2013年高考真题理科数学解析分类汇编4-数列(打印版)
2013年数学试卷(理科)解析卷
2013年高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C． D．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6与a m，进而得到公差d，由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣115．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2520．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列
三、解答题24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数22222()1(,)23nn n x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ,证明:(Ⅰ)对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; (Ⅱ)对任意np N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.[来源:12999数学网]【答案】解: (Ⅰ) 224232224321)(0nx x x x x x f n x y x nn n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322 时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f综上,对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕) (Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n xx x x x x f x x nn n n n n n n pn n0)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x n x x x x x x f pn pn n pn np n p n p n p n p n p n p n 上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn p n n p n n p n p n p n p n p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x pn pn n pn nnnp n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ nx x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+. 法二:25．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*1,n n n N a a c +∈-≥,;(3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=,3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立;若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*n N ∈,1n n a a c +-≥(3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a > 此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++,当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意; 若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--,此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+ 也满足题意; 综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.26．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.设数列{}122,3,3,34444n a ：，-，-，-，-，-，-，，-1-1-1-1k k k k k个（），，（）,即当1122k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时,11k n a k -=（-）,记12n n S a a a =++ ()n N +∈,对于l N +∈,定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍，，且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列{}n a 的定义得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a ∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,1010-=S ,511-=S∴111a S ∙=,440a S ∙=,551a S ∙=,662a S ∙=,11111a S ∙-= ∴集合11P 中元素的个数为5(2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上,① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+∙-==+S S i i 故原式成立② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+∙-=+m m S m m 故原式成立 则:1+=m i ,时,2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m)32)(1()352(2++-=++-=m m m m综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数故当)12(+=i i l 时,集合l P 中元素的个数为2i 1-i 231=+++）（ 于是当）（1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合l P 中元素的个数为j i 2+ 又471312312000++⨯⨯=）（故集合2000P 中元素的个数为100847312=+ [来源:]27．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或; (Ⅱ)由(1)知,当0d<时,11n a n =-,①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ; 28．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.(I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥ ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由. 【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105m a a a +++=- 或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ,不存在这样的正整数m .29．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .[来源:]【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a =,2d =因此21n a n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n nT λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===- *()n N ∈所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n nn R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414nn n -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-30．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数.(1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈); (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和∴d n n na S n 2)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 21-+==∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+ ∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+=∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222= ∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b nn +=2得: 11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d由①式得:d d 211=∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)c n a d n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.31．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.【答案】32．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【答案】33．（2013年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a +=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T < 【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+.于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=.综上,数列{}n a 的通项2n a n =. (2)证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 222211111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.34．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 【答案】.(1) 解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=-又11a =,24a ∴= (2)解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-① ∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--②由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=-()()1211n n n a na n a n n +∴=---+111n n a a n n +∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列.()()2111,2nn a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥ 当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈ (3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈ ①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立. ②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立. ③当3n ≥时, ()()()()221111,11n n n n n n >-⋅+∴<-⋅+ ()()()222121*********1121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+ 111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 35．（2013年高考北京卷（理））已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n项之后各项1n a +,2n a +,的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(I)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,4n n a a +=),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值;(II)设d 为非负整数,证明:d n =-d (n =1,2,3)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列;(III)证明:若a 1=2,d n =1(n =1,2,3,),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I)12341, 3.d d d d ====(II)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以12.n a a a ≤≤≤≤ 因此n n A a =,1n n B a +=,1(1,2,3,)n n n d a a d n +=-=-= .(必要性)因为0(1,2,3,)n d d n =-≤= ,所以n n n n A B d B =+≤. 又因为n n a A ≤,1n n a B +≥,所以1n n a a +≤. 于是n n A a =,1n n B a +=. 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=,即{}n a 是公差为d 的等差数列.(III)因为112,1a d ==,所以112A a ==,1111B A d =-=.故对任意11,1n n a B ≥≥=. 假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项.设m 为满足2n a >的最小正整数,则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤,. 又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>.于是211m m m B A d =->-=,{}1min ,2m m m B a B -=≥. 故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾.所以对于任意1n ≥,有2n a ≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. 因此对任意1n ≥,12n a a ≤=,所以2n A =. 故211n n n B A d =-=-=. 因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列{}n a 有无穷多项为1.36．（2013年高考陕西卷（理））设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=⇒++++=≠--1211211 时，当.上面两式错位相减:.)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- （ q q a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=⇒.③综上,⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n(Ⅱ) 使用反证法.设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则①当1*+∈∃n a N n ，使得=0成立,则{1}n a +不是等比数列.②当01*≠+∈∀n a N n ，使得成立,则恒为常数=++=++-+11111111n nn n q a q a a a 1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a q a q a n n 时当.这与题目条件q ≠1矛盾.③综上两种情况,假设数列{1}n a +是等比数列均不成立,所以当q ≠1时, 数列{1}n a +不是等比数列.。
2013山东高考数学试卷及答案详解(理科)WORD版
n
n
4
2
2n
n
（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；
n
a1
n
（为常数）。令c2b,(nN*)，求
（Ⅱ）设数列{b}的前n项和为T，且T
n
n
2n
n
n
2n
数列{c}的前n项和R。
n
n
21、（本小题满分13分）
x
c
…
（e2.71828是自然对数的底数，cR）
设函数f(x)
e2x
（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值；
1
2
1
2
的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点。
1
1
0
kkkk
设直线PF,PF的斜率分别为k,k，若k
1
，试证明
为定值，并求出这个定
1
2
2
1
2
值.
理科数学试题参考答案
一、选择题
DCABB
CADABDB
二、填空题
1
7
3
1
1
a(2n1)d2a2(n1)d1.
1
1
1,d2.
解得a
1
2n1,nN*
因此a
.
n
n
（Ⅱ）由题意知：T
，
2n1
n
nn1n2
2
时，bTT
所以n
n
n
n1
2n1
2n2
2n1
2n2
1
b
2n
(n1)(),nN*
故c
，
2013年高考理科数学试题汇总解析--4数列
2013年高考理科数学试题汇总解析4、数列1.新课标1、7、设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若,3,0,211==-=+-m m m s s s 则m= (A) 3 (B)4 (C)5 (D)6解：,3,2111=-==-=++-m m m m m m s s a s s a 则公差1=d ，021=⨯+=m a a s mm m m a a a a -=⇒=+⇒110，)1(2)1(21111+⨯+-=+⨯+=+++m a a m a a s m m m m 3)1(21=+⨯=m ，5=∴m 选C 2.新课标1、12、设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为n s ， ,3,2,1=n .若111112,a c b c b =+>，2,11n n n n n a c b a a +==++，21nn n a b c +=+，则 (A){}n s 为递减数列 (B){}n s 为递增数列 (C) {}12-n s 为递增数列， {}n s 2为递减数列 (D) {}12-n s 为递减数列， {}n s 2为递增数列解：取特殊值，以111C B A Δ的边111,,c a b 顺序设边长分别是：2.5，2，1.5；则第二个三角形 三边是：1.75，2，2.25；则第三个三角形三边是：2.15，2，1.875；……周长为定值4，形状越来越接近正三角形，也就是面积越来越大.选B.另解：设a a =1，则a c b 211=+，a a n =.由已知可得n nn n n a b c c b ++=+++211 当1=n 时，a a b c c b 2211122=++=+，当2=n 时，a a bc c b 2222233=++=+当3=n 时，,,2233344 a a b c c b =++=+即 a c b n n 2=+则n n n C B A ∆顶点n A 在以)(1n B B 也就是和)(1n C C 也就是为焦点，a 2为长轴的椭圆M 上，有因为n n n n c b c b -=-++2111，即11121c b c b n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛=--，n b 和n c 两边的差值越来越小，顶点n A 越来越靠近椭圆M 的上（或下）顶点，n n n C B A ∆边n n C B 上高越来越大，底边n n C B 长 为定值a ，所以面积越来越大.选B. 3.新课标1、14、若数列{}n a 的前n 项和3132+=n n a s ，则{}n a 的通项公式是n a . 解：1113132a a s =+=，所以11=a ，13132222+=+=a a s ，所以22-=a1>n 时，113232---=-=n n n n n a a s s a ， 12--=∴n n a a 1)2(--=∴n n a4.新课标2、（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知12310a a s += ，a 5 = 9，则a 1=（A ）31 （B ）-31 （C ） 91 （D ）91- 解：12321310a a a a a s +=++= 99213=⇒=⇒q a a 又919811141=⇒==a a q a ，选C. 5.新课标2、（16）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________. 解：由S 10=0，S 15 =25，则09201101=+⇒=+d a a a ；5213251518=+⇒=d a a32,31=-=∴d a ，n n n n n d n n na s n 31031)1(313)1(2121-=-+-=-+= 2331031)(n n ns n f n -==，320,00320)(2==⇒=-='n n n n n f )(n f 在6≤n 时为递减，在7≥n 时为递增，所以 486310631)6(23-=-=f ,497310731)7(23-=-=f ,n ns 的最小值是-49. 6.安徽14、如图，互不-相同的点 n A A A A ,,,321和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n nA B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)10：排列、组合及二项式定理2013年高考真题解析分类汇编
2013高考试题解析分类汇编（理数）10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-D已知（1+ax ）（1+x ）5的展开式中x 2的系数为+a •=5，解得a=﹣1，故选D ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．243 B ．252 C ．261 D ．279B有重复数字的三位数个数为91010900⨯⨯=。
没有重复数字的三位数有1299648C A =,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252-，选B.仁为太傅谢安的孙子试卷试题等到平定京邑后化学教案高祖进驻石头城化学教案景仁与百官同去拜见高祖化学教案高祖注视着他3 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 B因为m 为正整数，由（x+y ）2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y ）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得 b=．再由13a=7b ，可得13=7，即 13×=7×，即 13=7×，即 13（m+1）=7（2m+1）．解得m=6，故选B ．4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168D（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C 3r x r 令r=2得到展开式中x 2的系数是C 32=3， （1+y ）4的展开式的通项为T r+1=C 4r y r 令r=2得到展开式中y 2的系数是C 42=6，（1+x ）3（1+y ）4的展开式中x 2y 2的系数是：3×6=18，故选D ．5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．10B方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A ．4 B ．5 C ．6 D ．7B展开式的通项公式为5211(3)()3k n kn kkk n kk nnT C x C xx x---+==。
2013年各省高考理科数学试题分类4：数列-推荐下载
角形数 1,3,6,10,,第 n 个三角形数为 n n 1 1 n2 1 n .记第 n 个 k 边形数为 N n, k
2 22
k 3 ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:
三角形数 正方形数
五边形数 六边形数
N n,3 1 n2 1 n
22
的个数为( )
(A)18 【答案】A.
