高三数学课时复习基础过关训练题0

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高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题44 最新

第十一章计数原理、随机变量及分布列第5课时独立性及二项分布(理科专用)1. 已知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，13，则P(X ＝2)＝________.答案：80243解析：P(X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243. 2. 如图所示，在两个圆盘中指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．答案：49解析：由独立事件发生的概率得P ＝C 14C 16·C 14C 16＝49.3. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85](g)范围内的概率是________．答案：0.02解析：由互斥事件可得概率为0.32－0.3＝0.02. 4. 在一次考试中出了6道判断题，正确的记“”，不正确的记“”．若某考生完全随意记上了6个符号，则正确答案不少于4道的概率为________．答案：1132解析：“正确答案不少于4道”包括有4道题正确、有5道题正确和有6道题全正确，故所求概率是P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 46·⎝ ⎛⎭⎪⎫124·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋C 56·⎝ ⎛⎭⎪⎫125·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 66·⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.5. 一个口袋中装有3个白球和2个红球，现从袋中取球，每次任取一个，记下颜色后放回，直到红球出现3次时停止，总取球数记为ξ，则“ξ＝4”的概率为________．答案：72625解析：当ξ＝4时，即前3次取球恰有一次取到白球，因每次取到白球的概率P ＝35，每次取到红球的概率P′＝25，所以P(ξ＝4)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝72625(或前3次取球中恰有两次取到红球，一次取到白球，而第四次又恰好取到红球，因为每次取到红球的概率P ＝25，所以P (ξ＝4)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35·25＝72625)． 6. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且各次射击的结果互不影响，则射手在3次射击中恰有两次连续击中目标的概率是________．答案：0.288(或36125)解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝36125＝0.288.7. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有如下结论：① 他第3次击中目标的概率是0.9；② 他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③ 他至少击中目标1次的概率是1－0.14. 其中正确的结论是________．(填序号) 答案：①③解析：他恰好击中目标3次的概率是C 34×0.93×0.1.8. (改编)某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知某学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且回答两个问题相互之间没有影响．则该学生至少答对第一、二两题中一题的概率为________．答案：0.8 解析：设“该学生答对第一题”为事件A ，“该学生答对第二题”为事件 B.则“该学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为P ＝P(AB ＋AB ＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＋0.5×0.6＝0.8.9. 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1) 求概率P(ξ＝0)； (2) 求ξ的分布列．解：(1) 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴ 共有8C 23对相交棱．∴ P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2) 若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，∴ P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111，P (ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611.∴ 随机变量ξ10. 中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1) 求甲获胜的概率；(2) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列．解：设A k 、B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P(A k )＝13，P(B k )＝12，k ∈(1，2，3)．(1) 记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，P(C)＝P(A 1)＋P(A 1B 1A 2)＋P(A 1B 1A 2B 2A 3)＝P(A 1)＋P(A 1)P(B 1)P(A 2)＋P(A 1)P(B 1)P(A 2)P(B 2)P(A 3)＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.(2) ξ的所有可能值为1，2，3.由独立性知：P(ξ＝1)＝P(A 1)＋P(A 1B 1)＝13＋23×12＝23， P (ξ＝2)＝P(A 1B 1A 2)＋P(A 1B 1A 2B 2) ＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P(A 1B 1A 2B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.11. 某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00、8∶20、8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为14，8∶20发出的概率为12，8∶40发出的概率为14；第二班客车在9∶00、9∶20、9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为14，9∶20发出的概率为12，9∶40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，张先生预计8∶10到站．(1) 请预测张先生乘到第一班客车的概率； (2) 求张先生候车时间的分布列．解：(1) 第一班若在8∶20或8∶40发出，则张先生能乘到，其概率为P ＝12＋14＝34.(2)。

高三数学课时复习基础过关训练题25

知识改变命运第九章平面解析几何第6课时椭圆(1)1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是________．答案：x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1解析：∵ a ＝4，e ＝34，∴ c ＝3.∴ b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴ 椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.2. 2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的________条件．答案：必要不充分解析：若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴ 2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．3. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．答案：3解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故b ＝3.4. 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，知识改变命运则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________．答案：2 120°解析：∵a 2＝9，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴|F 1F 2|＝27.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2.又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－（27）22×2×4＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.5. 已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m ＝________．答案：8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2（m －2）2＋x 2（10－m ）2＝1，显然m －2>10－m>0，即10>m>6.(m －2)2－(10－m)2＝22，解得m ＝8.6. 设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案：34 解析：由题意可得PF 2＝F 1F 2，∴ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c ，∴ 3a ＝4c ，∴ e ＝34.7. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A(a ，0)，B(0，b)，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为________.答案：5－12解析：由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c)2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e知识改变命运－1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.8. 已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：① 椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；② a 21－a 22＝b 21－b 22；③ a 1a 2＞b 1b 2；④ a 1－a 2＜b 1－b 2.其中，所有正确的结论是________．(填序号) 答案：①②④解析：由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵ a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，又由(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.9. 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．(1) 求椭圆G 的方程； (2) 求△PAB 的面积．解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3. 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①知识改变命运设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以AB ＝3 2.此时，点P(－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12AB ·d ＝92. 10. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 26＋y 23＝1，A 1、A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1) 求椭圆C 2的方程；(2) 设P 为椭圆C 2上异于A 1、A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H.求证：H 为△PA 1A 2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)(1) 解：由题意可知A 1(－6，0)，A 2(6，0)，椭圆C 1的离心率e ＝22.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，则b ＝ 6.因为b a ＝知识改变命运1－e 2＝22，所以a ＝2 3.所以椭圆C 2的方程为y 212＋x26＝1.(2) 证明：设P(x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1，从而y 20＝12－2x 20.将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1，得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 24，即y ＝±y 02.因为P 、H 在x 轴的同侧，所以取y ＝y 02，即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02.所以k AP ·k AH＝y 0x 0－6·12y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）＝12－2x 202（x 20－6）＝－1，从而A 2P ⊥A 1H.又PH ⊥A 1A 2，所以H 为△PA 1A 2的垂心．11. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F(1，0)，且离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设经过点F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P(0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1) 设椭圆C 的半焦距是c. 依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2) 当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q(x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2.知识改变命运所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k(x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k2＝13k ＋4k. 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k ＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312.综上，y 0的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，312.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题54 最新

第四章平面向量与复数第4课时复数1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2ii (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限．答案：三解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ）＝－2－3i.2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________．答案：1解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝0－5i5＝－i ，故|z|＝1.3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3ii ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________．答案：－3解析：由a ＋3ii ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z－z －z－＝________．答案：－i解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z －＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i＝－i.5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai1－i＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________．答案：2解析：由2＋ai1－i＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2.6. 若z －·z ＋z ＝154＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________．答案：－12＋2i解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154＋2i ，所以⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝2，所以z ＝－12＋2i.7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________．答案：2解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2.8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________.答案：19解析：∵ x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，∴ (－3－2i)2＋a(－3－2i)＋b ＝0，化为5－3a ＋b ＋(12－2a)i ＝0.根据复数相等即可得到⎩⎪⎨⎪⎧5－3a ＋b ＝0，12－2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝13，∴ a ＋b ＝19. 9. 已知复数z 的共轭复数是z －，且满足z·z －＋2iz ＝9＋2i.求z.解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z －＝a －bi ， ∵ z ·z －＋2iz ＝9＋2i ，∴ (a ＋bi)(a －bi)＋2i(a ＋bi)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2ai ＝9＋2i ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，2a ＝2.①② 由②，得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0，解得b ＝－2或b ＝4.∴ z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.10. 已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R )，所以z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.因为z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i.由题意得x ＝4，所以z ＝4－2i.所以(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由于(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0，解得2<a<6，故实数a 的取值范围是(2，6)．11. 设复数z 满足4z ＋2z －＝33＋i ，w ＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －w|的取值范围．解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z －＝a －bi.代入4z ＋2z －＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i ，即6a ＋2bi ＝33＋i.∴ ⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.∴ z ＝32＋12i.|z －w|＝|32＋12i －(sin θ－icos θ)|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.∵ －1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6≤1，∴ 0≤2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6≤4，∴ 0≤|z －w|≤2.。

