1.求曲线轨迹方程专题
求曲线的轨迹方程的方法
成都市新都香城中学数学组
李发林
2014年2月25日星期二
几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性 质而得出)的动点所满足的几何条件列 出等式，再用坐标代替这等式，化简 得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1：已知一曲线是与两个定 点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1/2 的点的轨迹，求此曲线 的方程。教材P.86例5
3、过点P（2,4）作两条互 相垂直的直线l1,l2, l1交x轴 于A点，l2交y轴于点B，求 线段AB的中点M的轨迹方 程。
4、已知方程
x y 2(m 3) x 2(1 4m ) y 16m 9 0
2 2 2 4
表示一个圆。求圆心的轨迹方程。
结论：到两个定点A、B的距离之比等于常 数的点的轨迹：当＝1时，轨迹是线段AB的 垂直平分线；当 1时，轨迹是圆。
练习：设两点A、B的距离 为8，求到A、B两点距离 的平方和是50的动点的轨 迹方程。
2．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可 用x、y表示，则将Q点坐标表达式代 入已知曲线方程，即得点P的轨迹方 程．这种方法称为相关点法(或代换 法)．
Y
p
o
A
X
变式2：如图，已知点P是圆x2＋ y2=16上的一个动点，点A是x轴上的 定点，坐标为（12,0）.若D点是AOP 的平分线与PA的交点，当点P在圆上 运动时，求点D的轨迹方程。Y Nhomakorabeap
o
A
X
练习：三角形ABC的两个顶点A， B的坐标分别是A（0,0），B （6,0）顶点C在曲线y=x2+3上 运动，求三角形ABC的重心G的 轨迹方程。
求曲线的轨迹方程
第九章
平面解析几何
解析：由题设知|x1|> 2，A1(－ 2，0)，A2( 2，0)，则有 y1 直线 A1P 的方程为 y＝ (x＋ 2)，① x1＋ 2 － y1 直线 A2Q 的方程为 y＝ (x－ 2)，② x1－ 2 2 2 x＝x1， x1＝x， 联立①②，解得 所以 ③ 2 y 2 y 1 y＝ y1 ＝ ， x ， x1
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第九章
平面解析几何
直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立合理的直角坐标系； (2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标 表示为代数方程； (3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方 程．
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第九章
平面解析几何
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系 “翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性． [提醒] 对方程化简时， 只要前后方程解集相同， 证明一步可
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第九章
平面解析几何
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第九章
平面解析几何
利用相关点法(代入法)求轨迹方程 [典例引领] x2 y2 (2018· 杭州模拟)已知点 Q 在椭圆 C： ＋ ＝1 上， 点 16 10 → 1 → → P 满足OQ＝ (OF1＋OP)(其中 O 为坐标原点，F1 为椭圆 C 的 2 左焦点)，则点 P 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．抛物线 D．椭圆
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第九章
平面解析几何
直接法求轨迹方程(高频考点) 直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法， 也是高考考查的重要内容．主要命题角度有： (1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)； (2)无明确等量关系求轨迹方程．
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第4节 求轨迹方程的专题训练
2 kt
t
(t为参数),直线l2的参数方程为
x y
2 m k
m
(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
写出C的普通方程.
【解析】 直线l1的普通方程为y k(x 2), 直线l2的普通方程为x 2 ky, 消去k得, x2 y2 4 即C的普通方程为x2 y2 4.
【例11】 (新课标卷)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x, 设长为 2 的线段AB在直线l上移动,求直线PA和QB交点M的轨 迹方程.
【解析】 PA和QB的交点M (x, y)随A、B的移动而变化, 故可设A(t,t), B(t 1,t 1),则直线PA的方程 : y 2 t 2 (x 2)(t 2),
(4)多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个 方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少).
【例9】 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A 点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
【解析】设M (x, y),连接MP,则A(2x, 0), B(0, 2 y), l1 l2 ,△PAB为直角三角形.
(2)用参数法求解时,选用什么变量为参数,要看动点随什么量 的变化而变化,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量, 如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横、 纵坐标等.也可以没有具体的意义.常见的参数有:斜率、截距、 定比、角、点的坐标等.
(3)选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值 范围的影响,要特别注意消参前后保持范围的等价性.
高三C专题(曲线与方程：轨迹方程的求法3星)
专题：曲线与方程：轨迹方程的求法（★★★）教学目标（1）理解曲线与方程的概念（两个关系）； （2）知道求曲线方程需要适当选取坐标系的意义； （3）掌握求曲线方程的一般方法和步骤；（4）体会通过坐标系建立曲线方程、再利用代数方法研究曲线几何性质的基本思想。
知识梳理5 min.1. 曲线方程的定义：一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解； ②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点。
此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线。
2.利用集合与对应的观点理解曲线方程的概念：设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合；}0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合。
于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于 ⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =。
3.求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式； （4）用坐标y x 、表示这个等式，并化简；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明。
4.求曲线方程的方法；（1）直译法：根据条件中提供的等量关系，直接列出方程；（2）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上运动，求另一动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代人到已知曲线之中，得出所要求的轨迹方程； （3）参数法：单参数法；交轨法；坐标法；定形法。
典例精讲例1.（★★★）若点p 到直线1-=x 的距离比它到点)2,0(的距离小1，则点p 的轨迹为 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】：由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线．答案：D例2.（★★★）已知两点)0,2(),0,2(N M -，点p 为坐标平面内的动点，满足| MN u u u u r |·|MP u u u r |＋MN u u u u r ·MP u u u r＝0，则动点),(y x p 的轨迹方程为 ( )A ．x y 82= B ．x y 82-= C ．x y 42= D ．x y 42-=【答案】：|MN u u u u r |＝4，|MP u u u r |＝(x ＋2)2＋y 2，MN u u u u r ·MP u u u r＝4(x －2)，∴4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0，∴y 2＝－8x . 答案：B例3.（★★★）从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，则线段QN 的中点P 的轨迹方程为____________．【答案】：设P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，则N (2x －x 1,2y －y 1)，∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，∴y －y 1x －x 1＝1， 即x －y ＋y 1－x 1＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.又∵Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴21x －21y ＝1.∴(32x ＋12y －1)2－(12x ＋32y －1)2＝1. 整理，得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0即为中点P 的轨迹方程．例4.（★★★）已知圆C 的方程为422=+y x .(1)直线l 过点)2,1(P ，且与圆C 交于B A 、两点，若32=AB ，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．【答案】：(1)①当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23满足题意；②当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 设圆心到此直线的距离为d ， 则23＝24－d 2，得d ＝1. ∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．∵OQ u u u r ＝OM u u uu r ＋ON u u u r ，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2.又∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4(y ≠0)．∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点．课堂检测1.（★★★）如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ， 设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】：由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线．∴|MP |＝|PF |，∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)， 又显然|MO |>|FO |，∴点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆． 答案：A2.（★★★）已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1 D ．2y ＝8x 2＋1 【答案】：设AP 的中点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则有x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入220x －y 0＝0，得2y ＝8x 2－1. 答案：C3.（★★★）平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC u u u r ＝λ1OA u u u r ＋λ2OB u u u r(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是 ( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【答案】：设C (x ，y )，则OC u u u r ＝(x ，y )，OA u u u r＝(3,1)，OB u u u r＝(－1,3)，∵OC u u u r ＝λ1OA u u u r ＋λ2OB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线． 答案：A4.（★★★）已知点P (x ，y )对应的复数z 满足|z |＝1，则点Q (x ＋y ，xy )的轨迹是( )A ．圆B ．抛物线的一部分C ．椭圆D ．双曲线的一部分 【答案】：由题意知x 2＋y 2＝1，∴(x ＋y )2－2xy ＝1.令x ＋y ＝m ，xy ＝n ，则有m 2－2n ＝1，∴m 2＝2n ＋1. 又∵2|xy |≤x 2＋y 2＝1，∴－12≤n ≤12.∴点Q 的轨迹是抛物线的一部分． 答案：B5.（★★★）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【答案】：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，其中x ∈[-4,4]．由已知|OP |2|OM |2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[-4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112.所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4 ≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，当0＜λ＜34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34＜λ＜1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．回顾总结4 min.。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整顿求轨迹方程是高考中罕有的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳,供同窗们参考.求轨迹方程的一般办法：1.直译法：假如动点P的活动纪律是否合乎我们熟知的某些曲线的界说难以断定,但点P知足的等量关系易于树立,则可以先暗示出点P所知足的几何上的等量关系,再用点P的坐标（x,y）暗示该等量关系式,即可得到轨迹方程.2.界说法：假如动点P的活动纪律合乎我们已知的某种曲线（如圆.椭圆.双曲线.抛物线）的界说,则可先设出轨迹方程,再依据已知前提,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程3. 参数法：假如采取直译法求轨迹方程难以奏效,则可追求引动员点P活动的某个几何量t,以此量作为参变数,分离树立P 点坐标x,y与该参数t的函数关系x＝f（t）, y＝g（t）,进而经由过程消参化为轨迹的通俗方程F（x,y）＝0.4. 代入法（相干点法）：假如动点P的活动是由别的某一点P'的活动激发的,而该点的活动纪律已知,（该点坐标知足某已知曲线方程）,则可以设出P（x,y）,用（x,y）暗示出相干点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5.交轨法：在求动点轨迹时,有时会消失请求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题平日经由过程解方程组得出交点（含参数）的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程）,该法经常与参数法并用. 6. 待定系数法：已知曲线是圆,椭圆,抛物线,双曲线等一.直接法把标题中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程根本步调是：建系.设点.列式.化简.解释等,圆锥曲线尺度方程的推导. 1. 已知点(20)(30)A B -，，，,动点()P x y ，知足2PA PB x =·,求点P 的轨迹.26y x =+,2. 2.已知点B （－1,0）,C （1,0）,P 是平面上一动点,且知足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程;（2）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD⊥AE,断定：直线DE 是否过定点？试证实你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k1.k2知足k1·k2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二.