(B)28
(C)48
2. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知
数列an满足 3an1
(A) 61 310
【答案】C
an
0, a2
(B) 1 1 310 9
4 3
,则 an 的前
d 0 的等差数列 an 的四个命题:
p1 : 数列是an递增数列；
p3
:
数列是 a递n 增数列； n
其中的真命题为
(A) p1, p2
【答案】D
(B) p3, p4
(C) p2 , p3
9. （2013 年高考江西卷（理））等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于
【答案】C
(B) 1 3
(C) 1 9
7. （2013 年高考新课标 1（理））设等差数列an的前 n 项和为 Sn , Sm1 2, Sm 0, Sm1 3 ,
则m ( )
A.3
【答案】C
B.4
C.5
D.6
8. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））下面是关于公差
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年高考真题理数分类解析4-数列
2013年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列一选择题1，[新课标I]，7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3 B 、4C 、5D 、6【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.2.[新课标I]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则()A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案B【解析】＝c n ＋a n 2 + b n ＋a n2==2,⟹ =2=2 ⋯⋯,= − ⟹ =⋯⋯+2 =4⋯⋯,−2 =⋯⋯=− ,是正数递增数列所以===−1（因为边不是最大边，所以是锐角）是正数递减数列 ⟹是正数递增数列=是递增数列所以选B3.新课标II 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，，则1a ＝（ ） （A ）31 （B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C解析:⟹=+⟹9⟹ q=±3 又即=9⇒=914.陕西 14. 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 )1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ .【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（【解析】分n 为奇数、偶数两种情况。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4：数列 含解析
2013高考试题解析分类汇编（理数）4：数列一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理)WORD 版含答案（已校对））已知数列{}na 满足12430,3n n aa a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- （C ）()10313-- （D)()1031+3-C所以3a n+1+a n =0 所以所以数列{a n ｝是以﹣为公比的等比数列 因为所以a 1=4由等比数列的求和公式可得，s 10==3（1﹣3﹣10)故选C2 ．(2013年高考新课标1（理）)设nnnA B C ∆的三边长分别为,,nnna b c ，nnnA B C∆的面积为nS ，1,2,3,n =,若11111,2b c b ca >+=，111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===，则（）A 。
{S n }为递减数列 B.{S n ｝为递增数列C 。
{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列 D.{S 2n —1｝为递减数列，{S 2n }为递增数列B因为a n+1=a n ,，,所以a n =a 1，所以b n+1+c n+1=a n +=a 1+， 所以b n+1+c n+1﹣2a 1=，又b 1+c 1=2a 1,所以b n +c n =2a 1,于是，在△A n B n C n 中，边长B n C n =a 1为定值，另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值， 因为b n+1﹣c n+1==，所以b n ﹣c n =，当n→+∞时，有b n ﹣c n →0，即b n →c n ，于是△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大, 所以其面积=为递增数列，故选B ．3 ．(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理）试题(纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,nx x x 使得1212()()()==,nnf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D ）{}2,3 B由题知,过原点的直线y = x 与曲线=()y f x 相交的个数即n 的取值。
2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分
实用文档 2013年全国高考数学试题分类解析——数列部分一、选择题1、（全国大纲理4、文6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）52、(安徽文科第7题）若数列}{n a 的通项公式是()()n n a n =-1⋅3-2,则a a a 1210++=（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -153、（四川文科9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，n n S a 31=+（1≥n ），则=6a（A ）443⨯ （B ）1434+⨯ （C ）44 （D ）144+．4、（江西文科5）.设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（） A.18 B.20 C.22 D.245、（江西理科5）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( )A. 1B. 9C. 10D. 55实用文档6、（上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件是 （ ）（A ）{}n a 是等比数列．（B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列． （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列． （D ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同．7、（陕西文10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ） （A ）⑴和⒇ （B ）⑼和⑽ (C) ⑼和 ⑾ (D) ⑽和⑾8、（辽宁文5）若等比数列{}n a 满足n n n a a 161=⋅+，则公比为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）169、（四川理科8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且)(*1N n a a b n n n ∈-=+ .若则23-=b ，1210=b ，则8a（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11实用文档二、填空题10、（重庆文1）在等差数列{}n a 中， 22a =，3104,a a =则＝A ．12B ．14C ．16D ．1811、（湖南理科12）设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 ．（ 2013 年高考上海卷（理） ） 在数列 { a n } 中, a n2n 1 , 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 a i , j a i a ja i a j ,( i 1,2,,7; j 1,2,,12 ) 则该矩阵元素能取到的不一样数值的个数为 ( )(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】 A.2 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 已知数列a n 知足 3a n 1 a n 0,a 24的前 10, 则 a n项和等于3(A)61 310(B)1 1 3 10(C)3 13 10(D)3 1+3 10【答案】 C93 ．（ 2013 年高考新课标1（理）） 设A nB nC n 的三边长分别为 a n , b n ,c n , A n B n C n 的面积为S n , n 1,2,3,, 若 b 1 c 1,b 1 c 1 2a 1 , a n 1a n ,b n1c na n, c n 1b n an, 则 ( )A.{ S n } 为递减数列B.{ S n } 为递加数列 22C.{ S 2n-1 } 为递加数列 ,{ S 2n } 为递减数列D.{ S 2n-1 } 为递减数列 ,{ S 2n } 为递加数列【答案】 B4 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数 y=f (x) 的图像以下图 , 在区间a,b 上可找到 n(n2) 个不一样的数 x 1,x 2...,x n , 使得f (x 1 )f (x 2 ) f (x n )则 n 的取值范围是x 1 ==,x 2 x n(A) 3,4(B)2,3,4 (C)3,4,5(D)2,3【答案】 B5 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））已知等比数列 { a n }的公比为 q, 记 b nam( n 1) 1 a m( n 1) 2...am (n 1) m ,c n am(n 1) 1am( n 1) 2... am (n 1)m (m, nN * ), 则以下结论必定正确的选项是( )A. 数列{b n}为等差数列, 公差为q mB.数列 { b n} 为等比数列,公比为 q2mC.数列{ c n}为等比数列, 公比为q m2D.数列 { c n } 为等比数列,公比为 q m m【答案】 C6 （． 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等比数列a n的前 n 项和为 S ,已知 S a210a , a9 ,则a1n3151(B)111(A)3(C)(D)399【答案】 C7 （． 