高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题39 最新

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理1. (2013·无锡期末)在△ABC 中，∠A ＝45°，∠C ＝105°，BC ＝2，则AC 的长度为________．答案：1解析：∠B ＝30°，根据正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，AC ＝2sin45°×sin30°＝1.2. (2013·镇江期末)在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，则cosC ＝________．答案：－14解析：由sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c＝4k ，k>0，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－1612＝－14.3. 在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为________．答案：13解析：∵ S ＝12acsinB ，∴ 3＝12×1×c ×32，∴ c ＝4.又AC 2＝12＋42－2×1×4×12＝13，∴ AC ＝13. 4. (2013·扬州期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且a ＝5，b ＝3，sinC ＝2sinA ，则sinA ＝________．答案：55解析：∵ sinC ＝2sinA ，∴ c ＝2a ＝2 5.由余弦定理，得cosA ＝32＋（25）2－（5）22×3×25＝255，∴ sinA ＝1－cos 2A ＝55.5. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若sinA ＝3sinC ，∠B ＝30°，b ＝2，则△ABC 的面积是________．答案： 3解析：由正弦定理a sinA ＝csinC ，又3sinC ＝sinA ，∴ a ＝3c. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴ c ＝2，a ＝23，∴ S △ABC ＝12ac ·sinB ＝ 3.6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cosC 的最小值为________．答案：12解析：由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥12，当且仅当a ＝b 时取“＝”．7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1＋tanAtanB ＝2cb ，则角A 的大小为________．答案：π3解析：1＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinCsinB sin(A ＋B)＝2sinCcosA.因为sinC ≠0，所以cosA ＝12，A ＝π3.8. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则∠A ＝________．答案：π4解析：12bcsinA ＝14(b 2＋c 2－a 2)a 2＝b 2＋c 2－2bcsinA sinA ＝cosA ，则∠A ＝π4.9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足bcosC ＋12c ＝a.(1) 求角B ；(2) 若a 、b 、c 成等比数列，判断△ABC 的形状．解：(1) 由正弦定理，得sinBcosC ＋12sinC ＝sinA. 而sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ，故cosBsinC ＝12sinC.在△ABC 中，sinC ≠0，故cosB ＝12.因为0<B<π，所以B ＝π3.(2) 由b 2＝ac 及正弦定理，得sinAsinC ＝sin 2B ＝sin 2π3＝34，又A＋C ＝π－B ＝2π3，所以sinAsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sinAcosA ＋12sin 2A＝34sin2A ＋1－cos2A 4＝34，所以3sin2A －cos2A ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.又0<A<2π3，所以2A －π6＝π2，A ＝π3，从而C ＝π3. 故△ABC 是等边三角形．10. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c)cosB ＝bcosC.(1) 求∠B 的大小；(2) 若△ABC 的面积为334，且b ＝3，求a ＋c 的值．解：(1) 因为(2a －c)cosB ＝bcosC ，由正弦定理，得(2sinA －sinC)·cosB ＝sinBcosC ，即2sinAcosB ＝sinCcosB ＋sinBcosC ＝sin(C ＋B)＝sinA.在△ABC 中，0<A<π，sinA>0，所以cosB ＝12.又0<B<π，故∠B ＝π3.(2) 因为△ABC 的面积为334，所以12acsinB ＝334，所以ac ＝3.因为b ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，所以a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c)2－3ac ＝3.所以(a ＋c)2＝12，所以a ＋c ＝2 3.11. (2013·山东)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝79.(1) 求a 、c 的值；(2) 求sin(A －B)的值．解：(1) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cosB ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2) 在△ABC 中，sinB ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理得sinA ＝asinB b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B)＝sinAcosB －cosAsinB ＝10227.。

