血管分支模型
数学建模案例(下)
经济数学 模型一：血管分支模型 模型一： 5.模型求解 5.模型求解
，
由
∂E 2 −5 α −1 ∂r = −4kq r + αbr = 0 ∂E α −1 2 −5 = −kq r1 + αbr1 = 0 ∂r1
得
r =4 r1
1 α +4
第十二章
数学建模案例(下 数学建模案例 下)
x =0
n
+
此时问题可以转 化为什么数学问 题？
x = n +1
∑ (a − b)nf ( x)
a , b, c
f (x )
G (n)
∞
?
n
第十二章
数学建模案例(下 数学建模案例 下)
经济数学 模型二：报童策略模型 模型二： 3.模型建立 3.模型建立
需求量 都相当大， x 的取值和购进量 n 都相当大，将 x
（1）假设报童每天购进量为 （2）假设每天的需求量为
n
份报纸
x 份报纸的概率为
f ( x )( x = 0,1,2, L)
（3）报童每天购进
n 份报纸时平均收入为 G (n)
第十二章 数学建模案例(下 数学建模案例 下)
经济数学 模型二：报童策略模型 模型二： 3.模型建立 3.模型建立
G (n) = ∑ [(a − b) x − (b − c)(n − x)] f ( x)
r cos θ = 2 r 1
−4
=2
α −4 α +4
第十二章
数学建模案例(下 数学建模案例 下)
经济数学 模型一：血管分支模型 模型一： 6.模型应用 6.模型应用
取
，
微分方程模型
微分模型课程安排一、微分模型简介二、微分静态模型1、血管分支模型2、最正确存贮模型三、微分动态模型1、水流出的时间2、CO2的吸收3、浓度变化问题4、服药问题5、人口模型四、香烟过滤嘴问题一、微分模型简介微分模型是数学模型中的最主要模型，也是应用最为广泛的数学模型。
通常微分模型可分为两类，静态模型与动态模型。
微分静态模型主要出现在解决一些简单的优化问题中。
此类问题通常可将所要解决的实际问题化简为一个一元或多元的目标函数的最值问题，只要对目标函数求导数或偏导数就可求得驻点，从而讨论问题的最优解决方案。
这种解决实际问题的方法在《高数》书中就有一定的讨论只不过当时不是学习的重点而已。
而微分动态模型，从名称上看我们就知到此方法是用来解决动态变化问题的。
当我们从实际问题中得到的目标量是一个随时间或空间在改变的量时，直接建立此目标量的动态变化方程是很困难的，通常可以先找到此问题的动态变化函数〔一般是一个微分方程或方程组〕，然后通过解方程的方法来求解出我们所需要的目标量所满足的方程。
同样在《高数》书中提到的微元法就是此方法的讨论，它是任何一项研究都必须要首先考虑和掌握的基本方法。
下边举几个例子看一下我们该怎样使用这两种方法.===================================================================== 二、微分静态模型微分静态模型的关键就是建立一个包含各个影响因素在内的目标函数。
具体分析步骤：〔1〕首先明确我们的优化目标；〔2〕明确影响这个目标的各个因素；〔3〕建立目标函数与各指标的代数关系；〔4〕对各指标变量求导数〔或偏导〕找极值点；〔5〕讨论目标的极值。
问题1血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环动物的机体要提供能量。
能量的一部分用于供应血管壁以营养。
另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。
在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经到达消耗能量最小原则下的优化标准了。
差分方程模型(讲义)
差分方程模型一.引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1）微分法建模（静态优化模型），如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2）微分方程建模（动态模型），如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3）稳定性方法建模（平衡与稳定状态模型），如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4）变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1）逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2）层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic 模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是, 往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
血管分支
【B 题】血管问题血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环，动物的机体要提供能量。
能量的一部分用于供给血管壁以营养，另一部分用来克服血液流动受到的阻力。
