六年级奥数分册第21周 抓不变量解题【最新】
六年级奥数抓住不变量解答分数应用题
六年级奥数抓住不变量解答分数应用题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--六年级抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。
如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。
又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。
把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。
抓不变量解题(分数的基本性质)(解析)-六年级数学思维拓展
2022-2023学年小学六年级思维拓展专题 抓不变量解题(分数的基本性质)知识精讲一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
典例分析【典例01】将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。
”分母：(61-43)÷1-79=81分子：81×79=6381-61=20或63-43=20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大(18÷2=)9倍。
179的分子、分母应扩大：(61-43)÷(9-7)=9(倍)2约分后所得的79在约分前是：79=7×99×9=63813所加的数是81-61=20答：所加的数是20。
【典例02】将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54倍还多2。
由“分母加1得23”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：(2+1)÷32-54=12分母：12×32-1=17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
1将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。
23=46=1218，45=12152原分数的分母是：18-1=17或15+2=17答：这个分数为12 17。
【典例03】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于57。
如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12，求原来的最简分数是多少。
六年级奥数--抓不变量解题
一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有 变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转 化并解答。
二、精讲精练437 将的的分子与分母同时加上某数后得G ，求所加的这个数。
61 9解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18， 所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是g分母的G ，由此可求出新分数的分子和分母。
”9g分母：（61-43）+（1— ）=819 g分子：81X- =63981-61=20或63-43=20 43 g解法二：所的分母比分子多18,-的分母比分子多2,因为分数的与分母的差不变，所以 61 9-将5的分子、分母同时扩大（18+2=）9倍。
9 -①Q 的分子、分母应扩大：（61-43）・（9-7）=9 （倍） 9 - - -X9 63②约分后所得的G 在约分刖是：Q =不二 =*9 9 9X9 81③ 所加的数是81-61=20答：所加的数是20。
练习1：97 21、 分数有 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是三，那么减去的数是多少？181 5六年级奥数——抓“不变量”解题【例题1】43132、分数百的分子、分母同加上一个数后得三，那么同加的这个数是多少？13 5353、w的分子、分母加上同一个数并约分后得亍，那么加上的数是多少？19 758 24、将元这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是耳，那么减去的数是79 3多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得耳，如果将它的分母加上1，则得3，求这个分数。
4解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得5 ”可知，分母比分子的5倍还多2。
由“分母加i得2 ”可知，分母比分子的2倍少1, 从而将原题转化成一个盈亏问题。
小学六年级数学专题《抓“不变量”试题》
抓“不变量”解决实际问题
1、有甲乙两筐水果，甲占总数的55%，若从甲筐中拿出
7.5千克放入乙筐，这时乙筐是总数的3/5,两筐共重多少千
克？
2、一本书读了3天后，已读的页数是未读页数的3/4，再
读36页，已读的是未读的4/5，这本书共有多少页？
3、学校买来彩色粉笔是白色粉笔的1/5，后来检查发现错
误的把2盒彩色粉笔当成白色粉笔，实际彩色粉笔是白色粉笔的1/4，学校共买来多少盒粉笔？
4、甲、乙二人共有科技书若干本，其中甲占总数的60%，若甲给乙14本，则甲剩下的书占总数的25%，甲、乙两人共有科技书多少本？
5、甲、乙两水泥堆，原来甲堆水泥是乙堆的5/7，若从乙堆中调出6袋给甲堆，甲堆水泥是乙堆的4/5，原来一共有多水泥多少吨？
6、甲、乙两个仓库，甲仓库存水泥是总数的56%，如果从甲仓库调6吨水泥到乙仓库，这时两仓库水泥重量相等，两仓库共有水泥多少？。
完整六年级奥数 抓不变量解题
六年级奥数——抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
二、精讲精练【例题1】437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。
619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。
”97分母：（61-43）÷（1－）＝8197分子：81×＝63981-61＝20或63-43＝20437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
1练习1：9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。
534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。
由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。
35分子：（2+1）÷（－）=12243分母：12× -1＝172解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
六年级奥数解题方法-抓不变量
六年级奥数解题方法-抓不变量
奥数学习有利于训练孩子的思维能力，让孩子在解题的过程中能够从不同的角度进行思考。
下面是小编整理的小学五年级奥数题及解析，大家可以看下。
数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。
这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。
例一今年小明8岁，小强14岁。
几年后小明和小强岁数的和是40岁?