界说法应用所学过的圆的界说.椭圆的界说.双曲线的界说.抛物线的界说直接写出所求的动点的轨迹方程,这种办法叫做界说法．这种办法请求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的前提,或应用平面几何常识剖析得出这些前提．1. 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是解：如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M 到定圆圆心（－2,0）的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以（－2,0）为核心,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,极点是（1,0）,启齿向左,所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2.一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为解：如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线界说知,其轨迹是以O.C 为核心的双曲线的左支3.在ABC △中,24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 地点直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴树立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是认为B C ，核心的椭圆,个中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 留意：求轨迹方程时要留意轨迹的纯粹性与完整性.4.设Q 是圆x2+y2=4上动点另点A （3.0）.线段AQ 的垂直等分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45),当Q 点在圆周上活动时,求点P 的轨迹方程．解：衔接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ 上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆界说可知：P 点轨迹是以O.A 为核心的椭圆．5.已知ΔABC中,A,B,C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列,|AB|=2,求极点C 的轨迹方程 解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的界说可知,点C 的轨迹是以A.B 为核心的椭圆,其长轴为4,焦距为2, 短轴长为23,∴椭圆方程为13422=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧,必有x<0,而C 点在x 轴上时不克不及组成三角形,故x≠─2,是以点C 的轨迹方程是：13422=+y x (─2<x<0) 点评：本题在求出了方程今后评论辩论x 的取值规模,现实上就是斟酌前提的须要性6.一动圆与圆22650x y x +++=外切,同时与圆226910x y x +--=内切,求动圆圆心M 的轨迹方程,并解释它是什么样的曲线.解析：（法一）设动圆圆心为(,)M x y ,半径为R ,设已知圆的圆心分离为1O .2O ,将圆方程分离配方得：22(3)4x y ++=,22(3)100x y -+=,当M 与1O 相切时,有1||2O M R =+①当M 与2O 相切时,有2||10O M R =-②将①②两式的双方分离相加,得21||||12O M O M +=, 即2222(3)(3)12x y x y +++-+=③移项再双方分离平方得：222(3)12x y x ++=+④双方再平方得：22341080x y +-=,整顿得2213627x y +=, 所以,动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=,轨迹是椭圆. （法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12x y x y +++-+=, 由以上方程知,动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12,所以点M 的轨迹是核心为1(3,0)O -.2(3,0)O ,长轴长等于12的椭圆,并且椭圆的中间在坐标原点,核心在x 轴上,∴26c =,212a =,∴3c =,6a =,∴236927b =-=,∴圆心轨迹方程为2213627x y +=. 三.相干点法此办法实用于动点随已知曲线上点的变更而变更的轨迹问题. 若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0.y0可用x.y 暗示,则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程．这种办法称为相干点法(或代换法)．x y 1O 2O P1.已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1).B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP∶PA=1∶2,当B 点在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程．剖析解：设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P 为线段AB 的内分点．2.双曲线2219x y -=有动点P ,12,F F 曲直线的两个核心,求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程.解：设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ,∴在已知双曲线方程中3,1a b ==,∴9110c =+=∴已知双曲线两核心为12(10,0),(10,0)F F -,∵12PF F ∆消失,∴10y ≠ 由三角形重心坐标公式有11(10)10003x x y y ⎧+-+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即1133x x y y =⎧⎨=⎩ . ∵10y ≠,∴0y ≠.3.已知点P 在双曲线上,将上面成果代入已知曲线方程,有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠.4.（上海,3）设P 为双曲线-42x y2＝1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是.解析：设P （x0,y0） ∴M（x,y ） ∴2,200y y x x ==∴2x＝x0,2y ＝y0∴442x －4y2＝1⇒x2－4y2＝15.已知△ABC 的极点(30)(10)B C -，，，,极点A 在抛物线2y x =上活动,求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，,00()A x y ，,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上,200y x =∴． ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠． 四.参数法假如不轻易直接找出动点的坐标之间的关系,可斟酌借助中央变量（参数）,把x,y 接洽起来．若动点P （x,y ）的坐标x 与y 之间的关系不轻易直接找到,而动点变更受到另一变量的制约,则可求出x.y 关于另一变量的参数方程,再化为通俗方程．1.已知线段2AA a '=,直线l 垂直等分AA '于O ,在l 上取两点P P '，,使有向线段OP OP '，知足4OP OP '=·,求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2,以线段AA '地点直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴树立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 由点斜式得直线AP A P ''，的方程分离为4()()t y x a y x a a ta =+=--，． 两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程,症结有两点：一是选参,轻易暗示出动点;二是消参,消参的门路灵巧多变.2.设椭圆中间为原点O,一个核心为F （0,1）,长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程;（2）设经由原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q,点P 在该直线上,且12-=t t OQ OP,当t 变更时,求点P 的轨迹方程,并解释轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或 个中t ＞1．消去t,得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分．3.已知双曲线2222n y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的极点为A1.A2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P.Q 求直线A1P 与A2Q 交点M 的轨迹方程; 解设P 点的坐标为(x1,y1),则Q 点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),则A1P 的方程为y=)(11m x mx y ++① A2Q 的方程为y=－)(11m x mx y --② ①×②得y2=－)(2222121m x m x y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即 代入③并整顿得2222n y m x +=1此即为M 的轨迹方程4.设点A 和B 为抛物线 y2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M 的轨迹方程,并解释它暗示什么曲线 解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)直线AB 的方程为x=my+a由OM⊥AB,得m=－y x 由y2=4px 及x=my+a,消去x,得y2－4pmy －4pa=0所以y1y2=－4pa, x1x2=22122()(4)y y a p = 所以,由OA⊥OB,得x1x2 =－y1y2所以244a pa a p =⇒=故x=my+4p,用m=－y x代入,得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法二设OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -∴AB 的方程为2(2)1k y x p k=--,过定点(2,0)N p , 由OM⊥AB,得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法三设M(x,y) (x≠0),OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM⊥AB,得M 既在以OA 为直径的圆222220p p x y x y k k+--=……①上, 又在以OB 为直径的圆222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）,①2k ⨯+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点5.过点A （－1,0）,斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y2=4x 交于P,Q 两点.若曲线C 的核心F 与P,Q,R 三点按如图次序组成平行四边形PFQR,求点R 的轨迹方程;解：请求点R 的轨迹方程,留意到点R 的活动是由直线l 的活动所引起的,是以可以寻找点R 的横.纵坐标与直线l 的斜率k 的关系．然而,点R 与直线l 并没有直接接洽．与l 有直接接洽的是点P.Q,经由过程平行四边形将P.Q.R 这三点接洽起来就成为解题的症结．由已知:(1)l y k x =+,代入抛物线C ：y2=4x 的方程,消x 得：204k y y k -+=∵C l P 直线交抛物线于两点.Q∴20410k k ⎧≠⎪⎨⎪∆=->⎩解得1001k k -<<<<或设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ,M 是PQ 的中点,则由韦达定理可知：122,2M y y y k+==将其代入直线l的方程,得2212M M x k y k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵四边形PFQR 是平行四边形, ∴RF 中点也是PQ 中点M .∴242342M F Mx x x k y y k ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩又(1,0)(0,1)k ∈-⋃∴(1,)M x ∈+∞．∴点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y6.垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线y2=2(x –1)分离交于点A 和点P,点B 在y 轴上且点A 分OB 的比为1:2,求线段PB 中点的轨迹方程解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),设Q(x,y),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=t tt y t t x 223)2(4121222,消去t 得：y2=16(x –21) 点评：本题采取点参数,即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应剖析动点活动的原因,找出影响动点的身分,据此恰当地选择参数7.过双曲线C ：x2─y2/3=1的左核心F 作直线l 与双曲线交于点P.Q,以OP.OQ 为邻边作平行四边形OPMQ,求M 的轨迹方程解：k 参数法 当直线l 的斜率k 消失时,取k 为参数,树立点M 轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ 的中点N(x0,y0), l:y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依题意k≠3,∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2), ∴x=2x0=x1+x2=4k2/(3─k2),y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22231234k k y k k x , 消去k 并整顿,得点M 的轨迹方程为：1124)2(22=-+y x 当k 不消失时,点M(─4,0)在上述方程的曲线上,故点M 的轨迹方程为：点评：本题用斜率作为参数,即k 参数法,k 是经常应用的参数设点P.Q 的坐标,但没有求出P.Q 的坐标,而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上行止理,是处懂得析几何分解题的罕有技能8.（06辽宁,20）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 知足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为(I) 证实线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值.解析：(I)证实1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 整顿得:0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的随意率性一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=整顿得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅= 所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=.五.交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其进程是选出一个恰当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标合适的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．1. 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点M （x,y ）随 A.B 的移动而变更,故可设)1,1(),,(++t t B t t A ,则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t,得.082222=+-+-y x y x 当t=－2,或t=－1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的重要办法,也是经常应用办法,假如动点的活动和角度有显著的关系,还可斟酌用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何办法,都要留意所求轨迹方程中变量的取值规模．2.自抛物线y2＝2x 上随意率性一点P 向其准线l 引垂线,垂足为Q,贯穿连接极点O 与P 的直线和贯穿连接核心F 与Q 的直线交于R 点,求R 点的轨迹方程.解：设P （x1,y1）.R （x,y ）,则Q （－21,y1）.F （21,0）,∴OP 的方程为y=11x y x,①FQ 的方程为y=－y1（x －21）.②由①②得x1＝xx 212-,y1＝xy 212-,代入y2＝2x,可得y2＝－2x2+x.六.待定系数法当曲线（圆.