2014勾股定理培优资料
勾股定理的培优专题
1勾股定理培优专题一、本节基础知识1、勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方，即：a 2+b 2=c 2。
公式变形：a 2 = ； b 2= 。
（ a=22b c - ；22b c b -=；22b a c +=）2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
3、满足222c b a =+的三个 ，称为勾股数。
请你写出几组勾股数：___________，_________,____________,____________,_______________,4、巩固练习：1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．2．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号) 3．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝_________；4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是________三角形．5．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为________．二、经典例题、针对训练、考点一 证明三角形是直角三角形例1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.例2：(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.AB DCFE2例3：已知△ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为12，求△ABC 的周长。
例4：一直角三角形的一直角边长为7，另两条边长为两连续整数，求这个直角三角形的周长。
第1讲(学生) 勾股定理 培优
精心整理第1讲勾股定理(逆定理)知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c222个定理叫做勾股定理的逆定理.①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（12、四边形ABCD中，∠B=90°，，AD=13，求四边形ABCD的面积。
3S1、S2、S3，则它们之A.S1-S2=SC.S2+S3<S4、在直线l（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。
考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．3、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
S3S2S14、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+5、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m C、482c m B、3626、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．1、A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，2、若线段a，b，cA、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶3、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠②△③△4：5；④△8，15，17．A．1个4个4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A ．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。
勾股定理培优
<勾股定理 >复习培优1．勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 .即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为 c ，那么一定有 .勾股定理表达式的常见变形：a 2＝c 2－b 2, b 2＝c 2－a 2，c ＝a 2＋b 2，a ＝c 2－b 2，b ＝c 2－a 2.勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a 、b(且a ＞b)，那么，当第三边c 是斜边时，c ＝ ；当a 是斜边时，第三边c ＝2．勾股定理的验证据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：如图14－1，以a 、b 为直角边(b>a)、以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 .把这四个直角三角形拼成如图14－1所示的正方形ABCD ，它是一个边长为c 的正方形，它的面积等于 .而四边形EFGH 是一个边长为 的正方形，它的面积等于 .∵四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，∴4×12ab ＋(b －a)2＝c 2， ∴a 2＋b 2＝c 2.3．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：a 2＋b 2＝ ，那么这个三角形是直角三角形． 利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的 ；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是 三角形．到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是 ；(2)说明三角形中有两边互相；(3)用勾股定理的逆定理．[注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2＋b2＝c2之类的错误．4．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个数，称为勾股数，即满足的三个数a、b、c，称为勾股数．[注意] 勾股数都是正整数．5．勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)已知三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平方关系问题；(3)在上作表示2、3、5等数的点的问题；(4)解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理．6．勾股定理中的思想(1)分类的思想，斜边不确定时，要分类讨论；(2)数形结合的思想，通过边的数量判断三角形的形状，反之也可以；(3)方程的思想，建立方程，求边；(4)转化思想，把实际问题转化为勾股定理的问题来解决．考点攻略考点一勾股定理例1在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝6，b＝8，求BD的长．考点二勾股定理的逆定理例2已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．考点三勾股定理在数学中的应用例3已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长的平方是________．例4如图14－3所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图14－3所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？考点五方程思想在勾股定理中的应用例6如图14－6，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．例7如图14－11，有一个高为4，底面直径为6的圆锥，现有一只蚂蚁在圆锥的顶部A，它想吃到圆锥底部B的食物，蚂蚁需要爬行的最短路线长是多少？例8如图14－14所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？专项练习：1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图14－16，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2.2现有一张矩形纸片ABCD(如图14－12)，其中AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm, 点E 是BC 的中点，将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B ′，求线段B ′C 的长．3已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
勾股定理的培优专题
勾股定理的培优专题勾股定理培优专题一、基础知识1.勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理的逆定理和勾股定理的题设和结论相反，被称为互逆命题。
3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数3、4、5 等，称为勾股数。
巩固练：1.如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，这个定理叫做勾股定理的逆定理。
2.如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有 1、2、3 号。
4.若△ABC 中，(b-a)(b+a)=c，则∠B=90°。
5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是直角三角形。
6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以 a-2、a、a+2 为边的三角形的面积为 6(a-1)。
7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
1) 两直线平行，同位角相等。
逆命题为：同位角相等，则两直线平行。
真。
2) 若 a>b，则 a>b。
逆命题为：若a≤b，则a≤b。
假。
二、例题和训练考点一：证明三角形是直角三角形例1：已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD·BD。
求证：△ABC 是直角三角形。
训练：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足a+b+c+3√3=10a+24b+26c。
试判断△ABC 的形状。
例2：如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于AC，且 AD=CD。
勾股定理培优
