高三数学-泰州中学2016届高三上学期期中数学试卷
高三数学-泰州中学2016届高三上学期第一次月度质量检测数学试卷
江苏省泰州中学2016届高三第一次月度质量检测数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、设全集U R =，集合{}2x x A =≥，{}1,0,1,2,3B =-，则()U A B = ð ．2、已知幂函数的图象经过点2,2⎛ ⎝⎭，则()4f = ．3、已知log 2log 32a a +=，则实数a = ．4、函数()()2ln 23f x x =-的单调减区间为 ．5、若函数()221x x af x -=+是奇函数，那么实数a = ．6、若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 ．7、将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移38π个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得函数的解析式为 ． 8、已知α，β为三角形的内角，则“αβ>”是“sin sin αβ>”的 条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）． 9、已知函数()223f x x x =-+，[]0,x a ∈（0a >）上的最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是 ．10、关于x 的一元二次方程()2232140x m x m ++++=有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m 的取值范围是 ．11、对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >），则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ．12、设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1x ，2D x ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =的对称中心．研究函数()sin 3f x x x π=+-的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得1234028402920152015201520152015f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ．13、已知实数a 、b 、c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ． 14、设函数()()lg 1f x x =+，实数a ，b （a b <）满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，则a b +的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分14分）已知02παβπ<<<<，且()5sin 13αβ+=，1tan 22α=．()1求cos α的值；()2求sin β的值．16、（本小题满分14分）已知函数()212cos 2f x x x =--，R x ∈． ()1求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；()2设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =()C 0f =，若sin 2sin B =A ，求a ，b 的值．17、（本小题满分14分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润函数()()()1,1201,216010x x f x x x x **⎧≤≤∈N ⎪=⎨≤≤∈N ⎪⎩（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x 个月的利润率为()x g x x =第个月的利润第个月的资金总和，例如()()()()338112f g f f =++．()1求()10g ；()2求第x 个月的当月利润率；()3求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．18、（本小题满分16分）已知函数()21f x x =-，()1g x a x =-．()1若R x ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； ()2求函数()()()h x f x g x =+在区间[]2,2-上的最大值．19、（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =．()1求函数()()1g x f x x =+-的最大值；()2若0x ∀>，不等式()21f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围；()3若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x xx x x x ->-+．20、（本小题满分16分）已知函数()12416mx f x x =+，()212x mf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中R m ∈．()1若02m <≤，试判断函数()()()12f x f x f x =+（[)2,x ∈+∞）的单调性，并证明你的结论；()2设函数()()()12,2,2f x xg x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，若对任意大于等于2的实数1x ，总存在唯一的小于2的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，试确定实数m 的取值范围．江苏省泰州中学2016届高三第一次月度质量检测数学试题参考答案一、填空题1、{}1,0,1-2、12 3 4、,⎛-∞ ⎝⎭5、16、e -7、2cos 4y x =-8、充要9、[]1,2 10、21,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭11、11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12、8058- 13、33⎡-⎢⎣⎦14、1115-二、解答题18、解：。
江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题含答案
江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．） 1.已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈,则A B = _________.【答案】{}1考点：集合的交集运算．2.函数()f x = _________.【答案】(【解析】试题分析:由题设0log 216≥-x ,即21log 6≤x ,也即60≤<x ,故应填答案(.考点：对数函数的性质及运用．3.已知角α的终边经过点(),6P x --，且4cos 5α=，则x 的值为_________. 【答案】8- 【解析】试题分析: 因为362+=x r ,所以54362=+-x x ,解之得8-=x ,故应填答案8-.考点：三角函数的定义及运用．4.已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥，则m =_________. 【答案】8 【解析】试题分析: 因为)2,3(),2,4(-=-=+m ,所以由题设0)2(212=--m ,解之得8=m ,故应填答案8.考点：向量坐标形式的运算．5.已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1a ≤ 【解析】试题分析:由题设方程022=++a x x 有解,故044≥-a ,即1≤a ,故应填答案1a ≤. 考点：含一个量词的命题的否定及二次方程有解的判定．6.函数()()sin 0f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________. 【答案】,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：三角函数的图象和性质及运用．7.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的_________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ） 【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析: 因为)1()1(22112212q qa q a a a n n n n +=+=+---,故当0<q 时, n n a a 212+-未必小于0,所以“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的非充分条件；当0212<+-n n a a ,则0)1(221<+-q qa n ,即01<-<q ,故“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的必要条件.应填答案必要不充分条件. 考点：充分必要条件的判定．8.在ABC ∆中，()30AB AC CB -=，则角A 的最大值为_________. 【答案】6π 【解析】试题分析:由题设可得0cos 3cos =+C ab B ac ,即C b B c cos 3cos -=,也即C B B C cos sin 3cos sin -=,故B C tan 3tan -=,由于C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,因此0tan tan 2tan tan 32=+-A B B A ,故0tan 1242≥-A ,所以33tan 33≤≤-A ,所以6max π=A ,应填答案6π. 考点：向量的数量积公式及三角变换公式的综合运用． 9.已知函数()2ay x a R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________.【答案】0考点：导数的几何意义及求导法则的运用． 10.已知函数()sin 0,062f x A x A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+><< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则()y f x =的最大值是_________.【答案】【解析】试题分析:由题设可知1262==ππT ,则),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,所以2236,436,A RQ A PQ A PR +=+==,由余弦定理可得02222120cos 36236364+-++=+A A A A A ,解之得32=A ,故应填答案考点：三角函数的图象和性质及余弦定理的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的周期及最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息求出周期1262==ππT ,再利用周期确定点),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,然后运用余弦定理再建立方程02222120cos 36236364+-++=+A A A A A 求出32=A ,从而使得问题获解.11.设数列{}n a 首项12a =,前n 项和为n S ，且满足()123n n a S n N*++=∈，则满足234163315n n S S << 的所有n 的和为_________. 【答案】4考点：数列的通项与前n 项和的关系及等比数列的公式及综合运用．【易错点晴】等差数列等比数列的有关知识是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查数列的通项n a 与其前n 项和n S 的关系)1(1>-=-n S S a n n n 及等比数列等有关知识的灵活运用.求解时先依据题设条件321+=+n n S S ,进而得到3)3(21-=-+n n S S ,即)3(2131-=-+n n S S ,故数列}3{-n S 是公比为21的等比数列,所以1)21)(32(3--=-n n S ,即1)21(3--=n n S .所以122)21(3--=n n S ,则n n n n n nn S S 223123)21(3)21(312121122-⋅-⋅=--=----,由此逐一验证1,2,3,4,n =⋅⋅,确定n 的值,从而使得问题巧妙获解.12.已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭2考点：函数的图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以方程的解的个数为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件信息,将问题等价转化为两个函数x y -=2与|)(|x f y =的图象有两个交点的问题.解答时先画出函数|)(|x f y =的图象,再数形结合求出函数|)(|x f y =中参数a 取值范围是3231≤≤a 或43=a ,从而获得答案. 13.在平面内，定点,,,A B C D满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-，动点,P M 满足2,AP PM MC ==，则BM 的最大值是__________. 【答案】1考点：向量的几何运算与坐标形式的运算等知识的综合运用．【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查平面向量的几何形式的运算和向量的数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量的加法的几何形式运算,确定向量的模及夹角分别为0120,22,并充分利用这一隐含信息建立平面直角坐标系.从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解.14.定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，x x x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________. 【答案】605考点：函数的零点、函数的图象、函数的周期性等知识的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以函数解析式所满足的条件为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件16)5()(=++x f x f ,探求出其周期10=T ,由于函数)(x f y =在)4,1(-有三个零点.因此在一个周期内有3个零点,将问题等价转化为计算区间]2016,0[上零点的个数问题.最后求出零点为605个,从而获得答案.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==.（1）若,3m n c a =,求角A ； （2）若43sin ,cos 5m n b B A ==, 求cos C 的值. 【答案】(1)6π；(2)15283-.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的垂直及正弦定理等有关知识求解；(2)借助题设运用向量的数量积公式、正弦定理、三角变换等有关知识求解. 试题解析： （1）,cos cos m n a A c C ∴=.由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =,化简，得()sin 2sin 2.,0,,2222A C A C A C A C ππ=∈∴=+=或.从而A C =（舍）或,22A CB ππ+=∴=.在Rt ABC ∆中，tan 36a A A c π===. （2）3cos ,cos cos 3sin m n b B a C c A b B =∴+=,由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=,从而()()2sin 3sin ,,sin sin A C B A B C A C B π+=++=∴+=.从而()143sin ,cos 0,0,,0,,sin .sin sin ,3525B A A A A A B a b ππ⎛⎫==>∈∴∈=>∴> ⎪⎝⎭,从而,A B B >为锐角,()cos cos cos cos cos sin sin B C A B A B A B =∴=-+=-+4313535315-=-⨯+⨯=. 考点：正弦定理、三角变换、向量的数量积公式等有关知识的综合运用.16.（本小题满分14分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 满足:1122,1b a b a ==-, 若数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1)12-=n a n ；(2)nn n S 2)32(3-+=.（2）()11121,2,2,212n n n n n n b b b c a b n --==∴=∴==-,()()011121232...212,21232...212n n n n S n S n -=+++-=+++-.两式相减可得: ()0121122222...22212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---，()()()()11141212121242122321212n n n n n n n S n n n -++-∴-=+--=+---=----，()()1321223232n n n n S n n +∴=+--=+-考点：等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用.17.（本小题满分14分）已知函数()221f x x x kx =-++,且定义域为()0,2.（1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个的解12,x x ，求k 的取值范围. 【答案】(2)712k -<<-. （2）当01x <≤时,1kx =-, ① 当12x <<时，2210x kx +-=, ② 若0k =则①无解，②的解为()1,22x =±，故0k =不合题意.若0k ≠，则①的解为1x k =-.(i)当(]10,1k-∈时，1k ≤-时，方程②中280k ∆=+>，故方程②中一根在()1,2内，一根不在()1,2内.设()221g x x kx =+-，而12102x x =-<，则()()110,7202k g k g <-⎧<⎧⎪⎪⎨⎨>->⎪⎪⎩⎩，又1k ≤-，故712k -<<-.(ii) 当(]10,1k -∉时，即10k -<<或0k >时，方程②在()1,2须有两个不同解，而12102x x =-<，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故712k -<<-.考点：函数的零点及函数方程等有关知识的综合运用.18.（本小题满分16分）如图，太湖一个角形湖湾,2AOB AOB θ∠=（ 常数θ为锐角）. 拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.