2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)
2010年中考数学压轴题100题精选(1-10题)
2010年中考数学压轴题【001】如图,已知抛物线2(1)33y a x =-+(a ≠0)经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC .(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.xyMCDPQOAB【002】如图16,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB -BC -CP 于点E .点P 、Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0).(1)当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是 ; (2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围)(3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成为直角梯形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由; (4)当DE 经过点C 时,请直接..写出t 的值.AC BPQED图16【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E,①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值。
2010年中考数学试题压轴题汇编(三)含完整解答过程
2010年中考数学试题压轴题汇编(三)26.(某某市江津区)如图,抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A (-1,0),B (1,0),与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ,求四边形ACBD 的面积;(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)把A (1,0)-B (1,0)代入21y ax bx =++得:1010a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得:1a b =-⎧⎨=⎩ 21y x ∴=-+………………………………………………………………………3分(2)令0x =,得1y =∴()0,1C ……………………………………………4分 ∵OA=OB=OC=1∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45 ∵BD ∥CA ,∴∠AB D=∠BA C 45=︒过点D 作DE ⊥x 轴于E ,则∆BDE 为等腰直角三角形 令OE k =()0k >,则1DE k =+∴(),1D k k --- ∵点D 在抛物线21y x ∴=-+上∴()211k k --=--+解得12k =,21k =-(不合题意,舍去)()2,3D --∴DE=3(说明:先求出直线BD 的解析式,再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可) ∴四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯=………………………………7分 (说明:也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4)(3)存在这样的点M ……………………………………………………………………8分 ∵∠ABC=∠ABD=45∴∠DBC=90 ∵MN ⊥x 轴于点N ,∴∠ANM=∠DBC =90 在Rt △BOC 中,OB=OC=1有2 在Rt △DBE 中,BE=DE=3有BD=32设M 点的横坐标为m ,则M ()2,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时,则1m <- (ⅰ) 当∆A MN ∽∆CDB 时,有AN MNBC BD=∵21,1AN m MN m =--=-2232=解得:1m =-(舍去)22m =- 则()2,3M --(ⅱ) 当∆AMN ∽∆DCB 时,有AN MNBD BC=2322=解得11m =-(舍去)223m =(舍去)…………10分②点M 在y 轴右侧时,则1m >(ⅰ) 当∆AMN ∽∆DCB 时,有AN MNBD BC=∵21,1AN m MN m =+=-2= 解得11m =-(舍去)243m = ∴47,39M ⎛⎫-⎪⎝⎭(ⅱ) 当∆A MN ∽∆CDB 时,有AN MNBC BD=2=解得:11m =-(舍去)24m = ∴()4,15M -∴M 点的坐标为()()472,3,,,4,1539⎛⎫---- ⎪⎝⎭…………………………12分25.(黄冈市15分)已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C (1,1)且过原点O.过抛物线上一点P (x ,y )向直线54y =作垂线,垂足为M ,连FM (如图). (1)求字母a ,b ,c 的值;(2)在直线x =1上有一点3(1,)4F ,求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标,并证明此时△PFM 为正三角形;(3)对抛物线上任意一点P ,是否总存在一点N (1,t ),使PM =PN 恒成立,若存在请求出t 值,若不存在请说明理由.解:(1)a =-1,b =2,c =0(2)过P 作直线x=1的垂线,可求P 的纵坐标为14,横坐标为1132+.此时,MP =MF =PF =1,故△MPF 为正三角形. (3)不存在.因为当t <54,x <1时,PM 与PN 不可能相等, 同理,当t >54,x >1时,PM 与PN 不可能相等.26.(某某某某市)如图10,若四边形ABCD 、四边形CFED 都是正方形,显然图中有AG=CE ,AG ⊥CE.(1)当正方形GFED 绕D 旋转到如图11的位置时,AG=CE 是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(2)当正方形GFED 绕D 旋转到如图12的位置时,延长CE 交AG 于H ,交AD 于M. ①求证:AG ⊥CH;②当AD=4,2CH 的长。
2010年数学中考压轴题精选
EF 将△ ABC 的周长和面积同时平分?若存在直线
EF,求出 x 的值;若不存在直线 EF ,请说明理由. C
A
D
B
C
A
D
B
备用图
2010 年苏州市
5.如图,以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B.已知 A 、 B 两点的坐标分别为 (3, 0)、 (0 ,4).
(1) 求抛物线的解析式;
(2)设 M(m , n)是抛物线上的一点 (m 、 n 为正整数 ) ,且它位于对称轴的右侧.若以 M 、 B、 O、 A 为顶
t,
使面积 y 最小?若存在,求出 y 的最小值;若不存在,说明理由.
( 3)是否存在某一时刻 t ,使 P、Q、 F 三点在同一条直线上?若存在,求出此时
t 的值;若不存在,
说明理由.(图( 3)供同学们做题使用)
A
A
D
B
C( E)
F
图( 1)
解:( 1) (2) (3)
D P
Q
B
EC
F
图( 2)
点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点 (3) 在(2) 的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点
否总成立 ?请说明理由.
M 的坐标; P, PA2+PB2+PM 2> 28 是
大连市 2010
6.如图 17,抛物线 F:y ax2 bx c(a 0) 与 y 轴相交于点 C,直线 L1 经过点 C 且平行于 x 轴,
( 2)若 CE=2 ,BD=BC ,求∠ BPD 的正切值;
( 3)若 tan BPD
1
,设 CE=x ,△ ABC 的周长为 y,求 y 关于 x 的函数关系式 .
2010年中考数学试题汇编压轴题06
(第24题图)(第24题备用图)R 1(9, 3)R 2(3, 9)R 1(3, 3)AB CE F 0xy2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(六)24、(茂名市本题满分8分)如图,在直角坐标系x O y 中,正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,点B 坐标为(6,6),抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 两点,且13-=-b a .(1)求a ,b ,c 的值; (3分)(2)如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发,分别沿A →B 、B →C 运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E 到达终点B 时,点E 、F 随之停止运动.设运动时间为t 秒,EBF ∆的面积为S .①试求出S 及t 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;(2分)②当S 取得最大值时,在抛物线上是否存在点R ,使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R 的坐标;如果不存在,请说明理由.(3分)解:(1)由已知A (0,6)、B (6,6)在抛物线上,得方程组: ······1分 解得: ·············3分(2)①运动开始t 秒时,EB =t -6,BF =t ,S =tt t t BF EB 321)6(21212+-=-=⋅,··········4分 因为29)3(2132122+--=+-=t t t S , 所以当3=t 时,S 有最大值29.··················5分②当S 取得最大值时,由①知3=t ,所以BF =3,CF =3,EB =6-3=3. 若存在某点R ,使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形,则EB FR EB FR //11且=,即可得R 1为(9,3)、(3,3);··················6分(第25题备用图)或者BF ER BF ER //22且=,可得R 2为(3,9).·························7分再将所求得的三个点代入,可知只有点(9,3)在抛物线上,因此抛物线上存在点R 1(9,3),使得四边形EBRF 为平行四边形.············8分25、(茂名市本题满分8分)已知⊙O 1的半径为R ,周长为C .(1)在⊙O 1内任意作三条弦,其长分别是1l 、2l 、3l l l l (2)如图,在直角坐标系x O y 中,设⊙O 1的圆心为O 1(R ①当直线l :)0(>+=b b x y 及⊙O 1相切时,求b ②当反比例函数的图象及⊙O 1有两个交点时,求k 的取值范围. (3解:(1)证明:R l 21≤ ,R l 22≤,R l 23≤.1l ∴+2l +3l C R R =⨯<⨯≤223π,2分因此,1l +2l +3l < C . (3)分(2)解:①如图,根据题意可知⊙O 1及及x 轴、y 轴分别相切,设直线l 及⊙O 1相切于点M ,则O 1M ⊥l ,过点O 1作直线NH ⊥x 轴,及l 交于点N ,及x 轴交于点H ,又∵直线l 及x 轴、y 轴分别交于点E (b -,0)、F (0,b ),∴OE =OF =b ,∴∠NEO =45o ,∴∠ENO 1=45o ,在o =R 2,∴点N 的坐标为N (R ,R R +2把点N 坐标代入b x y +=得:b R R R +=+2,解得:b =②如图,设经过点O 、O 1的直线交⊙O 1于点A 、D ,则由已知,直线OO 1:是圆及反比例函数图象的对称轴,当反比例函数的图象及⊙O 1直径AD 相交时(点A 、D 除外),则反比例函数的图象及⊙O 1有两个交点.过点A 作AB ⊥x 轴交x 轴于点B ,过O 1作O 1C ⊥x 轴于点C ,OO 1=O 1C ÷sin45o =R 2,OA =R R +2,所以OB =AB =⋅OA sin45o =,因此点A 的坐标是A ,将点A 的坐标 代入,解得:.····················6分同理可求得点D 的坐标为D ,将点D 的坐标代入,解得: ······7分所以当反比例函数的图象及⊙O 1有两个交点时,k 的取值范围是:22)223()223(R k R +<<-······················· 8分25.(湘西自治州 本题20分)如图,已知抛物线24y ax x c =-+经过点(0,6)A -和(3,9)B -,(1)求出抛物线的解析式;(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标;(3)点P (m ,m) 及点Q 均在抛物线上(其中m >0),且这两点关于抛物线的对称轴 对称,求m 的值及点Q 的坐标;(4)在满足(3)的情况下,在抛物线的对称轴上寻找一点M ,使得△QMA 的周长最小.解:(1)依题意有 即 ……2分……4分∴抛物线的解析式为:246y x x =--……5分(2)把246y x x =--配方得,2(2)10y x =--∴对称轴方程为2x = ……7分顶点坐标(2,10)-……10分(3)由点(,)P m m 在抛物线上 有246m m m =--……12分即2560m m --=∴16m = 或21m =-(舍去) ……13分∴(6,6)P∵点P 、Q 均在抛物线上,且关于对称轴2x =对称∴(2,6)Q -……15分(4)连接,AQ AP ,直线AP 及对称轴2x =相交于点M由于,P Q 两点关于对称轴对称,由轴对称性质可知,此时的交点M ,能够使得△QAM 的2010年中考数学试题汇编——压轴题(06) 周长最小.……17分设直线PA 的解析式y kx b =+ ∴有∴∴直线PA 的解析式为:26y x =-……18分设点(2,)M n则有2262n =⨯-=-……19分此时点(2,2)M -能够使得△AMQ 的周长最小.……20分26.(湘潭市 本题满分10分)如图,直线6y x =-+及x 轴交于点A ,及y 轴交于点B ,以线段AB 为直径作⊙C ,抛物线c bx ax y ++=2过A 、C 、O 三点.(1) 求点C 的坐标和抛物线的解析式;(2) 过点B 作直线及x 轴交于点D ,且OB 2=OA·OD ,求证:DB 是⊙C 的切线;(3) 抛物线上是否存在一点P , 使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(1)A (6,0),B (0,6) ……………………1分 连结OC ,由于∠AOB =90o,C 为AB 的中点,则, 所以点O 在⊙C 上(没有说明不扣分).