成都2015届高考模拟考试数学文科试卷(一)及答案
2015四川高考数学文科试卷带详解
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1.设集合A ={|12}x x －<<，集合B ＝{|13}x x <<，则A B ＝( )A. {|13}x x <－<B. {|11}x x <－<C. {|12}x x <<D. {|23}x x << 【参考答案】A【测量目标】考查集合的并集运算.【试题分析】集合(12)(13)A B =-，，=，，故(13)A B =-，，选A. 2.设向量(24)a =，与向量(6)b x =，共线，则实数x ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【参考答案】B【测量目标】考查向量平行的性质.【试题分析】 由向量平行的性质，有2:4＝x :6，解得x ＝3，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法 【参考答案】C【测量目标】考查抽样方法的适用范围.【试题分析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C.4.设a b ，为正实数，则1a b “>>”是22log log 0a b “>>”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A【测量目标】考查充分、必要条件.【试题分析】1a b >>时，有22log log 0a b >>成立，反之也正确.选A. 5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A.πsin(2)2y x =+B.πcos(2)2y x =+C.sin2cos2y x x =+D.sin cos y x x =+ 【参考答案】B【测量目标】考查三角函数的周期.【试题分析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π，但A 中,cos2y x =是偶函数，C 中π)4y x +是非奇非偶函数. 故正确答案为B.6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )第6题图A. - C.12-D.12【参考答案】D【测量目标】考查算法的程序框图，求值运算能力. 【试题分析】第四次循环后，5k =，输出5π1sin62S ==，选D. 7.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )B. C.6 D.【参考答案】D【测量目标】考查双曲线的交点、渐近线.【试题分析】由题意，1,a b ==2c =，渐近线方程为y =，将2x =代入渐近线方程，得y =±AB = D.8.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系e kx b y += (e 2.718= 为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时 【参考答案】C【测量目标】考查函数在实际问题中的应用.【试题分析】由题意，22192e 48ebk b+⎧=⎨=⎩得11192e 1e 2b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当33x =时 ，()33311eee k bk by +==⋅=31192242⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭(小时).9.设实数x y ，满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 4<的最大值为( )A.252B.492C.12D.14【参考答案】A【测量目标】考查运用线性规划求最值. 【试题分析】画出可行域如图，第9题图在ABC △区域中结合图象可知， 当动点在线段AC 上时xy 取得最大， 此时210x y +=，()112522222x y xy x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭22=，当且仅当552x y =，=时取等号，对应点落在线段AC 上， 故最大值为25.2选A. 10.设直线l 与抛物线24y x =相较于A ，B 两点，与圆C ：222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4) 【参考答案】D【测量目标】考查抛物线、圆、直线的综合问题. 【试题分析】不妨设直线:l x ty m =+, 代入抛物线方程有：2440y ty m --=， 则216160t m ∆=+>，又中点2(2,2)M t m t +，则1MC l k k =-，即232m t =-（当0t ≠时），代入21616t m ∆=+，可得230t ->，即203t <<. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得2d r ====由203t <<，可得(2,4)r ∈.选D.二、填空题(每小题5分，共25分，将答案填在答题纸上) 11.设i 是虚数单位，则复数1i i-=_____________.【参考答案】2i【测量目标】考查复数的四则运算. 【试题分析】1i i i 2i i-=+=. 12.2lg0.01log 16=+ _____________.【参考答案】2【测量目标】考查对数函数的求值运算. 【试题分析】2lg0.01log 16242+=-+=.13.已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是______________.【参考答案】－1【测量目标】考查三角函数的求值运算. 【试题分析】由已知可得tan 2α=-，22sin cos cos ααα=-22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα---===-+++-. 14.在三棱柱111ABC A B C －中，90BAC ∠︒＝，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P AMN －的体积是______.【参考答案】124【测量目标】空间几何体的体积.【试题分析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形， 高为1的直三棱柱，底面积为12. 如图，三棱锥P AMN －底面积是三棱锥底面积的14，高为1， 故三棱锥P AMN －的体积为111132424⨯⨯=.第14题图15.已知函数()()22x f x g x x ax =，=+ (其中a ∈R ).对于不相等的实数12x x ，，设()()()()12121212,f x f x g x g x m n x x x x --=--=，现有如下命题：①对于任意不相等的实数12x x ，，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12x x ，，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数12x x ，，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数12x x ，，使得m n =-. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【参考答案】①④【测量目标】考查函数与命题判断相结合的问题.【试题分析】对于①，因为()xf x '=2l n2>0恒成立，故①正确.对于②，取8a =-，即()28g x x '=-，当12x x ，<4时，0n <，②错误.对于③，令()()f x g x ''=，即2ln22xx a =+，记()2ln 22x h x x =-，则()()22ln22xh x '=-，存在()00,1x ∈，使得()00h x =，可知函数()h x 先减后增，有最小值. 因此，对任意的a ,m n =不一定成立. ③错误. 对于④，由()()f x g x ''=-，即2ln 22xx a =--，令()2ln 22xh x x =+，则()()22ln 220xh x '=+>恒成立，即()h x 是单调递增函数， 当x →+∞时，()h x →+∞； 当x →-∞时，()h x →-∞.因此，对任意的a ,存在y a =与函数()h x 有交点. ④正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 16．(本小题满分12分)设数列{}(123)n a n ⋯=，，的前n 项和n S 满足12n n S a a ＝－，且1231a a a ，＋，成等差数列. (1)求数列的通项公式；(2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【测量目标】(1)考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式；(2)考查等比数列前n 项和、运算求解能力. 【试题分析】 (1) 由已知12n n S a a =-， 有1122(2)n n n n n a S S a a n ≥--=-=-， 即12(2)n n a a n ≥-=. 从而21321224a a a a a =，==， 又因为1231a a a ，+，成等差数列， 即1322(1)a a a +=+.所以111+4=2(2+1)a a a ，解得1=2a .所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 故=2.n n a (2)由(1)得112n n a =， 所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==-- .17.(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客12345,,,,P P P P P 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客1P 因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.(1)若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客1P 坐到5号座位的概率.【测量目标】(1)考查排列组合；(2)考查排列组合、古典概型.【试题分析】 (1)余下两种坐法如下表所示：做到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能坐法可用下表表示为于是，所有可能的坐法共8种.设“乘客5P 坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 所以()4182P A ==. 答：乘客5P 坐到5号座位的概率为12. 18.(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处 (不需要说明理由) ； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .第18题图【测量目标】(1)考查简单空间图形的直观图，空间想象能力；(2)考查空间线面平行与面面平行的判定与性质，空间想象能力、推理论证能力；(3)考查空间线面垂直的判定与性质，空间想象能力、推理论证能力.【试题分析】(1)点F，G，H的位置如图所示第18题图(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH.于是BCEH为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.第18题图(3)连接FH，因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF ⊥BG , 又EG ∩BG ＝G ,所以DF ⊥平面BEG . 19.(本小题满分12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan A 、tan B 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，ACp 的值. 【测量目标】(1)考查韦达定理，解三角形； (2)考查正弦定理的应用,正切值的计算.【试题分析】 (1)由已知，方程210x p -+=的判别式22)4(1)3440p p p ∆≥=--+=+-， 所以2p ≤－或2.3p ≥由韦达定理，有tan tan tan tan 1A B A B p +=，=-， 于是1tan tan 1(1)0A B p p =≠-=--，从而tan()A B +=tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tan tan()C A B =-+ 所以60.C ︒=(2)由正弦定理，得sin B =sin AC C AB ==解得45B ︒=或135B ︒=(舍去)， 于是18075,A B C ︒︒=--=则tan tan75tan(4530)A ︒︒︒==+=1tan 45tan 3021tan 45tan 303++==-所以tan )1p A B =-+=--20.(本小题满分13分)如图，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是2，点P (0，1)在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=- . (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.第20题图【测量目标】(1)考查椭圆的标准方程，运算求解能力；(2)考查直线方程，推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【试题分析】(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0)(0),b b ，－，，又点P 的坐标为(01)，，且1PC PD ⋅=- ,于是2222112b c a a b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b =， 所以椭圆E 方程为22142x y +=. (2)当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，A ，B 的坐标分别为1122()()x y x y ，，，. 联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(21)420k x kx ++-=， 其判别式()224+8(21)0k k ∆=+>. 所以12122242,,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅ 12121212[(1)(1)]x x y y x x y y λ=+++-- 21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++()2224(21)21k k λλ--+--=+ 21221k λλ---+=-所以，当1λ=时，212321k λλ---=-+-，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅ 3=-为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅ 21=3=---.故存在常数1λ=，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值3-.21.(本小题满分14分)已知函数()222ln 2+f x x x x ax a =-+-，其中0a >.(1)设()g x 为()f x 的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在(01)a ∈，，使得()0f x ≥在区间(0,)+∞内恒成立，且()0f x =在(1,)+∞内有唯一解. 【测量目标】(1)考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点；(2) 函数与方程，推理论证能力、运算求解能力、创新意识，数形结合、化归与转化等数学思想.(1)由已知，函数()f x 的定义域为(0)∞，＋，()()==2(1ln )g x f x x x a '---，所以()()2122x g x x x-'==-. 当(01)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(1)x ∈∞，＋时，()g x '>0，()g x 单调递增.(2)由()'2(1ln )0f x x x a =---=，解得1ln a x x =--.令()x ϕ2222ln 2(1ln )(1ln )(1+ln )2ln x x x x x x x x x x x =-+---+--=-， 则()()110e 2(2e)0ϕϕ<=>，=-，于是存在0(1e)x ∈，，使得()00x ϕ=.令()00001ln a x x u x =--=，其中()1ln (1)u x x x x ≥=--，由()110u x x'≥=-知，函数()u x 在区间(1)∞，＋上单调递增, 故()()0001()e e 21u a u x u <=<==-<，即0(01)a ∈，.当0a a =时，有()()()00000f x f x x ϕ'=，==.再由(1)知，()f x '在区间(1)∞，＋上单调递增，当0(1)x x ∈， 时，()0f x '<，从而()()00f x f x >=； 当0()x x ∈∞，＋时，()'0f x >，从而()()00f x f x >=；又当(01]x ∈，时，()20()2ln 0f x x a x x =-->， 故(0)x ∈∞，＋时，()0f x ≥.综上所述，存在(01)a ∈，，使得()0f x ≥，在区间(0+)∞，内恒成立，且()0f x =在区间(1)∞，＋内有唯一解.。
