第四章 第五节 分布的偏度与峰度
偏度和峰度
你的位置：第四章| 第七节|五、偏度与峰度五、偏度与峰度（一）偏度偏度是指次数分布非对称的偏态方向程度。
为了精确测定次数分布的偏斜状况，统计上采用偏斜度指标。
计算偏斜度有不同的方法，现介绍其中比较简单的一种方法。
由前述介绍可知，在对称分布条件下，=M e=M0；在偏态分布条件下，三者存在数量（位置）差异。
其中，Me居于中间，与M0分居两边，因此，偏态可用与M0的绝对差额（距离）来表示，即与M0的绝对差额越大，表明偏斜程度越大；与M0的绝对差额越小，则表明偏斜程度越小。
当>M0，说明偏斜的方向为右（正）偏；当<M0，则说明偏斜的方向为左（负）偏。
由于偏态是以绝对数表示的，具有原数列的计量单位，因此不能直接比较不同数列的偏态程度。
为了使不同数列的偏态值可比，可计算偏态的相对值，即偏斜度（α）又称为偏态系数，就是将偏态的绝对数用其标准差除之。
公式为：（4-55）偏斜度是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，故其取值范围一般在0与±3之间。
α为0表示对称分布，α为+3与-3分别表示极右偏态和极左偏态。
（二）峰度峰度是指次数分布曲线顶峰的尖平程度，是次数分布的又一重要特征。
统计上，常以正态分布曲线为标准，来观察比较某一次数分布曲线的顶端正党风尖顶或平顶以及尖平程度的大小。
根据变量值的集中与分散程度，峰度一般可表现为三种形态：尖顶峰度、平顶峰度和标准峰度。
当变量值的次数在众数周围分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆起尖峭，称为尖顶峰度；当变量值的次数在众数周围分布较为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓，称为平顶峰度。
可见，尖顶峰度或平顶峰度都是相对正态分布曲线的标准峰度而言的。
峰度的测定，一般是采用统计动差方法，即以四阶中心动差V4为测定依据，将V4除以其标准差的四次方σ4，以消除单位量纲的影响，便于不同次数分布曲线的峰度比较，从而得到以无名数表示的相对数，即为峰度的测定值（β）。
数据的偏度和峰度理解
数据的偏度和峰度理解数据的偏度和峰度是描述数据分布形态的两个重要统计量。
它们可以帮助我们进一步了解数据的分布特征，从而指导我们选择合适的统计分析方法和进行数据预处理。
1. 偏度（Skewness）：数据的偏度描述了数据分布的不对称性。
它可以告诉我们数据的分布是向左偏斜还是向右偏斜，以及偏斜的程度。
正偏态数据是指数据分布向右偏斜，即数据的右侧尾部比左侧尾部更长。
这意味着数据中较大的值较为常见。
正偏态数据的偏度大于0，偏度值越大，右偏的程度越严重。
负偏态数据是指数据分布向左偏斜，即数据的左侧尾部比右侧尾部更长。
这意味着数据中较小的值较为常见。
负偏态数据的偏度小于0，偏度值越小，左偏的程度越严重。
数据的偏度可以用下面的公式来计算：偏度 = 3 * (平均值 - 中位数) / 标准差偏度的取值范围为负无穷到正无穷。
当偏度为0时，表示数据分布是对称的，左右两侧的一侧尾部与另一侧尾部相似。
2. 峰度（Kurtosis）：峰度描述了数据分布的尖峭程度，即数据分布的峰值高低以及峰顶的平坦程度。
正常态曲线（正态分布）的峰度为3。
当数据的峰度大于3时，表示数据分布比正态分布更尖峭，峰顶更尖；当数据的峰度小于3时，表示数据分布比正态分布更平坦，峰顶更平坦。
数据的峰度可以用下面的公式来计算：峰度 = (数据的四阶矩 - 3 * 数据的方差的平方) / 数据的方差的平方峰度的取值范围从负无穷到正无穷。
当峰度为0时，表示数据分布与正态分布的峰度相同。
当峰度大于0时，表示数据分布比正态分布更尖峭；当峰度小于0时，表示数据分布比正态分布更平坦。
总结：偏度和峰度是描述数据分布形态的两个重要统计量。
偏度描述了数据分布的不对称性，可以帮助我们了解数据的左右偏斜程度；峰度描述了数据分布的尖峭程度，可以帮助我们了解数据的峰值高低和峰顶的平坦程度。
了解数据的偏度和峰度可以指导我们选择合适的统计分析方法，并进行必要的数据处理和变换，以满足分析的要求。
偏度和峰度
你的位置：第四章| 第七节|五、偏度与峰度五、偏度与峰度（一）偏度偏度是指次数分布非对称的偏态方向程度。
为了精确测定次数分布的偏斜状况，统计上采用偏斜度指标。
计算偏斜度有不同的方法，现介绍其中比较简单的一种方法。
