2013年全国名校中考模拟试卷分类汇编9一元二次方程
2013年中考数学精选——一元二次方程精题及答案
中考数学压轴题专集——一元二次方程1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．解：（1）∵AB、AC方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根∴AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k2＋3k＋2∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5∴AB2＋AC2＝BC2，(AB＋AC)－2AB·AC＝25即(2k＋3)2－2(k2＋3k＋2)＝25∴k2＋3k－10＝0，∴k1＝－5，k,2＝2当k＝－5时，方程为x2＋7x＋12＝0，解得x1＝－3，x2＝－4（均不合题意，舍去）当k＝2时，方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形（2）若△ABC是等腰三角形，则有①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况∵△＝(2k＋3)2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0∴AB≠AC，故第①种情况不成立∴当AB＝BC或AC＝BC时，5是方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的根∴52－5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0即k2－7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4当k＝3时，方程为x2－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5此时△ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14当k＝4时，方程为x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6此时△ABC的三边长分别为5、5、6，周长为162．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根．（1）求m的值；（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．解：（1）∵关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根∴△＝4(a＋b)2－4(c2＋2ab)＝0，即a2＋b2＝c2∴△ABC是直角三角形∵sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根∴sin A＋sin B＝2m－5m＋5，sin A·sin B＝m－8m＋5∵在Rt△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2A＋cos2A＝1 ∴(sin A＋sin B)2－2sin A·sin B＝1即(2m－5m＋5)2－2×m－8m＋5＝1∴m2－24m＋80＝0，解得m1＝4，m2＝20当m＝4时，方程为9x2－3x－4＝0，解得x1＝3＋15318，x2＝3－15318＜0∵在Rt△ABC中，sin A＞0，sin B＞0 ∴m＝4不合题意，舍去当m＝20时，方程为25x2－35x＋12＝0，解得x1＝35，x2＝45，符合题意∴m＝20（2）∵△ABC的外接圆面积为25π∴外接圆半径为5，∴c＝10由（1）知，sin A＝35或sin A＝45∴△ABC的两条直角边长分别为6，8 设△ABC的内接正方形的边长为t①若正方形的两边在△ABC的两直角边上，则8－t8＝t6解得t＝24 7②若正方形的一条边在△ABC的斜边上，易得斜边上的高为245，则t10＝245－t245解得t＝120 373．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；（2）求证：α≤1≤β；（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（12，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．ABCttA BCttt（1）解：∵α、β为方程x2－(m ＋n ＋1)x ＋m ＝0（n ≥0）的两个实数根∴△＝(m ＋n ＋1)2－4m ＝(m ＋n －1)2＋4n ≥0，且α＋β＝m ＋n ＋1，αβ＝m∴m ＝αβ，n ＝α＋β－m －1＝α＋β－αβ－1 ··················································· 2分（2）证明：∵(1－α)(1－β)＝1－(α＋β)＋αβ＝－n ≤0（n ≥0），又α≤β∴α≤1≤β ································································································ 4分（3）解：要使m ＋n ＝54成立，只需α＋β＝m ＋n ＋1＝94①当点P （α，β）在BC 边上运动时由B （1 2，1），C （1，1），得12α≤1，β＝1而α＝94－β＝9 4－1＝54＞1 ∴在BC 边上不存在满足条件的点 ···························································· 6分 ②当点P （α，β）在AC 边上运动时 由A （1，2），C （1，1），得α＝1，1≤β≤2 此时β＝94－α＝9 4－1＝5 4，又∵1＜54＜2 ∴在AC 边上存在满足条件的点，其坐标为（1，54）································· 8分③当点P （α，β）在AB 边上运动时由A （1，2），B （1 2，1），得12≤α≤1，1≤β≤2由对应线段成比例得1－α1－1 2＝2－β2－1β＝2α 由 ⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝9 4β＝2α解得α＝ 3 4 ，β＝3 2又∵1 2＜3 4＜1，1＜3 2＜2∴在AB 边上存在满足条件的点，其坐标为（3 4，3 2）综上所述，当点点P （α，β）在△ABC 的三条边上运动时，存在点（1，54）和点（3 4，3 2 ），使m ＋n ＝5 4成立 ·······························································10分4．请阅读下列材料：问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y2．把x＝y2代入已知方程，得(y2)2＋y2－1＝0．化简，得y2＋2y－4＝0．故所求方程为y2＋2y－4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；（2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．解：（1）y2－y－2＝0 ··································································································· 2分（2）设所求方程的根为y，则y＝1x（x≠0），于是x＝1y（y≠0） ····················· 3分把x＝1y代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a(1y)2＋b·1y＋c＝0 ·························· 4分去分母，得a＋b y＋c y2＝0 ········································································ 5分若c＝0，有ax2＋bx＝0，于是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意∴c≠0，故所求方程为c y2＋b y＋a＝0（c≠0）··········································· 6分5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－a2－a＝0（a＞0）．（1）证明这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；（2）如果当a＝1，2，3，…，2011时，对应的一元二次方程的两个根分别为α1、β1，α2、β2，α3、β3，…，α2011、β2011，求1α 1＋1β 1＋1α2＋1β 2＋1α3＋1β 3＋…＋1α2011＋1β2011的值．6．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．解：（1）∵方程有实数根，∴△＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)≥0∴a2＋b2＋c2－2ab －2bc －2ca ≥0∴a (a －b －c )－b (a ＋c －b )－c (a ＋b －c )≥0∴0≤a (a －b －c )－b (a ＋c －b )－c (a ＋b －c )＜a (a －b －c ) ∵a ＞0，∴a －b －c ＞0，即a ＞b ＋c∴a ，b ，c 不能构成一个三角形的三边长 ·············································· 4分 （2）设y ＝x2－(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca则当x ＝b ＋c 时，y ＝bc ＞0；当x ＝a 时，y ＝bc ＞0函数y ＝x2－(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca 图象的顶点坐标为（a ＋b ＋c 2，－△ 4当x ＝a ＋b ＋c 2 时，y ＝－△4≤0 由（1）知a ＞b ＋c ，∴b ＋c ＜a ＋b ＋c2＜a ∴方程的实数根在b ＋c 与a 之间，即b ＋c ＜x 0＜a ································ 7分 （3）∵方程x2－(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ＝0的实数根为6和9∴a ＋b ＋c ＝6＋9＝15，ab ＋bc ＋ca ＝6×9＝54∴a2＋b2＋c2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ca )＝152－2×54＝117＜112由（2）知a ＞9，∴92＜a2＜112∵a 为正整数，∴a ＝10 ········································································ 8分 ∴b ＋c ＝5，∴10b ＋bc ＋10c ＝54 ∴bc ＝54－10(b ＋c )＝54－10×5＝4由b ＋c ＝5，bc ＝4及b ＞c ，解得b ＝4，c ＝1 ······································10分7．已知方程x 2＋2ax ＋a －4＝0有两个不同的实数根，方程x 2＋2ax ＋k ＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x 2＋2ax ＋a －4＝0的两根之间，求k 的取值范围．解：∵方程x2＋2ax ＋a －4＝0有两个不同的实数根∴△1＞0，而△1＝4a2－4(a －4)＝4(a －1 2)2＋15≥15 ···································· 1分又∵方程x2＋2ax ＋k ＝0也有两个不同的实数根∴△2＝4a2－4k ＞0，即k＜a2······································································ 3分对于二次函数y 1＝x2＋2ax ＋a －4和y 2＝x2＋2ax ＋k ，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同的交点∵y 2与x 轴的两个交点都在y 1与x 轴的两个交点之间∴y 2与y 轴的交点在y 1与y 轴的交点上方，如图 ········································· 4分 ∴k＞a －4 ···································································································· 5分∴k 的取值范围是：a －4＜k＜a2·································································· 6分8．已知关于x 的方程x 2－4|x |＋3＝k ．（1）当k 为何值时，方程有4个互不相等的实数根？（2）当k 为何值时，方程有3个互不相等的实数根？ （3）当k 为何值时，方程有2个互不相等的实数根？（4）是否存在实数k ，使得方程只有1个实数根？若存在，求k 的值和方程的根；若不存在，请说明理由．解：（1）令t ＝|x |，则原方程化为：t2－4t ＋3－k ＝0△＝(－4)2－4(3－k )＝4k ＋4 ·································································· 1分 要使原方程有四个互不相等的实数根，则方程t2－4t ＋3－k ＝0必须有两个不相等的实数根∴4k ＋4＞0，∴k＞－1 ·········································································· 2分同时t 1·t 2＝3－k＞0，∴k＜3 ································································ 3分∴当－1＜k＜3时，原方程有4个互不相等的实数根 ····························· 4分（2）要使原方程有3个互不相等的实数根，则方程t2－4t ＋3－k ＝0必须有一个零根和一个正根∴4k ＋4＞0，∴k＞－1 ·········································································· 5分同时t 1·t 2＝3－k ＝0，∴k ＝3 ································································· 6分 ∴当k ＝3时，原方程有3个互不相等的实数根 ····································· 7分 （3）要使原方程有2个互不相等的实数根，则方程t2－4t ＋3－k ＝0必须只有一个非零根∴4k ＋4＝0，∴k ＝－1 ··········································································· 8分 且当x ＝0时，3－k ≠0，即k ≠3 ··························································· 9分 ∴当k ＝－1时，原方程有2个互不相等的实数根 ·································10分（0（4）要使原方程只有1个实数根，则方程t2－4t ＋3－k ＝0必须有两个零根∴4k ＋4＝0，∴k ＝－1 ·········································································· 11分 同时t 1·t 2＝3－k ＝0，∴k ＝3 ································································12分 ∴不存在符合条件的k 值 ·····································································13分9．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0的两个非零实数根，则x 1与x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．解：∵关于x 的一元二次方程4x2＋4(m －1)x ＋m2＝0有两个非零实数根∴△＝[4(m －1)]2－4×4m2＝－32m ＋16≥0∴m ≤12又x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝14m2 当x ＋3＝0时，－m ＝0，m ＝0假设x 1，x 2能同号，则有以下两种可能： ①若x 1＞0，x 2＞0，则：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞01 4m2＞0 解得m ＜1且m ≠0 此时m 的取值范围是m ≤12且m ≠0②若x 1＜0，x 2＜0，则：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＜0x 1x 2＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜01 4m2＞0解得m ＞1（不合题意，舍去） 故当m ≤12且m ≠0时，方程的两个实数根同号10．