2015年四川省高考数学试题及答案(文科)【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(5分)（2015•四川）设集合A=｛x|﹣1＜x＜2}，集合B={x｜1＜x＜3}，则A∪B=()A．｛x｜﹣1＜x＜3} B．{x｜﹣1＜x＜1｝C．｛x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3｝考点：并集及其运算．专题：集合．分析:直接利用并集求解法则求解即可．解答:解：集合A={x|﹣1＜x＜2｝,集合B=｛x｜1＜x＜3｝，则A∪B=｛x｜﹣1＜x＜3}．故选:A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分)（2015•四川)设向量=（2，4）与向量=（x,6）共线，则实数x=() A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线(平行)的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=(x,6)共线，所以4x=2×6，解得x=3;故选：B．点评:本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=(x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．(5分）(2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解:我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选:C ．点评： 本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015•四川）设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1"是“log 2a ＞log 2b ＞0”的（ ）A ． 充要条件B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件考点： 充要条件．专题: 简易逻辑．分析： 先求出log 2a ＞log 2b ＞0的充要条件，再和a ＞b ＞1比较,从而求出答案．解答： 解:若log 2a ＞log 2b ＞0,则a ＞b ＞1,故“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0"的充要条件，故选：A ．点评： 本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（) A ． y=cos （2x+） B ． y=sin （2x+）C ． y =sin2x+cos2xD ． y =sinx+cosx考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 求出函数的周期，函数的奇偶性,判断求解即可．解答： 解：y=cos （2x+）=﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y=sin （2x+）=cos2x,函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确； y=sin2x+cos2x=sin （2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确； y=sinx+cosx=sin （x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．点评: 本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法,考查计算能力．6．(5分）（2015•四川)执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ )A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S的值为．解答:解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4,k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评:本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）(2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则｜AB|=(）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程,求出AB的方程,得到AB坐标，即可求解｜AB｜．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=,过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,x=2，可得y A=2，y B=﹣2,∴｜AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系,由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=2。
2015年高考文科数学四川卷及答案
数学试卷 第1页（共15页）数学试卷 第2页（共15页）数学试卷 第3页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ） A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 2．设向量a ()2,4=与向量b (),6x =共线，则实数x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法4．设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin(2)2πy x =+ B ．πcos(2)2y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A．2-B．2C ．12-D ．127．过双曲线2213yx -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线 的两条渐近线于A ，B 两点，则||=AB（ ） A．3B．C ．6D．8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃） 满足函数关系ekx by +=（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保 鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时D ．28小时9．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则xy 的最大值为（ ）A ．252B ．492C ．12D ．1610．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 （ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．设i 是虚数单位，则复数1i i-＝__________. 12．2lg0.01log 16+的值是___________.13．已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是___________.14．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是__________.15．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-，现有如下命题：①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设数列{}n a (1,2,3,)n =⋅⋅⋅的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，求n T .17．（本小题满分12分）一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的-------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共15页）数学试卷 第5页（共15页） 数学试卷 第6页（共15页）座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客1P 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.（Ⅰ）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给；（Ⅱ）若乘客1P 坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客5P 坐到5号座位的概率.18．（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论. （Ⅲ）证明：直线DF ⊥平面BEG19．（本小题满分12分）已知A ，B ，C 为ABC △的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程210x p +-+=（p ∈R ）的两个实根. （Ⅰ）求C 的大小.（Ⅱ）若3AB =，AC =p 的值.20．（本小题满分13分）如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b =>>，点P (0,1)在短轴CD 上，且1PC PD =-.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使 OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数22()2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a ＞.（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.数学试卷 第7页（共15页）数学试卷 第8页（共15页）数学试卷 第9页（共15页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷(13)A B =-，【提示】直接利用并集求解法则求解即可. :6x ，解得1)2x x y ⎛≤ ⎝2故最大值为25.2【提示】画出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可. 第Ⅱ卷32424【提示】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥。
成都市2015届高中毕业班摸底测试文科数学试题成都市零诊试题及参考答案
四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试数学(文科)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、 已知向量a ＝(5,－3),b ＝(－6,4),则a b +＝A 、(1,1)B 、(－1,－1)C 、(1,－1)D 、(－1,1) 【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则,a b +＝(5,－3)＋(－6,4)＝(－1,1),选D 2、 设全集U ＝{1,2,3,4},集合S ＝{1,3},T ＝{4},则()U S T ð等于A 、{2,4}B 、{4}C 、ΦD 、{1,3,4}【答案】A【解析】因为全集U ＝{1,2,3,4},集合S ＝{1,3},故U S ð＝{2,4},于是()U S T ð＝{2,4},选A3、 已知命题:,25xp x R ∀∈=,则p ⌝为A 、,25xx R ∀∉=B 、,25xx R ∀∈≠C 、00,25x x R ∃∈=D 、00,25x x R ∃∈≠【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,以及否命题的特征,可知选D 4、 计算662log 3log 4+的结果是A 、6log 2B 、2C 、6log 3D 、3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==,选B5、 已知实数x ,y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为A 、10B 、8C 、2D 、0 【答案】B【解析】画出可行域,根据图形可知,当目标函数经过A(2,0)点时,z ＝4x ＋y 取得最大值为8 6、 已知,a b 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是A 、若//,a b b α⊂,则//a αB 、若//,a b αα⊂,则//a bC 、若,a b αα⊥⊥,则//a bD 、若,a b b α⊥⊥,则//a α【答案】C【解析】对于A,当//,a b b α⊂时,可能有a α⊂,故A 错误；对于B,//a α时,不能保证a 与α内任意的直线平行,故B 错误； 对于C,垂直于同意平面的两条直线相互平行,故C 正确； 对于D,当,a b b α⊥⊥时,可能有a α⊂,故D 错误7、 PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,一般情况下PM 2.5的浓度越大,大气环境质量越差.右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某10日内每天的PM 2.5浓度读数(单位：3/g m μ),则下列说法正确的是A 、这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B 、这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C 、这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D 、这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【答案】C【解析】甲的极差是98－43＝55,乙的极差是94－37＝57,两者不相等,A 错误； 甲的中位数是73752+＝74,乙的中位数是68,甲的中位数较大,B 错误；乙的众数为68,与中位数相同,C 正确；甲的平均数是(43＋63＋65＋72＋73＋75＋78＋81＋86＋98)×110＝73.4乙的平均数是(37＋58＋61＋65＋68＋68＋71＋77＋82＋94)×110＝68.1,可知D 错误8、 已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π,则()f x 的单调递减区间是 A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦C 、42,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦【答案】A【解析】因为()cos 2sin()6f x x x x πωωω+=+最小值为－2,可知y ＝－2与f(x)两个相邻公共点之间的距离就是一个周期,于是2T ππω==,即ω＝2,即()2sin(2)6f x x π=+令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎣⎦,k ∈Z,解得x ∈2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦,选A9、 已知双曲线22221y x a b-=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相交于A,B 两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为A 、8B 、C 、3D 、32【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|＝2,可知圆心到直线AB 的距离为解得228b a =于是3c a所以,3c e a==,选C10、已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4,且当x ∈(－1,3]时,f (x )＝2,(1,1]1cos ,(1,3]2x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩,则函数6()()log g x f x x =-的零点个数是A 、4B 、5C 、6【答案】B【解析】由函数的周期为4画出f(x)的草图如图,其中函数y ＝log 6x 递增且经过(6,1)点 函数g(x)的零点,即为y ＝f(x)与y ＝log 6x 的交点 结合图象可知,它们共有5个交点,选B二、填空题：本大题共5个小题,每小题5分,共25分. 11、已知(0,)2πα∈,4cos 5α=,则sin()πα-=_____________.【答案】35【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sin α3512、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是____________【答案】12【解析】该几何体是一个直三棱柱,底面是等腰直角三角形体积为12262V =⨯⨯⨯＝1213、当1x >时,函数11y x x =+-的最小值是_______________.