由前述介绍可知，在对称分布条件下，=M e=M0；在偏态分布条件下，三者存在数量（位置）差异。
其中，Me居于中间，与M0分居两边，因此，偏态可用与M0的绝对差额（距离）来表示，即与M0的绝对差额越大，表明偏斜程度越大；与M0的绝对差额越小，则表明偏斜程度越小。
当>M0，说明偏斜的方向为右（正）偏；当<M0，则说明偏斜的方向为左（负）偏。
由于偏态是以绝对数表示的，具有原数列的计量单位，因此不能直接比较不同数列的偏态程度。
为了使不同数列的偏态值可比，可计算偏态的相对值，即偏斜度（α）又称为偏态系数，就是将偏态的绝对数用其标准差除之。
公式为：（4-55）偏斜度是以标准差为单位的算术平均数与众数的离差，故其取值范围一般在0与±3之间。
α为0表示对称分布，α为+3与-3分别表示极右偏态和极左偏态。
（二）峰度峰度是指次数分布曲线顶峰的尖平程度，是次数分布的又一重要特征。
统计上，常以正态分布曲线为标准，来观察比较某一次数分布曲线的顶端正党风尖顶或平顶以及尖平程度的大小。
根据变量值的集中与分散程度，峰度一般可表现为三种形态：尖顶峰度、平顶峰度和标准峰度。
当变量值的次数在众数周围分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆起尖峭，称为尖顶峰度；当变量值的次数在众数周围分布较为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓，称为平顶峰度。
可见，尖顶峰度或平顶峰度都是相对正态分布曲线的标准峰度而言的。
峰度的测定，一般是采用统计动差方法，即以四阶中心动差V4为测定依据，将V4除以其标准差的四次方σ4，以消除单位量纲的影响，便于不同次数分布曲线的峰度比较，从而得到以无名数表示的相对数，即为峰度的测定值（β）。
用偏度和峰度检验正态分布的方法
用偏度和峰度检验正态分布的方法引言正态分布是统计学中最常见的分布之一，也是许多统计推断和假设检验的基础。
在实际应用中，我们常常需要检验数据是否符合正态分布。
偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是常用的两个统计量，可以用来判断数据的分布形态。
本文将介绍偏度和峰度的概念，并详细说明如何使用这两个统计量来检验数据是否符合正态分布。
1. 偏度偏度是描述数据分布对称性的统计量。
它衡量了数据分布的左右偏斜程度，可以判断数据是左偏、右偏还是近似对称。
偏度的定义如下：Skewness=∑(X i−X‾)3ni=1/nσ3其中，X i是样本观测值，X‾是样本均值，σ是样本标准差，n是样本容量。
偏度的取值范围为负无穷到正无穷。
当偏度为0时，表示数据分布近似对称；当偏度大于0时，表示数据分布右偏；当偏度小于0时，表示数据分布左偏。
2. 峰度峰度是描述数据分布尖锐程度的统计量。
它衡量了数据分布的峰态，可以判断数据是平顶、尖峭还是扁平。
峰度的定义如下：Kurtosis=∑(X i−X‾)4ni=1/nσ4其中，X i是样本观测值，X‾是样本均值，σ是样本标准差，n是样本容量。
峰度的取值范围为负无穷到正无穷。
当峰度为0时，表示数据分布为正态分布；当峰度大于0时，表示数据分布比正态分布更尖峭；当峰度小于0时，表示数据分布比正态分布更平顶。
3. 检验方法3.1 偏度检验偏度检验的原假设（H0）是数据分布的偏度等于0，即数据分布近似对称。
备择假设（H1）是数据分布的偏度不等于0，即数据分布不对称。
常用的偏度检验方法有两种：Shapiro-Wilk检验和Jarque-Bera检验。
3.1.1 Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种基于排序的统计检验方法，适用于小样本和大样本。
它的原假设是数据来自正态分布。
在Python中，可以使用SciPy库的shapiro函数进行Shapiro-Wilk检验。
偏度与峰度——精选推荐
偏度与峰度偏度这⼀指标，⼜称偏斜系数、偏态系数，是⽤来帮助判断数据序列的分布规律性的指标。
在数据序列呈对称分布（正态分布）的状态下，其均值、中位数和众数重合。
且在这三个数的两侧，其它所有的数据完全以对称的⽅式左右分布。
如果数据序列的分布不对称，则均值、中位数和众数必定分处不同的位置。
这时，若以均值为参照点，则要么位于均值左侧的数据较多，称之为右偏；要么位于均值右侧的数据较多，称之为左偏；除此⽆它。
