【最新】人教版八年级数学上册三角形全等的判定(SAS)学案

新人教版八年级数学上册三角形全等的判定（SAS ）学案一、学习目标 理解全等三角形的判定方法SAS ；能运用SAS 判定两个三角形全等；经理探索SAS 判定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.二、知识回顾 1．什么是全等三角形？全等三角形的性质有哪些？能够完全重合的三角形叫做全等三角形．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形对应边上的中线、高相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长面积也相等．2．上一课学习的三角形全等的判定方法是什么？三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．三、新知讲解 1．边角边定理三角形全等判定方法2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．（简称SAS ）符号语言：在△ABC 与△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．图示：2．探索边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形不一定全等．四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．利用SAS 直接证明三角形全等【例1】如图所示，△ABC ，△DEF 均为锐角三角形，AB=DE ，AC=DF ，∠A=∠D ．求证：△ABC ≌△DEF ．总结：运用“边角边”判定两个三角形全等时， （1）同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边”的顺序书写； （2）注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等； （3）条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次是“边—角—边”，另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边”，如果是其他“边—边—角”或“角—边—边”，则两个三角形不一定全等； （4）在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，如果把夹角改为其中一条边的对角，则不一定全等． 练1．（2013秋•天元区期末）如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AB=DE ，BC=EF ，根据（SAS ）判定△ABC ≌△DEF ，还需的条件是（ ） A ．∠A=∠D B ．∠B=∠E C ．∠C=∠F D ．以上三个均可以 练2．如下图所示，已知∠1＝∠2，AO ＝BO ，求证：△AOC ≌△BOC ． 2．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例2】（2015春•启东市校级月考）如图，AE=CF ，AD ∥BC ，AD=CB ．求证：△ADF ≌△CBE ．总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，（1）先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；如果已知两边，则要找第三边或夹角；如果已知一角和该角的一边，则需要找夹角的另一条边；（2）在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比如公共边、对顶角等，从而为解题所用；（3）有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到．练3．（2014•房山区二模）如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证：△ABC ≌△ADE ． 练4．（2014•永春县质检）已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE=CD ，∠ACD=∠BCE ． 求证：△AEC ≌△BDC ．3．先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例3】（1）（2014•十堰）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．（2）（2015春•鼓楼区校级月考）如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE．总结：综合利用三角形全等的判定与性质解题步骤如下：（1）由问题中的条件，依据三角形全等的判定方法证明两个三角形全等；（2）由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等．练5．（2013秋•涞水县期末）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D 的度数为（）A．50° B.30° C．80° D．100°练6．（2014春•锦州校级期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，若∠=∠，则△ABC≌△DEF，所以BC= ，因此BE= ．五、课后小测一、选择题1．（2014秋•利通区校级期末）如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（）A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC2．（2013秋•岑溪市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由（）可得△AFC≌△AEB．A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA3．（2013秋•枣庄期末）如图点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=EC，AE=10，AC=7，则CD的长为（）A．3 B．4.5 C．4 D．5.54．（2014秋•盈江县校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点在BC上，且有AD=AE，BD=CE．若∠BAD=30°，∠DAE=50°，则∠BAC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°5．（2014秋•湛江校级期中）如图，若AB与CD互相平分于O，则下列结论中错误的是（）A．∠C=∠D B．AD=BC C．AD∥BC D．AB=CD二、填空题6．（2013秋•东莞市校级期末）如图，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=26°，则∠BOC= ．7．（2014秋•秀洲区校级期中）如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有△ADF≌，且DF= ．三、解答题8．（2014•房县三模）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．求证：△ACD≌△BCE．9．（2014•厦门校级一模）如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB=CD，EC=DF，EC∥DF．求证：△ACE≌BDF．10．（2014•梧州）如图，已知AB∥CD，AB=CD，BF=CE，求证：AE=DF．11．（2014•昆明）已知：如图，点A、B、C在同一直线上，AB=CD，AE∥CF，且AE=CF．求证：∠E=∠F．典例探究答案：【例1】【解析】直接根据SAS 可证明△ABC ≌△DEF ．证明：在△ABC 和△DEF 中，AB DEA D AC DF ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．练1．【解析】根据三角形全等的判定中的SAS ，即两边夹角．