概率统计-11.9 随机变量的均值与方差(教案)
离散型随机变量的均值与方差复习课(一)(教案)
离散型随机变量的均值与方差复习课（一）【教学目标】1.熟练掌握离散型随机变量的均值和方差的求法，提高应用离散型随机变量的均值和方差概念解决问题的能力.2.自主学习，合作交流，探究并归纳总结离散型随机变量的均值和方差的应用规律及方法.3.激情投入，高效学习，体验探究、归纳、总结的过程，增强应用数学的能力【教学重难点】离散型随机变量的均值和方差的概念及其应用【教学过程】一、预习自学：【预习自测】1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。
如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值为____0.7______2. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数X的均值为__3.5___,方差为____2.92___.3. 已知ε～B(n，p)，E(ε)=8，D(ε)=1.6，则n与p的值分别是____10______0.8________二、合作探究探究点一：均值和方差在实际中的应用例1.产量相同的2台机床生产同一种零件，他们在一小时内生产出的次品数X 1，X 2的分布列分别如下：试问哪台机床更好？请解释你得出结论的实际含义 解：11.032.023.014.00)(1=⨯+⨯+⨯+⨯=X E9.02.025.013.00)(2=⨯+⨯+⨯=X E因为第2台机床生产零件的平均次品数E(X 2)小于第1台机床生产零件的平均次品数E(X 1),所以第2台机床更好，其实际含义是随着产量的增加，第2台机床生产的次品数要比第1台生产的次品数小.拓展：某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。
买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。
若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。
如果存入银行，假设年利率为8%（不考虑利息可得税），可得利息8000元。
又假设经济形势好、中、差的概率分别为30%，50%，20%。
离散型随机变量的均值与方差 课件
X
x
x-a
P
1-p
p
因此,公司每年收益的期望值为E(X)=x(1-p)+(x-a)p=x-ap. 为使公司收益的期望值等于a的10%,只需E(X)=0.1a,即x-ap=0.1a, 故可得x=a(p+0.1), 即当顾客交的保险金为a(p+0.1)元时,可使公司期望获益0.1a元.
列表法求离散型随机变量的分布列与期望 【典例】 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气 质量指数小于100表示空气ห้องสมุดไป่ตู้量优良,空气质量指数大于200表示空 气重度污染,某人随机在3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并 停留2天.
【规范展示】 解:设Ai表示事件“此人于3月i日到达该
市”(i=1,2,…,13),根据题意,P(Ai)=
1 13
,且Ai∩Aj=⌀(i≠j).
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,
则B=A5∪A8. 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=123.
(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,
离散型随机变量的均值与方差的综合应用
1.常用分布的均值与方差 (1)二点分布的均值与方差
若随机变量X服从参数为p的二点分布,则E(X)=1×p+0×(1-
p)=p,D(X)=p(1-p). (2)二项分布的均值与方差 在n次独立重复试验中,若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 2.离散型随机变量方差的性质 当a,b为常数时,随机变量Y=aX+b,则D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). (1)当a=0时,D(Y)=D(b)=0; (2)当a=1时,D(Y)=D(X+b)=D(X); (3)当b=0时,D(Y)=D(aX)=a2D(X).