过C 点作CE ⊥OA ,垂足为E ,则E 为OA 中点,故点C 的横坐标为3. 又点C 在直线y=-x+6上,故C (3,3) ……………………2分 抛物线过点O ,所以c=0,26题图又抛物线过点A 、C ,所以{3930366=+=+a b a b,解得:所以抛物线解析式为 …………………3分 (2)OA =OB =6代入OB 2=OA·OD ,得OD =6 ……………………4分 所以OD =OB =OA ,∠DBA =90o. ……………………5分 又点B 在圆上,故DB 为⊙C 的切线 ……………………6分 (通过证相似三角形得出亦可)(3)假设存在点P 满足题意.因C 为AB 中点,O 在圆上,故∠OCA=90o,要使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形,则 ∠CAP =90o或 ∠COP =90o, ……………………7分 若∠CAP =90o,则OC ∥AP ,因OC 的方程为y =x ,设AP 方程为y =x +b . 又AP 过点A (6,0),则b =-6, ……………………8分方程y =x -6及联立解得:{116x y ==,{2239x y =-=-,故点P 1坐标为(-3,-9) ……………………9分 若∠COP =90o,则OP ∥AC ,同理可求得点P 2(9,-9) (用抛物线的对称性求出亦可)故存在点P 1坐标为(-3,-9)和P 2(9,-9)满足题意.…………10分28.(甘肃省 本小题满分12分)如图,抛物线及x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,及y 轴交于点C (0,-3),设抛物线的顶点为D .(1)求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2)以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?(3)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以P 、A 、C 为顶点的三角形及△BCD 相似?若存在,请指出符合条件的点P 的位置,并直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(1)设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2, 解:由抛物线及y 轴交于点C (0,-3),可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y . ………………………1分 把A (-1,0)、B (3,0)代入, 得 解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2-2x -3. ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分说明:只要学生求对2,1-==b a ,不写“抛物线的解析式为y = x 2-2x -3”不扣分.(2)以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下:过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中,OB=3,OC=3,∴ 182=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴ 22=CD . …………………………7分 在Rt △BDE 中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴ 202=BD . …………………………8分 ∴ 222BD CD BC =+, 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分(3)连接AC ,可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ,得符合条件的点为O (0,0). ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1,可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD , 求得符合条件的点为. …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2,可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ,求得符合条件的点为P 2(9,0). …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个:O (0,0),,P 2(9,0).26.(桂林市本题满分12分)如图,过A(8,0)、B(0,xy3=交于点C.平行于y轴的直线l从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移,到C点时停止;l分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作等边△DEF,设△DEF及△BCO重叠部分的面积为S(平方单位),直线l的运动时间为t(秒).(1)直接写出C点坐标和t的取值范围;(2)求S及t的函数关系式;(3)设直线l及x轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)C(4,……………………………2分t的取值范围是:0≤t≤4 ……………………………… 3分(2)∵D点的坐标是(t,+E的坐标是(t)∴DE=+=……………………4分∴等边△DEF的DE边上的高为:123t-∴当点F在BO边上时:123t-=t,∴t=3 ……………………5分当0≤t<3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形上底为:- …7分S=)23t+-备用图1= ………………………………8分当3≤t ≤4时,重叠部分为等边三角形S=1)(123)2t - ………………… 9分=2-+……………………10分(3)存在,P (247,0) ……………………12分说明:∵FO≥FP≥OP ≤4∴以P ,O ,F 以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO ,FP ,若FO =FP 时,t =2(12-3t ),t =247,∴P (247,0)30. (江西省南昌市)课题:两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题. 实验及论证设旋转角∠A 1A 0B 1=α(α<∠A 1A 0B 1),θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示.图1 图2 图3 图4αθ4HB 2B 3A 3A 22A 2B 1A 1A 011(1)用含α的式子表示:θ3=_________,θ4=_________,θ5=_________;(2)图1-图4中,连接A 0H 时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在及直线A 0H 垂直且被它平分的线段?若存在,请选择期中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由; 归纳及猜想设正n 边形A 0A 1A 2…A n-1及正n 边形A 0B 1B 2…B n-1重合(其中,A 1及B 1重合),现将正n 边形A 0B 1B 2…B n-1绕顶点A 0逆时针旋转α().(3)设θn 及上述“θ3,θ4,…”的意义一样,请直接写出θn 的度数;(4)试猜想在正n 边形且不添加其他辅助线的情形下,是否存在及直线A 0H 垂直且被它平分的线段?若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由.解:(1)α-︒60, α, α-︒36. ····················································· 3分说明:每写对一个给1分.(2)存在.下面就所选图形的不同分别给出证明:选图1.图1中有直线H A o 垂直平分12B A ,证明如下:图1方法一: 证明:∵21A A A o ∆及210B B A ∆是全等的等边三角形, ∴1020B A A A =, ∴210120A B A B A A ∠=∠.又∵︒=∠=∠601020H B A H A A .∴ 2112A HB B HA ∠=∠. ∴HB H A 12=.∴点H 在线段12B A 的垂直平分线上.又∵1020B A A A =,∴点0A 在线段12B A 的垂直平分线上∴直线H A o 垂直平分12B A ···················································· 8分方法二: 证明:∵21A A A o ∆及210B B A ∆是全等的等边三角形,∴1020B A A A =, ∴210120A B A B A A ∠=∠. 又HB A H A A 1020∠=∠. ∴2112A B H B HA ∠=∠∴12HB HA =.在H A A 20∆及H B A 10∆中∵1020B A A A =,12HB HA =,H B A H A A 1020∠=∠ ∴H A A 20∆≌H B A 10∆.∴H A B H A A 0102∠=∠ ∴H A o 是等腰三角形102B A A 的顶角平分线.∴直线H A o 垂直平分12B A . ················································· 8分选图2.图2中有直线H A o 垂直平分22B A ,证明如下:图2∵2020A A B A =∴220220B A A A B A ∠=∠又∵︒=∠=∠45320120A A A B B A ,∴ 2222B HA A HB ∠=∠.∴22HA HB =.∴点H 在线段22B A 的垂直平分线上. 又∵2020A A B A =,∴点0A 在线段22B A 的垂直平分线上∴直线H A o 垂直平分22B A . ··································································· 8分说明:(ⅰ)在图2中选用方法二证明的,参照上面的方法二给分;(ⅱ)选择图3或图4给予证明的,参照上述证明过程评分.(3)当n 为奇数时,,当n 为偶数时,αθ=n ··························································· 10分(4)存在.当n 为奇数时,直线H A o 垂直平分2121-+n n B A ,当n 为偶数时,直线H A o 垂直平分22nn B A . ·································· 12分26.(山东省泰安市 本小题满分10分)如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC ,以AC 为直径的⊙O 及BC 交于点D ,DE ⊥AB ,垂足为E ,ED 的延长线及AC 的延长线交于点F 。
2010年部分地区中考数学试题压轴题解答及点评(全国通用)
2010 年部分地区中考数学试题压轴题解答及点评(全
国通用)
2010 年部分地区中考数学试题压轴题解答及点评
1.(2010 广东肇庆)已知二次函数的图象过点P(2,1).
(1)求证:;
(2)求的最大值;
(3)若二次函数的图象与轴交于点A(,0)、B(,0),△ABP 的面积是,求的值.
【答案】(1)证明:将点P(2,1)代入得:(1 分)
整理得:(2 分)
(2)解:∵∴= (4 分)
∵-2?0 ∴当= -1 时,有最大值2;(5 分)
(3)解:由题意得:,
∴=︱-︱=,即︱-︱= (6 分)
亦即(7 分)
由根与系数关系得:,(8 分)
代入得:,
整理得:(9 分)
解得:,经检验均合题意.(10 分)
【点评】本题以二次函数为载体,重点考查根与系数关系及简单的代数证明,尤其第一问的证明很特别。
但难度低,区分度小。
2.(2010 广东广州)如图所示,四边形OABC 是矩形,点A、C 的坐标分别为(3,0),(0,1),点D 是线段BC 上的动点(与端点B、C 不重合),。
2010年中考数学压轴题(一)及解答
中考复习资料大全2010年中考数学压轴题(一)及解答1、(2010年北京市)24. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ,点B (2,n )在这条抛物线上。
(1) 求点B 的坐标;(2) 点P 在线段OA 上,从O 点出发向点运动,过P 点作x 轴的 垂线,与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED =PE 。
以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时,C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时,求OP 的长;若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动,P 点也同时停止运动)。
过Q 点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F 。
延长QF 到点M ,使得FM =QF ,以QM 为斜边,在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时,M 点,N 点也随之运动)。
若P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值。
【解答】24. 解:(1) ∵拋物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2经过原点,∴m 2-3m +2=0,解得m 1=1,m 2=2, 由题意知m ≠1,∴m =2,∴拋物线的解析式为y = -41x 2+25x ,∵点B (2,n )在拋物线y = -41x 2+25x 上,∴n =4,∴B 点的坐标为(2,4)。
(2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ,求得直线OB 的解析式为y =2x ,∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点,可求得A 点的 坐标为(10,0),设P 点的坐标为(a ,0),则E 点的坐标为 (a ,2a ),根据题意作等腰直角三角形PCD ,如图1。
中考数学压轴题100题精选及答案(全)
(3)第(2)问中的一次函数的图象与 轴、 轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积 与四边形OABD的面积S满足: ?若存在,求点E的坐标;
若不存在,请说明理由.