消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。
在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经达到消耗能量最小原则下的优化标准了。
请解决下面的问题：1、血流从左边主干流动，然后遇到分支就分流，左边的流量是Q,右边的流量是Q1,Q2,请结合你们所学知识给出其他相关参数，并用数学模型求出Q 与Q1,Q 与Q2的关系。
（这里只标出了血管的基本参数，例如：血管分支处分支血管半径12,r r ,分叉角度12,αα）如图：2、请将你们的模型推广到血管有n 个分支的情形。
血管分支对血流量的影响摘要本文主要对血管问题中血液在血管中的流动规律进行了讨论分析，在了解了血液在血管中流动的影响因素之后，我们对问题提出了三个假设，并根据这三个假设建立了理论数学模型，利用Poiseuille定律找出了血液流动时的能量消耗规律，进而得到了血管分支处粗细血管之间血流量的关系，实现了对血管问题中参数关系的求解。
针对问题：主干血流量Q分别与分支血流量Q1、Q2的函数关系，本文将血流量用其所需能量来代替，从一定程度上来说，血流量与所耗能量之间存在直接联系，在问题中可以相互转换替代。
我们根据流体力学关于粘性流体在刚性管道中流动时能量消耗的定律，对血液这种粘性液体在血管中流动所消耗的能量,血液流动克服阻力消耗能量和血液为血管壁提供营养消耗的能量三个方面进行求解，得到了所耗能量与血管中各参数的函数关系式，并利用多元函数的偏导数进行模型运算，间接求得了血流量Q与Q1、Q2的关系，最后将模型推广到n个分支的情形，并进行了解答。
在求解过程中，我们所建立的模型具有较好的实用性，能在需要时，将两条分支扩展到n条分支，适于应用到医学上对人体内血管系统的研究。
关键词：血流量分支能量消耗1.问题的重述世界上的每一种活着的动物体内都有着血液在血管中流动,这样可以把营养物质输送到全身各处,并将人体内的废物收集起来,排出体外.血液在动物的血管中一刻不停地流动,为了维持血液在血管中的正常循环,动物的机体要提供能量,能量的一部分用于供给血管壁以营养.另一部分用来克服血液流动受到的阻力.如此看来,血液循环消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关.生物体内的血管分布并不简单,有不止一条的主干和无数条分支,每一条分支的具体大小、与主干形成的分叉角都不尽相同,这就导致了血液在各个不同的血管中流动所需要的能量不一样.需要的能量越少,动物在激烈的竞争环境中存活下来的几率就越大,而在长期的生物进化过程中，现有的高级动物血管系统的几何形状应该已经达到消耗能量最小原则下的优化标准了，其系统是最优化结构。
数学建模-简单的优化模型
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t1,
t t b
由模型决定队员数量x
问题
4 最优价格
根据产品成本和市场需求，在产销平
衡条件下确定商品价格，使利润最大
假设
1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数
进一步设 x( p) a bp, a, b 0
C~
c1
c2
Q 2
T
c1 c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
~ C(T ) C c1 c2rT
TT 2
模型求解
dC 0 dT 模型分析
求 T 使C(T ) c1 c2rT Min T2
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
c1 T,Q
模型应用
c2 T,Q
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.
B B(t2)
0
t1
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
2022年人教版七年级下册生物第四单元第四章第二节 血流的管道——血管
【归纳升华】 快速辨别三种血管的方法
(1)从管壁特点区分:管壁最厚的是动脉;管壁较薄的是静脉;管壁最薄,只由一层 上皮细胞构成的是毛细血管。 (2)从血流快慢区分:血流速度最快的是动脉;血流速度较慢的是静脉;血流速度最 慢的是毛细血管。 (3)从血流方向区分(如图):
血液由主干流向分支的是动脉;血液由分支流向主干的是静脉;红细胞单行通过 的是毛细血管。
10.下列有关动脉的叙述,错误的是
(D)
A.动脉管壁较厚,弹性较大,管内血流速度快
B.在体表的个别部位也能摸到动脉
C.动脉大多分布在身体较深的部位
D.手臂上的一条条“青筋”就是动脉
11.内表面常有防止血液倒流的瓣膜的血管是 ( C )
A.大动脉
B.小动脉
C.四肢静脉
D.毛细血管
【关键能力练】 12.(2019·广东学业考)a图为“观察小鱼尾鳍内血液的流动”实验中对材料处理的 示意图,b图是用显微镜观察到的一个视野。下列叙述错误的是 ( D ) A.湿棉絮包裹鳃盖和躯干部维持正常呼吸 B.使用低倍物镜观察尾鳍血管内血液的流动 C.红细胞只能单行通过的血管②是毛细血管 D.图中血管①和血管③分别属于静脉和动脉