从年龄上不变来找解题的“突破口”
小明和小强的年龄差是：14-8=6(岁)
小明那一年是：(40-6)÷2=17(岁)
是在几年之后呢?17-8=9(年)
例二王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。
王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。
两个数的积究竟是多少?
91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。
抓住：一个因数(乙数)没有变，乙是91和175的公约数
91÷7=13……王进看错了的甲数
175÷7=25……张明看错了的甲数。
15×7=105。
小学六年级奥数课件：抓住不变量解题共17页文档
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
Thank you
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
小学数学 六年级奥数举一反三 教师教案 全20-40周
第23周 周期工程问题 疯狂操练二
【例题2】
【思路导航】
【练习2】
第23周 周期工程问题 疯狂操练三
【例题3】 一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做， 恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做， 做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工 作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
【例题 1 】修一条路，甲队每天修 8小时， 5天完成；乙队每 天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可 以完成？ 【思路导航】
【练习1】
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5 天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2 人和乙组7人合作，多少天可以完成？
【例题4】甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事
停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件， 需要多少天才能完成？
【思路导航】
【练习4】 1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天， 因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完 成？
第25周 最大最小问题 疯狂操练四
【例题 4 】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数 的积之差是114。这三个数中最小的是多少？ 【思路导航】 因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝ 114，即：（最 大数－最小数）×中间数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝ 2 ，因此，中间数 是114÷2＝57，最小数是57－1＝56
例题1思路导航同步教材免费视频练习1第21周抓不变量解题疯狂操练二例题2思路导航第21周抓不变量解题疯狂操练二练习2第21周抓不变量解题疯狂操练三例题3思路导航练习3第21周抓不变量解题疯狂操练四例题4思路导航练习4第21周抓不变量解题疯狂操练五例题5思路导航练习5六年级数学举一反三有些工程题中工作效率工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路如综合转化整体思考等方法来解题
六年级 数学试题 奥数第21讲 抓“不变量”解题 全国通用 有答案
第21讲 抓“不变量”解题专题简析：一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
例1．将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。
”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1：1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？3、319 的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23 ，那么减去的数是多少？例2：将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
小学奥数训练第21周抓“不变量”解题
第21周抓“不变量”解题专题简析一些分数的分子与分母发生了加减变化，解答时，关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等不变量进行分析后，再转化并解答。
王牌例题1将43/61的分子与分母同时加上某数后得7/9.求所加的这个数。
【思路导航】解法一:因为分数的分子与分母加上了同一个数，所以分数的分母与分子的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一个简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18，且分子是分母的7/9，由此可求出新分数的分子和分母。
”分母：分子:81×7/9 = 6381—61 = 20 或 63 — 43 = 20解法二:43/61的分母比分子多18，7/9的分母比分子多2。
因为分数的分母与分子差不变，所以将7/9的分子、分母同时扩大到原来的 18÷2=9(倍)。
①7/9的分子、分母应扩大到原来的:(61—43) ÷ (9—7)=9(倍）②约分后所得的7/9在约分前是③所加的数是:81 —61=20答:所加的这个数是20。
举一反三11. 分数97/181的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2/5。
求减去的这个数。
2. 分数1/13的分子、分母同加上一个数后得3/5。
求同加的这个数。
3. 3/19的分子、分母加上同一个数并约分得5/7.求加上的这个数。
4. 将58/79这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2/3。
求减去的这个数。
王牌例题2将一个分数的分母减去2得4/5。
如果将它的分母加上1，则得2/3。
求这个分数。
【思路导航】解法一:因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得4/5可知，分母比分子的5/4倍还多2。
由“分母加1得2/3”可知,分母比分子的3/2倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子:分母:解法二:两个新分数在未约分时，分子相同。
①将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。
六年级上册数学小升初常考奥数第21讲“不变量”解题
第21周抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
二、精讲精练【例题1】将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。
” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？ 2、分数113的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？ 3、319的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？4、将5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32－54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
六年级奥数抓不变量解题
六年级奥数抓不变量解题
在六年级奥数中，抓不变量是一种常用的解题方法。
抓不变量是指在问题的每一步变换中，通过找到一个保持不变的性质来解决问题。
以下是一些常见的抓不变量解题方法和例子：
1. 总数不变：问题中的某些属性总数保持不变。
例子：有一串递增的连续整数，如果删除其中一个数，则剩下的数可以排成递增的连续整数。
这里总数不变的抓不变量是递增的连续整数的总数。
2. 和不变：问题中的某些数的和保持不变。
例子：一个棋盘上有若干个棋子，每次转动或移动棋盘上的一行或一列。
证明每次转动或移动后，棋盘上白色棋子的和与黑色棋子的和保持相同。
这里和不变的抓不变量是白色棋子的和与黑色棋子的和。
3. 差不变：问题中的某些数之间的差保持不变。
例子：有一组数字，每次选择其中的两个数a和b，然后将它们替换为a+b 和|a-b|。
证明无论选择哪两个数，替换后的数列的最小值都保持不变。
这里差不变的抓不变量是任意两个数的差的绝对值。
抓不变量方法通常需要通过观察问题的性质和变换规律来发现，并根据它们构造合适的抓不变量。
通过抓不变量，可以简化问题的复杂性，提供思考方向，使问题的解决更加直观和简单。
小学数学 六年级奥数举一反三 教师教案 全20-40周
3 、一项工程，甲工程队单独做完要 150 天，乙工程队单独做完需 180天。 两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工 程要多少天？
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【例题5】
第23周 周期工程问题 疯狂操练五
【思路导航】
【练习5】
六年级 数学 举一反三
【例题1】 【思路导航】
【练习1】
【练习1】1、有数字1，2，3，4，5，6共可组成多少个没有重复数字
的四位奇数？
2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不 同的减法算式？
3、由数字1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个：
①三位数②三位偶数；③没有重复数字的三位偶数；④百位是8的没有重 复数字的三位数；⑤百位是8的 没有重复数字的三位偶数。
②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 【思路导航】 在确定组成三位数的过程中，应该一位一位地去确定，所以每个问题都 可以分三个步骤来完成。 ①要求组成不相等的三位数，所以数字可以重复使用。百位上不能取0， 故有3种不同的取法：十位上有4种取法，个位上也有4种取法，由乘法原 理共可组成3×4×4=48个不相等的三位数。 ②要求组成的三位数没有重复数字，百位上不能取0，有三种不同的取法， 十位上有三种不同的取法，个位上有两种不同的取法，由乘法原理共可 组成3×3×2=18个没有重复数字的三位数。
答：最小数是56。
【练习4】
第25周 最大最小问题 疯狂操练五
【例题 5 】三个数字能组成 6个不同的三位数。这 6 个三位数 的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。 【思路导航】 因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了 2 次。所以， 2886÷222能得到三个数字的和。 设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为
六年级思维训练奥数抓不变量解题
第十二讲 抓“不变量”解题【典型例题1】将4361的分子与分母同时加上某数后得79。
求所加的这个数。
【分析】解法一:因为分数的分子与分母加上了同一个数,所以分数的分母与分子的差不变,仍是18,所以,原题转化成了一个简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18,且分子是分母的79,由此可求出新分数的分子和分母。
”分母:(61-43)÷（1—79）=81 分子:81×79 =6381-61=20或63-43=20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2。
因为分数的分母与分子差不变,所以将79的分子、分母同时扩大到原来的18÷2=9(倍)。
①79 的分子、分母应扩大到原来的:(61-43)÷(9-7)=9(倍)②约分后所得的79在约分前是:79 = 7×99×9= 4361 ③所加的数是:81-61=20”答:所加的这个数是20。
【随堂练习1】（1）分数 97181 的分子和分母都减去同一个数,新的分数约分后是 25。
求减去的这个数。
（2）分数 113 的分子、分母同加上一个数后得 35。
求同加的这个数。
【典型例题2】将一个分数的分母减去2得 45。
如果将它的分母加上1,则得 23，求这个分数。
【分析】解法一:因为两次都是改变分数的分母,所以分数的分子没有变化,由“它的分母减去2得 45”可知,分母比分子的 54倍还多2。
由“分母加1得 23”可知,分母比分子的 32倍少1,从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子:(2+1)÷（32—54）=12 分母:12×32—1=17 解法二:两个新分数在未约分时,分子相同。
①将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。
23= 46= 1218； 45= 1215②原分数的分母是:18—1=17或15+2=17 答:这个分数为 1217。
【随堂练习2】1、将一个分数的分母加上2得 79，分母加上3得 34。
小学六年级奥数第21讲“不变量”解题(含答案分析)
第21讲“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
二、精讲精练【例题1】将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。
” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25，那么减去的数是多少？2、分数113 的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？3、将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32 －54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
(精品)六年级奥数分册第21周 抓不变量解题
第二十一周 抓“不变量”解题专题简析：一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
例1．将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。