概率统计-11.9 随机变量的均值与方差(学案)
123响水二中高三数学（理）一轮复习学案 第十一编 概率统计 主备人 张灵芝 总第62期§11.9 随机变量的均值与方差班级 姓名 等第基础自测1.若随机变量X 的概率分布如下表，则E （X ）= .2.已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 .3.已知ξ的概率分布则在下列式子中，①E （ξ）=-31;②V （ξ）=2723;③P (ξ=0)= 31.正确的个数是 .4.已知ξ的分布列为ξ=-1,0,1,对应P =21，61，31，且设η=2ξ+1，则η的期望是 .例题精讲例1 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1）X 的概率分布；（2）X 的均值.例2 某运动员投篮时命中率p =0.6.（1）求一次投篮命中次数ξ的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差.124例3 设随机变量ξ具有分布P （ξ=k ）=51，k =1，2，3，4，5，求E （ξ+2）2，V （2ξ-1），σ（ξ-1）.例4 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为试评定这两个保护区的管理水平.巩固练习1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X .（1）求随机变量X 的概率分布；（2）求随机变量X 的数学期望和方差.2.A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A 有效的概率为32，服用B 有效的概率为21.(1)求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的概率分布和数学期望.3袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.（1）求ξ的概率分布、期望和方差；（2）若η=aξ +b,E(η)=1,V(η)=11,试求a,b的值.回顾总结知识方法思想125。
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布一、教学目标1. 了解随机变量的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的分布函数及其性质。
3. 学习离散型随机变量的概率分布及其数学期望。
4. 理解连续型随机变量的概率密度及其数学期望。
5. 能够运用随机变量及其分布解决实际问题。
二、教学内容1. 随机变量的概念及分类。
2. 随机变量的分布函数及其性质。
3. 离散型随机变量的概率分布：二项分布、泊松分布、超几何分布等。
4. 连续型随机变量的概率密度：正态分布、均匀分布、指数分布等。
5. 随机变量的数学期望及其性质。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍随机变量及其分布的概念、性质和计算方法。
2. 利用案例分析，让学生了解随机变量在实际问题中的应用。
3. 借助数学软件或图形计算器，直观地展示随机变量的分布情况。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
四、教学准备1. 教学PPT课件。
2. 教学案例及实际问题。
3. 数学软件或图形计算器。
4. 教材、辅导资料。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入随机变量的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解随机变量的定义、分类及其重要性。
3. 讲解随机变量的分布函数及其性质，引导学生理解分布函数的概念。
4. 讲解离散型随机变量的概率分布，结合实例介绍二项分布、泊松分布、超几何分布等。
5. 讲解连续型随机变量的概率密度，介绍正态分布、均匀分布、指数分布等。
6. 讲解随机变量的数学期望及其性质，引导学生掌握数学期望的计算方法。
7. 案例分析：运用随机变量及其分布解决实际问题，提高学生的应用能力。
8. 课堂练习：布置适量练习题，巩固所学知识。
10. 作业布置：布置课后作业，巩固课堂所学。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对随机变量及其分布的理解程度。
2. 课堂练习：检查学生解答练习题的情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 课后作业：布置相关作业，收集学生作业情况，评估学生对知识的运用能力。
离散型随机变量的均值与方差详解教师版
离散型随机变量的均值与方差一、考点、热点回顾【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。
（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：①()E E E ξηξη+=+；②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(；b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：：η的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++…＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。
要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。
2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-⋅＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．要点诠释：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。
11-9离散型随机变量的数学期望与方差、正态分布(一轮复习)
基 础 分 层 导 学
题 型 重 点 研 讨
必考部分
真 题 演 练 集 训
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第十一章 §11.9
第 1页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基 础 分 层 导 学
题 型 重 点 研 讨
[第十一章] 计数原理、概率、 随机变量及其分布
题 型 重 点 研 讨
np＝12， 解析：∵X～B(n，p)，∴ np1－p＝4，
2 p＝ ， 解得 3 n＝18.
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第十一章 §11.9
第13页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基 础 分 层 导 学
(2)[教材习题改编]一台机器在一天内发生故障的概率为 0.1.这 台机器一周五个工作日不发生故障，可获利 5 万元；发生一次故障 仍可获利 2.5 万元；发生两次故障的利润为 0 万元；发生三次或者 三次以上的故障要亏损 1 万元．则这台机器一周内可能获利的均值
课 时 跟 踪 检 测
必考部分 第十一章 §11.9
第 8页
名师伴你行 ·高考一轮总复习 ·数学（理）
基 础 分 层 导 学
考点 2
正态分布
真 题 演 练 集 训
1．正态曲线的性质 (1)曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； (3)曲线在 x＝μ 处达到峰值σ (4)曲线与 x 轴之间的面积为 (5)当 σ 一定时，曲线随着 μ 所示； 1 ； 2π
