高中数学变化率问题教案
《变化率问题》教学设计
《变化率问题》教学设计
一、教学设计说明
1．教材分析
本课是人教版高中数学选修2-2第一章第一节的第一课时的内容，其基本内容是平均变化率的概念。
我们知道函数在高中数学有着不可忽视的地位，并且导数是研究函数的重要工具及手段，而平均变化率直观的帮助学生了解导数概念的实际背景及几何意义，进而有利于学生更好的学习瞬时变化率——导数，可以说，这一节起到了承上启下的作用。
2．学情分析
本节课的教学对象为高二年级理科生，在物理中，学生已学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念，这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想，同时学生又具备了一定的函数知识与解析几何知识，这些都有利于本节课的顺利进行。
平均变化率对于学生来说既陌生又熟悉，熟悉是因为现实生活中有大量问题涉及到平均变化率，所以说它是实践性很强的内容。
但是学生没有明确的系统的学习过平均变化率，不知道他的精确定义及内涵。
由于学生通过自己的亲身体验，亲自去解释生活中的一些问题，才能体会到平均变化率的基本思想。
因此需要学生具有高度的概括能力和深刻的思维能力，对学生的思维是一次挑战，因此，平均变化率的理解与转化是本节课的难点。
二、教案。
【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5.1.1变化率问题》教学设计第2课时◆教学目标1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．◆教学重难点◆教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：什么叫直线与圆相切？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．【探究新知】知识点1：曲线在某点处的切线 我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究．问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？ 师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近任取一点2()P x x ，，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2(1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1Δ21(1Δ)1f x f x k x x x -+-===+-+-.我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格.0x ∆< 0x ∆>x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01-1.990.012.010.001-1.9990.0012.0010.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001-1.9999990.0000012.000001…… ……当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.事实上，由(1Δ)(1)Δ2Δf x f k x x+-==+可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，Δ2x +无限趋近于2.我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δf x f k x +-=的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)lim 2Δx f x f x→+-=.从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0PT .这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0PT 的斜率0k .因此，切线0PT 的斜率02k =.【巩固练习】例1 已知函数1y x x=-，求该函数在点x ＝1处的切线斜率． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善． 预设的答案：∵11(1)(1)11y x x ∆=+∆---+∆111x x =+∆-+∆1xx x ∆=∆++∆111y x x ∆=+∆+∆，∴斜率k ＝001lim lim(1)1121x x y x x∆→∆→∆=+=+=∆+∆．设计意图：通过求曲线上某点处切线斜率的问题，加深学生对曲线在某点处的切线和切线斜率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率 (1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， （2）计算0limx yx∆→∆∆，该值即为曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率．例2已知函数f (x )＝3x 2＋5，曲线y =f （x ）在点（（x 0，f （x 0））处的切线方程． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善． 预设的答案：因为f (x )＝3x 2＋5，所以Δy = f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 02＋5) =3 x 02＋6 x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3 x 02－5＝6 x 0Δx ＋3(Δx )2. 所以063yx x x∆=+∆∆， 所以0000limlim(6)6x x yx x x x ∆→∆→∆=+∆=∆，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为6 x 0，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为000()6()y f x x x x -=-， 即200635y x x x =-+． 方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程(1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， （2）计算0limx y x ∆→∆∆，即曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为0lim x yk x∆→∆=∆．（3）写出切线方程00()()y f x k x x -=-．设计意图：通过求曲线上某点处切线的方程问题，进一步加深学生对曲线在某点处的切线的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 练习：教科书P 64 练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.1变化率问题新知探究巩固练习 知识点1：曲线在某点处的切线 例1 知识点2：曲线在某点处的切线斜率例22．总结概括：（1）什么叫曲线在某点处的切线； （2）如何求曲线在某点处的切线斜率． 师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力． 3．课堂作业：教科书P 70 习题5.1 2、4、7【目标检测设计】1.在曲线2y x =上取一点(1)1，及附近一点()11x y +∆+∆，，则曲线在点(1)1，处的切线的斜率为( ) A.12x x∆++∆ B.2 C .2x ∆+ D.12x x+∆-∆ 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线及切线斜率的求解. 2.