22142x y λλ-=.当焦点在x 轴上时，0λ>，3λ=， 此时双曲线方程为221126x y -=.当焦点在y 轴上时，0λ<，=3λ=-，此时双曲线方程为221612y x -=.综上：双曲线的标准方程为221612y x -=或221126x y -=. 13．（1）2213y x -=；（2）【分析】（1）根据共渐近线，设出双曲线方程，代入点的坐标可得结论；（2）写出直线AB 的方程为()2y x =--．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式求得弦长AB ，求出2F 到直线AB 距离后可得三角形面积． 【详解】（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-，∴双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=． （2）由（1）知：()12,0F -，()22,0F ，即直线AB 的方程为()2y x =--． 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，得22470x x +-=，满足0∆>且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6=，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ==所以111622F AB S AB d =⋅=⋅⋅△ 14．（1）12min min ,PF c a PF c a =+=-；（2）513e <≤. 【分析】（1）结合图象以及双曲线的定义求得1PF ，2PF 的最小值. （2）结合余弦定理来求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】（1）设双曲线的左右顶点为12,A A ，由图可知：当P 在右顶点时，1PF 最小，即1min PF c a =+.而212PF PF a =-，所以当1PF 最小时，2PF 取得最小值，即2min PF c a =-. （2）设(]12,0,F PF θθπ∠=∈，依题意121212282,433PF PF a a a PF PF PF PF ⎧-=⎪⇒==⎨=⎪⎩，由余弦定理得()222222282217917933cos 82888233a a c a c e a a a θ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即222179259925511,,1,18888893e e e e -≤-<-≤-<-<≤<≤.。
高二数学椭圆双曲线专项练习含答案审批稿
高二数学椭圆双曲线专项练习含答案YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：1、双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（ ） A ．(a +1, 0) , (－a +1, 0) B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)C ．（－a a 1+, 0）,（a a 1+, 0） D ．(－a a 1-, 0), (aa 1-, 0) 2、设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则该双曲线的离心率为（ ）A ．5BCD ．5/43．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ．3/2B ．3C ．4 了D ．7/24．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率等于 （ ） A32 B 22 C 21 D 32 5．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x ＝±y 215 B ．y ＝±x 215 C ．x ＝± y 43 D ．y ＝±x 436．设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．1 B ．25C ．2D ．5 7．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ ） A ．221≥e eB ．42221≥+e e C ．2221≥+e eD ．2112221=+e e 8．已知方程1||2-m x +my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－1或1<m<2D ．m<－1或1<m<23 9．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22mx +22b y =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形10．椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F. 数列｛|P n F|｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是（ ） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 一、 填空题： 11．对于曲线C ∶1422-+-k y k x =1，给出下面四个命题：①由线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25其中所有正确命题的序号为_____________12．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__13．双曲线16922y x -＝1的两焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离____14．若A （1，1），又F 1是5x 2＋9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|＋|P F 1|的最小值_______15、已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA,则顶点A 的轨迹方程是二、 解答题：16、设椭圆方程为422y x +=1，求点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足→→→+=)(21OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.17、已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．18、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；图19、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
高二双曲线 - (答案)
第6讲双曲线随堂演练巩固1.已知双曲线2212yxa-=的一条渐近线为y=,则实数a的值为( )B.2D.4【答案】D【解析】由题意,=所以a=4.2.下列双曲线中,离心率为32的是( )A.2212x y-= B.2212yx-=C.22145yx-= D.22154yx-=【答案】C【解析】选项A1a b c,==,==所以e=ca==;选项B1a b c,=,===所以e=ca=选项C23a b c,=,===,所以32cea==;选项D23a b c,==,==,所以e=ca=.3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.22136yx-= B.22145yx-=C.22163yx-= D.22154yx-=【答案】B【解析】设双曲线的标准方程为22221(0yx aa b-=>,b>0),由题意知2239c a b=,+=,设1122()()A x yB x y,,,,则有:22112222222211x ya bx ya b⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=,⎪⎩两式作差得:22212122221212()124()155y y b x x b bx x a y y a a-+-===,-+-又直线AB的斜率是1501123--=,--所以将2245b a=代入229a b+=得2245a b=,=.所以双曲线的标准方程是22145y x -=. 4.(2011山东高考,文15)已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)和椭圆221169y x +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .【答案】22143y x -= 【解析】由题意知22169a b +=-,即227a b +=, ①2=即22274a b a+=, ② 由①②得2243a b =,=.∴双曲线方程为22143y x -=.课后作业夯基 基础巩固1.(2011安徽高考,文3)双曲线2228x y -=的实轴长是( )A.2B. C.4D.【答案】C【解析】双曲线方程2228x y -=化为标准形式为24x -218y =,∴24a =.∴a =2.∴实轴长2a =4.2.已知双曲线的方程为22221(0y x a a b-=>,b >0),点A,B 在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点2F ,|AB |1m F =,为左焦点,则△1ABF 的周长为( )A.2a +2mB.4a +2mC.a +mD.2a +4m【答案】B【解析】由双曲线的定义可知 |1AF |-|2AF |=2a ,|1BF |-|2BF |=2a , ∴|1AF |+|1BF |-(|2AF |+|2BF |)=4a . 又∵|2AF |+|2BF |=|AB |=m ,∴△1ABF 的周长为|1AF |+|1BF |+|AB |=4a +2m .3.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于( ) A.14-B.-4C.4D.14【答案】A【解析】∵221mx y +=可化为2211x y +=, 即2211x y -=,-∴2211a b m =,=-. 由题意22(2)b a ,=⋅,∴224b a =,即14m -=.∴14m =-.4.已知双曲线与椭圆221925y x +=的焦点相同,且它们的离心率之和等于145,则双曲线的方程为( )A.221124y x -= B.2214y x -= C.221412y x -= D.22112x y -= 【答案】C【解析】由于在椭圆221925y x +=中22259a b ,=,=,所以216c =,即c =4.又椭圆的焦点在y 轴上,所以其焦点坐标为(0,4)±,离心率45e =.根据题意知,双曲线的焦点也应在y 轴上,坐标为(04),±,且其离心率等于144255-=.故设双曲线的方程为22221(0y x a a b -=>,b >0),且c =4,所以a =12c =22222412a b c a ,=,=-=,于是双曲线的方程为221412y x -=.5.(2012山东临沂月考)若椭圆22221(y x a b a b +=>>0)的离心率为则双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为( ) A.12y x =±B.2y x =±C.4y x =±D.14y x =±【答案】A=所以224a b =. 故双曲线的方程可化为222214y x b b-=, 故其渐近线方程为12y x =±.6.若在双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.e >B.1e <<C.eD.1<e <2 【答案】C【解析】由于到原点O 和右焦点F 的距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上,其方程为2c x =,依题意,直线2c x =与双曲线的右支有两个交点,故应满足2c a >,即2c a >,得e >2,选C.7.双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率是2,则213b a +的最小值等于( )D.【答案】A【解析】依题意2c a =,所以2224a b a+=,得223b a =,于是221311333b a a a a a ++==+≥=当且仅当13a a=,即a ,故213b a+ 8.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(2),+∞D.[2),+∞ 【答案】D 【解析】过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于直线l 的倾斜角,已知直线l 的倾斜角是60,从而b a ≥故2c a≥.9.已知过点P (-2,0)的双曲线C 与椭圆221259y x +=有相同的焦点,则双曲线C 的渐近线方程是 .【答案】y =【解析】由题意,双曲线C 的焦点在x 轴上且为12(40)(40)F F -,,,,∴c =4. 又双曲线过点P (-2,0),∴a =2.∴b ==∴其渐近线方程为b y x a=±=.10.已知圆C:22x y +-6x -4y +8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .【答案】221412y x -= 【解析】圆C:22648x y x y +--+=0与y 轴没有交点.由20680y x x =⇒-+=,得圆C 与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),则a 22412c b =,=,=,所以双曲线的标准方程为221412y x -=. 