考虑到所有数据与均值之间的离差之和应为零这⼀约束，则当均值左侧数据较多的时候，均值的右侧必定存在数值较⼤的“离群”数据；同理，当均值右侧数据较多的时候，均值的左侧必定存在数值较⼩的“离群”数据。
⼀般将偏度定义为三阶中⼼矩与标准差的三次幂之⽐。
在上述定义下，偏度系数的取值⽆⾮三种情景：1.当数据序列呈正态分布的时候，由于均值两侧的数据完全对称分布，其三阶中⼼矩必定为零，于是满⾜正态分布的数据序列的偏度系数必定等于零。
2.当数据序列⾮对称分布的时候，如果均值的左侧数据较多，则其右侧的“离群”数据对三阶中⼼矩的计算结果影响⾄巨，乃⾄于三阶中⼼矩取正值。
因此，当数据的分布呈右偏的时候，其偏度系数将⼤于零。
3.当数据序列⾮对称分布的时候，如果均值的右侧数据较多，则其左侧的“离群”数据对三阶中⼼矩的计算结果影响⾄巨，乃⾄于三阶中⼼矩取负值。
因此，当数据的分布呈左偏的时候，偏度系数将⼩于零。
在右偏的分布中，由于⼤部分数据都在均值的左侧，且均值的右侧存在“离群”数据，这就使得分布曲线的右侧出现⼀个长长的拖尾；⽽在左偏的分布中，由于⼤部分数据都在均值的右侧，且均值的左侧存在“离群”数据，从⽽造成分布曲线的左侧出现⼀个长长的拖尾。
可见，在偏度系数的绝对值较⼤的时候，最有可能的含义是“离群”数据离群的程度很⾼（很⼤或很⼩），亦即分布曲线某侧的拖尾很长。
但“拖尾很长”与“分布曲线很偏斜”不完全等价。
例如，也不能排除在数据较少的那⼀侧，只是多数数据的离差相对于另⼀侧较⼤，但不存在明显“离群”数据的情景。
峰度与偏度
峰度peakness；kurtosis又称峰态系数。
表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。
直观看来，峰度反映了尾部的厚度。
峰度以bk表示，Yi是样本测定值，Ybar是样本n次测定值的平均值，s为样本标准差。
正态分布的峰度为3。
bk<3称分布具有不足的峰度，bk>3称分布具有过度的峰度。
若知道分布有可能在峰度上偏离正态分布时，可用峰度来检验分布的正态性。
次数分配较常态分配曲线平坦者,为低阔峰分配g20.g2=0时为常态分配.简单来讲，峰度是描述分布形态的陡缓程度。
峰度为3表示与正态分布相同，峰度大于3表示比正态分布陡峭，小于3表示比正态分布平坦。
在实际应用中，通常将峰度值做减3处理，使得正态分布的峰度0。
因此，在使用统计软件进行计算是，应注意该软件默认的峰度值计算公式。
如Eviews默认的正态分布峰度为3。
偏度skewness表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。
直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。
偏度以bs表示，xi是样本观测值，xbar是样本n次观测值的平均值。
正态分布的偏度为0，两侧尾部长度对称。
bs<0称分布具有负偏离，也称左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长；bs>0称分布具有正偏离，也称右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长；而bs接近0则可认为分布是对称的。
若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。
右偏时一般算术平均数>中位数>众数，左偏时相反，即众数>中位数>平均数。
正态分布三者相等。
对于n个样本值的偏度，计算方法如下：计算公式这里xi 是第i个样本，, sd是样本标准差. g1 是总体偏度的有偏估计。
偏度系数和峰度系数公式
偏度系数和峰度系数公式偏度，skewness，是研究数据分布对称的统计量。
通过对偏度系数的测量，我们能够判定数据分布的不对称程度以及方向。
峰度，kurtosis，是研究数据分布陡峭或平滑的统计量。
通过对峰度系数的测量，我们能够判定数据分布相对于正态分布而言是更陡峭还是平缓。
表征概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。
峰度反映了峰部的尖度。
样本的峰度是和正态分布相比较而言统计量，如果峰度大于三，峰的形状比较尖，比正态分布峰要陡峭，反之亦然。
在统计学中，峰度（kurtosis）来衡量实数随机变量概率分布的峰态。
峰度低就意味著方差减小就是由高频度的大于或大于平均值的极端差值引发的。
偏度是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，是统计数据分布非对称程度的数字特征。
