面面垂直的判定优质课PPT课件
合集下载
面面垂直的判定和性质ppt课件.ppt
∵ PB⊥AC , 由三垂线定理得：AF⊥OB.
D
C
AO 2
OF
OB
1 OB 2 3
,
OB 3a .
OF
A
B
PO 3 AO 3a ,
∴ ∠PBO = 45°
故 PB与底面AC所成的角为45°.
课后作业
1. 教辅课时作业第19页~20页 2.3.2 2. 教辅第120页~123页 3. 预习教材第70页~73页
面—直线—面 （棱）
二面角—l— 或二面角—AB—
平面与平面垂直 定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角， 那么我们称这两个平面互相垂直。
记为： .
两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直 .
α A
D
B β
C
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面相互垂直。
证明：在 内任取一点 P， 作 m a ，n b，
. b
m
nP
， ，
m ，n ，（面面垂直的性质定理）
又 c， m c，n c，
c . 又 a， b，
b c，c a . 同理可证 a b .
例3. 如图，立体图形P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面，
一、 二面角及二面角的平面角
1 、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 α
平面所组成的图形叫做二面角 记作： l
ι
β
3、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 l 的棱，并与两半平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P，则∠APB叫做二面 角 l 的平面角
面面垂直的判定定理课件
Part
04
面面垂直的判定定理在几何中 的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶 点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质 和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证 明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的 三条棱分别与另一个顶点上的三 条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三 条棱分别与另一个顶点上的三条棱 垂直，那么这两个顶点是否在同一 平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得 从一个点出发的三条射线分别与从 另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$， 平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记 作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相 交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的 两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面垂直 ，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条 直线都与另一个平面垂直， 那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
《面面垂直公开课》课件
《面面垂直公开课》PPT 课件
通过本课件，我将与大家分享《面面垂直公开课》的精彩内容，让您轻松参 与，收获满满。加入我们，一起探索新的学习方式和实用技能。
课程介绍
课程背景和目的
了解课程的背景和目的，掌握学习的动力和方向
课程内容和安排
探索课程提供的内容和学习进度安排
学习收益
1 学习目标和重点
明确学习目标和关注重点，提高学习效果
2 实用技能和知识
学习实用的技能和知识，以应对现实问题
参与方式
线上课程平台
通过专业的在线平台参与课程，方便快捷
课程互动工具
利用多样化的互动工具，提高学习体验和效果
评估和证书
1课程考Βιβλιοθήκη 方式探索课程考核的方式和要求
2
证书颁发标准
了解证书颁发的标准和条件
学员反馈和案例分享
学员评价和心得分享
了解学员的评价和心得分享，感受课程的价值
成功案例和实践经验
分享成功案例和实践经验，激励学习者迈向成功
开班时间和报名方式
下一期开班时间
了解课程的下一期开班时间，尽早计划加入
报名流程和联系方式
掌握报名流程和联系方式，便捷报名参加
结语
1 总结课程亮点
回顾课程的亮点和亮眼特点
2 鼓励报名参加
鼓励学习者积极报名参加，开启学习之旅
通过本课件，我将与大家分享《面面垂直公开课》的精彩内容，让您轻松参 与，收获满满。加入我们，一起探索新的学习方式和实用技能。
课程介绍
课程背景和目的
了解课程的背景和目的，掌握学习的动力和方向
课程内容和安排
探索课程提供的内容和学习进度安排
学习收益
1 学习目标和重点
明确学习目标和关注重点，提高学习效果
2 实用技能和知识
学习实用的技能和知识，以应对现实问题
参与方式
线上课程平台
通过专业的在线平台参与课程，方便快捷
课程互动工具
利用多样化的互动工具，提高学习体验和效果
评估和证书
1课程考Βιβλιοθήκη 方式探索课程考核的方式和要求
2
证书颁发标准
了解证书颁发的标准和条件
学员反馈和案例分享
学员评价和心得分享
了解学员的评价和心得分享，感受课程的价值
成功案例和实践经验
分享成功案例和实践经验，激励学习者迈向成功
开班时间和报名方式
下一期开班时间
了解课程的下一期开班时间，尽早计划加入
报名流程和联系方式
掌握报名流程和联系方式，便捷报名参加
结语
1 总结课程亮点
回顾课程的亮点和亮眼特点
2 鼓励报名参加
鼓励学习者积极报名参加，开启学习之旅
高中数学：面面垂直判定课件共20张PPT
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
两平面垂直
1、定义：两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
10