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，要由位置选择方法．解：要使两三角形全等，且SAS 已知AB=DE ，BC=EF ，还差夹角，即∠B=∠E ；A 、C 都不满足要求，D 也就不能选取．故选B ．练2．【解析】两个三角形包含一个公共边，结合已知条件，根据SAS 可证明△AOC ≌△BOC ． 证明：在△AOC 和△BOC 中，12AO BOCO CO ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩，∴△AOC ≌△BOC （SAS ）．【例2】【解析】根据平行线的性质及全等三角形的判定定理“SAS ”证得结论．证明：∵AE=CF ，∴AE ﹣EF=CF ﹣EF ，即AF=CE ．又∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ．∵在△ADF 与△CBE 中，AD CBA C AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△CBE （SAS ）．练3．【解析】已知∠1=∠2，∠BAE 是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC ，已知AB=AD ，AC=AE ，从而可以利用SAS 来判定△ABC ≌△ADE ．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE ，即∠DAE=∠BAC ．在△ABC 和△ADE 中，AB AD DAE BAC AC AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，，∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．练4．【解析】根据∠ACD=∠BCE ，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠BCD ．根据边角边公理可得出△AEC ≌△BDC ．证明：在△AEC 和△BDC 中，∵点C 是线段AB 的中点，∴AC=BC ，∵∠ACD=∠BCE ，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠BCD ，在△AEC 和△BDC 中，AC BCACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDC （SAS ）．点评：本题考查了全等三角形的判定SAS ．【例3】（1）【解析】首先根据条件AB=AC ，AD=AE ，再加上公共角∠A=∠A 可利用“SAS ”定理证明△ABE ≌△ACD ，进而得到∠B=∠C ．证明：在△ABE 和△ACD 中，AB ACA A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）．∴∠B=∠C ．（2）【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE ，根据SAS 证明△ABF ≌△CDE ，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A=∠C ，∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ，在△ABF 和△CDE 中，AB CDA C AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CDE （SAS ），∴BF=DE ．练5．【解析】利用SAS 可证明△AOD ≌△COB ，则∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=∠COB ，∴△AOD ≌△COB （SAS ），∴∠D=∠B=30°．故选B ．练6．【解析】根据三角形全等的判定方法SAS ，若∠A=∠D 时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果．解：若∠A=∠D 时，△ABC ≌△DEF ；∵在△ABC 和△DEF 中，AB DEA D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴BC=EF ，∴BE=CF ；故答案为：∠A=∠D ，EF ，CF ．课后小测答案：一、选择题1．【解析】A 、AB=DC ，不能根据SAS 证两三角形全等，故本选项错误；B 、∵在△AOB 和△DOC 中，OAOD AOB COD OB OC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△AOB ≌△DOC （SAS ），故本选项正确；C 、两三角形相等的条件只有OA=OD 和∠AOB=∠DOC ，不能证两三角形全等，故本选项错误；D 、根据∠AOB=∠DOC 和OA=OD ，不能证两三角形全等，故本选项错误；故选B ．2．【解析】∵BE 、CF 是中线，∴AE=12AC ，AF=12AB ，∵AB=AC ，∴AF=AE ，在△AFC 和△AEB 中，AF AEAA AB AC ⎧⎪⎪⎩∠∠⎨＝＝＝ ∴△AFC ≌△AEB （SAS ），故选：B ．3．【解析】∵AB ∥EF ，∴∠A=∠E ，∵AD=EC ，∴AD+DC=EC+DC ，即AC=ED ，在△ABC 和△EFD 中AB EFA E AC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EFD （SAS ），∴AC=ED=7，∴CD=AC+ED ﹣AE=7+7﹣10=4．故选C ．4．【解析】∵△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，BD=CE ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴∠BAD=∠CAE=30°∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+50°+30°=110° 故选C ．5．【解析】∵AB 与CD 互相平分，∴OA=OB ，OD=OC又∵∠AOD=∠COB （对顶角相等），∴△AOD ≌△BOC （SAS ），∴∠C=∠D 、AD=BC ，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行），即A 、B 、C 是正确的，只有D 是错误的．故选D ．二、填空题6．【解析】在△ABF 和△ACE 中，AB ACBAF CAE AF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠C=26°，∵∠BFC=∠A+∠B=60°+26°=86°，∴∠BOC=∠BFC+∠C=86°+26°=112°．故答案为112°．7．【解析】∵AE=BF ，∴AF=BE ，∵AD ∥BC ，∴∠A=∠D ，又AD=BC ，∴△ADF ≌△BCE ，∴DF=CE ．故答案为：△BCE ，CE ．三、解答题8．【解析】∵C 是线段AB 的中点， ∴AC=BC ，∵CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ， ∴∠ACD=∠ECD ，∠BCE=∠ECD ， ∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．9．【解析】∵AB=CD ，∴AB+BC=CD+BC ，即AC=BD ． 又∵EC ∥DF ，∴∠ACE=∠BDF ．在△ACE 与△BDF 中，AC BDACE BDF EC FD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BDF （SAS ）．10．【解析】AB ∥CD ，∴∠DCF=∠ABE ，∵BF=CE ，∴BF ﹣EF=CE ﹣EF ，即CF=BE ， 在△ABE 与△DCF 中，AB CDDCF ABE CF BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCF （SAS ）， ∴AE=DF ．11．【解析】∵AE ∥CF ， ∴∠A=∠FCD ，在△ABE 和△CDF 中， AB CDA FCD AE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）， ∴∠E=∠F ．。