【答案】(1)211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭；(2)224tan l S θ=；(3)应选择方案一. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用弧长公式建立函数关系；(2)借助题设运用余弦定理与基本不等式求解；(3)依据题设运用导数的有关知识进行分析探求. 试题解析：（1）设OP r =，则2l r θ=，即12r θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.（2）设,OC a OD b ==.由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-,所以22cos 2l ab θ≥,所以()221cos 2l ab θ≤-,当且仅当a b =时，“=”成立.所以()221sin 2sin 2241cos 24tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=- ,即224tan l S θ=.答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.考点：余弦定理、导数、基本不等式、三角函数等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的湖边养殖区的面积问题为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答第一问时,运用弧长公式直接建立函数关系使得问题获解；第二问的求解过程中则借助余弦定理和基本不等式进行求解；第三问则构造函数,然后再运用导数的知识研究出函数的单调性,从而使得问题最终获解.19.（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列. 记n n n c b a =-.（1）求证: 数列{}1n n c c d +-+为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为9,17,30,53. ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合{}()12,,...,,4,k A n n n k k N*=≥∈，使得数列12,,...,k n n n c c c 等差数列？证明你的结论.【答案】(1)证明见解析；(2)①131,52n n n a n b -=--=；②不存在满足题意的集合A .【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的定义推证；(2)借助题设运用等差数列及分析推证法探求. 试题解析： （1）证明: 依题意，()()()()()1111110n n n n n n n n n n n c c d b a b a d b b a a d b q ++++-+=---+=---+=-≠,从而()()121111n n n n n n b q c c d q c c d b q ++++--+==-+-, 又()21110c c d b q -+=-≠,所以{}1n n c c d +-+是首项为()11b q -，公比为q 的等比数列 .（2）① 由（1）得，等比数列{}1n n c c d +-+的前3项为8,13,23d d d +++, 则()()()213823d d d +=++,解得3d =-, 从而2q =, 且()111192317b a b a -=⎧⎪⎨--=⎪⎩, 解得114,5a b =-=,所以131,52n n n a n b -=--=.②假设存在满足题意的集合A ,不妨设(),,,l m p r A l m p r ∈<<<, 且,,,l m p r c c c c 等差数列, 则2m p l c c c =+, 因为0l c >, 所以2m p l c c c =+ ① 若1p m >+, 则2p m ≥+,结合①得, ()15231n n c n -=++, 则()()()11125231523152321m p m m p m --+⎡⎤++>++>+++⎣⎦, 化简得, 32105m m -<-<, ② 因为2,m m N *≥∈, 不难知3205m m->,这与②矛盾，所以只能1p m =+,同理2r p l m =+=+, 所以,,m p r c c c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+,即()()()11222m m m m m m b a b a b a ++++-=-+-,又122m m m a a a ++=+.故122m m m b b b ++=+,又212m m m b b b ++=，故1q =， 这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A .考点：等差数列等比数列及推理论证的能力等有关知识的综合运用. 20.（本小题满分16分）已知函数()22ln f x ax x =+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(]0,1上的最大值是2-，求a 的值；（3）记()()()1ln 1g x f x a x =+-+,当2a ≤-时，若对任意()12,0,x x ∈+∞，总有()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值.【答案】(1)增区间x ⎛∈ ⎝；减区间⎫+∞⎪⎪⎭；(2)a e =-；(3)4. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助题设运用分类整合思想探求；(3)借助题设构造函数,运用导数的有关知识分析探求.（2）①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是增函数; 故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,显然不合题意.②若01a <⎧≥, 即10a -≤<时, (]0,1⎛⊆ ⎝,则()f x 在(]0,1上是增函数，故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,不合题意，舍去.③若01a <⎧<, 即1a <-时，()f x在⎛ ⎝上是增函数 ，在⎫⎪⎪⎭上是减函数，故在(]0,1上的最大值是12f =-+=-, 解得a e =-，符合. 综合①、②、③得: a e =-.（3）()()21ln 1g x a x ax =+++, 则()2121'2a ax a g x ax x x+++=+=,当2a ≥-时，()'0g x <,故2a ≤-时，当()g x 在()0,+∞上是减函数，不妨设210x x ≥>，则()()21g x g x ≤，故()()1212g x g x k x x -≥-等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()()21ln 1x a x ax kx ϕ=++++得:()221'0ax kx a x x ϕ+++=≤,故()12a k ax x -+≤-+恒成立，()12a ax x-+-+≥，又 ()()21h a a a =+在(],2-∞-上单调递减，()()()124,24a h a h ax x-+∴≥-=∴-+≥≥,4k ∴≤.故当2a ≥-时，k 的最大值为4.考点：分类整合思想化归转化思想及导数的知识等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的最值运用导数知识逆向分析推证求出参数的取值范围；第三问则运用等价转化的数学思想将问题转化为不等式恒成立的问题,从而使得问题简捷巧妙获解.。
高三数学-泰州中学2016届高三下学期期初考试数学试题
江苏省泰州中学2015-2016学年度第二学期期初质量检测数学1第Ⅰ卷一、填空题1、复数(1)(i i i +是虚数单位）的虚部是2、从编号为0,1,2,,79 的80件产品中采用系统抽样的方法，抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则唱吧总产品的最小编号为3、若圆锥的底面周长为2π，侧米奈也为2π，则该圆锥的体积为4、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是5、已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，已知蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是6、设函数()3log (1),10tan(),012x x f x x x π⎧+-<≤⎪=⎨<<⎪⎩，则[(1)]3f f -= 7、已知:P 关于x 的不等式220x ax a +-≤有解，:0q a >或1a <-，则P 是q 的 条件（空格处填写“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）8、已知1sin()64x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-= 9、已知12,F F 是椭圆22121x y k k +=++的左右焦点，先AB 过1F ，若2ABF ∆的周长为8， 则椭圆的离心率为10、设m R ∈，实数,x y 满足23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若218x y +≤，则实数m 的取值范围11、在矩形ABCD 中，AB BC ==，P 为矩形内一点，且2AP =，若(,)AP AB AD Rλμλμ=+∈的最大值为12、数列{}n a 中，11,n a S =-为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀>，都有221n n n n a a S S =--， 则{}n a 的通项公式n a =13、不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图象然后观察求解，请类比求解一下问题： 设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有()22(2)0ax x b ++≤，则a b + 14、对与函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[],a b ，使得()y f x =在[],a b 上的值域也是[],a b ，则函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数()2(0)1kx f x k x =≠+在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是三、解答题：15、（本小题满分10分）已知()322sin()sin(),2f x x x x x R ππ=++-∈ （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()3f A a ==，求BC 边上的高的最大值。
2016届江苏省泰州中学上学期高三(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．sin20°cos10°+cos20°sin10°=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为2．【考点】对数的运算性质．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解方程的解即可．【解答】解：方程log2（3x+2）=1+log2（x+2），可得log2（3x+2）=log2（2x+4），可得3x+2=2x+4，解得x=2，经检验可知x=2是方程的解．故答案为：2．【点评】本题考查对数方程的解法，注意方程根的检验．5．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于32．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1，a4．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1=1，a4=8．∴q3=8，解得q=2．∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．7．设函数，则f（f（﹣1））的值是﹣16．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f（﹣1））=f（1+3）=f（4）=﹣24=﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，容易得到结果．【解答】解：∵y=f（x）的图象向右平移个单位长度后所得：y=cosω（x﹣）=cos（ωx﹣）；∵函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，所以=2kπ所以ω=6k，k∈Z；ω＞0∴ω的最小值等于：6．故答案为：6．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．9．已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到．【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，则有cos（α﹣45°）==，则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°==，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题．10．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．11．已知方程x3﹣ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（﹣∞，3）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得a的范围．【解答】解：方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，导数f′（x）=2x﹣，可得f（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）递减，在（﹣∞，0）递减，即有x=1处取得极小值3，有且仅有一个实根，则a＜3．故答案为：（﹣∞，3）．【点评】学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值是解决此问题的关键．是中档题．12．已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=﹣2或﹣或79．【考点】数列递推式．【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．【分析】观察已知式子，移项变形为a n+1+2=q（a n+2），从而得到a n+2与a n+1+2的关系，分a n=﹣2和a n≠﹣2讨论，当a n≠﹣2时构造公比为q的等比数列{a n+2}，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，），∴a n+1+2=q（a n+2），n=1，2，…，下面对a n是否为2进行讨论：①当a n=﹣2时，显然有a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，此时a1=﹣2；②当a n≠﹣2时，{a n+2}为等比数列，又因为a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，所以a3+2，a4+2，a5+2∈{﹣3，0，1，9}，因为a n ≠﹣2，所以a n +2≠0，从而a 3+2=1，a 4+2=﹣3，a 5+2=9，q=﹣3或a 3+2=9，a 4+2=﹣3，a 5+2=1，q=﹣代入a n+1=qa n +2q ﹣2，可得到a 1=﹣，或a 1=79；综上所述，a 1=﹣2或﹣或79，故答案为：﹣2或﹣或79．【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．13．已知平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点E ，F 分别在线段BC ，DC上运动，设，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，把都用含有的式子表示，展开后化为关于λ的函数，再利用基本不等式求最值． 【解答】解：如图，， ．∵AB=2，AD=1，∠DAB=60°，∴====．当且仅当，即时，上式等号成立．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况：（1）t1=，且t2∈（1，），（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），符合题意，讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况符合题意：（1）t1=，且t2∈（1，），此时﹣a=t1+t2，则a∈（﹣，﹣）；（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），此时同理可得a∈（﹣，﹣1），综上可得a的范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．故答案为：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图已知四边形AOCB中，||=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．可得：x A=，y A=．（2）B，计算.，．可得cosθ=．【解答】解：（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．x A===．y A==5=．∴A．（2）B，=．=．∴=﹣=．=5，=5．∴cosθ==．∴cos2θ=2cos2θ﹣1=．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{bn}满足．求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；（2）化简b n=2n﹣1+（﹣），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2，即为1+q2﹣1=2q，解得q=2，即有a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）=a n+=2n﹣1+（﹣），2+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）数列{b=+1﹣=2n﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．17．如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）①设AF=y，由勾股定理可得y=（由y＞0可得0＜x＜），即可得到S的解析式；②AF=xtanθ，EF=，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，可得S==（3﹣2t﹣）运用基本不等式，可得最大值及x的值．【解答】解：（1）①设AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1﹣x﹣y）2，解得y=（由y＞0可得0＜x＜），可得S=xy=（0＜x＜）；②AF=xtanθ，EF=，由x+xtanθ+=1，可得x=，即有S=xy=（0＜θ＜）；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，S==（3﹣2t﹣）≤（3﹣2）=，当且仅当2t=，即t=，即x=1﹣时，直角三角形地块AEF的面积S最大，且为．