【答案】3【解析】因为1x >,11(1)11311y x x x x =+=-++≥=--,当且仅当111x x -=-,且x ＞1,即x ＝2时等号成立,故函数y 的最小值为314、运行如图所示的程序框图,则输出的运算结果是_____________【答案】45【解析】因为211(1)i i i i =++第一次进入循环,运算后S ＝12,i ＝1＜4第二次进入循环,运算后S ＝111223+⨯⨯,i ＝2＜4第三次进入循环,运算后S ＝111122334++⨯⨯⨯,i ＝3＜4第四次进入循环,运算后S ＝111112233445+++⨯⨯⨯⨯,i ＝4≥4跳出循环输出S ＝11111411223344555+++=-=⨯⨯⨯⨯15、已知x y a =(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,记a 的所有可能取值构成集合A ；P (x ,y )是椭圆221169y x +=上一动点,111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称,记114y -的所有可能取值构成集合B ,若随机的从集合A ,B 中分别抽出一个元素12,λλ,则12λλ>的概率是___________【答案】34【解析】由x y a =(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,知A ＝(0,1)对于椭圆221169y x +=,由于原点关于y ＝x ＋1的对称点为(－1,1) 所以,椭圆关于y ＝x ＋1的对称椭圆为22(1)(1)1169y x -++=,111(,)P x y 在改椭圆上,可知y 1－1∈[－4,4] 于是114y -∈[－1,1],即B ＝[－1,1]【方法一】由12,A B λλ∈∈,分别以12,λλ为横坐标和纵坐标, 可知点(12,λλ)构成一个面积为2的矩形 其中满足12λλ>的是图中阴影部分,面积为32所以,满足12λλ>的概率是34【方法二】当12,[1,0]A λλ∈∈-时,此事件发生的概率为12,此时必有12λλ>当12,(0,1]A λλ∈∈时,此事件发生的概率为12,此时12λλ>与12λλ≤概率相等,各占12,于是此时满足12λλ>的概率为14以上两事件互斥,且[－1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足12λλ>的概率为311244+=三、解答题：本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16、(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*273,49,a S n N ==∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1(1)2n n n a b n -+⋅=,求数列{}n b 的前n 项和T n .【答案】(1)21n a n =-;(2)122n n T +=-1【解析】(1)设公差为d ,则113767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ……3分解得：{112a d == ∴*1(1)21()n a a n d n n N =+-=-∈所以数列{}n a 的通项公式为*21()n a n n N =-∈;……6分 (2)由(1)得11(1)2(211)22n n n n n a n b n n --+⋅-+⋅===……9分 ∴11*(1)2(12)22()112n n n n b q T n N q +--===-∈--……12分17、(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知向量(,)m a b c a =--,(,)n a b c =+,且0m n ⋅=(1)求角B 的大小；(2)求函数()sin()6f x A π=+的值域.【答案】(1)3B π=；(2)1(,1]2【解析】(1)由0m n ⋅=,得222a c b ac +=+根据余弦定理,有2221cos 22a cb B ac +-== ……4分 又因为(0,)2B π∈,所以3B π=；……6分(2)由(1)得2(0,)33A C πππ=--∈∴5(,)666A πππ+∈……8分∴1sin()(,1]62A π+∈∴函数()sin()6f x A π=+的值域为1(,1]2……12分18、(本小题满分12分)某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况,对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法,得到一个容量为200的样本.统计数据如下：(1)已知该地区共有高二学生42500名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？(2)在A ,B ,C ,D ,E ,F 六名学生中,仅有A ,B 两名学生认为作业多.如果从这六名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率. 【答案】(1)7650名；(2)35【解析】(1)36425007650200⨯=(名)……5分(2)【方法一】从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有：{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F },{C ,D },{C ,E },{C ,F },{D ,E },{D ,F },{E ,F }共15个 ……7分其中至少有一个学生认为作业多的事件有{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F }共9个 ……9分 ∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分 【方法二】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种, ……7分 其中至少有一名学生认为作业多的选法有112242C C C +＝9种,……9分∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分 【方法三】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种, ……7分 其中没有人认为作业多的选法有246C =种……9分∴693115155P =-==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分19、(本小题满分12分)如图,已知O 的直径AB ＝3,点C 为O 上异于A ,B 的一点,VC ⊥平面ABC ,且VC ＝2,点M 为线段VB 的中点. (1)求证：BC ⊥平面VAC ；(2)若AC ＝1,求直线AM 与平面V AC 所成角的大小.【答案】(1)略；(2)4π【解析】(1)∵VC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴VC BC ⊥……2分 ∵点C 为O 上一点,且AB 为直径 ∴AC BC ⊥……4分又,VC AC ⊂平面VAC ,VC AC C =∴BC ⊥平面VAC ； ……6分 (2)如图,取VC 的中点N,连接MN,AN,则MN ∥BC 由(1)得,BC ⊥平面V AC ∴MN ⊥平面V AC∴∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角 ……9分∵12MN BC ===A N∴tan 1MAN ∠= ∴4MAN π∠=∴直线AM 与平面V AC 所成角的大小为4π……12分20、(本小题满分13分)已知椭圆Γ：22221yx a b+=(a ＞b ＞0)经过)两点.(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于不同两点A ,B ,点G 是线段AB 中点,点O 是坐标原点,设射线OG 交Γ于点Q ,且2OQ OG =. ①证明：22441m k =+ ②求△AOB 的面积.【答案】(1)2214x y +=；【解析】(1)由题意,得222411314a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩∴轨迹Γ的方程为2214x y +=；……5分(2)①令1122(,),(,)A x y B x y 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=……6分∴2221222122(8)4(14)(44)08144414km k m km x x k m x x k ⎧⎪=-+->⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+△,即221222122148144414m k km x x k m x x k ⎧⎪<+⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+……(1) ∴121222(8)2()221414k km m y y k x x m m k k -+=++=+=++ 又由中点坐标公式,得224(,)1414km m G k k-++ 将2282(,)1414kmm Q k k -++代入椭圆方程,有22222221641(14)(14)k m m k k +=++ 化简得：22414m k =+……(2) ……9分②由(1)(2)得0m ≠且12||x x -(3)在△AOB 中,121||||2AOB S m x x =-△ (4)……12分∴由(2)(3)(4)可得AOB S △∴△AOB……13分21、(本小题满分14分)已知函数21()ln 3f x ax bx x =--,其中a ,b ∈R(1)当a ＝3,b ＝－1时,求函数f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为2x －3y －e ＝0(e ＝2.71828…为自然对数的底数),求a,b 的值；(3)当a ＞0,且a 为常数时,若函数h (x )＝x [f (x )＋lnx]对任意的x 1＞x 2≥4,总有1212()()1h x h x x x ->--成立,试用a 表示出b 的取值范围.【答案】(1)3ln 24+；(2)11,a b e e==-；(3)1016a <<时,(b ∈-∞,116a ≥时,1(,2]8b a ∈-∞+【解析】(1)当a ＝3,b ＝－1时,2()ln ,(0,)f x x x x x =+-∈+∞∴1(21)(1)'()21x x f x x x x -+=+-=∵x ＞0,∴0＜x ＜12时f '(x)＜0,x ＞12时,f '(x)＞0即()f x 在1(0,)2上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增∴()f x 在12x =处取得最小值即[]min 13()()ln 224f x f ==+……4分(2)∵21'()3f x ax b x =--∴212'()33f e ae b e =--= (1)又切点(e,f(e))在直线2x －3y －e ＝0上 ∴切点为(,)3e e∴21()133ef e ae be =--=……(2) 联立(1)(2),解得11,a b e e==-.……8分(3)由题意,对任意的x 1＞x 2≥4,总有112212[()][()]0h x x h x x x x +-+>-成立令321()(),[4,)3p x h x x ax bx x x =+=-+∈+∞则函数p(x)在[4,)x ∈+∞上单调递增∴2'()210p x ax bx =-+≥在[4,)x ∈+∞上恒成立∴2112ax b ax x x+≤=+在[4,)x ∈+∞上恒成立 ……10分构造函数1()(0),(0,)F x ax a x x=+>∈+∞则22211'()ax F x a x x-=-=∴F (x )在(0,上单调递减,在,)+∞上单调递增(i )4>,即1016a <<时,F (x )在[4,上单调递减,在,)+∞上单调递增∴[]min ()F x F ==∴[]min 2()b F x ≤,从而(b ∈-∞……12分(ii )4,即116a ≥时,F (x )在(4,＋∞)上单调递增12(4)44b F a ≤=+,从而1(,2]8b a ∈-∞+……13分综上,当1016a <<时,(,b ∈-∞,116a ≥时,1(,2]8b a ∈-∞+……14分。
2015年四川省高考数学试题及答案(文科)【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评：本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=yn．3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．点评： 本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）（2015•四川）设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的（ ） A ． 充要条件 B ． 充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件考点： 充要条件． 专题： 简易逻辑．分析： 先求出log 2a ＞log 2b ＞0的充要条件，再和a ＞b ＞1比较，从而求出答案． 解答：解：若log 2a ＞log 2b ＞0，则a ＞b ＞1，故“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的充要条件， 故选：A ．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ． y=cos （2x+） B ．y=sin （2x+） C ． y =sin2x+cos2x D ． y =sinx+cosx考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．分析： 求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答： 解：y=cos （2x+）=﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y=sin （2x+）=cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确； y=sin2x+cos2x=sin （2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确； y=sinx+cosx=sin （x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．点评： 本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e16k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=2i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的运算法则求解即可．解答：解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．故答案为：2i．点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解答：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则原式=====﹣1，故答案为：﹣1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．棱柱、棱锥、棱台的体积．考点：专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P ﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13241532541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 13 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴BC∥FG，BC=EH，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG⊂平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形．分析：（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p ﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且•=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时•+λ•=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．63．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx 6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．48．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1610．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．。