峰度（peakedness;kurtosis）又称峰态系数。
表观概率密度原产曲线在平均值处峰值多寡的特征数。
直观认为，峰度充分反映了峰部的尖度。
样本的峰度就是和正态分布相比较而言统计数据量，如果峰度大于三，峰的形状比较细长，比正态分布峰必须平缓。
反之亦然。
在统计学中，峰度（kurtosis）衡量实数随机变量概率分布的峰态。
峰度高就意味着方差增大是由低频度的大于或小于平均值的极端差值引起的。
峰度以bk则表示，xi就是样本测量值，xbar就是样本n次测量值的平均值，s为样本标准差。
正态分布的峰度为3。
以一般而言，正态分布为参考，峰度可以叙述原产形态的陡缓程度，若bk3，则表示原产具备过度的峰度。
若晓得原产有可能在峰度上偏移正态分布时，需用峰度去检验原产的正态性。
根据均值不等式，可以确定出峰度（系数）的取值范围：它的下限不会低于1，上限不会高于数据的个数。
有一些典型分布的峰度（系数）值得特别关注。
例如，正态分布的峰度（系数）为常数3，均匀分布的峰度（系数）为常数1.8。
在统计实践中，我们经常把这两个典型的分布曲线作为评价样本数据序列分布性态的参照。
设若先将数据标准化，则峰度（系数）相当于标准化数据序列的四阶中心矩。
分布的偏度和峰度
项目
分布的偏度和峰度
三、分布的偏度和峰度
一、 偏度
1. 偏度的概念
偏度是指反映频数分布偏态方向和程度的指标。已 知频数分布，若用图形表示，则可以看出有的是对称的， 有的是非对称的（偏态）。偏度是对分布偏斜方向和程度 的测试，与平均数和标准差一样，也是反映频数分布性质 的一个重要指标。偏态通常分为两种：右偏(或正偏)和左 偏(或负偏)。当分布中心对称时，算术平均数、中位数和 众数是相等的；分布越偏，三者差距越大。
三、分布的偏度和峰度
一、 峰度
1. 峰度的概念
峰度是指频数分布曲线与正态分布 曲线相对平坦或尖峭的程度。它反映了 频数分布的各个度量集中于平均数左右 的相对程度，同偏度一样，峰度也是频 数分布的一个重要特征。
三、分布的偏度和峰度
2. 峰度的类型
峰度通常分为以下三种： （1）正态峰度。正态峰度又称标准峰度，是指次数分布 各变量值在平均数左右均匀分布时形成的正态曲线的峰度。 （2）尖顶峰度。尖顶峰度是指变量值的次数在众数周围 分布比较集中，使次数分布曲线比正态分布曲线顶峰更为隆 起尖峭。 （3）平顶峰度。平顶峰度是指变量值的次数在众数周围 分布较为分散，使次数分布曲线较正态分布曲线更为平缓。
偏度与峰度的统计学度量
偏度与峰度的统计学度量统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的科学方法。
在数据分析过程中，度量数据的特征和趋势是必不可少的一部分。
偏度和峰度是常用的统计学度量，用于描述数据分布的形状和偏离程度。
本文将介绍偏度和峰度的概念、计算方法和实际应用。
偏度是用来衡量数据分布对称性的指标。
对称分布的偏度为0，正偏分布的偏度大于0，负偏分布的偏度小于0。
偏度的计算方法是根据数据的均值、标准差和样本容量来计算的。
公式如下：偏度 = （3 * （平均值 - 中位数））/ 标准差偏度的值可以为正、为零或为负数。
当偏度为正时，说明数据分布右尾较长，即数据集中在右侧的值较多；当偏度为零时，说明数据分布左右对称；当偏度为负时，说明数据分布左尾较长，即数据集中在左侧的值较多。
峰度是用来衡量数据分布尖锐程度的指标。
峰度大于0表示数据分布比正态分布更尖锐，即数据在均值附近集中得更多；峰度小于0表示数据分布比正态分布更平坦，即数据更分散。
峰度的计算方法如下：峰度 = （样本数据的四阶矩 - 3 * (标准差^2)）/ 标准差^2峰度的值可以为正、为零或为负数。
当峰度为正时，说明数据分布比正态分布更尖锐；当峰度为零时，说明数据分布与正态分布相似；当峰度为负时，说明数据分布比正态分布更平坦。
偏度和峰度的统计学度量在实际应用中有着广泛的应用价值。
例如，在金融领域，对股票收益率的偏度和峰度的测量可以帮助投资者评估风险和回报的潜力。
正偏和尖峰的分布可能表示较高的风险，而负偏和平坦的分布可能表示较低的风险。
此外，在市场调查和社会研究中，偏度和峰度的度量可以帮助分析人员了解数据分布的特征。
例如，在用户满意度调查中，偏度和峰度的分析可以揭示用户对产品或服务的整体评价情况。
总而言之，偏度和峰度作为统计学度量，可以帮助我们更深入地了解数据的特征和分布形状。
