新人教版(湖北)八年级数学下册课件：专题33 一次函数与几何最值(共13张PPT)

3．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝43x＋8 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，
点 C 为 OB 的中点，点 D 在第二象限内，且四边形 AOCD 为矩形． (1)直接写出点 A，B 的坐标，并求直线 AB 与 CD 交点 E 的坐标； (2)动点 P 从点 C 出发，沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动；同
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(2)如图②，将线段 FA 平移至 EA′处，连接 AA′，则易证：四边形 A′EFA 为平行四 边形．∴A′E＝AF，A′A＝EF＝1.由 A(3，4)，得 A′(2，4)．∴要使四边形 ABEF 的 周长最小，只需使 BE＋A′E 最小，作点 B 关于 x 轴的对称点 B′，连接 B′A′交 x 轴于点 E′，易知当点 E 与点 E′重合时，BE＋A′E 最小．由 B(－1，1)，得 B′(－1， －1)．易求得直线 B′A′的解析式为 y＝53x＋23.令 y＝0，得 x＝－25.∴当点 E 平移到 点(－25，0)时，四边形 ABEF 的周长最小．
2．如图，已知直线 y＝－34x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，线段 AB 为直角边在第 一象限内作等腰 Rt△ABC，∠BAC＝90°.
(1)求△AOB 的面积； (2)求点 C 坐标； (3)点 P 是 x 轴上的一个动点，设 P(x，0)， ①请用 x 的代数式表示 PB2，PC2； ②是否存在这样的点 P，使得|PC－PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如 果存在，请求出点 P 的坐标．
经过 t 秒，CP＝t，AN＝2t，HO＝CP＝t，PH＝OC＝4.
∴AH＝6－t，∴HN＝AN－AH＝3t－6.
∵S△NPH＝12PH·NH，且△NPH 的面积为 4，
∴1×4×(3t－6)＝4，解得 t＝8.
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综上所述，当△NPH 的面积为 4 时，t＝4或8. 33
②BP＋PH＋HQ 有最小值，点 P(－4，4)．如图③，连接 PB，CH，HQ，则四边形 PHCB 是平行四边形．∵四边形 PHCB 是平行四边形，∴PB＝CH， ∴BP＋PH＋HQ＝CH＋HQ＋4.∴BP＋PH＋HQ 有最小值时，CH＋HQ＋4 有最小值， ∴只需使 CH＋HQ 最小即可，∵两点之间线段最短， ∴当点 C，H，Q 在同一直线上时，CH＋HQ 的值最小． 过点 Q 作 QM⊥y 轴，垂足为 M.∵点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点， ∴OA 是△BQM 的中位线，∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8， ∴Q(－12，－8)，
【解析】(1)由直线 y＝－34x＋3，令 y＝0，得 OA＝x＝4；令 x＝0，得 OB＝y＝3. ∴S△AOB＝12×4×3＝6.
(2)如图，过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为点 D，∵∠BAO＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠ CAD＝90°，∴∠BAO＝∠ACD.又∵∠AOB＝∠CDA＝90°，AB＝AC，∴△OAB≌△DCA， ∴CD＝OA＝4，AD＝OB＝3，则 OD＝4＋3＝7.∴C(7，4)．
【解析】(1)如图①，连接 AB，过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，过点 B 作 BN⊥AM 于点 N. ∵A(3，4)，B(－1，y)，C(x，0)，∴BD＝y，CD＝x＋1，AM＝4，CM＝3－x.在 Rt△BDC 中，由勾股定理，得 BC2＝BD2＋CD2＝y2＋(x＋1)2.同理可得 AC2＝(3－x)2＋16，AB2＝(4 －y)2＋16.∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°. ∴在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 BC2＋AC2＝AB2， 即 y2＋(x＋1)2＋(3－x)2＋16＝(4－y)2＋16. ∴y＝－1x2＋1x＋3.
时，动点 N 从点 A 出发，沿射线 AO 以每秒 2 个单位长度的速度运动，当点 C 到达点 D 时，两点同时停止运动．过点 P 作 PH⊥OA，垂足为点 H，连接 NP.设点 P 的运动时间 为 t s.
①若△NPH 的面积为 4，求此时 t 的值； ②点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点，问 BP＋PH＋HQ 是否有最小值？如果有，求出相应的 点 P 的坐标；如果没有，请说明理由．
设直线 CQ 的解析式为 y＝kx＋b，
将 C(0，4)和 Q(－12，－8)分别代入，
b＝4，
k＝1，
得 －12k＋b＝－8，解得 b＝4.
∴直线 CQ 的解析式为 y＝x＋4.令 y＝0，得 x＝－4，
∴H(－4，0)．∵PH∥y 轴，∴P(－4，4)．
Байду номын сангаас
【解析】(1)∵直线 y＝43x＋8 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，∴令 x＝0，得 y ＝8，令 y＝0，得 x＝－6，∴A(－6，0)，B(0，8)，∴OA＝6，OB＝8.∵点 C 为 OB 的 中点，∴OC＝4，∴C(0，4)．∵四边形 AOCD 为矩形，∴OA＝CD＝6，OC＝AD＝4，CD ∥OA，∴D，C，E 三点的纵坐标相同，∴点 E 的纵坐标为 4.将 y＝4 代入直线 y＝4x
第十九章 一次函数
专题33 一次函数与几何 最值
武汉专版·八年 级下册
1．如图，已知A(3，4)，点B为直线x＝－1上的动点，设 B(－1，y)．
(1)如图①，若点C(x，0)且－1<x<3，BC⊥AC，求y与x之 间的函数关系式；
(2)如图②，当点B的坐标为(－1，1)时，在x轴上另取两点 E、F，且EF＝1，线段EF在x轴上平移，问线段EF平移至 何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．
3 ＋8，得 x＝－3，∴E(－3，4)．
(2)①分两种情况：①当 0＜t＜2 时，如图①，
由题意可知：经过 t 秒，CP＝t，AN＝2t，HO＝CP＝t，PH＝OC＝4.
∴NH＝6－3t.∵S△NPH＝12PH·NH，且△NPH 的面积为 4，
∴1×4×(6－3t)＝4，解得 t＝4；
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②当 2＜t≤6 时，如图②，由题意可知：
(3)①由(2)可知，PD＝|7－x|，在 Rt△OPB 中，PB2＝OP2＋OB2＝x2＋9，在 Rt△PCD 中，PC2＝PD2＋CD2＝(7－x)2＋16＝x2－14x＋65.
②存在，点 P(－21，0)．如图，延长 CB 交 x 轴于点 P，设直线 BC 解析式为 y＝ kx＋b，将 B，C 两点坐标代入，得直线 BC 解析式为 y＝17x＋3，令 y＝0，得 x＝－21， ∴P(－21，0)．此时|PC－PB|的值最大．