[必备知识] 考点 1 离散型随机变量的均值与方差
真 题 演 练 集 训
1．若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 P p1 (1)均值 称 E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值 或 数学期望 ，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平． x2 … xi … xn pi … pn
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的取值讨论离散型随机变量的取值范围解释离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的概率质量函数定义概率质量函数（PMF）示例说明如何计算离散型随机变量的概率第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值定义引入离散型随机变量的均值概念解释均值的意义和重要性2.2 计算离散型随机变量的均值介绍计算离散型随机变量均值的方法通过实例演示如何计算均值2.3 均值的性质讨论离散型随机变量均值的性质证明均值的线性性质第三章：离散型随机变量的方差3.1 方差的概念引入方差的概念和意义解释方差在描述随机变量离散程度方面的作用3.2 计算离散型随机变量的方差介绍计算离散型随机变量方差的方法通过实例演示如何计算方差3.3 方差的性质讨论离散型随机变量方差的性质证明方差的线性性质第四章：离散型随机变量的标准差4.1 标准差的概念引入标准差的概念和意义解释标准差在描述随机变量离散程度方面的作用4.2 计算离散型随机变量的标准差介绍计算离散型随机变量标准差的方法通过实例演示如何计算标准差4.3 标准差的性质讨论离散型随机变量标准差的性质证明标准差的线性性质第五章：离散型随机变量的期望和方差的关系5.1 期望和方差的关系引入期望和方差的关系概念解释期望和方差在描述随机变量特性方面的作用5.2 计算离散型随机变量的期望和方差介绍计算离散型随机变量期望和方差的方法通过实例演示如何计算期望和方差5.3 期望和方差的性质讨论离散型随机变量期望和方差的性质证明期望和方差的线性性质这五个章节涵盖了离散型随机变量的均值和方差的基本概念、计算方法和性质。
通过这些章节的学习，学生可以掌握离散型随机变量的均值和方差的计算方法，并了解它们在描述随机变量特性和规律方面的应用。
《离散型随机变量的均值与方差》教学设计4
《离散型随机变量的均值与方差》教学设计（4）教学目标（1）进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；（2）会求均值与方差，并能解决有关应用题．教学重点，难点：会求均值与方差，并能解决有关应用题． 教学课时:1个课时 教学过程 一、问题情境 复习回顾：1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式． 2．练习设随机变量~(,)X B n p ，且() 1.6,() 1.28E X V X ==，则n = ，p = ；答案：8,0.2n p == 二、数学运用 1．例题：例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ．（1）求随机变量X 的概率分布；（2）求X 的数学期望和方差．解：（1）4411689(4),(3)0,(2),(1),(0)24242424P X P X P X P X P X A ===========，因此X 的分布列为（2）9861()012304124242424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 222229861()(01)(11)(21)(31)0(41)124242424V X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=例2．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为,X Y （单位：s ），其分布列如下：比较两种品牌手表的质量．分析：期望与方差结合能解决实际应用中质量好坏、产品质量高低等问题．特别是期望相等时，可在看方差．本题只要分别求出两种品牌手表日走时误差的期望和方差，然后通过数值的大小进行比较． 解：()10.100.810.10()E X s =-⨯+⨯+⨯=，()20.110.200.410.220.10()E Y s =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=所以 ()()E X E Y =，所以由期望值难以判断质量的好坏． 又因为2222()(10)0.1(00)0.8(10)0.10.2()V X s =--+-+-=222222()(20)0.1(10)0.2(00)0.4(10)0.2(20)0.1 1.2()V Y s =--+--+-+-+-= 所以()()V X V Y <，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲的质量高于乙．例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需322ξ≤即可．解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件123,,A A A ． 由已知123,,A A A 相互独立，123()0.4,()0.5,()0.6P A P A P A ===.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．123123(3)()()P P A A A P A A A ξ==+123123()()()()()()20.40.50.60.24P A P A P A P A P A P A =+=⨯⨯⨯=(1)10.240.76P ξ==-=所以ξ的分布列为()1E ξ=一：因为2239()()1,24f x x ξξ=-+-所以函（Ⅱ）解法数23()31[,)2f x x x ξξ=-++∞在区间上单调递增，要使()[2,)f x +∞在上单调递增，当且仅当342,.23ξξ≤≤即从而4()()(1)0.76.3P A P P ξξ=≤===解法二：ξ的可能取值为1，3.当1ξ=时，函数2()31[2,)f x x x =-++∞在区间上单调递增， 当3ξ=时，函数2()91[2,)f x x x =-++∞在区间上不单调递增. 所以()(1)0.76.P A P ξ===例4．有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．解：设庄家获利的数额为随机变量X ，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量X 的概率分布为：所以246810665()(30)(20)(10)1020303636363636369E X =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯= 因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家． 三、回顾小结：1． 已知随机变量的分布列，求它的期望、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；2． 如能分析所给随机变量，是服从常见的分布（如两点分布、二项分布、超几何分布等），可直接用它们的期望、方差公式计算；3． 对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差和标准差． 四、课外作业：71P 3，4，5，6，7 80P 10。
离散型随机变量均值与方差优秀教案设计