2015四川高考数学试题(文科解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（A ）{}1|3x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x <<【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}A B x x ∴=-<<，选A.2.设向量(2,4)a =与向量(,6)bx =共线，则实数x =(A)2 (B)3 (C) 4 (D)6【答案】B【解析】由共线向量()11,a x y =，()22,b x y =的坐标运算可知12210x y x y -=， 即26403x x ⨯-=⇒=，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 （A)抽签法 （B ）系统抽样法 （C ）分层抽样法 （D ）随机数法 【答案】C【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。
4.设a ，b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log a b >”的(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由已知当1a b >>时，22log log 0a b >>∴，“1a b >>”是“22log log a b >”的充分条件。
反过来由22log log 0a b >>，可得1a b >>，∴“1a b >>”是“22log log a b >”的必要条件，综上，“1a b >>”是“22log log a b >”的充要条件，选A.5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是A.sin(22y x π=+B.cos(22y x π=+C.sin 2cos 2y x x =+D.sin cos y x x =+ 【答案】A【解析】A. cos(2)sin 22y x x π=+=-,可知其满足题意;B. sin(2cos 22y x x π=+=,可知其最小正周期为π，偶函数;C. sin 2cos 2)4y x x x π=+=+,最小正周期为π，非奇非偶函数;D. sin cos )4y x x x π=+=+,可知其最小正周期为2π，非奇非偶函数.选A6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是(A) 2- (B) 2(C)-12 (D) 12【答案】D【解析】易得当k =1,2,3,4时执行的是否，当k =5时就执行是的步骤， 所以51sin62S π==，选D. 7.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（A（B） （C ）6 （D）【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y =，且右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A ，B (2,-，∴||AB =,选D. 8. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：°C ）满足函数关系kx by e+=（ e=2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数，k ，b 为常数）。
2015高考试题——数学文真题及答案(四川卷)解析版
一、选择题1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}【答案】A【解析】集合A＝(－1,2),B＝(1,3)，故A∪B＝(－1,3)，选A2、设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【答案】B【解析】由向量平行的性质，有2:4＝x:6，解得x＝3，选B3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(A)抽签法(B)系统抽样法(C)分层抽样法(D)随机数法【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样。
选C4、设a,b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＞b＞1时，有log2a＞log2b＞0成立，反之也正确。
选A5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(A)y ＝sin(2x ＋2π) (B)y ＝cos(2x ＋2π)(C)y ＝sin2x ＋cos2x (D)y ＝sinx ＋cosx 【答案】B6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为(A)－32 (B)32 (C)－12 (D)12【答案】D【解析】第四次循环后，k ＝5，输出S ＝sin56π＝12，选D 7、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|＝(A)433(B)23 (C)6 (D)43 【答案】D8、某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系kx by e+=（ 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数）。
成都七中2015级高三“一诊”模拟考试数学答案
C D OBE'AH成都七中2015级高三“一诊”模拟考试数学试题参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） BAADB ACBAD 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 180 12.12 13. - 14. (－7, 3) 15. ①②③⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)【解析】（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=，解得1cos 2A =，角60A =︒ （II ）1sin 2S bc A ==4c ⇒=，由余弦定理得：221a =，()222228sin a R A ==25sin sin 47bc B C R ∴==.17、(本小题满分12分) 解答：（1）331328()327p C ==，22232128()33327p C =⋅=，222342114()()33227p C =⋅=（2）由题意可知X 的可能取值为：0, 1, 2, 3. 乙队得分X 的分布列为：乙队得分X 的数学期望：1644170123.27272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=18、(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.3210X P2742742719结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而A H '==所以cos 5OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示, 则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z = 为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =,得(1,n =-由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦19、(本小题满分12分)（1）解：由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2[()](1)0.n n S n n S -++=由于{a n }是正项数列，所以20,.n n S S n n >=+于是112,2a S n ==≥时，221(1)(1)2.n n n a S S n n n n n -=-=+----= 综上，数列{a n }的通项2.n a n = （2）证明：由于2,n a n =221(2)n nn b n a +=+， 则22221111[4(2)16(2)n n b n n n n +==-++.2222222221111111111[11632435(1)(1)(2)n T n n n n =-+-+-++-+--++ 2221111[1]162(1)(2)n n =+--++2115(1).16264<+=【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==), 则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.。
2015年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共30页）数学试卷 第2页（共30页）数学试卷 第3页（共30页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（文科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|}32,A x x n n ==+∈N ,{6,8,10,12,14}B =,则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点0,1A （），3,2B （），向量AC =43--（，），则向量BC =（ ）A （-7，-4）B ．（7，4）C ．（-1，4）D ．（1，4） 3．已知复数z 满足（z -1）i=1+i ，则z=（ ）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A．310B ．15C ．110D ．1205．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线28C y x =：的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为n {}a 的前n 项和.若844S S =，则10a = （ ）A ．172B ．192C ．10D ．128．函数=cos(+)x f x ωϕ（）的部分图象如图所示，则f x （）的单调递减区间为 （ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）, C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = （ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数1222, 1,()log (1), 1,x x f x x x -⎧-=⎨-+⎩≤＞且()3f a =-，则(6)f a -= （ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16π20＋，则r = （ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)f f -+-1=，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共30页）数学试卷 第5页（共30页）数学试卷 第6页（共30页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．在数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n =_____.14．已知函数31f x ax x =++（）的图象在点1,1f (())处的切线过点(2,7)，则a =_____. 15．若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥则z 3x y =+的最大值为_____.16．已知F 是双曲线2218yC x -=：的右焦点，P 是C 的左支上一点，0,66A （）.当APF △周长最小时，该三角形的面积为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos B ；（Ⅱ）若B =90°，且2a =，求ABC △的面积. 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若ABC ∠=120°，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188ii=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22 ()2(3)1C x y -+-=：交于M ，N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN . 21．（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，()22ln f x a a a+≥.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a --+（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集； （Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.3 / 102015年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷{8,14A B =【答案】A 【解析】(3,1)AB OB OA =-=(7,BC AC AB ∴=-=-，故选A.【考点】向量运算 【答案】C【解析】(1)i 1i z -∴=+，22i (12i)(i)2i i z +-==--∴=【解析】抛物线，1e 2c a ==的方程解得(2,3)A -数学试卷 第10页（共试卷 第11页（共30页）数学试卷 第12页（共30页）【解析】()f a =-5 / 10第Ⅱ卷【解析】12a =，64，6n ∴=【考点】等比数列定义与前【答案】1【解析】()3f x '=又(1)f a =切线过(2,7)，∴【考点】利用导数的几何意义求函数的切线，常见函数的导数【答案】4平移直线l ，当直线数学试卷 第16页（共30页） 数学试卷 第17页（共30页）数学试卷 第18页（共30页）(0,66)A ∴直线AF 66y =或22APF S ∴=△22ac .，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac； 22ac .因为90B ，由勾股定理得222a c b ，故222a c ac ，得2c a ，所以先由正弦定理将22sin B A =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边B 22ac ，根据勾股定理即可求出7 / 10ACBD ，因为BE平面ABCD AC BE ，故AC 平面BED AEC平面BED （Ⅱ）设AB x ，在菱形中，由120ABC ，可得32AG GC x ，2x GB GD . 因为AE EC ⊥，所以在可得32EG x ，由BE 平面ABCD EBG △为直角三角形，22BEx ，由已知得，E ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x，故2x ，从而AE EC ==EAC 的面积为3，EAD △的面积与ECD △的面积均为5. 故三棱锥EACD 的侧面积为5.（Ⅰ）由四边形AC BD ，由BE平面ABCD 知ACBE ，由线面垂直判定定AC平面BED ，由面面垂直判定定理知AEC 平面BED ；AB x ，通过解直角三角形将，GC ，GB ，GD 用x 表示出来，AEC △中，根据条件三菱锥EACD 的体积为x ，即可求出三菱锥E ACD 的侧面积. 【考点】线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，三棱锥的体积与表面积的计算（Ⅰ）由散点图可判断，关于年宣传费用c y dw ∴=-（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当576.60.2z =⨯（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值0.2(100.6z =13.62x =时，z 取得最大值，故宣传费用为【提示】（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；关于w 的线性回归方程，即可的回归方程先求出年销售量数学试卷 第22页（共30页） 数学试卷 第23页（共30页）数学试卷 第24页（共30页）1ykx ，因为l 231|11k k，474733k，所以k 的取值范围是4747,33.（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1ykx 代入方程22(2)(3)1x y ，22(1)4(1)70k xk x ，所以1224(1)1k x x k ，12271x x k . 21212121224(1)y (1)()181k k OM ONx x y k x x k x x k ，由题设可得24(1)8=121k k k ，解得所以l 的方程为1y kx ，故圆心在直线l 上，所以||2MN =.【提示】（Ⅰ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于的不等式，即可求出值范围；（Ⅱ）设()M x (,)N x y 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON =列出关于(0,)，2()=2(0)xaf x e x x. 0a 时，()0f x ，()f x 没有零点，当0a 时，因为2e x 单调递增，ax单调递增，()f x 在(0,)单调递增，又()0f a ，当b 满足04a b 且14b 时，(b)0f ，故当0a 时，()f x 存在唯一零点；（Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x 在(0,)的唯一零点为0x ，当0(0,)x x 时，()0f x ，当0(,)x x 时，()0f x ，)单调递减，在0(,)x 单调递增，所以当0xx 时，()f x 取得最小值，最小值为(f 0=0a x ，所以0022()=2ln2ln2a f x ax a a a x aa ，故当0a 时，2()2ln f x a a a. 【提示】（Ⅰ）先求出导函数，分0a 与0a 考虑()f x 的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设()f x 在(0,)的唯一零点为0x ，根据()f x 的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a，即证明了所证不等式，90ACB∠+，90∴∠，90，DE∴1=，12BE=-，由射影定理可得，CE BE，2x，解得60.90，即90∠，所以，设AE=，由勾股定理得CE BE，列出关于的方程，解出x，即可求出ACB∠【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理cosxρθ=40+=；（Ⅱ）将2=，|MN1452=.（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得π代入9/ 10数学试卷第28页（共30页）数学试卷第29页（共30页）数学试卷第30页（共30页）。