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．设函数f（x）=，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈[，2]的值域为[5，6]，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）把f（x）中的x换上便可求出，整理之后便可得出f（x）=；（2）将f（x）变成，求导数，判断导数符号：x∈[）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（）=f（2）=6，从而得到，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=；（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g （x）最小值为5﹣k，这样讨论5﹣k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．【解答】解：（1）证明：；∴；（2），；∵，a＞0；∴时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；∴f（）=6，或f（2）=6；∴；解得a=2，b=1；∴；（3）g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k；y=2x为增函数；∴由（2）知，2x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；∴x=0时，g（x）取到最小值5﹣k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；∴①5﹣k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点；②5﹣k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；③5﹣k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点．【点评】考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断．19．设数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有b n+1=，c n+1=．（1）求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{a n}是公比为a的等比数列，记数列{b n}和{c n}的前n项和分别为S n和T n，记M n=2S n+1﹣T n，求M n＜对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即可得到a=2；（3）由等比数列的通项可得a n=a n，由M n=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围．【解答】解：（1）由于b n+1=，c n+1=．c n+1﹣b n+1=（b n﹣c n）=﹣（c n﹣b n），即数列{c n﹣b n}是首项为2，公比为﹣的等比数列，所以c n﹣b n=2（﹣）n﹣1；（2）b n+1+c n+1=（b n+c n）+a n，因为b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即4=×4+a，解得a=2；（3）数列{a n}是公比为a的等比数列，即有a n=a n，由M n=2S n+1﹣T n=2（b1+b2+…+b n）﹣（c1+c2+…+c n）=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．由2+＜对任意n∈N*恒成立，即有2+≤，解得﹣1＜a＜0或0＜a≤．故a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，]．【点评】本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力．20．设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[e，e n]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a n，数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜3．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；（2）由题意可得a＜在（0，+∞）成立，设h（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=在x∈[e，e n]上有解，求得h（x）在x∈[e，e n]上的最小值，可得a n=（1+n）e﹣n，由错位相减法求得S n，再由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，当x ＞时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当0＜x ＜时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减．即有x=处取得极小值，也为最小值﹣；（2）存在x ∈（0，+∞），使f （x ）＞g （x ）， 即为a ＜在（0，+∞）成立，设h （x ）=，h ′（x ）==﹣，当x ＞1时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减；当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增． 即有x=1处取得极大值，也为最大值1， 则a ＜1，即a 的取值范围是（﹣∞，1）；（3）证明：方程f （x ）﹣g （x ）=0，即为a=在x ∈[e，e n ]上有解，由（2）可得h （x ）=在（e，1）递增，在（1，e n ]递减，由e＜e n ，可得x=e n 处取得最小值，且为（1+n ）e ﹣n ，前n 项和为S n =2e ﹣1+3e ﹣2+4e ﹣3+…+（1+n ）e ﹣n ， eS n =2e 0+3e ﹣1+4e ﹣2+…+（1+n ）e 1﹣n ， 相减可得，（e ﹣1）S n =2+e ﹣1+e ﹣2+e ﹣3+…+e 1﹣n ﹣（1+n ）e ﹣n =1+﹣﹣（1+n ）e ﹣n化简可得S n =﹣e ﹣n （+n+1）＜＜3．故S n ＜3成立．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式（或方程）成立的条件，注意运用参数分离和构造函数，考查等比数列的求和公式及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．21．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换， （1）求M ﹣1；（2）求直线4x ﹣9y=1在M 2的作用下的新曲线的方程． 【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】对应思想；定义法；矩阵和变换． 【分析】（1）根据矩阵M ，求出它的逆矩阵M ﹣1；（2）根据题意，求出M 2以及对应M 2[]的表达式，写出对应新曲线方程． 【解答】解：（1）∵M=[]， ∴M ﹣1=[]； （2）∵M 2=[]，∴M2[]=[][]=[]=[]；又∵4x﹣9y=1，∴x′﹣y′=1，即所求新曲线的方程为x﹣y=1．【点评】本题考查了矩阵与逆矩阵的应用问题，也考查了矩阵变换的应用问题，是基础题．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）将参数方程代入m=3x+4y得到m关于参数φ得三角函数，利用正弦函数的性质得出m的最值；（2）先求出圆C的普通方程，再转化为极坐标方程．【解答】解：（1）m=3（1+cosφ）+4sinφ=3+3cosφ+4sinφ=3+5sin（φ+θ）（sinθ=，cosθ=）．∵﹣1≤sin（φ+θ）≤1，∴﹣2≤m≤8．即m的取值范围是[﹣2，8]．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0．∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．23．班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）==，∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==，P （X=4）==，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 4PE （X ）=4×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．24．已知数列{a n }满足，记数列{a n }的前n 项和为S n ，c n =S n ﹣2n+2ln （n+1）（1）令，证明：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|（2）证明数列{c n }是递减数列． 【考点】数列的求和．【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由于，，可得b n+1==1+b n ，利用等差数列的通项公式可得b n =n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，利用数学归纳法证明即可．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，可得c n﹣c n ﹣1=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】证明：（1）∵，，∴b n+1====1+=1+b n ，∴b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }是等差数列，首项b 1==1，公差为1．∴b n =1+（n ﹣1）=n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，（*）． 下面利用数学归纳法证明： ①当n=1时，（*）成立． ②假设n=k 时，（*）成立，即|sink θ|≤k|sin θ|，则当n=k+1时，|sin （k+1）θ|=|sink θcos θ+cosk θsin θ|≤|sink θ||cos θ|+|cosk θ||sin θ|≤|sink θ|+|sin θ|≤（k+1）|sin θ|， 即n=k+1时，（*）成立．由①②可知：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，c n ﹣1=S n ﹣1﹣2（n ﹣1）+2lnn ，∴c n ﹣c n ﹣1=a n ﹣2+2ln =﹣+2ln=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），f ′（x ）=﹣1=＜0，∴f （x ）在上单调递减，∴f （x ）＜f （1）=0，∴ln﹣＜0．∴c n ﹣c n ﹣1＜0，即c n ＜c n ﹣1， ∴数列{c n }是递减数列．【点评】本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、和差公式、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2016届江苏省泰州市姜堰区高三上学期期中考试 理科数学试题及答案
姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理） 2015．11命题人：史记祥（省姜堰二中） 审核人：王如进 孟太数学Ⅰ（本卷考试时间：120分钟 总分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若复数(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z 的实部为 ▲ ．2．已知[1,4],(,]A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ▲ ．3．若样本数据1210,,...,x x x 的平均数为8，则数据121021,21,...,21x x x ---的平均数为 ▲ ．4．若,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必（第5题图）要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为▲．8．将函数()cosf x x=图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x，则()g x=▲．9．设ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，若6a B Cπ===，则b=▲．10．在ABC∆中，点,M N满足2,AM MC BN NC==，若MN xAB y AC=+，则x y+=▲．11．若函数6,2()(0,1)3log,2ax xf x a ax x-+≤⎧=>≠⎨+>⎩的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是▲．12．过点(1,0)P-作曲线:xC y e=的切线，切点为1T，设1T在x轴上的投影是点1H，过点1H再作曲线C的切线，切点为2T，设2T在x轴上的投影是点2H，依次下去，得到第1n+()n N∈个切点1n T+，则点2015T的坐标为▲．13．如果函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n=-+-+≥≥在区间1[,2]2单调递减，则mn的最大值为▲．14．设30x ax b++=，其中,a b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有▲（写出所有正确条件的编号）①0,2a b ==；②3,2a b ==；③3,3a b =-=-；④3,2a b =-=；⑤3,2a b =->二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定．．．．．区域内．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 已知函数2()sin cos sin 222x xxf x =-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,0]π-上的最小值．16．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(sin ,cos ),(0,)2m n x x x π==∈ ．（1）若m n ⊥ ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．17．（本小题满分14分）已知关于x的方程()230+-+=．x m x m（1）若方程的一根在区间(2,0)-内，另一根在区间(0,4)内，求实数m的取值范围；（2）若方程的两根都在区间(0,2)，求实数m的取值范围．18．（本小题满分16分）强度分别为,a b的两个光源,A B间的距离为d．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为(0,)>为常数．线段AB上有一点P，设AP x=，P点处总照k k k度为y．试就8,1,3===时回答下列问题．（注：P点处的a b d总照度为P受,A B光源的照度之和）（1）试将y表示成关于x的函数，并写出其定义域；（2）问：x为何值时，P点处的总照度最小？19．（本小题满分16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111,a b ==2332,b b a +=5237a b -=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设*,n n n c a b n N =?，其前n 项和为n T ．①求n T ； ②若(3)n n T λ≤-对任意n N +∈恒成立，求λ的最大值．20．（本小题满分16分） 已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()(1)f x k x >-．数学Ⅱ（本卷考试时间：30分钟 总分40分） 21A ．（本小题满分10分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，已知2sin 2sin sin B A C =，90B = ，且a = 求ABC ∆的面积．21B ．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式．22．（本小题满分10分）投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万元，需场地2002m，可获得利润300万元；投资生产B产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地1002m，可获得利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地9002m，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？23．（本小题满分10分）已知函数4=-?．f x x x x R()4,（1）求()f x的单调性；（2）设曲线()=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处y f x的切线方程为()=，求证：对于任意的正实数x,都有y g x£．f xg x()()姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理）参考答案数学Ⅰ1.22.4a ≥3.154.25.76.充分不必要7.568.1cos()26x π-9.32或 3 10.13 11.12a <≤ 12.2014(2014,)e 13.18 14. ①②③⑤15. 解：（1）sin 1cos 11()(sin cos )2222x x f x x x -=-=+-1)42x π=+- -----------4分 所以()f x 的最小正周期221T ππ==-----------7分（2）因为[,0]x π∈-，所以3[,]444x πππ+∈- -----------9分 所以当42x ππ+=-，即34x π=-时 -----------11分()f x 取最小值为12 -----------14分16．解：（1）因为m n ⊥ ，所以(sin ,cos )m n x x ⋅=⋅0x x =-= -----------4分 所以sin cos x x =因为(0,)2x π∈，所以tan 1x = -----------7分（2）由cos 3||||m n m n π⋅== sin()4x π=------------10分 因为(0,)2x π∈，所以(,)444x πππ-∈- -----------12分 所以46x ππ-=，即512x π= -----------14分17．解：（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，由题意可知 (2)0(0)0(4)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即42(3)00164(3)0m m m m m --+>⎧⎪<⎨⎪+-+>⎩-----------4分 解得405m -<< -----------7分（2）由题意可知23032(3)40042(3)0m m m m m m -⎧<-<⎪⎪⎪--≥⎨⎪>⎪+-+>⎪⎩ -----------10分 解得213m <≤ -----------14分18．