学科：数学教学内容：勾股定理知识精点1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．勾股定理表达形式：条件：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．结论：222222222,,a b c b a c c b a =-=-=+． 3．勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点． 重、难、疑点 重点：（1）掌握勾股定理，会利用拼图验证勾股定理； （2）会利用勾股定理解决一些实际问题． 难点：勾股定理的灵活应用，疑点：勾股定理的作用及变形公式的运用．典例精讲例1 已知：一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ，求第三边的长．方法指导：因为题目没有明确这两边中有无斜边，故应分类讨论，然后再用勾股定理计算第三边．解：设第三边长为xcm ，当x 为斜边长时，由勾股定理得：2543222=+=x ，∴x=5cm ．当4为斜边长时，由勾股定理得：22234+=x ，72=x ，∴cm x 7=．方法总结：在利用勾股定理时一定要分清斜边和直角边，若题目没有明确指出，则需分类讨论，避免漏解．举一反三 以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为225cm 和212cm ，求第三个正方形的面积．解：213cm 或237cm ．例2 直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的（ ） A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ．不变方法指导：可设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，用代数式可清楚地反映它们之间的变化规律．解：设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则变化后两直角边长分别为2a 、2b ，由勾股定理得：222c b a =+．那么22222222)2(4)(444)2()2(c c b a b a b a ==+=+=+．由此知斜边也扩大到原来的2倍．故应选A ．方法总结：由本例知直角三角形三边同时扩大相同的倍数后仍是直角三角形． 举一反三 直角三角形三边都增加相同的长度所得三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解：A例3 如图，铁路上A 、B 两地相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站距离相等，则E 站应建在距A 地多少km 处？方法指导：此题中的E 可看作动点．当E 在AB 间移动时，在某处使得DE=CE ．此点惟一，而AE+BE 为定值25．故可利用这一关系建立方程．解：设AE=x ，则BE=25—x ．在Rt △ADE 中，222DE AE AD =+，在Rt △CBE 中，222EC BE BC =+， 又DE=CE ，∴2222BE BC AE AD +=+，即2222)25(1015x x -+=+，解得x=10（km ）．故E 站应建在距A 地10km 处．方法总结：对确定点的位置这一类型题．先假定此点找到，再依据需满足的关系建立方程求解是解此类题常用方法．举一反三 如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC 边上的高AD ． 解：设DC=x ，则BD=14—x ， 在Rt △ADB 中，由勾股定理得：22222)14(15x BD AB AD --=-=，在Rt △ADC 中，由勾股定理得：2222213x CD AC AD -=-=．∴222213)14(15x x -=--．解得：x=5．∴22222)14(15x BD AB AD --=-=22)514(15--==144． ∴AD=12．例 4 如图，在△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC=5cm ，DC=4cm ，求△ABC 的面积．方法指导：在Rt △ABC 中，已知BC 、DC ，可直接用勾股定理求出BD 的长，但要求ABC S∆就需计算AD 的长．求AD 取决于AC ．而AC 在两个直角三角形中，故可联立关于AC 的表达式从而求出AD ．解：设AD=xcm ，AC=ycm ． 在Rt △BCD 中，94522222=-=-=CD BC BD ．∴BD=3cm ．在Rt △ACD 中，2224+=x y ， 在Rt △ABC 中，2225)3(-+=x y ， ∴22225)3(4-+=+x x ．整理得：316,16166==-x x ． ∴350)3316(42121=+⨯⨯=⋅=∆CD AB S ABC ． 方法总结：联立方程组其实质是寻找中间量．举一反三 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长．解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴1006822222=+=+=BC AC AB ． ∴AB=10． 又AC BC CD AB S ABC ⋅=⋅=∆2121，∴AB ·CD=BC ·AC ．即488610=⨯=CD ．∴CD=（cm ）．例5 一个直角三角形的三边为连续自然数，求这个直角三角形的三边长．方法指导：根据三边长为连续自然数，可设中间数为n ，则其余两数分别为（n —1）和（n+1），再根据勾股定理列方程求解．解：设中间数为n ，则其余两数分别为（n —1）和（n+1）． ∵这三个数为直角三角形的三边长，∴由勾股定理得：222)1()1(+=-+n n n ．∴1212222++=+-+n n n n n ．化简得：n n 42=，∵n>0，∴n=4，∴直角三角形的三边长分别为：3、4、5．方法总结：本题主要考察未知数的设法以及勾股定理的应用．举一反三 一个直角三形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的三边长． 解：设中间数为2n ，则其余两数分别为2（n —1）和2（n+1）．由勾股定理得：222)]1(2[)]1(2[)2(+=-+n n n ．∴4844844222++=+-+n n n n n ．化简得：n n 1642=，∵n>0，∴n=4．∴直角三角形的三边长分别为：6、8、10．例6 如图所示，正方形ABCD 边长为1，以AE 为折痕，使AD 落在AC 上，D 与F 重合．求：DE 的长．方法指导：折叠问题有它的共同特征，即折叠前后两图形关于折痕对称，这样我们就可利用对称性来解题．解：过点E 作EF ⊥AC 于点F ，设DE=x ，则EF=DE=x ，CE=1—x ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：2112222=+=+=BC AB AC ．又∵AD=AF=1，∴12-=-=AF AC CF ． 在Rt △CFE 中，由勾股定理得：222CF EF CE +=．即222)12()1(-+=-x x ．解得：12-=x ．∴12-=DE ．方法总结：方程思想是一种重要的数学思想，将未知量用一字母表示，再寻找含未知量的等式即得方程，解之即可，同时也可将几何问题代数化．举一反三 将长方形ABCD 沿AE 折叠后，D 点恰与BC 边上的F 点重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC 的长．解：EC=3．知识网络直角三角形——三边关系⎩⎨⎧=+-=数的点在数轴上作出表示无理求第三边已知直角三角形的两边,222c b a学法点津勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，我们应了解它的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，我们应掌握它的一些重要用途．通过观察、归纳、猜想探索勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法；通过拼图来验证勾股定理，尝试用数形结合的思想来解决问题．同步练习1．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为_________，斜边被高分成的两部分的长分别是_________、_________．2．Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，b=10，则c=_________，a=_________． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则a ：b ：c=_________． 4．在△ABC 中，∠C=90°，AB=12cm ，AC=BC ，则BC=_________． 5．等边三角形边长为8cm ，它的面积为_________．6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，CA=8cm ，动点P 从C 点出发，以每秒2cm 的速度沿CA ，AB 运动到点B ，则从点C 出发_________s 时，可使ABC BCP S S ∆∆=21．7．从边长为2的正方形的一个顶点到正方形四边中点的距离之和是_________．8．如图18．1-12，在△ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=4：3，D 在CB 延长线上，且BD=AB ，则DC ：AD=_________．9．在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 上一点，把△ABC 沿CE 折叠，点A 与B 恰好重合，如果AC=4cm ，那么AB=_________cm ．10．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ． （1）若a=8，b=6，则c=_____________． （2）若c=20，b=12，则a=_____________．（3）若a ：b=3：4，c=10，则a=_____________，b=_____________．11．一个直角三角形的三边长为12，5和a ，则以a 为半径的圆的面积是（ ） A ．π169 B ．π119C ．π169或π119D ．无法确定12．若线段a ，b ，c 能构成直角三角形，则它们之比为（ ） A ．2：3：4 B ．3：4：6 C ．5：12：13 D ．4：6：713．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ） A ．224cm B ．236cmC ．248cm D ．260cm14．放学以后，小红和小颖从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小组知行走的速度都是40m/min ．小红用15min 到家，小颖用20min 到家，则小红家和小颖家的距离为（ ）A ．600mB ．800mC ．1000mD ．不能确定15．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一个高为的木梯，准备把拉花挂到的墙上，则梯脚与墙角的距离应为（ ）A ．B ．C ．D ．16．直角三角形两直角边长分别为5，12，则它斜边上的高是（ ）A ．6B ．C ．1330D ．136017．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ） A ．121 B ．120C ．123D ．以上均错18．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ． （1）已知a=15，b=20，求c ． （2）已知c=61，b=60，求a ．（3）已知217,218==b c ，求a ． （4）已知24,5:13:==b a c ，求c ，a ．19．如图18．1-13，在四边形ABCD 中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF 的面积．20．直角三角形两条直角边的比为3：4，面积是24．求这个三角形的周长．21．△ABC中，∠ACB=90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的面积是24，a+b=14．求c的长．22．某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园．如图18．1-14所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，已知水渠的造价是10元/米，则D点在距A点多远处时此水渠的造价最低？最低造价是多少？在图上标出D点．23．小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为248m，其对角线长为10m，为建起栅栏，需要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？24．如图18．1-15，一个长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上（如AB状态），这时梯子底端离墙距离BC=，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？参考答案1．414140；414132；4141502．20；3103．2:3:14．cm265．2 316cm 6．2或 7．522+ 8．5:2 9．24 10．（1）10 （2）16 （3）6；8 11．C 12．C 13．A 14．C 15．A 16．D17．D 提示：设斜边为m，另一直角边为n，则1121))((,12122⨯=-+=-nmnmnm，因m，n为自然数，故m+n=121，m—n=1，所以m=81，n=40．