计算方法第二章

合集下载

计算方法——第二章——课后习题答案刘师少

计算方法——第二章——课后习题答案刘师少

2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根,要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少? 解:给定误差限ε=0.5×10-3,使用二分法时,误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可,亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n =10.2.3 证明方程1 -x –sin x =0 在区间[0, 1]内有一个根,使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次?证明 令f (x )=1-x -sin x ,∵ f (0)=1>0,f (1)=-sin1<0∴ f (x )=1-x -sin x =0在[0,1]有根.又f '(x )=-1-c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0,1]单调减少,所以f (x ) 在区间[0,1]内有唯一实根.给定误差限ε=0.5×10-4,使用二分法时,误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可,亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n =14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根,把方程写成四种不同的等价形式,并建立相应的迭代公式:(1)211x x +=,迭代公式2111kk x x +=+ (2)231x x +=,迭代公式3211k k x x +=+ (3)112-=x x ,迭代公式111-=+k k x x (4)13-=x x ,迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。

计算方法习题第二章答案

计算方法习题第二章答案

第一章 误差1 问3.142,3.141,722分别作为π的近似值各具有几位有效数字?分析 利用有效数字的概念可直接得出。

解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142,x 2=3.141,x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。

由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。

由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。

2 已知近似数x*有两位有效数字,试求其相对误差限。

分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。

解 利用有效数字与相对误差的关系。

这里n=2,a 1是1到9之间的数字。

%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%,问x*至少有几位有效数字?分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。

解 a 1是1到9间的数字。

1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字,令-n+1=-1,则n=2,从而x*至少具有2位有效数字。

4 计算sin1.2,问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。

分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。

解 设取n 位有效数字,由sin1.2=0.93…,故a 1=9。

411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。

流水步距的计算方法

流水步距的计算方法

第二章流水施工原理本章重要知识点与典型题型一、掌握流水施工参数的概念知识点:流水施工的参数为了说明组织流水施工时,各施工过程在时间和空间上的开展情况及相互依存关系,这里引入一些描述工艺流程、空间布置和时间安排等方面的状态参数——流水施工参数,包括工艺参数、空间参数和时间参数。

(一)工艺参数工艺参数是指组织流水施工时,用以表达流水施工在施工工艺方面进展状态的参数,通常包括施工过程和流水强度两上参数。

1.施工过程组织建设工程流水施工时,根据施工组织及计划安排需要而将计划任务划分成的子项称为施工过程。

施工过程的数目一般用小写n来表示,它是流水施工的确要参数之一。

根据性质和特点不同,施工过程一般分为三类,即建造类施工过程、运输类施工过程和制备类施工过程。

(1)建造类施工过程,是指在施工对象的空间上直接进行砌筑、安装与加工,最终形成建筑产品的施工过程。

(2)运输因施工过程,是指将建筑材料、各类构配件、成品、制品和设备等运到工地仓库或施工现场使用地点的施工过程。

(3)制备类施工过程,是指为了提高建筑产品生产的工厂化、机械化程度和生产能力而形成的施工过程。

如砂浆、混凝土、各类制品、门窗等的制备过程和混凝土构件的预制过程。

由于建造类施工过程占有施工对象的空间,直接影响工期的长短,因此必须列入施工进度计划,并在其中大多作为主导施工过程或关键的工作。

运输类与制备类施工过程一般不占有施工对象的工作面,不影响工期,故不需要列入流水施工进度计划之中,只有当其占有施工对象的工作面,影响工期时,才列入施工进度计划中。

2.流水强度流水强度是指流水施工的某施工过程(专业工作队)在单位时间内完成的工程量,也称为流水能力或生产能力。

流水强度通常用大写V来表示。

表示:V——某施过程(队)的流水强度Ri——投入该施工过程的第i 种资源量(施工机械台数或工人数)Si——投入该施工过程的第i 种资源的产量定额X——投入该过程的资源种类数(二)空间参数空间参数是指在组织流水施工时,用以表达流水施工在空间布置上开展状态的参数。

计算方法(2)-插值法

计算方法(2)-插值法



2
2
yk1 2

f (xk

h
2
),
y
k

1 2

f (xk

h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn

th)

yn

tyn

t(t 1) 2!
2
yn



t(t

1)


(t n!

n

1)

n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn

th)

t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0

th)

y0

ty0

t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t

1)


(t n!

n

1)
n
y0
Rn (x0

th)

t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.