已知曲线11y x =-上两点112222A B x y ⎛⎫⎛⎫-+∆-+∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，当1x ∆=时，割线AB 的斜率为_______. 3．求曲线24y x =在x ＝2处的切线的方程． 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线方程的求法.参考答案：1. B 设2()f x x =，则2000(1)(1)(1)1limlim lim(2)2x x x f x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-==∆+=∆∆.故选B.2.16-设1()1f x x =-，则1111(2)(2)1122222(2)x f x f x x x -∆⎛⎫⎛⎫+∆-=---=-= ⎪ ⎪+∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭， 则(2)(2)12(2)2(2)xf x f x xx x ∆-+∆--+∆==∆∆+∆， 当1x ∆=时，割线AB 的斜率112(21)6k -==-⨯+.3．解：∵2222()4(2)2(24)4x xy x x -∆-∆∆=-=+∆+∆，24(2)y x x x ∆-∆-=∆+∆ ∴20044limlim 1(2)4x x y x x x ∆→∆→∆-∆--===-∆+∆，∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的斜率为-1， ∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的方程为y -1=-1（x -2），即y =-x +3．。
变化率问题教案
变化率问题教案教案标题：变化率问题教案教案概述：本节课的教学目标是帮助学生理解和应用变化率的概念。
通过引入实际生活中的变化率问题，学生将学会计算和解释变化率，并能够将其应用于各种实际情境中。
本节课适用于中学高年级学生，他们已经掌握了基本的数学概念和计算技巧。
教学目标：1. 理解变化率的概念和意义；2. 能够计算和解释变化率；3. 能够应用变化率解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：- 准备一些实际生活中的变化率问题的例子；- 准备展示和解释变化率计算方法的教学资源；- 准备学生练习和巩固所学内容的练习题。
2. 学生准备：- 确保学生已经掌握了基本的数学计算技巧和概念。
教学过程：引入（5分钟）：1. 引入一个实际生活中的变化率问题，例如：小明每分钟能够跑100米，那么他的速度是多少？2. 引导学生思考速度的定义，并与变化率进行联系。
讲解变化率概念（10分钟）：1. 使用图表或图形来解释变化率的概念，例如：绘制小明跑步速度随时间变化的图表。
2. 解释变化率的定义：变化率是指某一量在一定时间内的变化量。
3. 强调变化率的单位和意义。
计算和解释变化率（15分钟）：1. 展示变化率计算的方法，例如：速度的变化率等于距离的变化量除以时间的变化量。
2. 通过几个例子引导学生计算和解释变化率。
应用变化率（15分钟）：1. 提供一些实际生活中的变化率问题，例如：汽车行驶的速度随时间的变化、销售额的增长率等。
2. 引导学生应用所学的变化率概念和计算方法解决这些问题。
3. 鼓励学生思考变化率对于解决实际问题的重要性。
练习和巩固（10分钟）：1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。
2. 检查并讲解答案，解决学生可能遇到的问题。
总结（5分钟）：1. 总结本节课所学的内容和重点。
2. 强调变化率在实际问题中的应用价值。
拓展活动：1. 鼓励学生应用变化率的概念和计算方法解决更复杂的变化率问题。
2. 提供更多实际生活中的变化率问题供学生练习。
高中数学_变化率问题教学设计学情分析教材分析课后反思
变化率问题教学设计一.内容和内容解析；内容：平均变化率的概念及其求法；内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导；教学重点：函数平均变化率的概念；二.目标和目标解析；新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化；目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率；1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变；§1.1.1 变化率问题一. 内容和内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。
内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。
本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
教学重点：函数平均变化率的概念。
二.目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。
目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。
3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
变化率问题教案
三：新课引入一、导入新课：为了描绘现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：理解微积分的背景多媒体展示四类问题，激发学生的好奇心四：新课讲授（一）新知识导学引例生活中变化快慢的量（1）两分公司半年销售额折线图（2）冷水、温水、热水分别置于空气中的温度变化观看引例中的这些图，自由发表自己的看法多媒体展示引导学生观察变化量（二）：新知识讲解与分析（一）问题提出实例一：气温变化温度气温变化的快慢不同问题1：怎样用数学语言描绘气温变化率呢？实例二：气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是假设将半径r表示为体积V的函数，那么33()4Vr Vπ=问题2：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?实例三：高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存有函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗观看四个实例，相互交流讨论，思考PPT展示的问题。
交流讨论之后自己动手操作，计算并化简思考题的问题。
展示实例，首先让学生观看，然后引导学生总结，最后提问并点评学生的回答。
要充分的调动学生的积极性，让更多的学生参与到课堂当中。
34()3V r rπ=略地描绘其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 实例四：山坡的陡峭水准 问题3：爬山时的感觉：山坡平缓时，步履轻盈；山坡陡峭时，气喘吁吁.如何用数学反映山坡陡峭呢？假定山路是 平直的.（二）平均变化率概念：平均变化率为 =∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212通过实例，尝试的总结平均变化率的概念，举手回答。
变化率问题2教案
变化率问题2教案教案标题：变化率问题2教案教案目标：1. 学生能够理解变化率的概念，并能够应用变化率解决实际问题。
2. 学生能够计算变化率，并能够解释计算结果的含义。
3. 学生能够应用变化率解决与速度、斜率和增长率相关的问题。
教学重点：1. 变化率的概念和计算方法。
2. 变化率在实际问题中的应用。
3. 变化率与速度、斜率和增长率的关系。
教学准备：1. 教学投影仪和电脑。
2. 学生练习纸和铅笔。
3. 实际问题的案例和练习题。
教学过程：引入：1. 使用一个实际问题引入变化率的概念，例如：小明骑自行车从家到学校的路程是10公里，他用了1小时完成。
请问他的平均速度是多少？2. 引导学生思考速度的计算方法，并解释速度就是距离和时间的比值。
讲解：1. 引导学生理解变化率的概念：变化率是指某个量随着另一个量变化的速度。