所以m+n+11=132．18．（1）c=25 （2）11 （3）4 （4）c=26，a=1019．169=DCEFS正方形20．24 提示：设两条直角边长为3k，4k．则244321=⨯⨯kk，∴k=2，则12k=24．21．10 提示：由题意，得2421=ab，即ab=48．又a+b=14，两边平方，得196222=++baba，即10022=+ba，又因为222bac+=，所以1002=c，即c=10．22．过C作CD⊥AB于D，由勾股定理，得AB=100m．由面积公式：BCACCDAB⋅=⋅2121，得CD=48．瑞在直角三角形ADC中利用勾股定理，得222222644880=-=-=CDACAD．故造价为4801048=⨯元．答：D点在距A点64m处，此时水渠的造价最低，最低造价为480元．23．设矩形养鱼池的长为xm，宽为ym，则⎩⎨⎧=+=)2.(10)1(,48222yxxy由②得1002)(2=-+xyyx．③将①代入③，得100482)(2=⨯-+yx，则14=+yx．所以矩形周长为28cm．24．．学科：数学教学内容：勾股定理的逆定理知识精点1．勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式222cba=+，则这个三角形是直角三角形．2．勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形．3．用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．重、难、疑点重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直．难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题．典例精讲例 1 试判断：三边长分别为)0(122,12,2222>++++nnnnnn的三角形是不是直角三角形？方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断．解：∵01)22()122(22>=+-++n n n n ， )0(02)12()122(22>>=+-++n n n n n ，∴1222++n n 为三角形的最大边．又∵14884)122(23422++++=++n n n n n n ， 14884)12()22(234222++++=+++n n n n n n n ，∴22222)12()22()122(+++=++n n n n n ．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和．若是则是直角三角形，反之不是．举一反三 试判断：三边长分别为)0(,2,2222>>+-n m n m mn n m 的三角形是不是直角三角形？解：∵m>n>0，∴222222,2n m n m mn n m ->+>+．∴22n m +为三角形的最大边，又∵224224222242)2()(n m n n m m mn n m ++-=-， 22422422242)(n m n n m m n m ++-=+，∴2222222)()2()(n m mn n m +=+-．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．例2 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CD CF 41=．求证：△AEF 是直角三角形．方法指导：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证222AF EF AE =+即可．解：证明：设正方形ABCD 的边长为a ，则21==CE BE ，a CF 41=，A DF 43=．在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22222245)21(a a a BE AB AE =+=+=．同理在Rt △ABE 中，由勾股定理得：2222221625)43(aa a DF AD AF =+=+=．在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222222165)41()21(a a a CF CE EF =+=+=．∴222EF AE AF +=．∴△AEF 是直角三角形．方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．举一反三 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求∠DAB 的度数．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=4，∴∠BAC=45°，321616222=+=+=BC AB AC ．在△ADC 中，22236324CD AC AD ==+=+， ∴△ADC 是直角三角形，∠DAC=90°． ∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．例3 如图，△DEF 中，DE=17cm ，EF=30cm ，EF 边上的中线DG=8cm ，求△DEF 的面积．方法指导：利用勾股定理的逆定理解题． 解：∵EF=30cm ，∴cm EF EG 1521==，∵2891722==DE，64822==DG ，2251522==EG ，∴222EG DG DE +=．∴△DGE 是直角三角形，即DG ⊥EF ，∴212021cm DG EF S DEF =⋅=∆．方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直．举一反三 已知如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=10，CD=6，求四边形ABCD 的面积．解：延长AD 、BC 交于点E ．在Rt △ABE 中，∠B=90°，∠A=60°，AB=10， ∴AE=20．由勾股定理可得：31022=-=AB AE BE ，∴3503101021=⨯⨯=∆ABE S ．在Rt △CDE 中，∠CDE=90°，∠E=30°，CD=6，∴36,1222=-==CD CE DE CE ． ∴31836621=⨯⨯=∆CDE S ．∴四边形ABCD 的面积为：332318350=-．例4 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足442222b a c b c a -=-，试判断△ABC 的形状．方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．解：∵44222b a c b c a -=-2，∴))(()(2222222b a b a c b a -+=-． ∴0))((22222=+-+b a c b a ． ∴0222=-+c b a 或022=-b a ．当0222=-+c b a 时，有222c b a =+．由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形； 当022=-b a 时，有a=b ，此时三角形是等腰三角形． 综上，△ABC 是直角三角形或等腰三角形．方法总结：此题易犯的错误是由))(()(2222222b a b a c b a -+=-得0222=-+c b a ，漏掉022=-b a 这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．举一反三 若△ABC 的三边满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，试判断△ABC 的形状．解：∵c b a c b a 262410338222++=+++， ∴0262410338222=---+++c b a c b a ．∴0)13()12()5(222=-+-+-c b a ． ∴a=5，b=12，c=13．∴222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．例5 如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题． 解：∵在Rt △BCD 中，BC=4，CD=3， ∴由勾股定理得：253422222=+=+=CD BC BD ，即BD=5．在△ABD 中，∵BD=5，AB=13，AD=12，∴222BD AD AB +=，由勾股定理逆定理知：△ABD 是直角三角形， 且∠ADB=90°，∴AD ⊥BD ．方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形．举一反三 如图，在△ABC 中，AD ⊥BD ，垂足为D ，AB=25，CD=18，BD=7，求AC ． 解：在Rt △ADB 中，AB=25，BD=7，由勾股定理得：57672522222=-=-=BD AB AD ． ∴AD=24．在Rt △ADC 中，∵AD=24，CD=18， ∴3018242222=+=+=CD AD AC ．例6 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB DC BD AD =⋅+．方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件．解：过点A 作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，∴BE=EC ．又∵AE ⊥BC ，∴222BE AE AB +=，222ED AE AD +=．∴2222ED BE AD AB -=-BD CD ED BE ED EC ED BE ED BE ⋅=-+=-+=))(())((．∴22AB DC BD AD =⋅+.方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形．在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用．举一反三 如图所示，DE=m ，BC=n ，∠EBC 与∠DCB 互余，求22CE BD +．知识网络学法点津勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．同步练习一 1．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为正整数），则这个三角形是__________三角形，理由是__________．2．若一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当m=__________时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边．3．在△ABC 中，a=2，b=5，则当____________2=c 时，∠C=90°． 4．如果一个三角形的三条边长分别是a ，b ，c ，当4:3:1::222=c b a 时，那么这个三角形是__________三角形．5．已知△ABC 中，AB=k ，AC=2k —1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°． 6．我们知道，像“3，4，5”，“6，8，10”，“5，12，13”，“7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m 、n 是正整数，m<n ，设三个勾股数中的最大一个是22m n +． （1）用含n ，m 的代数式表示前两个勾股数是__________、__________．（2）如a ，b ，c 是一组勾股数，并且这三个数没有大于1的公因数，则这样的一组勾股数称为基本勾股数．例如“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”．请再写出一组不同于这三例的基本勾股数：__________．7．如果线段a ，b ，c 能组成一个直角三角形，那么2,2,2c b a （ ） A ．也能组成一个直角三角形B ．只能组成一个锐角三角形C ．不能组成三角形D ．无法确定8．以下列长度的各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．2cm ，1．5cm ，2．5cmC ．7cm ，8cm ，10cmD ．cm cm cm 2225,4,3 9．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组数据，其中不是直角三形的是（ ）A ．