有的较深,有的较浅
2.毛细血管适于进行物质交换的特点:
【生活微思考】 输液治疗,为什么选择静脉注射? 提示:静脉管腔较大,管壁较薄,血流速度较慢,有些静脉分布较浅,这些都有利于 针头的刺入。另外,静脉中血液流向心脏,刺后的伤口出血很少,稍经压迫即可止 血。 【记忆口诀】
毛细血管的特点 数量最多,分布广;管壁最薄,管径小; 红细胞单行能通过;血流最慢,易交换。
13.英国生理学家威廉·哈维曾做过这样一个实验:用丝带扎紧人的上臂时,发现丝
默里定律分流模式计算血流量
默里定律分流模式计算血流量是一个复杂的过程，涉及到生理学、解剖学和流体力学等多个领域。
下面将根据一般性的知识，简要介绍默里定律分流模式的基本原理和计算方法，并结合实例进行说明。
首先，我们需要了解默里定律的基本原理。
默里定律是一种描述血流量的数学模型，它假设血管中的血流是恒定的，并且不受其他因素的影响。
根据这个假设，我们可以根据血管的横截面积、血压和血液黏度等因素来计算血流量的变化。
在分流模式中，血液会从主血管流入到分支血管中，这种流动模式可能会导致血流量的变化。
为了计算这种变化，我们需要考虑分流的大小和方向等因素。
根据默里定律，我们可以使用以下公式来计算血流量：Q = π/4 * (D^2 - d^2) * α* U其中，Q表示血流量，D表示主血管直径，d表示分支血管直径，α表示血流阻力系数，U表示血流速度。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明如何使用默里定律分流模式计算血流量。
假设我们有一个主血管直径为10mm，分支血管直径为5mm的血管系统，血压为100mmHg，血液黏度为0.003kg/m^2·s。
假设分流的大小为50%，方向从主血管流入分支血管，那么如何计算血流量呢？首先，我们将主血管的横截面积和分支血管的横截面积代入到公式中：π/4 * (D^2 - d^2) = π/4 * (10^2 - 5^2) = 19.6mm^2。
接着，我们将已知的参数代入到公式中：Q = π/4 * (D^2 -d^2) * α* U = 19.6mm^2 * 0.003kg/m^2·s * 1m/s / 4 = 0.078m^3/min。
最后，我们将得到的结果转换为每分钟的毫升数：Q = 78ml/min。
这就是根据默里定律分流模式计算血流量的一般过程。
需要注意的是，这个例子仅仅是一个简单的示例，实际情况可能会更加复杂。
此外，在临床应用中，还需要考虑其他因素，如血管的扭曲、血液的粘度和血流方向等因素的影响。
三维分叉血管内非牛顿血液流动数值研究
三维分叉血管内非牛顿血液流动数值研究摘要：很多心血管疾病与血管分叉处的血液流动异常有关。
本文用DesignModeler进行建模并采用计算流体力学方法(Computational Fluid Dynamics,CFD) 对分叉血管内的血液流动进行求解。
将血液视为非牛顿流体，研究血液在血管分叉部位的流动，讨论不同的粘度模型，入口流速以及血管的形态对于分叉血管内的血液流动速度分布、压力分布、壁面剪切应力的影响。
研究结果表明低流速条件下，牛顿流体血液模型会大大低估壁面剪切应力，非牛顿血液粘度模型下的血流分布更为合理。
入口速度越大或血管分叉角越大，分叉处的压力极值面积越大，血管壁容易因为极大的速度而被血流冲破造成损伤。
在应对心血管疾病中，形成血栓和血管损伤与分叉血管的局部流动特点有密切联系。
关键词：Y型分叉血管；非牛顿；数值模拟；仿真结果中图分类号：O357.1 文献标志码：A1 引言许多的研究表明，动脉粥样硬化、高血压、血栓、糖尿病等目前较为常见的心血管疾病的发病机理均与血管内的血液流动有关，包括血管表面的剪应力分布和速度分布等血液动力学因素血液流动方式会随着到血管几何形态（如血管弯曲、分叉、狭窄及汇交）的变化而随之发生改变，大量的临床实例表明血管病变多发于动脉血管分叉处。
动脉血栓多发于大中动脉及血管的分支、分叉处。
研究表明这些局部位置的流动通常表现为高剪切应力、扰动、流体分离和涡流等特征[1]。
而动脉粥样硬化多发于分支血管外侧血管壁的低剪切应力区，随着动脉硬化病变的发展以及脂肪的堆积，进一步发生动脉狭窄。
由此可见，对血管分叉处局部的血液动力学环境的深入分析对于我们认识这些心血管疾病的发病机理以及对医学诊断和临床治疗会提供重要的帮助。
本研究基于CFD的数值模拟方法，研究分叉血管内血液的流动特性与血管的形态（血管分叉角度、分支管的对称性）之间的关系，进一步研究血液的非牛顿特性对于分叉血管处血液流动的影响。
七年级生物下册第四章血流的管道——血管课件与答案
生物
七年级 下册
配RJ版
第四单元 第四章
8.下图是人体的三种血管示意图，血液在它们之间的流动 顺序为 （ C ）
A.1→2→3 B.1→3→2 C.2→3→1 D.3→2→1
生物
七年级 下册
配RJ版
第四单元 第四章
9.（2022·自贡）把血液从心脏送到身体各部分去的血管叫 动脉，下列关于动脉的叙述中，正确的是 （ C ） A.能进行物质交换 B.血管壁较薄、弹性较小 C.管内血流速度快 D.有防止血液倒流的瓣膜
生物
七年级 下册
配RJ版
第四单元 第四章