离散型随机变量的均值与方差教学目标：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据分布列求出均值或期望，理解公式“E(a ξ+b)=aE ξ+b ”，以及“若ξ～B(n,p)，则E ξ=np ”；了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
教学重点、难点：离散型随机变量的均值或期望的概念，及根据分布列求出均值或期望，了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。
复习：1 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是离散型随机变量，η=a ξ+b , a, b 是常数，则η也是离散型随机变量。
3 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列ξ x 1 x 2 … x i … PP 1P 2 …P i…4 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1．5 离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是ξ1…k … nP nn q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … 0q p C n n nk n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k nq p C -＝b (k ；n ，p )． 6 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“ξ=k ”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ123…k …Pppq 2q p … 1k q p - …称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．离散型随机变量的均值问题：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克混合糖果定价才合理？价格定为(18+24+36)/3=26(元/千克)；合理吗？如何体现三种的比例？平均在每1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别为1/2kg, 1/3kg, 1/6kg, 所以价格应定为:182436263213⨯+⨯+⨯=(元/千克).它是三种糖果价格的加权平均，其中1/2, 1/3, 1/6权数，在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例，权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响也越大.加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始=)(X E 0×n nq p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k n k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ． ∴=)(X E (np 0011n n C p q--＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q p C n n n --- np q p np n =+=-1)(．故若X ～B (n ，p )，则=)(X E np ．随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别？随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此，样本的平均值是随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越老越接近于总体的均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。
高中数学教学备课教案概率统计的综合应用随机变量的期望和方差计算
高中数学教学备课教案概率统计的综合应用随机变量的期望和方差计算高中数学教学备课教案概率统计的综合应用：随机变量的期望和方差计算在高中数学教学中，概率统计是一个重要的内容领域。
学生们需要掌握随机变量的期望和方差的计算方法，以应用于实际问题的解决。
本教案将重点讲解随机变量的期望和方差的计算方法，并提供一些实例与习题供学生练习。
一、随机变量的期望计算方法在概率统计中，随机变量是一个具有确定数学规律的变量。
它的期望是对这个随机变量的平均值进行度量，也可以理解为多次试验下该随机变量的长期平均表现。
对于离散型随机变量，其期望的计算方法为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，x代表随机变量的取值，P(X=x)代表该取值的概率。
举例说明：已知一个骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，每个点数出现的概率相同为1/6。
则该骰子的期望为：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 21/6 = 3.5对于连续型随机变量，其期望的计算方法为：E(X) = ∫[x * f(x)]dx其中，f(x)代表该连续型随机变量的概率密度函数。
二、随机变量的方差计算方法随机变量的方差是对该随机变量取值不确定性的度量，它反映了随机变量的分散程度。
对于离散型随机变量，其方差的计算方法为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]其中，x代表随机变量的取值，E(X)代表该随机变量的期望。
举例说明：仍以上述骰子为例，其方差的计算为：Var(X) = [(1 - 3.5)^2 * 1/6] + [(2 - 3.5)^2 * 1/6] + [(3 - 3.5)^2 * 1/6] + [(4 - 3.5)^2 * 1/6] + [(5 - 3.5)^2 * 1/6] + [(6 - 3.5)^2 * 1/6] = 17.5/6 ≈ 2.92对于连续型随机变量，其方差的计算方法为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx其中，f(x)代表该连续型随机变量的概率密度函数。
均值方差教学设计
均值方差教学设计一、教学设计背景和目标均值和方差是概率统计中常用的两个统计量，对于数据的集中趋势和数据的离散程度有着重要的意义。
本教学设计的背景是高中数学概率统计课程中的一堂课，主要目标是帮助学生理解和掌握均值和方差的概念，掌握计算均值和方差的方法，并能运用均值和方差进行数据分析。
二、教学设计步骤1. 导入和导出步骤导入：通过引导学生回顾统计的基本概念，如总体、样本、随机变量等，并让学生简要讲解均值和方差的含义和应用场景，引发学生的兴趣，并提出学习问题：“均值和方差对于数据的分析有什么作用？”导出：通过学生回答问题和讨论，总结出均值和方差的作用，并介绍本节课的学习内容和目标。
2. 知识讲解和示范知识讲解：讲解均值和方差的定义和计算方法，并通过实例讲解计算步骤和注意事项，帮助学生理解和掌握相关知识。
示范：老师以一个实际问题为例，展示如何使用均值和方差进行数据分析，引导学生观察数据特征、提出问题和解答问题的思路。
3. 学生练习和合作学习学生练习：分组给学生一些练习题，让他们自己计算均值和方差，并解答相应的问题，加深对概念和计算方法的理解。
合作学习：鼓励学生在小组中互相讨论和合作，共同解决问题，促进合作学习和思维发展。
4. 学生展示和评价学生展示：让学生分组展示他们的计算过程和答案，并互相评价和纠错，增加学生的自信心和合作感。