通过计算偏度和峰度，我们可以得到数据所呈现的偏态和尖锐程度，进而帮助我们做出更准确的数据分析和决策。
偏度和峰度的定义
在Minitab的图形化汇总中，偏度和峰度分别表示什么意思？
偏度（Skewness）是对随机变量分布不对称性的度量，用β表示，其计算公式为：
其中，μ为均值，σ为标准差
它的含义是：当分布完全对称时，，正态分布对称，时，分布为正偏，也称为右偏，它的分布中高于均值的尾部有向右延伸严重的情形；当时，分布为负偏，也称左偏，它的分布中低于均值的尾部向左延伸严重。
峰度（Kurtosis）度量随机变量中不中间部分的陡峭程度及两端尾部的厚重程度，也可以简单当作分布平坦性的度量，其计算公式为：
其中，μ为均值，σ为标准差
在比较两个分布的峰度时，一定要让它们有相同的均值和方差。
当数据为正态分布时，其峰度为0，峰度为正数表示数据分布比正态分布中间顶峰更峭，两尾更重；负峰度表示数据分布中间比正态分布顶峰更平，两尾更轻。
峰度和偏度
Kurtosis(峰度)&Skewness(偏度)(2013-10-29 09:25:33)转载▼分类：图像处理标签：it1. 定义：Kurtosis(峰度): 是对Sample构成的分布的峰值是否突兀或是平坦的描述。
计算时间序列x的峰度，峰度用于度量x偏离某分布的情况，正态分布的峰度为3。
当时间序列的曲线峰值比正态分布的高时，峰度大于3;当比正态分布的低时，峰度小于3。
Skewness(偏度)：是对Sample构成的分布的对称性状况的描述。
计算时间序列x的偏度，偏度用于衡量x的对称性。
若偏度为负，则x均值左侧的离散度比右侧强;若偏度为正，则x均值左侧的离散度比右侧弱。
对于正态分布(或严格对称分布)偏度等于O。
2. Kurtosis:(a). Kurtosis是对于分布的标准四阶中心距（standardized 4th central moment）正态分布的Kurtosis为K=3，为了描述的方便，使用exceess_K = K-3 来标准化表示。
如果exceess_K >0, 表示波形更平坦(flatness); 如果exceess_K<0, 则表示波形更突兀消瘦(peakedness).(b). 如何根据Sample计算Kurtosis3. Skewness:(a). Skewness 是对于分布的标准三阶中心距（standardized 3rd central moment）正态分布的Skewness=0。
如果Skewness>0代表波形有右侧长尾，如果Skewness<0代表波形有左侧长尾。
(b). 如何根据Sample计算Skewness4. 检验准则：假设Sample Size = N(a). Skewness符合正态分布的Skewness范围[-2*Sqrt(6/N), +2*Sqrt(6/N)](b). Kurtosis符合正态分布的Kurtosis范围[-2*Sqrt(24/N), +2*Sqrt(24/N)]偏度（Skewness）是描述某变量取值分布对称性的统计量。
数据的偏度和峰度理解
数据的偏度和峰度理解
数据的偏度和峰度是描述数据分布特征的统计量。
偏度（skewness）表示数据分布的不对称程度。
正偏表示数据分布的偏差重心偏向右侧，也就是右边的尾部较长；负偏表示数据分布的偏差重心偏向左侧，即左边的尾部较长。
偏度的值为0表示数据分布对称。
峰度（kurtosis）描述的是数据分布的尾部轻重程度。
峰度越大，表示尾部的数据分布越重，也就是尖峰更尖；峰度越小，表示尾部的数据分布越轻，不太尖。
峰度的值为3表示正态分布的峰度，大于3表示尾部较重，小于3表示尾部较轻。
通过计算数据的偏度和峰度，可以对数据分布的特征有更深入的理解。
概率统计中的偏度与峰度
概率统计中的偏度与峰度在统计学中，偏度和峰度是用来描述一个数据集的两个重要的属性。
偏度是指数据分布的不对称性。
一个正态分布的数据集是完全对称的，左半部分的极限形式与右半部分完全相同。
如果数据集呈现偏态，那么就有一边比另一边更长、更陡峭。
为了从理论上进行描述，统计学家们定义了三种类型的偏态：正偏态、负偏态和无偏态。
如果数据集是正偏态的，那么就意味着这个数据集中的数值大多数位于其均值的右侧。
负偏态则是指大多数数值位于均值左侧。
在实际应用中，正偏态的数据分布是比较常见的，例如在股票市场中某些股票收益率分布呈现出较为显著的正偏态。
而负偏态则较难观察到。
峰度则用来描述数据分布的尖锐度或扁平度。
从理论上看，峰度可分为尖峰型、平顶型和扁平型。