7.（2022·宿迁）人体内有三种血管：动脉、静脉和毛细血 管。我们手臂上的“青筋”属于静脉。关于静脉的描述， 正确的是 （ C ） A.运输静脉血的血管 B.实现血液和细胞间物质交换的血管 C.将血液从身体各部分输送回心脏的血管 D.将血液从心脏输送到身体各部分的血管
生物
七年级 下册
配RJ版
第四单元 第四章
一、选择题 1.右图是金鱼尾鳍内血液流动示意图，请根据血液的流动 方向判断，①②③表示的三种血管分别属于 （ A ） A.动脉、毛细血管、静脉 B.静脉、动脉、毛细血管 C.动脉、静脉、毛细血管 D.静脉、毛细血管、动脉
生物
七年级 下册
配RJ版
第四单元 第四章
1.描述血液循环系统的构成和功能，初步形成结构与功能相适应 的观念。
2.从结构与功能的角度，说明动脉、静脉和毛细血管在形态、结
学业 要求
构和功能方面的差别；说明体循环和肺循环的相互联系。 3.描述动脉、静脉和毛细血管的结构与功能特点。 4.尝试区分动脉、静脉和毛细血管三种血管以及血液在这三种血
管内流动的情况。
人体心血管系统的建模与仿真
人体心血管系统的建模与仿真一、引言心血管疾病是世界范围内公认的冠心病、心力衰竭以及中风等疾病的主要原因。
每年，这些疾病会导致数百万人患病或者死亡。
因此，了解人体心血管系统的结构和功能是重要的研究领域。
建立人体心血管系统的模型和仿真可以帮助研究人员更好地了解疾病的发病机制以及如何治疗和预防这些疾病。
二、心血管系统人体心血管系统由心脏、血管和血液组成。
心脏是心血管系统的核心，它对血液进行泵送，将氧和养分输送至身体各部分。
血管分为动脉、毛细血管和静脉三种类型。
动脉将氧和养分输送至身体各个器官，而静脉则将含有二氧化碳和代谢废物的血液输送回心脏。
毛细血管是动脉和静脉之间连接的微小血管，通过毛细血管可以完成气体交换和营养交换。
三、建立人体心血管系统的模型为了研究人类心血管系统，研究人员建立了多种人体心血管系统的模型。
这些模型可以分为三种类型。
1.生理学模型生理学模型侧重于研究心脏和血管的生理学特性。
这些模型通过研究心脏收缩和扩张的特点以及血管能够承受的最大压力等生理学参数，来模拟心血管系统。
这种模型的应用广泛，可以用于模拟正常心血管系统的工作和研究心血管疾病的发生和演变。
2.工程学模型工程学模型侧重于模拟血液的流动和动脉和静脉的各种状况。
这种模型可以考虑多个血管的分支和心脏的泵送力度等因素。
这种模型也可以用于模拟正常血流和研究血流动力学。
3.计算生物学模型计算生物学模型使用计算机模拟心血管系统的生化过程和反应。
这种模型考虑到器官和组织的代谢和血流分配，也考虑到细胞和分子水平上的反应和生化过程。
计算生物学模型被广泛用于研究心血管疾病的分子机制和细胞水平的反应过程。
四、仿真人体心血管系统仿真人体心血管系统的过程通常是基于已有的模型，并将其转换成数学方程组，随后使用计算机程序求解这些方程。
这种仿真方法可以用于研究正常情况下的心血管系统运行以及研究不同疾病下的变化和反应。
仿真人体心血管系统的过程可以用于检测新药物的疗效和副作用、开发新型疗法和纠正心脏病和动脉硬化等疾病。
类Delaunay三角剖分的多分叉血管建模方法
类Delaunay三角剖分的多分叉血管建模方法1. 引言a. 研究背景和意义b. 相关研究综述c. 文章结构2. 类Delaunay三角剖分原理a. Delaunay三角剖分概述b. 类Delaunay三角剖分定义和特点c. 类Delaunay三角剖分算法流程3. 多分叉血管建模a. 血管结构特点分析b. 多分叉血管分割算法c. 血管分割结果处理4. 类Delaunay三角剖分血管建模a. 类Delaunay三角剖分血管建模流程b. 血管建模结果处理c. 类Delaunay三角剖分血管建模实验验证5. 结论和展望a. 实验结果分析b. 研究成果总结c. 未来研究方向和展望第1章节：引言a. 研究背景和意义随着医学图像学技术的不断发展，融合多模态影像的生物医学影像数据已经成为医疗领域研究、临床诊断和治疗方案设计的重要依据。
其中，血管影像的重要性逐渐凸显。
在血管内病变的诊断以及血管介入手术的规划中，血管形态的准确建模是必不可少的。
目前，传统的血管形态建模方法存在很多局限性，如计算复杂度高、精度不够高、容易出现拓扑错误等。
因此，研究一种有效的血管形态建模方法具有重要意义。
b. 相关研究综述相关研究已对血管的分割和建模进行了一系列探索。
其中，三角剖分作为一种重要的方法，被广泛应用于医学图像中的血管分割和建模中。
传统的三角剖分方法存在缺陷，比如割裂或缩短血管分支等。
而类Delaunay三角剖分作为这种方法的改进，已经被应用于医学图像的血管分割和建模中，展现出了良好的效果。
c. 文章结构本文重点研究了一种多分叉血管的建模方法，采用了类Delaunay三角剖分来优化血管的形态，提高了血管建模的准确性和可靠性。
本文的结构如下：第二章介绍了类Delaunay三角剖分的原理和算法流程，为后续血管建模方法提供了理论基础。
第三章详细介绍了多分叉血管的分割算法和处理过程，为下一章节的血管建模提供了分割结果的参考。
第四章提出了基于类Delaunay三角剖分的血管建模方法，并进行了实验验证。
心血管系统的仿真与建模
心血管系统的仿真与建模1．前言心血管循环系统是最复杂的生命系统之一，具有高度的动态特性。