2. 解释变化率的计算方法：变化率等于两个量的差值除以两个量之间的差值。
3. 给出一个简单的例子，例如：小明从家到学校的距离是10公里，他用了1小时，而小红从家到学校的距离是8公里，她用了40分钟。
请计算小明和小红的平均速度，并比较两者之间的变化率。
实践：1. 分发练习纸和铅笔，让学生在小组内完成一些练习题，例如：计算不同物体的速度和变化率。
2. 鼓励学生在解答问题时运用变化率的概念和计算方法。
拓展：1. 引导学生思考变化率与斜率的关系，并解释斜率就是变化率的几何表示。
2. 给出一个图形问题，例如：一条直线上的两个点A和B的坐标分别是(2, 4)和(6, 10)，请计算直线AB的斜率，并解释结果的含义。
总结：1. 回顾变化率的概念和计算方法。
2. 强调变化率在实际问题中的应用，例如速度、斜率和增长率的计算。
3. 鼓励学生在解决实际问题时灵活运用变化率的概念和计算方法。
扩展活动：1. 让学生选择一个自己感兴趣的实际问题，并运用变化率的概念和计算方法解决。
2. 学生可以在小组内分享自己的解决过程和结果。
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。
3、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。
基于以上课程标准，本节课的教学目标设计如下：1、理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。
3、通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义，并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。
4、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。
四、教学过程设计1、导入环节通过“气球膨胀率”、“高台跳水”等生活实例，引导学生思考变化率的概念，并通过图像、表格等方式，让学生感受变化率的变化趋势。
2、知识讲解1）平均变化率的概念和计算方法，以及平均变化率的几何意义。
2）瞬时变化率的概念和计算方法，以及导数的定义和几何意义。
3）导数的求解方法和应用。
3、案例分析通过一些典型例题，让学生掌握导数的计算方法和应用，培养学生的解决实际问题的能力。
4、练与巩固通过一些练题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5、拓展与应用通过一些拓展性的问题，让学生进一步理解导数的概念和应用，培养学生的创新思维能力。
6、总结与评价对本节课所学知识进行总结，并对学生的表现进行评价和反馈。
五、教学方法通过引导学生思考、案例分析、练巩固、拓展应用等多种教学方法，培养学生的数学思维能力和创新意识。
六、教学手段通过黑板、投影仪、实物模型等多种教学手段，让学生更加直观地理解所学知识。
本节课的教学目标需要更具体、可操作和可检测性。
通过解读《课程标准》，我们将课堂教学目标确定为：1.理解平均变化率的概念，了解其几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法。
为了有效地突破教学难点，我们将引用苏教版《变化率问题》中的“气温变化”问题，通过数学角度解释生活中的变化快慢现象，为后面探究“气球膨胀率”、“高台跳水”问题奠定基础，为归纳“平均变化率”的概念提供具体背景。
高中数学变化率的教案
高中数学变化率的教案
教学目标：
1. 理解变化率的概念，能够计算函数在某一点处的导数。
2. 掌握变化率与导数的关系，能够应用导数解决实际问题。
3. 提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 变化率的概念
2. 导数的计算
3. 导数的应用
教学难点：
1. 理解导数的定义及其应用
2. 解决实际问题时的应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引出变化率的概念，让学生感受到变化率的重要性和实际应用价值。
二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解变化率的定义及其计算方法。
2. 介绍导数的概念及其与变化率的关系。
3. 解释导数的意义和应用。
三、实例演练（20分钟）
1. 让学生通过例题计算函数在某一点处的导数。
2. 给学生几个实际问题，让他们应用导数解决问题。
四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生习题提供更多练习机会，巩固导数的计算和应用。
2. 让学生思考如何在实际问题中更好地使用导数解决问题。
五、总结与评价（5分钟）
总结今天的学习内容，强调导数在数学和实际问题中的重要性，并评价学生的学习情况。
六、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力，以及在解决实际问题中的应用能力。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的概念及其应用有了更深入的理解，提高了数学分析能力和解决问题的能力。
但在实际引导学生解答实际问题时，还需引导学生思考更深入，提高解决问题的能力。
高中数学变化率问题教案
高中数学变化率问题教案一、教学内容本节课主要介绍数学中的变化率问题，包括函数的导数和微分的概念，以及如何利用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。
二、教学目标1. 了解导数和微分的定义和性质；2. 掌握求函数导数和微分的方法；3. 能够应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。
三、教学重点1. 函数导数和微分的计算方法；2. 如何应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。
四、教学难点1. 理解函数的导数和微分的物理意义；2. 能够灵活运用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。
五、教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子引入变化率的概念，让学生了解变化率的重要性；2. 讲解：介绍函数的导数和微分的定义和性质，以及其计算方法；3. 练习：给学生几个简单的函数求导数和微分的练习题，让他们掌握计算方法；4. 拓展：介绍如何应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题，例如速度、加速度等；5. 实践：让学生做一些实际问题的应用练习，培养他们解决实际问题的能力；6. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对函数的导数和微分有一个清晰的认识。
六、教学资源1. 课件：包括导数和微分的定义、性质和计算方法；2. 教材：提供相关的例题和练习题；3. 实例：准备一些生活中的例子，引发学生思考。
七、教学评估1. 课堂练习：通过课堂上的练习题检测学生对导数和微分的掌握情况；2. 作业：布置相关的作业，考察学生对实际问题的应用能力；3. 讨论：组织学生进行小组讨论，检查其解题思路和方法。
八、课后作业1. 完成教师布置的练习题；2. 尝试解决一些实际问题，应用导数和微分计算变化率。
注：以上内容仅为参考，具体教学过程和内容可根据实际情况进行调整。
高中数学平均变化率教案
高中数学平均变化率教案一、教学目标：1. 掌握平均变化率的概念；2. 能够计算函数在两点之间的平均变化率；3. 能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学重点和难点：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 能够准确应用平均变化率解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）：通过一个生活中的例子引入平均变化率的概念，让学生了解平均变化率的重要性和应用场景。