解：（1）由题意可知：P 点处受A 光源的照度为1228ka ky x x==-----------2分P 点处受B 光源的照度为122(3)(3)kb ky x x ==-------------4分从而，P 点的总照度为228(3)k ky xx =+-，-----------6分其定义域为{|03}x x << -----------7分（2）对函数求导，可得'33162(3)k k y xx =-+-，-----------9分 令'0y =，得33331622160,(3)(3)k k k kxx x x-+==--， 因为0k >，所以3318(3)x x =-，所以338(3)x x =-，解得2x =-----------11分当''02,0;23,0x y x y <<<<<> -----------13分因此，2x =时，y 取得极小值，且是最小值 -----------15分答：2x =时，P 点处的总照度最小 -----------16分19．解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q >， 由已知,有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩ -----------1分 解得2,2q d ==-----------3分 所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ----------5分（2）由（1）有()1212n n c n -=- ，则()0121123252212,n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯----------7分两式相减得()()2312222122323,n n n n T n n -=++++--⨯=--⨯- 所以()2323n n T n =-+-----------10分（3）令(3)(23)2n n n e n T n n =-=-由1n n e e +<，得1(23)2(1)(21)2n n n n n n +-<+-，即(23)2(1)(21)n n n n -<+- 解得对任意n N +∈成立，即数列{}n e 为单调递增数列， 所以{}n e 的最小项为12e =------------13分因为n e λ≤对任意n N +∈恒成立，所以2λ≤-， 所以λ的最小值为2------------16分20．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞-----------1分 对函数求导，得2'11()1x x f x x x x-++=-+=-----------2分 由'()0f x >，得2010x x x x >⎧⎪⎨-++>⎪⎩，解得0x <<故()f x 的单调递增区间为-----------4分证明：（2）令()()(1),(1,)F x f x x x =--∈+∞，则有2'1()x F x x-=-----------5分 当(1,)x ∈+∞时，'()0F x <，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减，-----------7分 故当1x >时，()(1)0F x F <=，即1x >时，()1f x x <------------9分解：（3）由（2）知，当1k =时，不存在01x >满足题意； -----------10分当1k >时，对于1x >，有()1(1)f x x k x <-<-， 则()(1)f x k x <-，从而不存在01x >满足题意；-----------12分当1k <时，令()()(1),(1,)G x f x k x x =--∈+∞则有2'1(1)1()1x k x G x x k x x-+-+=-+-=由'()0G x =得，2(1)10x k x -+-+=．解得120,1x x =<=>-----------14分所以当2(1,)x x ∈时，'()0G x >，故()G x 在2(1,)x 内单调递增， 从而当2(1,)x x ∈时，()(1)0G x G >=，即()(1)f x k x >- 综上，k的取值范围是1k <-----------16分数学Ⅱ21A ．解：由题意及正弦定理可知：22b ac=；-----------3分 因为90B=，由勾股定理得222a cb +=；-----------5分 又a =，所以解得c a ==；-----------7分 所以ABC∆的面积112S ==． -----------10分21B ．解：由已知12n n S a a =-， 有1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即12(2)n n a a n -=≥. -----------5分 从而21312,4a a a a ==，又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+，所以11142(21)a a a +=+，解得12a =； -----------8分所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =. -----------10分22.解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，则约束条件为23142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ；-----------3分目标函数为32S x y =+ . -----------5分作出可行域，将目标函数32S x y =+变形为322S y x =-+这是斜率为32-，随S 变化的一族直线.2S 是直线在y 轴上的截距，当2S 最大时，S 最大.由图象可知，使32x y +取得最大值的(,)x y 是两直线2314x y +≤与29x y +≤的交点(3.25,2.5)此时14.75S = -----------9分答：生产A 产品325吨，生产B 产品250米时，获利最大，且最大利润为1475万元. --10分 23.解：（1）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,-----------1分当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增； 当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞. -----------4分（2）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=------------5分曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-, 即()()()00g x f x x x '=-； 令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-------------6分则()()()0F x f x f x '''=-；由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减， 所以()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=，所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<, -----------8分所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x,()()00F x F x≤=，即对于任意的正实数x,都有()()f xg x£. ――----10分。
泰州中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(原卷版)
14. 幂函数 f x m2 m 1 x2m1 在 0, 上为减函数，则实数 m 的值为__________.
15. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x2 2x 1，则 f 1 ______.
ax 2, x 2
16.
命题 P :
f
x 2ax2
D. x 3 x 5
1
D.
4
A. f x x0 与 g x 1
B. f x x2 与 g x x3
x
C. f x x 1 x 1 与 g x x 1 x 1
D. f x x 2 与 g x (x 2)2
5. 已知 x x1 4 ，则 x2 x2 等于（ ）
20. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f x x2 2x ，
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（1）现已画出函数 f x 在 y 轴左侧的图象，请将函数 f x 的图象补充完整，并写出函数 f x x R 的
解析式和单调减区间；
（2）若函数 g x f x 4ax 3 x 1, 2，求函数 g x 的最大值.
是一个无理数），则 a,b, c 的大小关系为（ ）
A. a b c
B. a c b
C. c a b
D. c b a
二，多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
（2）求当 2023 年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 对于函数 f x ，若在定义域内存在实数 x0 ，且 x0 0 ，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱偶 函数”.若在定义域内存在实数 x0 ，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱奇函数”. （1）判断函数 f x ex 1 是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）
江苏泰州中学2016届高三上学期期中调研测试数学试卷Word版含答案
江苏省泰州中学2015-2016学年第一学期期中调研测试高三数学Ⅰ（考试时间120分钟 总分160分）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. 设全集U R =,若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2. sin 20cos10cos 20sin10︒︒︒︒+= ▲ ．3. 折x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的 条件.（填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 4. 方程22log (32)1log (2)x x +=++的解为 ▲ ．5. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则6a 的值等于 ▲ ．6. 曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ▲ ．7. 设函数13,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则((1))f f -的值是 ▲ ．8. 设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ▲ ．9. 已知sin(45)09010αα︒︒︒-=-<<且，则cos2α的值为 ▲ ． 10. 已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ▲ ．11. 已知方程320()x ax a -+=为实数有且仅有一个实根，则a 的取值范围是 ▲ ． 12. 已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若{}3,45,5,2,1,7a a a ∈---，则1a = ▲ ．13. 已知平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD DAB ︒==∠=，点,E F 分别在线段,BC DC 上运动，设1,9BE BC DF DC λλ==，则AE AF ⋅的最小值是 ▲ ．14. 已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0,,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）如图已知四边形AOCB 中,||5OA =,(5,0)OC =,点位于第一象限，若△BOC 为正三角形. （1）若3cos ,5AOB ∠=求点A 的坐标； （2）记向量OA 与BC 的夹角为θ，求cos2θ的值.16.（本小题满分14分）在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*1(1)()(1)nn n n a b n N n n ++=∈+。
江苏省泰州中学2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版).doc
2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共70分）1．命题“∃x∈R，cosx≥﹣1”的否定是∀x∈R，cosx＜﹣1．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，cosx＜﹣1，故答案为：∀x∈R，cosx＜﹣1．2．双曲线的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程为=0，即．故答案为．3．若f（x）=1﹣cosx，则f'（α）等于sinα．【考点】导数的运算．【分析】运用余弦函数的导数，计算即可得到．【解答】解：f（x）=1﹣cosx的导数为f′（x）=sinx，则f'（α）=sinα．故答案为：sinα．4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是5．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律，确定函数在区间[0，3]上最大值的位置，求值即可．【解答】解：由题意y′=6x2﹣6x﹣12令y′＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）单调递减，在（2，3）上单调递增，因为f（0）=﹣12，f（2）=﹣15，f（3）=5故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值是5，故答案为：5．5．抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）6．P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是k≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由二次函数的值域求法即可得到．【解答】解：设切点P（x0，y0），在此点的切线的斜率为k．∵，∴f′（x）=3x2+1，∴f′（x0）=3x02+1，（x0∈R）．∴斜率k=3x02+1≥1，故答案为：k≥1．7．“m=3”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆的性质求出即可．【解答】解：若m=3，则c2=4﹣3=1，c=1，2c=2，椭圆的焦距是2，是充分条件，若椭圆的焦距是2，则c=1，故m﹣4=1或4﹣m=1，解得：m=5或m=3，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．8．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是{a|a＜﹣1或a＞2}．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}9．若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y，最后利用两点的距离公式解之即可．【解答】解：设A点坐标为（x，y），根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3，代入抛物线方程求得y=±2，∴A点坐标为：（3，±2），∴A到坐标原点的距离为=．故答案为：．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据题意构造函数y=f（x）﹣g（x），利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），则y′=2x﹣=，令y′=0得，x=或x=舍去，所以当时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：=，则所求t的值为，故答案为：．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3b2＜a2，∴c2=a2+b2＜a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜．故答案为：12．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2）13．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的离心率e====，求得a=2b，椭圆方程为：，整理得：=﹣，则tanα=，tanβ=，tanα•tanβ=•==﹣，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，x=，则tanα=，即可求得直线PA 的斜率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），椭圆的离心率e====，整理得：a=2b，∴椭圆方程为：，∴y2=，则=﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA=tanα=，k PB=tanβ=，∴tanα•tanβ=•==﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，∴tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，解得：x=，∴直线PA的斜率k PA=tanα=，故答案为：．14．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t ＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．二、解答题（共90分）15．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：（1）与椭圆有公共焦点，且过M（3，﹣2）；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的标准方程；（2）利用待定系数法，求出椭圆的标准方程．【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（，0），∵椭圆过M（3，﹣2），∴2a=+=2，∴a=，b=，∴椭圆的标准方程为；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）．∵椭圆经过两点和，∴，∴m=，n=，∴椭圆的标准方程为．16．