椭圆.双曲线以及抛物线）的外形已知时,一般可用待定系数法解决.1.已知Ａ,Ｂ,Ｄ三点不在一条直线上,且(20)A -，,(20)B ，,2AD =,1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程;（2）过A 作直线交认为A B ，核心的椭圆于M N ，两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，,由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点,易知(222)D x y -，．又2AD =,则22(222)(2)4x y -++=．即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; （2）设1122()()M x y N x y ，，，,中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切, 2211k k =+∴,解得33k =±． 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整顿,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴,又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．2.已知圆C1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C2的方程为2222by ax +=1(a ＞b ＞0),C2的离心率为22,假如C1与C2订交于A.B 两点,且线段AB 恰为圆C1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2的方程..解：由e=22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设A(x1,y1).B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.3.已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 订交于A.B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率;（2 ）若椭圆的右核心关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上,求此椭圆的方程. 讲授:（1）设A.B 两点的坐标分离为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a , 依据韦达定理,得∴线段AB的中点坐标为（222222,ba b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为22=e .（2）由（1）知,c b =从而椭圆的右核心坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线2:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得b y b x 545300==且由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .。
曲线方程与轨迹问题专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版)
目录曲线与轨迹问题 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：求曲线方程】 (4)【典型例题】 (4)考点一：定义法 (4)考点二：直接法 (5)考点三：相关点法 (6)考点四：参数法 (7)【小试牛刀】 (8)【巩固练习——基础篇】 (9)【巩固练习——提高篇】 (9)曲线与轨迹问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3． 直线10xky与圆221x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切4． 设m ＞0，则直线)10l xy m与圆22:O x y m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切5． 直线l 与圆22240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(2,3)C ，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝06． 与圆22:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7． 过原点O 作圆2268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ的长为________．8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切9．两圆222x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( )D ．510．圆22616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．圆22460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0【知识点一：求曲线方程】一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；【典型例题】考点一： 定义法例1. 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。
求轨迹方程
求轨迹方程编稿；周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知学习目标：1．了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求出曲线的轨迹方程。
2．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想。
重点：掌握直接法、定义法（待定系数法）、相关点法、参数法等几种求曲线轨迹方程的常用方法。
难点：用相关点法、参数法求曲线轨迹方程。
学习策略：求轨迹方程是解析几何的基本内容，注意理解直接法、定义法（待定系数法）、相关点法、参数法等几种求曲线轨迹方程的常用方法通常各在什么情况下使用。
求出的轨迹方程，应注意避免增根或者丢根。
知识要点梳理求轨迹方程的主要方法(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。
(2)待定系数法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用待定系数法（定义法）直接探求。
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程。
适合情况：一动点在基础曲线上运动，依某种条件带动另一动点的运动，我们要求另一动点的轨迹方程。
基本步骤：①建立两动点之间的关系，通常用所求动点的坐标表示已知动点的坐标；②将基础曲线上运动的点的坐标代入基础曲线的方程，整理后，即得所求曲线的方程。
☆(4)参数法：若动点的坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，再通过消去参数t得到x与y的关系式，这就是参数法。
规律方法指导1．求轨迹方程的一般思路：①若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；②若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；③若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；④若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。
但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数。
2.求轨迹方程应注意的问题：①求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。
求曲线轨迹方程的方法
四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
高中数学曲线轨迹方程的求法
题目高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法 高考要求求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点 重难点归纳求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念 典型题例示范讲解例1如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程命题意图 本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程错解分析 欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题技巧与方法 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程解 设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR | 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程例2设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托 直线与抛物线的位置关系 错解分析 当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论技巧与方法 将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a由OM ⊥AB ，得m =－yx由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22122()(4)y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以244a pa a p =⇒= 故x =my +4p ,用m =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2(2)1ky x p k=--，过定点(2,0)N p ， 由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM ⊥AB ，得M 既在以OA 为直径的圆 222220p p x y x y k k+--=……①上， 又在以OB 为直径的圆 222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外），①2k ⨯+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点例3某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力知识依托 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键技巧与方法 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程解 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则|P A |+|PO |=(1+r)+(1 5－r)=2 5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为 3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+- 故所求圆柱的直径为76cm 例4已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线解 建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0) 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴)(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0 点M 的轨迹是以(－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆学生巩固练习1 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A 圆B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线2 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A 14922=+y xB 14922=+x yC 14922=-y xD 14922=-x y3 △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________4 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________ 5 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程6 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程7 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率8 已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值 参考答案1 解析 ∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆 答案 A2 解析 设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案 C3 解析 由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-答案 )4(1316162222ax a y a x >=-4 解析 设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0 答案 4x 2+4y 2－85x +100=05 解 设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P 由切线的性质知 |BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6 解 设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ) ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0)由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为 a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a )7 解 (1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为 y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为 y =－)(11m x mx y --②①×②得 y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1 此即为M 的轨迹方程(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e8 解 (1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0)|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2 故R 的轨迹方程为 x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2此时弦心距|OC在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
圆锥曲线专题复习试题和答案
题型一：求曲线轨迹方程1.如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。
求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1）则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ② 由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=02.抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。
解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42>=p px y 上，设A （),42A Ay py ，B （),42B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =By p4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(44222p y x py p y y y y y ABA B A A ---=-，即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x Py y y BA 4-+=②由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ， 即得2224)2(p y p x =+-。
所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。
解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。
2023年新高考数学大一轮复习专题37 求曲线的轨迹方程(原卷版)