2. 讲解平均变化率的概念和计算方法（10分钟）：通过具体的数学例题讲解平均变化率的定义和计算公式，并让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 练习题讲解（15分钟）：通过一些实例题和应用题，引导学生熟练掌握平均变化率的计算方法和解题技巧。
4. 小组讨论（10分钟）：分成小组，让学生根据所学知识讨论解决实际问题的方法，并在小组中相互讨论和交流。
5. 整合巩固（10分钟）：让学生根据所学知识，解决一些复杂的实际问题，巩固平均变化率的应用能力。
6. 课堂小结（5分钟）：对本节课学习内容进行总结，强调平均变化率的重要性和应用意义。
四、板书设计：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 函数在两点之间的平均变化率公式；3. 应用平均变化率解决实际问题的步骤。
五、课后作业：1. 完成课堂练习题；2. 练习书上相关练习题目；3. 总结平均变化率的概念和应用方法，写一份小结。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了平均变化率的概念和应用方法，并能够熟练解决相关问题。
同时，也发现了学生在计算过程中容易犯的错误和不足之处，需要加强课后练习和巩固。
通过不断总结和反思，提高自己的教学水平，更好地引导学生学习。
高中数学教案应用微积分解决变化率问题
高中数学教案应用微积分解决变化率问题微积分是研究数量规律、变化规律的数学分支，具有广泛的应用。
在高中数学教学中，通过应用微积分，可以解决许多与变化率相关的问题。
本文将探讨如何使用微积分解决高中数学教学中的变化率问题。
一、导数与变化率导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在高中数学教学中，导数可以用来解决函数图像的斜率、曲线的切线问题等。
在教学中，可以通过以下步骤应用微积分解决变化率问题：1.确定所求变化率的函数：首先，确定问题中所涉及的变量，并建立与之相关的函数关系。
例如，如果要求解一个线性函数在某一点的变化率，可以建立一个关于自变量的函数。
2.求导：根据所求变化率的函数，求取其导数。
导数表示函数在某一点的变化率，因此通过求导，可以得到所求变化率的表达式。
3.代入数值：将所求的自变量值代入导数表达式中，得到具体的变化率数值。
这样就可以得到问题中所要求解的变化率。
通过以上步骤，可以应用微积分解决高中数学教学中的变化率问题。
下面通过一个例子来加深理解。
例题：已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求函数在点 x = 2 处的变化率。
解：首先，确定所求变化率的函数为 f(x)，即 f(x) = 2x^2 + 3x + 1。
其次，对 f(x) 求导，得到 f'(x) = 4x + 3。
根据导数的定义，f'(x) 表示函数在某一点的变化率。
最后，将 x = 2 代入导数表达式 f'(x) = 4x + 3，计算可得 f'(2) = 4(2) + 3 = 11。
所以，函数在点 x = 2 处的变化率为 11。
二、利用导数解决实际问题微积分的一个重要应用领域是解决实际问题。
在高中数学教学中，通过应用微积分解决与变化率相关的实际问题，可以帮助学生更好地理解数学知识，并将其应用于实际生活中。
1.速度和加速度问题：在物理学中，速度和加速度是与变化率密切相关的概念。
变化率问题教案
3.1.1 变化率问题一、教学目标重点: 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；函数平均变化率的概念.难点：如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”函数平均变化率的概念理解.知识点：平均变化率的概念及其求法.能力点：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力.教育点：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。
并养成学生探究—总结型的学习习惯.自主探究点：平均速度和瞬时速度的区别和联系.考试点：平均变化率的概念及其求法.易错易混点：函数值的增量的理解和计算.拓展点：瞬时速度和瞬时变化率．二、复习引入创设情境：我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?【设计意图】通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景.设计说明：老师准备两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？【设计意图】让学生吹气球，可以增加课堂气氛，同时加深学习导数的印象．对一种生活现象的数学解析，可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的.三、探究新知学生演示吹气球过程，谈感受，老师点评．得出结论：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．探究一：“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从数学的角度该如何描述？【设计意图】使学生感受到数学知识的产生发展是自然的，并非强加于人的，从而激发他们学习的兴趣与愿望.说明：(1)组织学生讨论问题，阐述想法；(2)引导学生“以已知探求未知”，从气球体积出发，寻求想法；(3)师生共同确定想法：①气球体积V与气球半径r之间的关系()r V=当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小＂，从数学角度进行描述就是，“随着气球体积的增大，比值半径的增加量体积的增加量越来越小”．③比值半径的增加量体积的增加量就是气球的平均膨胀率．提出问题：请分别计算Ｖ从０增加到１Ｌ时，从１Ｌ增加到２Ｌ的平均膨胀率.【设计意图】（1）让学生体会需要用数字来说明问题；学生计算，交流计算结果，并讨论结果代表的意思； （2）让学生感受气球膨胀率大小的变化，从而体会平均膨胀率可以刻划气球半径变化的快慢． 分析: ()r V =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm - 气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10r r dm L -»-⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm - 气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21r r dm L -»-可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()r V r V V V --【设计意图】把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想，为归纳函数平均变化率概念作铺垫． 探究二：高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态？【设计意图】高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰．通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景．说明：教师播放郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化． 思考计算：如何计算运动员的平均速度？并分别计算00.5t ＃和12t ＃时间段里的平均速度. 在00.5t ＃这段时间里，(0.5)(0)4.05(/)0.50h h v m s -==-；在12t＃这段时间里，(2)(1)8.2(/)21h h v m s -==--． 【设计意图】再次通过计算，理解平均变化率. 探究：计算运动员在65049t＃这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，结合图形可知，65()(0)49h h =， 所以65()(0)490(/)65049h h v s m -==-， 虽然运动员在65049t ＃这段时间里的平均速度为)/(0m s，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．