【017】如图,已知抛物线 经过 , 两点,顶点为 .
【012】如图,在平面直角坐标系 中,半径为1的圆的圆心 在坐标原点,且与两坐标轴分别交于 四点.抛物线 与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,且 分别与圆 相切于点 和点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交 轴于点 ,连结 ,并延长 交圆 于 ,求 的长.
(3)过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ,判断点 是否在抛物线上,说明理由.
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
请直接写出相应的t值。
【004】如图,已知直线 与直线 相交于点 分别交 轴于 两点.矩形 的顶点 分别在直线 上,顶点 都在 轴上,且点 与点 重合.
2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)含答案
合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)【051】如图14(1),抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,3-).[图14(2)、图14(3)为解答备用图](1)k = ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ; (2)设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ,求四边形ABMC 的面积;(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ,使四边形ABDC 的面积最大?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)在抛物线22y x x k =-+上求点Q ,使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形.图14(1) 图14(2) 图14(3)合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【052】已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过点(10)A ,,(20)B ,,(02)C -,,直线x m =(2m >)与x 轴交于点D . (1)求二次函数的解析式;(2)在直线x m =(2m >)上有一点E (点E 在第四象限),使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似,求E 点坐标(用含m 的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形?若存在,请求出m 的值及四边形ABEF 的面积;若不存在,请说明理由.【053】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)经过(10)A -,,(30)B ,,合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网(03)C ,三点,其顶点为D ,连接BD ,点P 是线段BD 上一个动点(不与B D 、重合),过点P 作y 轴的垂线,垂足为E ,连接BE .(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D 的坐标;(2)如果P 点的坐标为()x y ,,PBE △的面积为s ,求s 与x 的函数关系式,写出自变量x 的取值范围,并求出s 的最大值;(3)在(2)的条件下,当s 取得最大值时,过点P 作x 的垂线,垂足为F ,连接EF ,把PEF △沿直线EF 折叠,点P 的对应点为P ',请直接写出P '点坐标,并判断点P '是否在该抛物线上.【054】如图,在直角坐标系中,矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上,点A 、C 的坐标分 别为(0,1)、(2,4).点P 从点A 出发,沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动,到 点C 停止;点Q 在x 轴上,横坐标为点P 的横、纵坐标之和.抛物线c bx x y ++-=241合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网经过A 、C 两点.过点P 作x 轴的垂线,垂足为M ,交抛物线于点R .设点P 的运动时间为t (秒),△PQR 的面积为S (平方单位). (1)求抛物线对应的函数关系式. (2)分别求t=1和t=4时,点Q 的坐标.(3)当0<t ≤5时,求S 与t 之间的函数关系式,并直接写出S 的最大值.【055】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点(02)A ,,点(10)C -,,如图所示:抛物线22y ax ax =+-经过点B . (1)求点B 的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外),使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网形?若存在,求所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【056】如图18,抛物线F :c bx ax y ++=2的顶点为P ,抛物线:与y 轴交于点A ,与直线OP 交于点B .过点P 作PD ⊥x 轴于点D ,平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′:'+'+'=c x b x a y 2,抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C .⑴当a = 1,b =-2,c = 3时,求点C 的坐标(直接写出答案); ⑵若a 、b 、c 满足了ac b 22=(第25题)合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网①求b :b ′的值;②探究四边形OABC 的形状,并说明理由.【057】直线)0(≠+=k b kx y 与坐标轴分别交于A 、B 两点,OA 、OB 的长分别是方程048142=+-x x 的两根(OB OA >),动点P 从O 点出发,沿路线O →B →A 以每秒1个单位长度的速度运动,到达A 点时运动停止.(1)直接写出A 、B 两点的坐标;S ,求S 与t 之间的函数关系式(不必写出在坐标轴上是否存在点M ,使以O 、A 、P 、M 的坐标;若不存在,请说明理由. 图 18合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【058】如图,已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C . (1)求A 、B 、C 三点的坐标.(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积.(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似.若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由.合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站E 度教育网【059】如图(1),已知正方形ABCD 在直线MN 的上方,BC 在直线MN 上,E 是BC 上一点,以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG .(1)连接GD ,求证:△ADG ≌△ABE ;(4分)(2)连接FC ,观察并猜测∠FCN 的度数,并说明理由;(4分) (3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD 改为矩形ABCD ,AB =a ,BC =b (a 、b 为常数),E 是线段BC 上一动点(不含端点B 、C ),以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ,使顶点G 恰好落在射线CD 上.判断当点E 由B 向C 运动时,∠FCN 的大小是否总保持不变,若∠FCN 的大小不变,请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值;若∠FCN 的大小发生改变,请举例说明.(5分)D GA DF G合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【060】已知:如图所示,关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -,、点(60)B ,,与y 轴交于点C .(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D ,使四边形ABDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线AD 的解析式;(3)在(2)中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一动点Q .是否存在以A M P Q 、、、请说明理由.(第26题图)合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)答案【051】解:(1)3k =-,(-1,0),B (3,0). ······················· 3分 (2)如图14(1),抛物线的顶点为M (1,-4),连结OM .则 △AOC 的面积=23,△MOC 的面积=23,△MOB 的面积=6,∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9. ·································· 6分说明:也可过点M 作抛物线的对称轴,将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和.(3)如图14(2),设D (m ,322--m m ),连结OD . 则 0<m <3,322--m m <0. 且 △AOC 的面积=23,△DOC 的面积=m 23,△DOB 的面积=-23(322--m m ), ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m . ∴ 存在点D 315()24-,,使四边形ABDC 的面积最大为875.(4)有两种情况:如图14(3),过点B 作BQ 1⊥BC ,交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ,连接Q 1C . ∵ ∠CBO =45°,∴∠EBO =45°,BO =OE =3. ∴ 点E 的坐标为(0,3). ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+. ···························· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩, 解得1125x y ,;ì=-ïïíï=ïî 2230.x y ,ì=ïïíï=ïî∴ 点Q 1的坐标为(-2,5). ········· 13分 如图14(4),过点C 作CF ⊥CB ,交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ,连接BQ 2.∵ ∠CBO =45°,∴∠CFB =45°,OF =OC =3. ∴ 点F 的坐标为(-3,0).∴ 直线CF 的解析式为3y x =--.····························· 14分图14(2)图14(3) 图14(4)合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩,解得1103x y ,;ì=ïïíï=-ïî 2214x y ,.ì=ïïíï=-ïî ∴点Q 2的坐标为(1,-4).综上,在抛物线上存在点Q 1(-2,5)、Q 2(1,-4),使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形.【052】解:(1)根据题意,得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩,,解得132a b c =-==-,,.232y x x ∴=-+-.(2(2)当EDB AOC △∽△时,得AO CO ED BD =或AO BD =∵122AO CO BD m ===-,,,当AO CO ED BD =时,得2ED m =-, ∴22m ED -=,∵点E 在第四象限,∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭,. ··········································· (4分) 当AO CO BD ED =时,得122m ED=-,∴24ED m =-, ∵点E 在第四象限,∴2(42)E m m -,. ········································································· (6分)(3)假设抛物线上存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形,则 1EF AB ==,点F 的横坐标为1m -, 当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭,时,点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭,,∵点1F 在抛物线的图象上,∴22(1)3(1)22mm m -=--+--,∴2211140m m -+=, ∴(27)(2)0m m --=,∴722m m ==,(舍去),∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭,, ∴33144ABEFS=⨯=. ····································································································· (9分) 当点2E 的坐标为(42)m m -,时,点2F 的坐标为(142)m m --,, ∵点2F 在抛物线的图象上,∴242(1)3(1)2m m m -=--+--,∴27100m m -+=,∴(2)(5)0m m --=,∴2m =(舍去),5m =,∴2(46)F -,,∴166ABEFS =⨯=.合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站【053】解:(1)设(1)(3)y a x x =+-,把(03)C ,代入,得1a =-, ······························ 2分 ∴抛物线的解析式为:223y x x =-++.顶点D 的坐标为(14),. ··································· 5分 (2)设直线BD 解析式为:y kx b =+(0k ≠),把B D 、两点坐标代入,得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得26k b =-=,.∴直线AD 解析式为26y x =-+. ························· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+,∴23(13)s x x x =-+<< ·················· 9分 22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ····································································· 10分 ∴当32x =时,s 取得最大值,最大值为94. ······································································ 11分 (3)当s 取得最大值,32x =,3y =,∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭,.∴四边形PEOF 是矩形. 作点P 关于直线EF 的对称点P ',连接P E P F ''、. 法一:过P '作P H y '⊥轴于H ,P F '交y 轴于点M 设MC m =,则332MF m P M m P E ''==-=,,.