已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当p为真命题时，f′（x）＜0恒成立，可得m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．【解答】解：（1）∵∴，当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当p为真命题时，，解得：0≤m≤2…（2）若q为真命题，则：5﹣m＞m﹣1＞0，解得：1＜m＜3…若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，故，或解得：0≤m≤1或2＜m＜3…17．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导f（x）导数，可得极值点，导数大于0可得增区间；导数小于0可得减区间；进而得到极值；（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率，切线方程，代入（1，0），解方程可得切点，进而得到所求切线方程．【解答】解：（1）f'（x）=3（x2﹣2），令f'（x）=0，得，∴当或时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是；当x=﹣，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4；（2）设切点为（m，n），则切线的斜率为3（m2﹣2），切线的方程为y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），代入（1，0），可得﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（1﹣m），化为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=﹣，则斜率为﹣3或﹣，可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣x+．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=5，即可求得椭圆C的标准方程；（2）由∠FPA为直角，以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±），求得圆心为O（，0）及半径为，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值，代入求得y的值，即可求得P 点坐标；（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点M，由点F、P、M三点共线，求得点M的坐标，．，则．由此可导出k1•k2的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：离心率e==，准线方程x==，解得：a=3，c=2，由b2=a2﹣c2=5，∴求椭圆C的标准方程为；…（2）由∠FPA为直角，∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±），∴圆心为O（，0），半径为，∴丨PO丨=，即=，整理得：4x2﹣9x﹣9=0，解得：x=﹣或x=3（舍去），∴y=±=±，∴P点坐标为：…（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点，∵点F，P，M共线，x1≠﹣2，∴，即，∴，…∵，∴，…又∵点P在椭圆C上，∴，∴，…∵﹣2＜x1＜3，∴，故k1•k2的取值范围为…19．已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值；（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．【解答】（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）∴2a=EF+EF′=，b2=a2﹣c2=2∴所求椭圆方程为；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②②﹣①，可得k1==﹣=﹣；（3）证明：由题意，k1≠k2，设M（x M，y M），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1），即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得（）x2+6k1k2x+=0∴，同理，，当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==直线MN的方程为y﹣=（x﹣）即此时直线过定点（0，﹣）当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，﹣）综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，﹣）．20．已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u （t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，∴．当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1则＞0，∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．2016年12月20日。
2016-2017学年江苏省泰州中学高三(上)摸底数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）摸底数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于．2．（5分）已知复数z满足（1+i）•z＝﹣i，则的模为．3．（5分）已知+＝2，则a＝．4．（5分）如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为．5．（5分）若双曲线x2﹣＝1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．6．（5分）在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是．7．（5分）下面求2+5+8+11+…+2012的值的伪代码中，正整数m的最大值为．8．（5分）向量＝（cos10°，sin10°），＝（cos70°，sin70°），|﹣2|＝．9．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．10．（5分）函数y＝1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为．11．（5分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）及圆上的点A（0，﹣r），过点A的直线l交圆于另一点B，交x轴于点C，若OC＝BC，则直线l的斜率为．12．（5分）已知|AB|＝3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．13．（5分）已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．14．（5分）设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1＝281，则q的所有可能取值的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）＝，tan＝．（1）求cosα的值；（2）证明：sinβ．16．（15分）如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17．（15分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．18．（15分）已知椭圆Γ：．（1）椭圆Γ的短轴端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M（m，）满足m≠0，且m．①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值；（2）若圆φ：x2+y2＝4．l1，l2是过点P（0，﹣1）的两条互相垂直的直线，其中l1交圆φ于T、R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q．求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n2+S n a n，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n＝4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）＝（e为自然数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数x使得f（1﹣x）＝f（1+x），若存在求出x，否则说明理由；（3）若存在不等实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），证明：f（）＜0．2016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．【解答】解：由集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{x|x＞0}∩{﹣1，0，1，2}＝{1，2}．故答案为：{1，2}．2．【解答】解：由（1+i）•z＝﹣i，得：．所以，所以．故答案为．3．【解答】解：，可化为log a2+log a3＝2，即log a6＝2，所以a2＝6，又a＞0，所以a＝．故答案为：．4．【解答】解：由图示可知，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）＝90，设被污损的数字为x，则乙的平均成绩为90+（﹣7﹣7﹣3+9+x）＞90，即x﹣8＞0，解得x＞8．即x＝9，故所求概率为．故答案为：5．【解答】解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k＝8．故答案为8．6．【解答】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA＝，OB＝1所以旋转体的体积：故答案为：7．【解答】解：由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于累加项的步长为3，循环变量I的终值为2012故2012＜m＜2016由于m是正整数，所以最大值为2015．故答案为：20158．【解答】解：∵向量＝（cos10°，sin10°），＝（cos70°，sin70°），∴＝cos10°cos70°+sin10°sin70°＝cos（70°﹣10°）＝cos60°＝．||＝＝1，同理＝1．∴|﹣2|＝＝＝．故答案为：．9．【解答】解：∵f（x）＝lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）＝ka，f（b）＝kb，即：lna+a＝ka，lnb+b＝kb，即a，b为方程lnx+x＝kx的两个不同根．∴k＝1+，令1+＝g（x），令g'（x）＝＝0，可得极大值点x＝e，故g （x）的极大值为：g（e）＝1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y＝k与曲线y＝g（x）的图象有两个交点，方程k＝1+有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．10．【解答】解：f（x）＝1﹣，x∈R．设g（x）＝﹣，因为g（﹣x）＝﹣＝＝﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为211．【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx﹣r，联立直线与圆的方程，可得B（，），∵C（，0），OC＝BC，∴（）2＝（﹣）2+[]2，解得k＝±．故答案为：±．12．【解答】解：设AC＝m，CB＝n，则m+n＝3，在△CDE中，由余弦定理知DE2＝CD2+CE2﹣2CD•CE cos∠DCE＝m2+n2﹣mn＝（m+n）2﹣3mn＝9﹣3mn又，当且仅当时，取“＝”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．13．【解答】解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+＝∴a≥1+＝∴实数a的最小值是故答案为：14．【解答】解：由题意，a n＝281q n﹣1，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，则为a m•a t＝a p，即281q m﹣1•281q t﹣1＝281•q p﹣1，（q，m，t，p∈N*），∴q＝，故p﹣m﹣t+1必是81的正约数，即p﹣m﹣t+1的可能取值为1，3，9，27，81，即的可能取值为1，3，9，27，81，所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解：（1）将tan＝代入tanα＝得：tanα＝（4分）所以，又α∈（0，），解得cosα＝．（6分）（2）证明：∵0＜α＜＜β＜π，∴＜α+β＜，又sin（α+β）＝，所以cos（α+β）＝﹣，（8分）由（1）可得sinα＝，（10分）所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝×﹣（﹣）×＝＞．（14分）16．【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（6分）（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，（8分）又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，（12分）又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．（14分）17．【解答】解：（1）由题意得：f（1）＝f（2）＝f（3）＝…═f（9）＝f（10）＝1 g（x）＝＝＝．（2）当1≤x≤20时，f（1）＝f（2）═f（x﹣1）＝f（x）＝1∴g（x）＝＝＝＝．当21≤x≤60时，g（x）＝＝＝＝＝∴当第x个月的当月利润率；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x＝40时，，又∵，∴当x＝40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．18．【解答】解：（1）①A（0，1），B（0，﹣1），M（m，），且m≠0，∴直线AM的斜率为，直线BM斜率为，∴直线AM的方程为，直线BM的方程为．由得（m2+1）x2﹣4mx＝0，∴x＝0或x＝．∴E点的坐标为（）．由得（m2+9）x2﹣12mx＝0，解得x＝0或x＝．∴F点的坐标为（）；由已知，m≠0，m2≠3，∴直线EF的斜率＝＝．∴直线EF的方程为，令x＝0，得y＝2，∴EF与y轴交点的位置与m无关．②，，∠AMF＝∠BME，5S△AMF＝S△BME，∴5|MA||MF|＝|MB||ME|，∴，∴，（m≠0），∴整理方程得，即（m2﹣3）（m2﹣1）＝0，又∵，∴m2﹣3≠0，∴m2＝1，∴m＝±1（2）∵直线l1⊥l2，且都过点P（0，﹣1），∴设直线l1：y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0．直线，即x+ky+k＝0，∴圆心（0，0）到直线l1的距离为，∴直线l1被圆x2+y2＝4所截的弦＝；由得，k2x2+4x2+8kx＝0，∴，∴．∴＝．当，即时等号成立，此时直线19．【解答】解：（1）当n＝1时，S1＝t（S1﹣a1+1），得a1＝t．当n≥2时，由S n＝t（S n﹣a n+1），即（1﹣t）S n＝﹣ta n+t，①得，（1﹣t）S n﹣1＝﹣ta n﹣1+t，②①﹣②，得（1﹣t）a n＝﹣ta n+ta n﹣1，即a n＝ta n﹣1，∴，∴{a n}是等比数列，且公比是t，∴．（2）由（1）知，，即，若数列{b n}为等比数列，则有，而，故[t3（2t+1）]2＝（2t2）•t4（2t2+t+1），再将代入b n，得，由，知{b n}为等比数列，∴t＝．（3）由，知，∴，∴，由不等式恒成立，得恒成立，设，由，∴当n≤4时，d n+1＞d n，当n≥5时，d n+1＜d n，而，∴d4＜d5，∴，∴．20．【解答】解：（1）f′（x）＝＝，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）①若存在正实数x，使得f（1﹣x）＝f（1+x），即有＝．当x＝1时等式左边等于0，右边大于0，等式不成立；当x≠1时整理得e2x＝，当x＞1时，等式左边大于0，右边小于0，等式不成立，当0＜x＜1时，有e2x＜，故不存在正实数x，使得f（1﹣x）＝f（1+x）；②同理可证不存在负实数x，使得f（1﹣x）＝f（1+x）；③x＝0时，显然满足条件，综上x＝0时，存在实数x使得f（1﹣x）＝f（1+x）；（3）证明：由于存在不等实数x1、x2，使得f（x1）＝f（x2），即为＝，即＝ex1﹣x2，即有x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，即x1﹣lnx1＝x2﹣lnx2，令g（x）＝x﹣lnx，g′（x）＝1﹣，g（x1）＝g（x2），不妨设0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，而g（2﹣x1）﹣g（x2）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＝（2﹣x1）﹣ln（2﹣x1）﹣x1+lnx1＝2﹣2x1﹣ln，令＝t，则t＞1，x1＝，故F（t）＝﹣lnt，故F′（t）＝＜0，故F（t）在（1，+∞）上是减函数，故F（t）＜F（1）＝0，故g（2﹣x1）﹣g（x2）＜0，又∵g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴2﹣x1＜x2，故x1+x2＞2，即＞1，则有f′（）＝＜0，故f′（）＜0。
2016-2017学年江苏省泰州中学高三(上)第二次月考数学试卷