已知α、β为关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根，且(α－β)2＝16，如果关于x 的另一个方程x 2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在α和β之间，求m 的值．解：∵α、β为方程x2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根∴α＋β＝2m ，αβ＝3m∵(α－β)2＝16，∴(α＋β)2－4αβ＝16 ∴4m2－12m ＝16，解得m 1＝－1，m 2＝4方法一：①当m 1＝－1时方程x2－2mx ＋3m ＝0化为：x2＋2x －3＝0，解得：α＝－3，β＝1方程x2－2mx ＋6m －9＝0化为：x2＋2x －15＝0，解得：x 1＝－5，x 2＝3∵－5和3都不在－3和1之间，∴m ＝－1不合题意，舍去 ②当m ＝4时方程x2－2mx ＋3m ＝0化为：x2－8x ＋12＝0，解得：α＝2，β＝6方程x2－2mx ＋6m －9＝0化为：x2－8x ＋15＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5∵3和5都在2和6之间，∴m ＝4 综合①②可得m ＝4 方法二：设y ＝x2－2mx ＋6m －9，则该函数的图象为开口向上的抛物线∵方程x2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在α和β之间∴⎩⎨⎧α2－2m α＋6m －9＞0β2－2m β＋6m －9＞0两式相加得α2＋β2－2m (α＋β)＋12m －18＞0 即(α＋β)2－2αβ－2m (α＋β)＋12m －18＞0 ∴4m2－6m －4m2＋12m －18＞0，∴m ＞3∴m ＝411．已知a 为实数，且关于x 的二次方程ax 2＋(a 2＋1)x －a ＝0的两个实数根都小于1，求这两个实数根的最大值．解：∵a 为实数，∴关于a 的二次方程xa2＋(x2－1)a ＋x ＝0有实数根∴△＝(x2－1)2－4x2≥0，即x4－6x2＋1≥0解得x2≤3－22或x2≥3＋2 2由x2≤3－22得1－2≤x ≤2－1∵2－1＜1，∴1－2≤x ≤2－1 由x2≥3＋22得x ≤－2－1或x ≥2＋1∵2＋1＞1，∴x ≥2＋1不合题意，舍去 综上所述，这两个实数根的最大值为2－112．求实数a 的取值范围，使关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0 （1）有两个实根x 1、x 2，且满足0＜x 1＜1＜x 2＜4； （2）至少有一个正根．解：（1）设y ＝x2＋2(a －1)x ＋2a ＋6∵0＜x 1＜1＜x 2＜4∴△＝4(a －1)2－4(2a ＋6)＞0，∴a ＜－1或a ＞5且当x ＝0时，y ＞0，即2a ＋6＞0，∴a ＞－3当x ＝1时，y ＜0，即1＋2(a －1)＋2a ＋6＜0，∴a ＜－54当x ＝4时，y ＞0，即16＋8(a －1)＋2a ＋6＞0，∴a ＞－75综上，－7 5 ＜a ＜－54············································································· 5分（2）∵x2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0∴x 1＋x 2＝2(1－a )，x 1x 2＝2a ＋6△＝4(a －1)2－4(2a ＋6)≥0，∴a ≤－1或a ≥5若方程有一个正根，则2a ＋6≤0，∴a ≤－3 若方程有两个正根，则⎩⎪⎨⎪⎧2(1－a )＞02a ＋6＞0，∴－3＜a ＜1综上，a ≤－110分13．已知x 1、x 2是方程x 2－mx －1＝0的两个实数根，满足x 1＜x 2，且x 2≥2．（1）求m 的取值范围；（2）若 x 2＋m x 1－m ＋ x 1＋mx 2－m＝2，求m 的值．解：（1）∵x2－mx －1＝0的两个实数根满足x 1＜x 2∴x 1＝m －m2＋4 2，x 2＝m ＋m2＋42∵x 2≥2，∴m ＋m2＋42≥2解得m ≥32··························································································· 4分（2）∵x2－mx －1＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－1∵x 2＋mx 1－m＋x 1＋mx 2－m＝x 12＋x 22－2m 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m2(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m2＝m2＋2－2m2－1－m2＋m2 ＝m2－2x 2＋mx 1－m＋x 1＋mx 2－m＝2 ∴m2－2＝2，∴m ＝±2 ········································································· 8分14．已知关于x 的方程x 2－(m －2)x －m24＝0（m ≠0）（1）求证：这个方程总有两个异号实根；（2）若这个方程的两个实根x 1、x 2满足| x 2|＝| x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1、x 2．（1）证明：∵△＝(m －2)2－4×(－m24)＝(m －2)2＋m2＞0∴原方程总有两个不相等的实根 又∵x 1x 2＝－m24，m ≠0，∴x 1x 2＜0，∴x 1、x 2异号∴原方程总有两个异号实根 ······························································· 3分（2）解：∵x 1、x 2异号，若x 1＜0＜x 2则由已知|x 2|＝|x 1|＋2，得x 2＝－x 1＋2∴x 1＋x 2＝2，即m －2＝2 ∴m ＝4将m ＝4代入原方程并整理，得x2－2x －4＝0解得x 1＝1－5，x 2＝1＋5若x 2＜0＜x 1，则由已知|x 2|＝|x 1|＋2，得－x 2＝x 1＋2∴x 1＋x 2＝－2，即m －2＝－2 ∴m ＝0（与题设m ≠0矛盾，舍去）综上所述，m ＝4，x 1＝1－5，x 2＝1＋5 ········································10分15．已知△ABC 的一边长为5，另两边长恰是方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，求m 的取值范围．解：设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝5∵另两边长恰是方程2x2－12x ＋m ＝0的两个根∴△＝144－8m ≥0，得m ≤18由根与系数的关系，得b ＋c ＝6＞a ，bc ＝m2＞0，即m ＞0 由三角形三边关系，得b －c ＜a ∴(b －c )2＜a2，即(b ＋c )2－4bc ＜a2∴36－2m ＜25，得m ＞112综上，112＜m ≤1816．已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根，设s 1＝α＋β，s 2＝α 2＋β 2，…，s n ＝α n ＋β n ．根据根的定义，有α 2－α－1＝0，β 2－β－1＝0，将两式相加，得(α 2＋β 2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s 2－s 1－2＝0．根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s1，s2的值；（2）猜想：当n≥3时，s n，s n-1，s n-2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（2）中的猜想，求(1＋52)8＋(1－52)8的值．解：（1）移项，得x2－x＝1配方，得x2－2×x×12＋(12)2＝1＋(12)2即(x－12)2＝54开平方，得x－12＝±52，即x＝1±52∵α＞β，∴α＝1＋52，β＝1－52·························································· 3分于是s1＝α＋β＝1，s2＝s1＋2＝3 ······························································ 5分（2）猜想：s n＝s n-1＋s n-2················································································· 6分证明：根据根的定义，有α2－α－1＝0两边都乘以αn-2，得αn－αn-1－αn-2＝0 ①同理，βn－βn-1－βn-2＝0 ②①＋②，得(αn＋βn)－(αn-1＋βn-1)－(αn-2＋βn-2)＝0∵s n＝αn＋βn，s n-1＝αn-1＋βn-1，s n-2＝αn-2＋βn-2∴s n－s n-1－s n-2＝0，即s n＝s n-1＋s n-2 ························································10分（3）由（1）知，s1＝1，s2＝3由（2）中的关系式可得：s3＝s2＋s1＝4，s4＝s3＋s2＝7，s5＝s4＋s3＝11，s6＝s5＋s4＝18s7＝s6＋s5＝29，s8＝s7＋s6＝47即(1＋52)8＋(1－52)8＝47 ································································12分17．已知方程(x－1)(x2－2x＋m)＝0的三个实数根恰好构成△ABC的三条边长．（1）求实数m的取值范围；（2）当△ABC为直角三角形时，求m的值和△ABC的面积．解：（1）由已知x1＝1，设另两根为x2，x3，且x2≤x3则x2＋x3＝2，x2x3＝m∵x3－x2＜x1，∴(x3－x2)2＝(x3＋x2)2－4x2x3＝4－4m＜1解得m＞3 4又∵△＝(－2)2－4m ≥0，∴m ≤1∴34＜m ≤1 ··························································································· 4分 （2）若Rt △ABC 的一条直角边长为1则x 22＋1＝x 32，即x 32－x 22＝1，∴(x 3＋x 2)(x 3－x 2)＝1 ∴24－4m ＝1，∴m ＝1516····································································· 6分 由x2－2x ＋1516＝0，解得x 2＝34，x 3＝54∴S △ABC＝12×1×x 2＝12 m ＝34······························································ 7分 若Rt △ABC 的斜边长为1则x 22＋x 32＝1，即(x 2＋x 3)2－2x 2x 3＝1 ∴22－2m ＝1，∴m ＝32（不合题意，舍去） ············································ 8分 所以当△ABC 为直角三角形时，m ＝1516，△ABC 的面积为34。
2013年全国中考数学试题分类解析汇编专题9一元二次方程修改
2013年全国中考数学试题分类解析汇编 专题：一元二次方程一、选择题1. （2012天津市3分）若关于x 的一元二次方程（x －2）（x －3）=m 有实数根x 1,x 2，且x 1≠x 2，有下列结论：①x 1=2，x 2=3； ②1m 4>-；③二次函数y=（x －x 1）（x －x 2）＋m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）32. （2012广东佛山3分）用配方法解一元二次方程x 2－2x －3=0时，方程变形正确的是【 】 A ．（x －1）2=2 B ．（x －1）2=4 C ．（x －1）2=1 D ．（x －1）2=75. （2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】 A ．－2 B ．2 C ．3 D ．16. （2012湖北荆门3分）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【 】 A ．（x ﹣1）2=4 B ．（x+1）2=4 C ．（x ﹣1）2=16 D ．（x+1）2=167. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为【 】 A ．3 B ．﹣3 C ．13 D ．﹣139. （2012湖北襄阳3分）如果关于x 的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】 A ．k ＜12 B ．k ＜12且k≠0 C ．﹣12≤k＜12 D ．﹣12≤k＜12且k≠010. （2012湖南常德3分）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是【 】 A. m 1≤- B. m 1≤ C. m 4≤ D.m 12≤11. （2012湖南株洲3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为【 】 A ．b=﹣1，c=2 B ．b=1，c=﹣2 C ．b=1，c=2 D ．b=﹣1，c=﹣212. （2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为【 】 A ． ﹣3B ． 3C ． ﹣6D ． 613. （2012四川广安3分）已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是【 】 A ．a ＞2 B ．a ＜2 C ．a ＜2且a≠l D．a ＜﹣214. （2012四川泸州2分）若关于x 的一元二次方程x 2－4x + 2k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是【 】A 、k≥2B 、k≤2C 、k ＞-2D 、k ＜-215. （2012四川南充3分）方程x （x-2）+x-2=0的解是【 】 （A ）2 （B ）-2,1 （C ）－1 （D ）2,－1 16. （2012贵州安顺3分）已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是【 】 A ． 1B ． ﹣1C ． 0D ． 无法确定17. （2012山东东营3分）方程()21k 1x =04-有两个实数根，则k 的取值范围是【 】．A ． k≥1B ． k≤1 C． k>1D ． k<118. （2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】 A ．9 B ．±3 C．3 D ．520. （2012山东日照4分）已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 (A) k>34且k≠2 (B)k≥34且k ≠2 (C) k >43且k≠2 (D)k≥43且k≠2 21. （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】 A ．x 2+2x ﹣4=0 B ．x 2﹣4x+4=0 C ．x 2+4x+10=0 D ．x 2+4x ﹣5=0 23. （2012广西河池3分）一元二次方程2x 2x 20++=的根的情况是【 】A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根29. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是【 】 A ．a=﹣3，b=1 B ．a=3，b=1 C ．3a=2-，b=﹣1D ．3a=2-，b=130. （2012内蒙古包头3分）关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【 】 A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7 二、填空题1. （2012北京市4分）若关于x 的方程2x 2x m=0--有两个相等的实数根，则m 的值是 ．2. （2012上海市4分）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是 ． 5. （2012江苏常州2分）已知关于x 的方程22x mx 6=0--的一个根是2，则m= ，另一根为 。
2013年全国各地中考数学-一元二次方程