专题37求曲线的轨迹方程【考点预测】曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果是某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y=的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集C，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F，上述定义中(1)(2)C FC FF C⇔⊆⎧⇔=⎨⇔⊆⎩条件条件【方法技巧与总结】一．直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点(),P x y（3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含,x y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,x y的方程式化简（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．二．定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．三．相关点法求动点的轨迹方程如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)P x y，用(,)x y表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．四．交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．五．参数方程法求动点的轨迹方程动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参.六．点差法求动点的轨迹方程圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程．【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：定义法 题型三：相关点法 题型四：交轨法 题型五：参数法 题型六：点差法题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 题型八：复数与圆锥曲线的轨迹 题型九：向量与圆锥曲线的轨迹 题型十：利用韦达定理求轨迹方程 【典例例题】 题型一：直接法例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点P 是椭圆22164x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段PM 的中点(),N x y 的轨迹方程为______．【方法技巧与总结】如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法．例2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)AP 到x 轴的距离最大值为_____.例3．（2022·全国·高三课时练习）已知点(),P x y 到定点10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到x 轴的距离大12．(1)求点P 的轨迹C 的方程；例4．（2022·湖南·模拟预测）已知平面直角坐标系中有两点()()122,0,2,0F F -，且曲线1C 上的任意一点P 都满足125PF PF ⋅=．求曲线1C 的轨迹方程并画出草图；例5．（2022·湖南湘潭·高三开学考试） 已知,A B 两点的坐标分别为(2,0),(2,0)-，直线,AP BP 的交点为P ，且它们的斜率之积14-．求点P 的轨迹E 的方程;题型二：定义法例6．（2022·全国·高三专题练习）已知定点A （1，1）和直线L ：x +y -2=0，那么到定点A 和到定直线L 距离相等的点的轨迹为（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【方法技巧与总结】若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆F ：()2221x y -+=，动圆P 与圆F 外切，且与定直线3x =-相切，设动点P 的轨迹为E ．求E 的方程；例8．（2022·江西南昌·三模（理））已知两条直线1l ：2320x y -+=，2l ：3230x y -+=，有一动圆（圆心和半径都在变动）与1l ，2l 都相交，并且1l ，2l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线例9．（2022·上海市大同中学高三开学考试）已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 和圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程_______例10．（2022·全国·高三专题练习）设动圆M 与y 轴相切且与圆C :2220x y x +-=相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为______.例11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末）已知圆1C ：()2239x y ++=和圆2C ：()2231x y +-=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为______.例12．（2022·全国·高三专题练习（理））设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；例13．（2022·全国·高三专题练习）已知P 是圆22:(1)16A x y -+=上的动点，M 是线段AP 上一点，()1,0B -，且PM MB =，求点M 的轨迹C 的方程例14．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））如图，已知圆1F 的方程为2249(1)8x y ++=，圆2F 的方程为221(1)8x y -+=，若动圆M 与圆1F 内切与圆2F 外切．求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；例15．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知圆M 与圆1F ：2221x y 外切，同时与圆2F ：()22249x y -+=内切.说明动点M 的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；例16．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．题型三：相关点法例17．（2022·全国·高三课时练习）设,A B 分别是直线2y x =和2y x =-上的动点，且满足AB 4=，则AB 的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．22116y x +=B ．22116x y +=C ．22116y x -=D ．22116x y -=【方法技巧与总结】有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式． 例18．（2022·全国·高三课时练习）已知ABC 的顶点()3,0B -，()1,0C ，顶点A 在抛物线2y x 上运动，则ABC 的重心G 的轨迹方程为______．例19．（2022·全国·高三课时练习）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q 的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ） A ．22650x y x +++= B ．22680x y x +-+= C ．22320x y x +-+=D ．22320x y x +++=例20．（2022·全国·高三课时练习）已知A 、B 分别是直线y =和y =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点．求动点P 的轨迹C 的方程．题型四：交轨法例21．（2022·四川凉山·高三期末（理））设椭圆22148x y +=的上、下顶点分别为A 、B ，直线y m =与椭圆交于两点M 、N ，则直线AM 与直线BN 的交点F 一定在下列哪种曲线上（ ） A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆【方法技巧与总结】在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．例22．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >）的离心率P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（ ） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O 例23．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）在矩形ABB A ''中，8,6A A AB ='=，把边AB 分成n 等份，在B B '的延长线上，以B B '的n 分之一为单位长度连续取点.过边AB 上各分点和点A '作直线，过B B '延长线上的对应分点和点A 作直线，这两条直线的交点为P ，如图建立平面直角坐标系，则点P 满足的方程是___________.例24．（河北省邢台市名校联盟2022届高三上学期开学考试数学试题）已知1A 、2A 为椭圆C ：2213y x +=的左右顶点，直线0x x =与C 交于AB 、两点，直线1A A 和直线2A B 交于点P .求点P 的轨迹方程.例25．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（理））已知反比例函数1y x=的图像C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；(2)设1A ､2A 为双曲线C 的两个顶点，点()00,M x y ､()00,N y x 是双曲线C 上不同的两个动点.求直线1A M 与2A N 交点的轨迹E 的方程；例26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0F ，过直线l ：4x =左侧且不在x 轴上的动点P ，作PH l ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且2PH MF =，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 与x 轴正半轴交于点1A ，过点()4,0S -的直线1l 交C 于A ，B 两点，AS BS λ=，点T 满足AT TB λ=，其中1λ<，证明：12ATB TSO ∠=∠.例27．（2022·全国·模拟预测（文））设抛物线C ：28x y =，过点()0,1的直线l 与C 交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的切线，两切线相交于点P ，求点P 的轨迹方程；例28．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，()2,3A 是双曲线C 上的一个点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点()4,0B 且不与渐近线平行的直线l （斜率不为0）与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为1l ，2l ，点P 为直线1l 与直线2l 的交点，试求点P 的轨迹方程（注：若双曲线的方程为22221x y a b-=，则该双曲线在点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b -=）例29．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=的(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例30．（2022·上海·高三专题练习）双曲线22221x y a b -=的实轴为12A A ，点P 是双曲线上的一个动点，引11A Q A P ⊥，22A Q A P ⊥， 1A Q 与2A Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程.例31．（2022·全国·高三课时练习）已知点()2,2P -、()0,2Q 以及直线:l y x =的线段AB 在直线l 上移动（如图所示），求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．题型五：参数法例32．（2022·新疆·皮山县高级中学高三期末（文））已知()2cos ,4sin A θθ，()2sin ,4cos B θθ-，当R θ∈时，线段AB 的中点轨迹方程为（ ） A ．22128x y -=B ．22128x y +=C ．22182y x -=D ．22182x y +=【方法技巧与总结】有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标(),x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．例33．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线:C y l ：y =kx (k ≠0)，若C 与l 有两个交点A 和B ，求线段AB 中点的轨迹方程.例34．（2022·江西景德镇·高三期末（理））已知两条动直线14:xl y λ=与2:l y λ=（0λ≠，λ为参数）的交点为P .求点P 的轨迹C 的方程；例35．（2022·北京市第五十七中学高三期中）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M满足2DP DM =.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q 作弦且弦被Q 平分，求此弦所在的直线方程及弦长；(3)过点(30)N ，的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 1：y ＝k 1x 和l 2：y ＝k 2x 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）分别相交于A ，B 两点（异于原点O ）与直线l ：y ＝2x +p 分别相交于P ，Q 两点，且122k k ⋅=-．求线段AB 的中点M 的轨迹方程；例37．（2022·江苏·周市高级中学高三阶段练习）已知直线:1,0,sin cos 2x y l πθθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭与坐标轴的交点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（ ） A ．2πB ．4π C ．8π D ．16π例38．（2022·全国·高三课时练习）已知曲线()1:10x yC a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为线1C 2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆2C 的标准方程；(2)设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点，MO OA λ=(O 为坐标原点，0λ≠)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程．题型六：点差法例39．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．【方法技巧与总结】圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法．例40．（2022·全国·高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线221x y -=所得弦的中点的轨迹方程是______．例41．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22143x y +=的弦AB 所在直线过点()1,1E ，求弦AB 中点F 的轨迹方程.例42．（2022·上海市行知中学高三开学考试）已知曲线Γ上一动点P 到两定点()10,2F -，()20,2F 的距离之和为()1,0Q -的直线L 与曲线Γ相交于点()11,A x y ，()22,B x y ． (1)求曲线Γ的方程；(2)动弦AB 满足：AM MB =，求点M 的轨迹方程；例43．（2022·全国·高三期中）（1）若双曲线的一条渐近线方程为230x y +=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线2y x b =+与椭圆221129x y +=相交，求弦的中点的轨迹方程．例44．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆22142x y +=，()11,M x y ，()22,N x y 是椭圆上的两个不同的点.（1）若点()1,1A 满足MA AN =，求直线MN 的方程；（2）若()11,M x y ，()22,N x y 的坐标满足121220x x y y +=，动点P 满足2OP OM ON =+(其中O 为坐标原点)，求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹例45．（2022·全国·高三专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，F 为底面ABCD 上一动点，且EF 与底面ABCD 所成的角为60︒．若该正方体外接球的表面积为12π，则动点F 的轨迹长度为（ ）．A B C D 【方法技巧与总结】 利用坐标法解决．例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，点A 是平面α外一定点，过A 作平面α的斜线l ，斜线l 与平面α所成角为50︒．