设计意图：这里的“探究”会让学生感受到进一步探究、学习的必要性，为从平均变化率到瞬时变化率（即导数）做好准备，为建立导数概念营造了一个良好的问题情境.让学生就此探究进行思考、展开讨论，激发他们的认知需求，自然地进入导数概念的学习. 设计说明：（1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；定义：平均变化率概念:上述问题中的变化率可用式子2121()()f x f x x x --表示, 称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率设计意图：让学生在经历从实例到抽象概括出变化率的过程中，感受数学的思想，认识数学的本质，主动参与数学教学活动的基本理念.若设21x x x ∆=-, 21()()y f x f x ∆=- (这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x +x ∆代替2x ,同样21()()y f x f x ∆=-)，则平均变化率为y x ∆=∆211121()()()()f x f x f x x f x x x x-+∆-=-∆ 四、理解新知说明：（1）x ∆是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；式子中x ∆、y ∆的值可正、可负，但x ∆不能为0，y ∆的值可以为0.因此，平均变化率可正可负，也可为零． （2）x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x +x ∆代替2x ；（3）2111()()()()y f x f x f x x f x ∆=-=+∆-表示函数值的“增量”。
变化率问题教案
变化率问题教案人教a版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节变化率与导数1.1.1变化率冯敏（监利一中）教学目标知识目标1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。
2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
3.通过函数平均变化率的几何意义教学，让学生体验数形结合的理念。
4.通过实例分析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
能力目标：1.通过动手计算，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力；2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感目标：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
教学重点1.引入平均变化率的概念；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；3.感受数学模型在描绘客观世界中的作用，进一步理解变量数学的思想，提高分析和解决问题的能力。
教学难点：平均变化率的理解与转化教学方法通过从特殊到一般的思维方法，引导学生获得平均变化率的概念；通过积极探索和讨论，引导学生逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。
基础教学过程历史背景知识过程现象分析有效建构类比归纳法实例探究习题释疑归纳小结教学过程设计：一、创造情境为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意当时的速度和加速度；反之亦然（2）求出曲线的切线；（3）求已知函数的最大值和最小值；（4）找出长度、面积、体积和重心。
导数是微积分的核心概念之一。
【设计意图】运用数学史知识可以帮助学生理解数学知识的语境，使知识网络更加清晰，形成科学体系；运用数学史知识可以激发学生的大脑，提高他们的学习兴趣，对所学内容有更深的理解甚至欣赏，理解问题的本质2、新课程教学（1）.问题提出：T（℃）C（34,33.4）问题1平均温度变化率30【设计意图】引导学生最终用温度的平均变化率刻画20b(32,18.6)温度变化的快慢，让学生意识到可以用变化率体现事物变化的快慢情况。
3.1.1变化率问题,教案
3.1.1变化率问题,教案篇一：3.1.1变化率问题教案3.1变化率与导数3.1.1变化率问题一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3分析:r(V)?43?r33V4?3V4?(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L)1?0(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L)2?1可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1)V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)0.5?0在1?t?2这段时间里,v?探究:计算运动员在0?t?h(2)?h(1)??8.2(m/s)2?165这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像,结合图形可知,h(65)?h(0),所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m)65?049虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m),49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,x2?x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.2.若设?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???x2?x1?x?x?x?ff(x2)?f(x1)表示什么???xx2?x1思考:观察函数f(x)的图象平均变化率三、典例分析例1已知函数f(x)??x?x的图象上的一点a(?1,?2)及2?y?.?x解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x)临近一点B(?1??x,?2??y)则?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x∴?x?x例2求y?x2在x?x0附近的平均变化率.解:?y?(x0??x)?x02222x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x0所以???2x0??x?x?x?x所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x2课堂练习1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)?3t?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y?f(x)?x上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,求出当?x?0.1时割线的斜率.四、【课堂小结】1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.322篇二：3.1.1变化率问题(学、教案)变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。
39变化率问题举例教案
一、变化率在工程技术上的几种常见类型
例1（电流模型）设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为 ，求 时刻的电流.