1：1：2B ．1：3：4C ．9：25：26D ．25：144：16910．下列各组数中，以a ，b ，c 为边长的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a=1．5，b=2，c=3 B ．a=7，b=24，c=25 C ．a=6，b=8，c=10 D ．a=3，b=4，c=511．三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形12．给出下列几组数：（1）5，6，7；（2）8，15，6；（3）)(,2,2222m n m n mn m n >+-；（4）1,2,122+-n n n ．其中能作为直角三角形的三条边长的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ）（1）51,41,31===c b a ；（2）a=b ，∠A=45°；（3）∠A=32°，∠B=58°；（4）a=7，b=24，c=25；（5）a=2．5，b=2，c=3．14．一个三角形三边的长分别是15cm ，20cm ，25cm ，这个三角形最长边上的高是（ ）A ．12cmB ．10cmC ．cm 2112D ．cm211015．如图18．2-4，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积．16．已知：如图18．2-5，在△ABC 中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC 边上的高AD ．17．初春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min ，第二组的速度是40m/in ，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500m ．（1）两组同学行走的方向是否成直角？（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？18．如图18．2-6，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E ，F 分别在AB ，BC 上，且BE=BF=1．问△EFD 是否是直角三角形？并说明理由．19．先阅读下列文字，然后按要求回答问题：如图18．2-7，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且AD BD CD ⋅=2，∠A ，∠B 都是锐角．在Rt △ABC中，222ADAC CD -=．所以AD BD AD AC ⋅=-22，即AD BD AD AC ⋅+=22，AB AD BD AD AD AC ⋅=+=)(2．如果在Rt △BDC 中，按照上述推理可得到什么结论呢？进而可得到△ABC 是什么形状的三角形？同步练习二1．如图，长方形ABCD 的长AB=12，宽CB=10，E 是BC 的中点．那么AE=_________．2．如图，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长是3，那么______________2=AC ，__________2='C A ．3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．4．工人师傅常用如下方法来检验电线杆是否垂直于地面．现测得拉线AB=10m，BD=8m，AD=6m．问此时电线杆是否与地面垂直？_____________，因为___________________．5．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是_____________．6．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7．如图，正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD；EF，GH，IJ都垂直于AO．如已知IJ=1．求BD的长．8．△ABC中，AB=m—5，AC=m+11，BC=24，则当m=_____________时，∠B=90°．9．△ABC中，三边a，b，c满足)2()(222cbcacbc++=++，那么△ABC是_________三角形．10．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=3cm，AB=4cm，BC=5cm，CD=6cm．（1）连接BD，判别△CBD的形状．（2）求四边形ABCD的面积．11．（1）如图（1），一个梯子AB 长2．5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙根C 距离为1．5m ，梯子滑动手停在DE 的位置上，如图（2）所示，测得BD 的长为0．5m ，问梯子顶端A 下落的距离是否也为0．5m ？为什么？（2）如图（3）梯子AB 靠在墙上，梯子底端A 到墙根O 的距离是2m ，梯子顶端B 到地面的距离是7m ．现将梯子的底端A 向左移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′；①等于1m ；②大于1m ；③小于1m ．其中正确结论的序号是__________．参考答案同步练习一1．直角；勾股定理的逆定理 2．14 3．29 4．直角 5．2．5 222BC AC AB +=，即9)12(422+-=k k ，则9144422++-=k k k ，解得k=2．5． 6．（1）mn m n 2;22-因为42242222)(m n m n m n ++=+，而42222224)(m n m n m n +-=-，2224)2(n m mn =，所以2222222)2()()(mn m n m n +-=+．（2）20，21，29 7．A 设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+8．B 要注意D 中的2225,4,3，即9，16，25三边不能组成直角三角形的三边，因为22225169≠+ 9．B 10．A 11．B 12．B 13．B 14．A 15．连接AC ，则AC=5，可证△ACD 为直角三角形．36125214321=⨯⨯+⨯⨯=ABCD S 16．1360=AD 17．（1）第一组行走m 9003030=⨯，第二组行走m 12003040=⨯．因为22215001200900=+，所以行走方向成直角．（2）设再经过xmin相遇，则（30+40）x=1500，故min7150=x．18．是．在Rt△AED中204222222=+=+=ADEAED．同理求得2,182==EFDF。
(完整版)勾股定理培优讲义
宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉勾股定理知识点汇总一、基础知识点： 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ―I ; 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ,那么a 2 b 2 c 22 •勾股定理的证明方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 积的和为S 4 1ab c 2 2ab c 2大正方形面积为S (a b)2 a 2 2ab b 22 所以a 2b 2c 2方法三：S 弟形(a b) (a b) , S 梯形 2S ADE S ABE 2 ab c ，化简得证 a b c 2 2 23 •勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系， 和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
4 •勾股定理的应用① 已知直角三角形的任意两边长， 求第三边在 ABC 中,a c^V② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c 满足a 2 b 2 c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。
① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的平方c 2作比较，若它们相等时， 以a , b ,c 为三边的三角形是直角三角形；② 若a 2 b 2 c 2，时，以 三，b ，三为三边的三角形是钝角三角形：若 a 2 b 2 c 2，时，以_a ,_b ,_c 为三边 的三角形是锐角三角形；③ 定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ,b ,c 满足2 2 2a cb ,那么以a , b ,c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4SS E 方形EFGHS正方形ABCD，4 — ab (b a)2c 2，化简可证.四个直角三角形的面积与小正方形面ba6•勾股数满足a2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
勾股定理的培优专题
勾股定理培优专题一、本节基础知识1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
巩固练习：1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是_________三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_________．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做_________如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的_________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8，10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有_________．(填序号)4．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝_________；5．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是________三角形．6．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为________．7．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)两直线平行，同位角相等．(2)若a＞b，则a2＞b．二、经典例题、针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形例1、已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.针对训练：1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.2(如图) 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.3、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2=AC 2+BD 2.考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例、如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，求△ABC 的周长。
勾股定理培优题
勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边）的三边关系，即a 2+b 2=c 2，它的变形式为c 2-a 2=b 2或c 2-b 2=a 2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a 的值是 .2.如图，图形A 是以直角三角形直角边a 为直径的半圆，阴影S A = .3.如图，有一个圆柱的高等于12cm ，底面半径3cm ，一只蚂蚁要从下底面上B 点处爬至上底与B 点相对的A 点处，所需爬行的最短路程是 .4.如图.在 △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AB =5，CD=BCD =30° ，则AC = . 5.的线段.6.在下列各组数中 ①5，12，13 ；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a ；⑤a 2+1，a 2-1，2a (a ＞1)；⑥m 2-n 2，2mn ，m 2+n 2(m ＞n ＞0)可作直角三角形三边长的有 组.7.如图，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积是 .第2题图 第3题图 第4题图 第7题图8.如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC =14BC ，试判断△ AEF 的形状.三、综合.提高.创新BADCBADCBAFE DCB A【例1】（1）在三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长是多少？（2）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =10，按如图所示折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求折痕AF 的长.（3）如图，正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别记作S 和T ，求S 2-T 2的值.【练】如图，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD =4，DC =3，求BE .【例2】（1）如图，△ABC 中，∠C =60°，AB =70，AC =30，求BC 的长.EDC BAFEDCBAPMCAD 'EDCB A（2）如图，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°， ∠B =∠D =90°，求四边形ABCD 的面积.【练】如图，△ABC 中，A =150°，AB =2，BCAC 的长.【例3】（1）如图，△ABC 中，AB =AC =20，BC =32，D 为BC 上一点，AD ⊥AB ，求CD .（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AC 中点，AD =5，BE=，求AB .【例4】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ，求证：CBADCBACBADCBAEDC BA（1）222111a b h +=； （2）a +b ＜c +h ；（3）以a +b ，h 和c +h 为边的三角形是直角三角形.【例5】（1）如图，ABCD 为矩形，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，求证：PA 2-PB 2=PD 2 -PC 2.（2）锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，若∠B =2∠C ，求证：AC 2=AB 2+AB ·BC .变式：如图，AM 是△ABC 的BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).（3）如图，△ABC 中，AB =AC ，P 为线段BC 上一动点，试猜想AB 2，AP 2， PB ，PC 有何关系，并加以证明.D CBAPDCB ADCBAM BA变式：若点P 在BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.（4）在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上取点P 并设s =AP 2+BP 2，试探求P 点位置变化时，s 与2CP 2的大小关系，并证明.变式：若点P 在BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.【例6】（1）如图，△ABC 中，D 为BC 边上的中点，以D 为顶点作∠EDF =90°，DE 、DF 分别交AB 、AC 于E 、F ，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC =90°.P CB APC APCBACBAFED（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.AB C变式一:将（2）中△AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.AE变式二：如图，△AEF中∠EAF=45°，AG⊥EF于G，且GF=2，GE=3，求S△AEF.AG【例7】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.（2）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =CD ，求证BD 2=AB 2+BC 2.【例8】在等腰△ABC 中，AB =AC ，边AB 绕点A 逆时针旋转角度m ，得到线段AD . （1）如图1，若∠BAC =30°，30°＜m ＜80°，连接BD ，请用含m 的式子表示∠DBC ;（2）如图2，若∠BAC =90°，0°＜m ＜360°，射线AD 与直线BC 相交于点E ，是否存在旋转角度m，使AEBE若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由.【例9】（1）已知点P 在一、三象限的角平分线上，且点P 到点A （3，6）的距离为PA =15，求点P 的坐标；PCBADCBADCB AE DCBA（2）已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断△ABC的形状；（3的最小值；（4）已知a＞0，b＞0.自我归纳：四、课后练习1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？2.在△ABC 中，A =30°，B =45°，BC =10cm ，求AB ，AC 及△ABC 的面积.3.（1）如图，把长方形沿ABCD 对角线折叠，重合部分为△EBD . 1）求证和：△EBD 为等腰三角形； 2）若AB =2，BC =8，求AE .（2）如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上，已知AB =8cm ，CE =4cm ，求AD .4．如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC =90°，AB =AC ，D .E .是BC 上的两点，且∠DAE =45°，若BD =6，EC =8，求DE 的长.MDB A北C 'EDCB AFED CBA5．如图，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF. （1）求证：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积.6．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，P为△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC，求∠CPA.7．（1）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2. （2）①如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；C BAEDFC BAEPCB AAB CDP②如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3，（1）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明.归纳结论：8．如图，△ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2-AC2=2BC·DE.9.10．试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n>0）的三角形是否为直角三角形？11．已知a，b，x，y.PDCBAPDCBAED C BA12．如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且AB PF+AC PE +BCPD=12，求PD、PE、PF的长.PFED CBA欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
初中数学培优教材勾股定理专题(附答案-全面、精选)
初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、a²+b²= c²（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB²2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。
（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。
（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。
（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）A、6B、8C、10D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。
【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。
(精编)八年级数学培优专题讲解《勾股定理》
八年级数学培优专题讲解《勾股定理》【培优图解】【技法透析】勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的应用主要用于计算和证明等．2．勾股数的推算公式①若任取两个正整数m、 n(m>n)，那么 m 2 －n，2mn，m＋n是一组勾股数．2 2 2k 2 1，k2 1是一组勾股数．②如果 k是大于 1 的奇数，那么 k，2 22 2k k③如果 k是大于 2 的偶数，那么 k，1，1是一组勾股数，2 2④如果 a，b，c是勾股数，那么 na，nb，nc(n是正整数 )也是勾股数．3．创设勾股定理运用条件当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系．在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或 90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．【名题精讲】考点 1运用勾股定理解有关＂折叠＂问题例 1 如图，折叠长方形 ABCD一边，点 D落在 BC边的点 F处，若 AB＝8cm，BC ＝10 cm，求 EC 的长．【切题技巧】由图形易知△ ADF≌△ AFE，从而 AD＝AF，DE＝EF．先在 Rt△ABF中用勾股定理求出 BF，再在 Rt△EFC中由勾骰定理列方程可求EC 的长．【规范解答】【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”，或“等腰三角形”等对称图形问题，勾股定理是常常用到的计算方法，体现了勾股定理作为主要计算工具在解决与直角三角形相关图形变换的综合题中的具体应用．【同类拓展】 1．把一张长方形纸片 (长方形 ABCD)按如图 17－2所示的方式折叠，使顶点 B和点 D重合，折痕为 EF．若 AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△ DEF 的面积是2_______cm．考点 2运用勾股定理的逆定理求角度例 2 如图，在正方形 ABCD中， PA＝ 1，PB＝2，PC＝3，P在正方形内部，试求∠APB 的度数．【切题技巧】【规范解答】【借题发挥】旋转变换后再运用勾股定理及逆定理是求三角形角的度数的常见方法，即用恰当的旋转变换方式来构建直角三角形．能够使用旋转法的条件是旋转后的图形与原图形有边相等能够重合．2．如图，等边△ ABC内有一点 P，若点 P到顶点 A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠ APB 的度数．考点 3求立体图形中的两点之间的最短距离例 3 如图所示，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到 B'点，那么沿哪条路线最短？