若点P 在平面α内运动，并使直线AP 与l 所成角为35︒，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线的一支例47．（2022·北京市第十三中学高一阶段练习）如图，正方体1l l l ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，且1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．抛物线的一部分D ．以上答案都不对例48．（多选题）（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体1111ABCD A B C D -中，O 为线段1A C 的中点（图中未标出），以下说法正确的有（ ）．A ．线段CD 中点为E ，则直线OE 与平面11A BCD 所成角的正弦值为12． B ．在线段AB 上取靠近B 点的三等分点F ，则直线OF 与直线11C D 不共面． C ．在平面ABCD 上存在一动点P ，满足2AP BP +=，则P 点轨迹为一椭圆．D ．在平面11C D AB 上存在一动点Q ，点Q 到点O 的距离和点Q 到直线AB 的距离相等，则点Q 的轨迹为抛题型八：复数与圆锥曲线的轨迹例49．（2022·河南开封·高三阶段练习（文））已知i 为虚数单位，且013i12iz -=+，复数z 满足01z z -=，则复数z 对应点的轨迹方程为（ ） A ．()()22114x y -++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22111x y +++=D ．()()22111x y -+-=【方法技巧与总结】 （1）利用坐标法解决． （2）利用复数几何意义例50．（多选题）（2022·重庆一中高一期末）若复数z 在复平面对应的点为Z ，则下来说法正确的有（ ） A ．若||3z =，则Z 在复平面内的轨迹为圆B ．若|4||4|8z z ++-=，则Z 在复平面内的轨迹为椭圆C ．不可能存在复数z 同时满足||3z =和|4||4|10z z ++-=D ．若||3z =，则|4||4|z z ++-的取值范围为[8，10]例51．（2022·上海市徐汇中学高三期末）如果复数z 满足6|13i 2i |z z +++--=，则复数z 对应的点的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．线段D ．圆例52．（2022·全国·高一课时练习）已知复数z 满足2||2||30z z --=，则复数z 对应的点的轨迹是___________．例53．（2022·江西赣州·高三期末（文））设复数()1cos i sin z θθ=++⋅（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点(),x y 的轨迹方程为___________.题型九：向量与圆锥曲线的轨迹例54．（2022·全国·高三课时练习）已知()2,1A ，()2,1B -，O 为坐标原点，动点(),P x y 满足OP mOA nOB =+，其中,R m n ∈，且2212m n +=，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．2214y x +=B ．2214x y +=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【方法技巧与总结】 （1）利用坐标法解决． （2）利用向量几何意义例55．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知向量a ，b 是单位向量，若0a b ⋅=，且345c a c b -+-=，则c a +的取值范围是___________．例56．（2022·全国·高三课时练习）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是______． 例57．（2022·陕西师大附中高一期中）已知向量a ，b ，c ，满足4a =，a 与b 的夹角为3π，()3c c a ⋅-=-，则b c -的最小值为（ ）A ．2B 32C 1D 1例58．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的标准方程为22142x y +=． (1)设动点P 满足：OP OM ON =+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在两个定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，说明理由． (2)设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在点F ，使得点P 到F 的距离与到直线x =求F 的坐标；若不存在，说明理由．例59．（2022·重庆八中高三阶段练习）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，OFP △的面积为1. (1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且4OA OB ⋅=-，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.例60．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上一定点(20)C ，和直线l ：x =8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且1()2PC PQ +·1()2PC PQ -=0．求动点P 的轨迹方程；题型十：利用韦达定理求轨迹方程例61．（2022·全国·高三课时练习）设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆，圆心C 的轨迹方程为______．【方法技巧与总结】联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.例62．（2022·全国·高三专题练习）设不同的两点A ，B 在椭圆22:23C x y +=上运动，以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ，过O 作OM AB ⊥，M 为垂足．求点M 的轨迹方程.例63．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C ，其焦点是双曲线2213y x -=的顶点.(1)写出椭圆C 的方程；(2)直线l ：y kx m =+与椭圆C 有唯一的公共点M ，过点M 作直线l 的垂线分别交x 轴､y 轴于(),0A x ，()0,B y 两点，当点M 运动时，求点(),P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.例64．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A 、B ，且AB 4=．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点M 、N 是椭圆E 上异于A 、B 的不同两点，设点P 是以AM 为直径的圆1O 和以AN 为直径的圆2O 的另一个交点，记线段AP 的中点为Q ，若1AM AN k k =-⋅，求动点Q 的轨迹方程．例65．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆224580x y +=上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）复平面中有动点Z ，Z 所对应的复数z 满足|3||i |-=-z z ，则动点Z 的轨迹为（ ） A ．直线B ．线段C ．两条射线D ．圆2．（2022·全国·高三专题练习）正三角形OAB 的边长为1，动点C 满足OC OA OB λμ=+，且221λλμμ++=，则点C 的轨迹是（ ） A ．线段B ．直线C ．射线D ．圆3．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD 为梯形，且2AB DC =，||||2DC DA ==，3DAB π∠=，点P 是四边形ABCD 内及其边界上的点.若()()4AP DP PB BA -⋅+=-，则点P 的轨迹的长度是（ ）AB ．C ．4πD ．16π4．（2022·全国·高三专题练习）已知复数z 满足i i 2z z ++-=，则z 的轨迹为（ ） A ．线段B ．直线C ．椭圆D ．椭圆的一部分5．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线0x y -=，0y =的距离之和为2的点P 的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ围成的图形面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））下列四个命题中不正确的是（ ） A ．若动点P 与定点()4,0A -、()4,0B 连线P A 、PB 的斜率之积为定值49，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分．B ．设m ，R n ∈，常数0a >，定义运算“*”：()()22*m n m n m n =+--，若0x ≥，则动点(P x 的轨迹是抛物线的一部分．C ．已知两圆()22:11A x y ++=、圆()22:125B x y -+=，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆．D ．已知()7,0A ，()7,0B -，()2,12C -，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．7．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．2BCD ．8．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.假设圆弧QM 所在圆的方程为22:(25)(2)162C x y ++-=，若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）A ．232(1)y x =--B ．21364y x =-- C ．232(1)x y =-- D ．2364x y =-+二、多选题9．（2022·福建省福州第一中学三模）已知曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则下列结论正确的是（ ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．曲线C 关于y 轴对称 C ．022x -D ．1||4PF10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =(p >0)的焦点F 与圆22:20E x y x +-=的圆心重合，直线l 与C 交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点，且满足：0OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点且A 、B 均不与O 重合)，则( )A ．121216,16x x y y ==-B ．直线l 恒过定点()4,0C ．A 、B 中点轨迹方程：224y x =-D ．AOB 面积的最小值为1611．（2022·福建·模拟预测）已知双曲线22:14y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C 的右支上，若12F PF θ∠=，12PF F △的面积为S ，则下列选项正确的是（ ）A ．若60θ︒=，则S =B ．若4S =，则2PF =C ．若12PF F △为锐角三角形，则(S ∈D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22919143y x x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭ 12．（2022·全国·高三专题练习）已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m 时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点） 三、填空题13．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线221x y -=与直线():1l y kx m k =+≠±有唯一的公共点A ，过点A 且与l 垂直的直线分别交x 轴､y 轴于()()00,0,0,B xC y 两点，当点A 运动时，点()00,D x y 的轨迹方程是___________.14．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））①已知点)A ，直线:l x =P 满足到点A的距离与到直线l②已知圆C 的方程为224x y +=，直线l 为圆C 的切线，记点)A ，3,0B到直线l 的距离分别为1d ，2d ，动点P 满足1PA d =，2PB d =；③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST =，动点P 满足2133OP OS OT =+；在①，②，③这三个条件中，动点P 的轨迹W 为椭圆的是______．15．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知在直角坐标平面内，两定点()0,1F ，()1,1M -，动点Q 满足以FQ 为直径的圆与x 轴相切．直线FQ 与动点Q 的轨迹E 交于另一点P ，当90PMQ ∠=︒时，直线PQ 的斜率为______．16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__． 四、解答题17．（2022·四川内江·模拟预测（理））在ABC 中，(2,0)A -，(2,0)B ，AC 与BC 斜率的积是14-．(1)求点C 的轨迹方程；(2)(4,0)P ，求PC 的中点M 的轨迹方程．18．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线P A 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA PB ⋅的最小值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:14x C y +=的右焦点F 与抛物线21:2C y px =的焦点重合．(1)求椭圆C 的离心率与抛物线1C 的方程；(2)过焦点F 的动直线与抛物线1C 交于A ，B 两点，从原点O 作直线AB 的垂线，垂足为M ，求动点M 的轨迹方程；(3)点R ⎭为椭圆C 上的点，设直线l 与OR 平行，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，若PQR 的面积为1，求直线l 的方程．20．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知12,A A 两点的坐标分别是(，直线,A B A B 12相交于点B ，且它们的斜率之积为13. (1)求点B 的轨迹方程；(2)记点B 的轨迹为曲线C ，,,,M N P Q 是曲线C 上的点，若直线MN ，PQ 均过曲线C 的右焦点F 且互相垂直，线段MN 的中点为R ，线段PQ 的中点为T . 是否存在点G ，使直线RT 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标，若不存在，说明理由.21．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，()2,3A 是双曲线C 上的一个点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点()4,0B 且不与渐近线平行的直线l （斜率不为0）与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为1l ，2l ，点P 为直线1l 与直线2l 的交点，试求点P 的轨迹方程（注：若双曲线的方程为22221x y a b-=，则该双曲线在点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b -=）。
求轨迹方程的方法(整理)
