江西省景德镇市2013届高三上学期第二次质检数学(理)试题

景德镇市2013届高三第二次质检试题数 学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，第小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则(CuA)∪B 为（ ）． A ．{}1,2,4 B ．{}2,3,4 C ．{}0,2,4 D ．{}0,2,3,42．复数1i z i=+在复平面上对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．学校要从高三（1）、（2）、（3），这三个班抽取5个人参加环保志愿者，每班至少有一人参加，则不同的抽调方法有（ ）种．A ．3B ．4C ．5D ．6 4．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>两相邻对称轴间的距离为23π，则ω的值为（ ）．A ．23B ．32C ．32π D ．23π5.设{}n a ，{}n b 分别为等差数列和等比数列，且114ab ==，441a b ==，则以下结论正确的是（ ）． A ．22a b > B ． 33a b < C ．55a b > D ．66a b > 6.如图所示：若输出的S 为1525，则判断框内应填（ ）． A ．4k < B ． 4k ≤ C ．4k > D ． 4k ≥结束否是输出S k=k+1S ＝S 2＋kS ＝1，k=1开始xx yx yB AO O xyx yD CO O 7.函数ln y x =的图象为（ ）．A B C D 8.如图长方体1111ABCD A B C D -中，14AB AA ==，1BC =，E为1C C 的中点，一只蚂蚁从A 出发沿表面到E 点的最短路程为（ ）．AB ．5C D ．2+9．以椭圆的右焦点2F 为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点,M N ，椭圆的左焦点为1F ，且直线1M F 与此圆相切，则椭圆的离心率e 为（ ）． A ．2B ．2-C ．2D ．110．如图：已知方程为22142xy+=的椭圆，,A B 为顶点，过右焦点的弦M N 的长度为y ，中心O 到弦M N 的距离为d ，点M 从右顶点A 开始按逆时针方向在椭圆上移动到B 停止，当090MFA ︒≤∠≤︒时，记x d =，当90180MFA ︒<∠≤︒，记x d =-，函数()y f x =图像是（ ）．二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．xy A 12341234OxyB 12341234OxyC 12341234OxyD12341234O11．若函数()f x 为偶函数，且60()8f x dx =⎰，则66()f x dx -⎰等于 ．12．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，则以上两组数据的方差中较小的一个方差2S ＝ ． 13．某几何体的三视图如图，则该几何体体积为 ．左视图俯视图主视图1311214．设双曲线2213yx -=的左右焦点分别为12,F F ，P 是直线4x =上的动点，若12F PF θ∠=，则θ的最大值为 ．三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分，本题共5分．15．（1）设曲线C 的参数方程为23c o s (13s i nx y θθθ=+⎧⎨=-+⎩　为参数)，直线l 的方程为34100x y -+=，则曲线C 上的动点(,)P x y 到直线l 的距离的最大值为 ． （2）若存在实数x 满足不等式235x x m m -+-<-，则实数m 的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知ABC ∆中三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足cc b BA B A +=+-tan tan tan tan .（1）求A ∠的值；（2）若3=a ，求ABC S ∆的最大值. 17．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁四人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局四人同时出剪刀、石头、布中的一种手势，且是相互独立的，设在一局中甲赢的人数为ξ． （1）在一局中甲恰好赢3人的概率； （2）列出随机变量ξ的分布列并求E ξ． 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，D 为AC 的中点，正方形11BCC B 与ABC 所在的平面垂直，2AB =．（1）求证1AB 平行平面1DBC ；（2）求1D C 与平面1ABC 夹角的正弦值．19．（本小题满分12分）设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为单调递增的等比数列，且12327a a a ++=-，123512b b b =，112233a b a b a b +=+=+．（1）求22a b +的值及数列{}n a ，{}n b 的通项； （2）若(2)(1)nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n S ．20. （本小题满分13分）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y轴上，离心率2e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为2- 直线l 经过y 轴上一点(0,)M m ，且与椭圆C 交于相异两点,A B ，且3AM MB =．20.求椭圆的标准方程； 21.求m 的取值范围．21. （本小题满分14分） 设2()ln(1)f x x =+， 211()22g x x =-18. 求()()()F x f x g x =-的单调区间，并证明对[1,1]-上的任意123,,x x x ，都有123()()()F x F x F x +>； 19. 将()y f x =的图像向下平移a （0a >）个单位，同时将()y g x =的图像向上平移b （0b >）个单位，使它们恰有四个交点，求11a b ++的取值范围．