高三复习高中数学三角函数基础过关习题有复习资料

2021 年高三复习高中数学三角函数根底过关习题一．选择题〔共15小题〕5．〔2021•宝鸡二模〕函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为〔〕A．4πB．πC．2πD．6．〔2021•宁波二模〕将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是〔〕A．B．x=C．x=D．x=﹣7．〔2021•邯郸二模〕函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，那么函数图象的一条对称轴的方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=8．〔2021•上海模拟〕将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象的一条对称轴是〔〕A．B．C．x=πD．x=1．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π2．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π3．〔2021•香洲区模拟〕函数是〔〕A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数4．〔2021•浙江模拟〕函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为〔〕A．B．4πC．2πD．π9．〔2021•云南模拟〕为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sinx图象上全部的点的〔〕A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变10．〔2021•陕西〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设bcosC+ccosB=asinA，那么△ABC的形态为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定11．〔2021•湖南〕在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．假设2asinB=b，那么角A等于〔〕A．B．C．D．12．〔2021•天津模拟〕将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是〔〕A．y=cos〔﹣〕B．y=cos〔2x﹣〕C．y=sin2x D．y=cos〔﹣〕13．〔2021•安庆三模〕将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕的图象，那么g〔x〕的解析式为〔〕A．g〔x〕=cos2x B．g〔x〕=﹣cos2x C．g〔x〕=sin2x D．g〔x〕=sin〔2x+〕14．〔2021•泰安一模〕在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，那么BC的长为〔〕A．B．3C．D．715．〔2021•杭州一模〕函数，下面四个结论中正确的选项是〔〕A．函数f〔x〕的最小正周期为2πB．函数f〔x〕的图象关于直线对称C．函数f〔x〕的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数二．解答题〔共15小题〕18．〔2021•长安区三模〕函数f〔x〕=sin〔2x﹣〕+2cos2x﹣1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f〔A〕=，求△ABC的面积．19．〔2021•诸暨市模拟〕A、B是直线图象的两个相邻交点，且．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，假设的面积为，求a的值．16．〔2021 •重庆一模〕函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+．〔1〕求f〔x〕的最小正周期；〔2〕假设f〔x〕＜m在上恒成立，务实数m的取值范围．17．〔2021•东莞二模〕函数．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕假设，α是第二象限的角，求sin2α．20．〔2021•广安一模〕函数f〔x〕=sin2x+2cos2x+1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f〔C〕=3，假设向量=〔sinA，﹣1〕及向量=〔2，sinB〕垂直，求a，b的值．21．〔2021•张掖三模〕f〔x〕=sinωx﹣2sin2〔ω＞0〕的最小正周期为3π．〔Ⅰ〕当x∈[，]时，求函数f〔x〕的最小值；〔Ⅱ〕在△ABC，假设f〔C〕=1，且2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，求sinA的值．22．〔2021•漳州三模〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，假设向量=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，且∥．〔Ⅰ〕求b，c的值；〔Ⅱ〕求角A的大小及△ABC的面积．23．〔2021•青岛一模〕a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满意，函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕在区间上单调递增，在区间上单调递减．〔Ⅰ〕证明：b+c=2a；〔Ⅱ〕假设，证明：△ABC为等边三角形．24．〔2021•南昌模拟〕函数．〔1〕假设f〔α〕=5，求tanα的值；〔2〕设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f〔x〕在〔0，B]上的值域．25．〔2021•河北区一模〕函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，成等差数列，且=9，求a的值．26．〔2021•韶关一模〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔1〕求f〔〕的值；〔2〕求函数f〔x〕的单调递增区间及其图象的对称轴方程．27．〔2021•杭州一模〕函数f〔x〕=．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔Ⅱ〕现保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕；〔ⅰ〕求h〔x〕的解析式；〔ⅱ〕△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满意，h〔A〕=，c=2，试求△ABC的面积．28．〔2021•辽宁〕△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕假设c2=b2+a2，求B．29．〔2021•合肥二模〕将函数y=f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来的〔纵坐标不变〕，再向左平移个单位后，得到的图象及函数g〔x〕=sin2x的图象重合．〔1〕写出函数y=f〔x〕的图象的一条对称轴方程；〔2〕假设A为三角形的内角，且f〔A〕=•，求g〔〕的值．30．〔2021•河池模拟〕△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=〔sinB，1﹣cosB〕及向量n=〔2，0〕的夹角为，求的最大值．2021 年高三复习高中数学三角函数根底过关习题〔有答案〕参考答案及试题解析一．选择题〔共15小题〕1．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：依据复合三角函数的周期公式得，函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是π，应选B．点评：此题考察了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于根底题．2．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：依据复合三角函数的周期公式得，函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是π，应选：B．点评：此题考察了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于根底题．3．〔2021•香洲区模拟〕函数是〔〕A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简函数，然后干脆求出周期，和奇偶性，确定选项．解答：解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：π应选B．点评：此题考察三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考察计算实力，是根底题．4．〔2021•浙江模拟〕函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为〔〕A．B．4πC．2πD．π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件利用利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期为，求得结果．解答：解：函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为T==π，应选：D．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期性，利用了函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期为，属于根底题．5．〔2021•宝鸡二模〕函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为〔〕A．4πB．πC．2πD．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：依据y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于T=，得出结论．解答：解：函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为T==π，应选：B．点评：此题主要考察三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于T=，属于根底题．6．〔2021•宁波二模〕将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是〔〕A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin〔8x﹣〕，利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g〔x〕=sin〔2x ﹣〕，再将g〔x〕=sin〔2x﹣〕的图象向左平移个单位〔纵坐标不变〕得到y=g〔x+〕=sin[2〔x+〕﹣]=sin〔2x+﹣〕=sin〔2x+〕，由2x+=kπ+〔k∈Z〕，得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是改变后的函数图象的一条对称轴的方程，应选：A．点评：此题考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考察正弦函数的对称性的应用，属于中档题．7．〔2021•邯郸二模〕函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，那么函数图象的一条对称轴的方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意可得2sinφ=1，且2cosφ＜0，可取φ=，可得函数f〔x〕的解析式，从而得到函数的解析式，再依据z余弦函数的图象的对称性得出结论．解答：解：∵函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，∴2sinφ=1，且2cosφ＜0，∴可取φ=，函数f〔x〕=2sin〔x+〕．∴函数=2sin〔x+〕=2cosx，故函数图象的对称轴的方程为x=kπ，k∈z．结合所给的选项，应选：A．点评：此题主要考察三角函数的导数，余弦函数的图象的对称性，属于根底题．8．〔2021•上海模拟〕将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象的一条对称轴是〔〕A．B．C．x=πD．x=考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=cosx，再利用余弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，可得函数y=cos[2〔x+〕﹣]=cos2x的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象对应的函数解析式为y=cosx，故所得函数的对称轴方程为x=kπ，k∈z，应选：C．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于根底题．9．〔2021•云南模拟〕为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sinx图象上全部的点的〔〕A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数y=sinx图象上全部的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，可得函数y=sin x的图象，应选：A．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．10．〔2021•陕西〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设bcosC+ccosB=asinA，那么△ABC的形态为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形态．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，那么由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin〔B+C〕=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，应选B．点评：此题主要考察正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，依据三角函数的值求角，属于中档题．11．〔2021•湖南〕在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．假设2asinB=b，那么角A等于〔〕A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．应选D．点评：此题考察正弦定理，将“边〞化所对“角〞的正弦是关键，属于根底题．12．〔2021•天津模拟〕将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是〔〕A．y=cos〔﹣〕B．y=cos〔2x﹣〕C．y=sin2x D．y=cos〔﹣〕考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件利用y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，可得函数y=cos〔x﹣〕的图象再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是y=cos[〔x+〕﹣]=cos〔x ﹣〕，应选：D．点评：此题主要考察y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．13．〔2021•安庆三模〕将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕的图象，那么g〔x〕的解析式为〔〕A．g〔x〕=cos2x B．g〔x〕=﹣cos2x C．g〔x〕=sin2x D．g〔x〕=sin〔2x+〕考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像及性质．分析：干脆利用平移原那么，左加右减上加下减，化简求解即可．解答：解：将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕=sin[2〔x+〕+]=sin〔2x+〕=cos2x，g〔x〕的解析式：g〔x〕=cos2x，应选A．点评：此题考察三角函数的平移．三角函数的平移原那么为左加右减上加下减．以及诱导公式的应用．14．〔2021•泰安一模〕在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，那么BC的长为〔〕A．B．3C．D．7考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．解答：解：∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，应选A．点评：此题考察三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC，是解题的关键．15．〔2021•杭州一模〕函数，下面四个结论中正确的选项是〔〕A．函数f〔x〕的最小正周期为2πB．函数f〔x〕的图象关于直线对称C．函数f〔x〕的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性；余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由f〔x〕=2cos〔2x+〕可求得周期T=π，从而可推断A的正误；将代入f〔x〕=2cos〔2x+〕可得f〔〕的值，看是否为最大值或最小值，即可推断B的正误；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2〔x+〕=2cos〔2x+〕，明显C不对；f〔x+〕=2cos〔2x+〕=﹣2sinx，可推断D的正误．解答：解：∵f〔x〕=2cos〔2x+〕，故周期T=π，可解除A；将代入f〔x〕=2cos〔2x+〕可得：f〔〕=2cos=0≠±2，故可解除B；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2〔x+〕=2cos〔2x+〕，故可解除C；f〔x+〕=2cos〔2x+〕=﹣2sinx，明显为奇函数，故D正确．应选D．点评：此题考察余弦函数的奇偶性及对称性及其周期的求法，关键是娴熟驾驭三角函数的性质，易错点在于函数图象的平移变换的推断，属于中档题．二．解答题〔共15小题〕16．〔2021 •重庆一模〕函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+．〔1〕求f〔x〕的最小正周期；〔2〕假设f〔x〕＜m在上恒成立，务实数m的取值范围．考点：三角函数的最值；两角和及差的正弦函数．专题：三角函数的图像及性质．分析：〔1〕由条件利用三角函数的恒等变换求得f〔x〕的解析式，再依据正弦函数的周期性求得f〔x〕的最小正周期．