根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn

计算方法 02第二章 方程的近似解法

计算方法 02第二章 方程的近似解法

∈ (0.5, 0.75)
-1
3
二、代数方程实根的上下界
若f
( )
x
为 n 次多项式,则
f ( x) = 0
称为 n 次代数方程。
对于代数方程有如下定理: [定理] 设有 且 则 证明
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an (a0 ≠ 0)
f ( x) = 0
A = max { a1 、 2 、 、 n } a L a
若同号,则取 于是得到区间
an −1 + bn −1 an = an −1,bn = 2 an −1 + bn −1 an = , bn = bn −1 2
1 。区间长为 n ( b − a ) , α ∈ ( an , bn )。 2
[ an,bn ]
若取α 的近似值
则绝对误差限为
例.求解方程
an + bn α = 2 1 b − a) n +1 ( 2
xn +1 − xn ≤ m xn − xn −1
xn + p − xn + p −1 ≤ m p xn − xn −1
xn + p − xn ≤ xn + p − xn + p −1 + xn + p −1 − xn + p − 2 + L + xn +1 − xn
其中p为任意正整数
……
≤ (m p + m p −1 + L + m) xn − xn −1
1 区间长为 ( b − a ) , α ∈ (a1 ,b1 ). 2
7

数值分析计算方法第二章作业

数值分析计算方法第二章作业
第二章作业题答案
1.当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次差值多项式 (1)用单项式基底 (2)用拉格朗日插值基底
(1)解:设 f(x)abxcx2 则a+b+c=0 a-b+c=-3 a+2b+4c=4
解得
a7,b3,c5 326
所以 f(x)73x5x2
解:由p(0)=0,p(1)=1,p(2)=1,我们可以得出
P 2 ( x ) ( x ( 1 1 ) ) ( ( x 2 ) 2 ) 0 ( 1 ( x ) 0 ( ) x ( 1 2 2 ) ) 1 ( ( 2 x ) ) ( ( 2 x 1 1 ) ) 1 1 2 x 2 3 2 x
将 p'(0)0,p'(1)1 代入到上式中,得出
a 3 ,b 1
4
4
从而有 P4(x)1 4x43 2x39 4x2
p ( x 0 ) f ( x 0 ) , P '( x 0 ) f '( x 0 ) , P ''( x 0 ) f ''( x 0 ) ,p ( x 1 ) f ( x 1 )
解:设 P ( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) ( x x 0 ) f''2 ( x ! 0 )( x x 0 ) 2 a ( x x 0 ) 3
解:设P(x)= ax3bx2cxd
则 P'(x)3ax22bxc
d 0 代入已知条件,得到: c 1
abcd 1 3a 2b c 2
解得a=1,b=-1,c=1,d=0
所以P(x)= x3 x2 x

计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)

计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)

为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
2018/11/7
5
2018/11/7
6
二、均差具有如下性质:
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]

j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
2018/11/7
27
fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
2018/11/7
28
差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
2018/11/7
31
等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
2018/11/7
32
2018/11/7
33
二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点,不光滑,插值多 项式在节点处不可导等缺点.
2018/11/7
25
2018/11/7
26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分

计算方法的课后答案

计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1.什么是计算方法?(狭义解释)答:计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算,以便在计算机上编程上机,求出问题的数值解,并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2.一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么?答:一个实际问题当利用计算机来解决时,应采取以下五个步骤: 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4.利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值,并编程获得解。