当心脏周期性地收缩和舒张时，心室射入主动脉的血流将以波的形式自主动脉根部出发沿动脉管系传播，这种波就是脉搏波。
人体心血管系统由心脏、动脉、毛细血管和静脉组成，构成体循环和肺循环两大回路，其中体循环在人体的血液循环系统中占据极其重要的地位。
体循环开始于左心室。
血液从左心室搏出后，流经主动脉及其派生的若干分支动脉，进入各组织器官。
动脉血经组织器官内的毛细血管完成氧气和营养物质的交换后变为静脉血，再由各级静脉汇集到上腔静脉和下腔静脉，回到左心房，从而完成了整个体循环过程。
描述心血管系统功能状态的主要生理参数有[1]：血压（收缩压、舒张压、脉压、平均动脉压）、心率、每搏输出量、血管顺应性、血流阻力、心肌收缩能力等，它们与人体状态有着密切的联系：生理参数反映了人体的生理病理状态，而当人体生理病理状态发生改变时，相应的生理参数也会随之改变。
本文的主要内容如下：1. 单弹性腔仿真模型在Windkessel 理论的基础上，建立心血管系统一阶Simulink 仿真模型，结合临床数据计算模型参数进行仿真，分析实验结果与实测生理量的符合程度，从而验证模型对于心血管系统的表征能力。
2. 双弹性腔仿真模型在一阶模型的基础上，引入频率元件L，细化血管顺应性，建立三阶Simlink 仿真模型。
3. 参数性质分析研究模型参数改变时脉搏波的变化趋势，分析各参数对脉搏波的作用。
2. 单弹性腔基本理论与仿真模型2.1 Windkessel 模型简介对于图2.1 所示的往复泵供水系统，柱塞P在马达M 的驱动下做往复运动：P向前挤压时，吸水阀门2 关闭、供水阀门1 开启，被挤压的流体经传输管路A，并通过终端阻力R 最后流入贮水槽V；当P向后抽吸时，供水阀门1 关闭、吸水阀门2开启，贮水槽中的水被吸入缸内，下一个周期又如此重复。
图 2.1 水在往复泵及其传输管路中的流动[2]实际应用中，人们往往在传输管路A 中接入一个空气腔K以保证供水阀门关闭期间管路内液体流动的连续性。
血管分支
【B 题】血管问题血液在动物得血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环，动物得机体要提供能量。
能量得一部分用于供给血管壁以营养，另一部分用来克服血液流动受到得阻力。
消耗得总能量显然与血管系统得几何形状有关。
在长期得生物进化过程中，高级动物血管系统得几何形状应该已经达到消耗能量最小原则下得优化标准了。
请解决下面得问题：1、血流从左边主干流动，然后遇到分支就分流，左边得流量就是Q,右边得流量就是Q1,Q2,请结合您们所学知识给出其她相关参数，并用数学模型求出Q 与Q1,Q 与Q2得关系。
（这里只标出了血管得基本参数，例如：血管分支处分支血管半径12,r r ,分叉角度12,αα）如图：2、请将您们得模型推广到血管有n 个分支得情形。
血管分支对血流量得影响摘要本文主要对血管问题中血液在血管中得流动规律进行了讨论分析，在了解了血液在血管中流动得影响因素之后，我们对问题提出了三个假设，并根据这三个假设建立了理论数学模型，利用Poiseuille定律找出了血液流动时得能量消耗规律，进而得到了血管分支处粗细血管之间血流量得关系，实现了对血管问题中参数关系得求解。
针对问题：主干血流量Q分别与分支血流量Q1、Q2得函数关系，本文将血流量用其所需能量来代替，从一定程度上来说，血流量与所耗能量之间存在直接联系，在问题中可以相互转换替代。
我们根据流体力学关于粘性流体在刚性管道中流动时能量消耗得定律，对血液这种粘性液体在血管中流动所消耗得能量,血液流动克服阻力消耗能量与血液为血管壁提供营养消耗得能量三个方面进行求解，得到了所耗能量与血管中各参数得函数关系式，并利用多元函数得偏导数进行模型运算，间接求得了血流量Q与Q1、Q2得关系，最后将模型推广到n个分支得情形，并进行了解答。
在求解过程中，我们所建立得模型具有较好得实用性，能在需要时，将两条分支扩展到n条分支，适于应用到医学上对人体内血管系统得研究。
关键词：血流量分支能量消耗1、问题得重述世界上得每一种活着得动物体内都有着血液在血管中流动,这样可以把营养物质输送到全身各处,并将人体内得废物收集起来,排出体外、血液在动物得血管中一刻不停地流动,为了维持血液在血管中得正常循环,动物得机体要提供能量,能量得一部分用于供给血管壁以营养、另一部分用来克服血液流动受到得阻力、如此瞧来,血液循环消耗得总能量显然与血管系统得几何形状有关、生物体内得血管分布并不简单,有不止一条得主干与无数条分支,每一条分支得具体大小、与主干形成得分叉角都不尽相同,这就导致了血液在各个不同得血管中流动所需要得能量不一样、需要得能量越少,动物在激烈得竞争环境中存活下来得几率就越大,而在长期得生物进化过程中，现有得高级动物血管系统得几何形状应该已经达到消耗能量最小原则下得优化标准了，其系统就是最优化结构。
最优血管分支构造
文章编 号 ：０ １ ５２２０ ）１ ０８ ３ １０ —７４ １０２ ０ —０６ —０
最 优 血管 分 支构 造
杨 群 益
青海联合 职工 大 ， 学 青海 西 宁 ８０ １） １０２ 摘 要： 本文舟绍 了一十数学模 型． 以表 明利用数学解决实际问题时 的方式和效果 ． 体现了数学在实际应用 中的重要作用。
关于 ￡的一 个 函 数 的话 ， 与 △ ， 出
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Ｌ＋。 △￡ （ ）