〔2〕由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f〔x〕的最大值，可得实数m的取值范围．解答：解：〔1〕∵函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+=cosx〔sinx+cosx 〕﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin〔2x﹣〕，∴函数的最小正周期为．〔2〕∵，∴，∴．∵f〔x〕＜m在上恒成立，∴．点评：此题主要考察三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于根底题．17．〔2021•东莞二模〕函数．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕假设，α是第二象限的角，求sin2α．考点：正弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的根本关系；两角和及差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：常规题型；计算题．分析：〔Ⅰ〕将代入函数关系式计算即可；〔Ⅱ〕利用协助角公式将f〔x〕化为f〔x〕=2sin〔2x+〕即可求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕由f〔〕=2sinα=，可求得sinα，α是第二象限的角，可求得cosα=，利用正弦函数的二倍角公式即可求得sin2α．解答：解：〔Ⅰ〕f〔〕=sin〔2×〕+cos〔2×〕=×﹣×=0；〔Ⅱ〕∵f〔x〕=2〔sin2x+cos2x〕=2〔cos sin2x+sin cos2x〕=2sin〔2x+〕．∴f〔x〕的最大值为2，最小正周期T==π；〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知f〔x〕=2sin〔2x+〕，∴f〔〕=2sinα=，即sinα=，又α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××〔﹣〕=﹣．点评：此题考察两角和及差的正弦函数，考察同角三角函数间的根本关系，考察正弦函数的性质及应用，利用协助角公式求得f〔x〕=2sin〔2x+〕是关键，属于中档题．，18．〔2021•长安区三模〕函数f〔x〕=sin〔2x﹣〕+2cos2x﹣1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f〔A〕=，求△ABC的面积．考点：正弦函数的单调性；余弦定理．分析：〔Ⅰ〕函数f〔x〕绽开后，利用两角和的询问公司化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f〔x〕的单调增区间．〔Ⅱ〕利用f〔A〕=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．解答：解：〔Ⅰ〕因为===所以函数f〔x〕的单调递增区间是〔〕〔k∈Z〕〔Ⅱ〕因为f〔A〕=，所以又0＜A＜π所以从而故A=在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．故bc=1从而S△ABC=点评：此题是根底题，考察三角函数的化简求值，单调增区间的求法，余弦定理的应用，考察计算实力，留意A 的求法，简洁出错．常考题型．19．〔2021•诸暨市模拟〕A、B是直线图象的两个相邻交点，且．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，假设的面积为，求a的值．考点：余弦定理的应用；由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：〔I〕利用二倍角公式，两角差的正弦公式，化简函数f〔x〕的解析式为﹣sin〔ωx﹣〕，依据周期，解得ω的值．〔II〕由f〔A〕=﹣，求得sin〔2A﹣〕=，结合A的范围求得A的值，再依据三角形的面积求出边b 的值，利用余弦定理求出a的值．解答：解：〔I〕．由函数的图象及，得到函数的周期，解得ω=2．〔II〕∵，∴．又∵△ABC是锐角三角形，，∴，即．由，由余弦定理，得，即．点评：此题考察正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，依据三角函数的值求角，求出A的大小，是解题的关键．20．〔2021•广安一模〕函数f〔x〕=sin2x+2cos2x+1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f〔C〕=3，假设向量=〔sinA，﹣1〕及向量=〔2，sinB〕垂直，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和及差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：〔I〕利用二倍角公式即公式化简f〔x〕；利用三角函数的周期公式求出周期；令整体角在正弦的递增区间上求出x的范围即为递增区间．〔II〕先求出角C，利用向量垂直的充要条件列出方程得到边a，b的关系；利用余弦定理得到a，b，c的关系，求出a，b．解答：解：〔Ⅰ〕∵〔2分〕令，∴函数f〔x〕的单调递增区间为，〔4分〕〔Ⅱ〕由题意可知，，∴，∵0＜C＜π，∴〔舍〕或〔6分〕∵垂直，∴2sinA﹣sinB=0，即2a=b〔8分〕∵②〔10分〕由①②解得，a=1，b=2．〔12分〕点评：此题考察三角函数的二倍角公式、考察三角函数的公式、考察求三角函数的性质常用的方法是整体角处理的方法、考察三角形中的余弦定理．21．〔2021•张掖三模〕f〔x〕=sinωx﹣2sin2〔ω＞0〕的最小正周期为3π．〔Ⅰ〕当x∈[，]时，求函数f〔x〕的最小值；〔Ⅱ〕在△ABC，假设f〔C〕=1，且2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，求sinA的值．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：先利用二倍角公式的变形形式及协助角公式把函数化简为y=2sin〔ωx+〕﹣1，依据周期公式可求ω，进而求f〔x〕〔I〕由x的范围求出的范围，结合正弦函数的图象及性质可求〔II〕由及f〔C〕=1可得，，结合C的范围可求C及A+B，代入2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，整理可得关于sinA的方程，解方程可得解答：解：==依题意函数f〔x〕的最小正周期为3π，即，解得，所以〔Ⅰ〕由得，所以，当时，〔Ⅱ〕由及f〔C〕=1，得而，所以，解得在Rt△ABC中，，2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，∴sin2A+sinA﹣1=0，解得∵0＜sinA＜1，点评：以三角形为载体，综合考察了二倍角公式的变形形式，协助角公式在三角函数化简中的应用，考察了三角函数的性质〔周期、单调区间、最值获得的条件〕时常把ωx+φ作为一个整体．22．〔2021•漳州三模〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，假设向量=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，且∥．〔Ⅰ〕求b，c的值；〔Ⅱ〕求角A的大小及△ABC的面积．考点：解三角形；平面对量共线〔平行〕的坐标表示．分析：〔Ⅰ〕通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；〔Ⅱ〕干脆利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式干脆求解△ABC的面积．解答：解：〔Ⅰ〕∵=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，，∴sinB﹣2sinA=0，由正弦定理可知b=2a=2，又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，，所以c2=〔〕2+〔2〕2﹣2cos=9，∴c=3；〔Ⅱ〕由，得，∴sinA=，A=或，又C=，∴A=，所以△ABC的面积S===．点评：此题是中档题，考察正弦定理及余弦定理的应用，留意向量的平行条件的应用，考察计算实力．23．〔2021•青岛一模〕a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满意，函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕在区间上单调递增，在区间上单调递减．〔Ⅰ〕证明：b+c=2a；〔Ⅱ〕假设，证明：△ABC为等边三角形．考点：余弦定理的应用；三角函数恒等式的证明；正弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ〕通过表达式，去分母化简，利用两角和及差的三角函数，化简表达式通过正弦定理干脆推出b+c=2a；〔Ⅱ〕利用函数的周期求出ω，通过，求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．解答：〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕∵∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinAsin〔A+B〕+sin〔A+C〕=2sinA…〔3分〕sinC+sinB=2sinA…〔5分〕所以b+c=2a…〔6分〕〔Ⅱ〕由题意知：由题意知：，解得：，…〔8分〕因为，A∈〔0，π〕，所以…〔9分〕由余弦定理知：…〔10分〕所以b2+c2﹣a2=bc因为b+c=2a，所以，即：b2+c2﹣2bc=0所以b=c…〔11分〕又，所以△ABC为等边三角形．…〔12分〕点评：此题考察三角函数的化简求值，两角和及差的三角函数，正弦定理及余弦定理的应用，考察计算实力．24．〔2021•南昌模拟〕函数．〔1〕假设f〔α〕=5，求tanα的值；〔2〕设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f〔x〕在〔0，B]上的值域．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．专题：计算题．分析：〔1〕把f〔α〕=5代入整理可得，，利用二倍角公式化简可求tanα〔2〕由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f〔x〕=2sin〔2x+〕+4，由可求．解答：解：〔1〕由f〔α〕=5，得．∴．∴，即，∴．〔5分〕〔2〕由，即，得，那么，又∵B为三角形内角，∴，〔8分〕又==〔10分〕由，那么，故5≤f〔x〕≤6，即值域是[5，6]．〔12分〕点评：此题主要考察了利用正弦及余弦定理解三角形，协助角公式的应用，及正弦函数性质等学问的简洁综合的运用，属于中档试题．25．〔2021•河北区一模〕函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，成等差数列，且=9，求a的值．考点：正弦函数的单调性；数列及三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：〔I〕利用两角和差的三角公式化简f〔x〕的解析式，得到sin〔2x+〕，由2kπ﹣≤〔2x+〕≤2kπ+，解出x的范围，即得f〔x〕的单调递增区间．〔II〕在△ABC中，由，可得sin〔2A+〕值，可求得A，用余弦定理求得a 值．解答：解：〔I〕f〔x〕==sin2x+cos2x=sin〔2x+〕．令2kπ﹣≤〔2x+〕≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z．即f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．〔II〕在△ABC中，由，可得sin〔2A+〕=，∵＜2A+＜2π+，∴＜2A+=或，∴A=〔或A=0 舍去〕．∵b，a，c成等差数列可得2b=a+c，∵=9，∴bccosA=9．由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=〔b+c〕2﹣3bc=18，∴a=3．点评：此题考察等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的打破口．26．〔2021•韶关一模〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔1〕求f〔〕的值；〔2〕求函数f〔x〕的单调递增区间及其图象的对称轴方程．考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．分析：〔1〕利用三角函数的恒等变换化简函数f〔x〕的解析式为2sin〔2ωx+〕，由此求得f〔〕的值．〔2〕由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数f〔x〕的单调递增区间．由2x+=kπ+求得x的值，从而得到f〔x〕图象的对称轴方程．解答：解：〔1〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1=cos2ωx+sin2ωx=2sin〔2ωx+〕，因为f〔x〕最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，所以f〔x〕=2sin〔2x+〕，f〔〕=2sin=1．〔2〕由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，所以，函数f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．由2x+=kπ+可得x=kπ+，k∈z．所以，f〔x〕图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈z．…〔12分〕点评：此题主要考察三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．27．〔2021•杭州一模〕函数f〔x〕=．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔Ⅱ〕现保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕；〔ⅰ〕求h〔x〕的解析式；〔ⅱ〕△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满意，h〔A〕=，c=2，试求△ABC的面积．考点：正弦定理的应用；两角和及差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．分析：〔I〕利用二倍角的三角函数公式降次，再用协助角公式合并得f〔x〕=sin〔2x+〕﹣，再结合函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象及性质的有关公式，可得f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔II〕〔i〕依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换的公式，不难得到h〔x〕的解析式为h〔x〕=sin〔x+〕﹣；〔ii〕依据h〔A〕的值结合三角形内角的范围和特别三角函数的值，求得A=，再由结合正弦定理，探讨得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最终在两种状况下分别解此三角形，再结合面积公式可求出△ABC的面积．解答：解：〔I〕∵f〔x〕==sin2x﹣=sin2xcos+cos2xsin﹣，∴f〔x〕=sin〔2x+〕﹣，f〔x〕的最小正周期为T==π．令2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，所以函数图象的对称轴方程为：x=+kπ，〔k∈Z〕令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解之得﹣+kπ≤x≤+kπ，所以函数的单调增区间为[﹣，+kπ]，〔k∈Z〕同理可得，函数的单调减区间为[+kπ，+kπ]，〔k∈Z〕〔II〕∵保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕∴h〔x〕=f〔x〕=sin〔x+〕﹣，〔i〕h〔x〕的解析式为h〔x〕=sin〔x+〕﹣；〔ii〕∵h〔A〕=sin〔A+〕﹣=，∴sin〔A+〕=，结合A∈〔0，π〕得A=∵=∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=①当A=B时，因为c=2，A=，所以△ABC是边长为2的等边三角形，因此，△ABC的面积S=×22=．②当A+B=时，因为c=2，A=，所以△ABC是斜边为2的直角三角形∴a=csinA=2×=，b=ccosA=2×=1因此，△ABC的面积S=××1=．综上所述，得△ABC的面积是或．点评：此题综合了三角恒变换、函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换、利用正余弦定理解三角形等学问，对三角函数的学问进展了综合考察，是一道中档题．28．〔2021•辽宁〕△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕假设c2=b2+a2，求B．考点：解三角形．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系．〔Ⅱ〕把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把〔Ⅰ〕中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B．解答：解：〔Ⅰ〕由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB〔sin2A+cos2A〕=sinA∴sinB=sinA，=〔Ⅱ〕由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由〔Ⅰ〕知b2=2a2，故c2=〔2+〕a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°点评：此题主要考察了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进展了互化．29．〔2021•合肥二模〕将函数y=f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来的〔纵坐标不变〕，再向左平移个单位后，得到的图象及函数g〔x〕=sin2x的图象重合．〔1〕写出函数y=f〔x〕的图象的一条对称轴方程；〔2〕假设A为三角形的内角，且f〔A〕=•，求g〔〕的值．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；两角和及差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：〔1〕由题意可知将函数g〔x〕=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f〔x〕的图象可得f〔x〕=sin〔x﹣〕，令可求答案．〔2〕由f〔A〕=可得，sin〔A﹣=结合0＜A＜π，且0＜sin〔A﹣=可得从而可求得cos〔A﹣〕=而=代入可求答案．解答：解：〔1〕由题意可知将函数g〔x〕=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f〔x〕的图象，∴f〔x〕=sin〔x﹣〕由得∴〔2〕由f〔A〕=可得，sin〔A﹣=∵0＜A＜π，且0＜sin〔A﹣=。