§2.1 曲线与方程知识点一 直接法求曲线的方程已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹方程是________．解析 设点P 的坐标为(x ，y)，则A 点坐标为(2x,0)，B 点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得(2x)2＋(2y)2＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，整理、化简得x 2＋y 2＝25. 答案 x 2＋y 2＝25知识点二 代入法求曲线的方程已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．解 设G(x ，y)为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x′3，y ＝0＋0＋y′3∴⎩⎨⎧x′＝3x －6，y′＝3y.∵顶点C(x′，y′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y＝(3x －6)2＋3，① 整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.知识点三 定义法求曲线的方程设A(1,0)，B(－1,0)，若动点M 满足k MA ²k MB ＝－1，求动点M 的轨迹方程． 解 如图所示，设动点M 的坐标为(x ，y)．由题意知：MA⊥MB.所以△MAB 为直角三角形，AB 为斜边． 又因为原点O 是AB 的中点， 所以，|MO|=12， |AB|=1，所以，动点M 在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上． 根据圆的方程的定义知：方程为x 2+y 2=1.又因为动点M 不能与点A ，B 重合，所以，x ≠±1， 所以，动点M 的轨迹方程为x 2+y 2=1 (x ≠±1)． 知识点四 参数法求曲线的方程已知定点P(a ，b)不在坐标轴上，动直线l 过点P ，并分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点M ，求动点M 的轨迹方程．解 设M(x ，y)，并设l ：y －b ＝k(x －a)，由题意知k 存在，且k≠0，则得A(a －bk ，0)，B(0，b －ak)，又AM ，BM 分别是x 轴，y 轴的垂线，得M(a －bk，b －ak)．即⎩⎨⎧x ＝a －b k ，y ＝b －ak ，消去参数k ，得xy －ay －bx ＝0.所以动点M 的轨迹方程是xy －ay －bx ＝0. 知识点五 交轨法求曲线的方程如果两条曲线的方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P(x 0，y 0)，证明：f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)＝0的曲线也经过P 点(λ∈R )，并求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋y ＝0的交点的直线方程．解 ∵P (x 0，y 0)是两曲线的交点， ∴f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0， ∴f 1(x 0，y 0)＋λf 2(x 0，y 0)＝0.即方程f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线经过P 点．⎩⎨⎧x 2＋y 2＋3x －y ＝0， ①3x 2＋3y 2＋y ＝0， ②①³3－②得9x －4y ＝0.即过两曲线的交点的直线方程为9x －4y ＝0.考点赏析1.(福建高考) 如图，已知点F （1,0），直线l:x=-1,P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且²=².求动点P 的轨迹C 的方程.解 方法一 设点P(x ，y)，则Q(-1，y)，由PQ →²QF →＝FP →²FQ → 得：(x ＋1,0)²(2，－y )＝(x －1，y )²(－2，y )， 化简得C ：y 2＝4x .方法二 由 QF →²QF →＝FP →²FQ → 得：(PQ →²(PQ →＋PF →) ＝0，∴ PF →－PF →)²(PQ →＋PF →)＝0， PQ →2－PF →2－PF →2＝0， ∴ |PQ →|＝|PF →|.所以点P 的轨迹C 是抛物线， 由题意，轨迹C 的方程为：y 2＝4x .2.（陕西高考）如图所示，三定点A （2，1）B （0， -1），C （-2，1）；三动点D ，E ，M 满足=t ，=t BC ， =t ，t ∈［0，1］.(1)求动直线DE 斜率的变化范围； (2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)设D (x D ，y D )，E (x E ，y E )，M (x ，y )由=t ，=t ，知（x D -2，y D -1）= t （-2， -2）， ∴⎩⎨⎧x D ＝－2t ＋2，y D ＝－2t ＋1.同理⎩⎨⎧x E ＝－2t ，y E ＝2t －1.∴k DE ＝y E －y D x E －x D ＝2t －1－(－2t ＋1)－2t －(－2t ＋2)＝1－2t . ∵t ∈[0,1]，∴k DE ∈[－1,1]． （2）∵ tDE→＝tDE →，∴(x ＋2t －2，y ＋2t －1) ＝t (－2t ＋2t －2,2t －1＋2t －1) ＝t (－2,4t －2)＝(－2t,4t 2－2t )． ∴⎩⎨⎧x ＝2(1－2t )，y ＝(1－2t )2.∴y ＝x 24，即x 2＝4y .∵t ∈[0,1]，∴x ＝2(1－2t )∈[－2,2]． 所求轨迹方程为x 2＝4y ，x ∈[－2,2]1．如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是( )A ．坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标不都满足方程f (x ，y )＝0C ．坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上D ．至少有一个不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0 答案 D解析 对于命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”的否定是“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”，即至少有一个不在曲线C 上的点，它的坐标满足方程f (x ，y )＝0.2．△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD 的长度是3，则A 点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0) 答案 C解析 易知B 、C 中点D 即为原点O ，所以|OA |＝3， 所以点A 的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆， 又因△ABC 中，A 、B 、C 三点不共线，所以y ≠0.所以选C.3．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 答案 B解析 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12³5³|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.4．在下列图中方程表示图中曲线的是( )答案 C解析 对于A ，方程x 2+ y 2=1表示一个完整的圆．对于B ，x 2-y 2=(x+y)(x -y)=0，它表示两条相交直线．对于D ，由lgx+lgy=0知xy=1，x>0且y>0.5. 设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若=2，且²=1，则P 点的轨迹方程是 ( ) A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 答案 D解析 如图所示，若P (x ，y )，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，B (0,3y )，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，OQ →＝(－x ，y )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，OQ →＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 轨迹方程．6．设动点P 是曲线y ＝2x 2＋1上任意一点，定点A (0，－1)，点M 分PA 所成的比为2∶1，则点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13答案 A解析 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，因为点A (0，－1)，点M 分PA 所成的比为2∶1，所以P 点的坐标为(3x 0,3y 0＋2)，代入曲线y ＝2x 2＋1得y 0＝6x 20－13，即点M 的轨迹方程是y ＝6x2－13. 7．点P (a ，b )是单位圆上的动点，则Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程是________________． 答案 x 2－2y －1＝0解析 设Q (x ，y )则⎩⎨⎧x ＝a ＋b ，y ＝ab .因为a 2＋b 2＝1，即(a ＋b )2－2ab ＝1.所以x 2－2y ＝1.所以点Q 的轨迹方程是x 2－2y －1＝0.8．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y2)，C (x ，y ) 若⊥，则动点C 的轨迹方程为________．答案 y 2＝8x解析 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，OQ →＝(0，y 2)－(－2，y )＝(2，－y 2)，＝(x ，y )－(0，y 2)＝(x ，y2)．因为⊥,所以²,所以(2，－y 2)²(x ，y2)＝0，即y 2＝8x .所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .9．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 方法一 设点M 的坐标为(x ，y )． ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，k PA ²k PB ＝－1. 而k PA ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y2－0， ∴21－x ²2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)， 它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0. 方法二设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM. ∵l 1⊥l2，∴2|PM|=|AB|.而|PM|=|AB|=∴=化简，得x+2y -5=0，为所求轨迹方程. 方法三 ∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ， ∴O 、A 、P 、B 四点共圆， 且该圆的圆心为M ， ∴|MP|=|MO|，∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线． ∵kOP==204-- = 2，OP 的中点坐标为(1,2)， ∴点M 的轨迹方程是y -2= -21(x -1)，x+2y -5=0.方法四 设点M 的坐标为(x ，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)， ∵PA ⊥PB ，即⊥，∴ ²=0.∴（2x-2，-4）²（-2，2y-4）=0，即-2（2x-2）-4（2y -4）=0，化简得：x+2y-5=0.10. 设F （1，0），点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN =2， ⊥.当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程.设 M （a,0）,P(0,b),动点N （x,y ）, 则=（x-a,y ）,=(-a,b),PF →＝(1，－b )．因为MN →＝2MP →， PF →⊥PF →，所以⎩⎨⎧x －a ＝－2a ，y ＝2b ，且－a －b 2＝0.上述方程组消去a ，b ，得y 2＝4x .所以动点N 的轨迹方程为y 2＝4讲练学案部分2．1.1 曲线与方程对点讲练知识点一 曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( ) A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0 B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 答案 C解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题即“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如上图所示的曲线C ，考查C 与方程F(x ，y)=x 2 -1=0的关系，显然A 、B 、D 中的说法全不正确．【反思感悟】 “曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏．设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下面命题中正确的是( )A ．坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标都不满足f (x ，y )＝0C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在曲线上D．一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)＝0答案 D解析“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，就是说“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，这意味着一定有这样的点(x，y0)，虽然f(x0，y)＝0，但(x0，y0)∉C，即一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.故应选D知识点二判断方程是否为曲线的方程(1)过P(0，－1)且平行于x轴的直线l的方程是|y|＝1吗？为什么？(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．所以|y|=1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|=1所表示曲线的一部分．(2)由方程x+y -2=0知，当x=4时，y= -2.故点(4，- 2)的坐标是方程x+y -2=0的一个解，但点(4，- 2)不在线段AB上．∴x+y -2=0不是线段AB的方程．【反思感悟】判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．下列命题是否正确？若不正确，说明原因．(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.解(1)错误．因为以方程|x|=2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|=2所表示的图形的一部分．(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线l1和l2，直线l1上的点的坐标都是方程y=x 的解，但是直线l2上的点(除原点)的坐标不是方程y=x 的解．故y=x 不是所求的轨迹方程．知识点三 证明方程是曲线的方程证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k . 证明 (1)如图所示，设M(x 0，y 0)是轨迹上的任意一点．因为点M 与x 轴的距离为| y 0|，与y 轴的距离为|x0|，所以| x 0 |²| y 0|=k ，即(x0，y0)是方程xy=±k 的解．(2)设点M1的坐标(x 1 ，y 1)是方程xy=±k 的解，则x 1y 1=±k ， 即| x 1|²| y 1|=k.而| x 1|、| y 1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k ，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy=±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程． 【反思感悟】 要证某轨迹的方程为f(x ，y)，由曲线的方程的概念可知，既要证轨迹上的任意一点M(x0，y0)的坐标都是f(x ，y)=0的解，也要证明方程的任一解(x1，y1)对应的点都在轨迹上．已知两点A (0,1)，B (1,0)，且|MA |＝2|MB |，求证：点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋132＝89. 证明 设点M 的坐标为(x ，y )，由两点间距离公式， 得|MA |＝(x －0)2＋(y －1)2 |MB |＝(x －1)2＋(y －0)2 又|MA |＝2|MB |， ∴(x －0)2＋(y －1)2＝2(x －1)2＋(y －0)2.两边平方，并整理得3x 2＋3y 2＋2y －8x ＋3＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝89①所以轨迹上的每一点的坐标都是方程①的解； 设M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解， 即⎝⎛⎭⎪⎫x 1－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋132＝89.即3x 21＋3y 21－8x 1＋2y 1＋3＝0，|M 1A |＝(x 1－0)2＋(y 1－1)2＝x 21＋y 21－2y 1＋1＝x 21＋y 21＋3x 21＋3y 21－8x 1＋3＋1＝2(x 1－1)2＋(y 1－0)2＝2|M 1B | 即点M 1(x 1，y 1)在符合条件的曲线上． 综上可知：点M 的轨迹方程为 ⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝89.课堂小结： 1.称曲线C 的方程是f(x,y)=0(或称方程f(x,y)=0的曲线是C)必须具备两个条件:(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x , y)=0的解(纯粹性);(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上(完备性).2.设曲线C 的方程是f(x , y)=0,则点P(x 0 , y 0)在曲线C 上f(x 0 , y 0)=0.课时作业一、选择题1．已知曲线C 的方程为x 3＋x ＋y －1＝0，则下列各点中在曲线C 上的点是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(1,1) D ．(－1,1) 答案 B解析 点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )上⇔f (x 0，y 0)＝0.2．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线答案 C解析方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．选C.3．已知圆C的方程f(x，y)＝0，点A(x0，y0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x，y)－f(x，y0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是( )A．