（） ２
收 稿 日期 ：０ １ Ｉ ２０ 一Ｏ 一肺
作者简介： 畅群 ￣ （ ６ 一）男 （ ． ９ ｔ ． 议族 ）心Ｊ 省 充 县人 ， １ ， ｌ 『 讲师
这 就是我们 初 步建 立的模 型 。
（） ５
３ 模型 的求解与检验
我们确定（） 中函数 ｃｒ，与 ｃ ｒ，） ５式 （ ，） （ 。由假设知 ｃ ｒ，是由两项组成， ， （，） 一项是为保养血管动
物体 中每单位血管所付出的代价 ｎ 另一项是克服输送血液所受 的阻力动物体中每单位血管所付的代 ， 价 。即 ｃ ｒｆ ＝ ＋ｎ （ ，）
２ 是大血管 的半径和流速 ； 厂） 要保养血管和克服输送血液所 受的阻力 ， 动物体要付 出一定“ 代价” 。每单位长血管所付 出 的这代价是某个函数 ｃ ｒ 。 （，
２ 分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ建模
图 １
为 了研究 ０必须导出总代价 ， ， 找出使总代价值最小 的 ０ 角。若这些血管的长度是 ￡ ， 。那么总代价为 ，
ｃ＝ｃ ｒ， 越 一 ｃ ｒ， Ａ ｅ ０ ２ （ Ｌ （ ，） ２ （ ，） Ｌｏ — ｏ △ ） ｓ
血管分支血液对流换热分析
的分 支结构 对血 液速 度 场 分 布有 明显 影 响 ， 因此 分
支结 构 对血 液 热 交 换 也 一定 存 在 影 响 。根 据 传 热学 理论 ， 流速 和管 径也 是影 响 管 内对 流换 热 的主 要 因素 。笔者通 过建 立 血 管 树简 化 模 型 ， 拟 计 算 模 了分 支结构 内血 液 的三 维速度 场 、 温度场 和血 液 Ｎ ｕ
假 设血 管壁 温为 常数 ， 析 计算 了热 疗 时大 血 管对 分
生 物组 织温度 场 的影 响 。 但 是 ， 些 研 究 均 是 以单 个 血 管 为对 象 ， 重 这 着 用 不同 方法 、 定不 同换 热条 件下 的 血液 Ｎ 确 ｕ数 （ 或 ｈ ， ） 而考 虑在 循 环 系统 实 际分 支 结 构 的 基 础 上 ， 分 析血 液换 热 的文 献 鲜见 报 道 。Ａ ｉ研究 表 明 ， 管 ｎ ｌ 血
复杂 的传热 耦合关 系 ， 确 地分 析 血 液对 流 换 热是 准
模拟 生物组 织传热 的必要前 提 。 许 多研 究 者 为分 析 血 液 对 流 换 热 做 了大 量 的 实验研究 和 理 论 计算 。Ｃ ａｍ进 行 了实 验 测 量 ， ｈｒ 并 分析 了血 液在不 锈钢 毛细 管 （ 径 ０ ６ｍ 内 的热 直 ． ｍ） 交换 。Ｓ ａ ｈｈ通 过测 量 一 定 加 热量 Ｐ下 对应 的温 升 ， 已知经 典 的努 赛 尔数 （ ｕ数 ） Ｐ Ｔ的拟 由 Ｎ 和 ／ 合 公式 ， 确定 了单 管 内血液 的 Ｎ ｕ数 Ｅ 。Ｖｃ ｒ 单 ｚ ］ ｉｔ 对 ｏ
影响。
关键 词 ： 流换 热 ；有 限元 ；分 支结 构 ；努 赛 尔 数 对
中 图分 类 号 Ｒ １ ３８ 文 献标 识 码 Ｄ 文 章 编 号 ０ ５ —０ １ ２ １ ） １ １ ６０ ２ ８８ ２ （ ０ １ ０ — ４ —５ ０
动脉圆锥名词解释
动脉圆锥名词解释动脉圆锥：1、定义：动脉圆锥是一种特殊的血管形态，由动脉加上其发育分支和血液供应动脉构成，这种特殊的血管机构可以把血液循环系统从心脏分配到下游组织。
2、结构：动脉圆锥是由流出动脉和支架动脉组成，流出动脉由心脏向外发育，而支架动脉则是从流出动脉向外发展的枝支管道。
3、功能：动脉圆锥的作用是帮助血液在不同的组织和器官间流动，以维持正常的血液流向，它还可以调节血液流速以供给不同类型的细胞所需要的营养物质和氧气。
4、血液供应模型：动脉圆锥的血液供应模型是有规则的，出发点在心脏，流向外放射，上游的血管的血流粗大，血压高，下游的血管的血流缩小，血压降低。
5、发育：动脉圆锥有两个阶段发育，一是心脏-肺泡系统的发育，二是肝脏-肾脏蒂的发育，这两个阶段的发育都会导致动脉圆锥的形成。
6、病变：动脉圆锥发生增厚、动脉狭窄等病变，会导致血液循环不良、心血管疾病和心脏病变等问题。
动脉圆锥是一种特殊的血管形态，它可以把血液循环系统从心脏分配到下游组织。
动脉圆锥由流出动脉和支架动脉组成，流出动脉来自心脏，而支架动脉则向外发展。
动脉圆锥的作用是帮助血液在不同的组织和器官间流动，以维持正常的血液流向，在血液循环过程中，它还可以调节血液流速，以供给不同类型的细胞所需要的营养物质和氧气。
动脉圆锥的血液供应模型是有规则的，从心脏向外放射，上游的血管的血流粗大，血压高，下游的血管的血流缩小，血压降低。
动脉圆锥发育有两个阶段：心脏-肺泡系统发育和肝脏-肾脏蒂发育，这两个阶段的发育都会导致动脉圆锥的形成。
但动脉圆锥的发育和血液供应也会发生病变，出现动脉增厚、动脉狭窄等情况，并会导致血液循环不良、心血管疾病和疾病变等问题，因此在血液循环疾病的治疗上，动脉圆锥的作用是十分重要的。
新人教版七年级生物下血流的管道——血管课件
动动手
血
液
血
血
右图是网上发
液
液
可
不
表的关于静脉
通
能
过
瓣演示实验的
瓣
示意图，你能
膜 单
瓣 膜
通 过 瓣 膜
否做一个更好
向 流
的模型？
动
血 管
逆 向 流
动
Thank you!