高三数学试题-高三数学课时复习基础过关训练题58 最新

第五章数列第4课时数列的求和1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________．答案：6解析：由a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，得d ＝2，∴ S n ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴ n ＝6时，S n 最小．2. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________．答案：13解析：由S 5＝25且a 2＝3，得a 1＝1，d ＝2，故a 7＝a 1＋6d ＝13.3. 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ ________．答案：n （n ＋1）2＋1 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1，a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1，将以上各式相加得a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1＝（n －1）[（n －1）＋1]2＋n ＋1＝（n －1）n 2＋n ＋1＝n （n ＋1）2＋1. 4. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 5＝________．答案：21解析：S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)可得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，即数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 5＝1＋2＋4＋6＋8＝21.5. 已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________．答案：5000解析：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000.6. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13.若1<S k <9(k ∈N *)，则k ＝________．答案：4解析：S n ＝23(S n －S n －1)－13(n ≥2)，∴ S n ＋13＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －1＋13， ∴ S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23·(－2)n －1－13. ∵ 1＜S k ＜9，k ∈N *，∴ k ＝4.8. 各项都为正数的数列{a n }，其前n 项的和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n＋a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项的和为T n ，则T n ＝________．答案：4n 2＋6n 2n ＋1解析：因S n －S n －1＝S 1，叠加可得S n ＝n S 1，即S n ＝n 2a 1，所以a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1，b n ＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝2＋22n －1－22n ＋1，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋21－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋23－25＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22n －1－22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 9. 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2，所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12.(2) 设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3，所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n )． 10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N )在函数f(x)＝－x 2＋7x 的图象上．(1) 求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2) 令b n ＝2a n ，其中n ∈N ，求{nb n }的前n 项和．解：(1) 因为点P n (n ，S n )(n ∈N )均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n ＝－n 2＋7n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N )．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，∴ 当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12，综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N )，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12.(2) 由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4，所以b n ＋1b n＝12，即数列{b n }是首项为8、公比为12的等比数列，即b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n ，故{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4 ①，12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3 ②，所以①－②得12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3，∴T n ＝16·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n·24－n ＝32－(2＋n)24－n . 11. 已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，又在数列{a n }(a n >0)中a 1＝3，此数列的前n 项的和S n (n ∈N *)对所有大于1的正整数n 都有S n ＝f(S n －1)．(1) 求数列{a n }的第n ＋1项；(2) 若b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n . 解：(1) ∵ x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，∴ f （x ）2×2＝x ＋3，∴ f(x)＝(x ＋3)2，∴ S n ＝f(S n －1)＝(S n －1＋3)2，∴ S n ＝S n －1＋3，即S n －S n －1＝3，∴ {S n }是以3为公差的等差数列．∵ a 1＝3，∴ S 1＝a 1＝3，∴ S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n ，∴ S n ＝3n 2(n ∈N ＋)．∴ a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3.(2) ∵ 数列b n 是1a n ＋1，1a n 的等比中项，∴ (b n )2＝1a n ＋1·1a n，∴ b n ＝1a n ＋1a n ＝13（2n ＋1）×3（2n －1）＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴ T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝118[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.。