解:400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ,从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以,多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5.叙述误差的种类及来源。

答:误差的种类及来源有如下四个方面:(1)模型误差:数学模型是对实际问题进行抽象,忽略一些次要因素简化得到的,它是原始问题的近似,即使数学模型能求出准确解,也与实际问题的真解不同,我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

(2)观测误差:在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的,由于仪器的精密性,实验手段的局限性,周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素,而使数据必然带有误差,这种误差称为观测误差。

(3)截断误差:理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到,而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似,这样引起的误差称为截断误差(或方法误差)。

(4)舍入误差:在数值计算过程中还会用到一些无穷小数,而计算机受机器字长的限制,它所能表示的数据只能是一定的有限数位,需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6.掌握绝对误差(限)和相对误差(限)的定义公式。

计算方法 第二章插值法_20191105

计算方法  第二章插值法_20191105

下面两种办法常用来确定经验函数y=g(x)
(1)插值法
(2)拟合法
根据问题的不同,有时要用插值技术来解决, 有时则应该采用拟合的方法才合理。
(1)插值法的基本思想
已知数据表
xi x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
求一个经验函数y=g(x),使g(xi)=f(xi), i=1,…n.
x)
b0
a0 a1 x a2 x2 b1 x b2 x2 b3 x3
n
一般地:F( x) cii( x) i=0
例:F(x) a bx csin x span1, x,sin x,
当插值函数是代数多项式时,插值问题称为代
代 数插值。
数 插
设 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn ,
y2
n 次插值多项式 :求次数≤n的多项式Ln(x), 使其满足
Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn
..(7)
令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件
容易求得
三角插值:取
spani(
n
x) i=0
a1x a0
=spansin x,cos x,sin 2x,cos 2x, ,sin nx,cos nx
例:取 spansin x,cos x,
F ( x) a sin x bcos x
有理插值:F( x)= Pm ( x) Qn ( x)
例:F (
二次插值 (n=2) 求次数≤2 的多项式L2(x), 使其满足条件 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2

计算方法 课后习题答案

计算方法 课后习题答案
其中,

正规方程组化为:
得 =2.43689 =0.291211
=2.43689所以 =11.45 = =0.291211
=2.43689所以 =11.45 1= =0.291211
12.求函数 在给定区间上对于 的最佳平方逼近多项式:
解:设
(1)
(2)


13. 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解:Legendre是[-1,1]上的正交多项式
解:1)用梯形公式有:
事实上,
2)Simpson公式
事实上,
3)由Cotes公式有:
事实上,
2.证明Simpson公式 具有三次代数精度。
证明:
而当 时
左侧:
右侧:
左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1) ,(3) ,(4)
注意到这里 是三重零点, 是单零点,故插值余项为
20.求作次数 的多项式 ,使满足条件
并列出插值余项。
解法1:由于在 处有直到一阶导数值的插值条件,所以它是“二重节点”;而在 处有直到二阶导数值的插值条件所以 是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式:
可以作出差商表
一阶
二阶
三阶
四阶
0
0
1
1
1
-1
-1
利用 的第1式,可将第2式化为
同样,利用第2式化简第3式,利用第3式化简第4式,分别得
由 式消去 得
进一步整理
由此解出
解得:
因此所求的两点Gauss求积公式:
或依下面的思想:
解(2):令原式对于 准确成立,于是有

上海交通大学计算方法课件(宋宝瑞)CH.2(1)

上海交通大学计算方法课件(宋宝瑞)CH.2(1)

1第二章 解线性方程组的直接法解线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎩或写成矩阵式Ax b =其中()1212,(,,,),(,,,)T Tij n n n nA a x x x x b b b b ⨯=== Gauss 消去法(矩阵行变换法)第k 次消元公式()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+计算中,中间结果不必保留,进行一次变换后原来存放(1)k A -的单元存放()k A,(1)k b-的单元存放()k b。