二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度． ① 两个半平面重合：二面A角是 0o； ② 两个半平面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． B
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
2、判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直
D
A
C
B
线面垂直
面面垂直
2、判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
α β
αβ
l
线线垂直 线面垂直
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
面面垂直的判定公开课课件
直。由此可知，平面β与平面α垂直。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
《面面垂直的判定》课件
《面面垂直的判定》ppt课件目录CONTENCT •引言•面面垂直的定义•面面垂直的判定定理•面面垂直的判定方法•实例分析•总结与思考01引言主题介绍垂直关系在几何学中的重要性垂直关系是几何学中的基本概念之一，它在许多实际问题中有广泛的应用。
面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理是“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直”。
理解面面垂直的判定定理会应用面面垂直的判定定理解决问题培养空间想象能力和逻辑思维能力通过本课件的学习，学生应能够理解并掌握面面垂直的判定定理。
学生应能够运用所学知识解决一些实际问题，如建筑物的垂直度测量、机械零件的设计等。
通过本课件的学习，学生应能够培养空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习打下基础。
学习目标02面面垂直的定义两个平面互相垂直，当且仅当一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
文字定义文字定义给出了面面垂直的充分必要条件，即一个平面内的任意直线与另一个平面垂直。
解释两个平面互相垂直，当且仅当一个平面与另一个平面的法线垂直。
图形定义01020304性质1性质2定理解释性质与定理如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
性质和定理进一步阐述了面面垂直的判定条件，为解决实际问题提供了理论依据。
03面面垂直的判定定理总结词简洁明了地概括了面面垂直的判定定理。
详细描述面面垂直的判定定理是，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
定理内容总结词详细说明了面面垂直的判定定理的证明过程。
详细描述首先，假设两个平面$alpha$和$beta$，且$alpha$内的两条相交直线$a$和$b$与$beta$垂直。
我们需要证明$alpha perp beta$。
根据直线与平面垂直的判定定理，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
《面面垂直的判定》课件
2 解决方法
通过计算两个平面的法线向量，并判断它们是否相互垂直。
面面垂直和其他几何概念的关系
面面垂直和其他几何概念，如平行、垂直和平面之间的交点等，都有密切的联系。理解它们之间的关系有助于 解决更复杂的几何问题。
面面垂直和平行的关系
面面垂直和平行是几何中常见的关系。如果两个平面之间垂直，它们不能同 时平行。然而，两个面面垂直的平面可以是平行的。
建筑设计
面面垂直的概念是建筑设计 师在设计房屋和建筑物时必 须考虑的重要因素。
地理测量
面面垂直的知识对于测量地 球表面的起伏和海拔高度非 常几何问题和定理证明的 关键概念。
面面垂直和水平垂直的区别
尽管面面垂直和水平垂直都涉及到垂直关系，但它们的定义和应用领域有所 不同。面面垂直是两个平面之间的垂直关系，而水平垂直是指物体与地球表 面的垂直关系。
《面面垂直的判定》PPT 课件
欢迎来到《面面垂直的判定》课件！在本课程中，我们将探讨面面垂直的定 义、原理、计算方法以及应用场景。让我们一起开始这个令人兴奋的学习之 旅吧！
什么是面面垂直？
面面垂直是指两个平面之间的夹角为90度。它是几何学中重要的概念，被广 泛应用于建筑、地理和数学等领域。
面面垂直的应用场景和优势
面面垂直的原理和定义
面面垂直的原理是通过两个平面的法线向量判断它们之间的垂直关系。当两 个平面的法线向量相互垂直时，这两个平面就是面面垂直的。
面面垂直的计算方法
计算面面垂直的方法包括求解两个平面的法线向量，并进行向量运算来判断它们之间是否垂直。
面面垂直的常见问题及解决方法
1 问题
如何确定两个平面之间的垂直关系？
面面垂直判定方法PPT课件
组成的图形.
A 边
面
• 图形 顶点 O
边
B
A 棱 面a
B
构成 射线 点 射线 半平面 棱 半平面
表示法
AOB
二面角
a 或 AB
第14页/共23页
一、二面角的平面角的作法和求法
1、定义 构造普通三角形求角
2、作(找)面的垂线 构造直角三角形求角
A O•
l
B
A•
D
O
l
第15页/共23页
二、面面垂直 1.定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说 这两个平面互相垂直。
D
a ,a
β
第18页/共23页
B C
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB是 ⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同 于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
B
O
第19页/共23页
如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
(1)二面角A－PD－C的度数为____9_0_0__； (2)二面角B－PA－D的度数为____9_0_0__； (3)二面角B－PA－C的度数为___4__5_0__；
复习
1．直线与平面垂直的概念
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
la
l b
a
l
b
a b A
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
第1页/共23页
l
b
Aa
线面垂直的判定 在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.