2013年高考新课标1（理））设等差数列a的前 n 项和为 S n , S m 12, S m 0, S m 1 3,n则 m ( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（ WORD版））下边是对于公差d0的等差数列a n的四个命题:p1 : 数列a n是递加数列；p2 : 数列na n是递加数列；p3: 数列a nn是递加数列；p4 : 数列a n3nd是递加数列；此中的真命题为(A) p1, p2(B)p3 , p4(C)p2 , p3(D)p1 , p4【答案】 D9 ．（ 2013 年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】 A二、填空题10．（ 2013 年高考四川卷（理））在等差数列{ a n}中,a2a18 ,且 a4为 a2和 a3的等比中项,求数列 { a n} 的首项、公差及前n 项和.【答案】解 : 设该数列公差为 d ,前n项和为s n.由已知,可得2a1 2d8, a12a1 d a1 8d . 3d所以 a1d4,d d 3a10 ,解得 a14, d0 ,或 a11,d 3 ,即数列a n的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和 s n 4n 或 s n 3n2n211（． 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等差数列a n 的前 n 项和为 S n,已知 S100, S1525 ,则 nS n的最小值为________.【答案】4912．（ 2013 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数. 如三角形数 1,3,6,10,,第 n 个三角形数为n n 11 n21n .记第 n 个 k边形数为222N n,k k 3 ,以以下出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式:三角形数N n,3 1 n2 1 n22正方形数N n,4n2五边形数N n,53n21n22六边形数N n,62n2n能够推断 N n,k 的表达式,由此计算 N 10,24___________.选考题【答案】 100013．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD版含附带题））在正项等比数列{ a n} 中,a51, a6a7 3 ,则知足 a1a2a n a1a2a n的最大2正整数 n 的值为_____________.【答案】1214．（ 2013 年高考湖南卷（理））设S n为数列a n的前 n 项和 , S n( 1)n a n1,n N , 则n2(1) a3_____; (2)S1S2S100___________.【答案】1;1 (10011)163215．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD版））当x R, x1时,有以下表达式 :1x x2...x n...11 . x111111两边同时积分得 :21dx2 xdx2 x2dx ...2 x n dx ...2dx.000001x进而获得以低等式 : 11 1 (1)2 1 (1)3 (1)1( 1 )n 1...ln 2.22232n2请依据以下资料所包含的数学思想方法,计算 :0 1 111212131n1n 1C n22 C n( 2)3 C n(2)...n1C n(2)_____【答案】n 1 [( 3)n 11] 1216．（ 2013年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））已知 a n是等差数列,a1 1 ,公差 d0, S n为其前n项和 , 若a1, a2, a5成等比数列 ,则 S8_____【答案】6417．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）若等差数列的前6项和为23,前9项和为 57,则数列的前 n 项和 S n = __________.【答案】5n27 n 6618．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD版））在等差数列a n中,已知a3a810,则3a5a7_____.【答案】2019．（ 2013 年高考陕西卷（理））察看以下等式: 1211222322261231222324210照此规律 ,2- 2232-n -1n2 （- 1)n 1第 n 个等式可为___1（ -1）2n(n 1) ____.【答案】222（n -1 2（ -1)n 1(1)1- 23-）n n - 12n20．（ 2013 年高考新课标2a n1,则数列{a n}的通项1（理））若数列{a n}的前n项和为S n=33公式是 a n=______.【答案】a n = ( 2)n 1 .21．（ 2013年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 如图 , 互不 - 同样的点 A 1 , A 2 , X n , 和 B 1, B 2 , B n , 分别在角 O 的两条边上 , 全部 A n B n 互相平行 , 且全部梯形 A n B n B n 1A n 1 的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a 1 1,a 22, 则数列 a n 的通项公式是_________.【答案】 a n3n 2, n N *22．（ 2013 年高考北京卷（理） ）若等比数列 { a n } 知足 a 2+a 4=20, a 3+a 5=40, 则公比 q =_______;前 n 项和 S n =___________.【答案】 2, 2n 1223．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理） 试题（ WORD 版））已知等比数列a n 是递 增 数 列 , S n 是a的 前 n 项 和 , 若 a 1， a 3 是 方 程 x 25x 4 0 的 两 个 根 , 则nS 6 ____________.【答案】 63 三、解答题24．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 设函数22nf n (x)1 xx 2 x 2 x2 (x R, n Nn ) , 证明 :2 3n( Ⅰ) 对每个( Ⅱ) 对随意nN n, 存在独一的 x n [ 2,1] , 知足 f n ( x n ) 0 ;31pN n , 由 ( Ⅰ ) 中x n 构成的数列x n 知足 0x nxn p.n【答案】解:( Ⅰ)x nx 2x 3x 4x n当 x 0时， y2 是单一递加的 f n ( x)1 x 222 2 是 x 的n2 34 n单一递加函数 , 也是 n 的单一递加函数 .且 f n (0)1 0, f n (1)1 10 .存在独一 x n (0,1], 知足 f n ( x n ) 0，且 1 x 1 x 2x 3 x n 0当 x(0,1).时, f n ( x)1 xx2x3x4xn22 22 22 220 f n ( x n )x n21(x n2)(3x n1 x nx n4 1综上 , 对每个 n N n, 存在独一的 x n[ 2,1] , 知足 f n ( x n )31x 21 x n 1x 21x1 1 x1 x4x 4 2) 0x n[2,1]30;( 证毕)(Ⅱ) 由题知 1x nxn p0, f n ( x n )1 x nx n 2 x n 3x n 4 x n n 022324 2n 2234nn 1npf n p ( x n p ) 1 x n pxn pxn pxn pxn pxn pxn p223242n2(n 1)2(n p)2上 式相减:x n2x n3x n4x nn2xn p 3xn p 4 xn p n xn p n 1n pxn pxn pxn px n23242n 22232 42 n 2( n 1) 2( n p) 22223344nnn 1n px n - x n p （x n p- x nx n p - x nx n p - x nx n p - x n ）（ x n px n p）2 23 24 2n 2(n 1) 2(n p) 21 1 1 x n - x n p1 . n n p nn法二 :25．（2013 年高考上海卷（理））(3分 +6分 +9分 ) 给定常数c0,定义函数f ( x) 2 | x c 4 | | x c |,数列 a1 , a2 , a3 ,知足 a n 1 f (a n ), n N *.(1)若 a1 c 2 ,求 a2及 a3;(2)求证 : 对随意n N * ,a n1 a n c ,;(3)能否存在 a1,使得 a1 , a2 ,a n ,成等差数列 ? 若存在 , 求出全部这样的a1,若不存在,说明原因 .【答案】 :(1)因为 c0 ,a1(c2) ,故 a2 f (a1) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ,a3 f (a1) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10(2)要证明原命题 , 只要证明f ( x)x c 对随意x R都建立,f ( x) x c2 | x c 4 | | x c | x c即只要证明 2 | x c 4 | | x c | + xc若 x c 0 , 明显有 2 | x c 4 | | x c | + x c=0 建立 ;若 xc 0 , 则 2 | x c4 | | xc | + x cx c 4x c 明显建立 综上 , f ( x) x c 恒建立 , 即对随意的 nN * , a n1a nc(3) 由 (2) 知, 若 { a n } 为等差数列 , 则公差 d c 0 , 故 n 无穷增大时 , 总有 a n 0此时 , a n 1f (a n ) 2(a n c 4) (a nc) a n c8即 d c 8故 a 2 f (a 1 ) 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8,即 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1c 8,当a 1 c0 时 , 等式建立 , 且 n 2 时 , a n 0 , 此时 { a n } 为等差数列 , 知足题意 ; 若 a 1 c 0 , 则 | a 1 c 4 | 4 a 1c 8 ,此时 , a 20, a 3 c 8, , a n(n 2)(c 8) 也知足题意 ;综上 , 知足题意的 a 1 的取值范围是 [ c,) { c 8} .26．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯WORD 版含附带题） ）本小题满分 10 分 .k 个设 数 列：1， 2，2,3，,3,，3 ，4 ， 4，，4（ k- 1 k - 1,即 当a n -- -）4，，（）- - - - 1 k - 1k（ ）（） k 1k 1 k n k k 1k N时, an （- ）记S n a 1a 2a n n N,对221 k ,于 lN , 定义会合 P ln S n 是a n 的整数倍， n N ，且1 nl(1) 求会合 P 11 中元素的个数 ; (2)求会合 P 2000 中元素的个数 .