在Rt P MC '△中,由勾股定理,223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得158m =.∵CM P H P M P E '''=,∴910P H '=. 由EHP EP M ''△∽△,可得EH EP EP EM '=',65EH =.∴69355OH =-=. ∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭,. ·············································································································· 13分 法二:连接PP ',交CF 于点H ,分别过点H P '、作PC 的垂线,垂足为M N 、. 易证CMH HMP △∽△.∴12CM MH MH PM ==. 设CM k =,则24MH k PM k ==,.∴5PC =由三角形中位线定理,12845PN k P N k '====,合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴12395210CN PN PC =-=-=,即910x =-. 69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭,. ······························································· 13分 把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭,代入抛物线解析式,不成立,所以P '不在抛物线上. ····················· 14分 【054】(1)由抛物线经过点A (0,1),C (2,4),得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线对应的函数关系式为:21214y x x =-++. ··································· (2分)(2)当1t =时,P 点坐标为(1,1),∴Q 点坐标为(2,0). 当4t =时,P 点坐标为(2,3),∴Q 点坐标为(5,0). ································ (5分)(3)当0t <≤2时,211(211)124S t t =-++-⨯.S 218t t =-+.当2t <≤5时,1(5)(2212)2S t t =-+-+-.S 215322t t =-+-. (8分)当3t =时,S 的最大值为2. ································【055】(1)过点B 作BD x ⊥轴,垂足为D , 9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠=°,°BCD CAO ∴∠=∠;又90BDC COA CB AC ∠=∠==°;, BCD CAO ∴△≌△,12BD OC CD OA ∴====,∴点B 的坐标为(31)-,; ·················································· 4(2)抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -,,则得到1932a a =--, ··························· 5分 解得12a =,所以抛物线的解析式为211222y x x =+-; ···················································· 7分 (3)假设存在点P ,使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形:①若以点C 为直角顶点;则延长BC 至点1P ,使得1PC BC =,得到等腰直角三角形1ACP △, ······························ 8分 过点1P 作1PM x ⊥轴,11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠=,,°;合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网1MPC DBC ∴△≌△121CM CD PM BD ∴====,,可求得点1P (1,-1); ·········· 11分 ②若以点A 为直角顶点;则过点A 作2AP CA ⊥,且使得2AP AC =,得到等腰直角三角形2ACP △, ················ 12分 过点2P 作2P N y ⊥轴,同理可证2AP N CAO △≌△; ····················································· 13分221NP OA AN OC ∴====,,可求得点2(21)P ,; ······················································· 14分 经检验,点1(11)P -,与点2(21)P ,都在抛物线211222y x x =+-上. ································ 16分 【056】解:(1) C (3,0);(2)①抛物线c bx ax y ++=2,令x =0,则y =c , ∴A 点坐标(0,c ).∵ac b 22=,∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-,∴点P 的坐标为(2,2ca b -). ∵PD ⊥x 轴于D ,∴点D 的坐标为(0,2ab-). ……………………………………5分 根据题意,得a=a ′,c= c ′,∴抛物线F ′的解析式为c x b ax y ++='2.又∵抛物线F ′经过点D (0,2a b-),∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022.……………6分 ∴ac bb b 4'202+-=.又∵ac b 22=,∴'2302bb b -=.∴b :b ′=32. ②由①得,抛物线F ′为c bx ax y ++=232. 令y=0,则0232=++c bx ax . ∴abx a b x -=-=21,2.∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为(0,ab-). 设直线OP 的解析式为kx y =.∵点P 的坐标为(2,2ca b -), ∴k a b c 22-=,∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=,∴x by 2-=. ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点,∴x b c bx ax 22-=++.∴abx a b x -=-=21,2.∵点P 的横坐标为a b 2-,∴点B 的横坐标为ab-.合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网把a b x -=代入x by 2-=,得c a ac a b a b b y ===--=222)(22.∴点B 的坐标为),(c ab-.∴BC ∥OA ,AB ∥OC .(或BC ∥OA ,BC =OA ),∴四边形OABC 是平行四边形.又∵∠AOC =90°,∴四边形OABC 【057】(1) )6,0(),0,8(B A(2)∵8=OA ,6=OB ,∴AB 当点P 在OB 上运动时,t OP =1t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=; 当点P 在BA 上运动时,作D P ⊥2有AB AP BO D P 22=∵t AP -+=1062∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S (3)当124=t 时,3=t ,)3,0(1P ,此时,过AOP ∆各顶点作对边的平行线,与坐标轴无第二个交点,所以点M 不存在; 当125192512=+-t 时,11=t ,)3,4(2P ,此时,)3,0(1M 、)6,0(2-M 【058】解:(1)令0y =,得210x -= 解得1x =±,令0x =,得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ·············(2)∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45 ∵A P ∥CB ,∴∠P AB =45,过点P 作P E ⊥x 轴于E , 则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ,则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =,21a =-(不合题意,舍去) ∴P E =3 · 4分合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ································ 5分 (3). 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G , ∴∠MG A =∠P AC =90在Rt △A O C 中,O A =O C =1 ∴AC,在Rt △P AE 中,AE =P E =3 ∴AP= ······· 6分设M 点的横坐标为m ,则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时,则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时,有AG PA =MGCA∵A G=1m --MG=21m -2= 解得11m =-(舍去) 223m =(舍去)………7分 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 2=,解得:1m =-(舍去) 22m =-∴M (2,3)- ························································ 8分② 点M 在y 轴右侧时,则1m >(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +,MG=21m -∴ 2= 解得11m =-(舍去) 243m = ∴M (,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA 即 2=解得:11m =-(舍去) 24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网角形与∆P CA 相似,M 点的坐标为(2,3)-,47(,)39,(4,15)【059】解:(1)∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形 ∴AB =AD ,AE =AG ,∠BAD =∠EAG =90º∴∠BAE +∠EAD =∠DAG +∠EAD ∴∠BAE =∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分(2)∠FCN =45º …………5分 理由是:作FH ⊥MN 于H∵∠AEF =∠ABE =90º∴∠BAE +∠AEB =90º,∠FEH +∠AEB =90º∴∠FEH =∠BAE 又∵AE =EF ,∠EHF =∠EBA =90º∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH =BE ,EH =AB =BC ,∴CH =BE =FH∵∠FHC =90º,∴∠FCH =45º …………8分(3)当点E 由B 向C 运动时,∠FCN的大小总保持不变,…………9分理由是:作FH ⊥MN 于H由已知可得∠EAG =∠BAD =∠AEF =90º 结合(1)(2)得∠FEH =∠BAE =∠DAG又∵G 在射线CD 上,∠GDA =∠EHF =∠EBA =90º∴△EFH ≌△GAD ,△EFH ∽△ABE ……11分 ∴EH =AD =BC =b ,∴CH =BE ,∴EH AB =FH BE =FHCH∴在Rt △FEH 中,tan ∠FCN =FH CH =EH AB =b a∴当点E 由B 向C 运动时,∠FCN =b【060】解:(1)根据题意,得 4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩,解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2134y x x =-++,顶点坐标是(2,4) (2)(43)D ,,设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠直线经过点(20)A -,、点(43)D ,2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩112y x ∴=+(3)存在.120)Q ,,2(2)Q -,0,3(6Q -,4(6Q +M B E AC ND F G 图(2) HM B E A C NDF G 图(1)H第26题图。
【配套K12】2010年各地中考数学 压轴题精选
2010中考数学压轴题精选(一)★★1、(2010北京)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ,点B (2,n )在这条抛物线上。
(1)求点B 的坐标; (2)点P 在线段OA 上,从O 点出发向点运动,过P 点作x 轴的垂线,与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D ,使得ED =PE ,以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时,C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时,求OP 的长;若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA 上另一 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动,P 点也同时停止运动)。
过Q 点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F 。
延长QF 到点M ,使得FM =QF ,以QM 为斜边,在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时,M 点,N 点也随之运动)。
若P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值。
★★2、(2010北京)问题:已知△ABC 中,∠BAC =2∠ACB ,点D 是△ABC 内的一点,且AD =CD ,BD =BA 。
探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值。
请你完成下列探究过程:先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。
(1) 当∠BAC =90︒时,依问题中的条件补全右图。
观察图形,AB 与AC 的数量关系为 ; 当推出∠DAC =15︒时,可进一步推出∠DBC 的度数为 ;可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 ;(2) 当∠BAC ≠90︒时,请你画出图形,研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。