如图，取BD的中点K，连接AK， CK. ∵AB=AD,K为BD中点， ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.
A 边
面
• 图形 顶点 O
边
B
A 棱 面a
B
构成 射线 点 射线 半平面 棱 半平面
表示法
AOB
二面角
a 或 AB
第14页/共23页
一、二面角的平面角的作法和求法
1、定义 构造普通三角形求角
2、作(找)面的垂线 构造直角三角形求角
A O•
l
B
A•
D
O
l
第15页/共23页
二、面面垂直 1.定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说 这两个平面互相垂直。
D
a ,a
β
第18页/共23页
B C
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB是 ⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同 于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
B
O
第19页/共23页
如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
(1)二面角A－PD－C的度数为____9_0_0__； (2)二面角B－PA－D的度数为____9_0_0__； (3)二面角B－PA－C的度数为___4__5_0__；
复习
1．直线与平面垂直的概念
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
la
l b
a
l
b
a b A
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
第1页/共23页
l
b
Aa
线面垂直的判定 在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.
如图，取BD的中点K，连接AK， CK. ∵AB=AD,K为BD中点， ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.
直线与平面垂直的判定公开课ppt课件
证明两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
面面垂直的判定和性质.pptx
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。
α A
D
β
B C
问题 发现 猜想 证明 证第明12过页/程共21页结论 注
性质定理
• 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
• 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平
P
证明： 正方形ABCD中 C，BDA
P B
A平 D平
面 面
AA BBPCCA DDB
D
A
D
A
C平
面
P
AC平 ，面 P AP A
C
B
O
C
A C P AA
B D平 面 P A C平 面 PA平C面。 P B D B D平 面 P B D
例1题目 解答
第15页/共21页
例2已知直线PA垂直于O所在的平面， A为垂足，AB为O的直径，C是圆周上 异于A、B的一点。求证：平面PAC平
已知：直线AB平面，直线AB平面。 求证：平面 平面。
α A
D
β
E B C
判定定理 证证明明 证明过程第判6页定/共2方1页法
判定定理
已知：直线AB平面，直线AB平面。求证：平面 平面。
证明：设 β=CD，则AB β=B ，在平面β内过B点作BE⊥CD。
AB
CD
β β
A
B
EB CCDDA
由平面 平面，平面 内的直线AB不一定
能与平面垂直。
α A
D
β
α A
D
β
B
B
C
C
那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
线面垂直
C
A
O
B
12
.
课堂小结
1、二面角的定义和度量 2、面面垂直的定义 3、面面垂直的判定定理 4、降维和转化思想
13
.
课后作业
基础题：P73 习题2.3 A组1,2,3,4.
拓展题:课本 P69 例3 在四面体PABC 中任意两个平面所成的二面角的 平面角如何确定？
14
.
15
.
谢 谢 大 家
1、角的顶点在二面角 的棱上； 2、角的两条边分别在 两个半平面内； 3、角的两条边都必须 垂直于二面角的棱。
l
B
O
A
B1
O1 A1
二面角的的平面角不唯一， 但是大小是一定的！
5
.
4、二面角的范围： [ 0o, 180o ]
5、求二面角的步骤：一作、二证、三求
学习目标：1、掌握二面角的定义。 2、理解二面角的度量方法。
再图形语言：
符号语言：
l l
α β
αβ
9
.
证明面面垂直的方法
面面垂直 判定定理
线面垂 直
面面垂直
二面角是 直二面角
定义
转化的思想
10
.
D’ A’
C’ B’
D’ C
A
B
正方体
A
11
.
正四棱锥
P
D O
C
B
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
1
.
平
面
与
平
面
垂
直
的
判
定
.
2
预习反馈 1、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面组成的 图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 棱，每个半平面叫做二面角的面．
3
.
2、二面角的记法
A
二面角－AB－
B
l
C B
A
4
l
二面角－l－
D
二面角C－AB－D
.
3、二面角的度量： 二面角的平面角 （降维）
二面角的平面角满足的条件：
3、能够找出简单的二面角的平面角。
6
.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出 二面角A’-AB-D的平面角：
D’ A’
C’ B’
D A
C B
7
.
平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
8
.
面面垂直的判定定理 文字语言：如条果垂一 线个 ，平 那面 么经 这过 两另 个一 平个 面平互面相的垂一直