高考数学一轮复习课时过关检测四基本不等式含解析

课时过关检测(四) 基本不等式A 级——基础达标1．(2022·扬州市高三联考)设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值为( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1解析：C ∵x >0，∴y ＝3－3x －1x≤3－23x ·1x ＝3－23，当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立．故选C ．2．已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A ．14 B ．12 C ．22D ．1解析：A 根据题意，圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径r ＝1，若直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则有|－1|a 2＋4b2＝1，变形可得a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，变形可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b 时等号成立，故ab 的最大值是14，故选A ．3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：C 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，若不等式2x ＋1y≥m 2＋7m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．－8≤m ≤1B ．m ≤－8或m ≥1C ．－1≤m ≤8D ．m ≤－1或m ≥8解析：A ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1，∴2x ＋1y＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy＋4≥4＋24＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当4y x ＝x y ，即x ＝2y ＝12时取等号，∵不等式2x ＋1y ≥m 2＋7m 恒成立，∴m 2＋7m ≤8，解得－8≤m ≤1．故选A ．5．已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 25＋y 22＝1有相同的焦点，则4m ＋1n的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B 由题意双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 25＋y 22＝1有相同的焦点，∴m ＋n ＝5－2＝3，∴4m ＋1n ＝13(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥13·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24n m·m n ＝3，当且仅当4n m＝m n ，即m ＝2n 时等号成立，故4m ＋1n的最小值为3，故选B ． 6．(多选)下列不等式一定成立的有( ) A ．x ＋1x≥2B ．2x (1－x )≤14C ．x 2＋3x 2＋1≥23－1 D ．x ＋1x≥2解析：CD 对于A ，当x <0时，x ＋1x<0，故A 错误；对于B,2x (1－x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，故B 错误；对于C ，x 2＋3x 2＋1＝x 2＋1＋3x 2＋1－1≥2 x 2＋1·3x 2＋1－1＝23－1，当且仅当x 2＝3－1时取等号，故C 正确；对于D ，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，故D 正确，故选C 、D ．7．(多选)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝2，则下列说法中正确的是( ) A ．xy 的最大值为12B ．4x 2＋y 2的最大值为2 C ．4x＋2y的最小值为4D ．2x ＋xy的最小值为4解析：ACD 由2＝2x ＋y ≥22x ×y ⇒xy ≤12，当2x ＝y 时等号成立，所以A 正确；4x 2＋y 2＝(2x ＋y )2－4xy ＝4－4xy ≥2，所以4x 2＋y 2的最小值为2，故B 不正确；由2＝2x ＋y ，得4x＋2y＝4x＋22－2x＝4x＋44x ≥4，当x ＝12时等号成立，故C 正确；由2＝2x ＋y ，得2x ＋x y ＝2x ＋y x ＋x y ＝2＋y x ＋xy≥4，当x ＝y 时等号成立，故D 正确．故选A 、C 、D ．8．若log 2m ＋log 2n ＝1，那么m ＋n 的最小值是________．解析：∵log 2m ＋log 2n ＝1，即log 2(mn )＝1，∴mn ＝2，由基本不等式可得m ＋n ≥2mn ＝22，当且仅当m ＝n 时，等号成立，故m ＋n 的最小值是22．答案：2 29．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3．设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173．∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞10．(2022·临汾二模)已知a ，b 为正实数，且满足a ＋b ＝1．证明： (1)a 2＋b 2≥12；(2)1a ＋2b≥1＋2．证明：(1)因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2＋a 2＋b 2)≥12(a 2＋b 2＋2ab )＝12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 取等号)．(2)1a＋2b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋2a b ＋b a≥3＋22a b ×ba＝3＋22＝(1＋2)2⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b＝b a，即a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，所以1a ＋2b≥1＋2．B 级——综合应用11．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：B 因为函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋n m ＋4m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫4＋2n m ·4m n ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝2，n m ＝4m n，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝1取等号，所以1m ＋2n的最小值为4，故选B ．12．(2022·重庆一模)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝pp －a p －b p －c 求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝3，b ＋c ＝5，则此三角形面积的最大值为( )A ．32 B ．3 C ．7D ．11解析：B 由题意p ＝12×(3＋5)＝4，S ＝44－a4－b4－c＝44－b4－c ＝24－b 4－c ≤8－(b ＋c )＝3，当且仅当4－b ＝4－c ，即b＝c ＝52时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3．故选B ．13．写出一个关于a 与b 的等式，使1a 2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为__________．解析：该等式可为a 2＋b 2＝1，下面证明该等式符合条件．1a 2＋9b2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋9b 2(a 2＋b 2)＝1＋9＋9a 2b 2＋b2a2≥10＋29a2b 2·b 2a 2＝16，当且仅当b 2＝3a 2时取等号，所以1a 2＋9b2是一个变量，且它的最小值为16．答案：a 2＋b 2＝1(答案不唯一)14．(2022·湘东联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，求2a ＋1b的最小值．解：因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4．因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，可得2a ＋b ＝3．所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22b a·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)．C 级——迁移创新15．(多选)(2022·临沂高三模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥13B ．ab ＋bc ＋ac ≥13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫c －13≤0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8 解析：AD a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1．A 项，1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤a 2＋b 2＋c 2＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2≥13，当且仅当a ＝b ＝c＝13时取等号，故正确；B 项，a 2＋b 2≥2ab ，c 2＋b 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，由1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3ab ＋3bc ＋3ac ，即ab ＋bc ＋ac ≤13，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，故错误；C 项，当a ＝12，b ＝14，c ＝14时，⎝⎛⎭⎪⎫a －13⎝⎛⎭⎪⎫b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫c －13>0，故错误；D 项，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥2b a ·c a ·2 a b ·c b ·2 a c ·b c ＝8．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，故正确．故选A 、D ．16．甲、乙两地相距1 000 km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h ，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14，固定成本为a 元． (1)将全程运输成本y (单位：元)表示为速度v (单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？解：(1)由题意，得可变成本为14v 2元，固定成本为a 元，所用时间为1 000v ，所以y ＝1 000v ⎝ ⎛⎭⎪⎫14v 2＋a ＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫14v ＋a v ，定义域为(0,80]． (2)y ＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫14v ＋a v ≥1 000×2a4＝1 000a (元)，当14v ＝av时，得v ＝2a ，因为0<v ≤80，所以当0<a ≤1 600时，货车以v ＝2a km/h 的速度行驶，全程运输成本最小；当a ≥1 600时，货车以80 km/h 的速度行驶，全程运输成本最小．。