11.在直角坐标系xOy 中,过双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的左焦点F 作圆222x y a +=的一条切线(切点为T )交双曲线右支于点P ,若M 为FP 的中点,则|OM |-|MT |= .【答案】b -a【解析】设双曲线的右焦点为1F ,连接1PF ,在△1PFF 中,M 、O 分别是PF 、1FF 的中点,所以|OM |-|MT |=12|1PF |-1(2|PF |-|TF |1)(2=-|PF |-|1PF |)+|TF |=b -a .12.若双曲线的渐近线方程为34y x =±,求双曲线的离心率.【解】设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、离心率分别为a 、b 、c 、e .(1)若双曲线的焦点在x 轴上,则34b a =,b =34a ,c =54a ==.故5544ac e a a ===.(2)若双曲线的焦点在y 轴上,则34a b =,b =43a ,c =5a ==.故5353ac e a a ===.综上可知,双曲线的离心率为54或53.13.如图所示,一双曲线的中心在坐标原点,焦点在x 轴上1F ,、2F 分别为其左、右焦点.双曲线的左支上有一点123P F PF π,∠=,且△12PF F 的面积为又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.【解】设此双曲线方程为22221(0yx a a b-=>,b >0),1200(0)(0)()F c F c P x y -,,,,,.在△12PF F 中,由余弦定理,得|12F F |2=|1PF |2+|2PF |22-|1PF |⋅|2PF |⋅c os 3π=(|1PF |-|2PF |2)+|1PF |⋅|2PF |, 即2244c a =+|1PF |⋅|2PF |.又∵12PF F S=∴1|1PF |⋅|2PF |⋅sin3π= ∴|1PF |⋅|2PF |=8.∴22448c a =+,即22b =. 又∵2c e a ==,∴223a =.∴双曲线的方程为223122y x -=. 14.已知双曲线C:221(01)1y x λλλ-=<<-的右焦点为B,过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,使0OM ON ⋅=,点O 为坐标原点. 【解】设1122()()M x y N x y ,,,.由已知易求B(1,0),①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为x =1, 设000(1)(1)(0)M y N y y ,,,->, 由0OM ON ⋅=,得01y =, ∴M (1,1),N (1,-1).又M (1,1),N (1,-1)在双曲线上,∴2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-.∵01λ<<,∴λ=②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为y =k(x -1).由 2211(1)y x y k x λλ⎧-=,⎪-⎨⎪=-,⎩得2222[(1)]2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ--+---+=. 由题意知:2(1)0k λλ--≠,∴221212222(1)(1)()(1)(1)k k x x x x k k λλλλλλλ----++=,=----. 于是22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=,-- ∵0OM ON ⋅=,且M 、N 在双曲线右支上.∴ 12121212000x x y y x x x x +=⎧⎪+>⎨⎪>⎩ ⇒ 222(1)11k k λλλλλλ-⎧=⎪+-.⎨⎪>-⎩⇒ 22(1)1110λλλλλλλλ-⎧>⎪-+-⎨⎪+->⎩23λ⇒<<.由①②,23λ≤<.拓展延伸15.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率e直线l 过A(a ,0)、B(0,-b )两点,原点O 到l.(1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点,若OM ⋅ON =-23,求直线m 的方程.【解】(1)依题意,直线l 的方程为1yx ab+=,-即bx -ay -ab =0,由原点O 到直线lab ==.又c e ==∴1b a =,=故所求双曲线的方程为2213x y -=.(2)显然直线m 不与x 轴垂直,设m 的方程为y =k x -1,则点M 、N 的坐标11()x y ,、22()x y ,是方程组22113y kx x y =-,⎧⎪⎨-=⎪⎩ 的解.消去y ,得22(13)660k x kx -+-=, ① 依题设2130k ,-≠,由根与系数的关系,知12x x +1222663131k x x k k =,=,--112212()()OM ON x y x y x x ⋅=,⋅,=+12y y =12x x +21212(1)(1)(1)kx kx k x x --=+-12()k x x ++1=22226(1)63131k k k k +-+--1=2631k +- 1. ∵23OM ON ⋅=-,∴2612331k +=-,-即12k =±. 当12k =±时,方程①有两个不等的实数根,故直线m 的方程为112y x =-或y =112x --.。
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
高二数学双曲线试题
高二数学双曲线试题1.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，易求M坐标为，在三角形中，即，由得，答案选B.【考点】双曲线的性质2.已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为，且，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：双曲线的焦点为，且两曲线的一个公共点为在y轴右侧，因为，因此可设点,所以,所以，所以双曲线的离心率为．【考点】双曲线、抛物线的定义及性质．3.与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．【考点】双曲线的性质和应用．4.已知集合P={x|1≤x≤8，x∈Z}，直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1有且只有一个公共点，其中m、n∈P，则满足上述条件的双曲线共有__________________个.【答案】3【解析】依题意，将直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的方程联立，消去y得：（m-4n）x2-4nx-n-1=0；分①直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相切，②直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相交，讨论，分利用判别式与直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的一条渐近线y=x平行即可求得答案．【考点】直线与双曲线的位置关系.5.已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________.【答案】【解析】由题可得P（，4），∵，∴把P（，4）代入双曲线标准方程，解方程组即可.【考点】双曲线的标准方程.6.双曲线的焦距是10，则实数的值是（）A．B．4C．16D．81【答案】C【解析】由双曲线的方程，可得，而，所以由可得，故选C.【考点】双曲线的定义及其标准方程.7.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 ( )A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】因为双曲线渐近线方程是，所以又因为,所以等于2或18【考点】双曲线定义，渐近线方程8.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴，离心率＝，∴，故选C．【考点】1、双曲线的性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．9.抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得. 解：依题意知抛物线的准线方程为，代入双曲线的方程得，不妨设，设准线与轴的交点为，∵是直角三角形，所以根据双曲线的对称性可知，为等腰直角三角形，所以即，解得，∴，所以离心率为，选D.【考点】双曲线的性质.10.若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线,离心率为,且过点,则曲线的方程为________.【答案】【解析】离心率为的圆锥曲线是双曲线，而且是等轴双曲线，故可设基方程为，把点代入可求出．因此双曲线方程为．【考点】等轴双曲线的标准方程．11.过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.【答案】2.【解析】本题MN实质上是双曲线的通径，(可令代入双曲线方程求出的坐标，从而得出通径长)，根据题意应该有，.【考点】双曲线的通径与离心率.12.已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离是．（Ⅰ）求双曲线的方程及渐近线方程；（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k的值．【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）＝【解析】本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知识，考察学生运算能力、综合分析和解决问题的能力.（Ⅰ）离心率为，∴，∴①，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式得到：②，两式联立，可求出，∴双曲线方程为，渐近线方程为：；（Ⅱ）两点在以为圆心的同一个圆上，的中垂线过点,将直线与双曲线联立，消去，可得，设，中点为，则∴，解得＝，并检验是否满足(.试题解析：（Ⅰ）直线的方程为：即又原点到直线的距离由得 3分所求双曲线方程为 4分（注：也可由面积法求得）渐近线方程为： 5分（Ⅱ）方法1：由（1）可知（0，－1），设,由得： 7分∴3＋3＋＝3＋3＋，整理得：＝0，∵，∴，∴，又由－10＋25－3＝0 （），∴y＋y＝， 10分2＝7， 11分由△＝100－4（1－3）（25－3）>0=7满足此条件，满足题设的＝. 12分方法2：设，中点为，由， 7分∵，的中垂线过点 9分∵∴ 11分整理得解得＝.（满足 12分【考点】1、双曲线的标准方程；2、点到直线的距离公式和直线方程；3、韦达定理.13.双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】中，所以，双曲线的焦距为2c=,故选D。
2024学年高二数学重难点和易错点专项(双曲线的简单几何性质)练习(附答案)
2024学年高二数学重难点和易错点专项（双曲线的简单几何性质）练习重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（ ）A ．9B ．－9C ．19D ．19-3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b -=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）A．cm B ．24cm C ．32cmD ．cm5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（ ）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等6．等轴双曲线2221(0)x y a a -=>的焦距为 .7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b -=的实轴长为 ．重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =±9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B ．y =C ．y x =±D ．4y x =±12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （ ）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．14．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为 .重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=16倍，且一个顶点的坐标为()2,0，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144-=y xC ．2214y x -=D ．2214x y -=17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（ ）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C位于第一象限内的一点，则m =（ ）A ．2B ．