就是圆CB．过A点且与圆C相交的圆C．可能不是圆D．过A点与圆C同心的圆答案 D解析由点B(x′，y′)在圆上知f(x′，y′)＝0.由A(x0，y0)在圆外知f(x0，y0)为不为0的常数，点A(x0，y0)代入方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0成立．所以f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线过A点．因此选D.4．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A．y＝x，yx＝1 B．y＝x，y＝x2C．|y|＝|x|，y＝x D．|y|＝|x|，y2＝x2答案 D解析A中y＝x表示一条直线，而yx＝1表示直线y＝x除去(0,0)点；B中y＝x表示一条直线，而y＝x2表示一条折线；C中|y|＝|x|表示两条直线，而y＝x表示一条射线；D 中|y|＝|x|和y2＝x2均表示两条相交直线，故选D.5．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0，故选B.二、填空题6．求方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________． 答案 2 解析方程|x|+|y|=1所表示的图形是正方形ABCD(如图)，其边长为2. ∴方程|x|+|y|=1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2. 7．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为______________________________．答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0 解析 可设动点坐标为(x ，y )， 则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.8．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝____________，b ＝________.答案 16－8 3 2 三、解答题9．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －m －2＝0. 求证：对m ∈R ，l 1与l 2的交点P 在一个定圆上．证明 l 1与l 2分别过定点(0,0)及(2,1)，且l 1⊥l 2，∴l 1与l 2的交点P 必在以(0,0)，(2,1)为端点的直径的圆上，其方程为x 2＋y 2－2x －y ＝0.10．曲线x 2＋(y －1)2＝4与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的范围，若有一个交点呢？无交点呢？解 由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)＋4，x 2＋(y －1)2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2k (3－2k )x ＋(3－2k )2－4＝0， Δ＝4k 2(3－2k )2－4(1＋k 2)[(3－2k )2－4]＝48k －20. ∴Δ>0，即k >512时，直线与曲线有两个不同的交点； Δ＝0，即k ＝512时，直线与曲线有一个交点； Δ<0，即k <512时，直线与曲线没有交点． 2．1.2 求曲线的方程.对点讲练知识点一 直接法求轨迹的方程设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2+2y 2=4交于A 、B 两点， P 是l 上满足²=1的点，求点P 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(x ，y )， 又由方程x 2＋2y 2＝4得2y 2＝4－x 2， ∴y ＝±4－x 22， ∴A 、B 两点的坐标分别为(x, 4－x 22)，(x ，－4－x 22) ²PB →＝1. ∴(0,4－x 22－y )²(0，－4－x 22－y )＝1， 即y 2－4－x 22＝1，∴x 26＋y 23＝1又直线l 与椭圆交于两点， ∴－2<x <2∴点P 的轨迹方程为x 26＋y 23＝1(－2<x <2)．【反思感悟】 直接法：根据条件、直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线定义直接确定曲线类型．已知△ABC 的一边AB 的长为定值4，边BC 的中线AD 的长为定值3，求顶点C的轨迹方程．解 方法一以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B 点坐标为(4,0)．设C 点坐标为(x ，y)． ∵D 为BC 边中点， ∴D 点坐标为(24+x , 2y). 又∵|AD|=3，∴(24+x )2 + (2y)2 = 9 化简得(x+4)2+y2=36，即为C 点的轨迹方程(点(2,0)，(-10,0)除外)． 方法二 如图，作CB ′∥OD 交x 轴于B ′ ∵D 是BC 中点，则OD 为△BCB ′的中位线 ∴B ′(-4,0)且|B ′C|=6，|AD|=3，故C 在以B ′(-4,0)为圆心，6为半径的圆上． 其方程为(x+4)2+y2=36 (y ≠0)．知识点二 代入法(相关点法)求轨迹方程已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A (0,0)、B (6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．解 设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3∴⎩⎨⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.【反思感悟】 代入法求轨迹方程就是根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系式，用所求动点坐标表示相关动点的坐标，并代入相关动点所在曲线的方程，从而得到所求动点的轨迹方程．此法也称相关点法．已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解(代入法)设A(a,0)、B(0，b)、M(x 、y)， 一方面：∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.① 另一方面：M 分AB 的比为12，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝a ＋12³01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎨⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式化简为：x 216＋y 24＝1. 知识点三 参数法求轨迹方程已知∠AOB ＝π3，P ，Q 分别是∠AOB 两边上的动点，若△POQ 的面积为8，试建立适当的坐标系，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．解以O 为原点，∠AOB 的平分线所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．则射线OA 的方程为y=33x( x >0)射线OB 的方程为y= -33x( x >0) 设P{x 1 ,33 x 1}, Q{ x 2 , -33x 2} M(x ，y)．由题意得x= 21( x 1+x 2), 又S △POQ=21|OP|²|OQ|sin60° =21²32 x 1²32 x 2²23 = 33 x 1²x 2∴2121212,x x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪⨯=⎩ 由(x 1+x 2)2 - (x 1 -x 2)2=4x 1x 2， 消去x 1，x 2得x 2 -3y 2=83 由于x 1>0，x 2>0，故x>0，动点M 的轨迹方程为x 2 -3y 2=83 (x>0)．【反思感悟】 参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数(如角度、直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程．过点P 1(1,5)作一直线交x 轴于点A ，过点P 2(2，7)作直线P 1A 的垂线，交y轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解 设P 2B 的直线方程为：y －7＝k (x －2)，则P 1A 的方程为：y －5＝－1k(x －1)，则有A (5k ＋1,0)、B (0，－2k ＋7)．设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5k ＋13，y ＝－4k ＋143.消去k ，并整理得12x ＋15y －74＝0. ∴动点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0. 课堂小结：1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.2.一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x ，y ），而不要设成（x 1，y 1）或（x ′,y ′）等.3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y 的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明.课时作业一、选择题1．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y ≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x ≤2) 答案 B解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．所以选B. 2．与点A (－1,0)和点B (1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2 D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0) 答案 B解析 设P (x ，y )，则k PA ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1，所以k PA ²k PB ＝yx ＋1²yx －1＝－1.整理得x 2＋y 2＝1，又k PA 、k PB 存在，所以x ≠±1. 所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x ≠±1)，所以选B.3. 设动点P 是抛物线y=2x 2+1上任意一点，定点A （0，- 1），点M 分所成的比 为2∶1，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．y ＝6x 2－13 B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1 D ．x ＝6y 2－13答案 A解析 设点M 的坐标为(x,y)，点P 的坐标为(x 0 , y 0)，因点P 在抛物线上，即y 0=2x 02+1MA12PM=2,即（x - x 0 , y - y 0）=2(-x, -1 -32y + y),所以002,22,x x x y y y -=-⎧⎨-=--⎩即003,32,x x y y =⎧⎨=+⎩因此有 ：32y += 2⨯9x 2 +1,即y=6x 2 - 31.4．自圆x 2＋y 2＝1外动点P 作该圆的两条切线，切点分别为A ，B .若∠APB ＝π2，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝2 C.x 24＋y 2＝1 D.x 22＋y 2＝1 答案 B解析 四边形PAOB 为正方形，故|OP |＝ 2.5．已知点A (2,0)及原点O ，动点P 满足(|PA |＋|PO |)²(|PA |－|PO |)＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＝14B ．x ＝12C ．x ＝34D ．x ＝32答案 C解析 设P (x ，y )，条件即|PA |2－|PO |2＝1，故[(x －2)2＋y 2]－(x 2＋y 2)＝1，化简得x ＝34. 二、填空题6．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是________．答案 射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1解析 由(x ＋y －1)x －1＝0得：⎩⎨⎧ x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧ x －1≥0，x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.7. 已知两点M （-2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||²||+²= 0，则动点P(x,y)的轨迹方程为. ________．答案 y 2＝－8x解析 由题意知 ＝(4,0)， MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，所以|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，MN →²NP →＝4(x －2)，根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )，整理，得y 2＝－8x ，所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．两条直线ax ＋y ＋1＝0和x －ay －1＝0(a 为参数且a ≠±1)的交点的轨迹方程是______________．答案 x 2＋y 2－x ＋y ＝0解析 设两条直线的交点为(x 0，y 0)．则有⎩⎨⎧ ax 0＋y 0＋1＝0，x 0－ay 0－1＝0.求出(x 0，y 0)的方程即为轨迹的方程．当a ＝0时，交点为(1，－1)．当a ≠0时，由ax 0＋y 0＋1＝0，∴a ＝－y 0＋1x 0， 代入x 0－ay 0－1＝0，得x 20＋y 20－x 0＋y 0＝0，即交点的轨迹方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.同时，点(1，－1)也适合方程x 2＋y 2－x ＋y ＝0，综上可知所求方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.三、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设OC 中点为M (12，0)， 则|MP |＝12|OC |＝12，由两点间距离公式得方程(x －12)2＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x ≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC=90°，设OC 中点为M(21,0)，所以|PM|=21|OC|=21，所以动点P 在以M(21，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x-)2+y 2=.14因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x-21)2+y 2=14 (0<x ≤1)． 方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，设Q(x 1，y 1)，则11,2,2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒112,2,x x y y =⎧⎨=⎩ 又因为点Q(x 1，y 1)在⊙C 上，所以(x 1-1)2+y 12 =1.将112,2,x x y y =⎧⎨=⎩代入上式得：(2x-1)2+(2y)2=1，即(x - 21)2 + y 2 =41，又因为OQ 为过O 的一条弦，所以0<x1≤2，所以0<x ≤1，所以所求轨迹方程为(x -21)2 + y 2 =41 (0<x ≤1)． 方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y=kx ，代入圆的方程得(x -1)2+k 2x 2=1，即(1+k 2)x 2-2x=0.设方程(1+k 2)x 2-2x=0.的两根为x 1，x 2，所以212x x x +==21k k +，y = kx = 21k k +. 消去参数k 得：x 2 -x+y 2=0， 所以，所求轨迹方程为x 2+y 2 -x=0(0<x ≤1)．10．点A (3,0)为圆x 2＋y 2＝1外一点，P 为圆上任意一点，动点M 满足|AM ||MP |＝12，求点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)．（1）若＝12MP →，则(x －3，y )＝12(x 0－x ，y 0－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝12(x 0－x )y ＝12(y 0－y )∴⎩⎨⎧ x 0＝3x －6y 0＝3y又∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上∴(3x －6)2＋(3y )2＝1即(x －2)2＋y 2＝19. （2）若＝－12MP →，则(x －3，y )＝－12(x 0－x ，y 0－y ) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝x －x 02y ＝y －y 02，∴⎩⎨⎧ x 0＝－x ＋6y 0＝－y .又∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(－x ＋6)2＋(－y )2＝1，即(x －6)2＋y 2＝1. ∴M 点的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝19或(x －6)2＋y 2＝1.。
求曲线轨迹方程
=
=
此即点 M 的轨迹方程.