高三数学基础训练试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴是（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 03. 若log2(3x - 1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，单调递增的函数是（）A. y = 2x - 1B. y = -x^2 + 1C. y = x^3D. y = 1/x5. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/46. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列方程中，无解的是（）A. x + 2 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 4 = 0D. x^2 - 1 = 08. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=15，则公差d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S4=15，则公比q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为______。

12. 在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，则第10项an的值为______。

13. 已知复数z = 3 - 4i，则|z|^2的值为______。

14. 在三角形ABC中，若∠A=60°，a=5，b=8，则c的值为______。

15. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S5=31，则公比q的值为______。

高三数学课时复习基础过关训练题11

第二章函数与导数第6课时二次函数 1. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________．答案：[－6，12]解析：y ＝2(x －2)2－6.x ＝2时，y 最小为－6；x ＝－1时，y 最大为12.2. 设f(x)＝ x 2＋ax ＋3，不等式f(x)≥a 对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案：－6≤a ≤2解析：依题意，x 2＋ax ＋3－a ≥0对x ∈R 恒成立，故函数的图象恒在x 轴的上方或与x 轴最多只有一个公共点，从而Δ＝a 2－4(3－a)≤0.3. 二次函数f(x)＝2x 2＋5，若实数p ≠q ，使f(p)＝f(q)，则f(p ＋q)＝________．答案：5解析：由f(p)＝f(q)，知二次函数图象的对称轴为x ＝p ＋q 2，则f(p＋q)＝f(0)＝5.4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，满足题意；若a ≠0，则a ＞0且－1－3a 2a ≤1.5. 函数y ＝(sinx －a)2＋1，当sinx ＝a 时有最小值，当sinx ＝1时有最大值，则实数a 的取值范围是________．答案：[－1，0]解析：当sinx ＝a 时有最小值，则－1≤a ≤1；当sinx ＝1时有最大值，说明1比－1更远离a ，所以a ≤0，所以－1≤a ≤0.6. 若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．答案：－2x 2＋4解析：f(x)＝bx 2＋(ab ＋2a)x ＋2a 2.∵ f(x)是偶函数，∴ ab ＋2a ＝0，∴ a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f(x)＝bx 2不符．当b ＝－2时，f(x)＝－2x 2＋2a 2.∵ 值域为(－∞，4]，∴ 2a 2＝4.∴ f(x)＝－2x 2＋4.7. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A 、B 两点，若AC ⊥BC ，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由条件，a(t －x 1)(t －x 2)＝2，又AC ⊥BC ，利用斜率关系得，2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－12. 8. 设函数f(x)＝x|x|＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①当c ＝0时，y ＝f(x)是奇函数；②当b ＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③y ＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．上述命题中正确的是________．(填序号)答案：①②③解析：①由c ＝0，得f(x)＝x|x|＋bx 为奇函数；②当b ＝0，c ＞0时，f(x)＝x|x|＋c ，此时方程f(x)＝0有唯一一个实数根－c ；③在函数y ＝f(x)的图象上任取一点(x ，y)，其关于点(0，c)的对称点为(－x ，2c －y)，可判断该点仍在y ＝f(x)的图象上；④当c ＝0，b ＜0时，方程f(x)＝0有三个实数根．故①②③正确，④错误．9. 设a 为实数，函数f(x)＝x|x －a|，其中x ∈R .(1) 判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2) 写出函数f(x)的单调区间．解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝x|x|, 因为定义域为R ，它关于原点对称，且f(－x)＝－x|－x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．当a ≠0时，因f(a)＝0，f(－a)＝－a|2a|，所以f(－a)≠f(a)，f(－a)≠ －f(a)，所以f(x)是非奇非偶函数．(2) 当a ＝0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x<0，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x<a ，f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2和(a ，＋∞)，f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a .当a ＜0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x<a ，f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞，f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2. 10. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，且f(x)在闭区间[－2，2]上恒为非负数，求实数a 的取值范围．解：f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24.由题意，f(x)≥0在x ∈[－2，2]上恒成立，即[f(x)]min ≥0.当－a 2<－2，即a>4时，[f(x)]min ＝f(－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a>4矛盾，此时a 不存在．当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，[f(x)]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，由3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2.当－a 2>2，即a<－4时，[f(x)]min ＝f(2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7，此时－7≤a<－4.综上所述，实数a 的取值范围是[－7，2]．11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，c>0)的图象与x 轴有两个不同的公共点，且有f(c)＝0，当0<x<c 时，恒有f(x)＞0.(1) 当a ＝1，c ＝12时，解不等式f(x)<0；(2) 若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围；(3) 若f(0)＝1，且f(x)≤m 2－2km ＋1对所有x ∈[0，c]，k ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 当a ＝1，c ＝12时，f(x)＝x 2＋bx ＋12.f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，设另一个根为x 2，则12x 2＝12，所以x 2＝1，于是f(x)<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2) f(x)的图象与x 轴有两个交点，因f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2＝c a ，故x 2＝1a .所以三交点的坐标分别为(c ，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0，(0，c)．又当0<x<c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ，于是，以这三交点为顶点的三角形的面积为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －c c ＝8，故a ＝c 16＋c 2≤c 216c ＝18，于是a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18. (3) 由题意，当0<x<c 时，恒有f(x)>0，所以f(x)在[0，c]上是单调递减的，且在x ＝0处取到最大值1.要使f(x)≤m 2－2km ＋1对所有x ∈[0，c]，k ∈[－1，1]恒成立，必须f(x)max ＝1≤m 2－2km ＋1成立，即m 2－2km ≥0.令g(k)＝－2km ＋m 2，对所有k ∈[－1，1]，g(k)≥0恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧g （1）≥0，g （－1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≥0，m 2＋2m ≥0，解得实数m 的取值范围为m ≤－2或m ＝0或m ≥2.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