2015四川高考数学模拟试题(文科)
2015高考数学模拟试题（文科）考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项：1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（共10小题，每题5分，满分50分，在给出的四个选项中，有且只有一个是符合题意的）1．已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|log 2}B x x =<，则A B =（ ）A.(1,4)-B.(1,3)-C.(0,3)D.(0,4)2．已知复数z 满足：zi=2+i （i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．2i B ．﹣2iC ．2 D ．﹣23．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．283π-B ．43πC ．23πD ．483π-4．如图所示，若输入的n 为10，那么输出的结果是（ ）A ．45B ．55C ．90D ．1105．变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为( )A ．223 B ．5C ．29D ．56．如图e 1，e 2为互相垂直的两个单位向量，则||+=a b （ ）A.42B.210C.213D.215 7．函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是（ ）A ．π6x =B ．π3x =C ．5π12x =D ．2π3x = 8．已知定义在R 上的函数对任意x 都满足，且当时，，则函数的零点个数为（ ）A.6B.5C.4D.39．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若4=，则=QF （ ） A. 3 B.27 C. 25D. 2 10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A.a b c <<B.b c a <<C.a c b <<D.c a b <<第II 卷（非选择题 满分100分）二、填空题（共5小题，每题5分，满分25分，请将答案填在答题卡中的横线上） 11．某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为．12．已知等差数列}{n a 中，满足103S S =，且01>a ，n S 是其前n 项和，若n S 取得最大值，则n =．13．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则14a b+的最小值为． 14．定义：如果函数)(x f y =在定义域给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值围是．15．给定有限单调递增数列*{}(n x n N ∈,数列{}n x 至少有两项)且0(1)i i x x n ≠≤≤,定义集合*{(,)|1,,,}i j A x x i j n i j N =≤≤∈且.若对任意点1A ∈A ,存在点2A ∈A 使得12OA OA ⊥(O 为坐标原点),则称数列{}n x 具有性质P .(1)给出下列四个命题,其中正确的是.(填上所有正确命题的序号) ①数列{}:n x -2,2具有性质P ; ②数列{}n y :-2,-1,1,3具有性质P ;③若数列{}n x 具有性质P ,则{}n x 中一定存在两项,i j x x ,使得0i j x x +=; ④若数列{}n x 具有性质P ,121,0x x =->且1(3)n x n >≥,则21x =.(2)若数列{}n x 只有2014项且具有性质13,1,2P x x =-=,则{}n x 的所有项和2014S =. 三、解答题（共6小题，满分75分，解答应写出必要的答题过程和解题步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数x x x x x f cos sin 32sin cos )(22+-=，x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若1)(=A f ，3=a3=+c b ，试求ABC ∆的面积． 17．（本小题满分12分）某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的,A B 两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．（Ⅰ）若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；（Ⅱ）现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为,m n ，求||8m n -≤的概率．18．（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD ，090=∠ADC ，CD AB //，221===AB CD AD ，点E 为AC 的中点，将ACD ∆沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直（如图）．在下图所示的几何体ABC D -中：（Ⅰ）求证：⊥BC 平面ACD ；（Ⅱ）点F 在棱CD 上，且满足//AD 平面BEF ，求几何体BCE F -的体积． 19．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且对任意正整数n ，点()1,n n a S +在直线220x y +-=上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分13分）设函数f(x)=(x –1)2+alnx ，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y –1=0垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2且x 1＜x 2，求证：f(x 2)＞41–21ln2．21.（本小题满分14分）设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，12122F F DF =，△DF 1F 2的面积为22．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）若圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点，求出这个圆的方程．参考答案1．C.【解析解一元二次不等式2230x x--<，得13x-<<，∴(1,3)A=-，而(0,4)B=，∴(0,3)A B=.2【答案】D【解析】：由zi=2+i，得，∴z的虚部是﹣2，故选D．3．A【解析】由三视图知原几何体是棱长为2的正方体中挖掉一个圆锥，∴212222(1)2833V V Vππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=-正方体圆锥.4．B5．D【解析】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-111xyyx在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，设(),P x y是该区域的任意一点，则22)2(yx+-的几何意义是点(),P x y与点()2,0M距离的平方，由图可知，当点的坐标为时，PM最小，所以2215PM≥+=，所以25PM≥即：22(2)5x y-+≥，故选D.6．B【解析】(2,3),(4,1),(6,2),364210a b a b a b=--=-∴+=--+=+=选B. 7．C【解析】由题可知，ππ()2sin()cos()66f x x x=--)32sin(π-=x，函数)32sin()(π-=xxf的对称轴为πππkx+=-232，解得2125ππkx+=，因此本题选C；8．D【解析】由题，f（x）=f（x+2）,问题转化为函数f（x）与|lnx|交点问题，所以不难得到函数图像如图所示，在[-1,0）上(ln|x|)'(ln x)1=-<-，所以在该区间上两个函数相切于（-1,0），交点有一个，易知零点一共有3个，故选9．A【解析】如图所示，因为FQPF4=，故34PQPF=，过点Q作QM l⊥，垂足为M，则//QM x 轴，所以344MQ PQPF==，所以3MQ=，由抛物线定义知，3QF MQ==，xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234O F10．C【解析】构造函数()()h x xf x=，∴()()()h x f x x f x''=+⋅，∵()y f x=是定义在实数集R上的奇函数，∴()h x是定义在实数集R上的偶函数，当x ＞0时，()()()0h x f x x f x ''=+⋅>，∴此时函数()h x 单调递增． ∵111()()222a f h ==，2(2)2(2)(2)b f f h =--==，111(ln )(ln )(ln )(ln 2)(ln 2)222c f h h h ===-=，又1ln 222<<，.a c b ∴<<．故选C ．11．16【解析】设高一、高二、高三年级的人数分别为x d ，x ，x+d ，则3x=1200，即高二年级的人数为1200，所以高二年级被抽取的人数为120048163600⨯=；12．76或【解析】根据题意可知，456789100a a a a a a a ，即70a ，再由首项是大于零的，所以数列是递减的，n S 存在最大值，取最大值时n 的值为76或.13．9【解析】由题意可知，圆心()21，在直线220(,0)ax by a b +-=>上，所以1a b +=，又()1414455249b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭． 14．3(3,]4--【解析】根据平均值函数的定义，若函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则关于x 的方程()()()31111f f x mx --+=--在区间()1,1-有解，即关于x 的方程310x mx m +--=在区间()1,1-有解；即关于x 的方程21m x x =---在区间()1,1-有解；因为函数()2213124g x x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在区间]1,1[-上当12x =-取得最大值34-，当1x =时取得最小值3-，所以函数()2213124g x x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在区间()1,1-上的值域为3(3,]4--，所以实数m 的取值围是3(3,]4-- 15．(1) ①③④；(2)20132-2【解析】(1).对于数列{}n x ，若1-2,2A （），则22,2A （）；若1-2,2A -（），则22,2A -（）；均满足12OA OA ⊥，所以具有性质P,故①正确；对于数列{}n y ，当12,3A （-）时，若存在2A x y （，）满足12OA OA ⊥，即230x y -+=，数列{}n y }中不存在这样的数x ，y ，因此不具有性质P ，故②不正确；取1i i A x x （，），又数列{}n x 具有性质P ，所以存在点2i j A x x （，）使得12OA OA ⊥，即0i i i j x x x x +=，又0i x ≠ ，所以0i j x x +=，故③正确；数列{}n x 中一定存在两项i j x x ，使得0i j x x +=；又数列{x n }是单调递增数列且x 2＞0，1(3)n x n >≥，所以21x =，故④正确；(2) 由（1）知，21x =．若数列{}n x 只有2014项且具有性质P ，可得4548x x ==，，猜想数列{}n x 从第二项起是公比为2的等比数列16．（Ⅰ）)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（Ⅱ）23. 【解析】（Ⅰ）∵)62sin(22sin 32cos cos sin 32sin cos )(22π+=+=+-=x xx xx x x x f由226222πππππ+≤+≤-k x k 得：)(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ因此，()f x 的单调递增区间是)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ 6分（Ⅱ）由1)62sin(2)(=+=πA A f 得：3π=A , 8分由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得：322=-+bc c b ① 由3=+c b 得：9222=++bc c b ② 10分 ②－①得：63=bc ，2=bc ∴2323221sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC ． 12分 17．（Ⅰ）35；（Ⅱ）35【解析】Ⅰ）A 组学生的平均分为9488868077855++++=（分）， ∴B 组学生平均分为86分，设被污损的分数为x ，由91938375865x ++++=，∴88x =，故B 组学生的分数分别为93，91，88，83，75，则在B 组学生随机选1人所得分超过85分的概率35P =． （Ⅱ）A 组学生的分数分别是94，88，86，80，77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(,)m n 有(94,88),(94,86),(94,80),(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共10个， 随机抽取2名同学的分数,m n 满足||8m n -≤的事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6个． 故学生得分,m n 满足||8m n -≤的概率63105P ==． 18．（1）证明见解析；（2）12. 【解析】（1）要证明直线⊥BC 平面ACD ，因为已知平面ACD 与平面ABC 垂直，因此我们只要证明BC AC ⊥，然后应用面面垂直的性质定理可得结论，而要证明BC AC ⊥，我们在ABC ∆中，由已知可得4,45AC AB CAB ==∠=︒，由余弦定理可得BC =BC AC ⊥；（2）由//AD 平面BEF ，根据线面平行的性质，可得//AD EF ，这样点F 为DC 的中点，由（1）可知111334F BCE B EFC EFC ACD V V S BC S BC --∆∆==⋅=⨯⋅.试题解析：（1）2222=+=CD AD AC 1分，045=∠=∠ACD BAC ，4=AB ，845cos 20222=⨯⨯-+=AB AC AB AC BC 3分（其他方法求值也参照给分）∵16222=+=BC AC AB ，∴090=∠ACB （BC AC ⊥） 4分 ∵平面⊥ACD 平面ABC ，平面 ACD 平面AC ABC =，∴⊥BC 平面ACD 6分（2）∵//AD 平面BEF ，⊂AD 平面ACD ，平面 ACD 平面EF BEF =， ∴EF AD // 8分∵点E 为AC 的中点，∴EF 为ACD ∆的中位线 9分 由（1）知，几何体BCE F -的体积BC S V V CEF CEF B BCE F ⨯⨯==∆--3111分 2141==∆∆ACD CEF S S 13分， 32222131=⨯⨯=-BCE F V 14分 19．（1）{}n a 的通项公式为1)21(-=n n a ；（2）数列{}n b 的前n 项和为14943916-⨯+-=n n n T ．