评价：通过学生的展示和讨论来评价学生对于均值和方差的理解程度，并给予鼓励和指导。
5. 拓展和运用拓展：老师引导学生思考均值和方差的局限性，以及其他更深入和复杂的概率统计知识，激发学生进一步学习的兴趣。
运用：让学生用所学的均值和方差的知识来解决实际问题，让他们将知识应用到实际生活和实际工作中。
三、教学设计理念和方法1. 概念导入法：通过引入问题或情境来导入知识的学习，激发学生的思维和兴趣，提高学习效果。
2. 示范方法：通过示范老师解决实际问题的方法，帮助学生理解和掌握解题思路和方法。
均值与方差 课件
x)2
4 1002
(4x2
600x
31002 )
当 x 600 75 时，f (x) 3 为最小值．
24
1.定义：若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
P
p1
p2Leabharlann …pn则称 Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn 为ξ的数学期望或均值,简称期望.
则称 Dξ＝(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn为ξ的方差.
求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值. （注：D(aX b) a2D(X ) ）
解：（Ⅰ）由题设可知 Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10 P 0.8 0.2
Y2
2
8 12
P
0.2 0.5 0.3
EY1 5 0.8 10 0.2 6 ，DY1 (5 6)2 0.8 (10 6)2 0.2 4
E(X)= np
,D(X)= np(1-p)
———————
—————————.
小结：
1.解决此类题的均值与方差, 关键是求出分布列， 套用均值和方差的计算公式求解；
2.利用公式 E(aX b) aE(X ) b, D(aX b) a2D(X ), 将求 E(aX b),D(aX b) 的问题转化为求 E(X ),D(X ) 的问题， 解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算.
2. 性质: (1)若 Y aX b(a,b为常数) ，则
E(Y)= —aE—(X—) —b —,D(Y)= —a2—D(—X )——.
(2)若X服从两点分布,则
随机变量的均值和方差学案1(高二数学)MnHwMl
2.5.2 随机变量的均值和方差【教学目标】能熟练地计算实际问题中随机变量的均值（数学期望）、方差和标准差.【知识回顾】1．均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列为P(X=x i)=p i(i=0,1,2,…,n)，则E(X)＝ .2．均值的性质：①若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝ .②若X服从两点分布，则E(X)＝；③若X～H(n, M,N) 则E(X)＝；④若X～B(n，p)，则E(X)＝ .3. 方差：对于离散型随机变量X的分布列，则V(X)＝，X的标准差= ．4. 方差的性质：①V(aX＋b)＝．②若X服从两点分布，则V(X)＝．③若X～H(n,M,N) 则V(X)＝；④若X～B(n，p)，则V(X)＝．【合作探究】例1．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．例2. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望和标准差．例3．某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的期望；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．例4甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X 的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：你认为应该种植哪一品种？【学以致用】1．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的期望是________________.2．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到1个黑 球得0分，取到1个红球得2分，则所得分数X 的数学期 望E (X )＝________.3.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若E (X )＝13，则V (X )的值是________． 4.已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝______，b ＝_____.5.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：其中X 和Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料．6.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立。
离散型随机变量的均值与方差教案
2.5离散型随机变量的均值与方差 教案教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．教学过程一．问题情境1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下． 1X 01 2 3 k p 0.70.1 0.1 0.1 2X 0 1 2 3 k p 0.5 0.3 0.20 2．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？二．学生活动1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．三．建构数学1．定义在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．X X 1x 2x … n xP 1p 2p … n p其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．2．性质（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）四．数学运用1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．解：由2．2节例1可知，随机变量X 的概率分布如表所示：X 0 1 2 3 4 5P 258423751 807523751 855023751 380023751 70023751 4223751从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N M n r N r C C M E X n C N --===∑． 例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ，1010()(1),0,1,2,...,10k k k k P X k p C p p k -===-=X 0 1 2 3 4 5k p 001010(1)C p p - 11910(1)C p p - 22810(1)C p p - 33710(1)C p p - 44610(1)C p p - 55510(1)C p p - X 6 7 8 9 10k p 66410(1)C p p - 77310(1)C p p - 88210(1)C p p - 99110(1)C p p - 1010010(1)C p p -故100()0.5k k E X kp ===∑即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．