因此,我们得到Gauss消去法的算法:2循环:1,2,,k = n-1何时可行?即第k 步 Gauss 消去法可实行,易见充要条件是()0k kk a ≠若A 的各阶顺序主子式 *det()0ij k k a ≠ 1,,1k n =- ,则有:()**()()()1122()det()det() ||k ij k k ij k kk k k kk k kk a a a a a a =⇔≠ 消元过程可进行到 1k n =-。

因此,可以用Gauss 消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。

最后得到()()() n n n A x b A =是上三角阵()()k k A x b =与Ax b =同解2,,k n =解()()n n A x b=只需递推(回代过程)2211112()/, ,,1(0 = 1)nk k kjj kk j k k k i i i k i k x b ax a k n k k a a =+===-=>=∑∑∏ 当时,规定:3计算量 第k 步消元计算ik m 用(n-k )次除法,算诸()k ij a 用2(-)n k 乘法和2(-) n k 次加减法, 对1,,1k n =- 相加,可得消元过程共需2(1)/3n n -⨯÷次 (1)(21)/6n n n -- 右端 (1)()n bb →(1)/2 n n -⨯÷ (1)/2 +n n --(1)/2 (1)/2 +-n n n n -⨯÷-回代3233 /3/3 /3(1)(25)/6 /3n n n n n n n n +-≈-+≈总数:乘除法加减法矩阵的三角分解(用矩阵乘法分解的观点看Gauss 消去法)对A 作行变换相当于左乘初等矩阵,例如(1)(2)AA →(2)1A L A =其中421131110-1 -01-001n m L m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 类似的讨论易知:()()1111 ,,n n n n A L L A b L Lb --==1,,100001 00000001 k k k n k L m m k +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=第列令()1111111121313212,1= := 110 =11n n n n n n n U A A L L U L L L m m m m m m -------=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上三角阵则单位下三角阵5定理:**(),det()0 1,,1ij n n ij k k A a a k n =≠=- ,则A 可表示为A=LU L :单位下三角阵,U 上三角阵,且分解唯一。

计算方法1-2

计算方法1-2
x
e ( x*)
( er ( x ) r )

x的相对误差限。
3.有效数字 m 设 x 10 (0.a1 a 2 a n a p ) (a1 0, p ) 1 mn 若 (1.1) x * x 10 2
则说
x 具有n位有效数字,分别是

n p ,则称
10 0.04 10 0.1 10 0.00000000004 10
8 9 9
8
3.尽量避免相近数相减 例如,当x很大时,应

x1
x
1 x x1
1 1 1 x x 1 x ( x 1) 当x接近于0时,应
1 cos x sin x x 或tg sin x 1 cos x 2
f(x)=0根或f(x)零点,当f(x)复杂时,很难求 (找近似有效简单方法)。
§2.1 区间二分法
理 论 : f(x) ∈ C[a,b],单调, f(a)f(b)<0
f(x)=0在(a,b)有惟一根。
方程求根的步骤:(1)求根的隔离区间;(2)将根精确化 根的隔离区间求法:画草图;多项式函数交点横坐标; 试算。
程序运行 结果:
基本要求:
1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位,熟 悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方 法; 2.熟悉绝对误差(限),相对误差(限)及有效数 字概念; 3.熟悉公式(1.2)--(1.9); 4.熟悉选用算法应遵循的原则;
作业:
第一章 8, 10
第二章 方程求根
§1.2 误差基础知识
一 .误差来源(分类)
1. 模型误差。 2. 观测误差。 3. 截断误差,如
x x sin x x ...... , 3! 5!