1CD20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为y x =，实轴长为2，则m n -为（ ）A ．14-B ．1C ．12D ．12-21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为 ．重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是 ．23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是 ．24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为 .25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 ．26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F ，)2F ，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程.重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x =30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π631．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y =32．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．430x y ±= C ．350x y ±= D ．540x y ±=33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为 .35．过双曲线2222:1-=y W x a b 的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为 ，W 的离心率为 ．重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3 D37．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（ ）A ．2B C ．32D38．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且121||2OP F F =，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C D39．已知双曲线2222>:1(00,)>x y C a b a b -=的左右焦点12F F ，，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是（ ）AB C ．2D ．340．若0m >，双曲线1C ：2212x y m -=与双曲线2C ：2218x y m-=的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．12e e 的最小值为94B ．12e e 的最小值为32C ．12e e 的最大值为94D ．12e e 的最大值为3241．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，过其上焦点F 的直线与圆222x y a +=相切于点A ，并与双曲线C的一条渐近线交于点(,B A B 不重合）．若25FB FA =，则双曲线C 的离心率为 ．42．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P ，且1OP OF =，直线1PF ，则该双曲线的离心率为 ．重难点7求双曲线离心率的取值范围44．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．C ．)2D ．)+∞45．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（ ）AB C ．2 D46．已知双曲线22221E y x a b-=：（0a >，0b >）的离心率为e ，若直线2y x =±与E 无公共点，则e 的取值范围是 .47．已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b F a b-=>>为双曲线的右焦点，过点F 作渐近线的垂线()0MN MN k <，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若()2NM MF λλ=≥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞ B ．(C ．D ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭48．双曲线2221y x b-=的左焦点为F ，()0,A b -，M 为双曲线右支上一点，若存在M ，使得5FM AM +=，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞49．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐ꞏ金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P ，使得直线P A ，PB （点A ，B 为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为83，则该双曲线离心率的取值范围为 ．50．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若在C 上存在点P （不是顶点），使得21123PF F PF F ∠∠=，则C 的离心率的取值范围为 ．重难点8根据离心率求参数51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（ ）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭52．设双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的上、下焦点分别为12,F F P 是C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为4，则=a （ ）A ．8B ．4C ．2D ．153．设k 为实数，已知双曲线2214x y k-=的离心率(2,3)e ∈，则k 的取值范围为54．已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，()121PF PF λλ=>，若C 的离2，则λ的值为 ．55．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，2120PF F F ⋅= ，O为坐标原点，过点O 作1F P 的垂线，垂足为点H ，若双曲线的离心率e =存在实数m 满足1OH m OF =，则m = .56．已知双曲线22:113x y C m m-=+-m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,157．点P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，M 为12PF F △的内心，若双曲线C 的离心率32e =，且121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2，则λ=（ ） A ．12 B ．34C ．1D ．23重难点9双曲线的实际应用58．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s ，已知各观测点到该中心的距离是680m ，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上) A ．西偏北45°方向，距离B ．东偏南45°方向，距离C ．西偏北45°方向，距离D ．东偏南45°方向，距离59．如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30︒方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．2)a 万元B ．5a 万元C ．1)a 万元D ．3)a +万元60．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =. 若水面下降5m ，则水面宽是 ．（结果精确到0.1m ）61．如图，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到点1F .，历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒，若C '的离心率为C 的离心率的4倍，则mn= .62．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm ，上口直径为40cm ，底部直径为26cm ，最小直径为24cm ，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．63．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F ，2F 是双曲线的左､右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠.若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论正确的是（ ）A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44,33k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．当m n ⊥时，1232PF PF ⋅=C ．当n 过点()7,5Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13D ．若点T 坐标为()1,0，直线PT 与C 相切，则212PF =64．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：22221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点分别为1F，2F，从2F发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且5tan12CAB∠=-，AB BD⊥，则双曲线E的离心率为．参考答案重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详细分析】根据题意列出方程组222243c a c a ⎧=⎨=+⎩进行求解即可. 【答案详解】因为12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，所以24c a =，即2c a =，即224c a =， 又因为223c a =+，解得2214a c ⎧=⎨=⎩，所以c =2，所以该双曲线的焦距为2224c =⨯=.故选：D2．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（ ）A ．9B ．－9C ．19D ．19-【答案】C【详细分析】根据双曲线的方程，求得1,a b ==，结合题意，列出方程，即可求解.【答案详解】由双曲线221x y m-=，可得0m >，且1,a b ==，因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得3a b =，即1=19m =. 故选：C.3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【详细分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【答案详解】把x c =代入22221x y a b -=中，得2b y a =±，即2bMF a=，因为AF a c =+，2MF AF =， 所以()22b a c a=+⇒22222c a ac a -=+，又3c =，所以2230a a +-=，解得1a =，3a =-舍去，则22a =. 故选：A4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b -=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）A ．cmB ．24cmC ．32cmD ．cm【答案】D【详细分析】求出4a =，设出(),M r b ，代入双曲线方程，求出r =. 【答案详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，所以4a =.设M 是双曲线C 与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r ，则(),M r b ，所以222214r b b -=，解得r =2r =.故选：D5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（ ）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等【答案】B【详细分析】根据双曲线的性质逐一详细分析判断即可. 【答案详解】因为05m <<，所以50,150m m ->->，所以曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-都是焦点在x 轴上的双曲线，15520155m m m +-=-=-+，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B 正确； 因为20201515m m m--≠-，所以离心率不相等，故A 错误； 因为1515m ≠-，所以实轴长不相等，故C 错误； 因为55m -≠，所以虚轴长不相等，故D 错误. 