说明：例2中随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当~(,)X B n p 时，()E X np =．例3．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望． 分析：先由题意求出分布列，然后求期望 解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．4400044411112(4)()()()()222216P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=； （2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以33431141441111114(5)()()()()22222216P X C C --==+= （3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216P X C C --==+=， 33633363661111115(7)()()()()22222216P X C C --==+= 比赛场数的分布列为X 4 5 6 7P 216 416 516 516故比赛的期望为2455()4567 5.812516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场） 这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．2．练习：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案： 方案1：运走设备，此时需花费3800元；方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．试选择适当的标准，对3种方案进行比较．五．回顾小结：1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．六．课外作业：。
学案7随机变量的均值与方差、正态分布共32页PPT
（3）曲线在 x=μ 处达到峰值 1 ;
a 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为 1
；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿 x轴 平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越
，
曲线越小“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越
，
曲线越大“矮胖”，表示总体的分布越分散.
考点1 求期望与方差
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得
ξ 10 9 8 7 6 5 0
P0.50.2源自0.10.10.0 5
0.0 5
0
ξ 10 9 8 7 6 5 0 P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2
计算ξ,η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.
【分析】利用ξ,η的分布列，用期望、方差公式计算 出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析.
= 5 （1-p)(1-q)+ 5 p(1-q)+ 5 (1-p)q
= 37 ,
125
b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)= . 58
125
所以
E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)= .
9
5
【评析】求期望的关键是写出分布列.
甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的 随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
所以P(1 000-a＜X＜1 000+a)=P(- a ＜Y＜ a )
=P(Y＜
a 30
)-〔1-P(Y＜
a 30
)〕
30
30
=2P(Y＜
a 30
)-1,
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1
2
P
E（）=E（3-）=3-E（）=3-=. ∵=-+3，∴V（）=（-1）2V（）=. 11.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
与p，且乙投球2次均未命中的概率为. （1）求乙投球的命中率p； （2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的概率
分布和数学期望.
解 （1）设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示 对应的概率，则
方案甲中1的概率分布为
1
2
3
4
P
方案乙中2的概率分布为
1
2
3
P
0
若甲化验次数不少于乙化验次数,则
P=P(1=1)×P(2=1)+P(1=2)×［P(2=1)+P(2=2)］ +P(1=3)×［P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)］+P(1=4) =0+×（0+）+×（0++）
因为E()=E(),V()＞V(),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件 的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护 区内的违规事件次数更集中和稳定.
巩固练习
1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生
坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X. （1）求随机变量X的概率分布；（2）求随机变量X的数学期望和方
0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000
元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500
元.
（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失的概率分布，并
求其平均值；
（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写出
的概率分布.
计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？
P
0.56
0.38
0.06
∴E()=0+500×0.38+3 000×0.06=370 平均每天损失为370元.∵370＜900，∴按天气预报作防雨处理是正确 的选择.
10.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一 个，并且取出不再放回，若以ξ和分别表示取出次品和正品的个数. （1）求的概率分布、期望值及方差； （2）求的概率分布、期望值及方差. 解 （1）的可能值为0，1，2.
响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第十一编 概率统计
主备人 张灵芝 总第62期
§11.9 随机变量的均值与方差
基础自测
1.若随机变量X的概率分布如下表，则E（X）=
.