例2（细杆的线密度模型）设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0，x]上的质量m是x的函数m=m(x)，求杆上 处的线密度.
例3（化学反应速度模型）在化学反应中某种物质的浓度N和时间t的关系为
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究.
给定变量，它在某处的改变量称作绝对改变量.给定改变量与变量在该处的值之比称作相对改变量.
定义对于函数 ，如果极限
存在，则 称作函数 在点 处的弹性，记作E，即
作业
自主练习
课后小结
重点、难点：
教学重点：教学难点：
1.变化率在工程技术上的几种常见类型；弹性分析及其意义
授课内容
变化率问题举例
教学方法
及教学工具
授课日期
授课节次
授课地点
教学过程、教学内容（含板书设计）
前面我们从实际问题中抽象出了导数的概念，并利用导数的定义求一些函数的导数，这当然是很重要的一方面,但另一方面，我们还应使抽象的概念回到具体的问题中去,在科学技术中常把导数称为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ化率.因为,对于一个未赋予具体含义的一般函数 来说
N=N(t)
求在t时刻该物质的瞬时反应速度.
二、变化率在经济分析中的应用
1、边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称为边际分析法.边际分析法是经济理论中的一个重要方法.
(1)边际成本；(2)边际收入；(3)边际利润
变化率问题精品教案
变化率问题 （第一课时）一、教课目的：1．认识曲线的切线的观点．2．在认识刹时速度的基础上，抽象出变化率的观点．3．掌握切线的斜率、刹时速度，它们都是一种特别的极限，为学习导数的定义确立基 础．二、教课要点： 切线的观点和刹时速度的观点．教课难点： 在认识曲线的切线和刹时速度的基础上抽象出变化率的观点． 三、教课器具： 多媒体 四、教课过程： 1．曲线的切线如 图 ， 设曲 线 C 是函 数 y f (x) 的 图 像， 点 P( x 0 , y 0 ) 是 曲 线 C 上 一点 ， 点Q( x 0x, y 0 y) 是曲线 C 上与点 P 周边的任一点．作割线PQ ，当点 Q 沿着曲线 C 无限地趋近于点 P ，割线 PQ 便无穷地趋近于某一极限地点PT ．我们就把极限地点上的直线PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线．问：如何确立曲线 C 在点 P 处的切线呢？由于 P 是给定的，依据分析几何中直线的点斜式方程的知识，只需求出切线的斜率就够了．设割线 PQ 的倾斜角为 ，切线 PT 的倾斜角为，既然割线 PQ 的极限地点上的直线PT 是切线，因此割线 PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率 tan ，即 tanlim ylim f ( x 0x)f ( x 0 ).x 0x x 0x例题 求曲线 y x 2 1 在点 P （ 1， 2）处的切线的斜率 k ．解： yf (x 0 x)f ( x 0 )f (1x)f (1)(1x) 2 1 (1 1)x 22 xy x 2 2 x2xxx∴ klim y lim ( x 2)2 ，即 k 2 ．xx 0 x 02．刹时速度我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数s s(t ) 描绘．下边以自由落体运动为例进行剖析． 已知 s1 gt2 ．2（ 1）计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、 3.01 秒、 3.001 秒、 3.0001 秒 各段内均匀速度．（ 2）求 t 3 秒时的刹时速度．解：（ 1） 3,3.1, t3 0.1, t 指时间改变量．s s(3.1)s(3) 1 g 21 g 32 0.3059. s 指地点改变量．2 23.059.vt其他各段时间内的均匀速度，预先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的均匀速度后，即用多媒体出示，让学生思虑在各段时间内均匀速度的变化状况．（ 2）从（ 1）可见某段时间内的均匀速度s随 t 变化而变化， t 越小， s越靠近t s的极限．t 于一个定值，由极限制义可知，这个值就是t0 时，tss(3t) s(3)1g (3t )2 1 g 32v limlimlim 2t 2 t0 t t 0t t 01 g lim ( 6 t ) 3g29.4 （米 /秒）2t 0s的极限）问：非匀速直线运动的刹时速度是如何定义的？（当t0 时，均匀速度t教师指引，学生进行概括：求非匀速直线运动在时辰 t 0 的刹时速度的方法以下：非匀速直线运动的规律 s s(t )时间改变量 t ，地点改变量 s s(t 0 t) s(t 0 )均匀速度 vs，刹时速度 v limst ．tt一般地，假如物体的运动规律是 s s(t) ，物体在时辰t 的刹时速度 v ，就是物体在 t到 tt 这段时间内，当 t 0 时，均匀速度的极限，即 v lim s lim s(tt ) s(t )ttt 0t 0例题 若一物体运动方程以下：s3t 22(0 t 3) (1)29 3(t3) 2 (t3) (2)求此物体在 t 1 和 t 3 时的刹时速度．解：当 t 1时，s 3t 2 2v s lim s(t t ) s(t ) lim 3(1 t )2 2 3 12 2t t 0 t t 0 tlim 6 t 3 t 2 lim (6 3 t ) 6.t 0 t t 0当 t 3 时，s 29 3(t 3)2v s lim s(t t ) s(t ) lim 29 3(3 t 3) 2 29 3(3 3) 2 lim 3( t) 2 t t 0 t t 0 t t 0 t lim 3 t 0.t 0因此，物体在 t 1和 t 3 时的刹时速度分别是6和 0．3．讲堂练习（学生练习后教师再讲评）（ 1）求y x3 2x 2 在x 2 处的切线的斜率．解：y f (x0 x) f (x0 )f (2 x) f (2)(2 x) 3 2(2 x) 2 (23 2 2 2)10 x 6( x)2 ( x)3y 10 6 x ( x) 2xy∴ k lim lim (10 6 x x 2 ) 10.x x 0x 0（ 2）教科书练习第1、2 题．4．讲堂小结（1）曲线的切线．（2）刹时速度．（3）求切线的斜率、刹时速度的步骤．五、部署作业1．求以下曲线在指定点处的切线斜率．（ 1）yx3 2, x 2 处，（ 2）y 1 , x 0 处．x 12．已知某质点按规律s 2t 2 2t （米）作直线运动．求：（1）该质点在运动前 3 秒内的均匀速度；（ 2）质点在 2 秒到 3 秒内的均匀速度；（3）质点在 3 秒时的刹时速度．解： 1．（ 1）k 12 ，（2） k 1 ；2．（ 1） 8 米/秒，（ 2） 12 米 /秒，（ 3） 14 米 /秒．。
变化率问题精品教案
3.1.1 变化率问题学习目标 1.理解平均变化率的概念.2.了解平均变化率的几何意义.3.会求函数在某点处附近的平均变化率.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 平均变化率的几何意义、物理意义分别是什么？答案 (1)平均变化率的几何意义就是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))所在直线的斜率.(2)平均变化率的物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )，在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1.思考3 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.知识点二 函数y ＝f (x )从x 2到x 1的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的增量与自变量增量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.类型一 平均速度的应用例1 已知自由落体运动的位移s (m)与时间t (s)的关系为s ＝12gt 2，计算t 从3秒到3.1秒、3.001秒、 3.000 1秒…，各段内的平均速度.(g ＝9.8 m/s 2) 解 设Δt 表示时间改变量，则 Δs ＝f (t ＋Δt )－f (t )表示路程改变量. 则Δs ＝f (t ＋Δt )－f (t )＝12g (t ＋Δt )2－12gt 2＝gt ·Δt ＋12g (Δt )2；v ＝Δs Δt ＝gt ·Δt ＋12g (Δt )2Δt ＝gt ＋12g Δt .所以t 从3秒到3.1秒内的平均速度 v ＝29.89(m/s)； t 从3秒到3.001秒内的平均速度 v ＝29.404 9(m/s)； t 从3秒到3.000 1秒内的平均速度 v ＝29.400 49(m/s).反思与感悟 通过对各段时间内的平均速度计算，可以思考在各段时间内的平均速度的变化情况；可见某段时间内的平均速度v ＝ΔsΔt随Δt ＝(t ＋d )－t ＝d 的变化而变化. 跟踪训练1 某质点作方程为y ＝－2t 2＋1的曲线运动，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度v 为( )A.－4B.－8C.6D.－6 答案 D解析 ∵当t ＝1时，y 1＝－2＋1＝－1； 当t ＝2时，y 2＝－2×4＋1＝－7. ∴v ＝y 2－y 12－1＝－6.类型二 平均变化率的概念 例2 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义. 解 ∵f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx＝2Δx ＋4x 1＋3. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx ＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率. 