最短路程是多少？已知长方体的长为2cm、宽为 1cm、高为 4cm．【切题技巧】由于蚂蚁沿长方体的表面爬行，故需把长方体展开成平面图形，根据两点之间线段最短和“勾股定理”可求解．【规范解答】【借题发挥】“最短路线”是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地，求“最短路线”要“立体问题”转化为“平面问题”，这类问题涉及到的几何体主要有长方体、同正方体、圆柱、圆锥等．在将几何体的表面展开时，要注意确定展开图中两点的相应位置．时，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况，因此，有些问题可能会求得几个不同的结果，这就需要通过分析比较后才能确定适合题意的答案．【同类拓展】3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和 lcm，A和 B是这个台阶的两个相对的端点， A点上有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是多少？考点 4勾股定理反其逆定理的综合运用1 例 4如图所示，正方形 ABCD中， E是 AD中点，点 F在 DC上，且 DF＝ DC，4试判断 BE和 EF 的位置关系？并说明你的理由．【切题技巧】观察图，会给我们BE与 EF垂直的直观印象．若直接证明BE与 EF 垂直，则十分困难．若连接BF，设 DF＝ a，利用勾股定理及其逆定理证明△BEF为直角三角形，得到 BE⊥EF．【规范解答】BF和 EF 的位置关系是： BE⊥EF．【借题发挥】勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题时是密不可分的，通常既要通过勾股定理求出三角形边长，又要通过逆定理判断一个三角形是直角三角形，两者相辅相成．4．如图，在四边形 ABCD中，∠ ABC＝30°，∠ ADC＝60°， AD＝CD，求证： BD 2 ＝AB＋BC．2 2考点 5勾股定理在实际问题中应用例 5如图 (1)，护城河在 CC'处直角转弯，宽度保持4米，从 A处往 B处，经过两座桥： DD'、EE'．设护城河是东西——南北方向的，A、B在东西向相距 64米，南北方向_______米．相距 84米，恰当地架河可使 AD、D'E'、EB 的路程最短，这个最短距离是【切题技巧】要判断最短路程，需先确定两座桥的位置，确定桥的位置后，再根据护城河的直角转弯形成的直角三角形利用勾股定理求解．【规范解答】如图 (2)，作 AA'⊥CD，AA'＝DD'，BB'⊥CE，BB'＝EE'，则折线 ADD'E'EB 的长度等于折线AA，D'E'B'B 的长度，即等于折线A'D'E'B' 的长度＋ AA'＋BB'．而折线A'D'E'B'以线段 A'B'最短，故题目所求最短路程S＝A'B'＋ 8，而 A'、B'在东西方向上相距为 64－4＝60（米），在南北方向上相距 84－8＝80（米）2 米，＝由勾股定理可知， A'B'＝60 802＝100( ) S 108（米）【借题发挥】实际问题中，最短路程问题等常常在构造直角三角形后，利用勾股定理计算求解．5．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5×6× 10(单位： cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边 AB距离为 1cm，到上盖中与 AB相邻的的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则 h 的最小值大约为 _______cm．（精确到个位，参考数据：2＝ 1.4，3＝1.7，5＝2.2）．考点 6勾股定理与函数的综合问题4 x例 6如图①，在平面直角坐标系中，双曲线y＝与直线 y＝交于点 A、B．(1)x 4求 AB 的长． (2)若点 P是第一象限双曲线上一动点，如图②所示，BC⊥AP于点 C，交 xAE2 BF 2轴于点 F，AP交 y轴于点 E，试判断的值是否为定值？并加以证明．EF 2【切题技巧】 (1)因为 A 、B 为双曲线与直线 的交点，所以只需将两个已知函数 的解AE 2 BF 2 EF 2析式成方程组，它们 的解即交点 A 、B 的坐标． (2)从结论 入手，联想勾股定理， 通过作辅助线将 AE 、BF 、EF 这三条线段转移到同一直角三角形中．【规范解答】【借题发挥】 (1)当题目中涉及线段平方时应联想到勾股定理，若这些线段不在直角 三角形中则应添加辅助线，将分散 的线段集中在同一直角三角形中， 本题还可以过点 B 作 BN ∥AE 交 y 轴于点 N ，将三条线段收集在 Rt △ BNF 中，如图 17－11③所示． (2)利用“中 点”能构成多种辅助线，要根据题目 的需要进行构造．【同类拓展】 6．已知△ OMN 中， OM ＝ON ，∠ MON ＝90°，点 B 为 MN 的延长线上一点， OC ⊥OB ．且 OC ＝OB ，OG ⊥ BC 于 G ，交 MN 于点 A ． (1)如图①所示，①求证：∠ CMB ＝90°；②求证： AM 2＋BN ＝AB 2 2 ； (2)如图②，在条件 (1)上，过 A 作 AE ⊥OM 于 E ，过 B 作 BF ⊥ ON 于 F ，EA 、BF 的延长线交于点 P ，则 PA 、AE 、BF 之间 的数量关系为 _______；△ AME 、△ PAB 、△ BFN 的面积之间 的关系为 _______．k (3)如图③，在条件 (2)下，分别以 OM 、ON 为 x 轴和 y 轴建立坐标系，双曲线 y ＝经 x过点 P ，若 MN ＝2 2，求 k 的值．参考答案1.5.12.150°3.13cm4.略5.26.(1)略 (2)(2)AE +BF =PA2.2 2 S△AME+S△BFN=S△PAB .。
勾股定理专题培优学案(勾股定理和几何计算、勾股定理和几何证明和勾股弦图)
勾股定理辅助线一、本章概述本章共分为勾股定理与几何计算、勾股定理与几何证明和勾股弦图三部分，都是勾股定理的重难点内容二、知识回顾1.勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边c的平方和。
（即：）2.勾股定理的逆定理（2）如果三角形的三边长：。
满足关系，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股定理的证明：（3）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进行割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
（4）常见方法如下：方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。
方法三：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.1. 勾股定理与几何计算一、本节概述本节主要讲解勾股定理常见的三个辅助线模型，将斜三角形问题，转化为直角三角形问题。
当遇到三角形内的几何计算，特别是长度计算时，可以考虑用勾股定理解决。
在没有直角三角形时，我们就构造直角三角形，方法就是作高。
要尽量作与题中条件有关系的高，总有一条适合你的，比如特殊角所对的高。
二、典例精析知识点：勾股定理与几何计算【例1】如图，已知AC=2,思路分析：标记条件，题目中给出三角形的两个角和一条边，符合“AAS”，故三角形形状固定，可通过作高转化为勾股定理来解决，作高的时候，要充分利用特殊角。
作AB角形问题。
解：，先从右边已知一边和一角的直角三角形入手，这是个（）的特殊直角三角形。
得到CD后，再看左边已知一边和一角的直角三角形，这是个（）的特殊直角三角形。
方法总结这是利用勾股定理时常见的辅助线做法之一：三角形给出的条件满足“AAS”，作高的时候要充分利用特殊角，使分割后得到的直角三角形可求解即可，此例题是垂线在三角形内，并获得特殊直角三角形的例子。
【例2】思路分析：标记条件，给出的三角形符合“SAS”，故形状固定，可通过作高解决，作高时要充分利用特殊三角形，因为给出的特殊角是钝角，故可利用它的补角。
专题勾股定理培优版(综合)
专题 勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换 （一）动点证明题1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，（1）若P 为边BC 上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP =AB 2-AP 2；（2）若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.（二）最值问题2.如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE =3 ，BE =1，P 为AC 上的动点，则PB +PE 的最小值是ABPCBCPADPED C C将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.D C CD C C长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决． （1）请你回答：图中BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD 和AB 的长．图① 图②DB C图2图1A'PPA ABCBC5.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP 的最大值是 ．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）6.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数. BAC图3CABP变式1：∆ABC 中， ∠ACB=90º，AC=BC ，点P 是∆ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的度数变式2：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3CBAPCA BEF MN图① 7. 已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在∠ACE 的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．变式1：如图，在Rt ABC ∆中, 90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒ 且3BD =,4CE =,则DE =变式2：如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕 点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ； ③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=其中正确的是（ ） CABE F MN 图②BCDEFA（三）其它应用7. 在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展：（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：（3）若ABC △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图．．法．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．8.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式．。
勾股定理培优专项练习
勾股定理练习(根据对称求最小值)基本模型：已知点A 、B 为直线 m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点M ，使得AM+BM 有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC 上一点E ，AE=1，AD ⊥BC 于D,请在AD 上找一点N ，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
2、.已知边长为4的正方形ABCD 上一点E ，AE=1，请在对角线AC 上找一点N ，使得EN+BN 有最小值，并求出最小值。