★★3、(2010郴州)如图(1),抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ,E (0,b )为y A C B轴上一动点,过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .(1)求点A 的坐标;(2)当b =0时(如图(2)),ABE 与ACE 的面积大小关系如何?当4b >-时,上述BOC 是以b ;若★★4、(2010滨州)如图,四边形ABCD 是菱形,点D的坐标是(0,3),以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2恰好经过x 轴上A 、B 两点.(1)求A 、B 、C 三点的坐标;(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位?★★5、(2010长沙)已知:二次函数22y ax bx =+-的图象经过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b ),其中0a b >>且a 、b 为实数. (1)求一次函数的表达式(用含b 的式子表示); (2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求| x1-x2 |的范围.★★6、(2010长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA , OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.(1)用t 的式子表示△OPQ 的面积S ;(2)求证:四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值;(3)当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时,抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点,过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ,当线段MN 的长取最大值时,求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比.★★7、(2010常德)如图9,已知抛物线212y x bx c x =++与轴交于点A (-4,0)和B (1,0)两点,与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线的解析式;第26题图(2)设E 是线段AB 上的动点,作EF∥AC 交BC 于F ,连接CE ,当C E F 的面积是BEF 面积的2倍时,求E 点的坐标;(3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点,过P 作y 轴的平行线,交AC 于Q ,当P 点运动到什么位置时,线段PQ 的值最大,并求此时P 点的坐标.★★8、(2010常德)如图10,若四边形ABCD 、四边形CFED 都是正方形,显然图中有AG=CE ,AG⊥CE.(1)当正方形GFED 绕D 旋转到如图11的位置时,AG=CE 是否成立?若成立,请给出证明;图9x若不成立,请说明理由.(2)当正方形GFED 绕D 旋转到如图12的位置时,延长CE 交AG 于H ,交AD 于M. ①求证:AG⊥CH;②当AD=4,CH 的长。
2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)答案
合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)答案【051】解:(1)3k =-,(-1,0),B (3,0). ······················· 3分 (2)如图14(1),抛物线的顶点为M (1,-4),连结OM .则 △AOC 的面积=23,△MOC 的面积=23,△MOB 的面积=6,∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9. ·································· 6分说明:也可过点M 作抛物线的对称轴,将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和. (3)如图14(2),设D (m ,322--m m ),连结OD . 则 0<m <3,322--m m <0. 且 △AOC 的面积=23,△DOC 的面积=m 23,△DOB 的面积=-23(322--m m ), ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m . ∴ 存在点D 315()24-,,使四边形ABDC 的面积最大为875. (4)有两种情况:如图14(3),过点B 作BQ 1⊥BC ,交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ,连接Q 1C . ∵ ∠CBO =45°,∴∠EBO =45°,BO =OE =3. ∴ 点E 的坐标为(0,3). ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+. ···························· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩, 解得1125x y ,;ì=-ïïíï=ïî 2230.x y ,ì=ïïíï=ïî∴ 点Q 1的坐标为(-2,5). ········· 13分 如图14(4),过点C 作CF ⊥CB ,交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ,连接BQ 2. ∵ ∠CBO =45°,∴∠CFB =45°,OF =OC =3. ∴ 点F 的坐标为(-3,0).∴ 直线CF 的解析式为3y x =--.····························· 14分由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩, 解得1103x y ,;ì=ïïíï=-ïî 2214x y ,.ì=ïïíï=-ïî ∴点Q 2的坐标为(1,-4).综上,在抛物线上存在点Q 1(-2,5)、Q 2(1,-4), 使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形.图14(2)图14(3) 图14(4)合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【052】解:(1)根据题意,得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩,,解得132a b c =-==-,,.232y x x ∴=-+-.(2(2)当EDB AOC △∽△时,得AO CO ED BD =或AO BD =∵122AO CO BD m ===-,,,当AO CO ED BD =时,得2ED m =-,∴22m ED -=,∵点E 在第四象限,∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭,. ··········································· (4分) 当AO CO BD ED =时,得122m ED=-,∴24ED m =-, ∵点E 在第四象限,∴2(42)E m m -,. ········································································· (6分) (3)假设抛物线上存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形,则 1EF AB ==,点F 的横坐标为1m -, 当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭,时,点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭,, ∵点1F 在抛物线的图象上,∴22(1)3(1)22mm m -=--+--,∴2211140m m -+=, ∴(27)(2)0m m --=,∴722m m ==,(舍去),∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭,, ∴33144ABEF S =⨯= . ····································································································· (9分) 当点2E 的坐标为(42)m m -,时,点2F 的坐标为(142)m m --,, ∵点2F 在抛物线的图象上,∴242(1)3(1)2m m m -=--+--,∴27100m m -+=,∴(2)(5)0m m --=,∴2m =(舍去),5m =,∴2(46)F -,,∴166ABEF S =⨯= .【053】解:(1)设(1)(3)y a x x =+-,把(03)C ,代入,得1a =-, ······························ 2分∴抛物线的解析式为:223y x x =-++.顶点D 的坐标为(14),. ··································· 5分合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站(2)设直线BD 解析式为:y kx b =+(0k ≠),把B D 、两点坐标代入,得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得26k b =-=,.∴直线AD 解析式为26y x =-+. ························· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+ ,∴23(13)s x x x =-+<< ·················· 9分 22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ····································································· 10分 ∴当32x =时,s 取得最大值,最大值为94. ······································································ 11分 (3)当s 取得最大值,32x =,3y =,∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭,.∴四边形PEOF 是矩形. 作点P 关于直线EF 的对称点P ',连接P E P F ''、. 法一:过P '作P H y '⊥轴于H ,P F '交y 轴于点M 设MC m =,则332MF m P M m P E ''==-=,,. 在Rt P MC '△中,由勾股定理,223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得158m =.∵CM P H P M P E '''= ,∴910P H '=. 由EHP EP M ''△∽△,可得EH EP EP EM '=',65EH =.∴69355OH =-=.∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭,. ·············································································································· 13分 法二:连接PP ',交CF 于点H ,分别过点H P '、作PC 的垂线,垂足为M N 、. 易证CMH HMP △∽△.∴12CM MH MH PM ==. 设CM k =,则24MH k PM k ==,.∴5PC =由三角形中位线定理,12845PN k P N k '====,∴12395210CN PN PC =-=-=,即910x =-.合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭,. ······························································· 13分 把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭,代入抛物线解析式,不成立,所以P '不在抛物线上. ····················· 14分 【054】(1)由抛物线经过点A (0,1),C (2,4),得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩∴抛物线对应的函数关系式为:21214y x x =-++. ··································· (2分) (2)当1t =时,P 点坐标为(1,1),∴Q 点坐标为(2,0).当4t =时,P 点坐标为(2,3),∴Q 点坐标为(5,0). ································ (5分)(3)当0t <≤2时,211(211)124S t t =-++-⨯.S 218t t =-+.当2t <≤5时,1(5)(2212)2S t t =-+-+-.S 215322t t =-+-.(8分)当3t =时,S 的最大值为2. ································【055】(1)过点B 作BD x ⊥轴,垂足为D , 9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠= °,°BCD CAO ∴∠=∠;又90BDC COA CB AC ∠=∠== °;, BCD CAO ∴△≌△,12BD OC CD OA ∴====,∴点B 的坐标为(31)-,; ·················································· 4(2)抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -,,则得到1932a a =--, ··························· 5分 解得12a =,所以抛物线的解析式为211222y x x =+-; ···················································· 7分 (3)假设存在点P ,使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形:①若以点C 为直角顶点;则延长BC 至点1P ,使得1PC BC =,得到等腰直角三角形1ACP △, ······························ 8分 过点1P 作1PM x ⊥轴,11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠= ,,°; 1MPC DBC ∴△≌△121CM CD PM BD ∴====,,可求得点1P (1,-1); ·········· 11分合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网②若以点A 为直角顶点;则过点A 作2AP CA ⊥,且使得2AP AC =,得到等腰直角三角形2ACP △, ················ 12分 过点2P 作2P N y ⊥轴,同理可证2AP N CAO △≌△; ····················································· 13分 221NP OA AN OC ∴====,,可求得点2(21)P ,; ······················································· 14分 经检验,点1(11)P -,与点2(21)P ,都在抛物线211222y x x =+-上. ································ 16分 【056】解:(1) C (3,0);(2)①抛物线c bx ax y ++=2,令x =0,则y =c , ∴A 点坐标(0,c ).∵ac b 22=,∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-,∴点P 的坐标为(2,2ca b -). ∵PD ⊥x 轴于D ,∴点D 的坐标为(0,2ab-). ……………………………………5分 根据题意,得a=a ′,c= c ′,∴抛物线F ′的解析式为c x b ax y ++='2.又∵抛物线F ′经过点D (0,2a b-),∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022.……………6分 ∴ac bb b 4'202+-=.又∵ac b 22=,∴'2302bb b -=.∴b :b ′=32. ②由①得,抛物线F ′为c bx ax y ++=232. 令y=0,则0232=++c bx ax . ∴abx a b x -=-=21,2.∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为(0,ab-). 设直线OP 的解析式为kx y =.∵点P 的坐标为(2,2ca b -), ∴k a b c 22-=,∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=,∴x by 2-=. ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点,∴x b c bx ax 22-=++.∴abx a b x -=-=21,2.∵点P 的横坐标为a b 2-,∴点B 的横坐标为ab-.把a b x -=代入x by 2-=,得c a ac a b a b b y ===--=222)(22.合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴点B 的坐标为),(c ab-.∴BC ∥OA ,AB ∥OC .