在(2)题中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (2)再计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1). (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.1.如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度是( ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2.一质点的运动方程是s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A.3Δt ＋6 B.－3Δt ＋6 C.3Δt －6 D.－3Δt －6答案 D解析 平均速度为s (1＋Δt )－s (1)(1＋Δt )－1＝5－3(1＋Δt )2－2Δt ＝－3Δt －6，故选D.3.物体运动方程y ＝x 2＋3x ，则物体在时间段[2,4]内的平均速度为________. 答案 9解析 平均速度v ＝(42＋3×4)－(22＋3×2)4－2＝9.4.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx ＝________. 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )，∴Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)Δx＝3－Δx .求函数平均变化率的三个步骤 第一步：求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； 第二步：求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； 第三步：求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.一、选择题1.在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A.Δx <0 B.Δx >0 C.Δx ＝0 D.Δx ≠0答案 D解析 自变量的增量Δx 可正、可负，但不可为0.2.已知函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy 等于( ) A.f (x 0＋Δx ) B.f (x 0)＋Δx C.f (x 0)·Δx D.f (x 0＋Δx )－f (x 0) 答案 D解析 当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，因变量y 的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0). 3.已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 答案 B解析 ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.4.自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A. v 是在0～1 s 这段时间内的速度B.v 是1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的速度C.5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D.5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速度 答案 D解析 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝5Δt ＋10.故应选D.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( ) A.④ B.③ C.② D.① 答案 B解析 因为①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77，所以③的平均变化率最大. 二、填空题7.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________. 答案283π 解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝283π.8.如图是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________.答案 12 34解析 函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.三、解答题9.求函数f (x )＝x 2＋3在[3,3＋Δx ]上的平均变化率. 解 函数f (x )在[3,3＋Δx ]上的平均变化率为 [(3＋Δx )2＋3]－(32＋3)Δx ＝9＋6Δx ＋(Δx )2＋3－9－3Δx＝6Δx ＋(Δx )2Δx＝6＋Δx .10.已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率： (1)[－3，－1]；(2)[0,5].解 (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为 f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2，g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2.(2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为 f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2，g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为 g (5)－g (0)5－0＝－2×5－(－2×0)5＝－2.11.婴儿从出生到第24个月的体重变化情况如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率.解 第一年婴儿体重平均变化率为 11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月).12.求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率. 解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.13.已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2(s 的单位：m ，t 的单位：s ，g 的单位：m/s 2，g 为常数).(1)求落体从t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度v ； (2)求落体从t 0＝10 s 到t ＝10.1 s 这段时间内的平均速度v . 解 (1)当时间从t 0到t 0＋Δt 的改变量为Δt 时， s 的相应改变量为Δs ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20＝gt 0Δt ＋12g (Δt )2，所以从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，落体的平均速度为v ＝ΔsΔt ＝gt 0Δt ＋12g (Δt )2Δt＝g (t 0＋12Δt ).(2)当t 0＝10 s ，Δt ＝0.1 s 时，由(1)知落体的平均速度v ＝g (10＋12×0.1)＝10.05g (m/s).。
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(教学设计)
5.1.1变化率问题本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
课程目标学科素养A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．1.数学抽象：函数的变化率2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率4.数学建模：函数的变化率重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念多媒体1．平均变化率对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx ＝_______.(2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率ΔyΔx ＝ ＝ .x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2－f x 1x 2－x 1；f x 1＋Δx －f x 1Δx2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0ΔyΔx＝ . 某一时刻； lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx问题2. 抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C ，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x 2为例进行研究.探究3. 你认为应该如何定义抛物线线？与研究瞬时速度类似为了研究抛物线线，我们通常在点P0(1,1)探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线x2在点P0(1,1)处的切线从上述切线的定义可见，抛物线P0T的斜率与割线记∆x=x−1,点P的坐标(1+∆x,(1+∆x)2)，于是割线P利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当无限趋近于0时，割线P0P的斜率有什么变化趋势？