2
+
,
2
消去
-,
k,得 y2=p(x-2p),
2 2
,
2
,
对点训练3过圆O:x2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦
BC的中点M的轨迹方程.
解:设点M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-4),
求轨迹方程的常用方法
代入法
参数法
交轨法
点差法
一、定义法
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、
抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,确定方程中的常数,
即可得到轨迹方程.
例1.已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin A
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
答案:D
解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴ ·=(-2-x)(3-x)+y2=x2-x-6+y2.
由条件,x2-x-6+y2=x2,整理得y2=x+6,此即点P的轨迹方程,
∴点P的轨迹为抛物线,故选D.
)
对点训练 2 动点 P(x,y)到两定点 A(-3,0)和 B(3,0)的距离的比等于 2 即
解:由题意,设 A
2
4
, ,B
2
4
, ,所以
4
4
kOA= ,kOB= ,
由 OA 垂直 OB 得 kOAkOB=-1,得 yAyB=-16p2,
圆锥曲线中的轨迹方程问题-(解析版)
专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。
首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。
直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。
经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
轨迹方程求法及经典例题汇总
轨迹方程求法及经典例题汇总一、轨迹为圆的例题：1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为21，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论）2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。
（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。
（1）求圆心的P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线x y =的距离为22，求圆P 的方程。
如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x－4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。
求轨迹方程题型全归纳
求轨迹方程的六种常用方法1. 直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1.已知线段AB =6,直线AM,BM相交于M,且它们的斜率之积是,求点M 的轨迹方程。
解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(-3,0),B(3,0), 设点M的坐标为(x,y),则直线AM的斜率 ,直线B M 的斜由已知有化简，整理得点M的轨迹方程为练习：1. 平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x=4的距离之比为2,则点P的轨迹方程是2. 设动直线I垂直于x轴，且与椭圆x²+2y²=4交于A、B两点，P是I上满足PA ·PB=1的点，求点P的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线2. 定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2.若B(-8,0),C(8,0)为△ABC的两顶点， AC和AB两边上的中线长之和是 30,则△ABC的重心轨迹方程是。
解：设△ABC的重心为G(x,y),则由AC和AB两边上的中线长之和是 30可得,而点B(-8,0),C(8,0)为定点，所以点G的轨迹为以B,C 为焦点的椭圆。
所以由2a=20,c=8可得a=10,b=√ a² - c²=6故△ABC的重心轨迹方程是练习：4.方程2√(×-1)²+(y-1)²=1x+y+2)表示的曲线是()A. 椭圆B. 双曲线C. 线段D. 抛物线3. 点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x,y1),B(×,y2)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得xi+×2,yi+y2,X1 - X2,yi - y2等关系式，由于弦AB 的中点P(x,y) 的坐标满足2x=x₁+×2, 2y=yi+y2且直线AB的斜率为,由此可求得弦AB中点的轨迹方程。
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轨 迹 方 程 问 题常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程；1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x ，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．例1．设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+ ,向量(,1)b x y =-,a b ⊥ ，动点(,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；解：因为a b ⊥ ,(,1)a mx y =+ ,(,1)b x y =-，所以a ·b ＝2210mx y +-=， 即 221mx y +=．当m ＝0时，方程表示两条直线：1±=y ； 当1m =时，方程表示的是圆：221x y +=； 当m ＞0且1≠m 时，方程表示的是椭圆； 当m ＜0时,方程表示的是双曲线． 2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程PMN例2．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得2PM PN =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为12(2,0),(2,0)O O -．设(,P x y ，则，同理222(2)1PN x y =-+-．2222211(2)1PM O P O M x y =-=++-∵2PM PN =，∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=． 这就是动点P 的轨迹方程． 注：动圆圆心轨迹问题①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程：例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C 的方程；（2）过A 作直线l 交曲线C 于,D E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程； （3）在（2）中求ODE ∆的重心G 的轨迹方程。
解：(1)点P 到点A 的距离等于点P 到直线y= -1的距离，故点P 的轨迹C 是以点A 为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线C 的方程 x 2=4y.2222A ,14440,+=4,(+)2, 1,21 2()1,1.2221l x y x x kx k x k y x x k y y x y =====+=⎧=⋅+=+⎨=+⎩1122212122(2)设M(x,y),D(x ,y ),E(x ,y ),依题意知过的直线的斜率存在，设该直线的方程为：y=kx+1 与联立，消整理得：--则x x 则x x kx+1=2k 2k 即，消去得：即为所求的方程k 另解：（2）(0,1)A ，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，(,)M x y ，则由2114x y =，2224x y =，两式相减得l k =21212142y y x x x x x -+==-，又1l AM y k k x -==，12x y x-∴=，即2112y x =+. （3）设G （x,y ）, 由（2）得2+=4,+=(+)242k k k +=+121212x x y y x x ，240+33,0+42333k x x k y y +⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨+⎪⎪==+⎪⎪⎩⎩1212x x y y ，消去k 得：23243y x =+为所求方程。
4．“代入法”求轨迹方程：设点M 是已知曲线F （x ，y ）＝0上的动点，点P 因点M 的运动而运动（即点P 是点M 的相关点），求点P 的轨迹方程． ①设点M 的坐标为M （0x ，0y ），则F （0x ，0y ）＝0； ②设点P 的坐标为P （x ，y ）；③因为“点P 随点M 的运动而运动”，可以求得：0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）； ④把0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）代入F （0x ，0y ）＝0，即得所求点P 的轨迹方程．例4.已知点100(,)P x y 为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P .求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程.解： (1) 由已知得208303F b A b y （，），（，）,则直线2F A 的方程为:03(3)yy x b b=--,令0x =得09y y =,即20(0,9)P y ,设P x y （，）,则0000 2952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩,即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，代入22002218x y b b -=得:222241825x y b b -=, 2F 1F OyxA2P 1P P即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -= 5．“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y ）＝0和动曲线G(x ，y)＝0相交于点P ，求点P 的轨迹方程．从理论上，其求解程序为： ①设动点P 的坐标为：),(P P y x ；②解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F ，求交点即得到．其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点．例5．已知椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． （1）求a 与b 的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1L 过2F 且与x 轴垂直，动直线2L 与y 轴垂直，2L 交1L 于点P .求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.解：（1）e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心（0，0）到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+，∴2b ＝2，2a ＝3 ．（2）1F （－1，0）、2F （1，0），由题意可设P （1，t ）（t ≠0）.那么线段1PF 的中点为N （0，2t）．2L 的方程为：y ＝t ，设M(M M y x ,)是所求轨迹上的任意点.直线1PF 的斜率k ＝2t ，∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2．所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42，消去参数t 得：M M x y 42-=，即：x y 42-=，其轨迹为抛物线（除原点）． 又解：由于MN ＝（－x ，2t －y ），1PF ＝（－x ，2t－y ）．∵MN ·1PF ＝0， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，，消参数t 得：x y 42-=（x ≠0），其轨迹为抛物线（除原点）． 注：本题的第一问是由几何量确定轨迹方程；第二问是“交轨法”求轨迹方程． 例6．已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C 的内切圆半径为253，记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． (1)求椭圆2C 的标准方程；(2)设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，L 是线段AB 的垂直平分线，M 是L 上异于椭圆中心的点．若||MO ＝λ||OA (O 为坐标原点)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程． 解：(1)由题意得22245253ab ab a b ⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1． (2)若AB 所在的斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx(k ≠0)，A(A A y x ，)．由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++，⇒2222220(1)||45A A k OA x y k +=+=+． 设M(x ，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y kλ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线，所以直线L 的方程为y ＝1x k-⇒k ＝x y -，代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯，由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=， 当k ＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M 的轨迹方程为22245x y λ+=，（λ≠0）． 例7．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP OM=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（1）设椭圆长半轴长及分别为a ，c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a＝4，c ＝3.⇒椭圆C 的方程为221167x y +=．（2）设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。
由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+,整理得2222(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。
（i ）34λ=时。
化简得29112y =,所以点M 的轨迹方程为47(44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。
（ii ）34λ≠时，方程变形为2222111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-,当304λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。
当314λ<<时，点M 轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分． 例8．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．设()M x y ，，则 1(2)FM x y =+ ，，111(2)F A x y =+ ，，1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，， 由1111FM F A F B FO =++ ⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩⇒12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩ ⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822y y y yx x x x --==----， 即1212()8yy y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即12()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 练习：1.分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是_______.2.已知点F 为抛物线22y x =的焦点，P 在抛物线上运动，则线段PF 的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ ），如果M 是线段1F P 的中点，则动点M 的轨迹是( ).（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线4.设A ，B 分别是直线255y x =和255y x =-上的两个动点，并且||20AB = ，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程.5.已知椭圆1C 的中心在坐标原点，一个焦点为F(0,3)，过点F 且垂直长轴的弦长为1， (1) 求椭圆1C 的方程;(2) 过椭圆1C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON=+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.。