”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1：1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？3、319 的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？例2：将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
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第二十一周 抓“不变量”解题
专题简析：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
例1．
将4361 的分子与分母同时加上某数后得7
9
，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，
原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的7
9
，
由此可求出新分数的分子和分母。
”
分母：（61-43）÷（1－7
9
）＝81
分子：81×7
9
＝63
81-61＝20或63-43＝20 解法二：4361 的分母比分子多18，79 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将7
9 的
分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
① 7
9
的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝63
81
③ 所加的数是81-61＝20
答：所加的数是20。
练习1：
1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2
5 ，那么减去的数是多少？
2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得3
5 ，那么同加的这个数是多少？
3、 319 的分子、分母加上同一个数并约分后得5
7 ，那么加上的数是多少？
4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2
3 ，那么减去的数是多少？
例2：
将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得2
3
，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得4
5
”可
知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的3
2
倍少1，从而将
原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32 －5
4
）=12
分母：12×3
2
-1＝17
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。
23 ＝46 ＝1218 ，45 ＝12
15
② 原分数的分母是： 18-1＝17或15+2＝17
答：这个分数为12
17。
练习2：
1、 将一个分数的分母加上2得79 ，分母加上3得3
4 。
原来的分数是多少？
2、 将一个分数的分母加上2得34 ，分母加上2得4
5 。
原来的分数是多少？
3、 将一个分数的分母加上5得37 ，分母加上4得4
9 。
原来的分数是多少？
4、 将一个分数的分母减去9得58 ，分母减去6得7
4。
原来的分数是多少？
例3：
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于5
7。
如果在它的分子上减去同一个数，这
个分数就等于1
2
，求原来的最简分数是多少。
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。
将这两个分数化成分母相同的分数，即57 =1014 ，12 =7
14。
根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想1014 和7
14
的分子和分母再乘以
2。
所以
57 ＝1014 ＝2028 ，12 ＝714 ＝1428
故原来的最简分数是17
28。
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。
所以
（57 +12 ）÷2＝17
28
答：原来的最简分数是17
28。
练习3：
1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于5
8。
如果在它的分子上减去同一个
数，这个分数就等于1
2
，求这个分数。
2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于6
7。
如果在它的分子上减去同一个
数，这个分数就等于1
3
，求这个分数。
3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于7
9。
如果在它的分子上减去同一个数，
这个分数就等于3
5
，求这个分数。
例4：
将一个分数的分母加3得79 ，分母加5得3
4。
原分数是多少？
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。
将两个分数化成分子相同的分数，即79 ＝2127 ，34 ＝21
28 。
根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将2127 和21
28
的分子和
分母再同乘以2。
则79 ＝2127 ＝4254 ，34 ＝2128 ＝42
56。
所以，原分数的分母是（54－3＝）
51。
原分数是42
51。
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。
分母加3后是分子的9
7
，分母加5后是分子
的43 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（43 －97
）＝42。
原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是42
51。
练习4：
1、 一个分数，将它的分母加5得56 ，加8得4
5
，原来的分数是多少？（用两种方法）
2、 将一个分数的分母减去3，约分后得67 ；若将它的分母减去5，则得7
8。
原来的分数是多少？
（用两种方法做）
3、 把一个分数的分母减去2，约分后等于34 。
如果给原分数的分母加上9，约分后等于5
7。
求原
分数。
例5：
有一个分数，如果分子加1，这个分数等于12 ；如果分母加1，这个分数就等于1
3
，这个分数是
多少？
根据“分子加1，这个分数等于1
2
”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数
就等于1
3
”可知，分母比分子的3倍少1。
所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分
母是3×2+2=8。
所以，这个分数是3
8。
练习5：
1、 一个分数，如果分子加3，这个分数等于12 ，如果分母加上1，这个分数等于1
3
，这个分数
是多少？
2、 一个分数，如果分子加5，这个分数等于12 ，如果分母减3，这个分数等于1
3
，这个 分数是
多少？
3、 一个分数，如果分子减1，这个分数等于12 ；如果分母加11，这个分数等于1
3
，这个分数是
多少？ 答案： 练1
1、 41
2、17
3、 37
4、 16 练2
1、 2125
2、1213
3、1223
4、 2041
练3
1、916
2、2542
3、31
45 练4 1、6067 2、84101 3、165222 练5
1、720
2、724
3、916。