D.无法知道
5.下列有关毛细血管的叙述，不正确的是 （ D ） A、在人体内数量多，分布广；是血液与组织细胞进 行物质交换的场所 B、管壁极薄，仅由一层上皮细胞构成，管内血流速 度极慢 C、是连通于最小的动脉和静脉之间的血管 D、它的内表面具有防止血液倒流的瓣膜
6.观察小鱼尾鳍内的血液流动，看到毛细血管_最__细__, 血流速度_最__慢___,血细胞呈__单__排___通过。
实验结果
⑴血管的粗细是 不同的
；
⑵血液的流动是有 方向的 ，血液从 动脉 血管
流向 毛细 血管；再汇集到 静脉 血管。
⑶血液的流动速度是_不__同__的__。
血液流动方向示意图
思考
血管的粗细与血流的速度有什么 样的关系
提出问题: 最细的血管中血流速度是不是最慢 做出假设: 最细的血管中血流速度是最慢. 制定计划: 如果假设成立,则可看到血液在最细的
如何选择小鱼?
选择尾鳍颜色较浅，生命活动旺盛的。
方法步骤
1、用湿的棉絮将小鱼头 部的鳃盖和向躯干部包 裹起来，露出口和尾部 。
2、将小鱼平放在培养皿 中，使尾鳍贴在培养皿上 。
3、将培养皿放在载物台 上，用低倍显微镜观察尾 鳍血管内血液的流动情况 。
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.
模型发展
1926年，C.D.Murray根据达尔文进化论的观点，提出了血液在血管中传输耗能最 小的原则，进而提出了血管网络的最优化模型，即：在流体体积固定的前提下，当 流体阻力最小时，心血管直径存在最优比例关系，公式表达为：
d03 d13 d23
式中：d0,d1,d2分别表示母管及两个子管直径，特殊情况下d1=d2，可以得到：
• 实际上人体血管分支很少对称，腹主动脉末端向左右骼总动脉分 支所形成的的两个角度存在显著性差异；
• 分支的三条血管很少在同一平面，而是一个立体几何的三维结构 关系
血管的三维立体结构、不对称性
.
模型拓展 同样的研究方法也用于研究人体其他的结构上，比如胆管【因为 都可以简化为黏性流体在刚性管道中的运动】
模型求解
E
0
r
E
r1
0
E
0
r2
b r 1 4kq 2 / r 5 0
b
r1
1
4 kq12
/
r15
0
b
r2
1
4
k
q
2 2
/
r2 5
0
(r)24
(
r
4
)2
1
r1
r2
q q1 q2
.
模型求解
E 1 E
0 0
2
cos1
(r1 /
r) 2 (r2 / r) 2 2(r1 / r)
d0 /d1 23/7
它们的夹角最优值为1.307rad，约为74.919度，结论和生理学家Uyling于1977年 研究肺部支气管网络和动脉血管网络的结论一致。
.
模型扩展
应力表示作用于表面上的力除以表面面积，可以分解为与表面相切的分量即剪应力，垂直于表 面的分量即正应力
.
模型扩展
.
d0 /d1 21/3
上述结论是基于管内流体为层流流态的假设得到的，Re<Rec=2000，Re为流体雷 诺数，Rec为下临界雷诺数
.
模型发展
同年，C.D.Murray基于同样的优化原则，得出了分叉管之间的夹角也存在最优值。 A.Bejan在2000年一篇文章中推广了Murray'Law，并提出了管内流体为紊流流态， 即Re>Rec=2000，在对称的分叉网路中，母管和子管的直径最优比为：
泊肃叶和哈根的经验定律是G.G.斯托克斯于1845年建立的关于粘性流体运动基本理论的重要 实验证明。现在流体力学中常把粘性流体在圆管道中的流动称为泊肃叶流动。医学上把小血管管 壁近处流速较慢的流层称为泊肃叶层。1913年，英国 R.M.迪利和 P.H.帕尔建议将动力粘度的单位 依泊肃叶的名字命名为泊(poise),1泊＝1达因·秒/厘米2。1969年国际计量委员会建议的国际单位 制(SI)中,动力粘度单位改用帕斯卡·秒,1帕斯卡·秒=10泊。
.
模型建立
克服阻力消耗能量：【为了维持血管两端的压力差】
体积流率
单位面积 的压力
E1qp8rq42l
---------（2）
由公式（1）可以推得：
8 lq
p
8 l r 4
带入公式，化简
.
模型建立
管壁内表面积：2rl
管壁厚度d与r成正比
管壁体积：
V [(r d )2 r 2 ] l(d 2 2 r d )l
E 1k(qr24lqr 11 24l1qr22 24l2)
提供营养消耗能量：
E 2 b ( r l r 1 l 1 r 2 l 2 ) , 1 2
l L ta n 1H ta n 2, lk(ta n 1 ta H n 2)c o sk
.