数据集的峰度是通过比较其尾部的形态和正态分布来确定的，正态分布按照惯例被认为是具有峰度为3的特殊情况。
尖峰型数据分布的峰度高于正态分布，这种数据集的概率密度函数中心集中，两侧的值很小。
例如，耐峰型在对于某些常见的金融数据规律性建模时被广泛使用。
平顶型数据分布峰度非常低，在数据集的中间部分具有非常平坦的特征，例如在派对中的抽奖场景就呈现出平坦型。
尤其在同时包含多种不同奖品的情况下，该特点非常明显。
扁平型数据分布峰度非常低，在概率密度函数的左右两端都具有数值较高的情况下出现，例如一些极端情况下的投资回报概率分布或一些极端市场波动的分布情况。
结合偏度和峰度，我们可以更加深入地理解数据分布的复杂性和不确定性。
在金融行业，人们常常会获得巨额利润，且自我感觉良好，从而导致对风险的低估。
在这种场景下，我们可以通过偏度和峰度来更好地理解支付结构、收益规律及其不确定性，从而更加客观、理性地管理风险和优化业务方案。
总之，偏度和峰度这两个参数对于确定和描述数据集的概率分布十分重要。
优秀的统计学家们也会不断发掘新的探究方式和方法，以提升信息的精确性和实用性，为更加客观、有效的决策提供有力支持。
峰度(Kurtosis)和偏度(Skewness)的意义和作用,计算公式
峰度(Kurtosis)是什么意思？峰度是描述总体中所有取值分布形态陡缓程度的统计量。
这个统计量需要与正态分布相比较，峰度为0表示该总体数据分布与正态分布的陡缓程度相同；峰度大于0表示该总体数据分布与正态分布相比较为陡峭，为尖顶峰；峰度小于0表示该总体数据分布与正态分布相比较为平坦，为平顶峰。
峰度的绝对值数值越大表示其分布形态的陡缓程度与正态分布的差异程度越大。
峰度(Kurtosis)的具体计算公式为：Kurtosis=∑=-ni n 1(11i X --x )4/SD 4-3 峰度数据集达到峰值的程度。
与许多其他基本统计量一样，峰度可以帮助您对数据建立初步的了解。
您可以通过图形（比如直方图）直观地评估峰度，也可以通过峰度值统计量以数学方式评估峰度。
基线：正态分布正态分布的数据将为峰度建立这样的基线：波峰不过于平坦，也不过于尖锐。
完全服从正态分布的数据的峰度值为 0。
因为显著的峰度表示数据的非正态性，您可以将此统计量作为首个检验正态性的标准。
波峰尖锐的数据分布的波峰如果比正态波峰尖锐，峰度值将为正。
波峰平坦的数据分布的波峰如果比正态波峰平坦，峰度值将为负。
偏度(Skewness)与峰度类似，它也是描述数据分布形态的统计量，其描述的是某总体取值分布的对称性。
这个统计量同样需要与正态分布相比较，偏度为0表示其数据分布形态与正态分布的偏斜程度相同；偏度大于0表示其数据分布形态与正态分布相比为正偏或右偏，即有一条长尾巴拖在右边，数据右端有较多的极端值；偏度小于0表示其数据分布形态与正态分布相比为负偏或左偏，即有一条长尾拖在左边，数据左端有较多的极端值。
偏度的绝对值数值越大表示其分布形态的偏斜程度越大。
偏度(Skewness)的具体计算公式为：SKewness=-==--∑311)(11X X n ni i /SD 3 偏度数据集不对称的程度。
类似于其他许多基本统计量，偏度可以帮助您初步了解数据。
可以通过图形（如直方图）或通过偏度统计量来评估偏度。
第四章 第五节 分布的偏度与峰度
第五节 分布的偏度与峰度
分布的偏态测度 矩偏度系数 皮尔逊偏度系数 分布的尖锐度测度 峰度
统计学原理
矩偏度系数（Coefficient of Skewness ）
mk
(x
i 1
n
i n
x) f i
k i
f
i 1
当k=0时，零阶中心矩 当k=1时，一阶中心矩 当k=2时，二阶中心矩
U0 1
U1 0
U2 2
也即方差。
统计学原理
矩偏度是以变量的三阶中心动差除以标准差三次方，来衡量分布不对称程 度，或偏斜程度的指标。即三阶中心动差以为标准单位的系数。公式如下：
两组资料虽然平均数与标准差皆相同，却可能由于各自不同的偏斜情况， 使得次数分配的形状不相同。 矩也称为动差。以零为中心矩称为原点k阶矩，基本形式为：
k x fi i 1 n n
mk
f
i 1
i
当k=1时，就是算术平均数，即1阶原点矩就是算术平均数。
统计学原理
如果将原点移至算术平均数得位置，可以得到以平均数为中心的 k 阶中心矩：
3( x M e ) 3 （x M o） SK 或 σ σ
偏态系数小于0，因为平均数在众数之左，是一种左偏的分布，又称为负 偏。 偏态系数大于0，因为均值在众数之右，是一种右偏的分布，又称为正偏 。
统计学原理
峰度（ Kurtosis ）