【解析】（1）点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上∴0221=-++n n S a 1分当1>n 时，0221=-+-n n S a 2分 两式相减得：02211=-+--+n n n n S S a a 即0221=+-+n n n a a a∴n n a a 211=+3分又当1=n 时，022221212=-+=-+a a S a122121a a ==4分 ∴{}n a 是首项11=a ，公比21=q 的等比数列5分 ∴{}n a 的通项公式为1)21(-=n n a 6分（2）由（1）知，124-==n n n nna b 7分12244143421--+-++++=n n n nn T 8分2344143244--+-++++=n n n nn T 9分两式相减得：123441414153----++++=n n n n nT 11分11634334n n -+=-⨯13分 ∴数列{}n b 的前n 项和为14943916-⨯+-=n n n T 14分 20．（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 1分 222'()x x a f x x-+=， 2分∵曲线y=f (x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y –1=0垂直，∴f ¢(1)=a=2． 4分（Ⅱ）由于222'()x x a f x x-+=，所以令g(x)=2x 2–2x+a ，则△=4–8a ．①当△≤0，即a ≥21时，g(x)≥0，从而f ¢(x)≥0， 故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增； 6分②当△＞0，即a ＜21时，g(x)=0的两个根为x 1=2211a --，x 2=2211a -+＞21，当1≥，即a ≤0时，x 1≤0，当0＜a ＜21时，x 1＞0． 故当a ≤0时，函数f(x)在(0，2211a --)单调递减，在(2211a -+，+∞)单调递增；当0＜a ＜21时，函数f(x)在(0，2211a --)，(2211a -+，+∞)单调递增，在(2211a --，2211a -+)单调递减． 9分 （Ⅲ）当函数(x)f 有两个极值点时，102a <<，01<<，故此时211(,1)22x =∈，且2(x )0g =，即222a 22x x =-+，所以2222222222()(1)ln (1)(22)ln ,f x x a x x x x x =-+=-+-+设22(x)(1)(22)ln ,h x x x x =-+-+其中1(,1),2x ∈则'(x)(42)ln ,h x x =-+由于1(,1),2x ∈时，'()0h x >，故()h x 在1(,1)2是增函数，故111()()ln 2.242h x h >=-所以211()ln 242f x >-. 21.（1）设F 1(－c, 0)，F 2(c, 0),|DF 1|=2b a ,又121F F DF =122DF F S ∆=，∴2222ac b b c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴b=1，∴椭圆方形为2212x y +=． （2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆交于A(x 0, y 0)，B(－x 0, y 0)， F 1A ，F 2B 是圆C 的两条切线， F 1(－1, 0)，F 2(1, 0)，1F A =(x 0+1, y 0)，2F B =(－x 0－1, y 0)，12F A F B ⊥， ∴－(x 0+1)2+y 02=0 即y 02=(x 0+1)2………………① 而202x +y 02=1 ………………② 由①②得：∴x 0=43-，y 0=13，∴A(41,33-)，B(41,33) 设圆心为C(0, m)，则41,33AC m ⎛⎫=-⎪⎝⎭，111(,)33F A =-， 1AC F A ⊥，4150,933m m -+=∴=．∴圆心C(0,53)，半径=，∴圆方程为x 2+(y －53)2=329．。
2015年四川省高考数学试卷(文科)附详细解析(1)
2015年四川省高考数学试卷(文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）(2015•四川）设集合A=｛x｜﹣1＜x＜2｝,集合B=｛x｜1＜x＜3｝，则A∪B=（）A．｛x|﹣1＜x＜3｝B．{x｜﹣1＜x＜1｝C．{x｜1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（5分)(2015•四川)设向量=（2，4）与向量=（x，6)共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．63．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法4．（5分）(2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx6．(5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为(）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=(）A．B．2C．6D．48．(5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y(单位：小时）与储藏温度x（单位：℃)满足函数关系y=e kx+b（e=2。
718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（)A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为(）A．B．C．12 D．1610．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（)A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3) D．(2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(5分）(2015•四川）设i是虚数单位,则复数i﹣=．12．（5分）(2015•四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分)（2015•四川)已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N,P分别是AB，BC，B1C1的中点,则三棱锥P﹣AMN的体积是．15．(5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x,g（x）=x2+ax（其中a∈R)．对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n；④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(12分）（2015•四川)设数列{a n｝（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1,a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列｛a n｝的通项公式；(Ⅱ)设数列的前n项和为T n,求T n．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2,3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4,P5的座位号分别为1，2,3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号 3 2 1 4 53 245 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(Ⅰ）请按字母F,G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ)证明：直线DF⊥平面BEG．19．(12分）（2015•四川)已知A、B、C为△ABC的内角，tanA,tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0(p∈R)两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3,AC=，求p的值．20．（13分)(2015•四川）如图,椭圆E:=1(a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上,且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在,求λ的值；若不存在，请说明理由．21．(14分）（2015•四川)已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．(Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g(x）的单调性；（Ⅱ)证明：存在a∈(0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2015年四川省高考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(5分)（2015•四川)设集合A=｛x｜﹣1＜x＜2｝，集合B={x｜1＜x＜3}，则A∪B=（) A．｛x｜﹣1＜x＜3｝ B．｛x|﹣1＜x＜1} C．{x｜1＜x＜2} D．｛x|2＜x＜3｝考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集求解法则求解即可．解答：解：集合A=｛x｜﹣1＜x＜2}，集合B=｛x|1＜x＜3｝，则A∪B=｛x｜﹣1＜x＜3｝．故选：A．点评:本题考查并集的求法，基本知识的考查．2．（5分）(2015•四川)设向量=（2，4）与向量=（x,6）共线，则实数x=(）A．2B．3C．4D．6考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示．专题: 平面向量及应用．分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．解答：解；因为向量=(2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．点评:本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=(x，y)与向量=(m，n)共线，那么xn=yn．3．(5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是（)A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法考点：收集数据的方法．专题：应用题；概率与统计．分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答：解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,这种方式具有代表性,比较合理．故选：C．点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分)（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1"是“log2a＞log2b＞0”的（) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1,故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选:A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（)A．y=cos(2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx考点: 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性,判断求解即可．解答:解:y=cos(2x+）=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数,周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin(2x+）,函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+)，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评:本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．(5分)(2015•四川)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4,S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•四川)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则｜AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程,求出AB的方程,得到AB坐标，即可求解｜AB｜．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2,0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB｜=4．故选：D．点评:本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．(5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y(单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时考点：指数函数的实际应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．解答：解:y=e kx+b（e=2。
2015年四川高考文科数学试题(文史类解析版)
绝密★ 启封并使用完成前2015年一般高等学校招生全国一致考试（卷）数学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷 1 至 2页，第Ⅱ卷3至 4页。
满分l50分。
考试时间l20 分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、底稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50 分）注意事项：一定使用 2B 铅笔在答题卡大将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共 10 小题。
一、选择题：本大题共10 个小题 , 每题 5 分, 共 50 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。
1. 设会合 A { x |( x 1)( x 2) 0} ，会合 B { x |1 x 3} ，则A U B（ A ）x | 1 x 3（B）x | 1 x 1（C）x |1 x 2（D）x |2 x 3【答案】 A【分析】∵ A { x | 1 x2} ， B { x |1 x3} ， A U B { x | 1 x3} ，选A.r r(x,6) 共线，则实数x2. 设向量a(2, 4) 与向量b(A) 2(B) 3(C) 4(D) 6【答案】 B【分析】由共线向量r ra x1, y1，b x2 , y2的坐标运算可知x1y2x2 y1 0 ，即 2 6 4x 0x 3 ，选B.3.某学校为了认识三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力能否存在明显差别，拟从这三个年级中按人数比率抽取部分学生进行检查，则最合理的抽样方法是（A) 抽签法（B）系统抽样法（C ）分层抽样法（D）随机数法【答案】 C【分析】因为是为认识各年级之间的学生视力能否存在明显差别，所以选择分层抽样法。
4. 设a，b为正实数，则“a b 1”是“log 2 a log 2 b ”的(A) 充要条件(B) 充足不用要条件(C) 必需不充足条件(D) 既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】由已知当 a b 1 时， log2 a log 2 b0 ∴，“ a b 1 ”是“log2a log2 b ”的充足条件。
2015年全国高考四川文科数学试题与解析
2015年普通高等学校招生考试全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则AB =（ ）（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<【答案】A【解析】集合A ＝(－1,2),B ＝(1,3)，故A ∪B ＝(－1,3)，选A 2、设向量a =(2,4)与向量b =（x ，6）共线，则实数x=（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】B【解析】由向量平行的性质，有4x ＝12，解得x ＝3，选B3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） （A ）抽签法 （B ）系统抽样法 （C ）分层抽样法 （D ）随机数法【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样。
选C4、设a ，b 正实数，则“a>b>1”是“22log log 0a b >>”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确。