(或BC ∥OA ,BC =OA ), ∴四边形OABC 是平行四边形.又∵∠AOC =90°,∴四边形OABC 【057】(1) )6,0(),0,8(B A(2)∵8=OA ,6=OB ,∴AB 当点P 在OB 上运动时,t OP =1t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=; 当点P 在BA 上运动时,作D P ⊥2有ABAP BO D P 22=∵t AP -+=1062∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S (3)当124=t 时,3=t ,)3,0(1P ,此时,过AOP ∆各顶点作对边的平行线,与坐标轴无第二个交点,所以点M 不存在; 当125192512=+-t 时,11=t ,)3,4(2P ,此时,)3,0(1M 、)6,0(2-M 【058】解:(1)令0y =,得210x -= 解得1x =±,令0x =,得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ·············(2)∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ,∴∠P AB =45,过点P 作P E ⊥x 轴于E , 则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ,则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =,21a =-(不合题意,舍去) ∴P E =3 · 4分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ································ 5分合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网 (3). 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G , ∴∠MG A =∠P AC =90在Rt △A O C 中,O A =O C =1 ∴AC 在Rt △P AE 中,AE =P E =3 ∴A P= ······· 6分设M 点的横坐标为m ,则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时,则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时,有AG PA =MGCA∵A G=1m --MG=21m -2=解得11m =-(舍去) 223m =(舍去)………7分 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 2=,解得:1m =-(舍去) 22m =-∴M (2,3)- ························································ 8分② 点M 在y 轴右侧时,则1m >(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +,MG=21m -∴ 2=解得11m =-(舍去) 243m = ∴M (,)39 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MG PA 即 2=解得:11m =-(舍去) 24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似,M 点的坐标为(2,3)-,47(,)39,(4,15) 【059】解:(1)∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形G合并自: (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴AB =AD ,AE =AG ,∠BAD =∠EAG =90º∴∠BAE +∠EAD =∠DAG +∠EAD ∴∠BAE =∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分 (2)∠FCN =45º …………5分 理由是:作FH ⊥MN 于H ∵∠AEF =∠ABE =90º∴∠BAE +∠AEB =90º,∠FEH +∠AEB =90º∴∠FEH =∠BAE 又∵AE =EF ,∠EHF =∠EBA =90º∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH =BE ,EH =AB =BC ,∴CH =BE =FH∵∠FHC =90º,∴∠FCH =45º …………8分(3)当点E 由B 向C 运动时,∠FCN的大小总保持不变,…………9分理由是:作FH ⊥MN 于H由已知可得∠EAG =∠BAD =∠AEF =90º 结合(1)(2)得∠FEH =∠BAE =∠DAG又∵G 在射线CD 上,∠GDA =∠EHF =∠EBA =90º ∴△EFH ≌△GAD ,△EFH ∽△ABE ……11分 ∴EH =AD =BC =b ,∴CH =BE ,∴EH AB =FH BE =FHCH∴在Rt △FEH 中,tan ∠FCN =FH CH =EH AB =b a∴当点E 由B 向C 运动时,∠FCN =b【060】解:(1)根据题意,得 4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩,解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++,顶点坐标是(2,4) (2)(43)D ,,设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 直线经过点(20)A -,、点(43)D ,2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 112y x ∴=+ (3)存在.120)Q ,,2(2)Q -,0,3(6Q -,4(6Q +M B E AC ND FG 图(2) H 第26题图。
2010中考数学压轴题精选
2010年各地中考压轴题精选1(北京)问题:已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA。
探究∠DBC与∠ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程:先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。
(1) 当∠BAC=90︒时,依问题中的条件补全右图。
观察图形,AB与AC的数量关系为;可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为;(2) 当∠BAC≠90︒时,请你画出图形,研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。
2(盐城)已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.(1)求这个函数关系式;(2)如图所示,设二次..函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;(3)在(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;若不在,请说明理由.3.(广州)如图所示,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重合),过点D 作直线y =-12x +b 交折线OAB 于点E .(1)记△ODE 的面积为S ,求S 与b 的函数关系式;(2)当点E 在线段OA 上时,若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1,试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.4.(南平)如图1,已知点B (1,3)、C (1,0),直线y=x +k 经过点B ,且与x 轴交于点A ,将△ABC 沿直线AB 折叠得到△ABD. (1)填空:A 点坐标为(____,____),D 点坐标为(____,____); (2)若抛物线y= 13x 2+b x +c 经过C 、D 两点,求抛物线的解析式;(3)将(2)中的抛物线沿y 轴向上平移,设平移后所得抛物线与y 轴交点为E ,点M 是平移后的抛物线与直线AB 的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM ∥x 轴.若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由.(提示:抛物线y=ax 2+b x +c(a ≠0)的对称轴是x =-b 2a ,顶点坐标是(-b 2a ,4a c -b24a).图1备用图5(大连)如图17,抛物线F :2(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ,直线1L 经过点C 且平行于x 轴,将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ,设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ,2L 与抛物线F 的交点为A 、B ,连接AC 、BC (1)当12a =,32b =-,1c =,2t =时,探究△ABC 的形状,并说明理由; (2)若△ABC 为直角三角形,求t 的值(用含a 的式子表示);(3)在(2)的条件下,若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上,连接A ’C ,BD ,求四边形A ’CDB 的面积(用含a 的式子表示)6.(宿迁)已知抛物线c bx x y ++=2交x 轴于)0,1(A 、)0,3(B ,交y轴于点C ,其顶点为D .(1)求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴; (2)连接BC ,过点O 作直线BC OE ⊥交抛物线的对称轴于点E .求证:四边形ODBE 是等腰梯形;(3)问Q 抛物线上是否存在点Q ,使得△OBQ的面积等于四边形ODBE 的面积的31?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.(第28题)(第28题2)7.(烟台)如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C。
2010年全国压轴题精选
2010年全国中考数学压轴题1.已知:如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 为直径,弦CE AB ⊥于F ,C 是 AD 的中点,连结BD并延长交CE 的延长线于点G ,连结AD ,分别交CE 、BC 于点P 、Q . (1)求证:P 是△ACQ 的外心;(2)若3tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长; (3)求证:2()FP PQ FP FG += .2. 如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A, B,点A )4,2(,点B 的横坐标是-2.(1)求a 的值及点B 的坐标;(2)点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作 正三角形DHG . 记过C 2顶点M的直线为l ,且l 与x 轴交于点N . ① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为(1, 2),求点N 的横坐标; ② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.3.如图,二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M(1,-4).(1)求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标; (2)二次函数的图象上是否存在点P ,使M A B P A BS S ∆∆=45,若存在,求P 点的坐标;若不存在,请说明;(3)将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.4.已知:函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点.(1)求这个函数关系式;(2)如图所示,设二次..函数y=ax 2+x+1图象的顶点为B ,与y 轴的交点为A ,P 为图象上的一点,若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ,求P 点的坐标;(3)在(2)中,若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ,试探索点M 是否在抛物线y=ax 2+x+1上,若在抛物线上,求出M 点的坐标;若不在,请说明理由.A xyOB5.如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1-)的抛物线y 轴于A 点,交x 轴于B ,C 两点(点B在点C 的左侧). 已知A 点坐标为(0,3). (1)求此抛物线的解析式; (2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D , 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切,请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系,并给出证明; (3)已知点P 是抛物线上的一个动点,且位于A ,C 两点之间,问:当点P 运动到什么位置时,PAC∆的面积最大?并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.6.在直角梯形OABC 中,CB//OA ,∠COA=90︒,CB=3,OA=6,BA=3分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系。
2010年数学中考压轴题精选一
连云港市年.如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,⊙的圆心坐标为(-,-),半径为.函数=-+的图象与轴交于点,与轴交于点,点为上一动点 ()连接,求证:⊥;()若△是等腰三角形,求点的坐标;()当直线与⊙相切时,求∠的度数;当直线与⊙相交时,设交点为、,点为线段的中点,令=,=,求与之间的函数关系,并写出的取值范围.宿迁市.已知抛物线交轴于、,交轴于点,其顶点为.()求、的值并写出抛物线的对称轴;()连接,过点作直线交抛物线的对称轴于点.求证:四边形是等腰梯形; ()问抛物线上是否存在点,使得△的面积等于四边形的面积的?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.年无锡市.如图是一个三棱柱包装盒,它的底面是边长为10cm 的正三角形,三个侧面都是矩形.现将宽为15cm 的彩色矩形纸带裁剪成一个平行四边形(如图),然后用这条平行四边形纸带按如图 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴(要求包贴时没有重叠部分),纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部 包贴满.()请在图中,计算裁剪的角度∠;()计算按图方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.图图 图年江苏省扬州市.在△中,∠=°,=,=,是斜边上的高,点在斜边上,过点作直线与△的直角边相交于点,设=,△的面积为.()求线段的长;()若⊥,当点在线段上移动时,①求与的函数关系式(写出自变量的取值范围)②当取何值时,有最大值?并求其最大值;()若在直角边上(点与、两点均不重合),点在斜边上移动,试问:是否存在直线将△的周长和面积同时平分?若存在直线,求出的值;若不存在直线,请说明理由.备用图年苏州市.如图,以为顶点的抛物线与轴交于点.已知、两点的坐标分别为(,)、(,).()求抛物线的解析式;()设(,)是抛物线上的一点(、为正整数),且它位于对称轴的右侧.若以、、、为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点的坐标;()在()的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点,>是否总成立?请说明理由.大连市.如图,抛物线:与轴相交于点,直线经过点且平行于轴,将向上平移个单位得到直线,设与抛物线的交点为、,与抛物线的交点为、,连接、()当,,,时,探究△的形状,并说明理由;()若△为直角三角形,求的值(用含的式子表示);()在()的条件下,若点关于轴的对称点’恰好在抛物线的对称轴上,连接’,,求四边形’的面积(用含的式子表示)年青岛市.已知:把△和△按如图()摆放(点与点重合),点、()、在同一条直线上.∠∠°,∠°,,,.如图(),△从图()的位置出发,以1 cm的速度沿向△匀速移动,在△移动的同时,点从△的顶点出发,以 2 cm的速度沿向点匀速移动.当△的顶点移动到边上时,△停止移动,点也随之停止移动.与相交于点,连接,设移动时间为()(<<).解答下列问题:()当为何值时,点在线段的垂直平分线上?()连接,设四边形的面积为(),求与之间的函数关系式;是否存在某一时刻,使面积最小?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由.()是否存在某一时刻,使、、三点在同一条直线上?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.(图()供同学们做题使用)解:()()()年烟台市)图()图()图().如图,已知抛物线-3a过点(),(),与轴交于另一点。