答案1B一、选择题：本大题共10小题，第小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． CADBA BCBDB二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分． 11．16 12．2513．7214．6π三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．15．（1）7 （2）(,1)(2,)-∞-+∞四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、解：（1）CCB B A B A BA B A C CB B A BA sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin tan tan tan tan +=+-⇒+=+-⇒B A B A B B A B A sin cos cos sin sin sin cos cos sin ++=-12cos sin sin cos 1202A B B A A ⇒-=⇒=-⇒=…………………6分（2）bc bc c b A bc c b a 33cos 222222≥++=⇒-+=1bc ⇒≤ ∴43sin 21≤=∆A bc S ABC当c b =时，ABC S ∆的最大值为43…………………12分17. 解：（1）1341(3)327C P ξ===…………………4分（2）133428(0)327C P ξ⨯===…………………6分1123342124(1)3279C C P ξ⨯⨯====…………………8分12334262(2)3279C C P ξ⨯⨯====…………………10分1341(3)327C P ξ===（2）4211239927E ξ=⨯+⨯+⨯=1．…………………12分18．解：（1）连1B C ，设1B C 交1BC 于O ，连OD则1//OD AB，1OD BDC ⊂面,得1AB 平行平面1DBC …………………6分（2）11D ABC C ABD V V --=得D 到面1ABC 的距离为310分13,DC =1DC ∴与1ABC 912分方法二 如图建立坐标系11(0,2,0),(2,0,,(1,0,AB AC DC ===，…………………6分设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =由100200y n AB x n AC ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩ 令x=，得1z =，(0,1)n =…………………9分111cos ,9n D C n D C nD C <>==11分1DC ∴与平面1ABC 912分19. 解：（1）由题意得29a =-，28b = 所以221a b +=- …………………2分 设19a d =--， 39a d =-+， 18b q=， 38b q =，得891981d q d q ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩解得26q d =⎧⎨=-⎩或126q d ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去）3(1)(6)36n a n n =-+-⨯-=-11422n n n b -+=⨯= …………………6分（2）1112(2)(1)(22)(21)n nn n n n n b c b b +++==----11211(21)(21)2121nnn nn ++==-----123n n S c c c c ∴=++++＝2231111111()()()212121212121nn +-+-++-------＝11112212121n n n +++--=--．…………………12分20. 解：（1）设2222:1(0)x y C a b ab+=>>由条件得2a c -=-，2c e a==2,a b c ∴===∴椭圆的方程：22124xy+=…………………4分（2）当直线斜率不存在时，1m =± …………………5分当直线斜率存在时，设直线l 与椭圆C 交点为11(,),A x y 22(,)B x y22222(2)2(4)024y kx m k x kmx m x y =+⎧∴⇒+++-=⎨+=⎩ 228(24)0k m ∆=-+> ※12222km x x k -+=+① 212242m x x k -=+ ② …………………7分3A M M B =123x x ∴-= ③由①、②、③消去12,x x 得222243()022km m k k -+=++2224(1)280k m m ⇒-+-= …………………9分21m =时，上式不成立，21m ≠时，2222282404(1)2(1)mmk m m --==≥--得21m -≤<-或 12m <≤ …………………11分 把22242(1)mk m -=-代入※得22242[]402(1)mm m --+>-解得21m -<<-或12m <<综上：m 的范围为21m -<≤-或12m ≤< …………………13分21. 解：（1）2211()ln(1)22F x x x =+-+222(1)(1)()11x x x x F x x x x +-'=-=-++()F x ',()F x 取值变化如下表故()F x 在(,1)-∞-和(0,1)上分别递增，在(1,0)-和),1(+∞上分别递减…………………4分在[1,1]-上()F x 的最小值m in 1()(0)2F x F ==()F x 的最大值max ()(1)(1)ln 2F x F F ==-=所以12min ()()2()1F x F x F x +≥= 而3max ()()ln 2F x F x ≤=故123()()()F x F x F x +>…………………6分(2)由题意 即2ln(1)y x a =+-与21122y x b =-+的图像恰有四个交点由2211ln(1)22x a x b +-=-+ 2211ln(1)()22a b x x F x ⇒+=+-+=由（1）1()(0)2F x F ==极小值,()(1)ln 2F x F ==极大值又(4)(4)0(0)F F F =-<<所以()F x 的大致图像为 (8)分如图使y a b =+与()y F x =恰有四个交点，则1ln 22a b <+<，由1ln 2200a b a b ⎧<+<⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩得(,)b a 的可行域如图…………………12分 又11a b ++可视为点(1,1)P --与可行域内的点连线的斜率 故111ln 21ln 21a b +<<+++．…………………14分ba。