【答案】 此题主要观察会合. 数列的观点与运算 . 计数原理等基础知识, 观察研究能力及运用数学概括法剖析解决问题能力及推理论证能力.(1)解:由数 列a n的 定义得 : a 1 1, a 22 , a3 2 , a4 3 , a5 3 , a6 3 , a7 4 , a8 4 , a9 4 ,a10 4 , a115∴ S11, S21, S33, S40, S53, S66, S72, S82, S9 6 , S1010 , S115∴ S1 1 a1, S40 a4,S5 1 a5, S6 2 a6, S11 1 a11∴会合 P11中元素的个数为5(2) 证明 : 用数学概括法先证Si ( 2i1)i (2i1)事实上 ,①当 i 1时,Si( 2i 1)S31(21)3故原式建立②假定当 i m 时,等式建立,即S m(2 m 1)m(2m1)故原式建立则: i m 1,时,S( m1)[ 2( m 1) 1}S( m1)(2 m3}Sm(2m1)(2m1)2( 2m2)2m(2m1) ( 2m1)2(2m 2) 2( 2m25m 3)(m1)(2m 3)综合①②得 : S i ( 2i 1)i (2i1) 于是S( i 1)[ 2i1}Si ( 2i1}(2i1)2i (2i1)(2i 1)2(2i1)(i1)由上可知 : S i ( 2i1}是 ( 2i1) 的倍数而a( i 1)( 2i1}j2i1( j1,2, ,2i1) ,所以 S i (2i 1)j Si( 2i 1)j (2i1) 是a(i 1)( 2 i1}j( j1,2,,2i1)的倍数又S( i 1)[ 2i1}(i1)(2i1) 不是2i2的倍数 ,而a( i 1)( 2i1}j( 2i2)( j1,2,,2i2)所以S( i 1)( 2 i 1) j S(i 1)( 2 i 1)j(22) (2 1)(i1)j(22)不是i i ia(i 1)( 2 i1}j ( j1,2,,2i2)的倍数故当 l i(2i1) 时,会合 P l中元素的个数为 1 3（2i - 1） i 2于是当 l i( 2i1)j（1j2i1）时,会合 P l中元素的个数为 i 2j又 2000 31 （2 31 1） 47故会合 P2000中元素的个数为31247 100827．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为d的等差数列 { a n } 中,已知 a110 ,且 a1 ,2a22,5a3成等比数列.(1) 求d, a n ; (2)若d0 ,求| a1|| a2 | | a3 || a n | .【答案】解:( Ⅰ) 由已知获得:(2a22)25a a4(a d1)250(a2d )(11d)225(5 d )131112122d d 212525d d23d 4 0d4或d1a n a n4n611 n;(Ⅱ)由(1)知 , 当d0时 , a11n ,n①当 1n11时,a n0 | a1 | | a2 | | a3 || a n | a1 a2a3a n n(10 11n)n(21 n)22②当12n 时,a n0 | a1 | | a2 | | a3 || a n | a1 a2a3a11(a12a13a n )2( a1a2 a3a11 ) (a1 a2 a3a n ) 211(21 11)n(21n) n221n 220 222n(21n),(1 n 11)所以 , 综上所述 : | a || a || a || a2; |123n n221n2202,( n12) 28．（ 2013 年高考湖北卷（理））已知等比数列a n知足 : a2a310 , a1a2 a3125 .(I)求数列 a n的通项公式;(II) 能否存在正整数m ,使得111 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说a1a2a m明原因 .【答案】解 :(I)由已知条件得 :a2 5 ,又 a2 q 1 10 , q1或3,所以数列a n的通项或 a n 53n 2(II)若 q1,1111或 0 ,不存在这样的正整数m ;a1a2a m5m9, 不存在这样的正整数若 q3,111911m .a1a2a m1031029．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列a n的前n 项和为S n , 且S44S2, a2 n2a n1.( Ⅰ) 求数列a n的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n前 n 项和为Tn且 T na n1令cnb2n*. 求数,2n( 为常数 ).(n N )列 c n的前n项和R n.【答案】解:( Ⅰ) 设等差数列a n的首项为a1,公差为d,由S44S2,a2n2an1得4a16d 8a14da1(2 n 1) 2a12( n 1)d1,解得,a11, d2所以a n2n 1 ( n N * )T nn( Ⅱ) 由题意知 :2n1b n T n T n1n n 1所以 n 2 时,2n 12n 22n21n 1故,c n b2 n22n 1( n 1)(4)( n N * )所以R n0 (1)0 1 (1)1 2 (1)2 3 (1)3(n 1) (1)n 1, 444441R n 0 (1)11 (1)22 (1)3(n 2) ( 1)n 1( n 1) ( 1)n则 4444443R n(1)1 ( 1)2 (1)3( 1)n 1(n 1) ( 1) n两式相减得4444441 ( 1 )n14 4(n) n11)(144R n1 3n 1(44 n 1 ) 整理得9的前 n 项和R n1 3n 1所以数列数列c n 9 (44n 1)30．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯WORD 版含附带题） ）本小题满分16 分 . 设 { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d0) , S n 是其前 n 项和 . 记b nnS n , n N * , 此中 c 为实数 .n 2 c(1) 若 c 0 , 且 b 1， b 2， b 4 成等比数列 , 证明 :Snkn 2S k ( k,nN * );(2) 若 { b n } 是等差数列 , 证明 : c0 .【答案】 证明 : ∵ { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 ( d 0) , S n 是其前 n 项和∴S nna n(n 1) d2(1) ∵ c0 ∴ b nS nan 1 dn2∵b 1， b 2， b 4 成等比数列∴ b 2 2b 1b 4 ∴ (a 1 d )2a(a 3 d )22∴1ad 1 d 20 ∴ 1 d( a1d ) 0 ∵ d 0 ∴ a1d ∴ d 2a2 4222∴ S nna n(n 1) d nan(n 1)2a n 2 a22∴左侧 = S nk(nk) 2 a n 2 k 2a右侧 = n 2 S kn 2 k 2a∴左侧 =右侧∴原式建立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为d 1 , ∴ b n b 1 (n1)d 1 带入 b nnS n 得:n 2cb 1 (n 1) d 1nS n 1 3(b 1 d 11 d ) n2 cd 1 n c(d 1 b 1 ) 对n 2 c∴ ( d 1d ) na22nN 恒建立d 11 d2∴ b 1d 1a 1 d 02 cd 1 0c(d 1b 1 ) 0由①式得 :d 11 d ∵ d 0 ∴ d 12 由③式得 :c法二 : 证 :(1) 若 c0 , 则 a n a(n 1) d , S nn[( n 1)d 2a], b n(n 1)d 2a22 .当 b 1， b 2，b 4 成等比数列 , b 22b 1b 4 ,d 23d即:a a a , 得 : d 2 2ad , 又 d0 , 故 d 2a .22由此 : S n n 2a ,Snk( nk) 2 a n 2 k 2 a , n 2 S k n 2 k 2 a .故: S nkn 2S k ( k, n N * ).nS n n 2 (n 1)d2a(2)b n2,n2cn2cn 2 (n 1)d 2ac (n1) d 2ac (n1)d 2a 2n 2 2 2c (n 1)d2a c (n 1) d 2a2 .( ※)2n 2c若 { b } 是等差数列 , 则 bn An Bn 型.n察看 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,(n 1) d 2a故有 : c 20 , 即 c (n 1)d 2a0 ( n 1)d2a≠0,n2c2, 而2故 c 0 .经查验 , 当 c0 时 {b n } 是等差数列 .31．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD版含答案（已校正））等差数列a n的前n 项和为S n,已知S3 =a22, 且S1,S2, S4成等比数列, 求a n的通项式.【答案】32．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为3 的等比2数列 {a n }不是递减数列 ,其前335544成等差数n 项和为S n( n N*) ,且 S + a ,S+ a ,S +a列.( Ⅰ)求数列 { a n} 的通项公式 ;( Ⅱ )设 T n S n 1( n N*),求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 . S n【答案】33 ．（2013年高考江西卷（理））正项数列 {a n} 的前项和 {a n}满足: s n2(n2n 1)s n( n2n) 0(1) 求数列 {a n} 的通项公式 a n;(2) 令b nn12, 数列 {b} 的前n项和为T n . 证明 : 对于随意的n*5 2n N, 都有T n(n2)a64【答案】 (1) 解 : 由S n2(n2n1)S n(n2n)0, 得S n(n2n)(S n1) 0.因为 a是正项数列 , 所以S n0, S n n2n .n于是 a1S12, n 2 时, a n S n S n 1n2n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列a n的通项 a n2n .(2) 证明 : 因为a n2n, b nn1. (n2)2 a n2则 b nn1111.16 n2(n2)24n2 (n 2)2111111⋯1111T n122423252(n 1)2(n 1)2n2(n 2)2 16321 11111 1516 2 22(n 2) 2(1 2 ).(n 1)16 26434．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））设数列a n 的前 n项和为 S n . 已知 a 11, 2S na n12n2, n N *n 13 n3 .( Ⅰ) 求 a 2 的值 ;( Ⅱ) 求数列 a的通项公式 ;n( Ⅲ) 证明 : 对全部正整数n , 有 111 7 .a 1 a 2a n 4【答案】 .