2013年中考数学一元二次方程试题分类精编1、（2013•郴州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 ．2、（2013，娄底）已知：一元二次方程021212=-++k kx x . （1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设0<k ，当二次函数21212-++=k kx x y 的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，求此二次函数的解析式；3.方程x 2﹣9x +18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．4、（2004•广东）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．5、（2013•达州）若方程2360x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）6.（2013。
成都）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？7、（2013•乐山）已知一元二次方程x 2－(2k +1)x +k 2+k =0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5.当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.8、（2013•泸州）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A .1k >-B .1k <且0k ≠C . 1k ≥-且0k ≠D . 1k >-且0k ≠9、（2013•泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A .5 B .－5 C .1 D .－110、（2013•眉山）已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)=______11、（2013•绵阳）已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x的方程280x -+=，则△ABC的周长是 。
(全国120套)2013年中考数学试卷分类汇编(打包53套)
代数综合2、（2013•攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．，解得PN•OA=×3（﹣x2﹣3x）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，t+4 t=）﹣，﹣，﹣3、（2013达州压轴题）如图，在直角体系中，直线AB 交x 轴于点A （5，0），交y 轴于点B ，AO 是⊙M 的直径，其半圆交AB 于点C ，且AC=3。
取BO 的中点D ，连接CD 、MD 和OC 。
（1）求证：CD 是⊙M 的切线；（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A ，其对称轴上有一动点P ，连接PD 、PM ，求△PDM 的周长最小时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点Q ，使16QAMPDMSS=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）证明：连结CM. ∵OA 为⊙M 直径, ∴∠OCA=90°. ∴∠OCB=90°. ∵D 为OB 中点, ∴DC=DO.∴∠DCO=∠DOC.………………………(1分） ∵MO=MC,∴∠MCO=∠MOC.………………………(2分）∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3分） 又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线.………………………(4分） （2）解：在Rt △ACO 中,有OC=22AC OA -.又∵A 点坐标（5，0）, AC=3, ∴OC=2235-=4. ∴tan ∠OAC=OAOB ACOC =.∴534OB =.解得 OB=320. 又∵D 为OB 中点，∴OD=310.D 点坐标为（0，310).………………………(5分）连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b,则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=.05,310b k b j 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.32,310k b ∴直线AD 为y=-32x+310. ∵二次函数的图象过M （25,0)、A(5,0)，∴抛物线对称轴x=415.………………………(6分）∵点M 、A 关于直线x=415对称，设直线AD 与直线x=415交于点P,∴PD+PM 为最小. 又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=415的交点.………………………(7分）当x=415时,y=-32⨯415+310=65.故P 点的坐标为（415，65）.………………………(8分）（3）解：存在. ∵S △PDM =S △DAM -S △PAM =21AM ·y D -21AM ·y P =21AM(y D -y p ). S △QAM =21AM ·Q y ,由（2）知D （0，310),P(415，65）,∴61×（310-65）=y Q 解得y Q =±125………………………(9分） ∵二次函数的图像过M(0，25)、A(5，0），∴设二次函数解析式为y=a(x-25)（x-5).又∵该图象过点D （0，310)，a ×(-25）×(-5)=310，a=154.∴y=154(x-25)(x-5).………………………(10分） 又∵C 点在抛物线上，且y Q =±125，∴154(x-25)(x-5)=±125.解之，得x 1=42515+，x 2=42515-，x 3=415.∴点Q 的坐标为（42515+，125)，或（42515-，125)，或（415，-125）.…………(12分）4、（2013•天津压轴题）已知抛物线y 1=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是直线l ，顶点为点M ．若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示： （Ⅰ）求y 1与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）若经过点T （0，t ）作垂直于y 轴的直线l′，A 为直线l′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记P （x ，y 2）． （1）求y 2与x 之间的函数关系式；12t 的取值范围．0 ）得出，）＞，＞＜也符合题意．）．+bx++bx+上，∴，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=﹣x2+x+；（II）∵y1=﹣x2+x+，∴y1=﹣（x﹣1）2+3，（+ x x+，x﹣x+，，y1﹣y2=﹣（x﹣1）+3﹣[（x﹣1）+]=（x﹣1）2+，若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y=（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在轴下方，∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t＞，符合题意；＜t=t≥5、(2013年江西省压轴题)已知抛物线抛物线y n=-(x-a n)2+a n（n为正整数，且0<a1<a2<…<a n）与x轴的交点为A n-1（b n-1,0）和A n(b n，0)，当n=1时，第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（，）；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为（，）;所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是；（3）探究下列结论：①若用A n-1A n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出A n-1A n；②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―a12+ a1=0，∴a1=0或1．由已知可知a1>0，∴a1=1．即y1=―(x―1)2+1方法一：令y1=0代入得：―(x―1)2+1=0，∴x1=0，x2=2，∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）∴b1=2，方法二：∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―(b1―1)2+1=0，b1=2或0，b1=0（舍去）．∴b1=2．又∵抛物线y2=―(x―a2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），∴―(2―a2)2+ a2=0，∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）．∴取a2=4，抛物线y2=―(x―4)2+4．（2）（9，9）；（n2，n2）y=x．详解如下：∵抛物线y2=―(x―4)2+4令y2=0代入得：―(x―4)2+4=0，∴x1=2，x2=6．∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）．又∵抛物线y3=―(x―a3)2+a3与x轴交于A2（6，0），∴―(6―a3)2+a3=0∴a3=4或9，∵a3> a3，∴a3=4（舍去），即a3=9，∴抛物线y3的顶点坐标为（9，9）．由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线y n的顶点坐标为（n2，n2）．∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；③∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0A1=2．又∵y n=―(x―n2)2+n2，令y n =0，∴―(x ―n 2)2+n 2=0，即x 1=n 2+n ，x 2=n 2－n ，∴A n －1(n 2－n ，0)，A n (n 2+n ，0)，即A n －1 A n =( n 2+n )－( n 2－n )=2 n ． ②存在．是平行于直线y =x 且过A 1（2，0）的直线，其表达式为y =x －2．【考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界．【解题思路】 （1）将A 0坐标代入y 1的解析式可求得a 1的值；a 1的值知道了y 1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b 1的值，又把（b 1，0）代入y 2，可求出a 2 ，即得y 2的解析式；（2）用同样的方法可求得a 3 、a 4 、a 5 ……由此得到规律2n a n =，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y = x ；（3）由（2）可知0112232,4,6A A A A A A ===得12n n A A n -=; 最后一问我们会猜测这是与直线y =x 平行且过A （2，0）的一条直线，用特殊值法取2(4)4,2y x y x ⎧=--+⎨=-⎩得112,0x y =⎧⎨=⎩和225,3x y =⎧⎨=⎩，得所截得的线段长度为试试，求出的值也为222(),2y x n n y x ⎧=--+⎨=-⎩得21211,1x n y n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩和22222,4x n y n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，求得所截得的线段长度也为. 【解答过程】 略.【方法规律】 掌握基础（知识），灵活运用（方法），敢于动手，不畏艰难.【关键词】二次函数 抛物线 规律探究6、(2013年武汉压轴题)如图，点P 是直线l ：22--=x y 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A 、B 两点． （1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A 、B 两点的坐标；（2）①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA ＝AB成立．（3）设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标．（1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.,23212x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=492311y x ，⎩⎨⎧==1122y x ∴A （23-，49），B （1，1）．（2）①A 1（－1，1），A 2（－3，9）．②过点P 、B 分别作过点A 且平行于x 轴的直线的垂线，垂足分别为G 、H.设P （a ，22--a ），A （m ，2m ），∵PA ＝PB ，∴△PAG ≌△BAH ， ∴AG ＝AH ，PG ＝BH ，∴B （a m -2，2222++a m ），将点B 坐标代入抛物线2x y =，得0224222=--+-a a am m ， ∵△＝()()081816168228162222>++=++=---a a a a a a∴无论a 为何值时，关于m 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的 点P ，抛物线上总能找到两个满足条件的点A ．（3）设直线m ：()0≠+=k b kx y 交y 轴于D ，设A （m ，2m ），B （n ，2n ）．过A 、B 两点分别作AG 、BH 垂直x 轴于G 、H ． ∵△AOB 的外心在AB 上，∴∠AOB ＝90°， 由△AGO ∽△OHB ，得BHOH OGAG =，∴1-=mn ．联立⎩⎨⎧=+=2xy b kx y 得02=--b kx x ，依题意，得m 、n 是方程02=--b kx x 的两根，∴b mn -=，∴1-=b ，即D （0，1）． ∵∠BPC ＝∠OCP ，∴DP ＝DC ＝3．P设P （a ，22--a ），过点P 作PQ ⊥y 轴于Q ，在Rt △PDQ 中，222PD DQ PQ =+，∴()2223122=---+a a ．∴01=a （舍去），5122-=a ，∴P （512-，514）．∵PN 平分∠MNQ ，∴PT ＝NT ，∴()t tt -=+-22212，7、（2013•内江压轴题）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B（x 2，0）（x 1＜x 2）两点，与y 轴交于点C ，x 1，x 2是方程x 2+4x ﹣5=0的两根． （1）若抛物线的顶点为D ，求S △ABC ：S △ACD 的值； （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．线的解析式．解答：解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．，（=﹣﹣），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）），﹣∵y=﹣x﹣x=﹣（x+1）+，∴抛物线的对称轴为x=﹣1．∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO；∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA，△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．设直线AB的解析式为y=kx+t，则有：，解得：﹣，﹣）﹣+y（x+（﹣x+x x+（﹣×+，的坐标为（﹣，）9、（2013聊城压轴题）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．考点：二次函数综合题．分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值；（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．解答：解：（1）由题意，得y==﹣x2+10x，当y=48时，﹣ x2+10x=48，解得：x1=12，x2=8，∴面积为48时BC的长为12或8；（2）∵y=﹣x2+10x，∴y=﹣（x﹣10）2+50，∴当x=10时，y最大=50；（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB，∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：△ABC的周长=AB+AC+BC=AB′+AC+BC ＞B′C+BC，当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；这时由作法可知：BB′=20，∴B′C==10，∴△ABC的周长=10+10，因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10．