2015四川高考文科数学试题及答案解析(word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，集合B ＝{x|1＜x ＜3}，则A ∪B ＝(A){x|－1＜x ＜3} (B){x|－1＜x ＜1} (C){x|1＜x ＜2} (D){x|2＜x ＜3} 2、设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝(A)2 (B)3 (C)4 (D)63、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法 4、设a,b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(A)y ＝sin(2x ＋2π) (B)y ＝cos(2x ＋2π)(C)y ＝sin2x ＋cos2x (D)y ＝sinx ＋cosx 6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为(A)－32 (B) 32(C)－12 (D) 127、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|＝ (A)433(B)23(C)6 (D)438、某视频保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝e tx (e ＝2.718…为自然对数的底数，t,b 为常数)。
若该食品在6℃的保鲜时间是？？？小时，在72℃的保鲜时间是41小时 ,则该食品在33℃的保鲜时间是(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时9、设实数x,y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为(A)252 (B) 492(C)12 (D)14 10、设直线l 与抛物线y 2＝4x 相较于A,B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (文科)解析版
2015年高考四川卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( )(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}【答案】A【考点定位】本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.【名师点睛】集合的运算通常作为试卷的第一小题，是因为概念较为简单，学生容易上手，可以让考生能够信心满满的尽快进入考试状态.另外，集合问题一般与函数、方程、不等式及其性质关联，也需要考生熟悉相关知识点和方法.本题最后求两个集合的并集，相对来说比较容易，与此相关的交集、补集等知识点也是常考点，应多加留意.属于简单题.2、设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法【答案】C【考点定位】本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.【名师点睛】样本抽样是现实生活中常见的事件，一般地，抽签法和随机数表法适用于样本总体较少的抽样，系统抽样法适用于要将样本总体均衡地分为n个部分，从每一部分中按规则抽取一个个体；分层抽样法则是当总体明显的分为几个层次时，在每一个层次中按照相同的比例抽取抽取样本.本题条件适合于分层抽样的条件，故应选用分层抽样法.属于简单题.4、设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.【名师点睛】判断条件的充要性，必须从“充分性”和“必要性”两个方向分别判断，同时注意涉及的相关概念和方法.本题中涉及对数函数基本性质——单调性和函数值的符号，因此可以结合对数函数的图象进行判断，从而得出结论.属于简单题.5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π) (C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx【答案】B【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函数恒等变形能力.【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C 、D 两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.6、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )(A )B(C )－12 (D )12【答案】D【考点定位】本题考查循环结构形式的程序框图，考查特殊角的三角函数值，考查基本运算能力. 【名师点睛】在算法的考点上，四川省以程序框图的考查为主，而考查程序框图，必定是以循环结构形式出现，它可以包括程序框图的所有结构类型.本题只需对循环后的k 值进行判定，最后输出相应的三角函数值即可，属于简单题.7、过双曲线2213y x-=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A )43(B )23 (C )6 (D )43 【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.8、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx by e+=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时 【答案】C【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储蓄等等，与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到k 和b 的准确值，而只需求出e b 和e 11k，然后整体代入后面的算式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.9、设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A )252(B )492 (C )12 (D )14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.10、设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)【答案】D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.二、填空题11、设i是虚数单位，则复数1ii＝_____________.【答案】2i【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i的运算，容易误解为＝i，从而导致答案错误.一般地，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，而＝i－1＝－i.属于容易题12、lg0.01＋log216＝_____________.【答案】2【考点定位】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.【名师点睛】对数的运算通常与指数运算相对应，即“若a b＝N，则log a N＝b”，因此，要求log a N的值，只需看a的多少次方等于N即可，由此可得结论.当然本题中还要注意的是：两个对数的底数是不相同的，对数符号的写法也有差异，要细心观察，避免过失性失误.属于简单题.13、已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.14、在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.【答案】124【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.15、已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④ 【解析】对于①，因为f '(x )＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g '(x )＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误 对于③，令f '(x )＝g '(x )，即2x ln 2＝2x ＋a 记h (x )＝2x ln 2－2x ，则h '(x )＝2x (ln 2)2－2【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1{}na 的前n 项和为T n ，求T n . 【解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.(Ⅰ) 由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2) 即a n ＝2a n －1(n ≥2)从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列 故a n ＝2n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得112n n a = 所以T n ＝211[1()]111122 (11222212)n n n-+++==--【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是S n 与a n关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，这种方法中一定要注意首项a 1是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.17、(本小题满分12分)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P 1因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.(Ⅰ)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填11【解析】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识. 1设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4 所以P (A )＝4182答：乘客P 5坐到5号座位的概率为12.【考点定位】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力，考查推理论证能力、应用意识.【名师点睛】概率统计问题，文科的考查重点是随机事件、古典概型以及列举法求概率，本题需要考生根据条件细致填写座位表，通常采取按照某种顺序，如本题中已经设定的P1，P2，P3，P4，P5的座位号顺序填写，只要能正确填写好表格，相应概率随之得到.属于简单题.18、(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(Ⅰ)请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)(Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.(Ⅲ)证明：直线DF⊥平面BEG【解析】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.(I)点F，G，H的位置如图所示(II)平面BEG∥平面ACH.证明如下因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH于是BCEH为平行四边形所以BE∥CH又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH同理BG∥平面ACH又BE∩BG＝B所以平面BEG∥平面ACH(Ⅲ)连接FH因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD又DF⊂平面BFDH，所以DF⊥EG同理DF⊥BG又EG∩BG＝G所以DF⊥平面BEG.【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高.立体几何的证明一定要详细写出所有步骤，列举(推证)出所有必备的条件，如在(Ⅱ)中证明两个平面平行时，除了找到两组平行线外，一定不能忘掉“相交”这个条件；同样，(Ⅲ)中证明线面垂直，也不能忘掉“EG∩BG＝G”这个条件.属于中档题.19、(本小题满分12分)已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2－p＋1＝0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小(Ⅱ)若AB＝1，ACp的值【解析】(Ⅰ)由已知，方程x2－p＋1＝0的判别式△＝)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0所以p≤－2或p≥2 3由韦达定理，有tanA＋tanB，tanAtanB＝1－p于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0从而tan(A＋B)＝tan tan1tan tanA BA B+== -所以tanC＝－tan(A＋B)所以C＝60°(Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin6032 AC CAB==解得B＝45°或B＝135°(舍去) 于是A＝180°－B－C＝75°则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝00001tan45tan302 1tan45tan303++==+ -所以p(tanA＋tanB)1)＝－1【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B＝135°，否则造成失误.属于中档题.20、(本小题满分13分)如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率是2，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅＝－1 (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证呢过能留、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.(I )由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅＝－1于是222211b c aa b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩，解得a ＝2，b所以椭圆E 方程为22142x y +=. (II )当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) 联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝22(24)(21)21k k λλ--+--+ ＝－21221k λλ---+ 所以，当λ＝1时，－21221k λλ---+＝－3 此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.【考点定位】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【名师点睛】本题属于解析几何的基本题型，第(Ⅰ)问根据“离心率是，且＝－1”建立方程组可以求出椭圆方程；第(Ⅱ)问设出直线方程后，代入椭圆方程，利用目标方程法，结合韦达定理，得到两交点横坐标的和与积，再代入中化简整理.要得到定值，只需判断有无合适的λ，使得结论与k无关即可，对考生代数式恒等变形能力要求较高.属于较难题.21、(本小题满分14分)已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.(I)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a)所以g'(x)＝2－22(1)xx x-=当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞)，g(x)单调递增(II)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)由u'(x)＝1－1x≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1即a0∈(0，1)当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0再由(I)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a∈(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.。
2015年四川省高考数学试题及答案(文科)【解析版】