2016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）第二次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知R为实数集，集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（4-x）＜0}，则A∩（∁R B）= ______ ．【答案】{1，2，3，4}【解析】解：集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（4-x）＜0}={x|x（x-4）＞0}={x|x＜0或x＞4}，∴∁R B={x|0≤x≤4}∴A∩（∁R B）={1，2，3，4}．故答案为：{1，2，3，4}．化简集合B，根据补集与交集的定义写出A∩（∁R B）即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.“x＞1”是“＜”的一个______ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写）【答案】充分不必要【解析】解：由“＜”，解得：x＞-1，故x＞1是x＞-1的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．解根据对数函数的不等式，求出x的范围，结合集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．3.等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2，S3=12，则a6= ______ ．【答案】12【解析】解：∵S3=12，∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．解得d=2，则a6=a1+5d=2+2×5=12，故答案为：12根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．本题主要考查等差数列的通项公式的求解和应用，根据条件求出公差是解决本题的关键．4.设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a= ______ ．【答案】-2【解析】解：函数的导数f′（x）=，则曲线y=在点（3，2）处的切线斜率k=f′（3）==，∵直线ax+y+3=0的斜截式方程为y=-ax-3，斜率为-a，∴若切线与直线ax+y+3=0垂直，则-a×，则a=-2，故答案为：-2求函数的导数，得到切线斜率，根据直线垂直关系即可得到解得结论．本题主要考查直线垂直的关系的应用以及利用导数求切线斜率，利用导数的几何意义是解决本题的关键．5.设实数x､y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为______ ．【答案】26【解析】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故答案为：26作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.已知奇函数f（x）的图象关于直线x=-2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（-9）= ______ ．【答案】-2【解析】解；∵图象关于直线x=-2对称∴f（-4-x）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x）∴f（-4-x）=-f（-x），即-f（-4+x）=f（x），故f（x-8）=f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x），进而f（x+8）=f（x）∴f（x）是以8为周期的周期函数．f（-9）=-f（1）=-2故答案为：-2先由图象关于直线x=-2对称得f（-4-x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f（x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（-9）=-f（1），从而求出所求．本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的，属于基础题．7.直线y=kx+3与圆（x-2）2+（y-3）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是______ ．【答案】[-，]【解析】解：由圆的方程得：圆心（2，3），半径r=2，∵圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|≥2，∴2=2≥2，变形得：4-≥3，即4k2+4-4k2≥3k2+3，解得：-≤k≤，则k的取值范围是[-，]．故答案为：[-，]由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．8.已知3sinα+4cosα=5，则tanα= ______ ．【答案】【解析】解：∵3sinα+4cosα=5，∴5sin（α+β）=5（tanβ=）∴sin（α+β）=1∴α=2kπ+-β，∴tanα=tan（2kπ+-β）==．故答案为：．由3sinα+4cosα=5，可得5sin（α+β）=5（tanβ=），进而可得tanα=tan（2kπ+-β）=．本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础．9.设平面向量，，，，，，（其中x＞0，y＞0）若，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵，，，，，，∴，，，，由，得（x-2）（y-2）-9=0，即xy-2（x+y）-5=0．又x＞0，y＞0，∴2（x+y）+5=xy，解得x+y≤-2（舍），或x+y≥10．==故答案为：．由已知求出，的坐标，结合数量积为0可得xy-2（x+y）-5=0，再由基本不等式转化为关于（x+y）的不等式，求出x+y的最小值，即可求得的最小值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标运算，体现了数学转化思想方法，是中档题．10.已知函数（其中ω∈（0，1）），若f（x）的图象经过点，，则f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为______ ．【答案】，【解析】解：函数=2sin（2ωx-），∵f（x）的图象经过点，，∴2sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=3k，∵ω∈（0，1），∴ω=，∴f（x）=2sin（x-），∴f（x）的增区间为：-+2kπ，k∈z，整理，得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为，．故答案为：，．推导出f（x）=2sin（x-），从而求出f（x）的增区间为[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z，由此能示出f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．本题考查三角函数的增区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数图象及性质的合理运用．11.已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为______ ．【答案】【解析】解：设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且=，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系，设AB=2r（r＞0），则A（-r，0），B（r，0），设C（x，y），可得G（，）∵AG⊥BG，∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）由此可得（）2+（）2=r2，整理得x2+y2=9r2，因此，点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外），可得，当x=0时，y取得最大值3r，∴此时，tan=，AC=BC=2，∵r2+（3r）2=2，解得：r=，∴此时，S△ABC==．故答案为：．以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，设AB=r，点C的坐标为（x，y），可得G（，）．根据AG⊥BG建立x、y的关系式，化简整理得x2+y2=9r2，得到点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外）．可得当C点在y轴时y的值达到最大值，此时三角形面积最大，由此结合三角形面积公式即可得解．本题给出三角形的重心G对A、B的张角为直角，求三角形面积的最大值，着重考查了三角形重心的性质、圆的标准方程和三角恒等变换等知识，属于中档题．12.已知x，y，z均为非负数且x+y+z=2，则x3+y2+z的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵x＞，y＞，z＞0，且x+y+z=2，∴Z=2-x-y，即x+y≤2．那么：令函数h=x3+y2+z=x3+y2+2-x-y．令f（x）=x3-x，则f′（x）=x2-1，当x在（0，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是单调递减；当x在（1，2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，2）上是单调递增；∴f（x）min=f（1）同理：令g（y）=y2-y则g′（y）=2y-1，当y在（0，）时，g′（y）＜0，∴g（y）在（0，）上是单调递减；当y在（1，2）时，g′（y）＞0，∴g（y）在（，2）上是单调递增；∴g（y）min=g（）故当x=1，y=时，函数h取得最小值，即h==，故答案为：．利用导函数研究单调性，求其最小值即可．本题考查了利用导函数研究单调性，求其最小值．属于中档题．13.已知函数f（x）=x•e x-1，g（x）=lnx+kx，且f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数k的最大值为______ ．【答案】1【解析】解：∵f（x）=x•e x-1，g（x）=lnx+kx，且f（x）≥g（x），∴x•e x-1≥lnx+kx，k≤e x，h（x）=e x，k≤h（x）小即可．h′（x）=，h′（1）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，令h′（x）=0，x=x0，x02e+lnx0=0，则h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增．h（x）小=e，h（）=-ln16＜0，h（）=ln＞0∴＜＜，h（）=+2ln2-2=1.035，h（）=e（ln+1）=1.1681＜h（x0）＜2，k≤1故答案为：1运用够造函数的方法求解k≤e x，h（x）=e x，k≤h（x）小即可．运用求解导数得出h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增．估算出＜＜，1＜h（x0）＜2，得出k≤1．本题综合考察了导数的运用，难度较大，需要有很强的估算能力，观察能力，敢于往下钻研的能力．14.设集合S={0，1，2，3，…，n}，则集合S中任意两个元素的差的绝对值的和为______ ．【答案】n3+n2+n．【解析】解：设集合中第k个元素，则其值为k-1．|（k-1）-k|+|（k-1）-（k+1）|+…+|（k-1）-n|=1+2+…+（n+1-k）=T n=n2•n+n•n+n-（1+2+…+n）n-（1+2+…+n）+（12+22+…+n2）=．故答案是：n3+n2+n．设集合S中第k个元素，则其值为k-1．然后根据数列求和进行解答．本题考查了等差数列，数列求和，难度较大．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知命题p：函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数；命题q：若函数g（x）=e x-x+a 在区间[0，+∞）没有零点．（1）如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）如果命题p为真命题，∵函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立…（3分）∴，…（6分）（2）g′（x）=e x-1≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，∴g（x）在区间[0，+∞）递增命题q为真命题g（0）=a+1＞0a＞-1…（9分）由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，若p真q假，则，…（11分）若p假q真，则＜或＞＞，∞…（13分）综上所述，，，∞…（14分）【解析】（1）如果命题p为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立，进而得到实数a的取值范围；（2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，进而得到实数a的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了导数法研究函数的单调性，复合命题，函数的零点，难度中档．16.设向量，，，，，．（其中x∈[0，π]）（1）若，求实数x的值；（2）若，求函数的值．【答案】解：（1）∵，∴，又，，，∴．（2）∵，∴，∴．又x∈[0，π]且＞，，∴即．【解析】（1）利用，列出方程即可求实数x的值；（2）由已知条件和辅助角公式得到．然后由同角三角函数关系来求的值．本题考查向量的共线与数量积的运算，三角函数的恒等变换应用，基本知识的考查．17.无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起於惠山区惠山城铁站，止於无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6400万元，铺设距离为x公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x3+20x万元．设余下工程的总费用为f（x）万元．（停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度）（1）试将f（x）表示成x的函数；（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．【答案】解：（1）设需要修建k个停靠站，则k个停靠站将28公里的轨道分成相等的k+1段∴…（3分）∴化简得…（7分）（2）（万元）…（11分）当且仅当即x=2，取“=”…（13分）答：需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128028万元…（14分）【解析】（1）先设需要修建k个停靠站，列出余下工程的总费用的函数表达式，再结合自变量x的实际意义：x表示相邻两停靠站之间的距离，确定出函数的定义域即可．（2）依据（1）中得出的函数表达式，结合基本不等式即可求得函数y的最大值，最后回到原实际问题进行解答即可．本题考查解函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．18.已知平面直角坐标系xoy内两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y）形成的曲线记为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l 的方程（O为坐标原点）；（3）设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．【答案】解：（1）由题设知，两边化简得x2+y2=4∴点P的轨迹Γ的方程为x2+y2=4…（3分）（2）由题意知的斜率一定存在，设l：y=k（x-4）即kx-y-4k=0，∵原点到直线l的距离，…（5分）∴，…（7分）当且仅当d2=2时，取得“=”d2=2＜r2=4∴当d2=2时，此时，．∴直线l的方程为．…（9分）（3）设…（11分）设Q（x0，y0），E（e，0），F（0，f）（其中＜，＜，）则：，令x=0得∴…（12分）：，令y=0得∴…（13分）∴=（定值）…（16分）【解析】（1）由两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y），得到关系式化简即可得出曲线Γ的方程；（2）表示出面积，利用基本不等式得出结论；（3）设，即可证明结论．本题考查轨迹方程，考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．19.若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）当定义域为[-1，1]，试判断f（x）=x4+x3+x2+x-1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；（3）已知a＞1，对于任意的，，函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x-b都是定义域为[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）因为f（x）=x4+x3+x2+x-1，所以f（-x）=x4-x3+x2-x-1，由f（-x）=-f（x）得x4+x2-1=0，令x2=t∈[0，1]，而t2+t-1=0存在一根，，即存在x∈[-1，1]，使得f（-x）=-f（x），所以f（x）为“局部奇函数”．（2）由题意知，g（-x）=-g（x）在R上有解，即4-x-2m•2-x+m2-3=-4x+2m•2x-m2+3在R上有解，所以4x+4-x-2m（2x+2-x）+2（m2-3）=0在R上有解，令2x+2-x=u∈[2，+∞），所以u2-2mu+2m2-8=0在u∈[2，+∞）上有解，令F（u）=u2-2mu+2m2-8，①当F（2）≤0时，即2m2-4m-4≤0，解得，此时F（u）在[2，+∞）上必有零点，所以；②当F（2）＞0时，F（u）在[2，+∞）上有零点必须满足＞对称轴＞＞＞综上：．（3）由题意知，，，-h（x）=h（-x）在x∈[-1，1]上都有解，即，，ln（-x+1+a）+x2-x-b=-ln（x+1+a）-x2-x+b在x∈[-1，1]上都有解，即，，ln[（a+1）2-x2]+2x2=2b在x∈[-1，1]上都有解，令x2=s∈[0，1]，令φ（s）=ln[（a+1）2-s]+2s，由题意知φ（s）在s∈[0，1]上的值域包含[2，3]，因为′，又因为s∈[0，1]，a∈（1，+∞），所以（a+1）2-s＞3，＜所以＞＞综上：1＜a≤e-1．【解析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）根据f（x）为定义域R上的“局部奇函数，得到f（-x）=-f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；（3）根据f（x）为定义域[-1，1]上的“局部奇函数，得到f（-x）=-f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数a的取值范围；本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于难题20.已知数列{a n}的前n项积为T n，即T n=a1a2…a n．（1）若数列{a n}为首项为2016，公比为的等比数列，①求T n的表达式；②当n为何值时，T n取得最大值；（2）当n∈N*时，数列{a n}都有a n＞0且成立，求证：{a n}为等比数列．【答案】解：（1）①由题意知，所以．…（3分）②记b n=|a n|，R n=|T n|，即，，，当n≤10，n∈N*时，＞；当n≥11，n∈N*时，＜，又因为n∈N*，R n＞0，所以，当n≤10，n∈N*时，R n+1＞R n；当n≥11，n∈N*时，R n+1＜R n，所以R n的最大值为R11．…（6分）此时＜，而T9＞0，T10＜0，T12＞0，所以（T n）max=max{T9，T12}．而＞，所以，当n=12时，T n取得最大值．…（9分）（2）当n=2时，，所以，即，…（10分）当n≥2时，②①②两式相除得，化简得，③又因为，④③④两式相除得，⑤…（12分）⑤式可化为：，n≥2令，所以c1=1，c n+1•c n=1，所以，，即，n≥2，n∈N*都成立，所以{a n}为等比数列．…（16分）【解析】（1）①由题意知，由此能求出T n的表达式．②记b n=|a n|，R n=|T n|，从而当n≤10，n∈N*时，R n+1＞R n；当n≥11，n∈N*时，R n+1＜R n，所以R n的最大值为R11，进而（T n）max=max{T9，T12}．由此能求出结果．（2）推导出，从而，令，能证明{a n}为等比数列．本题考查数列的前n项和公式的求法，考查数列的前n项取最大值时项数n的求法，考查等比数列的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．。