点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键．10、（2013•苏州压轴题）如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b= +c ，点B的横坐标为﹣2c （上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PB C 的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有11 个．b=，即xx+c y=y=x+；解方程组x+cy=﹣，﹣x﹣2），则点F坐标为（x，x﹣2），PF=PG﹣GF=﹣x2+2x，S=PF•OB=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5；②由0＜S＜5，S为整数，得出S=1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜＜0时，根据△PBC中BC边上的高h小于△ABC中BC边上的高AC=，得出满足条件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜4时，由于S=﹣x2+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC共有7个；则满足条件的△PBC共有4+7=11个．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣1，0），×（﹣+cxx=y=，x+cx+m×（﹣，y=x+由，解得，，∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），∴直线CD的解析式为y=﹣x+c．∵C，D，E三点在同一直线上，∴1﹣c=﹣×（1﹣2c）+c，（与+c=﹣x x，﹣y=x=，﹣（﹣x x=PF•OB=（﹣x∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC边上的高AC=．∵S=BC•h，∴h===S．如果S=1，那么h=×1=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；如果S=2，那么h=×2=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；如果S=3，那么h=×3=＜，此时P点有1个，△PBC有1个；h=×4=，此时故答案为11、（2013•宜昌压轴题）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A （t，4），k= （k＞0）；（2）随着三角板的滑动，当a=时：①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=的图象上；②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．横坐标是+4t+4=，其顶点坐标为（，﹣）y=×=，y=②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．∵AC⊥x轴，∴AC∥EK．∵点E是线段AB的中点，∴K为BC的中点，∴EK是△ACB的中位线，∴EK=AC=2，CK=BC=2，∴E（t+2，2）．∵点E在抛物线y=x（x﹣t）上，，则x=的横坐标是+t+t12、（2013•黄冈压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．的解析式，得出，），，x+∴△OPQ的高为：OQ×sin60°=（4﹣t）×，又∵OP=2t，∴S=×2t×（4﹣t）×=﹣（t2﹣4t）（2≤t≤3）；（3）根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ=，x﹣x，，y=﹣，（1﹣t）×=3﹣t﹣2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，即M在直线PQ上；当2＜t≤3时，OQ=4﹣t，∠QOP=60°，∴Q（，），代入上式得：×（1﹣t）=﹣2t，（均不合题意，舍去）（2013•荆门压轴题）已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1 13、的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．，角形，根据勾股定理得出AB=AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）当k=1，m为任何值时，联立，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，同（1）可求出AB=；（3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由，得A（﹣时，联立1，则为任意实数时，联立AC=|x；AB=AB=AC=|x；由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，AC=|x，+2k14、（2013•黔东南州压轴题）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P 在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．15、（13年北京7分23）在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 。
全国名校中考数学模拟试卷分类汇编9一元二次方程
一元二次方程一、选择题一、（2013江苏射阴特庸中学）一元二次方程x (x -2)=2-x 的根是( )A ．-1B ．2C ．1和2D ．-1和2答案：D二、(2013·吉林中考模拟)某学校预备修建一个面积为200平方米的矩形花园，它的长比宽多10米，设花园的宽为x 米，则可列方程为（ ）A 、x (x －10)=200B 、2x +2(x －10)=200C 、x (x +10)=200D 、2x +2(x +10)=200答案：C3、( 深圳育才二中一摸)用配方式解方程2410x x ++=，配方后的方程是（ ）A ．2(2)3x += Ｂ．2(2)3x -= Ｃ．2(2)5x -= Ｄ．2(2)5x +=答案：A4、( 广西南丹中学一摸)关于x 的一元二次方程x 2－4x +k =0有两个相等的实数根,则k 的值是A ．2B ．－2C ．4D ．－4答案：C五、（ 上海市）若是关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是（A ）k B ）k <C ）k D ）k >答案：B二、填空题一、（2013吉林镇赉县一模）x =1是方程02=++n x x 的一个解，则方程的另一个解是 答案：-2二、（2013江苏射阴特庸中学）某校九年级学生毕业时，每一个同窗都将自己的相片向全班其他同窗各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x 名学生，依照题意，列出方程为 .答案：)02070(2070)1(2=--=-x x x x 或3、（2013江苏射阴特庸中学）已知关于x 的方程kx 2=2(1-k )x -k 有两个实数根，求k 的取值范围.答案：原方程可化为kx 2-2(1-k)x+k=0， b 2-4ac=4-8k ， ……2分∵方程有两个实数根，∴b 2-4ac ≥0，即4-8k ≥0，∴k ≤1/2. ……3分∵k ≠0，∴k 的取值范围是k ≤1/2，且k ≠0. ……4分4、（2013·温州市中考模拟）已知方程x 2－x －1=0有一根为m ，则m 2－m ＋2012的值为____.答案：2013五、（2013·湖州市中考模拟试卷8）已知关于x 的方程2220x x k -+=的一个根是1，则k = ．答案： 12 六、 ( 河北三摸)若关于x 的一元二次方程m x 2－3x ＋1=0有实数根，则m 的取值范围是 ．答案：049≠≤m m 且；三、解答题一、( 河北三摸)已知2是关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0的一个根，求a －2—a 2a ＋2的值． 答案：解：将x ＝2代入方程x 2－x ＋a ＝0中得，a ＝2－2，………………………3分当a ＝2－2时，a －2－a 2a ＋2＝a 2－4a ＋2－a 2a ＋2＝－4a ＋2＝－42＝－22.………………8分 二、（2013安徽芜湖一模）解方程：6)3)(1(=-+x x答案：（本小题满分8分） 1011+=x ，1012-=x3、（2013吉林镇赉县一模）某玩具店购进一种儿童玩具，打算每一个售价36元，能盈利80%，在销售中显现了滞销，于是前后两次降价，仍能盈利25%.（1）求这种玩具的进价；（2）求平均每次降价的百分率（精准到%）答案：4、（2013江苏东台实中）已知：关于x 的方程0)1(222=++-m x m x（1） 当m 取何值时，方程有两个实数根？ （2） 为m 选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.答案：（1）21-≥m （4分）（2） 答案不唯一，若m =0时，则2021==x x ， 五、（2013江苏射阴特庸中学）已知关于x 的方程kx 2=2(1-k )x -k 有两个实数根，求k 的取值范围.答案：原方程可化为kx 2-2(1-k)x+k=0， b 2-4ac=4-8k ， ……2分∵方程有两个实数根，∴b 2-4ac ≥0，即4-8k ≥0，∴k ≤1/2. ……3分∵k ≠0，∴k 的取值范围是k ≤1/2，且k ≠0. ……4分六、(2013·曲阜市实验中学中考模拟)如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部份恰好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米.现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？答案：解：设长方体箱子的宽为xm ，则长为（x+2）m ，依题意得：15)2(=+x x ……………………………2分解之,得:3,521=-=x x ……………………………4分宽为正数，因此x=3，长为5m.则原先长方形的铁皮宽为5m ，长为7m.费用：5×7×20=700（元）. ……………………………5分答：……. ……………………………6分7、（2013·湖州市中考模拟试卷1）已知关于x 的一元二次方程220x m x --=， （1）若x ＝ －1是那个方程的一个根，求m 的值和方程的另一根；（2）关于任意的实数m ，判定方程的根的情形，并说明理由．答案：解：（1）x ＝－1是方程①的一个根，因此1+m －2＝0 ………………‥‥1分解得m ＝1 (2)方程为x 2－x －2＝0， 解得 x 1＝－1， x 2＝2．因此方程的另一根为x ＝2 ……………………………‥4分 （2） ac b 42-＝m 2+8 …………………………‥5分 因为关于任意实数m ，m 2≥0 (6)因此m 2+8>0 ………………………‥‥7分因此关于任意的实数m ，方程①有两个不相等的实数根 ‥‥ (8)。
2013年全国各地中考模拟卷分类汇编：一元二次方程(含答案)
】
7、 4、 ． 关于 x 的一元二次方程 (a 1) x ax a 1 0 的一个根是 0， 则 a 的值为 （ C ） 第 2 题图 A．1 B. 0 C. －1 D. ± 1
2 2
8、 (2013 年广东省佛山市模拟 ) 根据下列表格中的对应值， •判断方程 ax2+bx+c=0 （a≠0， a， b，c 为常数）的根的个数是（ ）（模拟改编）
2 12．（2013 年上海闵行区二摸）用配方法解方程 x 4 x 1 0 时，配方后所得的方程是
）
B．－（C）1
（D）0
（A） ( x 2)2 3 ； （B） ( x 2)2 3 ； （C） ( x 2)2 1 ； （D） ( x 2)2 1 ． 答案：A 13．（2013 年上海浦东新区二摸）如果等腰三角形的两边长分别是方程 x 2 10 x 21 0 的 两根，那么它的周长为 （A）10； 答案：C
2013 年全国各地中考模拟卷分类汇编一元二次方程
一、选择题 1、（2013 年湖北荆州模拟题）方程 x（x－2）+x－2=0 的解是（ ▲ ） A．x=2 B．x=－2 或 1 C．x=－1 D．x=2 或－1
答案：Ｄ
2、（2013 年湖北荆州模拟题）方程 (k 1) x2 1 k x 是（ ▲ ）． A． k≥1 B． k≤1 C． k>1 D． k<1
1 0 有两个实数根，则 k 的取值范围 4
答案：Ｄ
3. （2013 年湖北荆州模拟题）用配方法解一元二次方程 x 2 4 x 5 时，此方程可变形为 （ ▲ ） A．
x 2
2013年历年名校初三数学中考模拟试卷分类一元一次不等式组的应用及答案
一元一次不等式（组）的应用一、解答题1、 (2013年深圳育才二中一摸)某校为开展好阳光体育活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为x （个），购买两种球的总费用为y （元），请你写出y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？答案：（1）设购买排球x 个，购买篮球和排球的总费用y 元，则x x x y 608000)100(8020-=-+= ……………2分（2）设购买排球x 个，则篮球的个数是)100(x -，根据题意得：⎩⎨⎧≤-≥-66206080003100x x x ，解得：2523≤≤x ……………4分 ∵x 为整数，∴x 取23，24，25。
∴有3种购买方案： ………………5分当买排球23个时，篮球的个数是77个，当买排球24个时，篮球的个数是76个，当买排球25个时，篮球的个数是75个。
………………6分（3）∵x y 608000-=中060π-=k∴y 随x 的增大而减小 ………………7分又∵2523≤≤x∴采用买排球25个，篮球75个时更合算。
………………8分2、(2013年河南西华县王营中学一摸)某电脑经销商计划同时购进一批电脑音箱和液晶显示器，若购进电脑音箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑音箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．(1)每台电脑音箱、液晶显示器的进价各是多少元?(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过 22240元．根据市场行情，销售电脑音箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于 4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案? 哪种方案获利最大? 最大利润是多少?【答案】(1)设每台电脑音箱的进价是x 元，液晶显示器的进价是y 元，得1087000254120x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得60800x y =⎧⎨=⎩答：每台电脑音箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元(2)设购进电脑音箱x 台，得60800(50)2224010160(50)4100x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩，解得24≤x ≤26因x 是整数，所以x =24,25,26 利润10x +160(50－x )=8000－150x ，可见x 越小利润就越大，故x =24时利润最大为4400元答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑音箱，26台液晶显示器；②进25台电脑音箱，25台液晶显示器；③进26台电脑音箱，24台液晶显示器。
2013届中考数学模拟试题(含答案)