X0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
答案
2.已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二
解 （1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1， 2.
依题意有P（A1）=2××=,P（A2）=×=.P(B0)= ×=,P(B1)=2××=. 所求的概率为P=P(B0A1)+P（B0A2）+P（B1A2）=×+×+×=. （2）的可能值为0,1,2,3，且～B(3,). P（=0）==， P（=1）=××=, P(=2)=××=,P(=3)== . 的概率分布为
解 （1）设为损失数，概率分布为：
0
3 000
P 0.7 0.3
∴E（）=3 000×0.3=900（元）. （2）设为损失数，则
P（=0）=0.7×0.8=0.56. P(=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38. P（=3 000）=0.3×0.2=0.06.
概率分布为：
0
500
3 000
2（a2-3），2（a3-3），2（a4-3），2（a5-3），2（a6-3）的平均数
（期望）是
.
答案 0
4.设～B（n，p），若有E()=12，V()=4，则n、p的值分别为 .
答案 18，
5.随机变量X的概率分布为
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则E（5X+4）=
.
答案 15
6.投掷1枚骰子的点数为，则E（）=
01234
P ∴E()=0×+1×+2×+3×+4×=1.5. V()=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(41.5)2×=2.75. (2)由V()=a2V(),得a2×2.75=11,即a=±2. 又E()=aE()+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2. 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.∴或即为所求. 4.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建 设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检 查它们的抗拉强度指数如下：
X
0
10
20
50
60
P
（2）E（X）=0×+10×+20×+50×+60×=3.3(元).
例2 某运动员投篮时命中率p=0.6. （1）求一次投篮命中次数的期望与方差； （2）求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差. 解 （1）投篮一次，命中次数的概率分布为：
0
1
P 0.4 0.6
则E（）=0×0.4+1×0.6=0.6,
0123
P
数学期望E()=0×+1×+2×+3×=. 3.（2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有
10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取 球的标号. （1）求的概率分布、期望和方差；
（2）若=a +b,E()=1,V()=11,试求a,b的值. 解 （1）的概率分布为
差.
解 （1）P（X=0）==； P（X=1）==；P（X=3）==； ∴随机变量X的概率分布为
X
0
1
3
P
（2）E(X)=1×+3×=1. V(X)=(1-0)2·+(1-1)2·+(3-1)2·=1. 2.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个 试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗 效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的 多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为，服 用B有效的概率为. (1)求一个试验组为甲类组的概率； （2）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的概率 分布和数学期望.
若=0，表示没有取出次品，其概率为： P（=0）==;
同理，有P（=1）==；P（=2）==. ∴的概率分布为：
0
1
2
P
∴E（）=0×+1×+2×=. V（）=(0-)2×+×+×=++=. (2)的可能值为1，2，3，显然+=3.
P(=1)=P(=2)=,P(=2)=P(=1)=, P(=3)=P(=0)=. ∴的概率分布为：
规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金
总额.求： （1）X的概率分布；（2）X的均值. 解 （1）X的所有可能取值为0，10，20，50，60. P（X=0）==； P（X=10）=×+×××=; P(X=20)= ×××=;P(X=50)=×=;P(X=60)= =. 故X的概率分布为
8分
V（2-1）
=4V()=8，
11分
（-1）===.
14分
例4 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类
和数量也大致相等，而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件
次数的概率分布分别为
0
1
2
3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平. 解 甲保护区的违规次数的数学期望和方差为
V（）=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数服从二项分布,
即～B(5,0.6),由二项分布期望与方差的计算结论有
E（）=5×0.6=3,V（）=5×0.6×0.4=1.2.
例3 （14分）设随机变量具有分布P（=k）=，k=1，2，3，4，5，
，V（）=
.
答案 3.5
7.随机变量的概率分布如下：
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列.若E（）=,则V（）的值是
.
答案
8.设离散型随机变量X可能取的值为1，2，3，4.P（X=k）
=ak+b（k=1，2，3，4）.又X的均值E（X）=3，则a+b= .
答案
二、解答题
9.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为
的概率分布为
0
1
2
3
P
的数学期望
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=2. 12.（2008·全国Ⅰ理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通
过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明 患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为 止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验. (1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2) 表示依方案乙所需化验次数,求的期望.