江苏省泰州中学2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版).doc
2016-2017学年江苏省泰州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上1．已知A={1，3，4}，B={1，5}，则A∩B={1}．【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：A={1，3，4}，B={1，5}，则A∩B={1}，故答案为：{1}}2．在区间[0，2π）内，与角终边相同的角是．【考点】终边相同的角．【分析】由=﹣2π+，直接写出答案．【解答】解：=﹣2π+，∴区间[0，2π）内，与角终边相同的角是，故答案为：3．若幂函数y=f（x）的图象经过点，则f（9）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（4，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（9）的值．【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），设幂函数f（x）=xα，α为常数，∴4α=，∴α=﹣，故f（x）=，∴f（9）=，4．已知角α的终边与单位圆交于点，那么tanα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：∵角α的终边与单位圆交于点，那么tanα==﹣，故答案为：﹣．5．已知函数f（x）=，则=﹣1．【考点】函数的值．【分析】先求出f（）=3×﹣4=﹣，从而=f（﹣），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=3×﹣4=﹣，=f（﹣）=﹣1．故答案为：﹣1．6．已知某扇形的半径为10，面积为，那么该扇形的圆心角为．【考点】扇形面积公式．【分析】由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则扇形的面积为S=r2α．∴由已知可得：=×102×α，解得：α=．7．函数y=2﹣的图象的对称中心的坐标是（﹣1，2）．【考点】函数的图象．【分析】根据函数图象的平移变换法则，可得函数y=2﹣的图象由函数y=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，进而得到答案．【解答】解：函数y=2﹣的图象由函数y=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，由函数y=的图象关于原点对称可得：函数y=2﹣的图象关于（﹣1，2）对称，故答案为：（﹣1，2）8．函数的定义域是（0，1]．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]9．函数f（x）=ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是．【考点】对数函数的单调区间．【分析】设u（x）=4+3x﹣x2则f（x）=lnu（x），因为对数函数的底数e＞1，则对数函数为单调递增函数，要求f（x）函数的减区间只需求二次函数的减区间即可．【解答】解：函数f（x）的定义域是（﹣1，4），令u（x）=﹣x2+3x+4=﹣+的减区间为，∵e＞1，∴函数f（x）的单调减区间为．答案[，4）10．若函数f（x）=1g（x+1）+x﹣3的零点为x0，满足x0∈（k，k+1）且k∈Z，则k=2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据函数零点的存在条件，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，+∞），且函数单调递增，∵f（2）=lg3﹣1＜0，f（3）=lg4＞0，即函数f（x）在（2，3）内存在唯一的一个零点，∵x0∈（k，k+1）且k为整数，∴k=2，故答案为：211．函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）在定义域内单调递减，故有，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，∴函数f（x）在定义域内单调递减，∴，求得0＜a≤，故答案为：．12．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）=，则f（﹣1），f（0），g（1）之间的大小关系是g（1）＜f（0）＜f（﹣1）．（按从小到大的顺序排列）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，利用方程组法进行求解即可．【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）=（）x，∴f（0）=0，∵f（1）﹣g（1）=，①f（﹣1）﹣g（﹣1）=2，②∴﹣f（1）﹣g（1）=2，③解得f（1）=﹣，g（1）=﹣，故f（﹣1）=，∴g（1）＜f（0）＜f（﹣1），故答案为：g（1）＜f（0）＜f（﹣1）．13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=，若对任意实数t∈，都有f（t+a）﹣f（t﹣2）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】由分离常数法化简解析式，并判断出函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，由偶函数的性质将不等式化为：f（|t+a|）＞f（|t﹣2|），利用单调性得|t+a|＞|t﹣2|，化简后转化为：对任意实数t∈[，2]，都有（2a+4）t+a2﹣4＞0恒成立，根据关于t的一次函数列出a的不等式进行求解．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（t+a）﹣f（t﹣2）＞0得，f（t+a）＞f（t﹣2），又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（|t+a|）＞f（|t﹣2|），则|t+a|＞|t﹣2|，两边平方得，（2a+4）t+a2﹣4＞0，∵对任意实数t∈[，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣2）＞0恒成立，∴对任意实数t∈[，2]，都有（2a+4）t+a2﹣4＞0恒成立，则，化简得，解得，a＞1或a＜﹣2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．14．已知函数f M（x）的定义域为实数集R，满足f M（x）=（M是R的非空真子集），在R 上有两个非空真子集A，B，且A∩B=ϕ，则F（x）=的值域为．【考点】函数的值域．【分析】对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．【解答】解：当x∈C R（A∪B）时，f A∪B（x）=0，f A（x）=0，f B（x）=0，∴F（x）==；同理得：当x∈B时或x∈A时，F（x）==；故F（x）=的值域为{，}故答案为：{，}．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．计算：（1）；（2）lg8+lg25﹣+．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式=；（2）原式=2lg2+2lg5﹣25+8=2lg10﹣17=﹣15．16．已知全集U=R，集合A=，集合B为函数g（x）=3x+a的值域．（1）若a=2，求A∪B和A∩（C U B）；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出集合A、B，从而求出A∪B和A∩（C U B）即可；（2）根据A、B的范围，结合集合的包含关系求出a的范围即可．【解答】解：（1）A==[1，4），a=2时，g（x）=3x+2，g（x）的值域是B=（2，+∞），故A∪B=[1，+∞）；A∩（C U B）=[1，4）∩（﹣∞，2]=[1，2]；（2）A=[1，4），B=（a，+∞），若A∪B=B，则[1，4）⊊（a，+∞），则a＜1．17．已知函数f（x）=．（1）证明：f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减；（2）设g（x）=log2f（x），x∈（0，1），求g（x）的值域．【考点】函数的概念及其构成要素；函数的值域．【分析】（1）利用函数的单调性的定义进行证明；（2）求出f（x）的范围，即可求g（x）的值域．【解答】（1）证明：，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，∵x∈（0，+∞），∴x1+1＞0，x2+1＞0，又x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在x∈（0，+∞）上的单调递减．（2）解：，因为0＜x＜1，所以1＜x+1＜2，所以，即0＜f（x）＜1，又因为y=log2t单调递增，所以g（x）值域为（﹣∞，0）．18．提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米、小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数．当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30≤x≤210时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤210时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在60≤x≤600时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（II）由（Ⅰ）可知，分段求最值，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，当0≤x≤30时，v（x）=60；当30≤x≤210时，设v（x）=ax+b，由已知可得，解得．所以函数．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0≤x≤30时，f（x）=60x为增函数，∴当x=30时，其最大值为1800．…当30≤x≤210时，，当x=105时，其最大值为3675．…综上，当车流密度为105辆/千米时，车流量最大，最大值为3675辆．…19．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+3a﹣1，（a为实常数）．（1）当a=0时，求不等式f（2x）+2≥0的解集；（2）当a＜0时，求函数f（x）的最大值；（3）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）当a=0时，f（x）=﹣|x|﹣1，不等式f（2x）+2≥0可化为﹣|2x|﹣1+2≥0，解得答案；（2）当a＜0时，结合二次函数的图象和性质，可得x=0时，f（x）取最大值；（3）若a＞0，分类讨论函数图象的对称轴与区间[1，2]的位置关系，结合二次函数的图象和性质，可得g（a）的表达式．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=﹣|x|﹣1，则不等式f（2x）+2≥0可化为﹣|2x|﹣1+2≥0，即|2x|≤1，解之得：x≤0，则所求不等式的解集为（﹣∞，0]．（2）当a＜0时，，故当x=0时，f（x）max=f（0）=3a﹣1（或由奇偶性直接讨论x≥0时，函数f（x）的单调性，得到最大值），（3）当x∈[1，2]时，，①当时，即时，此时x=1时，f（x）min=f（1）=4a﹣2，②当时，即时，即时，，③当时，即时，此时x=2时，f（x）min=f（2）=7a﹣3，综上所述可得：．20．已知函数g（x）=2ax2﹣4ax+2+2b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值8，有最小值2，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）若方程f（|e x﹣1|）+=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用已知条件列出方程组即可求出a，b．（2）求出f（x）=的表达式，令2x=t，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为：，转化求解k的范围即可．（3）令m=|e x﹣1|，则方程有三个不同的实数解⇔关于m的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1；推出12﹣（2+3k）•1+1＜0，求解即可．【解答】解：（1）函数g（x）=2ax2﹣4ax+2+2b（a＞0），的对称轴为：x=1∉[2，3]，由条件在区间[2，3]上有最大值8，有最小值2，得：，解得a=1，b=0．（2）g（x）=2x2﹣4x+2，∴令2x=t，∵x∈[﹣1，1]，∴不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为：问题等价于在时恒成立，即：在时恒成立，而此时所以k≤0．注：用二次函数（1﹣k）t2﹣2t+1≥0讨论，相应给分．（3）令m=|e x﹣1|，则方程有三个不同的实数解⇔关于m的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1；可化为：化简得：m2﹣（2+3k）m+1=0，当一根等于1时，k=0不满足题意所以它的两根分别介于（0，1）和（1，+∞），又因为m=0时，1＞0恒成立所以只要12﹣（2+3k）•1+1＜0∴k＞0为所求的范围．2016年12月16日。
江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题 含答案
数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分，共70分。
将答案填在答题纸上1。
已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈，则A B =_________。
2. 函数()612log f x x =-_________.3. 已知角α的终边经过点(),6P x --,且4cos 5α=，则x 的值为 _________。
4. 已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥,则m = _________。
5。
已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________。
6。
函数()()sin 30f x x x x π=-≤≤的单调增区间是 _________.7。
设{}na 是首项为正数的等比数列,公比为q ，则“0q <" 是“对任意的正整数212,0n n n aa -+<” 的 _________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ） 8。
在ABC ∆中，()30AB AC CB -=，则角A 的最大值为 _________. 9. 已知函数()2ay xa R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________.10。
已知函数()sin 0,062f x A A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+><< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则()y f x =的最大值是_________。
11。
设数列{}na 首项12a=,前n 项和为n S ，且满足()123n n a S n N *++=∈,则满足234163315n n S S <<的所有n 的和为_________. 12。
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2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．2．sin20°cos10°+cos20°sin10°=．3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为．5．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于．6．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是．7．设函数，则f（f（﹣1））的值是．8．设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于．9．已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．10．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．11．已知方程x3﹣ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是．12．已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=．13．已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点E，F分别在线段BC，DC上运动，设，则的最小值是．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图已知四边形AOCB中，||=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．16．在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．求数列{b n}的前n项和．17．如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．18．设函数f（x）=，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈[，2]的值域为[5，6]，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．19．设数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有b n+1=，c n+1=．（1）求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{a n}是公比为a的等比数列，记数列{b n}和{c n}的前n项和分别为S n和T n，记M n=2S n+1﹣T n，求M n＜对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．20．设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[e，e n]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a n，数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜3．21．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，（1）求M﹣1；（2）求直线4x﹣9y=1在M2的作用下的新曲线的方程．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程．23．班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．24．已知数列{a n}满足，记数列{a n}的前n项和为S n，c n=S n﹣2n+2ln（n+1）（1）令，证明：对任意正整数n，|sin（b nθ）|≤b n|sinθ|（2）证明数列{c n}是递减数列．