3、如图，已知直线 a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线 a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=2．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足30MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124、已知AB=20，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=10，CB=5．（1）在AB 上找一点E ，使EC=ED ，并求出EA 的长；（2）在AB 上找一点F ，使FC+FD 最小，并求出这个最小值25、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 ，M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为．6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB．边上一点，则EM+BM的最小值为7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）66A．2 B．2C．3D．9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，cm连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.几何体展开求最短路径1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm？2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。
勾股定理专题训练(培优篇)
专题：勾股定理专题分类训练【知识要点】：1.勾股定理：2.勾股定理逆定理：3.勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫⎝⎛K 是一组勾股数。
④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
4.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有：3，4， _____； 5，12， _____； 7，_____，25； 8，_____，17； 9，_____，41。
【证明篇】(证法)1以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.（1876年美国总统Garfield 证明）(证法2)（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.(证法3)（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .【应用篇】应用一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示17的点．4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．5（2012，黔东南州，6）如图1，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的坐标为（ ）A 、（2，0）B 、（51,0-）C 、（101,0-）D 、（5,0）c bacb a ABCD EFGHMLK应用二、利用列方程求线段的长1．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？2．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．3（2012山东省荷泽市，16(2),6）(2)如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC 边上取一点D,将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标.应用三、判别一个三角形是否是直角三角形1、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）2、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有ADEBC3、若三角形的三别是a 2+b 2,2ab,a 2-b 2(a>b>0),则这个三角形是 .应用四、立体图形中的最短路径1、小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
勾股定理培优
第一章回顾与思考（勾股定理培优）【课前预习】 按自学提纲阅读教材。
【学习目标】1、复习巩固勾股定理及其逆定理的内容；2、能利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
【自学过程】1、回顾完成以下知识点：（1）勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方，即：a2+b2=c2。
公式变形：a2 = ； b2= 。
（a=22b c - ；22b c b -=；22b a c +=）（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
（3）满足222c b a =+的三个 ，称为勾股数。
【例题讲解】1. 已知△ABC 中，AB=20，AC=15，BC 边上的高为12，求△ABC 的周长。
2．如右图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AM 是中线MN ⊥AB ，垂足为N ，试证明：222AN BN AC -=。
3．一直角三角形的一直角边长为7，另两条边长为两连续整数，求这个直角三角形的周长。
4．如果一个直角三角形的三条边长是三个连续整数，求这个三角形的周长。
5．如图，某同学将一直角三角形纸片折叠，A 与B 重合，折痕为DE ，若已知AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？6．已知：如图，将正方形纸片ABCDD 落在F 处，若正方形边长为1，求DE 。
7．如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上的任意一点（不与B ，C 重合）。
求证：（1）22AB AP BP PC -= （2）2222BP PC AP +=8．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存？若存在，确定它的三边长，若不存在，说明理由。
9．已知：△ABC 中，AB=15cm,AC=24cm ,∠A=60°,求BC 的长。
10．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且A E ⊥BC 于E ，若AB=12，BC=10，AC=8，11．如图，长方形ABCD 中，AB=8。
人教版初中数学培优-勾股定理(2)
第17章 勾股定理一．勾股定理：1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b; 斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
3. 勾股定理的变式：在△ABC 中，∠C=90，则222a cb -=,222b c a -=,22b a c +=,22b c b -=,22b c a -=4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a ，b ，c 及a 2+b 2=c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c ， 那么以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
一、选择题：1． 如图1字母B 所代表的正方形的面积是 ( )A ． 12B ． 13C ． 144D ． 1942． 小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ）A ．2mB ．2.5cmC ．2.25mD ．3m3． △ABC 中，若AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长是( ) A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或334． 已知x 、y 为正数，且│24x -│+22(3)0y -=，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A ．5 B ．25 C ．7 D ． 155． 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是 ( )A ． ab =h 2B ． a 2+b 2=2h 2C ． a 1+b 1=h 1D ． 21a +21b =21h6． 如图2，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，若AB =3，AD = 4，那么（ ）A ．125PE PF +=B ．121355PE PF <+< C ． 5PE PF += D ． 34PE PF <+<7． 直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）A ．182B ．183C ．184D ．1858． 三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（ ）A ．6B ．4.5C ．2.4D ．89． 下列各组线段中的三个长度①9、12、15； ②1、2、3； ③32、42、52； ④3a 、4a 、5a （a >0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m >n ）其中可以构成直角三角形的有（ ） A ．5组 B ．4组 C ．3组 D ．2组10．在同一平面上把三边BC =3，AC =4、AB =5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ）A．125 ； B ．135 ； C ．56 ； D ．24511．如图3，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） A ． CD 、EF 、GH B ． AB 、EF 、GH C ． AB 、CD 、GH D ． AB 、CD 、EF 12．下列说法中， 不正确的是 （ ）A ． 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B ． 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C ． 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D ． 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形 13．下列四组数中是勾股数的有（ ）①1.5，2.5，2 ，2 ③12，16，20 ④5，12，14A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组14．若ABC △的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2十338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（ ）A ．338B ．24C ．26D ．3015．直角三角形三条边的比是3∶4∶5。
勾股定理培优专项练习
.勾股定理练习 (依据对称求最小值 )基本模型：已知点 A、B 为直线 m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点 M ，使得 AM+BM 有最小值。
1、已知边长为 4 的正三角形 ABC 上一点 E，AE=1，AD⊥BC 于 D,请在 AD 上找一点 N，使得 EN+BN 有最小值，并求出最小值。
2、.已知边长为 4 的正方形 ABCD 上一点 E， AE=1，请在对角线 AC 上找一点 N，使得 EN+BN 有最小值，并求出最小值。