故选：B.6．等轴双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为 .【答案】【详细分析】根据等轴双曲线定义得到221a b ==，进而求出c =.【答案详解】由题意得，221a b ==，故2222c a b =+=，故c =2c =.故答案为：7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b-=的实轴长为 ．【答案】4【详细分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可求解.【答案详解】由于12MF F △的面积为122M c y cb ⨯⨯≤，由题意知22222,,c b c a b c ⎧⋅=⎪=⎨⎪=+⎩所以2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线2C 的方程为22143y x -=，则2C 的实轴长为4．故答案为：4重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y =D．2y x =±【答案】C【详细分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.【答案详解】由题意可得：双曲线()22102y x a a a -=≠渐近线斜率为k ==则其渐近线方程为：y =． 故选：C9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B．y = C．y =D ．2y x =±【答案】B【详细分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出,a b 作答.【答案详解】由点,2)e 在双曲线22221x y a b -=上，得2222241461e a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则222420e a b --=，即2222214b e e a==--，整理得42560e e -+=，解得22e =或23e =， 当22e =时，22a b =，此时方程22461a b -=无解， 当23e =时，222b a =，而22461a b -=，解得1,a b ==，所以该双曲线的渐近线方程为y =. 故选：B10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【详细分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.【答案详解】由双曲线22139x y -=，可得3a b =，所以双曲线的渐近线的方程为by x a=±=，所以两渐近线y =的夹角为60︒. 故选：C.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（ ）A．2y x =± B．y = C ．y x =±D．4y x =±【答案】B【详细分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得,a b 的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【答案详解】由双曲线2221x y -=，可得其标准方程为22112x y -=，所以,12a b ==，则双曲线的渐近线方程为by x a=±=. 故选：B.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （ ）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关【答案】BC【详细分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标，再利用点到直线距离即可求出d b =，便可得出结论. 【答案详解】设双曲线C 的焦距为2c ，不妨取右焦点F 的坐标为(),0c ，如下图所示：双曲线C 的渐近线方程是by x a=±，即bx ay ±=0，所以===bcd b c， 所以d 与a 无关，与b 有关. 故选：BC.13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．【答案】3【详细分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.【答案详解】2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为6y x a =±，所以623a a =⇒=，故答案为：314．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为.2n =⇒=，进而求出双曲线的离心率.【答案详解】双曲线的一条渐近线方程为0nx =，即y =，2n =⇒=，故双曲线22:12y C x -=，所以双曲线的离心率为1e ==重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=【答案】C【详细分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.【答案详解】由题意双曲线2222:1y x C a b-=的焦点在y 轴上，则24a =，2a =，又2a b -=-，则1b =，故C 的标准方程为2214y x -=.故选：C16倍，且一个顶点的坐标为()2,0，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144-=y xC ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】A【详细分析】根据条件列关于a ，b ，c 的方程组求解即可.【答案详解】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由已知得222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩， 所以双曲线的标准方程为22144x y -=故选：A.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（ ）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【详细分析】由距离公式得出4b =，进而由双曲线的性质得出方程. 【答案详解】右焦点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=4b ==，因为实轴长为26a =，所以3a =，即C 的方程为221916x y -=.故选：D18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【详细分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【答案详解】在椭圆22185x y +=中，c =，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=，所以双曲线的方程为：22135x y -=．故选：A.19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C位于第一象限内的一点，则m =（ ）A．2 B ．1CD 【答案】B【详细分析】根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线的方程，代入P 点坐标，由此求得m 的值. 【答案详解】法一：双曲线的几何性质由题知22224,2,a c e abc a =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点， 所以2814m -=（0m >），解得1m =. 法二：由题知24a c e a =⎧⎪⎨===⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩， 所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点， 所以2814m -=（0m >），解得1m =.故选：B20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为2y x =±，实轴长为2，则m n -为（ ）A ．14- B．1C ．12 D．1【答案】A【详细分析】根据渐近线方程、实轴长求得,m n ，由此求得m n -.【答案详解】依题意222222a m ab n a m ⎧⎪⎪=⎪=⎨⎪⎪==⎪⎝⎭⎩，解得511,,44m n m n ==-=-. 故选：A21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为 ．【答案】2211818y x -=【详细分析】根据焦点坐标及题意，设方程为22221(0)y x a a a-=>，根据焦点坐标，可求得2a ，即可得答案.【答案详解】因为一个焦点是()10,6F -，所以6c =，且焦点在y 轴，所以设等轴双曲线方程为22221(0)y x a a a-=>，所以22236c a a =+=，解得218a =，所以双曲线标准方程为2211818y x -=，故答案为：2211818y x -=.重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是 ． 【答案】221912y x -=【详细分析】设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，根据双曲线C 经过的点求得λ，从而求得双曲线C 的标准方程.【答案详解】由双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，可设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，又C 过点(，所以34λ=-，22316124x y -=-，整理得双曲线C 的标准方程是221912y x -=．故答案为：221912y x -=23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是 ．【答案】221916y x -=【详细分析】设所求双曲线的方程为22221y x a b -=，由题意有2225a b +=且34a b =，解出22,a b 即可.【答案详解】双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =?，由焦点坐标是()0,5，可设所求双曲线的方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>，得2225a b +=，双曲线渐近线的方程为a y x b =±，由题意有34a b =， 解得29a =，216b =，所以双曲线的方程为221916y x -=.故答案为：221916y x -=.24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为 . 【答案】221182x y -=【详细分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.【答案详解】由方程2219x y -=，则其渐近线方程为13y x =±，由椭圆2214020x y +=，则其焦点为()±，由题意可知，双曲线C 的标准方程设为22221x y a b -=，则221320b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得22182a b ⎧=⎨=⎩，则双曲线C 的标准方程为221182x y -=，故答案为：221182x y -=.25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 ．【答案】2212y x -=（答案不唯一）【详细分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【答案详解】与双曲线C 有共同的渐近线的双曲线方程可设为222y x λ-=，当1λ=-时，得到双曲线方程为2212y x -=，显然该双曲线与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：2212y x -=26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.【答案】22168x y -=【详细分析】利用待定系数法即可得到所求双曲线的标准方程.【答案详解】与双曲线22143y x -=有相同的渐近线的双曲线可设为22(0)43y x λλ-=≠又所求双曲线过点()3,2M -，则()222343λ--=，则2λ=- 则所求双曲线的方程为22243y x -=-，即22168x y -=.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.【答案】221944x y -= 【详细分析】设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，代入点A 可得双曲线E 的标准方程，从而得到双曲线双曲线M 的标准方程.【答案详解】由题意，设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，∵点()3A -在双曲线E上，∴(()223169--=t ，∴14t =-，∴双曲线E 的标准方程为221944y x -=， 又双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，∴双曲线M 的标准方程为221944x y -=. 