(1)解 :2S nan 11 2 n2 , nN .nn33当 n1 时 , 2a 1 2S 1 a 21 1 2a 2233又 a 1 1, a 2 4(2) 解:2S na n 1 1 n 2 n 2 , n N .n3 32S n na n 11 n 3 n 22n na n 1 n n 1n 2①333当 n 2 时 , 2S n 1n 1 a nn 1 n n 1②3由① — ②, 得 2S n 2S n 1 na n 1n 1 a n n n 12a n 2S n 2S n 12a n na n 1n 1 a nn n 1a n 1 a n 1数列 a n 是以首项为a 11 , 公差为 1 的等差数列 .n 1 nn1a n 1 1 n 1 n, a n n 2 n 2n当 n1 时 , 上式明显建立 .a nn 2 , n N *(3) 证明 : 由(2) 知 , a n n 2 , n N *①当 n1时 , 11 7 原不等式建立 .,a 14②当 n2 时 , 11 117 , 原不等式亦建立 .a 1 a 24 4③当 n 3 时,n 2n 1 n 1 , 11n 1n 2n 111 1 1 11 11111a 1a 2a n1222n21 32 4 n 2 n n 1 n 11 1 11 1 11 1 11 1 1 1 1 1132 2 42 3 52 n 2 n2 n 1 n 12 11 1 11 11 11 1 1 1132435n 2 n n 1 n 12 11 11 1 17111712 n n 14 2n n 142 1当 n3 时 ,,原不等式亦建立 .综上 , 对全部正整数 n , 有11 1 7 .a 1a 2a n 435．（ 2013 年高考北京卷（理） ）已知 { a n } 是由非负整数构成的无量数列 , 该数列前 n 项的最大值记为 n , 第n 项以后各项an 1 ,an 2 , 的最小值记为n,n= n -n .AB d A B(I) 若{ a } 为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为 4 的数列 ( 即对随意*a n 4 a n ), 写出∈N ,nd 1, d 2 , d 3, d 4 的值 ;(II) 设 d 为非负整数 , 证明 : d n =- d ( n =1,2,3) 的充足必需条件为 { a n } 为公差为 d 的等差数列 ;(III) 证明 : 若 a 1=2, d =1( =1,2,3,), 则 { a } 的项只好是 1 或许 2, 且有无量多项为 1.nn【答案】 (I) d 1 d 2 1,d 3 d 4 3.(II)( 充足性 ) 因为 a n 是公差为 d 的等差数列 , 且 d 0 , 所以 a 1 a 2a n.所以 A na n , B n a n 1 , d n a na n1d (n 1,2,3, ) .( 必需性 ) 因为 d n d0 (n 1,2,3, ) , 所以 A n B n d n B n .又因为 a nA n , a n 1B n , 所以 a n a n 1 . 于是 A n a n , B n a n 1 .所以 a n 1 a n B n A nd nd , 即 a n 是公差为 d 的等差数列 .(III)因为 a12, d11,所以 A1a1 2 , B1A1d11.故对随意 n 1,a n B11.假定a n ( n 2) 中存在大于 2 的项 .设 m 为知足 a n 2 的最小正整数,则m2, 而且对随意1 k m, a k 2 ,.又因为 a1 2 ,所以 A m 1 2 ,且 A m a m2.于是 B m A m d m211,B min a , B 2 .m 1mm故 d m 1Am 1Bm 1 2 20 ,与 d m 11矛盾.所以对于随意 n1,有a n 2 ,即非负整数列a n的各项只好为1或2.所以对随意 n 1,a n2a1,所以 A n2.故 B n A n d n21 1 .所以对于随意正整数n ,存在 m 知足 m n ,且 a m 1,即数列 a 有无量多项为 1.n36．（ 2013 年高考陕西卷（理））设 { a n } 是公比为q的等比数列 .( Ⅰ) 导 { a n } 的前n项和公式 ;( Ⅱ ) 设q≠ 1,证明数列 { a n1} 不是等比数列 .【答案】解:( Ⅰ) 分两种状况议论 .①当 q 1时，数列 { a n } 是首项为 a1的常数数列，所以 S n a1a1a1na1 .②当 q1时， S n a1a2an 1a n qS n qa1 qa2qa n 1 qa n.上面两式错位相减:（1- q)S n a1(a2qa1 ) (a3S n a1qa n.a1(1 qn).1 - q1- qna1 ,③综上 ,S n a1 (1q n )1,q ( Ⅱ)使用反证法.qa2 )(a n qa n 1 ) qa n a1qa n .(q 1)(q 1)设 { a n } 是公比q≠1的等比数列 , 假定数列 { a n1} 是等比数列 . 则①当 n N *，使得 a n 1 =0建立,则{ a n1}不是等比数列 .②当 n*，使得 a n1a n11a1q n1恒为常数N0建立,则1 a q n 11a n1a1q n1a1 q n 11当 a10时, q1.这与题目条件q≠1矛盾 .③综上两种状况 , 假定数列 { a n1}是等比数列均不建立 , 所以当q≠1时,数列 { a n1} 不是等比数列 .。
2013高考 数学(理)真题专业解析(全国卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（全国卷）解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合={1,2,3}M∈∈，则M中元素的个数为，，={x|x=a+b,a A,b B}A，B={45}（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B思路分析:考点解剖:本题主要考查集合的性质与分类讨论思想.解题思路:弄清集合M中的元素与集合A和集合B中元素的关系，从而求集合M中的元素即可.解答过程:集合B中的元素4分别与集合A中的元素求和为5、6、7，集合B中的元素5分别与集合A中的元素求和得6、7、8.所以M={5，6，7，8}，元素个数为4.故选B.规律总结:要弄清集合的表示方法，特别是描述法，容易忽略互异性.2.3(1)=（）A．-8 B．8 C．8i- D．8i答案:A思路分析:考点解剖:本题考查复数的运算.解题思路:运用完全平方和公式与平方差公式化简复数.解答过程:3=-=-.故选A.(1)(12)8规律总结:要记住21i=-这个复数里面最常用的结论，还容易计算出错.3.已知向量(1,1)+⊥-，则λ=（）=+，若()()m n m nmλ=+，(2,2)nλA．-4 B．-3 C．-2 D．-1答案:B思路分析:考点剖析:本题主要考查向量的坐标运算与两向量垂直.解题思路:运用“若a b ⊥，则有0a b ⋅=”及“22||a a =”即可求解.解答过程:因为()()m n m n +⊥-，所以有22222()()[(1)1][(2)2]0m n m n m n λλ+⋅-=-=++-++=，从而有3λ=-.故选B.规律总结:要记住两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零，可能数量积分式会用错. 4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查复合函数的定义域.解题思路:弄清函数()f x 与(21)f x +定义域的关系求解即可. 解答过程:由1210x -<+<，得112x -<<-.故选B.规律总结:由两函数的定义域的关系，列出不等式，求解. 5.函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21x x ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x -> 答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查求反函数的解析式.解题思路:由原函数的解析式解出x （即用y 表示x ），即可得反函数的解析式. 解答过程:由121yx =+，得121y x =-.因此11()(0)21x f x x -=>-.故选A. 规律总结:对于求反函数的解析式，关键是把原函数的解析式中的x 当作未知数求解. 需要特别注意要求反函数的定义域也就是求原函数的值域.6.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查等比数列的判断方法与求和公式. 解题思路:先判断数列为等比数列，再用求和公式求解. 解答过程:由于113n n a a +=-，从而知数列{}n a 是首项14a =，公比13q =-的等比数列，因此前101014[1()]33(13)113---=++.故选C. 规律总结:根据数列的递推关系，若为特殊数列直接代公式求解，若为其它数列再选用其它方法.7.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 答案:D 思路分析:考点解析:本题主要考查二项式定理解题思路:运用求二项式定理展开式系数的方法求解. 解答过程:8(1)x +展开式中2x 的系数是2828C =，4(1)y +展开式中2y 的系数是246C =，所以84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是286168⨯=.故选D.规律总结:解决二项式定理系数问题常用通项公式k n kkna b C-求解，容易计算出错或用错公式.8.椭圆C:22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、数形结合的思想. 解题思路:先设出点P 的坐标，然后得直线2PA 与直线1PA 斜率的积为常数求解.解答过程:设P 点坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=，2002pA y k x =-，1002pA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---，故12314PA PA k k =-.2[2,1]PA k ∈--133[,]84PA k∴=.故选B. 规律总结:设出点P 的坐标，再由斜率公式是求解此类问题的常用方法.容易分析计算出错.9.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞ 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查导数判断函数的单调性、恒成立问题，考查化归转化思想. 解题思路:先将问题转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数最值问题. 解答过程:由条件知21()20f x x a x =+-≥在1(,)2+∞上恒成立，212a xx≥-在1(,)2+∞上恒成立. 212y x x =-在1(,)2+∞上为减函数，max 211232()2y <-⨯=，3a ∴≥，故选D. 规律总结:运用函数的导数的应用将含有参数的函数的单调性转化为不等式恒成立问题是解决此类问题的常用方法.10.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3D ．13答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与平面所成的角解题思路:先证明线面垂直，找出线面角的平面角，再求三角形的内角. 