2013届中考数学模拟试题(含答案)一、选择题本大题共8小题，每小题3分，共24分.1．一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()A．-1B．2C．1和2D．-1和22．下列各式中，正确的是()A.(-3)2=-3B.-32=-3C.(±3)2=±3D.32=±33．如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为() A．2B．23C．4D．434．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根5．如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于()A．8B．4C．10D．56．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是()A．甲比乙的成绩稳定B．乙比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定谁的成绩更稳定7．已知二次函数的图象（-0.7≤x≤2）如右图所示.关于该函数在所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值1，有最大值2B．有最小值-1，有最大值1C．有最小值-1，有最大值2D．有最小值-1，无最大值8．如右图，正五边形ABCDE中，对角线AC、AD与BE分别相交于点N、M．下列结论错误的是()A．四边形NCDE是菱形B．四边形MNCD是等腰梯形C．△AEM与△CBN相似D．△AEN与△EDM全等二、填空题本大题共10小题，每小题3分，共30分.9．已知一组数据：4，-1，5，9，7，6，7，则这组数据的极差是. 10．如图，□ABCD中，∠A=120°，则∠1=°．11．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，则坡角∠A=°.12．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=°.13．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为.14．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE=.15．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD=30°，则sin∠BAD=.16．如图，在△ABC中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为cm2（结果保留π）．17．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是（写出一个值即可）．18．边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（结果保留π）．三、解答题19．（本题满分8分）（1）计算：(3+6)(2-1)-3tan30°-2cos45°. （2）已知关于x的方程kx2=2(1-k)x-k有两个实数根，求k的取值范围. 20．(本题满分8分)如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．21．（本题满分8分）某校初三所有学生参加2011年初中毕业英语口语、听力自动化考试，现从中随机抽取了部分学生的考试成绩，进行统计后分为A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如下的统计图.请你结合图中所提供的信息，解答下列问题：(说明：A级:25分～30分；B级:20分～24分；C级:15分～19分；D 级:15分以下)(1)请把条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中D级所占的百分比是；(3)扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是；(4)若该校初三共有850名学生，试估计该年级A级和B级的学生共约为多少人.22．（本题满分8分）在不透明的口袋中，有四只形状、大小、质地完全相同的小球，四只小球上分别标有数字12，2，4，-13.小明先从盒子里随机取出一只小球(不放回)，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标；再由小华随机取出一只小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的纵坐标.（1）用列表法或画树状图，表示所有这些点的坐标；（2）小刚为小明、小华两人设计了一个游戏：当上述（1）中的点在正比例函数y=x图象上方时小明获胜，否则小华获胜.你认为这个游戏公平吗？请说明理由.23.（本题满分10分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果精确到1mm）24．（本题满分10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A(-2，0)和点B，与y轴相交于点C，顶点D(1，-92).（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）求四边形ACDB的面积；（3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.25．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）当⊙O的半径为5，AC=2，BE=1时，求BP的长.26．（本题满分10分）某专买店购进一批新型计算器，每只进价12元，售价20元.多买优惠：凡一次买10只以上的,每多买一只,所买的全部计算器每只就降低0.10元.例如:某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此,所买的全部20只计算器都按每只19元的价格购买．设一次性购买计算器为x只,所获利润为y元．（1）若该专卖店在确保不亏本的前提下进行优惠销售，试求y与x（x ＞10）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若该专买店想获得200元的销售利润，又想让消费者多获得实惠，应将每只售价定为多少元？（3）某天，顾客甲买了42只新型计算器，顾客乙买了52只新型计算器，店主却发现卖42只赚的钱反而比卖52只赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？27.（本题满分12分）如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM=32，求AG、MN的长．28．（本题满分12分）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为,点B的对应点C的坐标为；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？九年级数学参考答案及评分说明一、选择题1～4DBCD5～8DBCC三、解答题19．（1）原式=3-3×33-2×22……3分=3-3-1=-1.……4分（2）原方程可化为kx2-2(1-k)x+k=0，b2-4ac=4-8k，……2分∵方程有两个实数根，∴b2-4ac≥0，即4-8k≥0，∴k≤1/2.……3分∵k≠0，∴k的取值范围是k≤1/2，且k≠0.……4分20.证：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分由BE=DF,得AF=CE,∴AF=CE,AF∥CE.……3分∴四边形AECF是平行四边形；……4分（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.……5分由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.……7分∴BE=AE=EC，BE=5.……8分21.(1)右图所示；……2分(2)10%；……4分(3)72°；……6分(4)561.……8分22.(1)用表格列出这些点所有可能出现的结果如下：……4分1/224-1/31/2(1/2,2)(1/2,4)(1/2,-1/3)2(2,1/2)(2,4)(2,-1/3)4(4,1/2)(4,2)(4,-1/3)-1/3(-1/3,1/2)(-1/3,2)(-1/3,4)(2)在正比例函数y=x图象上方的点有：(1/2,2)、(1/2,4)、(2,4)、(-1/3,1/2)、(-1/3,2)、(-1/3,4).……6分∴P(小明获胜)=1/2，P(小华获胜)=1/2.∴这个游戏是公平的.……8分23.解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．……2分∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠α=36°．根据题意，得BE=24mm,DF=48mm．……4分在Rt△ABE中，sinα=BE/AB，∴AB=BE/sin36°=40(mm).……6分在Rt△ADF中，cos∠ADF=DF/AD，∴AD=DF/COS36°=60(mm）．8分∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm)．……10分24.(1)设二次函数为y=a(x-1)2-9/2，……1分求得，a=1/2，……3分∴y=1/2(x-1)2-9/2．……4分(2)令y=0,得x1=-2，x2=4，∴B(4，0)，……6分令x=0,得y=-4,∴C(0，-4)，……7分S四边形ACDB=15.∴四边形ACDB的面积为15.……8分(3)如：向上平移9/2个单位,y=1/2(x-1)2;向上平移4个单位,y=1/2(x-1)2-1/2;向右平移2个单位,y=1/2(x-3)2-9/2;向左平移4个单位y=1/2(x+3)2-9/2.（写出一种情况即可）.……10分25.(1)直线BP和⊙O相切.……1分理由：连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°.……2分∵PF∥AC,∴BC⊥PF,则∠PBH+∠BPF=90°.……3分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分所以直线BP和⊙O相切.……5分(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分∴ACBE=BCBP,解得BP=2.即BP的长为2.……10分当x=50时，20-(50—10)×0.1=16(元),当x=40时，20-(40—10)×0.1=17(元).……6分∵16＜17，∴应将每只售价定为16元.……7分(3)y=-0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5．①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤90时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当x=42时，y1=201.6元，当x=52时，y2=197.6元．……9分∴y1＞y2．即出现了卖46只赚的钱比卖50只嫌的钱多的现象． (10)分27.(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分由AB=AD，得四边形ABCD是正方形.……3分(2)MN2=ND2+DH2.……4分理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°,∴∠NDH=90°,……6分再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分∴MN2=ND2+DH2.……8分(3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,由Rt△ECF，得(x-4)2+(x-6)2=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,设NH=y,由Rt△NHD,得y2=(92-y)2+(32)2,y=52,即MN=52.……12分28.(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分。
2013年全国名校初三模拟数学试卷分类汇编：40 实验应用型问题2013年全国名校初三模拟数学试卷分
实验应用型问题一、选择题1、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD =4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为____________.答案：4二、填空题1、如图所示，平面镜I 、II 的夹角是 15，光线从平面镜I 上O 点出发，照射到平面镜II 上的A 点，再经II 反射到B 点，再经C 点反射到D 点,接着沿原线路反射回去，则a ∠的大小为 度. 答案：452．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对()a b ，进入其中时，会得到一个新的实数：21a b ++．例如把(32)-，放入其中，就会得到23(2)18+-+=．现将实数对（m m 2,-）放入其中得到实数4，则m = ．答案：－1或3三、解答题1、在北京举行的2008年奥运会中，某校学生会为了了解全校同学喜欢收看奥运会比赛项目的情况，随机调查了若干名同学（每人只能选其中一项），根据调查结果制作了频数分布表和统计图。
请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）补全频数分布表和条形统计图；；（2）根据以上调查，试估计该校1800名学生中，最喜欢收看篮球比赛的人数．（3）根据统计图和统计表，谈谈你的想法。
．．．．．．．．．．．．．．．．．1题图ODCB AIII a15︒答案：解：（1）最喜欢收看的项目 频数（人数） 频率足球 12（2）最喜欢收看篮球比赛的人数=1800×25%，=450（人）；（3）因为喜欢看乒乓球的人数最多，所以在观看比赛时优先安排看乒乓球． 2．（本小题满分8分）如图，甲船从港口A 出发沿北偏东15°方向行驶，同时，乙船也从港口A 出发沿西北方向行驶。
若干小时之后，甲船位于点C 处，乙船位于港口B 的北偏东60°方向，距离岸边BD 10海里的P 处。
并且观测到此时点B 、P 、C 在同一条直线上。
2013中考数学试题分类汇编-一元二次方程
2013中考全国100份试卷分类汇编-一元二次方程1、（2013年潍坊市）已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）.A.当0=k 时，方程无解B.当1=k 时，方程有一个实数解C.当1-=k 时，方程有两个相等的实数解D.当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解答案：C ．考点:分类思想，一元一次方程与一元二次方程根的情况.点评：对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯一解，而一元二次方程根的情况由根的判别式确定.2、（2013•昆明）一元二次方程2x 2﹣5x+1=0的根的情况是（ ）3、（2013•新疆）方程x 2﹣5x=0的解是（ ）4、（2013达州）若方程2360x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）答案：B解析：因为方程有两个不相等的实数根，所以，△＝36－12m ＞0，得m ＜3，故选B 。
5、(2013年武汉)若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x 的值是（ ）A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案：B 解析：由韦达定理，知：12c x x a=＝－3。
6、（2013四川宜宾）若关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k =1D ．k ≥0考点：根的判别式．分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2﹣4ac 的值的符号就可以了． 解答：解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有两个不相等的实数根，a =1，b =2，c =k ，∴△=b 2﹣4ac =22﹣4×1×k ＞0，∴k ＜1，故选：A ．点评：此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7、(2013河南省)方程(2)(3)0x x -+=的解是【】（A ）2x = （B ）3x =- （C ）122,3x x =-= （D ）122,3x x ==-【解析】由题可知：20x -=或者30x +=，可以得到：122,3x x ==-【答案】D8、（2013•泸州）设x 1、x 2是方程x 2+3x ﹣3=0的两个实数根，则的值为（ ）=9、(2013浙江丽水)一元二次方程16)6(2=+x 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是46=+x ，则另一个一元一次方程是A. 46-=-x B . 46=-x C. 46=+x D. 46-=+x10、（2013•泸州）若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）11、（2013成都市）一元二次方程220x x +-=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根答案：A解析：因为△＝12－4×1×（－2）＝9＞0，所以，原方程有两个不相等的实数根。
2013 年中考数学模拟试卷参考答案
1 1 1 1 6( x 2) 2 x x(6 x) x 2 x 6 2 2 2 2 当 4 x 6 时，△EPQ 的面积等于梯形 ABPQ 的面积减去△AEQ 和△BEP 的面积 1 1 1 y 4( x 10 x) 2(10 x) 2 x 10 2 2 2 y
1 2
3 2
15． 4 3 3或4 3 3 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17(本题 6 分) 解：△= 62 4 7 8
16． 2 2 2或2 - 2 2
x1
6 8 6 8 3 2, x2 3 2 2 2
18（本题 9 分）
2013 年中考数学模拟试卷参考答案
一、选择题（每小题 2 分，共 12 分） 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 B 5 D 6 B