数值计算方法第二章方程的近似解法

数值计算方法第二章方程的近似解法
设在区间[a,b]上方程有一个根,则称该区间为 方程的一个有根区间。若在区间[a,b]上方程只有一
个根,则称该区间为方程隔根区间。
Remark:若能把隔根区间不断缩小,则可以得出根的 近似值。
三、根的隔离
基于函数f(x)的连续性质,常用的根的隔离的方
法有:描图法与逐步搜索法。
1、描图法:画出y=f(x)的简图,从曲线与x轴交点
1.计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值,f (a),f (b)。
2.计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3.判断若f (x1) = 0,则x1即是根,否则检验: (1)若f (x1)与f (a)异号,则知解位于区间[a, x1],
b1=x1, a1=a;
(2)若f (x1)与f (a)同号,则知解位于区间[x1, b], a1=x1, b1=b。
公式(2)
1.5 2.375 12.3965 1904.01 6.90244 3.28857 3.55651 4.49856 inf
公式(3)
1.5 1.29099 1.33214 1.32313 1.32506 1.32464 1.32473 1.32471 1.32471
公式(4)
1.5 1.9375 4.10535 36.1482 23634.7 6.60124 1.43829 1.4877 inf
间。必要时可调整步长h,总可把隔根区间全部找出。
3、根据函数单调性判断
§2.1 二分法(对分法)
一、算法
设 f ( x ) 在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0且在[a,b]内 f(x)=0仅有一个实根 x*。二分法的基本思想是:
逐步将有根区间分半,通过判别函数值的符号, 进一步搜索有根区间,将有根区间缩小到充分小, 从而求出满足给定精度的根 x* 的近似值。 执行步骤:

计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)

计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)

2019/1/15
26
证明:假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
(k 0,1,2,, n)

n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
2019/1/15
18
总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0 ,1, , n)上, 以l j ( x) (i 0 ,1, , n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
本章只讨论多项式插值与分段插值
2019/1/15 7
§ 2.2
拉格朗日插值
• 此插值问题可表述为如下: • 问题 求作次数 n 多项式 Ln ( x) ,使满足条件
Ln x yi , (i 0,1,, n)
• 这就是所谓的拉格朗日(Lagrange)插值。
2019/1/15
8
§ 2.2.1
线性插值的局限性
2019/1/15
12
三、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ,使满足条件
L2 ( x j ) y j
( j k 1, k , k 1)
二次插值的几何解释是用通过三个点
的抛物线来近似考察曲线,故称为拋物插值。类似于线性 插值,构造基函数,要求满足下式:
L2(x) yk 1lk 1 ( x) yklk ( x) yk 1lk 1 ( x)

计算方法 第二章 插值函数

计算方法 第二章 插值函数

第二章 插值法教学目的与要求:了解插值问题的提法,掌握插值多项式的定义。

了解多项式插值、插值多项式的截断误差、余项和Lagrange 插值多项式的定义,理解插值多项式的唯一性、插值基函数的定义,掌握插值余项定理的证明、线性插值、抛物插值以及一般Lagrange 插值多项式的推导。

重点与难点:基函数思想及Lagrange 插值多项式■ 教学内容:§ 1 插值问题与插值多项式一、插值问题 插值的基本思想 二、插值函数的定义§ 2 Lagrange 插值一、多项式插值1.多项式插值的定义:用多项式函数来近似代替的插值方法,称之为多项式插值式 )(x f 2.插值多项式的唯一性 二、插值多项式的误差估计1.定义:若在上用],[b a )(x n ϕ近似,则)(x f )()()(x x f x R n n ϕ−=称为插值多项式的截断误差,又称为插值多项式的余项。

关于插值余项的估计有下面的定理。

2.误差估计定理 定理2.1 设在区间上连续,在内存在,是区间上的互异节点,)()(x fn ],[b a )()1(x f n +),(b a n x x x ,,,10L ],[b a )(x n ϕ是满足插值条件的插值多项式,则对任意的],[b a x ∈,插值余项)()!1()()()()(1)1(x n f x x f x R n n n n +++=−=ωξϕ,其中的],[b a ∈ξ且依赖于x ,。