求 E(r,r1,r2,1,2)的最小值
考虑血管分支AC、CB与CB‘
越粗的血管内表面积越大，管壁越粗吸收的能量就越多。q=2q1
决定吸收能量的大小
.
模型建立
•黏性流体在刚性管道中运动
•Hagen–Poiseuille equation 【给一个超链接跳到介绍Poiseuille这个人那一页】
血管的半径
体积流率 【单位时 间通过特 定表面积 的流体体 积】
他发表过一系列关于血液在动脉和静脉内流动的论文（最早一篇发表于1819年）。其中1840 ～1841年发表的论文《小管径内液体流动的实验研究》对流体力学的发展起了重要作用。他在文 中指出，流量与单位长度上的压力降并与管径的四次方成正比。这定律后称为泊肃叶定律。由于 德国工程师G.H.L.哈根在1839年曾得到同样的结果，W.奥斯特瓦尔德在1925年建议称该定律为哈 根－泊肃叶定律。【此处跳转到介绍定理的那一页】
E (r,r1,)(kq2/r4br)(LH /tan) (kq1 2/r14br1 )2H/sin
对应较细 的血管
对应较粗 的血管
.
模型求解
E (r,r1,)(kq2/r4br)(LH /tan) (kq1 2/r14br1 )2H/sin
E r
0
E
0
r 1
br14kq2/r5 0 br114kq12/r15 0
（在同一平面内消耗的能量是最小的，在三维的或者是扭曲的平 面上消耗的能量可能会比较大。）
B
l1
r1
2. 物理假设
Ar
q1
C
H
血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动，
q
q1
血管壁是没有弹性的。决定阻力的大小 3. 生理假设
l
B´
L
血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，
管壁厚度d近似与血管半径r成正比。
.
泊肃叶定律（Poiseuille's law）
也称为帕醉定律、哈根-泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille's law）、哈根-帕醉方程（HagenPoiseuille's equation），是描述流体流经细管（如血管和导尿管等）所产生的压力损失，压力损 失和体积流率、动黏度和管长的乘积成正比，和管径的四次方成反比例。
q
r4p
8l
黏性系数 【取决于 管壁和相 应流体的 黏度】
血管两端压 力差（AC）
------------（1）
血管的长度
令 k 8
.
泊肃叶（Jean-Louis-Marie Poi-seuille，1799～1869）
法国生理学家。他在巴黎综合工科学校毕业后，又攻读医学，长期研究血液在血管内的流动。 在求学时代即已发明血压计用以测量狗主动脉的血压。
问题
研究在能量最小原 则下，血管分支处 粗细血管半径比例 和分叉角度
分析 机体提供能量维持血液在血管中的流动， 能量的去处：
• 克服血液流动的阻力 • 给血管壁供给营养 消耗能量取决于血管的几何形状 在长期进化中动物血管的几何形状已经 达到能量最小原则
.
模型假设
1. 几何假设
一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面。
Ar
B
l1
r1
q1
H
C
q
q1
l
B´
提供营养消耗能量：
E2brl,12
L
l L H /tg , l1 H /sin
.
模型建立
机体为血液提供的总能量=克服阻力消耗的能量+提供营养消耗能量 将公式（1）、（2）相加：
E E 1 E 2 ( k q 2 / r 4 b r ) l ( k q 1 2 / r 1 4 b r 1 ) 2 l 1
r
1
4 4
r1
.
E 0
模型求解
cos
2
r r1
4
4
cos24
由于 1 2
1 .2 6 r/r 1 1 .3 2 , 3 7 0 4 9 0
另验证 2 E 0 2
2E r2
0
2E r12
0
.
模型改进
1. 几何假设
一条粗血管和两条细血管在分支 点对称地处于同一平面。
2. 物理假设
Rmax
n
4 4
Rmin
对狗进行测量得到：
Rmax Rmin
100045
n
4
5
12
25n30
所以狗的血管总数大约有 225~230
.
模型验证
血管分支数学模型 的解剖学考证及分析.pdf
1.26r/r11.32
.
模型验证
3 7 0 4 9 0 ,7 4 0 2 9 8 0
.
模型验证 问题存在的原因：
1
c
o
s
2
(r2 /
r) 2 (r1 / r) 2 2(r2 / r)
1
c
o
s
(
1
2
)
1
(r1 / 2 ( r1
r)2 / r)
(r2 / r) 2 (r2 / r)
另验证 2 E 0 2
2E r2
0
2E 0 r12
.
模型验证
若记动物大动脉的半径为Rmax，最细的毛细血管的半径为Rmin，设 从大动脉到最细的毛细血管有n次分叉，那么得到：
此定律适用于不可压缩、不具有加速度、层流稳定且长于管径的牛顿流体。泊肃叶定律是让· 泊肃叶于1838年和戈特希尔夫·哈根于1838和1839年分别实验独立发现的，并于1840年和1846 年发表。【通过实验发现的经验公式】
泊肃叶定律的应用前提有三： 假设液体是不可压缩流体； 假设液体是牛顿流体，即它的粘滞系数不随流速而改变； 假设液体的流动是层流，而不是湍流，即管的直径不能太大。
血液流动近似于粘性流体在刚 性管道中的运动。