峰度是以变量的四阶中心动差除以标准差的四次方，并将结果再减去3， 用来衡量频数分布的集中程度，也是衡量分布曲线尖峭程度的指标。公式为：
偏度和峰度取值范围
偏度和峰度取值范围偏度和峰度是概率论和统计学中的两种重要的描述性统计量，它们可以用于描述数据的分布特征和偏差程度。
在某些应用场景下，了解数据分布的偏度和峰度十分重要，如金融投资、科学研究等领域。
1. 偏度值的取值范围偏度是对数据分布的对称性的描述，它反映了数据分布曲线的对称或不对称程度。
当数据分布呈正态分布时，其偏度值为0；当分布是左偏或右偏时，偏度值分别为负数或正数，绝对值越大表示偏斜程度越强。
偏度的取值范围是-3到3之间，当偏斜程度特别大时，偏度值可能达到更小或更大的数值。
当偏度值为0时，代表数据符合正态分布，若偏度值大于0则代表数据向左偏，否则代表数据向右偏。
2. 峰度值的取值范围峰度是用来描述数据分布曲线峰值尖锐或平缓度的统计量。
当数据的峰度值为0时，为正态分布的情况；当数据的峰度值大于0时，代表数据分布更为集中，呈正态分布的数据峰上较高、两侧下降也比较慢；当数据的峰度值小于0，数据分布曲线更为分散，数据峰下降更快，两侧的高峰比正态分布低。
峰度的取值范围是-3到+∞之间，当峰度值为0时，代表数据分布与正态分布相同。
若峰度值为正数，则代表数据分布呈尖峰态分布；若峰度值为负数，则代表数据分布呈平缓型分布。
3. 数据分布的特征分析通过偏度值和峰度值的计算可以了解数据分布的特征，对于特征明显的数据分布，可以采取不同的分析方法。
当数据分布偏度很大时，代表数据的对称性较差，可能需要采取对称性较好的算法进行分析，比如中位数代替平均数。
而当数据分布峰度很大或很小时，也需要采用相应的算法进行分析，避免计算结果造成误差。
此外，在金融投资、市场营销等领域中，利用偏度和峰度进行数据分析可以有效判断市场波动和风险大小，进而制定合理的投资计划和市场策略。
综上所述，偏度和峰度在数据分析中具有重要的作用，通过计算偏度和峰度值，可以有效描述数据分布的特征，便于数据分析和决策。
此外，在实践应用中，也要根据数据分布的不同特征，采用相应的算法进行分析和处理，以获得更精确的结果。
峰度,偏度
峰度（Kurtosis）和偏度（Skewness）是统计学中用于描述概率分布形状的两个重要概念。
1. **峰度(Kurtosis)：** 峰度度量了概率分布曲线的尖峰程度，即它衡量了数据集中数据点分布在均值周围的程度。
峰度通常与正态分布进行比较。
- 正态分布的峰度为3，称为Mesokurtic。
如果数据的峰度大于3，表示它比正态分布更陡峭（尖峰），称为Leptokurtic。
- 如果数据的峰度小于3，表示它比正态分布更平坦（扁平），称为Platykurtic。
峰度计算方式：\[Kurtosis = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i-\bar{x}}{\sigma}\right)^4 - 3\] 其中，\(n\) 是数据点数量，\(\bar{x}\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差。
2. **偏度(Skewness)：** 偏度度量了概率分布曲线的不对称性，即它描述了数据集中数据点相对于均值的分布情况。
- 如果偏度为正数，表示数据分布向右偏斜，也称为正偏斜，意味着数据的尾部在均值的右侧，尾部较长。
- 如果偏度为负数，表示数据分布向左偏斜，也称为负偏斜，意味着数据的尾部在均值的左侧，尾部较长。
- 如果偏度接近0，表示数据相对对称，分布相对均匀。
偏度计算方式：\[Skewness = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i-\bar{x}}{\sigma}\right)^3\]其中，\(n\) 是数据点数量，\(\bar{x}\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差。
峰度和偏度是用于了解数据分布形状的重要统计量，它们可以帮助分析数据是否符合正态分布，或者是否存在偏斜和尖峰。
这对于许多统计分析和数据建模任务都非常重要。
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n
m4 σ4
(xi
i 1
σ4
x)4 fi
n
fi
3
i 1
峰度指标是以正态分布的峰度为比较标准（正态分布的峰度β=0），来比较