∏=+−=ni i n x x x 01)()(ω三、Lagrange 插值多项式1.线性插值 2.插值基函数3.Lagrange 插值多项式小结:1. 插值的基本思想;2. 插值多项式的存在性;3. Lagrange 插值多项式:注意它的规律;4. Lagrange 插值的余项和误差估计问题。

作业:习题2 第1、2题。

§ 3 Newton 插值教学目的与要求:了解Newton 插值的多项式的产生基础,理解差商的定义及性质、差分的定义及性质,掌握Newton 插值和等距结点插值多项式的推倒过程。

西北工业大学 计算方法课件 第二章 方程的近似解法 西工大 nwpu

西北工业大学 计算方法课件 第二章 方程的近似解法  西工大 nwpu

定义 ( x)
算法(迭代法)
输入 x0 , m, k=0 否 k<m 是
k=k+1
x1 ( x0 )
x1 x0
否 是 输出 x1 , k
已到最大迭代次数
*
(k 1,2,)
三、收敛准则
1.事先误差估计: 利用误差估计定理,令
ln( b a) ln 得 k 1 ln 2
1 xk 1 x k 1 (b a) 2
*
从而得到对分次数k+1,取xk+1作为根得近 似值x*。
2.事后误差估计: 给定ε,每步检查 若成立,则取
Remark:可以通过不同的途径将f(x)=0化为 x=φ(x)的形式,从而构造不同的迭代公式,得到 不同的迭代序列。在所有这些构造的迭代公式中 形成的序列中,有的序列是收敛的,而有些是发 散的。 问题:如何选取合适的迭代函数φ(x) ? 迭代函数φ(x)应满足什么条件,序列{xk}收 敛? 怎样加速序列{xk}的收敛?
x * 的某个邻域 S {x | x x* } (2)在 ,对于任意xS,有
' ( x) L 1
则对于任意的初值x0S,迭代公式 xk 1 ( xk ), k 0,1,2 产生的序列{xk }必收敛于方程的根 x * 。
证明:
[ x * , x * ] ,则 将前述定理1中的[a,b]取为
(x) 称为迭代函数, xk 1 ( xk )称为迭代公式
或迭代过程。 当 (x) 连续时,有 lim xk 1 lim ( xk ) (lim xk ) k k k 即 x* ( x* ) 或 f ( x * ) 0 。 即序列{xk }的极限 x * 为 f ( x) 0的根。 因此,我们可以通过求迭代数列的极限的方法来 求得方程f(x)=0的根。

计算方法 第2章 非线性方程数值解法

计算方法 第2章 非线性方程数值解法

第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法,我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程,其解为:aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ,很难甚至不可能找到解析形式的解,通常只能用数值的方法求其近似数值解。

2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ,则称*x 为方程(2.1)的解或根,也称*x 为函数)(x f 的零点或根。

用数值方法求解非线性方程的解,通常需要我们对其解有一个初步的估计,或知道其解的一个限定区间,因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。

定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根,则称],[b a 为有根区间,若在],[b a 内恰有一个根,则称],[b a 为隔根区间。

定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ,则)(x f 在),(b a 内至少有一个根,如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续,则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。

寻找隔根区间的通常方法有:图形法, 试探法。

例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。

解:作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点,可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。