2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．sin20°cos10°+cos20°sin10°=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为2．【考点】对数的运算性质．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解方程的解即可．【解答】解：方程log2（3x+2）=1+log2（x+2），可得log2（3x+2）=log2（2x+4），可得3x+2=2x+4，解得x=2，经检验可知x=2是方程的解．故答案为：2．【点评】本题考查对数方程的解法，注意方程根的检验．5．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于32．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1，a4．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1=1，a4=8．∴q3=8，解得q=2．∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．7．设函数，则f（f（﹣1））的值是﹣16．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f（﹣1））=f（1+3）=f（4）=﹣24=﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，容易得到结果．【解答】解：∵y=f（x）的图象向右平移个单位长度后所得：y=cosω（x﹣）=cos（ωx﹣）；∵函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，所以=2kπ所以ω=6k，k∈Z；ω＞0∴ω的最小值等于：6．故答案为：6．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．9．已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到．【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，则有cos（α﹣45°）==，则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°==，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题．10．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．11．已知方程x3﹣ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（﹣∞，3）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得a的范围．【解答】解：方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，导数f′（x）=2x﹣，可得f（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）递减，在（﹣∞，0）递减，即有x=1处取得极小值3，有且仅有一个实根，则a＜3．故答案为：（﹣∞，3）．【点评】学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值是解决此问题的关键．是中档题．12．已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=﹣2或﹣或79．【考点】数列递推式．【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．【分析】观察已知式子，移项变形为a n+1+2=q（a n+2），从而得到a n+2与a n+1+2的关系，分a n=﹣2和a n≠﹣2讨论，当a n≠﹣2时构造公比为q的等比数列{a n+2}，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，），∴a n+1+2=q（a n+2），n=1，2，…，下面对a n是否为2进行讨论：①当a n=﹣2时，显然有a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，此时a1=﹣2；②当a n≠﹣2时，{a n+2}为等比数列，又因为a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，所以a3+2，a4+2，a5+2∈{﹣3，0，1，9}，因为a n≠﹣2，所以a n+2≠0，从而a3+2=1，a4+2=﹣3，a5+2=9，q=﹣3或a3+2=9，a4+2=﹣3，a5+2=1，q=﹣代入a n+1=qa n+2q﹣2，可得到a1=﹣，或a1=79；综上所述，a1=﹣2或﹣或79，故答案为：﹣2或﹣或79．【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．13．已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点E，F分别在线段BC，DC上运动，设，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，把都用含有的式子表示，展开后化为关于λ的函数，再利用基本不等式求最值．【解答】解：如图，，．∵AB=2，AD=1，∠DAB=60°，∴====．当且仅当，即时，上式等号成立．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况：（1）t1=，且t2∈（1，），（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），符合题意，讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况符合题意：（1）t1=，且t2∈（1，），此时﹣a=t1+t2，则a∈（﹣，﹣）；（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），此时同理可得a∈（﹣，﹣1），综上可得a的范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．故答案为：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图已知四边形AOCB中，||=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．可得：x A=，y A=．（2）B，计算.，．可得cosθ=．【解答】解：（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．x A===．y A==5=．∴A．（2）B，=．=．∴=﹣=．=5，=5．∴cosθ==．∴cos2θ=2cos2θ﹣1=．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；（2）化简b n=2n﹣1+（﹣），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2，即为1+q2﹣1=2q，解得q=2，即有a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）=a n+=2n﹣1+（﹣），数列{b n}的前n项和=（1+2+22+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=+1﹣=2n﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．17．如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）①设AF=y，由勾股定理可得y=（由y＞0可得0＜x＜），即可得到S的解析式；②AF=xtanθ，EF=，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，可得S==（3﹣2t﹣）运用基本不等式，可得最大值及x的值．【解答】解：（1）①设AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1﹣x﹣y）2，解得y=（由y＞0可得0＜x＜），可得S=xy=（0＜x＜）；②AF=xtanθ，EF=，由x+xtanθ+=1，可得x=，即有S=xy=（0＜θ＜）；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，S==（3﹣2t﹣）≤（3﹣2）=，当且仅当2t=，即t=，即x=1﹣时，直角三角形地块AEF的面积S最大，且为．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．设函数f（x）=，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈[，2]的值域为[5，6]，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）把f（x）中的x换上便可求出，整理之后便可得出f（x）=；（2）将f（x）变成，求导数，判断导数符号：x∈[）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（）=f（2）=6，从而得到，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=；（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g （x）最小值为5﹣k，这样讨论5﹣k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．【解答】解：（1）证明：；∴；（2），；∵，a＞0；∴时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；∴f（）=6，或f（2）=6；∴；解得a=2，b=1；∴；（3）g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k；y=2x为增函数；∴由（2）知，2x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；∴x=0时，g（x）取到最小值5﹣k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；∴①5﹣k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点；②5﹣k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；③5﹣k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点．【点评】考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断．19．设数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有b n+1=，c n+1=．（1）求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{a n}是公比为a的等比数列，记数列{b n}和{c n}的前n项和分别为S n和T n，记M n=2S n+1﹣T n，求M n＜对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即可得到a=2；（3）由等比数列的通项可得a n=a n，由M n=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围．【解答】解：（1）由于b n+1=，c n+1=．c n+1﹣b n+1=（b n﹣c n）=﹣（c n﹣b n），即数列{c n﹣b n}是首项为2，公比为﹣的等比数列，所以c n﹣b n=2（﹣）n﹣1；（2）b n+1+c n+1=（b n+c n）+a n，因为b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即4=×4+a，解得a=2；（3）数列{a n}是公比为a的等比数列，即有a n=a n，由M n=2S n+1﹣T n=2（b1+b2+…+b n）﹣（c1+c2+…+c n）=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．由2+＜对任意n∈N*恒成立，即有2+≤，解得﹣1＜a＜0或0＜a≤．故a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，]．【点评】本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力．20．设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[e，e n]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a n，数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜3．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；（2）由题意可得a＜在（0，+∞）成立，设h（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=在x∈[e，e n]上有解，求得h（x）在x∈[e，e n]上的最小值，可得a n=（1+n）e﹣n，由错位相减法求得S n，再由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=处取得极小值，也为最小值﹣；（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），即为a＜在（0，+∞）成立，设h（x）=，h′（x）==﹣，当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有x=1处取得极大值，也为最大值1，则a＜1，即a的取值范围是（﹣∞，1）；（3）证明：方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=在x∈[e，e n]上有解，由（2）可得h（x）=在（e，1）递增，在（1，e n]递减，由e＜e n，可得x=e n处取得最小值，且为（1+n）e﹣n，前n项和为S n=2e﹣1+3e﹣2+4e﹣3+…+（1+n）e﹣n，eS n=2e0+3e﹣1+4e﹣2+…+（1+n）e1﹣n，相减可得，（e﹣1）S n=2+e﹣1+e﹣2+e﹣3+…+e1﹣n﹣（1+n）e﹣n=1+﹣﹣（1+n）e﹣n化简可得S n=﹣e﹣n（+n+1）＜＜3．故S n＜3成立．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式（或方程）成立的条件，注意运用参数分离和构造函数，考查等比数列的求和公式及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．21．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，（1）求M﹣1；（2）求直线4x﹣9y=1在M2的作用下的新曲线的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】对应思想；定义法；矩阵和变换．【分析】（1）根据矩阵M，求出它的逆矩阵M﹣1；（2）根据题意，求出M2以及对应M2[]的表达式，写出对应新曲线方程．【解答】解：（1）∵M=[]，∴M﹣1=[]；（2）∵M2=[]，∴M2[]=[][]=[]=[]；又∵4x﹣9y=1，∴x′﹣y′=1，即所求新曲线的方程为x﹣y=1．【点评】本题考查了矩阵与逆矩阵的应用问题，也考查了矩阵变换的应用问题，是基础题．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）将参数方程代入m=3x+4y得到m关于参数φ得三角函数，利用正弦函数的性质得出m的最值；（2）先求出圆C的普通方程，再转化为极坐标方程．【解答】解：（1）m=3（1+cosφ）+4sinφ=3+3cosφ+4sinφ=3+5sin（φ+θ）（sinθ=，cosθ=）．∵﹣1≤sin（φ+θ）≤1，∴﹣2≤m≤8．即m的取值范围是[﹣2，8]．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0．∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．23．班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）==，∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4PE（X）=4×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．24．已知数列{a n}满足，记数列{a n}的前n项和为S n，c n=S n﹣2n+2ln（n+1）（1）令，证明：对任意正整数n，|sin（b nθ）|≤b n|sinθ|（2）证明数列{c n}是递减数列．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由于，，可得b n+1==1+b n，利用等差数列的通项公式可得b n=n．对任意正整数n，要证明|sin（b nθ）|≤b n|sinθ|，只要证明：|sinnθ|≤n|sinθ|，利用数学归纳法证明即可．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，可得c n﹣c n ﹣1=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】证明：（1）∵，，∴b n+1====1+=1+b n ，∴b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }是等差数列，首项b 1==1，公差为1．∴b n =1+（n ﹣1）=n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，（*）． 下面利用数学归纳法证明： ①当n=1时，（*）成立． ②假设n=k 时，（*）成立，即|sink θ|≤k|sin θ|，则当n=k+1时，|sin （k+1）θ|=|sink θcos θ+cosk θsin θ|≤|sink θ||cos θ|+|cosk θ||sin θ|≤|sink θ|+|sin θ|≤（k+1）|sin θ|， 即n=k+1时，（*）成立．由①②可知：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，c n ﹣1=S n ﹣1﹣2（n ﹣1）+2lnn ，∴c n ﹣c n ﹣1=a n ﹣2+2ln =﹣+2ln=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），f ′（x ）=﹣1=＜0，∴f （x ）在上单调递减，∴f （x ）＜f （1）=0，∴ln﹣＜0．∴c n ﹣c n ﹣1＜0，即c n ＜c n ﹣1， ∴数列{c n }是递减数列．【点评】本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、和差公式、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。