28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F，)2F，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程. 【答案】(1)(2)221189y x -= 【详细分析】（1）由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，又222+=a b c，求得b =即可．（2）设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2y x λλ-=≠，将点()3,6Q -的坐标代入上述方程得λ即可．【答案详解】（1）由题意，易知22PF =，12F F =212PF F F ⊥.在21Rt PF F △中，14PF ==由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，22a =，即1a =. ∵双曲线C的两个焦点分别为()1F，)2F，∴c =又∵222+=a b c，∴b = 故双曲线C的虚轴长为（2）由（1）知双曲线C 的方程为2212y x -=.设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为()2202y x λλ-=≠将点()3,6Q -的坐标代入上述方程，得9λ=-故所求双曲线的标准方程为221189y x -=重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±【答案】D【详细分析】由题可设，000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --，0(,0)C x ，分别表示出,,AB BC AD k k k ，逐步转化，即可求得本题答案.【答案详解】因为,A B 直线过原点，所以,A B 关于原点对称，设000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --， 因为AC 与x 轴垂直，所以0(,0)C x ， 设123,,AB BC AD k k k k k k ===， 则00121001,22y y k k k x x ===， 而222222210101012232222222101010101(1)(1)y y y y y y x x b k k b b x x x x x x x x a a a⎡⎤+--⋅=⋅==---=⎢⎥+---⎣⎦所以，213232221b k k k k a⋅=⋅==，所以，222,a b a ==所以渐近线方程为y =. 故选：D30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π3或2π3 C ．π6D ．π6或5π6【答案】B【详细分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【答案详解】设()()1122,,,A x y B x y ，显然线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为四边形OACB 为平行四边形，所以线段OC 的中点坐标和线段AB 的中点坐标相同，即为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因此C 点坐标为()1212,x x y y ++， 因为直线OC ，AB 的斜率之积为3，所以221212122212121233y y y y y y x x x x x x +--⋅=⇒=+--， 因为点A ，B 均在E 上，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减得：22212222123y y b bx x a a-==⇒=- 所以两条渐近线方程的倾斜角为π3或2π3， 故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．3y x =±【答案】B【详细分析】由离心率求得ba即得渐近线方程．【答案详解】c e a ==，222225c a b a a +==，2b a =， 故选：B32．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．430x y ±= C ．350x y ±=D ．540x y ±=【答案】B【详细分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到425a c c +=，再根据222c ab =+，即可求解双曲线渐近线的斜率.【答案详解】作21F Q PF ⊥于点Q ，如图所示，因为122F F PF =，所以Q 为1PF 的中点，由双曲线的定义知|122PF PF a -=，所以122PF a c =+，故1FQ a c =+，因为124cos 5PF F ∠=，所以11212cos FQ PF F F F =∠，即425a c c +=，得35c a =，所以5a =，得43b a =，故双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=. 故选：B33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =【答案】B【详细分析】分别求出点A,B 的坐标，利用线段相等建立方程求出ba即可得解. 【答案详解】由题意得(),0F c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±．设点A ，B 的纵坐标依次为1y ，2y ，因为221221c y a b -=，所以21b y a =，所以2b AF a =．因为2bc y a=，所以bcBF a =．因为A B A F =，所以22bc ba a=，得2c b =，所以a =，故b a =C 的渐近线方程为y x =，即0x =， 故选：B ．34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y =【详细分析】利用点在双曲线上及直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.【答案详解】设()()2,00F c c >，()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a=±，∴22b PF a=.在21Rt PF F △中，1230PF F ∠=︒，则122PF PF =①. 由双曲线的定义，得122PF PF a -=②. 由①②得22PF a =.∵22b PF a =，∴22b a a=，即222b a =.∴ba=∴双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.35．过双曲线2222:1-=y W x a b 的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为 ，W 的离心率为 ．【答案】 3y x =±3【详细分析】根据图形则得到tan 30b a== ，再利用离心率公式即可. 【答案详解】双曲线渐近线方程为by x a =±，因为OAB 是等边三角形，则tan 30b a== y =，即3e ===，故答案为：3y x =±重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3 D 【答案】A【详细分析】根据题意，先求得焦点1F 到渐近线的距离为b ，在直角1MOF △中，求得1cos bOF M c∠=，再在12MF F △中，利用余弦定理求得222343b c b =-，结合222b c a =-和离心率的定义，即可求解.【答案详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得1(,0)F c -，渐近线方程为b y x a=±，如图所示，则焦点1F 到渐近线by x a =-的距离为1MF b ==， 在直角1MOF △中，可得111cos MF bOF M OF c∠==， 在12MF F △中，由余弦定理得222212112112cos MF F F MF F F MF OF M =+-∠，即22222342243bb c b cb c b c=+-⨯⨯=-，所以2223c b =， 又由222b c a =-，所以22223()c c a =-，可得223c a =，所以双曲线的离心率为==ce a. 故选：A.。
高中高二双曲线练习题(必考)
高二数学双曲线同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++kyk x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是 （ ）A B C D6．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L条数共有 （ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）17．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分）18．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）20．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）① ② 参考答案11．47 12．14522=-x y 13．64 14．0543=-+y x三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．16．（12分）[解析]：易知2,2,===e a c a b ，准线方程：2a x ±=，设()y x P ,，则)2(21a x PF +=，)2(22a x PF -=，22y x PO +=，2222212)2(2a x ax PF PF -=-=⋅∴ 222222)(PO y x a x x =+=-+= 21PF PO PF 、、∴成等比数列. 17．（12分）[解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)，2a ＞2c ＝22，∴a＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1 ∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由，⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上，∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0，∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1).18．（12分）[解析]：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2－1)x 2+4kb x +（2b 2+1）=0,当时，即22k ,0212±==-k 若b=0，则k φ∈；若bb x 22120b 2+±=⇒≠，不合题意.当时，即22k ,0212±≠≠-k 依题意有△=(4kb)2－4(2k 2－1)(2b 2+1)＞0，12222+<⇒b k 对所有实数b 恒成立，min 22)12(2+<∴b k ∴2k 2<1，得2222<<-k . 20．（14分）[解析]：以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x ,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by a x 上， 依题意得a =680,c=1020，:,34056801020222222故双曲线方程为⨯=-=-=∴a c b 134056802222=⨯-y x用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,,5680,5680=-=∴y x10680),5680,5680(=-PO P 故即,答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心m 10680处.Q。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（）. A．B．2C．D．3【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程是，即；因为渐近线与圆相切，所以，即，则，.【考点】双曲线的几何性质.2.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】为钝角三角形，且，，即，，，即，.【考点】双曲线的简单几何性质.3.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为 .【答案】17.【解析】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.【考点】双曲线的定义.4.若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则P的值为A．2B．3C．4D．【答案】C【解析】双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为，所以，解得：p=4，故选C.【考点】双曲线和抛物线的性质.5.若原点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是双曲线的左焦点，所以，解得，所以双曲线的方程为，设点，则有，因为，所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，而，所以当时，取得最小值，所以的取值范围为，选A.