二、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7． 4 11．9.0 8．圆柱体（此题答案不唯一） 12．( 1,3 ) 9． 1或 1 13． 10. 6 14． m 1且m
4x 1 x 解不等式 3 4 x 6 x 6
得 3 x 1 满足条件的整数 a 的值为-2、-1、0、1 但由
a2 1 a 2 2a 1 1 知 a 1 a2 a a
a -1、0、1
所以满足条件的整数 a 的值只有-2
a2 1 a 2 2a 1 1 a 1 a2 a a (a 1) 2 1 (a 1)(a 1) a 1 a (a 1) a (a 1) 1 a 1 a (a 1) a 1 1 a 1 a a a 1 = 当a 2时，原式= 1
y1 950 250 x, y2 300( x 0.5)
2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：一元二次方程及其应用
【易错警示】运用根的判别式时，要先化为一般形式否则易出错吆！
7．（2013山东滨州，10，3分）对于任意实数k，关于x的方程程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为
【解析】A． ，∵b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；同理，在方程 ， ， 中，b2-4ac=-3＜0无实数根、b2-4ac=0有两个相等实数根、b2-4ac=-8＜0无实数根.
【方43;c=0中，需要把握根的存在三种情况：b2-4ac≥0，方程有实数根（两个或一个）；b2-4ac＜0，无实数根.
5.（2013四川泸州，10，2分）设 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则原式＝ ＝ ＝－5．故选B．
【方法指导】本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．
6.（2013福建福州，5，4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【答案】：C．
【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．：∵a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，∴△=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
2013年历年初三数学中考模拟题及答案
2013届中考模拟试题数 学一、仔细选一选（本大题有10小题，每小题3分，共30分。
请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1、下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）Ａ．2210x x +-= Ｂ．2x +22x+2=0Ｃ．210x += Ｄ．220x x -++=2、如图，将三角尺ABC （其中∠ABC ＝60°，∠C ＝90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°3、在成都市二环路在某段时间内的车流量为30.6万辆，用科学记数法表示为（） A ．430.610⨯辆 B ．33.0610⨯辆C ．43.0610⨯辆D ．53.0610⨯辆4、给出下列命题：（1）平行四边形的对角线互相平分； （2）对角线相等的四边形是矩形；（3）菱形的对角线互相垂直平分； （4）对角线互相垂直的四边形是菱形． 其中，真命题的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 5、下列各函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） ①1y x =-+． ②3y x=-（x < 0） ③21y x =+． ④23y x =- A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①③ 6、在△ABC 中，90C ∠=o，若4BC =，2sin 3A =，则AC 的长是（ ）Ａ．6Ｂ．Ｃ．Ｄ．7、若点A （－2，y 1）、B （－1，y 2）、C （1，y 3）在反比例函数xy 1-=的图像上，则（ ）_1_ A _1_ A（第13题图）Ａ． y 1＞y 2 ＞y 3 Ｂ．y 3＞ y 2 ＞y 1 Ｃ．y 2 ＞y 1 ＞y 3 Ｄ． y 1 ＞y 3＞ y 2 8、如图，EF 是圆O 的直径，5cm OE =，弦8cm MN =则E ，F 两点到直线MN 距离的和等于（ ） Ａ．12cm Ｂ．6cmＣ．8cm Ｄ．3cm9、若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为(0,3)-，则下列说法不正确的是（ ） Ａ．抛物线的开口向上 Ｂ．抛物线的对称轴是直线1x = Ｃ．当1x =时y 的最大值为4- Ｄ．抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-、(3,0) 10、反比例函数k y x=的图象如左图所示，那么二次函数221y kx k x =--的图象大致为 （ ）二、填空题：（每小题4分，共16分）11、2008年8月5日，奥运火炬在成都传递，其中8位火炬手所跑的路程（单位：米）如下：60，70，100，65，80，70，95，100，则这组数据的中位数是 ． 12、方程2(34)34x x -=-的根是 ．A ．Ｂ． Ｃ．D ．（第8题图）13、如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ．14、在Rt △ABC 中，90C ∠=o，D 为BC 上一点，30DAC ∠=o ，2BD =，AB =AC 的长是．三、（第15题每小题6分，第16题6分，共18分） 15、解答下列各题：（1）计算：323+—2）（-+2cos30°—23—（2）解方程：2430x x +-=．17、把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5、）洗匀后正面朝下放在桌面上。
2013年中考数学真题
2013年中考数学真题（方程、不等式和函数）一元二次方程1.（2013宁夏） 一元二次方程x x x -=-2)2(的根是（ ） A. 1- B. 0 C.1和2 D. 1-和22．（2013•乌鲁木齐）若关于x 的方程式x 2﹣x+a=0有实根，则a 的值可以是（ ） A ． 2 B ． 1 C ． 0.5 D ． 0.25 3．（2013•新疆）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+k=0有实数根，那么k 的取值范围是 ．4．（2013•鞍山）已知b ＜0，关于x 的一元二次方程（x ﹣1）2=b 的根的情况是（ ） A ． 有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根 C ． 没有实数根 D ． 有两个实数根 5、（2013•滨州）一元二次方程2x 2﹣3x+1=0的解为 6．（2013甘肃白银）一元二次方程x 2+x ﹣2=0根的情况是（ ） A ． 有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根 C ． 无实数根 D ． 无法确定 7．（2013•呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m 的值是（ ）A ． 3或﹣1B ． 3C ． 1D ． ﹣3或18、（2013杭州）当x 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧-<--<+)4(31)4(21331x x x x 时，求出方程0422=--x x 的根 9．（4分）（2013•天水）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x ﹣2）（x ﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ） A ． 11 B ． 11或13 C ． 13 D ． 以上选项都不正确 10．（2013•天水）从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条，剩下的面积是48m 2，则原来这块木板的面积是（ ） A ． 100m 2 B ． 64m 2 C ． 121m 2 D ． 144m 2 11、（2013昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为X 米，则可列方程为（ ）A.100×80－100X －80X=7644B.(100－X)(80－X)＋X 2=7644C.(100－X)(80－X)=7644D.100X ＋80X=35612．（2013•乐山）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+k=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k 的值． 13、（2013青岛）某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x ，根据题意，可得方程 . 14．（2013•新疆）2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元，2011年增长到3985元．若设年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为 ． 15．（2013•白银）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ． 48（1﹣x ）2=36 B ． 48（1+x ）2=36 C ． 36（1﹣x ）2=48 D ． 36（1+x ）2=48 16．（2013哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 ． 17．（2013兰州）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m 2，2013年同期将达到8200元/m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为 A ．8200%)1(76002=+x B ．8200%)1(76002=-xC ．8200)1(76002=+xD ．8200)1(76002=-x18．（2013•巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．19（2013年广东）.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元. （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 20．（2013•贵阳）2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．21．（2013绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。
(全国120套)2013年中考数学试卷分类汇编(打包53套)-1.doc
实数运算1、（2013•衡阳）计算的结果为（）C2、（2013•常德）计算+的结果为（）=3、（2013年河北）下列运算中，正确的是Ａ．9＝±3 Ｂ．3－8＝2 Ｃ．(－2)0＝0 D．2－1＝12答案：D解析：9是9的算术平方根，9＝3，故A错；3－8＝－2，B错，(－2)0＝1，C也错，选D。
4、（2013台湾、6）若有一正整数N为65、104、260三个公倍数，则N可能为下列何者？（）A．1300 B．1560 C．1690 D．1800考点：有理数的混合运算．专题：计算题．分析：找出三个数字的最小公倍数，判断即可．解答：解：根据题意得：65、104、260三个公倍数为1560．故选B点评：此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键．5、（2013•攀枝花）计算：2﹣1﹣（π﹣3）0﹣= ﹣1 ．=．6、（2013•衡阳）计算= 2 ．）=4³=27、（2013•十堰）计算：+（﹣1）﹣1+（﹣2）0= 2．．8、（2013•黔西南州）已知，则a b= 1 ．9、（2013杭州）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 ．考点：实数大小比较．专题：计算题． 分析：先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小．解答：解：7的平方根为﹣，；7的立方根为，所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣＜＜． 故答案为：﹣＜＜．点评：本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．10、（2013•娄底）计算：= 2 ． ﹣4³+211、（2013•恩施州）25的平方根是 ±5 ．12、（2013陕西）计算：=-+-03)13()2( ．考点：本题经常实数的简单计算、特殊角的三角函数值及零（负）指数幂及绝对值的计算。
解析：原式=718-=+-13、（2013•遵义）计算：20130﹣2﹣1= ．，故答案为：．14、（2013•白银）计算：2cos45°﹣（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣）0． 45°角的余弦等于，有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，﹣﹣（﹣﹣．15、（2013•宜昌）计算：（﹣20）³（﹣12）+．16、（2013成都市）计算：2- （2）解析：（1）2- （2）217、（2013•黔西南州）（1）计算：．）原式=1³4+1+|﹣2³﹣|18、（2013•荆门）（1）计算：³19、（2013•咸宁）（1）计算：+|2﹣|﹣（12）﹣1+2﹣．20、（2013•毕节地区）计算：．21、（2013安顺）计算：2sin60°+2﹣1﹣20130﹣|1﹣|考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2³+﹣1﹣（﹣1）=．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等考点的运算．22、（2013安顺）计算：﹣++= ．考点：实数的运算．专题：计算题．分析：本题涉及二次根式，三次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：﹣++=﹣6++3=﹣．故答案为﹣．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．23、（2013•玉林）计算：+2cos60°﹣（π﹣2﹣1）0．零指数幂的运算，然后特殊角的三角函数值后合并即可得解：原式=2+2³﹣24、（2013•郴州）计算：|﹣|+（2013﹣）0﹣（）﹣1﹣2sin60°．﹣2³25、（2013•钦州）计算：|﹣5|+（﹣1）2013+2sin30°﹣．﹣1+2³26、（2013•湘西州）计算：（）﹣1﹣﹣sin30°．﹣27、（13年北京5分14）计算：10)41(45cos 22)31(-+︒--+-。
全国名校2013年中考数学模拟试卷分类汇编18 二次函数的图象和性质