不同频数分布的尖峭程度。
当峰度β>0时，表示频数分布比正态分布更集中，分布呈尖峰状态，平均数 代表性更高；
当β<0时，表示频数分布比正态分布更分散，分布呈平坦峰，平均数代表性 较低。
n
xk fi
mk
i1 n
fi
i1
当k=1时，就是算术平均数，即1阶原点矩就是算术平均数。
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如果将原点移至算术平均数得位置，可以得到以平均数为中心的k 阶中心矩：
n
(x i x )k f i
m k i1 n
fi
i 1
当k=0时，零阶中心矩 当k=1时，一阶中心矩 当k=2时，二阶中心矩
1、根据样本资料离散系数； 2、确定样本资料的偏度系数和峰度系数；
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n
x i1 xi 78539.25 n 20
xx2 22.7 15 3
S
1.0 79
n1
19
V S 10 % 01.7 0 5 10 % 0 2.3 7% 9
x
3.2 95
n
m σ33(xi xFra bibliotek3i1
nσ3
0.125
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样本的峰度系数计算公式：
(n 1 )n n ((n 2 1 ))n ( 3 ) m 4 4(n 3 (n 2 ) n 1 () 23 )
0 0
0
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例 随着信息化时代的到来，越来越多的人选择在家办公， 下面的样本资料是在家办公的人的年龄：
22 58 24 50 29 52 57 31 30 29 41 44 40 46 29 31 37 42 44 49
n
m σ44
(xi x)4
i1
nσ4
31.28
因此，样本数据均值为39.25岁，称右偏，比峰度较正态分布平坦。
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U0 1 U1 0
U2 2
也即方差。
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矩偏度是以变量的三阶中心动差除以标准差三次方，来衡量分布不对 称程度，或偏斜程度的指标。即三阶中心动差以为标准单位的系数。公式如 下：
n
m3 σ3
(xi x)3 fi
i 1
n
σ3 fi
i 1
当频数分布为正态时，变量值得频数以平均数左右完全对称，三阶动差等于0 ，偏度也为0；
第五节 分布的偏度与峰度
分布的偏态测度 矩偏度系数 皮尔逊偏度系
数 分布的尖锐度测度
峰度
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➢ 矩偏度系数（Coefficient of Skewness）
两组资料虽然平均数与标准差皆相同，却可能由于各自不同的偏斜情 况，使得次数分配的形状不相同。
矩也称为动差。以零为中心矩称为原点k阶矩，基本形式为：
当α>0时，为正偏斜（即右偏，分布曲线右尾端较厚）
当α<0时，为负偏斜（即左偏，分布曲线左尾端较厚）。
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样本的矩偏度系数计算公式：
(n1)n n (2) m 3 3(n1)n n (2)a3
0
0
0
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➢ 皮尔逊偏度系数（Pearson ）
Pearson偏态系数以平均值与中位数或众数之差与标准差之比来衡量偏斜 的程度，用SK表示偏斜系数。这是根据众数、中位数与均值各自的性质，通 过比较众数或中位数与均值来衡量偏斜度的。其计算公式为：
SK3(xMe)或3（ xMo）
σ
σ
偏态系数小于0，因为平均数在众数之左，是一种左偏的分布，又称为负 偏。
偏态系数大于0，因为均值在众数之右，是一种右偏的分布，又称为正偏 。
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➢ 峰度（ Kurtosis ）
峰度是以变量的四阶中心动差除以标准差的四次方，并将结果再减去3， 用来衡量频数分布的集中程度，也是衡量分布曲线尖峭程度的指标。公式为：