【考点】1.双曲线的标准方程及其几何性质；2.二次函数的图像与性质.6.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；②过定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；③，则双曲线与的离心率相同；④已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.【答案】②③④【解析】对于①，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由，可知点为弦的中点，连结，则有即，而均为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以②正确；对于③，设的离心率分别为，则有，，所以③正确；对于④，设动点，则由可得，将代入等式左边可得，所以动点的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②③④.【考点】1.双曲线的定义；2.动点的轨迹问题；3.双曲线的离心率.7.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若是钝角三角形，则双曲线的离心率范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，△PQF1是等腰直角三角形，且被F1F2分成两个全等的等腰直角三角形．由此结合双曲线的定义，可解出a=（-1）c，即可得到该双曲线的离心率．【考点】求双曲线的离心率问题.8.双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.【答案】2;【解析】由于双曲线，所以，所以所以离心率.故填2.由于双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线的方程为.故填.【考点】1.双曲线的性质.2.双曲线中三个基本量的关系.9.已知，，，则动点的轨迹是（）A．双曲线B．圆C．椭圆D．抛物线【答案】D【解析】∵＜=4∴由双曲线定义知点P的轨迹是双曲线.【考点】双曲线的定义.10.双曲线的渐近线方程是 .【答案】【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以可得所求渐近线方程为.【考点】双曲线的几何性质.11.双曲线的渐近线方程为 .【答案】【解析】因为双曲线的方程为，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．【考点】双曲线的性质.12.抛物线的焦点Ｆ恰好是双曲线的右焦点，且它们的交点的连线过点Ｆ，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为抛物线的焦点为.所以.由于双曲线与抛物线的对称性可知，要使两交点的连线过.只有一种情况该直线垂直于x轴.因此可得抛物线过点代入抛物线的方程可得离心率为.故填.【考点】1.双曲线的性质.2.抛物线的性质.3.圆锥图形的对称性.4.离心率的概念.13.设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨设是双曲线右支上的一点，根据定义可得，又，所以，又且，所以的最小内角为，根据余弦定理可得，又，即代入化简可得，故选D.【考点】1.双曲线的定义；2.用余弦定理解三角形.14.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知且，所以。
高二数学双曲线试题(有答案)
高二数学双曲线试题一：选择题1．双曲线()2210x y mn m n -=≠的离心率为2，有一个焦点与椭圆2211625x y +=的焦点重合，则m 的值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A2．以112422-=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ） A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 【答案】A3．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，则12PF F ∆的面积等于（ ）（A ）45（B ）315（C ）53（D ）210【答案】B4.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F 1（﹣，0），F 2（，0），点P 是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是（ ） A ．B ．C ．D ．解：设双曲线的方程为：﹣=1， ∵两焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），且•=0，∴⊥，∴△F 1PF 2为直角三角形，∠P 为直角； ∴+===28；①又点P 是此双曲线上的一点， ∴||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，∴+﹣8=4a2，②由①②得：a2=5，又c2==7，∴b2=c2﹣a2=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，故选C．5.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k FN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．6.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D7.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣y2=1解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1故选A．8.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得y=±．双曲线的一条渐近线方程是，∴则不妨设A （﹣2，），F （2，0）∵△FAB 是等腰直角三角形， ∴=4，解得：a=，b=4∴c 2=a 2+b 2=2+16=20， ∴双曲线的标准方程是故选C9..已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为3.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==a c e ，2243a c =，222243b a ac -==，所以2241a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 10.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．解：设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中2a=|AF 1|﹣|AF 2|=2，，∴离心率，故选B ．11.设双曲线的﹣个焦点为F ；虚轴的﹣个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0， 所以或（舍去）12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值围是( C )A.33(,)33- B.(3,3)- C.33[,]33- D.[3,3]-13.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。
3.2.1 双曲线(第一课时)(精练)(解析版)
3.2.1 双曲线【题组一 双曲线的定义】1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线 B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线【答案】D【解析】两个定点的距离为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线； 不存在1212PF PF F F ->的情况. 综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或射线. 故选：D2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差24a =. 故选：A3．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝0(|x|≥13)C ．x ＝0(|y|≥13) D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．所以点P 的轨迹方程为x ＝0(|y|≥13).故答案为：C4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1， 圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C5．（2020·渝中）若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9C ．6D ．5【答案】B【解析】由双曲线22:1916x y E -=，可得3a =，由双曲线的性质可得：126PF PF -=，可得29PF =或23PF =-(舍去)，故选：B.6．双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，则|PF 2|的值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】B 【解析】因为双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，利用双曲线的定义，以及直线与双曲线联立方程组得到弦长，得到|PF 2|的值为6选B 【题组二 双曲线定义的运用】1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线221259x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M到左焦点2F 的距离是（ ） A ．8 B ．28C ．12D ．8或28【答案】D【解析】双曲线221259x y -=的5a =，3b =，c ==由双曲线的定义得12||||||210MF MF a -==，即为21810MF -=，解得28MF =或28.检验若M 在左支上，可得15MF c a ≥-=，成立；若M 在右支上，可得15MF c a ≥+=+，成立.故选：D2．（2020·全国高二课时练习）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．C ．(0,3)D ．)【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n-=+-表示双曲线，所以10{30n n +>->，解得1{3n n >-<，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 3．（2020·全国）“35m -<<”是“方程22153x y m m -=-+表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可以直接求出方程22153x y m m -=-+表示双曲线的充要条件，即为(5)(3)035m m m -+>⇔-<<，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C.4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．11k -<<B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-【答案】D【解析】方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则()()k k +-<110，解得1k >或1k <-.故选：D.5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3【答案】A【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.6．（2020·山东青岛）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集， ∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离4214323035214910d ±===≠+，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .7.（2019·浙江高二期末）设F 1,F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则ΔPF 1F 2的面积等于__________． 【答案】12 【解析】由于x 25−y 24=1，因此a =√5，c =3，故|F 1F 2|=2c =6，由于|PF 1|:|PF 2|=2:1即|PF 1|=2|PF 2|，而|PF 1|−|PF 2|=2a =2√5，所以|PF 1|=4√5，|PF 2|=2√5，cos∠F 1PF 2=PF 12+PF 22−F 1F 222PF 1⋅PF 2=45，所以sin∠F 1PF 2=35，因此S ΔPF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=12. 