二次函数的图象和性质一、选择题1、（2013·湖州市中考模拟试卷7）函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）答案：C2、（2013·湖州市中考模拟试卷8）抛物线2y x =先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）A ．()213y x =++B ．()213y x =+-C ．()213y x =--D ．()213y x =-+答案：D3、（2013·湖州市中考模拟试卷10）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过)0,2(-A 、)0,0(O 、),3(1y B -、),3(2y C 四点，则1y 与2y 的大小关系是( )A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定 答案：A4、(2013年河南西华县王营中学一摸)将抛物线22-=x y 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）A ．()23+=x yB ．()23-=x yC ．()122++=x yD ．()122+-=x y 答案：A5、（2013安徽芜湖一模）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）． 对于下列命题：①b ﹣2a =0；②abc ＞0；③a ﹣2b +4c ＜0； ④8a +c ＞0．其中正确结论的是__________． 答案：②③④6、（2013吉林镇赉县一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线x x y 42+-=（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A.4米B.3米C.2米D.1米 答案：A7、（2013吉林镇赉县一模）如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数221x y =的图象，C 2是函数221x y -=的图象，C 3是函数x y 3=的图象，则阴影部分的面积是 平方单位（结果保留π）. 答案：π35 8、（2013江苏东台实中）抛物线4412-+-=x x y 的对称轴是（ ）． A 、2-=x B 、2=x C 、4-=x D 、4=x 答案：B9、（2013江苏东台实中）函数42-=x y 的图像与y 轴的交点坐标是（ ）． A 、（2，0） B 、（－2，0） C 、（0，4） D 、（0，－4） 答案：D10、（2013江苏东台实中）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确的是：（ ）A a >0 b <0 c >0B a <0 b <0 c >0C a <0 b >0 c <0D a <0 b >0 c >0 答案：D11、（2013江苏东台实中）已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）答案：B12、（2013江苏东台实中）将抛物线y =2x 经过怎样的平移可得到抛物线y =2(x +3) －4.( )A 、先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B 、先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C 、先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D 、先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 答案：B13、（2013江苏东台实中）已知函数201220132+-=x x y 与x 轴交点是)0,(),0,(n m ，则)20122014)(20122014(22+-+-n n m m 的值是（ ） A 、2012 B 、2011 C 、2014 D 、、2013 答案：A14、（2013江苏射阴特庸中学）已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．3是方程ax 2+bx +c =0的一个根 答案：D15、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图是二次函数y 1=ax 2+bx +c 和一次函数y 2=mx +n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围（ ） A ．x ≥0 B ．0≤x ≤1 C ．－2≤x ≤1 D ．x ≤1答案：C 16、（2013江苏射阴特庸中学）已知二次函数的图象（-0.7≤x ≤2）如右图所示.关于该函数在所给自变量x 的取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值1，有最大值2 B ．有最小值-1，有最大值1 C ．有最小值-1，有最大值2 D ．有最小值-1，无最大值 答案：C17、（2013江苏扬州弘扬中学二模）点A （2，y 1）、B （3，y 2）是二次函数y =x 2－2x +1的图象上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____ y 2（ 填“＞”、“＜”、“=”）． 答案：<18、（2013山东省德州一模）现掷A 、B 两枚均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x 、y ，并以此确定点P （x y ，），那么11题图各掷一次所确定的点P落在已知抛物线24y x x=-+上的概率为（）A.118B.112C.19D.16答案：B19、（2013山东省德州一模）已知抛物线cbxaxy++=2的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②2=++cba；③a＜21；④b＞1.其中正确的结论是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④答案：D20、(2013山西中考模拟六) 若二次函222y ax bx a=++-（a b，为常数）的图象如下，则a的值为（）A．2- B． C．1答案：D二、填空题1、（2013吉林镇赉县一模）抛物线()9122-++=kxky开口向下，且经过原点，则k= .答案：-32、（2013江苏东台实中）抛物线5)2(42+--=xy的对称轴是____，顶点坐标是____．答案：2=x；（2，5）3、（2013江苏东台实中）已知抛物线与x轴两交点分别是（－1，0），（3，0）另有一点（0，－3）也在图象上，则该抛物线的关系式________________ ．答案：322--=xxy4、（2013江苏射阴特庸中学）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b的值是（写出一个值即可）．（第16题）答案：-1，0，……只要满足-2<b<2就行，答案不唯一。
北京中考2013一模23题,一元二次方程二次函数的综合题
东城已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数． 西城)23．已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=． (1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物线2C 的解析式；(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．海淀23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标；（2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．石景山) 如图，直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线1C 交x 轴于另一点M （-3,0）.(1)求抛物线1C 的解析式；(2)直接写出抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式； (3)如果点'A 是点A 关于原点的对称点，点D 是图形2C 的顶点，那么在x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 与△'A BO 是相似三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.丰台)二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．（1） 求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．平谷)23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．昌平)已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.-1-111xO y怀柔)23． 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ． （1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.通州). 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若O M O B =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.延庆如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.顺义)已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.房山)23.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x=t 和x=t+2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G.①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由. 密云燕山)己知二次函数)12(221-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值．⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．大兴如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由.O xy32-1121-1答案2013东城一模)23．解：(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0， ∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2） 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得 23(1)42m m x --±++=. ………………3分要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数. 设22(1)4m a ++=， 则(1)(1)4a m a m ++--=.∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同， 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩. ………………5分将m =－1代入23(1)42m m x --±++=，得122,0x x =-=符合题意. ………………6分∴ 当m =－1 时 ，原方程的根是整数. ……………7分西城)（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分 而20a ≥，∴2160a +>，即0∆>.∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2）解：∵当2ax =时，0y =， ∴22()(4)022a aa a ⨯++⨯+=.∴230a a +=，即(3)0a a +=.∵0a ≠，∴3a =-. ………………………………………………………… 3分∴抛物线1C 的解析式为22125232()48y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48--. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.∴抛物线2C 的解析式为223y x =-. …………………………4分（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，∴223n m =-，且223m n =-. ∴222()n m m n -=-. ∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴12m n +=-. ……………………………………………………… 5分 ∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+ 22222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3().(3n m += ………………………………………………………………6分32=-. ………………………………………………………………7分海淀解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为212mx m-=-=.………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-， ∴点B 的坐标为 (4,0)．………………………2分（2）∵点B 在直线y =12x +4m +n 上， ∴024m n =++①.∵点A 在二次函数2-2y mx mx n =+的图象上， ∴044m m n =++②. ………………………3分 由①、②可得12m =，4n =-. ………………………4分 ∴ 抛物线的解析式为y ＝2142x x --，直线的解析式为y ＝122x -． ……………5分（3）-502d <<． ………………………7分 石景山)．解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠ ∵直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，∴A 点坐标为（1,0）、B 点坐标为（0,3）. ………………1分 又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，∴0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴抛物线1C 的解析式为：223y x x =--+．………………2分（2）抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式为：223y x x =-++. ……3分 （3）'A 点的坐标为（-1,0），∵223y x x =-++=2(1)4x --+， ∴该抛物线的顶点为(1,4)D ．………………………………4分 若△PAD 与△'A BO 相似，①当DA AP =3'BO OA =时，43AP =，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3……………5分 ②当DA AP =1'3BO OA =时，12AP =，P 点坐标为(11,0)-或(13,0)…………6分 ∴当△PAD 与△'A BO 是相似三角形时，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3或(11,0)-或(13,0) ………………7分丰台解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，所以324)1(22--=--=x x x y ………………………1分令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x .∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0）……………………3分 (2) 如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b ------------------- 7分 平谷)解：（1）2242(1)8.m m ∆=-⨯⨯-=+ …….…………………………………………….1分 ∵ 20,m ≥∴ 280.m ∆=+>所以无论m 取任何实数，方程221x mx +-=0都有两个不相等的实数根. ………..2分(2)设221y x mx =+-．∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间， ∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．当32x =时，0y >，即：931022m +->．∴ 1213m -<<． ………………………..………..………………………………3分∵ m 为整数，∴ 210m =--，，． …………………………………………………………….. 4昌平23．（1）证明：当y =0时，得220x kx k -+-=.∵22244(2)(2)4b ac k k k -=--=-+. ∵2(2)0k -≥， ∴2(2)40k -+>.∴无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点. ……………………3分（2）解：如图，过点P 作P A ⊥x 轴于A ,则∠OAP =90°，依题意得：104,sin 35OP POA =∠=.∴8,23AP OA ==.∵n <0,∴8(2,)3P -.∵P 在抛物线上， ∴84223k k -=-+-+. ∴23k =-. ∴抛物线解析式为22833y x x =--+.………………………………………5分（3）当y =0时，228033x x +-=. ∴1242,3x x =-=，∴抛物线与x 轴相交于点4(2,0),(,0)3.B C -当直线y = - x + b 经过点C （-2，0）时，b = -2. ………………………………………6分当直线y = - x + b 与抛物线228+-33y x x =相切时，22833x +x-x b =-+，∴△ = 2584()093b ++=. ∴b=12136-.……………………………………………………………………7分∴ 当12136-＜b ＜-2时，直线与图形M 有四个交点. (8)怀柔 (1)证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根.