2010年中考数学压轴题及答案
1、如图,⊙O 的半径为1,等腰直角三角形ABC 的顶点B 的坐标为(2,0),∠CAB=90°,AC =AB ,顶点A 在⊙O 上运动. (1)当点A 在x 轴上时,求点C 的坐标;(2)当点A 运动到x 轴的负半轴上时,试判断直线BC 与⊙O 位置关系,并说明理由;(3)设点A 的横坐标为x ,△ABC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值与最小值; (4)当直线AB 与⊙O 相切时,求AB 所在直线对应的函数关系式.10当点A 的坐标为(-1,0)时,AB=AC=2+1,点C 的坐标为(-1,2+1); (2)直线BC 与⊙O 相切,过点O 作OM ⊥BC 于点M ,∴∠OBM =∠BOM =45°, ∴OM=OB ·sin45°=1,∴直线BC 与⊙O 相切 (3)过点A 作AE ⊥OB 于点E 在Rt △OAE 中,AE 2=OA 2-OE 2=1-x 2,在Rt △BAE 中,AB 2=AE 2+BE 2=(1-x 2) +(2-x )2=3-22x∴S=21AB ·AC=21 AB 2=21(3-22x)=x 223- 其中-1≤x ≤1, 当x=-1时,S 的最大值为223+, 当x=1时,S 的最小值为223-. (4)①当点A 位于第一象限时(如右图): 连接OA ,并过点A 作AE ⊥OB 于点E ∵直线AB 与⊙O 相切,∴∠OAB=90°, 又∵∠CAB=90°,∴∠CAB +∠OAB=180°,∴点O 、A 、C 在同一条直线上,∴∠AOB =∠C=45°,在Rt △OAE 中,OE=AE=22.点A 的坐标为(22,22)过A 、B 两点的直线为y=-x+2.②当点A 位于第四象限时(如右图)点A 的坐标为(22,-22),过A 、B 两点的直线为y=x -2.2、如图,已知抛物线与x 轴交于点A (-2,0),B(4,0),与y 轴交于点C(0,8).(1)求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标;(2)设直线CD 交x 轴于点E .在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ,使得点P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)过点B 作x 轴的垂线,交直线CD 于点F ,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF 总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?用图2解:(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-,把(08)C ,代入得1a =-.228y x x ∴=-++2(1)9x =--+,顶点(19)D ,(2)假设满足条件的点P 存在,依题意设(2)P t ,,由(08)(19)C D ,,,求得直线CD 的解析式为8y x =+,它与x 轴的夹角为45,设OB 的中垂线交CD 于H ,则(210)H ,. 则10PHt =-,点P 到CD的距离为d PH t ==-.又PO =.t =-.平方并整理得:220920t t +-=,10t =-±∴存在满足条件的点P ,P的坐标为(210-±,.(3)由上求得(80)(412)E F -,,,. ①若抛物线向上平移,可设解析式为228(0)y x x m m =-+++>当8x =-时,72y m =-+.当4x=时,y m =.720m ∴-+≤或12m ≤.072m ∴<≤.②若抛物线向下移,可设解析式为228(0)y x x m m =-++->.由2288y x x m y x ⎧=-++-⎨=+⎩, 有20xx m -+=.140m ∴=-≥△,104m ∴<≤. ∴向上最多可平移72个单位长,向下最多可平移14个单位长.3、如图,直线443y x =-+与X 轴Y 轴分别交于点M,N(1) 求M,N 两点的坐标。
2010年中考数学压轴题精选(三)
2010年中考数学压轴题精选(三)★★21、(2010黄冈)已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C (1,1)且过原点O.过抛物线上一点P (x ,y )向直线54y =作垂线,垂足为M ,连FM (如图). (1)求字母a ,b ,c 的值;(2)在直线x =1上有一点3(1,)4F ,求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标,并证明此时△PFM 为正三角形;(3)对抛物线上任意一点P ,是否总存在一点N (1,t ),使PM =PN 恒成立,若存在请求出t 值,若不存在请说明理由.解:(1)a =-1,b =2,c =0(2)过P 作直线x=1的垂线,可求P 的纵坐标为14,横坐标为1132+.此时,MP =MF =PF =1,故△MPF 为正三角形. (3)不存在.因为当t <54,x <1时,PM 与PN 不可能相等,同理,当t >54,x >1时,PM 与PN 不可能相等.★★22、(2010某某)如图所示,抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点,直线BD 的函数表达式为333y x =-+抛物线的对称轴l 与直线BD 交于点C 、与x 轴交于点E .⑴求A 、B 、C 三个点的坐标.⑵点P 为线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),以点A 为圆心、以AP 为半径的圆弧与线段AC 交于点M ,以点B 为圆心、以BP 为半径的圆弧与线段BC 交于点N ,分别连接AN 、BM 、MN .①求证:AN =BM .②在点P 运动的过程中,四边形AMNB 的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值.解:⑴令2230x x -++=,解得:121,3x x =-=,∴A (-1,0),B (3,0)∵223y x x =-++=2(1)4x--+,∴抛物线的对称轴为直线x =1, 将x =1代入y =+y C (1,. ⑵①在Rt△ACE 中,tan∠CAE =CEAE= ∴∠CAE =60º,由抛物线的对称性可知l 是线段AB 的垂直平分线, ∴AC=BC ,∴△ABC 为等边三角形,∴AB = BC =AC = 4,∠ABC=∠ACB = 60º, 又∵AM=AP ,BN=BP ,∴BN = CM ,∴△ABN ≌△BCM , ∴AN =BM .②四边形AMNB 的面积有最小值. 设AP=m ,四边形AMNB 的面积为S , 由①可知AB = BC= 4,BN = CM=BP ,S △ABC×42=, ∴CM=BN= BP=4-m ,=m , 过M 作MF ⊥BC ,垂足为F ,则MF =MC)m -, ∴S △CMN =12CN MF =12m)m -=2+,∴S =S △ABC -S △CMN=-(2)22)m -+∴m =2时,S 取得最小值★★23、(2010某某)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1-)的抛物线交y 轴于A 点,交x 轴于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧). 已知A 点坐标为(0,3).(1)求此抛物线的解析式;(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D , 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切,请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点P 是抛物线上的一个动点,且位于A ,C 两点之间,问:当点P 运动到什么位置时,PAC ∆的面积最大?并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.(1)解:设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A (0,3),∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. (2) 答:l 与⊙C 相交.证明:当21(4)104x --=时,12x =,26x =.∴B 为(2,0),C 为(6,0).∴AB ==.设⊙C 与BD 相切于点E ,连接CE ,则90BEC AOB ∠=︒=∠. ∵90ABD ∠=︒,∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠,∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BCOB AB =.∴2CE =.∴2CE =>. ∵抛物线的对称轴l 为4x =,∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交.(3) 解:如图,过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .可求出AC 的解析式为132y x =-+. 设P 点的坐标为(m ,21234m m -+),则Q 点的坐标为(m ,132m -+). ∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+. ∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时,PAC ∆的面积最大为274.此时,P 点的坐标为(3,34-). ★★24、(2010某某)已知:如图,把矩形OCBA 放置于直角坐标系中,3=OC ,2=BC ,取AB 的中点M ,连结MC ,把MBC ∆沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到DAO ∆.(1)试直接写出点D 的坐标; (2)已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上,点P 在第一象限内的该抛物线上移动,过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ,连结OP . ①若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与DAO ∆相似,试求出点P 的坐标;②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ,使得TB TO -的值最大.解:(1)依题意得:⎪⎭⎫⎝⎛-2,23D ; (2)①∵3=OC ,2=BC , ∴()2,3B .∵抛物线经过原点,∴设抛物线的解析式为bx ax y +=2()0≠a又抛物线经过点()2,3B 与点⎪⎭⎫⎝⎛-2,23D ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+22349,239b a b a 解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32,94b a ∴抛物线的解析式为x x y 32942-=.∵点P 在抛物线上,∴设点⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x P 3294,2. 1)若PQO ∆∽DAO ∆,则AOQO DA PQ =, 22332942x xx =-,解得:01=x (舍去)或16512=x ,∴点⎪⎭⎫ ⎝⎛64153,1651P . 2)若OQP ∆∽DAO ∆,则AOPQ DA OQ =, 23294232xx x -=,解得:01=x (舍去)或292=x ,∴点⎪⎭⎫⎝⎛6,29P . ②存在点T ,使得TO TB -的值最大. 抛物线x x y 32942-=的对称轴为直线43=x ,设抛物线与x 轴的另一个交点为E ,则点⎪⎭⎫⎝⎛0,23E .,∵点O 、点E 关于直线43=x 对称,∴TE TO =,要使得TB TO -的值最大,即是使得TB TE -的值最大,根据三角形两边之差小于第三边可知,当T 、E 、B 三点在同一直线上时,TB TE -的值最大.设过B 、E b kx y +=()0≠k ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+023,23b k b k ∴直线BE 当43=x 时,34=y ∴存在一点⎪⎭⎝⎛-1,43T 使得TO TB -最大.★★25、(2010)如图,在等边ABC ∆中,线段AM 为BC 边上的中线. 动点D 在直线..AM 上时,以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆,连结BE .(1) 填空:______ACB ∠=度;(2) 当点D 在线段..AM 上(点D 不运动到点A )时,试求出BEAD的值; (3)若8=AB ,以点C 为圆心,以5为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点,在点D 运动的过程中(点D 与点A 重合除外),试求PQ 的长. CA A解:(1)60;(2)∵ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形∴BC AC =,CE CD =,︒=∠=∠60DCE ACB ∴BCE DCB DCB ACD ∠+∠=∠+∠ ∴BCE ACD ∠=∠,∴ACD ∆≌BCE ∆()SAS ∴BE AD =,∴1=BEAD. (3)①当点D 在线段AM 上(不与点A 重合)时,由(2)可知ACD ∆≌BCE ∆,则︒=∠=∠30CAD CBE ,作BE CH ⊥于点H ,则HQ PQ 2=,连结CQ ,则5=CQ .在CBH Rt ∆中,︒=∠30CBH ,8==AB BC ,则421830sin =⨯=︒⋅=BC CH . 在CHQ Rt ∆中,62==HQ PQ②当点D 在线段DEC ∆∴BC AC =,CD ∴DCB ACB ∠+∠∴BCE ACD ∠=∠ ∴ACD ∆≌BCE ∆(∴∠=∠CAD CBE③当点D 在线段MA 的延长线上时, ∵ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形∴BC AC =,CE CD =,︒=∠=∠60DCE ACB ∴︒=∠+∠=∠+∠60ACE BCE ACE ACD ∴BCE ACD ∠=∠ ∴ACD ∆≌BCE ∆()SAS∴CAD CBE ∠=∠,∵︒=∠30CAM ∴︒=∠=∠150CAD CBE ,∴︒=∠30CBQ . 同理可得:6=PQ ,综上,PQ 的长是6.★★26、(2010莱芜)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于)0,6(),0,2(B A 两点,交y 轴于点)32,0(C . (1)求此抛物线的解析式;(2)若此抛物线的对称轴与直线x y 2=交于点D ,作⊙D 与x 轴相切,⊙D 交y 轴于点E 、F 两点,求劣弧EF 的长;(3)P 为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG 垂直于x 轴,垂足为点G ,试确定P 点的位置,使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.解:(1)∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ,)0,6(B ,)320(,C . ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=++320636024c c b a c b a , 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==3233463c b a . ∴抛物线的解析式为:32334632+-=x x y . (2)易知抛物线的对称轴是4=x .