8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为_______．【解析】因为22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠212121212(||||)2||||2||||cos PF PF PF PF PF PF F PF =-+-∠,所以21212π4(41)(22)2||||2||||cos3PF PF PF PF +=⨯+-，12121π||||=44sin 23PF F PF PF S∴=⨯⨯=， 【题组三 双曲线标准方程】1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22124x y -=B ．22148x y -=C ．2218y x -=D ．22128x y -=【答案】D【解析】由题意可得：22,6a m b m ==+，则实轴长为：由题意有：2=，解得：2m =，代入2216x y m m -=+可得双曲线方程为22128x y -=.本题选择D 选项.2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线C ：22221x y a b -=的左焦点F 的直线，恰好与圆222x y a +=相切，C 的右顶点为A ，且2AF =C 的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】设左焦点为(),0F c -，则直线方程)y x c =+，0y -+=0y -+=恰好与圆222x y a +=相切，所以圆心()0,00y -+=的距离等于半径，即2a =a c =，则2a c =.则22AF a c c =+=+=解得2c =，a =则1b =.所以双曲线C 的标准方程为2213xy -=.故选:B .3．（2020·甘肃城关）已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=【答案】A 【解析】由图可知，a =30，所以b a =1b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：A4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】对于A 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(2,，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，但不过点(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.综上所述，本小题选B.5．（2020·湖南）已知双曲线C ，点(P 在C 上，则C 的方程为（）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=【答案】B【解析】当双曲线的焦点在x 轴，设双曲线的方程为：22221(a 0,b 0)x y a b-=>>.根据题意可得：22222821ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22714a b ，==，所以221714x y -=.当双曲线的焦点在y 轴，设双曲线的方程为：22221(a 0,b 0)y x a b-=>>.根据题意可得：22222281ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，方程无解.综上C 的方程为221714x y -=.故选B.【题组四 双曲线的渐近线】1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22142-=y x ，则其渐近线方程为( )A．y = B．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】双曲线方程为22142-=y x，则渐近线方程为：02y =即y =．故选：A ． 2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为的渐近线方程（ ） A．y = B ．2y x =±C．2y x =±D ．12y x =±【答案】C【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线虚轴长为2，焦距为22b =，2c =则有1b =，c =，则a ==22121x y-= ，该双曲线的渐近线方程为为：2y x =±故选：C ．3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．y x =±【答案】B【解析】由题可知c e a ==，222c a b =+，解得2ba=，所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±，选B.4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，若点P 为双曲线左支上的一点，且直线1PA 、2PA 的斜率分别为1-，13-，则双曲线的渐近线方程为______________.【答案】3y x =±【解析】1PA 的方程为()y x a =-+，2PA 的方程为()13y x a =--，则()2,P a a -，将点P 的坐标，代入双曲线，则222241a a a b -=，则2213b a =，则b a =则双曲线渐近线方程为y x =.故答案为：y x =. 5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线22143y x -=,则焦点到渐近线的距离为 。
高二双曲线习题及答案典藏
双曲线习题及答案典藏1．有一凸透镜其剖面图〔如图〕是由椭圆22221x ya b+=和双曲线22221(0)x ya mm n-=>>的实线局部组成，两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两局部实线上运动，那么周长的最小值为: 〔〕A.2()a m- B.()a m- C.2()b n- D.2()a m+2．双曲线2221(0)2x ybb-=>的两条渐近线互相垂直，那么e=〔〕3．椭圆与双曲线共焦点1F，2F，它们的交点P对两公共焦点1F，2F张的角为123F PFπ∠=.椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，那么〔〕A.221231144e e+= B.221213144e e+= C.22124413ee+= D.22214413ee+=4．双曲线2222:1x yEa b-=的左、右顶点分别为A、B，M是E上一点，ABM为等腰三角形，且外接圆面积为23aπ，那么双曲线E的离心率为〔〕115．P为双曲线()2222:1,0x yC a ba b-=>上一点，12,F F分别为C的左、右焦点，212PF F F⊥，假设12PF F∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，那么C的离心率为〔〕B.2D.2或36．点F 1、F 2分别是双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，那么ΔPF 1F 2的内切圆半径r 的取值范围是〔 〕A ．(0,√3)B ．(0,2)C ．(0,√2)D ．(0,1)7．在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ，且2,1,2AB AD CD x ===，其中()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，假设对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，那么t 的最大值是〔 〕A B C ．2 D 8．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，假设22::3:4:5AB BF AF =，那么双曲线C 的离心率为〔 〕A ．2B ．4C D 9．0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的2C 的渐近线方程为 〕A ．0x =B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．如下图，直线l 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，1F 关于直线l 的对称点为1F '，且1F '是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，那么双曲线C 的离心率为〔 〕A.2B.3C.2D.311．以椭圆22195x y+=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左右焦点分别是12,F F，点M的坐标为(2,1)，双曲线C上的点00(,)P x y00(0,0)x y>>，满足11211121PF MF F F MFPF F F⋅⋅=，那么12PMF PMFS S∆∆-=〔〕A．2B．4C．1D．1-12．双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P在双曲线的右支上，且12||4||PF PF=，那么此双曲线的离心率e的最大值为〔〕A.43B.53D.7313．椭圆()222210x ya ba b+=>>，与双曲线()222210,0x ym nm n-=>>具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，假设∠F1PF2＝3π，那么2212e e+的最小值是A B．2C D14．12F F，是双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的左，右焦点，P是双曲线上一点，且12PF PF⊥，假设∠12PF F的内切圆半径为2a，那么该双曲线的离心率为1115．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，直线l 与双曲线交于点B ，且2BF AB ＝，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．3B C D ．216．12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，假设双曲线右支上存在点A ，使1230F AF ∠=，且线段1AF 的中点在y 轴上，那么双曲线的离心率是〔 〕C.2D.17．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，与C 的左、右两支分别交于点,A B ，假设2AB BF =，那么C 的离心率为A B ．5+C D 18．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线2221(0)4x y a a -=>上的一点C 作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，假设平行四边形OACB 的面积为3，那么该双曲线的离心率为〔 〕A ．3BC D 19．1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，假设122r r =，那么直线l 的斜率为〔 〕A.1C.2D.20．F 1,F 2是双曲线2222C :1(00)x y a b a b-=>>，的左右焦点，假设直线y =与双曲线C 交于P,Q 两点，且四边形F 1PF 2Q 是矩形，那么双曲线的离心率为〔 〕A1B 1C ．5-D ．5+21．双曲线2221(0)4x y b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点且直线2PF 与x 轴垂直，假设12F PF ∠的角平分线恰好过点()1,0，那么12PF F △的面积为 A ．12 B ．24 C ．36 D ．4822．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作倾斜角为60︒直线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，假设点A 平分线段1F B ，那么该双曲线的离心率是( )B.2+C.2123．设A ，B 为双曲线()22220x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，假设向量()0,2n =，3AB =且1AB n n⋅=-，那么双曲线的离心率为〔 〕A.2或4B.3或4C.3D.324．点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心〔三角形12PF F 内切圆的圆心〕，假设121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥〔1212,,IPF IPF IF F S S S ∆∆∆分别表示1212,,IPF IPF IF F ∆∆∆的面积〕恒成立，那么双曲线的离心率的取值范围为〔 〕 A.(]1,2B.()1,2C.()2,3D.(]2,325．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得那么该双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．326．图∠∠∠中的多边形均为正多边形，M ，N 分别是所在边的中点，双曲线均以图中1F ，2F 为焦点.设图∠∠∠中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，那么〔 〕A.123e e e >>B.321e e e >>C.213e e e >=D.132e e e =>27．