例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。

解:计算出)(x f 在一些点的值。

从表中可以看出1-=x 是一个根,区间)2,1(是一个有根区间。

如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。

从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间,具有一定的局限性。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
k a k( k − 1) ≠ 0
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.3 主元 若在Gauss消去过程中出现以下两种情况 消去过程中出现以下两种情况 若在
(k (1) a kk − 1 ) = 0
(2)
a kk < < a ik
i = k + 1, ..., n
则Gauss消去过程中会出现问题 消去过程中会出现问题 第1种情况下有两种可能 种情况下有两种可能 (1)若A非奇,则可以通过交换行序继续执行消去过程 若 非奇 非奇, (2)若A奇异,则不能继续执行消去过程 若 奇异 奇异,
(0) a11 l21 l31 l n1
(0) a12 (1) a22 l32
(0) a13 L (1) a23 L (2) a33 L O
a1(0) n (1) a2 n (2) a3n M
ln 2
ln 3
(n L ann −1)
M β n( n −1)
第2章 线性代数方程组 章
求解方法 方法1 方法
Ax = b
⇒ A-1 Ax = A-1b ⇒ x = A-1b
计算量为矩阵求逆 矩阵求逆的方法:初等行变换法,伴随矩阵法,高斯-约当法
第2章 线性代数方程组 章
求解方法 方法2 方法 Crammer法则 法则
Ai xi = A
i = 1, 2,..., n
β1(0)
β i( k ) = β i( k −1) − lik β k( k −1) , i = k + 1, k + 2,..., n
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.1 消去法 经过n-1步消去后,得到 步消去后, 经过 步消去后 (0) a11 ( n −1) ( n −1) (A b )=
降维——N维问题转化为 维问题转化为N-1维问题 维问题——逐次降维,依次进 逐次降维, 降维 维问题转化为 维问题 逐次降维
消去法的基本步骤:消去、 消去法的基本步骤:消去、回代
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.1 消去法 消去过程 对于以下的增广矩阵 (0) (0) (0) a11 a12 a13 L (0) (0) (0) a21 a22 a23 L (0) (0) (0) (0) (0) (A b ) = a31 a32 a33 L M M M M a (0) a (0) a (0) L n2 n3 n1
1 . 2 . 2 . 1 a ij − a ik a k j ⇒ a ij
β i − a ik β
k
⇒ β
i
/ a nn ⇒ x n ⇒ S
N-k次 N-1次
fo r k = n - 1, n - 2 , ...,1
k
2 .2 .1 β
2 .2 .2 F o r j = k + 1, k + 2 , ..., n 2 .2 .2 .1 S - a kj x j ⇒ S 2 .2 .3 S / a kk ⇒ x k
n
2.回代运算量 2.回代运算量
求xn需做1次除法, 求xn-1需做1次乘法和1次除法,..., 求x1需n -1次 乘法和1次除法,因此所需乘除次数: n(n + 1) N 2 = 1 + 2 + ... + n = 2 3 n n 因此,N = N1 + N 2 = + n 2 − 3 3
即,运算量为o(n3 )
可以写为矩阵形式
(2.1)
Ax = b
其中
α 11 α 12 α 21 α 22 A= L L α n1 α n 2 L α 1n x1 β1 x β L α 2n 2 , x= , b = 2 . M M L L L α nn xn β n
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.1 消去法 消去法的基本思想: 消去法的基本思想 将求解n元方程组的问题转化为等价的 元方程组 元方程组, 将求解 元方程组的问题转化为等价的n-1元方程组,然后对其进 元方程组的问题转化为等价的 行求解,直止为一个一元一次方程为止,然后求出解, 行求解,直止为一个一元一次方程为止,然后求出解,再逐步回代 得到其余的解。 得到其余的解。
第2章 线性代数方程组
第2章 线性代数方程组 章
线性代数方程组
α11 x1 + α12 x2 + L + α1n xn = β1 α x + α x + L + α x = β 21 1 22 2 2n n 2 L L L L L L α n1 x1 + α n 2 x2 + L + α nn xn = β n