解答过程:如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⋂=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1CH C BD ⇒⊥平面HDC ∴∠为CD 与平面1BDC设122AA AB ==，则2AC OC ==，1C O ====由等面积法，得11C O CH OC CC ⋅=⋅，即222CH =⋅，23CH ∴=，223sin 13HC HDC DC ∴∠===.故选A.规律总结:求线面角的常用方法是先找出线面角的平面角再转化为求三角形的内角，易出现平面角找不对而出错.11.已知抛物线C:28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点，若0MA MB ∙=，则k=（ ）A ．12B．2C．2 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与抛物线的位置关系与向量知识的交汇.解题思路:先设出A 、B 两点的坐标，再将0MA MB ∙=化成只含k 的等式求解. 解答过程:由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-， 其代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21224(2)k x x k ++=，124x x =. ①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩有1212212()4[122(12)4]y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⎨⋅=-++⎩②0MA MB ⋅=∴ 1122(2,2)(2,2)0x y x y +-∙+-=所以:121212122()2()80x x x x y y y y +++-++= ③ 由①②③解得k=2，故选D规律总结:解这类问题通常用一种设而不求（本题设出点A 、B 的坐标而不必求出）的方法求解，易选错方法与增加计算量.12.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x．()f x 既是奇函数，又是周期函数 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图象和性质.解题思路:本题首先用同角三角函数的基本关系式中的平方关系，通过换元，再用导数求最值.解答过程:由题意知22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-令sin ,[1,1],t x t =∈- 则23()2(1)22g t t t t t =-=-令2`()260g t t =-=，得t =当1t =±时，函数值为0;(1)0g ±=，(g =，g =所以max()g x =，即()f x.故选C.规律总结:解本类选择题通过观察从容易判断的选项入手，恰好选项C 求最值是一种非常常见需要熟练掌握的，易看错求错，换成正确答案;对称性，奇偶性，最值判断方法没有掌握导致出错.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分. 13.已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α=答案:思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换化简求值. 解题思路:先求出cos α，再用公式cos cot sin ααα=求解.解答过程:由题意知cos 3α===-，故c o sc o t 22s i nααα==规律总结:求解三角三函数的问题须要牢记公式并灵活运用，易忽略象限角致符号出错. 14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答） 答案:480 思路分析:考点剖析:本题主要考查排列问题;解题思路:先将排除甲、乙外的4人，再排甲、乙. 解答过程:先排除甲、乙外的4人，方法有44A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A =480规律总结:不相邻问题常用的解决方法就是插空法. D.若直15.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是答案:1[,4]2思路分析:考点剖析:本题主要考查线性规划问题.解题思路:先作出平面区域D ，再由直线(1)y a x =+的过定点求解. 解答过程:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线(1)y a x =+过定点(1,0)C -，由图并结合题意可知12BCk =，4AC k =，若直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 规律总结:解决此类问题常用的方法是准确作图运用数形结合的思想方法求解. 16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于答案:16π思路分析:考点剖析:本题主要考查空间几何体、空间想象能力与分析问题的能力. 解题思路:先由二面角求出球的半径，再用表面积公式求解.解答过程:如右图，没MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE MN ⊥，KE MN ⊥ 结合题意可知60OEK ∠=︒，又MN=R ，OMN ∴∆为正三角形，OE R∴=又OK EK ⊥，3sin 602OE R ∴=⋅︒=2R ∴=.2416S R ππ∴== 规律总结:解决球类问题常运用弦的中点与球（圆）心的连线将空间问题转化为平面问题.三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}na 的通项公式.答案:3n a =或21n a n =-思路分析:考点剖析:本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式及等比中项的概念. 解题思路:（1）先求出2a 与公差，（2）求通项公式.解答过程:设数列{}na 的公差为d .由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =. 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =⋅.又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+. 故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意;若23a =，则2(6)(3)(122)d d d-=-+，解得0d =或2d =.因此{}na 的通项公式为3n a =或21na n =-规律总结:关于等差、等比数列的问题，通常的解法是灵活运用通项公式与求和公式. 18.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（Ⅰ）求B;（Ⅱ）若sin sin A C =，求C.答案:（Ⅰ）120B =︒;（Ⅱ）15C =︒或45C =︒ 思路分析:考点剖析:本题主要考查解斜三角形.解题思路:（1）先用佘弦定理求得角B ，（2）用c o s ()c o s ()2s i n s i n A C A C A C-=++求解.解答过程:（Ⅰ）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-由佘弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒ （Ⅱ）由（Ⅰ）知60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()2sin sin 112242A C A C A CA C A C A C A C A C -=+=-+=++=+⨯=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此15C =︒或45C =︒规律总结:通常解正佘弦定理的运用问题要根据已知条件的特点恰当选用定理求解，若与三角函数综合还须要恰当凑角灵活运用公式，三角形求角通常还要用内角和定理.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明:PB CD ⊥; （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小. 答案:（Ⅰ）详见解答过程;（Ⅱ）arccos3π-思路分析:考点剖析:本题主要考查空间直线与直线垂直的证明和求二面角.解题思路:（1）运用三垂线定理证明空间线线垂直，（2）找出二面角的平面角转化为解三角形或用空间向量求解.解答过程:（Ⅰ）取BC 的中点为E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O.连结OA ，OB ，OD ，OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD.所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以//OE CD .因此PB CD ⊥（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知PB CD ⊥，PO CD ⊥，PB PO P ⋂=.故CD ⊥平面PBD.又PD PBD ⊂平面，所以CD PD ⊥. 取PD 的中点为F ，PC 的中点G ，连结FG. 则FG//CD ，FG ⊥PD连结AF ，由APD ∆为等边三角形可得AF PD ⊥. 所以AFG ∠为二面角A-PD-C 的平面角. 连结AG ，EG ，则EG//PB. 又PB AE ⊥，所以EG AE ⊥. 设AB=2，则AE=112EG PB == 故3AG ==在AFG ∆中，12FG CD ==AF ，3AG =.所以222cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==⨯⨯.因此二面角A-PD-C的大小为π-.解法二:由（Ⅰ）知，OE ，OB ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设||2AB =，则(A，(0,D，C，PPC =，(0,PD =，(2,0,AP =，(2,AD =.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z=，则1(,,)0n PC x y z ⋅=⋅=，1(,,)(0,0n PD x y z ⋅=⋅=.可得20x y z --=，0y z +=. 取1y =-，得0,1x z ==，故1(0,1,1)n =-设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q，则2(,,)0n AP m p q ⋅=⋅=，2(,,)0n AD m p q ⋅=⋅=，可得0m q +=，0m q -=.取1m =，得1p =，1q =-，故2(1,1,1)n =-.于是121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==-⋅由于12,n n <>等于二面角A-PD-C 的平面角，所以二面角A-PD-C 的大小为a r c c π-.规律总结:解决立体几何问题通常有几何法与向量法.