…… 1分C BAP yOx11-1-1②当k≠0时, ()34132⋅-+=∆k k=k k k 121692-++ =1692+-k k=()0132≥-k ………………………………2分所以,方程有实数根综上所述，无论k 取任何实数时，方程总有实数根 （2）令0y =，则03)13(2=+++x k kx 解关于x 的一元二次方程，得x 1=-3 ，x 2=k1-……………………3分 ∵ 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数， ∴k =1………………４分（3）由（2）得抛物线的解析式为342++=x x y 配方得y=(x ＋2)2－1∴抛物线的顶点M （－2，－1） ∴直线OD 的解析式为y=21x于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h ，21h ）， (5)分∴平移后的抛物线解析式为y=（x －h ）2＋21h ．①当抛物线经过点C 时，∵C（0，9），∴h 2＋21h=9，解得h=41451-±． ∴ 当4145-1-≤h＜41451-+ 时，平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点．………………………………………………………………6分②当抛物线与直线CD 只有一个公共点时， 由方程组y=（x －h ）2＋21h ，y=－2x ＋9．得 x 2＋（－2h ＋2）x ＋h 2＋21h －9=0，∴△=（－2h ＋2）2－4（h 2＋21h －9）=0，解得h=4．此时抛物线y=（x －4）2＋2与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意 (7)分综上：平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或4145-1-≤h＜41451-+．通州解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++=解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分； 由题意得：()20A k ，，()20B ，， ∴ 31222-k <<-， ∴3144k -<<-. ……………… 2分；(2)令0x =，则4y k =， ∴()04M k ，， ∵OM OB =，∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. (4)分；或∵OM OB =，()20B ，， ∴()0M ，-2，把点M 的坐标分别代入()2214y x k x k =-++中，∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. (4)分；(3)2，517+，517-. （每个答案各1分） ……………… 7分．422510AOB延庆)解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：2244b 013c b c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩…………………………1分 解之得：b=4，c=0 …………………2分 所以抛物线的解析式为：24y x x =-+……3分 将抛物线的表达式配方得：()22424y x x x =-+=--+所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）…………………4分 （2）点p （m ，n ）关于直线x=2的对称点坐标为点E （4-m ，n ），则点E 关于y 轴对称点为点F 坐标为（4-m,-n ），……………………………………5分 则四边形的面积OAPF=4n =20所以n =5，因为点P 为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5 ………6分代入抛物线方程得m=5 …………………………………………………7分顺义（1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分②当0m ≠时, []2(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =22912488m m m m ++-- =244m m ++=2(2)0m +≥ ………………………………2分 所以,方程有实数根综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分（2）令0y =，则2(32)220mx m x m -+++=解关于x 的一元二次方程，得11x = ，222x m=+……………………5分 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数， 所以m 只能取1，2所以抛物线的解析式为254y x x =-+或2286y x x =-+………………7分 房山)解：（1）根据题意，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交点为（1,0）和（5,0）----1分∴102550b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得65b c =⎧⎨=-⎩.∴抛物线的解析式为265y x x =-+-. --------------------2分（2）∵265y x x =-+-的图象过A （32，m ）和B （4，n ）两点 ∴ m=74，n=3 ， ∴A （32，74）和B （4，3） ------------ 3分 ∵直线y kx b =+（k ≠0）过A （32，74）和B （4，3）两点∴372443k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴直线的解析式为112y x =+. -------------------4分 （3）①根据题意3224t t ⎧⎪⎨⎪+⎩＞＜，解得32≤t ≤2 -------------------5分 ②根据题意E （t ，1t 12+），F （t+2，1t 22+）H （t ，2t 6t 5-+-），G （t+2，2t 2t 3-++），∴EH=211t t 62-+-，FG=23t t 12-++. 若EFGH 是平行四边形，则EH=FG ，即211t t 62-+-=23t t 12-++解得t=74， - ---------------------6分∵t=74满足32≤t ≤2.∴存在适当的t 值，且t=74使得EFGH 是平行四边形.----------7分密云（1）当2k =-时，(1,2)A -A 在反比例函数图像上∴设反比例函数为k y x =，代入A 点坐标可得2k =-2...........................2y x-∴=分（2）要使得反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，0.....................k ∴<分 而对于二次函数2y kx kx k =+-，其对称轴为12x =-，要使二次函数满足上述条件，在0k <的情况下， 则x 必须在对称轴的左边，(图为一种可能的情况)即12x <-时，才能使得y 随着x 的增大而增大………………..4分∴ 综上所述，则0k <，且12x <-（3）由(2)可得15(,)24Q k --ABQ ∆是以AB 为斜边的直角三角形A 点与B 点关于原点对称，所以原点O 平分AB又直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半...........................5OQ OA OB ∴==分 作AD OC ⊥，QC OC ⊥222125416O Q C Q O C k=+=+ 而2221OA AD OD k =+=+221251416k k ∴+=+， 则233k =，或23...................................73k =-分燕山)⑴ 令01=y ，得△＝222)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， …………1分∵t >1，∴△＝2)1(4-t >0，∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点． ………………………2分 ⑵解法一：解方程0)12(22=-+-t tx x 得，11=x ，122-=t x ， ………………………3分∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)， ∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，即2112=--t ，解得2=t ． ………………………4分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，故1=n ． ………………………5分 解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， ………………………3分 ∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， ………………………4分 解得 1=n ． ………………………5分 ⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)， 翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)， 如图，当直线b x y +-=21经过点D (1，1)时，记为1l ， 此时23=b ，图形G 与1l 只有一个公共点； 当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时25=b ，图形G 与2l 有三个公共点；当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-=21位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点， ∴符合题意的b 的取值范围是2523<<b ． …………………7分 大兴解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，， 解得.∴ 抛物线为y=﹣x 2+2x+3 . ………………………………………1分又设直线为y=kx+n 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得,， 解得.∴ 直线AC 为y=x+1 . ………………………………………2分 （2）作N 点关于直线x=3的对称点N ′，则N ′（6，3），由（1）得D （1，4）， ∴ 直线DN ′的函数关系式为y=﹣x+当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小则m=﹣×=………………………………………4分（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=，∴E（，3172-）或（，）满足条件的点E为E（0，1）、（，3172-）或（，）.。
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一元二次方程
一、选择题
1、（2013江苏射阴特庸中学）一元二次方程x (x -2)=2-x 的根是( ) A ．-1 B ．2 C ．1和2 D ．-1和2 答案：D
2、(2013·吉林中考模拟)某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为（ ）
A 、x (x －10)=200
B 、2x +2(x －10)=200
C 、x (x +10)=200
D 、2x +2(x +10)=200 答案：C
3、(2013年深圳育才二中一摸)用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是（ ） A ．2
(2)3x += Ｂ．2
(2)3x -= Ｃ．2
(2)5x -= Ｄ．2
(2)5x += 答案：A
4、(2013年广西南丹中学一摸)关于x 的一元二次方程x 2－4x +k =0有两个相等的实数根,则k 的值是
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4 答案：C
5、（2013年上海市）如果关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是
（A ）k ≤
B ）k <
C ）k
≥
D ）k >
答案：B
二、填空题
1、（2013吉林镇赉县一模）x =1是方程02
=++n x x 的一个解，则方程的另一个解是 答案：-2
2、（2013江苏射阴特庸中学）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其
他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 .
答案：)02070(2070)1(2
=--=-x x x x 或
3、（2013江苏射阴特庸中学）已知关于x 的方程kx 2
=2(1-k )x -k 有两个实数根，求k 的取值范围.
答案：原方程可化为kx 2-2(1-k)x+k=0， b 2
-4ac=4-8k ， ……2分
∵方程有两个实数根，∴b 2
-4ac ≥0，即4-8k ≥0，∴k ≤1/2. ……3分
∵k ≠0，∴k 的取值范围是k ≤1/2，且k ≠0. ……4分
4、（2013·温州市中考模拟）已知方程x 2－x －1=0有一根为m ，则m 2－m ＋2012的值为____.
答案：2013
5、（2013·湖州市中考模拟试卷8）已知关于x 的方程2220x x k -+=的一个根是1，则k = ． 答案：
12
6、 (2013年河北三摸)若关于x 的一元二次方程m x 2－3x ＋1=0有实数根，则m 的取值范围是 ． 答案：0
4
9≠≤
m m 且；
三、解答题
1、(2013年河北三摸)已知2是关于x 的方程x 2
－x ＋a ＝0的一个根，求a －2—a 2
a ＋2
的值．
答案：解：将x ＝2代入方程x 2－x ＋a ＝0中得，a ＝2－2，………………………3分 当a ＝2－2时，a －2－a 2a ＋2＝a 2－4a ＋2－a 2a ＋2＝－4a ＋2＝－4
2＝－22.………………8分
2、（2013安徽芜湖一模）解方程：6)3)(1(=-+x x 答案：（本小题满分8分）
1011+
=x ，1012-
=x
3、（2013吉林镇赉县一模）某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，仍能盈利25%. （1）求这种玩具的进价；
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）
答案：
4、（2013江苏东台实中）已知：关于x 的方程0)1(22
2
=++-m x m x （1） 当m 取何值时，方程有两个实数根？
（2） 为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根. 答案：（1）2
1-
≥m （4分）（2） 答案不唯一，若m =0时，则2021==x x ，
5、（2013江苏射阴特庸中学）已知关于x 的方程kx 2
=2(1-k )x -k 有两个实数根，求k 的取
值范围.
答案：原方程可化为kx 2-2(1-k)x+k=0， b 2
-4ac=4-8k ， ……2分
∵方程有两个实数根，∴b 2
-4ac ≥0，即4-8k ≥0，∴k ≤1/2. ……3分
∵k ≠0，∴k 的取值范围是k ≤1/2，且k ≠0. ……4分
6、(2013·曲阜市实验中学中考模拟)如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米.现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
答案：解：设长方体箱子的宽为xm ，则长为（x+2）m ，依题意得：
15)2(=+x x ……………………………2分
解之,得:
3,521=-=x x ……………………………4分
宽为正数，所以x=3，长为5m. 则原来长方形的铁皮宽为5m ，长为7m.
费用：5×7×20=700（元）. ……………………………5分 答：……. ……………………………6分
7、（2013·湖州市中考模拟试卷1）已知关于x 的一元二次方程2
20x m x --=，
（1）若x ＝ －1是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一根； （2）对于任意的实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．
答案：解：（1）x ＝－1是方程①的一个根，所以1+m －2＝0 ………………‥‥1分
解得m ＝1 (2)
方程为x 2－x －2＝0， 解得 x 1＝－1， x 2＝2．
所以方程的另一根为x ＝2 (4)
（2） ac b 42
-＝m 2+8 (5)
因为对于任意实数m ，m 2≥0 ..............................‥6分 所以m 2+8>0 ...........................‥‥7分 所以对于任意的实数m ，方程①有两个不相等的实数根 ‥‥ (8)。