2015年四川省高考数学试题及答案(文科)【解析版】2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x ＜2}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ）A ． {x|﹣1＜x ＜3}B ． {x|﹣1＜x ＜1}C ． {x|1＜x ＜2}D ． {x|2＜x＜3}考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：直接利用并集求解法则求解即可． 解答： 解：集合A={x|﹣1＜x ＜2}，集合B={x|1＜x ＜3}， 则A ∪B={x|﹣1＜x ＜3}．故选：A ．3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A ．抽签法 B ． 系统抽样法 C ． 分层抽样法 D ． 随机数法考点：收集数据的方法． 专题：应用题；概率与统计．分析： 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．解答： 解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C ．点本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，评：属基本题．4．（5分）（2015•四川）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（） A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．解答：解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ． y=cos （2x+）B ． y=sin（2x+）C ． y=sin2x +cos2xD ．y=sinx+cosx考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析： 求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答： 解：y=cos （2x+）=﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y=sin （2x+）=cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确； y=sin2x+cos2x=sin （2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确； y=sinx+cosx=sin （x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．点评： 本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ． ﹣B ．C ． ﹣D ．考点： 程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S 的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin =，输出S 的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A ．B．2C．6 D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A =2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）A ．16小时 B ． 20小时 C ． 24小时 D ． 28小时考点： 指数函数的实际应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k ，e b 的值，运用指数幂的运算性质求解e 33k+b 即可．解答： 解：y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数）． 当x=0时，e b =192，当x=22时e 22k+b =48，∴e 16k ==e 11k =e b =192当x=33时，e 33k+b =（e k ）33•（e b ）=（）3×192=24 故选：C点本题考查的知识点是函数解析式的运用，列评：出方程求解即可，注意整体求解．9．（5分）（2015•四川）设实数x，y 满足，则xy的最大值为（）A ．B．C．12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy==，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy 的最大值为，故选：A点评： 本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．（5分）（2015•四川）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ． （1，3） B ． （1，4） C ． （2，3） D ．（2，4） 考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题： 综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 先确定M 的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i ﹣=2i．考点： 复数代数形式的混合运算．专题： 数系的扩充和复数．分析： 直接利用复数的运算法则求解即可． 解答： 解：复数i ﹣=i ﹣=i+i=2i ．故答案为：2i ．点评： 本题考查复数的基本运算，考查计算能力．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log 216的值是 2 ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用． 分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可． 解答： 解：lg0.01+log 216=﹣2+4=2． 故答案为：2．点评： 本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•四川）已知sin α+2cos α=0，则2sin αcos α﹣cos 2α的值是 ﹣1 ． 考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析： 已知等式移项变形求出tan α的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值． 解答： 解：∵sin α+2cos α=0，即sin α=﹣2cos α，∴tan α=﹣2， 则原式=====﹣1， 故答案为：﹣1 点此题考查了同角三角函数基本关系的运评：用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN 的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣A1MN的体积即可．解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g （x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有 ①④ （写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用． 分析： 运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h （x ）=x 2+ax ﹣2x ，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h （x ）=x 2+ax+2x ，求出导数判断单调性，即可判断④．解答： 解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f （x ）在R 上递增，即有m ＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g （x ）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，则n ＞0不恒成立， 则②错误；对于③，由m=n ，可得f （x 1）﹣f （x 2）=g （x 1）﹣g （x 2），考查函数h （x ）=x 2+ax ﹣2x ，h ′（x ）=2x+a ﹣2x ln2，当a →﹣∞，h ′（x ）小于0，h （x ）单调递减，则③错误； 对于④，由m=﹣n ，可得f （x 1）﹣f （x 2）=﹣[g （x 1）﹣g （x 2）]，考查函数h （x ）=x 2+ax+2x ， h ′（x ）=2x+a+2x ln2，对于任意的a ，h ′（x ）不恒大于0或小于0，则④正确． 故答案为：①④．点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）（2015•四川）设数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n 项和为T n ，求T n ．考点： 等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n =+++…+==1﹣．点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号3 2 1 4 5 3 2 4 5 13241532541（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．考点：概率的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号3 2 14 53 245 13 24 1 53 2 54 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号 2 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 43 1 52 43 5 12 534 1 于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．答：乘客P1坐到5号座位的概率是．点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF ⊥平面BEG ．考点： 直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离． 分析： （Ⅰ）直接标出点F ，G ，H 的位置． （Ⅱ）先证BCHE 为平行四边形，可知BE ∥平面ACH ，同理可证BG ∥平面ACH ，即可证明平面BEG ∥平面ACH ．（Ⅲ）连接FH ，由DH ⊥EG ，又DH ⊥EG ，EG ⊥FH ，可证EG ⊥平面BFHD ，从而可证DF ⊥EG ，同理DF ⊥BG ，即可证明DF ⊥平面BEG ．解答： 解：（Ⅰ）点F ，G ，H 的位置如图所示． （Ⅱ）平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：∵ABCD ﹣EFGH 为正方体， ∴BC ∥FG ，BC=EH ，又FG∥EH，FG=EH，∴BC∥EH，BC=EH，∴BCHE为平行四边形．∴BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，∴BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG=B，∴平面BEG∥平面ACH．（Ⅲ）连接FH，∵ABCD﹣EFGH为正方体，∴DH⊥EG，又∵EG⊂平面EFGH，∴DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH=O，∴EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，∴DF⊥EG，同理DF⊥BG，又∵EG∩BG=G，∴DF⊥平面BEG．点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（12分）（2015•四川）已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA ，tanB 是关于方程x 2+px ﹣p+1=0（p ∈R ）两个实根． （Ⅰ）求C 的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p 的值．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．专题：函数的性质及应用；解三角形． 分析： （Ⅰ）由判别式△=3p 2+4p ﹣4≥0，可得p ≤﹣2，或p ≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p ，tanAtanB=1﹣p ，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan （A+B ）=，结合C 的范围即可求C 的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B ，A ，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB ）的值．解答： 解：（Ⅰ）由已知，方程x 2+px ﹣p+1=0的判别式：△=（p ）2﹣4（﹣p+1）=3p 2+4p ﹣4≥0， 所以p ≤﹣2，或p ≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p ，tanAtanB=1﹣p ．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p ）=p ≠0， 从而tan （A+B ）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan （A+B ）=， 所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）． 于是，A=180°﹣B ﹣C=75°． 则tanA=tan75°=tan （45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB ）=﹣（2+）=﹣1﹣．点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的离心率是，点P （0，1）在短轴CD 上，且•=﹣1 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB 的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D （0，b），又∵P（0，1），且•=﹣1，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E 的方程为：+=1；（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x 1+x2=﹣，x1x2=﹣，从而•+λ•=x 1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣﹣λ﹣2．∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，此时•+λ•=﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x ＜2}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ） A ． {x|﹣1＜x ＜3} B ． {x|﹣1＜x ＜1} C ． {x|1＜x ＜2} D ． {x|2＜x ＜3}2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x ，6）共线，则实数x=（ ） A ． 2 B ．3 C ．4 D ． 63．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A ． 抽签法B ． 系统抽样法C ． 分层抽样法D ． 随机数法4．（5分）（2015•四川）设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的（ ） A ． 充要条件B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ． y =cos （2x+） B ． y=sin （2x+） C ． y =sin2x+cos2x D ． y =sinx+cosx6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ． ﹣B ．C ．﹣ D ．7．（5分）（2015•四川）过双曲线x 2﹣=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A ． B ．2 C ．6 D ．48．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）A ． 16小时B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时9．（5分）（2015•四川）设实数x ，y 满足，则xy 的最大值为（ ） A ． B ．C ．12 D ．1610．（5分）（2015•四川）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ． （1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=．12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是．13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g （x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号3 2 1 4 5 3 2 4 5 1（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC 的内角，tanA，tanB是关于方程x 2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．。