,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=〔O 为坐标原点〕，直线,PA PB 的斜率记为,m n ，那么224n m +的最小值为〔 〕A ．8B ．4C ．2D ．128．双曲线22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．假设|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF 与FB 反向，那么该双曲线的离心率为( )A.2C.22115y x -= D.5 229．过双曲线的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，那么22PM PN -的最小值为〔 〕 A ．10B ．13C ．16D ．1930．椭圆C 1：=1〔a ＞b ＞0〕与双曲线C 2：x 2﹣=1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．假设C 1恰好将线段AB 三等分，那么〔 〕 A ．a 2=B ．a 2=3C ．b 2=D ．b 2=231．12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔 〕A.3B.3C.D.32．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,假设双曲线上存在点P ,使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠,那么该双曲线的离心率e 范围为( )A.〔1,1B.〔1,1C.〔1,1D.〔1,133．12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =,那么该双曲线的离心率为D.234．椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，那么〔 〕A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+= 35．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，假设四边形AOBF 的面积为()2212a b +，那么双曲线C 的渐近线方程为〔 〕A．2y x =±B．y =C ．y x =±D ．2y x =±36．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点1F 的直线l 的倾斜角θ满足tan 13θ=，假设直线l 分别与双曲线的两条渐近线相交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点2F ，那么该双曲线的离心率为( )37．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，假设以线段12A A 为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，O 为坐标原点，230PF O ︒∠=，那么双曲线的离心率为〔 〕AB ．2CD38．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，那么双曲线C 的离心率是〔 〕A.2或3B.22D.3239．过双曲线()222210,0x y a b a b-＝＞＞的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，那么双曲线离心率的取值范围为〔 〕A.(B.(C.D.40．双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足120PF PF ⋅=，假设01230PF F ∠=，那么双曲线的离心率为〔 〕B.2C. D.341．设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，两条渐近线分别为l 1、l 2，过F 作平行于l 1的直线依次交双曲线C 和直线l 2于点A 、B ，假设FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈(2,3)，那么双曲线离心率的取值范围是 A.(1,√2) B.(√62,√2)C.(√2,√3)D.(√62,√3)二、填空题42．点12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两焦点，过点1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于,P Q 两点，假设2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中2[,)3PQF ππ∠∈，那么双曲线离心率e 的取值范围为______.43．1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.44．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点, AB 为过1F 的弦(,A B 在双曲线的同一支上),假设11||3||BF AF =,223||||||AB AF BF =+,那么此双曲线的离心率为______．45．设F 为双曲线2222:1x y C a b-=〔0a >，0b >〕的右焦点，过F 且斜率为a b 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且||2||AF BF =，那么双曲线C 的离心率____.46．点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，那么线段长的最小值是__________．47．过双曲线x 2a2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左焦点F(−c,0) (c >0)，作倾斜角为π6的直线FE 交该双曲线右支于点P ，假设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，那么双曲线的离心率为______．48．设P 为双曲线2213625x y -=右支上的任意一点， O 为坐标原点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A , B 两点，那么平行四边形PAOB 的面积为__________．49．以下关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号___________．〔写出所有真命题的序号〕。
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xyoxyoxyoxyo高二数学双曲线同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+my m x 的焦距是 （ ） A ．4 B ．22C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 （ ）A ．23B ．3C ．34D ． 36．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ． 相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22C ．14D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0;②x 2+y 2=3;③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．4．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）17．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分）18．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.（12分）19．设双曲线C 1的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线C 1上的任意一点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q.（1）求Q 点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，当21≥e 时，e 2的取值范围（14分）20．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）① ②参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11．4712．14522=-x y 13．6414．0543=-+y x 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．16．（12分）[解析]：易知2,2,===e a c a b ，准线方程：2a x ±=，设()y x P ,， 则)2(21a x PF +=，)2(22a x PF -=，22y x PO +=，2222212)2(2a x a x PF PF -=-=⋅∴ 222222)(PO y x a x x =+=-+=21PF PO PF 、、∴成等比数列. 17．（12分）[解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)，2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由，⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2即Q (－) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上，∴k l k AB ＝k ·＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22…③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0，∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1).18．（12分）[解析]：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2－1)x 2+4kb x +（2b 2+1）=0,当时，即22k ,0212±==-k 若b=0，则k φ∈；若bb x 22120b 2+±=⇒≠，不合题意. 当时，即22k ,0212±≠≠-k 依题意有△=(4kb)2－4(2k 2－1)(2b 2+1)＞0，12222+<⇒b k 对所有实数b 恒成立，min 22)12(2+<∴b k ∴2k 2<1，得2222<<-k . 19．（14分）[解析]：（1）解法一：设P(x 0,y 0), Q(x ,y )Q⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+∴⊥⊥-)2(1)1(1,),0,(),0,(0000a x y a x y a x y a x y PA QA PB QB a B a A)3(1:)2()1(22222200 =-⋅-⨯ax y ax y 得由2222222220000,1ab ax y by ax =-∴=-4222242222,)3(a y b x a a a x y b =--=即得代入经检验点)0,(),0,(a a -不合,因此Q 点的轨迹方程为:a 2x 2－b 2y 2=a 4（除点（－a ,0）,(a ,0)外）. 解法二：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵PA ⊥QA ∴100-=-⋅-ax ya x y ……（1）连接PQ ，取PQ 中点R,))0,(),0,((,:0,,.1)(,1)3)(2()3(,1:)1()2(),2(,02|,||||,|21|||,|21||,,4222242222222222222220220220022000外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上点在a a a y b x a Q a y b x a a x a x b y a x a x b y a x y a x y x a y y x x x x y R RB RA PQ RB PQ RA PB QB QA PA -=-∴=-≠-∴±==--=--=∴-=--==+∴∴=∴==∴⊥⊥11111 ,1)1(:)2(22222222422242222-+=-+=+=+==-e a c a b a a b a a e b a y a x C 的方程为得由解 21 ,21)2(11 ,22221≤<∴=-+≤∴≥e e e20．（14分）[解析]：以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x ,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-b y a x 上， 依题意得a =680, c=1020，:,34056801020222222故双曲线方程为⨯=-=-=∴a c b 1340568022=⨯-y x用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,,5680,5680=-=∴y x10680),5680,5680(=-PO P 故即,答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心m 10680处.。