把x =4代入y =2x 得y =8,∴点D 的坐标为(4,8). ∵⊙D 与x 轴相切,∴⊙D 的半径为8. 连结DE 、DF ,作DM ⊥y 轴,垂足为点M . 在Rt △MFD 中,FD =8,MD =4.∴cos ∠MDF =21. ∴∠MDF =60°,∴∠EDF =120°. ∴劣弧EF 的长为:π=⨯π⨯3168180120. (3)设直线AC的解析式为y =kx +b . ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .∴⎩⎨⎧==+3202b b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k .∴直线AC 的解析式为:323+-=x y .设点)0)(3233463,(2<+-m m m m P ,PG 交直线AC 于N , 则点N 坐标为)323,(+-m m .∵GN PN S S GNA PNA ::=∆∆∴①若PN ︰GN =1︰2,则PG ︰GN =3︰2,PG =23GN .即32334632+-m m =)(32323+-m . 解得:m 1=-3, m 2=2(舍去).当m =-3时,32334632+-m m =3215. ∴此时点P 的坐标为)3215,3(-. ②若PN ︰GN =2︰1,则PG ︰GN =3︰1, PG =3GN .即32334632+-m m =)(3233+-m .解得:121-=m ,22=m (舍去).当121-=m 时,32334632+-m m =342. ∴此时点P 的坐标为)342,12(-. 综上所述,当点P 坐标为)3215,3(-或)342,12(-时, △PGA 的面积被直线AC 分成1︰2两部分.★★27、(2010某某)小刚上午7:30从家里出发步行上学,途经少年宫时走了1200步,用时10分钟,到达学校的时间是7:55.为了估测路程等有关数据,小刚特意在学校的田径跑道上,按上学的步行速度,走完100米用了150步.(1) 小刚上学步行的平均速度是多少米/分?小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米?(2) 下午4:00,小刚从学校出发,以45米/分的速度行走,按上学时的原路回家,在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后,赶紧以110米/分的速度回家,中途没有再停留.问:)① 小刚到家的时间是下午几时?② 小刚回家过程中,离家的路程s (米)与时间t (分)之间的函数关系如图,请写出点B 的坐标,并求出线段CD 所在直线的函数解析式.解:(1) 小刚每分钟走1200÷10=120(步),每步走100÷150=23(米), 所以小刚上学的步行速度是120×23=80(米/分). 小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800(米).少年宫和学校之间的路程是80×(25-10)=1200(米). (2) ①1200300800300306045110-+++=(分钟), 所以小刚到家的时间是下午5:00.② 小刚从学校出发,以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米,用时9002045=分,此时小刚离家1 100米,所以点B 的坐标是(20,1100). 线段CD 表示小刚与同伴玩了30分钟后,回家的这个时间段中离家的路程s (米)与行走时间t (分)之间的函数关系,由路程与时间的关系得 1100110(50)s t =--, 即线段CD 所在直线的函数解析式是6600110s t =-.……2分(线段CD 所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得: 点C 的坐标是(50,1100),点D 的坐标是(60,0)设线段CD 所在直线的函数解析式是s kt b =+,将点C ,D 的坐标代入,得 501100,600.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 110,6600.k b =-⎧⎨=⎩所以线段CD 所在直线的函数解析式是1106600s t =-+)★★28、(2010某某)△ABC 中,∠A =∠B =30°,AB =ABC 放在平面直角坐标系中,使AB 的中点位于坐标原点O (如图),△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转.(1) 当点BB 的横坐标; (2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C① 当a =,12b =-,c =A ,B 两点是否都 在这条抛物线上?并说明理由;② 设b=-2am ,是否存在这样的m 的值,使A ,B 两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m 的值; 若不存在,请说明理由.解:(1)∵ 点O 是AB 的中点, ∴12OB AB == 设点B 的横坐标是x (x >0),则222x +=,解得 1x =2x =(舍去). ∴ 点B .(2) ① 当a =,12b =-,c = 212y x =-(*) 2y x =.以下分两种情况讨论.情况1:设点C 在第一象限(如图甲),则点C , tan301OC OB =⨯︒==.由此,可求得点C 的坐标为), 点A 的坐标为(), ∵A ,B 两点关于原点对称,∴ 点B 的坐标为).将点A 的横坐标代入(*)式右边,,即等于点A 的纵坐标;(第28题)(甲)(乙)将点B 的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B 的纵坐标. ∴ 在这种情况下,A ,B 两点都在抛物线上.情况2:设点C 在第四象限(如图乙),则点C 的坐标为,),点A 的坐标为),点B 的坐标为(,). 经计算,A ,B 两点都不在这条抛物线上.(情况2另解:经判断,如果A ,B 两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A ,B 两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在.m 的值是1或-1.(22()y a x m am c =--+,因为这条抛物线的对称轴经过点C ,所以-1≤m ≤1.当m =±1时,点C 在x 轴上,此时A ,B 两点都在y同时在这条抛物线上)★★29、(2010某某)如图,抛物线交x 轴于点A (-2,0),点B (4,0),交y 轴于点C (0,-4). (1)求抛物线的解析式,并写出顶点D 的坐标; (2)若直线y =-x 交抛物线于M ,N 两点,交抛物线的对称轴于点E ,连接BC ,EB ,EC .试判断△EBC 的形状,并加以证明;(3)设P 为直线MN 上的动点,过P 作PF ∥ED 交直线MN 下方的抛物线于点F .问:在直线MN 上是否存在点P ,使得以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P 及相应的点F 的坐标;若不存在,请说明理由. (1)解:(法一) 设所求的抛物线解析式2y ax bx c =++(0)a ≠∵ 点A 、B 、C 均在此抛物线上∴42016404a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩∴1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩ ∴ 所求的抛物线解析式为2142y x x =-- 顶点D 的坐标为(1,92-)(法二) 设所求的抛物线解析式(2)(4)y a x x =+- ∵ 点C 在此抛物线上,∴(02)(04)4a +-=-,12a =∴ 所求的抛物线解析式为1(2)(4)2y x x =+-即2142y x x =--, 顶点D 的坐标为(1,92-) (2)△EBC 的形状为等腰三角形 证明:(法一) ∵ 直线MN 的函数解析式为y x =-∴ON 是∠BOC 的平分线∵B 、C 两点的坐标分别为(4,0),(0,-4) ∴CO =BO =4,∴MN 是BC 的垂直平分线 ∴CE =BE ,即 △ECB 是等腰三角形。
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此题在手考试我有!!
2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)
【051】如图14(1),抛物线2
2y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,3-).[图14(2)、图14(3)为解答备用图]
(1)k = ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ; (2)设抛物线2
2y x x k =-+的顶点为M ,求四边形ABMC 的面积;
(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ,使四边形ABDC 的面积最大?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线22y x x k =-+上求点Q ,使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形.
图14(1) 图14(2) 图14(3)
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【052】已知二次函数2
y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过点(10)A ,,(20)B ,,(02)C -,,直线x m =(2m >)与x 轴交于点D . (1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x m =(2m >)上有一点E (点E 在第四象限),使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似,求E 点坐标(用含m 的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形?若存在,请求出m 的值及四边形ABEF 的面积;若不存在,请说明理由.
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【053】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线2
y ax bx c =++(0a ≠)经过(10)A -,,(30)B ,,(03)C ,三点,其顶点为D ,连接BD ,点P 是线段BD 上一个动点(不与B D 、重合)
,过点P 作y 轴的垂线,垂足为E ,连接BE .
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D 的坐标;
(2)如果P 点的坐标为()x y ,,PBE △的面积为s ,求s 与x 的函数关系式,写出自变量x 的取值范围,并求出s 的最大值;
(3)在(2)的条件下,当s 取得最大值时,过点P 作x 的垂线,垂足为F ,连接EF ,把PEF △沿直线EF 折叠,点P 的对应点为P ',请直接写出P '点坐标,并判断点P '是否在该抛物线上.
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【054】如图,在直角坐标系中,矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上,点A 、C 的坐标分 别为(0,1)、(2,4).点P 从点A 出发,沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动,到 点C 停止;点Q 在x 轴上,横坐标为点P 的横、纵坐标之和.抛物线c bx x y ++-
=2
4
1 经过A 、C 两点.过点P 作x 轴的垂线,垂足为M ,交抛物线于点R .设点P 的运动时间为t (秒),△PQR 的面积为S (平方单位). (1)求抛物线对应的函数关系式. (2)分别求t=1和t=4时,点Q 的坐标.
(3)当0<t ≤5时,求S 与t 之间的函数关系式,并直接写出S 的最大值.
【055】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,
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且点(02)A ,,点(10)C -,,如图所示:抛物线2
2y ax ax =+-经过点B .
(1)求点B 的坐标; (2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外),使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【056】如图18,抛物线F :c bx ax y ++=2
的顶点为P ,抛物线:与y 轴交于点A ,与直线OP
(第25题)
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交于点B .过点P 作PD ⊥x 轴于点D ,平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′:
'+'+'=c x b x a y 2,抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C .
⑴当a = 1,b =-2,c = 3时,求点C 的坐标(直接写出答案); ⑵若a 、b 、c 满足了ac b 22
=
①求b :b ′的值;
②探究四边形OABC 的形状,并说明理由.
【057】直线)0(≠+=k b kx y 与坐标轴分别交于A 、B 两点,OA 、OB 的长分别是方程
048142=+-x x 的两根(OB OA >),动点P 从O 点出发,沿路线O →B →A 以每秒1个单位长度的速度运动,到达A 点时运动停止.
图 18
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(1)直接写出A 、B 两点的坐标;
(2)设点P 的运动时间为t (秒),OPA ∆的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
在坐标轴上是否存在点M ,使以O 、A 、P 、M 的坐标;若不存在,请说明理由.
【058】如图,已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C . (1)求A 、B 、C 三点的坐标.
(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积.
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(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
【059】如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE 为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;(4分)
(2)连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;(4分)
(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是
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线段BC 上一动点(不含端点B 、C ),以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ,使顶点G 恰好落在射线CD 上.判断当点E 由B 向C 运动时,∠FCN 的大小是否总保持不变,若∠FCN 的大小不变,请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值;若∠FCN 的大小发生改变,请举例说明.(5分)
【060】已知:如图所示,关于x 的抛物线2
(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -,、点(
60)B ,,与y 轴交于点C .
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D ,使四边形ABDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线AD 的解析式;
N M B E C D F G
图(1)
图(2) M B E A C D
F G N
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(3)在(2)中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一动点Q .是否存在以A M P Q 、、、
请说明理由.
(第26题图)。