3、如图，已知直线a∥b ，且 a 与 b 之间的距离为4，点直线 b 的距离为 3，AB=230 ．试在直线a上找一点A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到M，在直线 b 上找一点 N，知足MN ⊥ a 且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= （）A．6B．8C．10D．12.4、已知 AB=20，DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，DA=10 ，CB=5．（1）在 AB 上找一点 E，使 EC=ED，并求出 EA 的长；（2）在 AB 上找一点 F，使 FC+FD 最小，并求出这个最小值5、如图，在梯形ABCD 中，∠ C=45°，∠ BAD=∠ B=90°，AD=3 ，CD=2 2 ，M 为 BC 上一动点，则△ AMD 周长的最小值为．6、如图，等边△ ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线， M 是 AD 上的动点， E 是 AB 边上一点，则 EM+BM 的最小值为．.7、如图∠ AOB = 45 °，P 是∠ AOB 一点， PO = 10 ，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．8．如下图，正方形ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋ PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．26C．3D．69、在边长为 2 cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连结 PB、PQ，则△ PBQ 周长的最小值为cm10、在长方形 ABCD 中， AB=4,BC=8,E 为 CD 边的中点，若 P、Q 是 BC 边上的两动点，且PQ=2，当四边形 APQE 的周长最小时，求BP的长 .几何体睁开求最短路径1、如图 ,是一个三级台阶 ,它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和 B 是这个台阶两相对的端点， A 点有一只昆虫想到 B 点去吃爽口的食品，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短行程是多少dm ？2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为 4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短行程．3、如图，一个高18m ，周长 5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔围绕一周半抵达顶端，问登梯起码多长？(建议：拿一白纸着手操作，你必定会发现此中的奇妙)4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的极点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角极点C1 处（三条棱长如下图），问如何走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器壁离容器底部0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸亏容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A 处，求壁虎捕获蚊子的最短距离。
勾股定理培优讲义
勾股定理专题一、勾股定理与逆定理【例1】【巩固】.△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是_________ A ．如果∠C ﹣∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．如果c 2＝b 2﹣a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°C ．三角形边长分别是2n +1、2n 2+2n 、2n 2+2n +1（n 是正整数），则此三角形是RT △D ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形【例2】三角形。
则该三角形为满足的三边若______,264210338,,ABC 222c b a c b a c b a ++=+++∆【巩固】【例3】已知直角三角形的三边长为5、12、x ，则x 2＝ ．【巩固】【例4】在△ABC中，若a2＝b2﹣c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2﹣c2，则∠B是．【巩固】二、面积与勾股【例1】如果等腰三角形的两条边的比是1：2，周长是40cm，那么这等腰三角形底边上的高是cm．【巩固1】等腰三角形的其中两边之比为2:3，底边长为6，则其面积为．【巩固2】若一个等腰三角形的两边长分别为4cm和2cm，则它的面积是cm2．【例2】如图，大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则AC边上的高为．【巩固1】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．（1）求△ABC的面积。
（2）求点A到BC的距离。
【巩固2】【例3】分别以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆，AC＝2，BC＝3，那么以AB为直径的半圆面积为．【巩固1】【巩固2】三、折叠与勾股【例1】如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN长．【巩固1】【巩固2】四、旋转与勾股【例1】【巩固1】【巩固2】【巩固3】五、线段和最值问题【例1】如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）（2）最低费用为多少？【巩固】如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．【例2】【巩固】的最小值？，求，连接于上任意一点，是，点，，于点，中，在PEBPBPEACPEAD3DC32ABDBCAD45ABC2+⊥= =⊥=∠∆︒P ABC六、勾股与K型全等【例1】90，AB =BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线【巩固】如图，已知△ABC中，∠ABC=︒，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则AC的长是________七、综合【例1.中点的妙用】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB．（1）说明DC=DG；（2）若DG=7，EC=4，求DE的长．【巩固】【例2】【例3】【例4】。
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2014勾股定理培优资料（四）
典型例题解析
例1若△ABC 的三边长为a 、b 、c ，根据下列条件判断△ABC 的形状。
（1）a 2+b 2+c 2+200=12a +16b +20c (2) a 3－a 2b +ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0
例2、 在三角形ABC 中，BC=6，AD 是BC 边上的中线，交BC 于点D ，AD=3，AB+AC=8， 求三角形ABC 的面积。
例3 、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2
=AC 2
+BD 2
.
例4、如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，求矮建筑物的高CD
A
B
C
M
D
β
αG
D
C
B
A
例5、.如图，P 是等边三角形ABC ∆内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以BP 为边作 60=∠PBQ ，且BQ=BP ，连结CQ 、PQ ，若PA:PB:PC=3:4:5,试判断PQC ∆的形状。
例6、如图，ADC ∆和BCE ∆都是等边三角形，
30=∠ABC ， 试说明：2
22BC AB BD +=
例7、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
（1）说明：2
22EF CF BE =+
(2)若BE=12,CF=5，试求DEF ∆的面积。
。
C
B
D
培优提高练习
1、 在Rt△ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长 （ ） A 、5 B 、7 C 、5或7 D 、5或11
2、如图有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现想把它们摆成两个直角三角形，则摆放正确的是 （ ）
7
24
25
20
7
15
2024
25
7
25
20
24
257
2024
15
(A)
(B)
(C)
(D)
3、已知△ABC，在下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；
③2
22c a b -=；
④2:3:1::=c b a ；⑤2222,2,n m c mn b n m a +==-=（m 、n 为正整数，且m>n ）中,使△ABC 成为直角三角形的选法有 （ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
4、如图, △ABC 的三边，AC=3、BC=4、AB=5,把△ABC 沿最长边AB 翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于 （ ）
A.
56 B.5
12 C.513 D.524
5、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重
合部分△EBD 的面积为________．
6、如图点C 是以为AB 直径的半圆上的一点，4,3,90==︒=∠BC AC ACB 则图中阴影部分的面
积是
7、如图在四边形ABCD 中，12,3,4,90,90===︒=∠︒=∠BC AB AD CBD BAD 则正方形DCEF
的面积是
8、如图，已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b ＝4，ab=1，c=14。
则△ABC 的形状为
9、已知：ΔABC 中，AB=17cm,BC=30cm,BC 边上的中线AD=8cm,求证：ΔABC 是等腰三角形.
10、 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是
，求这个三角形的面积．
C
B
11、若ΔABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2
+338=10a+24b+26c,试判断ΔABC 的形状.
12、已知：如图，DE=m,BC=n,∠EBC 与∠DCB 互余，求BD 2
+CE 2
的值。
13、如图2-9，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2， 求∠BPC 的度数．
14、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.
;23
,4)3(;22,31)2(;21,21)1(322212==+==+=
=+S S S （1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；
（3）求出2
10
232221S S S S ++++ 的值．
15、如图，长方形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.
⑴若点P 是边AD 上的一个动点,当P 在什么位置时PA=PC?
⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点,若4
15
AQ =
时, QP' 与C P '垂直吗？为什么？
1
……
S 1
A 2
S 2
A 3
S 3
S 4S 5
A 6
A 5A 4A 1O
1
11
1
1
D
C
A
B
B
E
C
D。