用几何法求解时，考查空间想象能力运用化归转化的数学思想方法，有时需要灵活运用线线、线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，有时需要把空间问题转化为平面几何问题求解;运用向量法关键是找三条共点两两垂直的直线建立坐标系并运用好法向量与相关公式.20.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率;（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 答案:（Ⅰ）14（Ⅱ）98思路分析:考点剖析:本题主要考查独立性事件的概率与随机变量的数学期望.解题思路:（1）运用独立性事件的概率公式求得第4局甲当裁判的概率，（2）分别求出各个随机变量对应的概率再运用数学期望的公式求解.解答过程:（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜“，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负“.A 表示事件“第4局甲当裁判“. 则A=12A A ⋅.12121()()()()4P A P A A P A P A =⋅=⋅=（Ⅱ）X 的可能值为0，1，2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙“1B 表示事件“第1局结果为乙和丙”.2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”.3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==⋅⋅=⋅⋅=13131(2)()()()4P X P B B P B P B ==⋅=⋅=115(1)1(0)(2)1848P X P X P X ==-=-==--=.90(0)1(1)2(2)8EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅==规律总结:解决概率问题时，通常要认真读题弄清独立事件与互斥事件正确求出概率，求解数学期望时可用随机变量的分布列的性质检验计算结果并掌握快速准确计算的方法.21.（本小题满分12分） 已知双曲线C:22221x y a b -=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线y=2与C（Ⅰ）求a,b;（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明:2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.答案:（Ⅰ）1,a b ==（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题主要考查双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系.解题思路:（1）由离心率即可得a 和b 的关系，（2）再由直线y=2与C 的两个交点间的（Ⅰ），（3）由直线l 与C 的方程联立消y 后运用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式求解.解答过程:（Ⅰ）由题设知3ca=，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知=21a =.所以1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -= ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +⋅=-.于是，11||(31)AF x ==-+.12||31BF x ===+.由12||||AF BF =得12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-.226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ⋅=-由于21||13AF x ===-.22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=.221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.规律总结:解决圆锥曲线类的解答题时，需要熟练掌握圆锥曲线的几何性质、定义、标准方程，对于直线与圆锥曲线问题通常的解决方法是联立直线与双曲线的方程然后消元运用一元二次方程根与系数的关系及其它解析几何的常见的公式（如两点间的距离公式，斜率公式…）求解.22.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值; （Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明:21ln 24n n a a n-+>. 答案:（Ⅰ）12;（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题考察函数与数列的综合应用，是一创新性题目，主要考察了学生对问题的分析、推理、解决;掌握函数、数列的性质，具有良好的分析、逻辑推理能力是解决本题的前提.解题思路:（1）运用导数即可求得λ的最小值，（2）运用所要证明的不等式与问题（Ⅰ）中结论的联系即可求解.解答过程:（Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =.若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >. 若12λ≥，则当0x >时，'()0f x <，所以当0x >时，()0f x <. 综上，λ的最小值是12.（Ⅱ）证明:令12λ=.由（Ⅰ）知，当0x >时，()0f x <， 即(2)ln(1)22x x x x+>++.取1x k =，则211ln()2(1)k k k k k++>+. 于是212111()422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑211lnn k nk k -=+>∑ln 2ln n n =- ln 2=.所以21ln 24n n a a n-+>. 规律总结:函数与数列综合题考在解答案题中考查，通过构造、推理、分类、放缩等方法，融知识、能力与素质与一体，综合问题对分析问题，解决问题能力具有很高要求.。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4：数列
2013高考试题解析分类汇编（理数）4：数列一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 (A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-C所以3a n+1+a n =0 所以所以数列{a n }是以﹣为公比的等比数列 因为所以a 1=4由等比数列的求和公式可得，s 10==3（1﹣3﹣10）故选C2 ．（2013年高考新课标1（理））设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n = ,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n n nn n n n c a b a a a b c +++++===,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列B因为a n+1=a n ，，，所以a n =a 1，所以b n+1+c n+1=a n +=a 1+，所以b n+1+c n+1﹣2a 1=，又b 1+c 1=2a 1，所以b n +c n =2a 1， 于是，在△A n B n C n 中，边长B n C n =a 1为定值，另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值， 因为b n+1﹣c n+1==，所以b n ﹣c n =，当n →+∞时，有b n ﹣c n →0，即b n →c n ，于是△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大， 所以其面积=为递增数列，故选B ．3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3 B由题知，过原点的直线y = x 与曲线=()y f x 相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知等比数列{}n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是( )A.数列{}n b 为等差数列,公差为mq B.数列{}n b 为等比数列,公比为2mq C.数列{}n c 为等比数列,公比为2m q D.数列{}n c 为等比数列,公比为mm qC等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙ 故选C 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a(A)31 (B)31- (C)91 (D)91-C设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3=a 2+10a 1，a 5=9，所以，解得．所以．故选C ．6 ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( ) A.3 B.4 C.5 D.6Ca m =S m ﹣S m ﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m =3，所以公差d=a m+1﹣a m =1，a m =﹣2+（m ﹣1）•1=2，解得m=5，故选C ．（理）试题（WORD 版））下面是关于公差0d >{}2:n p na 数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； (A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p D设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确,选D.8 ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24A本题考查等比数列的运算。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编4-数列
（ - 1) n +1 综上，第 n 个等式： 1 - 2 + 3 - ⋯ + （ - 1） n = n (n + 1) 2
2 2
5.江西 1 等比数列 x，3x+3，6x+6， …..的第四项等于 A．-24 B.0 C.12 D.24
6. 福 建 9. 已 知 等 比 数 列 {a n } 的 公 比 为 q ， 记 bn = a m ( n−1) +1 + am ( n−1) +2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m ( n−1) + m ，
照此规律 , 第 n 个等式可为
n +1 n -1 2 （ - 1) 12 - 2 2 + 3 2 - ⋯ + （ - 1） n = n (n + 1) 2
.