从几何图形上看，当横坐标间隔|∆x|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0，因此，切线P0T的斜率k0=2.3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率f x－f x0x－x0＝f x0＋Δx－f x0Δx为割线P0P的_____．(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f (x)在x0处的____的斜率即k ＝.斜率；切线；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0．()(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．()(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．()(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) D [Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故选D.]3．若一质点按规律s ＝8＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1 B [v ＝Δs Δt ＝s 2.1－s 22.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]三、典例解析例1．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． [思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度ΔsΔt――――→令Δt →0计算lim Δt →0ΔsΔt―→得t ＝1 s 时的瞬时速度 [解]∵Δs Δt＝s 1＋Δt －s 1Δt ＝1＋Δt2＋1＋Δt ＋1－12＋1＋1Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s ＝s t ，则求物体在t ＝t 0时刻的瞬时速度的步骤如下： 1写出时间改变量Δt ，位移改变量Δs Δs ＝s t 0＋Δt －s t 0.2求平均速度：v ＝Δs Δt.3求瞬时速度v ：当Δt →0时，ΔsΔt→v 常数.跟踪训练1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s 0＋Δt －s 0Δt ＝0＋Δt 2＋0＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1.∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.跟踪训练2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.[解] 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.三、达标检测1．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0s 1＋Δt －s 1Δt ＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C 正确．] 2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx等于________．4＋2Δx [Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1)＝4Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝2Δx ＋4.]3．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率． [解] (1)因为f (x )＝3x 2＋5，从学生熟悉的背景出发，激发学生深入探究的兴趣,让学生进行思考、讨论，探索解决问题的方法和步骤,挖掘出以直代曲的思想方法，从而构建平均变化率这个数学模型来解决有关问题，使得平均变化率的概念及瞬时变化率的引入显得自然流畅。
变化率问题(1)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册
5.1.1 变化率问题（1）（一）教学内容通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法.（二）教学目标通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。
引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养.（三）教学重点及难点1.重点理解平均速度、瞬时速度的概念及算法.2.难点平均速度与瞬时速度.（四）教学过程问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。
师生活动：（1）学生阅读课本，教师适时引导．（2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。
二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。
同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。
设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔．问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？师生活动：（1）大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。
（2）一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。
教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。
同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。
（3）少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。
（4）教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多．（5）追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？设计意图：通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题，同时引入新课．问题3：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.现在的问题是：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？师生活动：（1）学生可能会从多个角度回答。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.1.1变化率问题
教学目标
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π=
⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3
43)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?
h
t
o
1
212)
()(V V V r V r --
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述
其运动状态?
思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，
并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1
212)
()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化
率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用
x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)
3． 则平均变化率为
=∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212
思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
∆∆x f
1
212)()(x x x f x f --表示什么?
直线AB 的斜率
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点
)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x
x x x x y ∆-∆+=∆∆2
20)( x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02
0202022
所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
3.过曲线y =f (x )=x 3
上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
x 1
x 2
O
y
y =f (x )
f (x 1) f (x 2) △x = x 2-x 1 △y =f (x 2)-f (x 1)
x。