高三数学课时复习基础过关训练题35

第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理 1. 一个同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆，●表示实心圆)：○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2014个圆中实心圆的个数为________．答案：61解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2014个圆中实心圆的个数，因此，找到第2014个圆所在的段数很重要，由2＋3＋…＋62＝2＋622×61＝1952<2014，而2＋3＋…＋63＝2＋632×62＝2015>2014，因此，共有61个实心圆．2. 已知f 1(x)＝sinx ＋cosx ，f n ＋1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)＝f′1(x)，f 3(x)＝f′2(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N *，则f 2 014(x)＝________．答案：cosx －sinx解析：f 2(x)＝f′1(x)＝cosx －sinx ；f 3(x)＝f′2(x)＝－sinx －cosx ；f 4(x)＝f′3(x)＝－cosx ＋sinx ；f 5(x)＝f′4(x)＝sinx ＋cosx ，则其周期为4，即f n (x)＝f n ＋4(x)．f 2014(x)＝f 2(x)＝cosx －sinx.3. 下列推理正确的是________．(填序号)① 把a(b ＋c)与log a (x ＋y)类比，则有log a (x ＋y)＝log a x ＋log a y ； ② 把a(b ＋c)与sin(x ＋y)类比，则有sin(x ＋y)＝sinx ＋siny ； ③ 把(ab)n 与(x ＋y)n 类比，则有(x ＋y)n ＝x n ＋y n ；④ 把(a ＋b)＋c 与(xy)z 类比，则有(xy)z ＝x(yz)．答案：④解析：逐个验算可知只有④正确.4. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d 2.类似地，若各项都为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项积为T n ，则数列{n T n }为等比数列，公比为________. 答案：q解析：由S n n ＝a 1＋(n －1)×d 2，类似地，n T n ＝a 1q （n －1）（1＋n －1）2n ＝a 1(q)n －1即可得到数列{n T n }为等比数列，公比为q.5. 已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sinA ＋sinC sinB ＝1e .试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是________．答案：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sinA －sinC|sinB＝1e 解析：由正弦定理和椭圆定义sinA ＋sinC sinB ＝|AB|＋|BC||AC|＝2a 2c ，类比双曲线应有||AB|－|BC|||AC|＝|sinA －sinC|sinB＝1e . 6. 已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m ≠n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n ＋m；现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，b m ＝a ，b n ＝b(m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝________．答案：n －m b na m解析：等差数列中b n 和a m 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中bn －am 可以类比等比数列中的b n a m ，等差数列中bn －am n －m可以类比等比数列中的n －m b n a m .7. 设函数f(x)＝x x ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 7x ＋8， f 4(x)＝f(f 3(x))＝x 15x ＋16，… 根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________．答案：x （2n －1）x ＋2n 解析：观察知四个等式等号右边的分母为x ＋2，3x ＋4，7x ＋8，15x ＋16，即(2－1)x ＋2，(4－1)x ＋4，(8－1)x ＋8，(16－1)x ＋16，所以归纳出f n (x)＝f(f n －1(x))的分母为(2n －1)x ＋2n ，故当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝x （2n －1）x ＋2n . 8. 观察：① sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；② sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明如下：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．9. 在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为a 、b ，直角顶点C 到斜边的距离为h ，则易证1h 2＝1a 2＋1b 2.在四面体S －ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，点S 到平面ABC 的距离为h ，类比上述结论，写出h 与a 、b 、c 之间的等式关系并证明．解：类比得到：1h 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2. 证明：过S 作△ABC 所在平面的垂线，垂足为O ，连结CO 并延长交AB 于D ，连结SD ，∵SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥AB.∵SC ⊥SA ，SC ⊥SB ，∴SC ⊥平面ABC ，∴SC ⊥AB ，SC ⊥SD ，∴AB ⊥平面SCD ，∴ AB ⊥SD.在Rt △ABS 中，有1SD 2＝1a 2＋1b 2，在Rt △CDS 中，有1h 2＝1SD 2＋1c 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2.10. 老师布置了一道作业题“已知圆C 的方程是x 2＋y 2＝r 2，求证：经过圆C 上一点M(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆C 的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则经过圆C 上一点M(x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.你认为小明的猜想正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．解：小明的猜想正确．(证法1)若x 0≠a ，y 0≠b ，则因圆C 的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，M(x 0，y 0)是圆C 上一点，所以直线MC 的斜率为k 1＝y 0－b x 0－a，设过M(x 0，y 0)的切线斜率为k ，因直线MC 与切线l 垂直，所以k ＝－1k 1＝－x 0－a y 0－b ，所以过M(x 0，y 0)的切线l 方程为y －y 0＝－x 0－ay 0－b (x －x 0)，整理得(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝(x 0－a)2＋(y 0－b)2.又点M(x 0，y 0)在圆C 上，所以有(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，故此时过M(x 0，y 0)的圆C 的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.若x 0＝a 或y 0＝b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出：|y 0－b|＝r 或|x 0－a|＝r ，此时切线方程分别为y ＝y 0或x ＝x 0，适合(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.综上所述，过M(x 0，y 0)的圆C 的切线方程为(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2.(证法2)设P(x ，y)为切线上任一点，则PM →＝(x 0－x ，y 0－y)，CM →＝(x 0－a ，y 0－b)．又PM →⊥CM →，∴ PM →·CM →＝0，即(x 0－x)(x 0－a)＋(y 0－y)(y 0－b)＝0.又(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，化简得(x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2为所求切线．11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1) 求出f(5)的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3) 求1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1的值．解：(1) f(5)＝41.(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，由上式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.因为f(n ＋1)－f(n)＝4n f(n ＋1)＝f(n)＋4n f(n)＝f(n －1)＋4(n －1)＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3) 当n ≥2时，1f （n ）－1＝12n （n －1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ，所以1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ) ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

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第九章平面解析几何第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2) 1. 以椭圆x 24＋y23＝1的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为____________．答案：x 2－y23＝1解析：椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)，则双曲线中a ＝1，c ＝2，b ＝c 2－a 2＝3，所以所求双曲线方程为x 2－y23＝1.2. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____________．答案：x 24－y 212＝1解析：由题意知，双曲线的一个焦点为(4，0)，即a 2＋b 2＝16.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以有b a ＝3，即b ＝3a ，可解得a 2＝4，b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.3. 顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是____________．答案：y 2＝－6x解析：由题可得，双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝32，则所求抛物线是顶点在原点、开口向左的抛物线且p 2＝32，即p ＝3，所以所求抛物线方程为y 2＝－6x.4. 双曲线x 2－y23＝1的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝________．答案：2解析：渐近线的方程为3x ±y ＝0，圆心(0，4)到渐近线的距离等于r ，则r ＝|4|3＋1＝2.5. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是____________．答案：x 24＋y 23＝1解析：圆C ：(x －1)2＋y 2＝16，∴2a ＝4，即a ＝2.∵e ＝c a ＝12.∴c＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.6. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________．答案：[2，22]解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]．7. 直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．答案： 2解析：由⎩⎨⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴ x ＝±63，∴ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63，∴ AB ＝433.设点C(2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·|sin(θ－φ)|≤32，∴ S △ABC ＝12AB ·d ≤12×433×32＝ 2. 8. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________个．答案：2解析：由题意得4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．9. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1) 求椭圆的方程；(2) 直线y ＝33x ＋1与椭圆交于P 、N 两点，求|PN|.解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，右焦点F 为(c ，0)，则|c ＋22|2＝3，解得c ＝ 2.又b ＝1，∴a ＝ 3.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2) 设直线与椭圆的交点为P(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝33x ＋1，x 23＋y 2＝1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2＝0.∴直线与椭圆的交点为P(0，1)、N(－3，0)，∴|PN|＝（3）2＋12＝2.10. 已知圆C 的圆心为C(m ，0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A(3，1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1) 求圆C 的标准方程；(2) 若点P 的坐标为(4，4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D 、B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1) 由已知可设圆C 的方程为(x －m)2＋y 2＝5(m ＜3)，将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m)2＋1＝5，即(3－m)2＝4，解得m ＝1，或m ＝5.∴ m ＜3，∴ m ＝1. ∴ 圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2) 直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5. ∴ 4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4， ∴ c ＝4，F 1(－4，0)，F 2(4，0)． ∴ 由椭圆的定义得：2a ＝AF 1＋AF 2＝（3＋4）2＋12＋（3－4）2＋12＝52＋2＝6 2.∴ a ＝32，即a 2＝18，∴ e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝241013.11. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程； (3) 设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP 、NP分别与x 轴交于点R 、S ，O 为坐标原点，求证：OR·OS 为定值．(1) 解：依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴ c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 解：易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x 1，y 1)，N(x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0.由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.(*)由已知T(－2，0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)， ∴ TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15. 由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35.又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3) 证明：设P(x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得x R ·x S ＝4（1－y 21）（y 20－4）（1－y 20）y 21y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以OR·OS ＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。