（ - 1) n +1 【答案】 1 - 2 + 3 - ⋯ + （ - 1） n = n (n + 1) 2
2 2 2 n -1 2
【解析】分 n 为奇数、偶数两种情况。第 n 个等式为 1
C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 答案 B 【解析】 ＝ cn＋an bn＋an + = 2 2
=2
,
=2
=2
,
=−
=
+2
=4
,
−2
=
=
−
,是正数递增数列
所以
=
=
=
−1（因为
边不是最大边，所以
是锐
角）是正数递减数列
是正数递增数列
2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 2
（2004年全国卷）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ，(Ⅰ)设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； (Ⅱ)设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和． 解：b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+22004·全国）已知数列{}n a 满足11a =，123123(1)n n a a a a n a -=++++- (2)n ≥，求{}n a 的通项公式．解：∴1(1),!(2).2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2006.福建.文.22）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；（2006，福建）已知数列{}n a 满足111,21()n n a a a n *+==+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12111444(1)()nnb b b b n a n ---*=+∈N ，证明：{}n b 是等差数列；（2006全国I.22）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =求首项1a 与通项n a ；（2010安徽理数） 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++= 。
（全国大纲理20） 设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=-- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：浙江理19．已知数列{}n a 满足：21=a 且()n a a n a n n n ++=+121（*∈N n ）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1n a n 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；例题：设数列{}n a 满足333313221na a a a n n =++++- （*∈N n ） ①求数列{}n a 的通项公式n a ；②设nn a nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S（2013年安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.【答案】*,23N n n a n∈-=（2013年辽宁数学（理））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =___________【答案】63（2013年浙江数学（理）试题）在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++（2013年广东省数学（理）卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值; (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式;【答案】.(1) 24a ∴= (2)2*,n a n n N ∴=∈2013年山东数学（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R . 答案】解:(Ⅰ)21n a n =-*()n N ∈ (Ⅱ)1221221(1)()24n n n n n c b n ---===-*()n N ∈（2013年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a+=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T < 【答案】(1)解:2na n =.。
2013年高考真题理科数学分类汇编(解析版)：函数及答案
2013年高考真题理科数学分类汇编（解析版）函 数1、（2013年高考（安徽卷））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4（C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3【答案】B【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B2、（2013年高考（北京卷））函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --3、（2013年高考（广东卷））定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ． 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．4、（2013年高考（全国（广西）卷））已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】由题意可知 1210,x -<+<，则112x -<<-。
故选B5、（2013年高考（全国（广西）卷））函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021x x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-， 因此 ，故选A6、（2013年高考（全国（广西）卷））若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是 （A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+7、（2013年高考（湖南卷））函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】画出两个函数的图象，可得交点数。
2013高考数学真题分类汇编—数列模块
2013高考数学—数列分类汇编1.（2013江苏卷14）在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ．2。
（2013江苏卷19）设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记cn nS b n n +=2，*N n ∈,其中c 为实数． （1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明:k nk S n S 2=（*,N n k ∈）；（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c ．3。
（2013山东卷理20）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，244S S =，122+=n n a a （1）求数列}{n a 的通项公式； (2）设数列}{n b 的前n 项和为n T ，且λ=++nn n a T 21（λ为常数），令n n b c 2=（*∈N n )，求数列}{n c 的前n 项和n R 。
4。
(2013陕西卷理17）设}{n a 是公比为q 的等比数列. （1） 推导}{n a 的前n 项和公式;（2） 设1≠q ，证明数列}1{+n a 不是等比数列5。
（2013新课标1卷理7）设等差数列}{n a 的前n 项和n S ，21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ,在=m.A 3 .B 4 .C 5 .D 66。
(2013新课标1卷理14）数列}{n a 的前n 项和为3132+=n n a S ，则数列}{n a 的通项公式为7.（2013江西卷理17）正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足0)()1(222=+--+-n n S n n S n n(1）求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）令22)2(1n n a n n b ++=,数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明:对于任意*∈N n ，都有645<n T8。
2013年理科全国各省市高考真题——数列(解答题带答案)
2013年全国各省市理科数学—数列1、2013大纲理T17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项式。
求数列｛c n ｝的前n 项和R n .3、2013四川理T16.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和。
4、2013天津理T19. (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.5、2013浙江理T18.在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列。
（1）求n a d ,；（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++6、2013广东理T19．（本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .7、2013安徽理T20.（本小题满分13分）设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ，证明：（Ⅰ）对每个nn N ∈，存在唯一的2[,1]3n x ∈，满足()0n n f x =； （Ⅱ）对任意np N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列一选择题1，[新课标I]，7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、6【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2，1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.2.[新课标I]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( ) A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案B【解析】＝c n ＋a n 2 + b n ＋a n2==2,⟹ =2=2 ⋯⋯,= − ⟹ =⋯⋯+2 =4⋯⋯,−2 =⋯⋯=− ,是正数递增数列所以===−1（因为边不是最大边，所以是锐角）是正数递减数列 ⟹ 是正数递增数列=是递增数列所以选B 3.新课标II 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，，则1a ＝（ ）（A ）31 （B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C解析:⟹=+⟹9⟹ q=±3 又即=9⇒=914.陕西 14. 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 )1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ .【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（【解析】分n 为奇数、偶数两种情况。
第n 个等式为21-n 222n 1--32-1）（++ 。
当n 为偶数时，分组求和：21)n(n -])1[()43()2-1222222+=--++-+n n （。
当n 为奇数时，第n 个等式=21)n(n 21)n(n -2+=+-n 。
综上，第n 个等式：)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ 5.江西1等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A ．-24 B.0 C.12 D.246.福建9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m qB. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD. 数列{}n c 为等比数列，公比为mm q7.辽宁（4）下面是关于公差0d>的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为 （A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p【答案】D 【解析】因为=，且所以函数是增函数，所以1P 正确；,增区间是,当，不是递增 所以2P 错；,如果是递减数列，是常数列，是递增数列，所以3P 错；，是递增数列，4P 正确.选D8.上海17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） (A)18 (B)28(C)48(D)63答案A解析，而2,3,,1i j += ，故不同数值个数为18个， 二填空题 9.湖北1410.重庆12、已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8_____S =【答案】：6411.上海1．计算：20lim______313n n n →∞+=+答案：解析;==12.安徽理（14）如图，互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。
设.nn OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_____*,23N n n a n ∈-=____。
【答案】*,23N n n a n ∈-=【解析】 2210011011)(a aS S S S A B B A S O B A n n n n =+⇒∆++的面积为，梯形的面积为设.41)(,32210==⇒a a S S .)(13232.)(3431)()1(2122122100+++++=+-=++⇒=+++n n n n n n a a n n a a n n a a S n S nS S 种情况得由上面131)(13113231077441)()()()()(21121121243232221+=⇒+=+-⋅⋅==⇒+++n a a n n n a a a a a a a a a a n n n n *,231,1311N n n a a n a n n ∈-=⇒=+=⇒+且13.广东12.在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= 解析：3a 5+a 7=a 5+a 4+a 6+a 7=(a 4+a 7)+(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)= 20 [新课标I]14、若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n 项与其前n 项和的关系，是容易题.【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.14.【湖南】15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________。
【答案】【解析】：由1(1),,2n nn n S a n N *=--∈得⟹,⟹由得,同时⟹,即．=−=−−+ ⟹=++ ⋯⋯当n=2k为偶数时得：=++ =−⋯⋯当n=2k−1为奇数时得：=++即=+ =+=+ =即=⋯⋯=2==15.[江苏] 14．在正项等比数列}{na中，215=a，376=+aa，则满足nnaaaaaa2121>+++的最大正整数n的值为．【答案】12【解析】设正项等比数列}{na首项为a1，公比为q，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141qqaqa，得：a1＝132，q＝2，a n ＝26－n．记521212-=+++=n n n a a a S ，2)1(212n n n n a a a T -== ．n n T S >，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ．当n ＝12时，1212T S >，当n ＝13时，1313T S <，故n max ＝12．16.福建15. 当1,<∈x R x 时，有如下表达式： xx x x n-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112 两边同时积分得：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++2102102102210210111dx xdx x dx x xdx dx n从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C17.辽宁（14）已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若，是方程26540x x S -+==的两个根，则 .【答案】63 【解析】解方程得131,4a a ==，所以2314a q a ==，2q =代入等比求和公式得663S =18.全国（6）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 [答案]C[解析]3⟹⟹数列是首相为4公比为的等比数列19.新课标II （16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知010=S ，2515=S ，则n n S 的最小值为 。
【答案】－49 解析：,10,⋯,解得：，所以= ，==0,⟹n=0或n=即在区间为减在为增 n= 极小值点，由于n 是正整数 所以最小值在n=6或n=7时取到=−48 ， =−49 所以最小值为=−4920．北京10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = .三解答题21.天津(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.解析Ⅰ，S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. ⟹24⟹，数列不减⟹q =−⟹Ⅱ，n 为奇数时，是减是增 −是减，所以 −是减⟹n 为偶数时，是增是减 −是增，所以 −是增⟹最大最小22.上海23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.23. 【解答】：（1）因为0c>，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+ 即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a >此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++，即1112|4|||8a c a c a c ++=++++， 当10a c +≥时，等式成立，且2n≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意；若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--，此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+ 也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--．23.山东 （20）（本小题满分12分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1解答：（1）由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，｛a n ｝为等差数列，可得，11,2a d ==所以21na n =-24.陕西17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.【答案】(Ⅰ) ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n ;(Ⅱ) 见下；【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。