消去法的思想 1.将n元方程组的 个方程通过“消元”,形成一个与原方 将 元方程组的 元方程组的n-1个方程通过 消元” 个方程通过“ 程 等价的新方程组 2.继续将 个方程通过“消元”,形成一个与之等价的新方 继续将n-1个方程通过 消元” 个方程通过“ 继续将 程组 3.直到最后一个方程为一元一次方程为止 直到最后一个方程为一元一次方程为止 4.从最后一个方程中解出最后一个未知量,然后回代得到其 从最后一个方程中解出最后一个未知量, 从最后一个方程中解出最后一个未知量 它的解
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.2 算法组织 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量 1.消去算法运算量
分为n -1步, 第k步变换n - k 行 : 求倍数, 再从n + 1- k 个元素中减去 第k 行对应列的倍数,因此所需乘除次数: n 3 n 2 5n N1 = ∑ (n − k )(n − k + 2) = + − 3 2 6 k =1
(0) a12 (1) a22
(0) a13 L (1) a23 L (2) a33 L O
a1(0) n
(1) a2 n (2) a3n M (n ann −1)
M β n( n −1)
β1(0) β 2(1) β3(2)
然后,经过回代, 然后,经过回代,得到所有的解
β1(0) β 2(1) β3(2)
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.2 算法组织 算法 Gauss(A,b,n,x) 系数矩阵A存放于数组 存放于数组A中 右端向量放在数组b中 系数矩阵 存放于数组 中,右端向量放在数组 中
I .[消 去 ] 1 F o r k = 1, 2 , ..., n - 1 1 .1 I f a kk = 0 th e n 输 出 错 误 信 息 ; s to p
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.2 算法组织 高斯消去法运算量估计 空间复杂度分析
(1)系数矩阵A占用空间为n 2 , 则空间复杂度为o(n 2 ) (2)常量b占用空间为n, 则空间复杂度为o(n) (3)变量x占用空间为n, 则空间复杂度为o(n) (4)消去过程中没有使用其它额外存储空间
i = 1, 2,..., n
J (i1 , i2 ,L , i n )
第2章 线性代数方程组 章
求解方法 方法2 方法 Crammer法则 法则
计算量为求矩阵的行列式
A = ∑ ( −1) J (i1 ,i2 Lin ) α1i1α 2i2 Lα nin
其中 : J ( i1 , i 2 L i n ) 是{1, 2, ..., n}变换到{i1 , i 2 , ..., in }所需的置换次数
因此, 总的空间复杂度为o(n 2 )
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.3 主元 Gauss消去法可以顺利执行的条件 消去法可以顺利执行的条件
(k a kk − 1 ) ≠ 0
(k akk −1) 称为第k步的主元
性 质 :当 方 程 组 的 系 数 矩 阵 非 奇 时 ,在 消 去 过 程 中 有
因此, 计算一个行列式需要(n -1)n !次浮点运算
使用Cramer法则求解方程组需要N = (n 2 -1)n !次浮点运算
第2章 线性代数方程组 章
2.1 Gauss消去法 消去法 2.1.1 消去法
2 x + x = 3 2 x1 + x2 = 3 1 2 ⇒ 3 3 ⇒ 从第二个方程解出 x2 = 1 − x2 = − x1 − x2 = 0 2 2 ⇒ 代入第一个方程 , 得到x1 = 1
其中 A 是方程组系数矩阵对应的行列式 Ai 是以右端常量向量b替代A的第i列所得矩阵的行列式
a11 L a1i −1 b1 a1i +1 L a1n a21 L a2i −1 b2 a2i +1 L a2 n M M M M M M M a L ani −1 bn ani +1 L ann xi = n1 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n M M M M an1 an 2 L ann
N-1次 N-1 N-k次 N-k次
1 .2 F o r i = k + 1, k + 2 , ..., n 1 . 2 . 1 a ik / a k k ⇒ a ik 1 .2 .2 1 .2 .3 I I . [回 代 ] 2 .1 β 2 .2
n
fo r j = k + 1, k + 2 , ..., n
计算关系式
( aikk −1) lik = ( k −1) akk ( ( ( aijk ) = aijk −1) − lik akjk −1) , j = k + 1,..., n
相关文档
最新文档