直接证明与间接证明 高考数学知识点总结 高考数学真题复习

§11.3直接证明与间接证明2014高考会这样考 1.考查对直接证明和间接证明原理的理解和用法；2.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列知识为载体，考查分析法、综合法、反证法．复习备考要这样做 1.抓住三种证明方法的特点，把握它们解题的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决问题的类型；2.加强训练，总结、体会解题中的一些技巧，灵活应用三种方法证明一些实际问题．1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． [难点正本 疑点清源]1． 综合法证明问题是由因导果，分析法证明问题是执果索因．2． 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．1． 要证明“3＋7<25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)①反证法，②分析法，③综合法． 答案 ②2． 下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的个数是________． 答案 3解析 要使b a ＋a b ≥2，只要b a >0且ab>0，即a ，b 不为0且同号即可，故有3个．3． 已知函数f (x )＝lg1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝______(用b 表示)． 答案 －b解析 ∵f (－x )＝lg1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .4． 下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案 D解析 由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤正确．5． 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60° 答案 B解析 因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”，故选B.题型一 综合法的应用例1 已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．思维启迪：利用a 2＋b 2≥2ab ，1a 2＋1b 2≥2ab ，再利用ab ＋1ab ≥2，根据这个解题思路去解答本题即可．证明 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．探究提高 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．已知a 、b 、c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2≤6. 证明 (1)方法一 a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1) ＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c )2] ＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ) ＝13[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.方法二 ∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.方法三 设a ＝13＋α，b ＝13＋β，c ＝13＋γ.∵a ＋b ＋c ＝1，∴α＋β＋γ＝0.∴a 2＋b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎫13＋α2＋⎝⎛⎭⎫13＋β2＋⎝⎛⎭⎫13＋γ2 ＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 ＝13＋α2＋β2＋γ2≥13， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵3a ＋2＝(3a ＋2)×1≤3a ＋2＋12＝3a ＋32，同理3b ＋2≤3b ＋32，3c ＋2≤3c ＋32，∴3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2≤3(a ＋b ＋c )＋92＝6，∴原不等式成立． 题型二 分析法的应用例2 已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 思维启迪：本题若使用综合法，不易寻求证题思路．可考虑使用分析法． 证明 ∵m >0，∴1＋m >0. 所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0， 而(a －b )2≥0显然成立， 故原不等式得证．探究提高 分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 题型三 反证法的应用例3 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0， x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数根．思维启迪：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三个方程都没有实数根”． 证明 假设三个方程都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)<0(a －1)2－4a 2<0(2a )2－4×(－2a )<0⇒⎩⎨⎧－32<a <12a >13或a <－1－2<a <0，∴－32<a <－1.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立．探究提高 结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样．有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋13a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p 、q 、r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r. 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝02q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r . 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．分析法与综合法的整合典例：(12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．审题视角 (1)先判断它们的大小，可用特例法．(2)用分析法探寻证题思路．(3)用综合法完成证明．事实上，取a ＝1，b ＝2，c ＝4，则f (a )＋f (c )＝f (1)＋f (4)＝log 23＋log 26＝log 218,2f (b )＝2f (2)＝2log 24＝log 216，于是由log 218>log 216，猜测f (a )＋f (c )>2f (b )． 要证f (a )＋f (c )>2f (b )，则只需证log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)>2log 2(b ＋2)， 即证log 2(a ＋2)(c ＋2)>log 2(b ＋2)2，也即证(a ＋2)(c ＋2)>(b ＋2)2. 展开整理得ac ＋2(a ＋c )>b 2＋4b .因为b 2＝ac ，所以只要证a ＋c >2ac ，显然是成立的． 规范解答解 f (a )＋f (c )>2f (b )．[2分]证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数，所以a＋c>2ac.[4分]因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.[8分]因为f(x)＝log2x是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，[10分]即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．故f(a)＋f(c)>2f(b)．[12分]温馨提醒(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程．有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功．(2)本题错误原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范．将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.方法与技巧1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．4． 用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立． 失误与防范利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1bD.b a >a b答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.2． 设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b答案 A解析 a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x<0时，0<b<1，∴a>b.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3 a”索的因应是() A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.4．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为() A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案 B解析自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．二、填空题(每小题5分，共15分)5．设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是__________．答案 m <n解析 取a ＝2，b ＝1，得m <n .再用分析法证明：a －b <a －b ⇐a <b ＋a －b⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．6． 用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是_____． 答案 a ，b ，c ，d 全是负数解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．7． 设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线．答案 ①③④解析 根据线面关系定理判定．三、解答题(共22分)8． (10分)已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明 要证明12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22， 只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). 由于x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． ∴cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0，1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式是显然成立的． 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 9． (12分)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)解 假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD .∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，∴平面SBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1答案 B解析 在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．2． 设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案 C解析 因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2. 3． 已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0答案 A解析 (1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3，f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7，f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1)得f (2,1)＝f (1＋1,1)＝2f (1,1)＝2，f (3,1)＝2f (2,1)＝4，f (4,1)＝2f (3,1)＝8，f (5,1)＝2f (4,1)＝16；(3)由f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2得f (5,6)＝f (5,5)＋2，而f (5,5)＝f (5,4)＋2，f (5,4)＝f (5,3)＋2，f (5,3)＝f (5,2)＋2，f (5,2)＝f (5,1)＋2＝16＋2＝18，则f (5,6)＝26.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 (1)当a ＝0时，方程无解．(2)当a ≠0时，令f (x )＝ax ＋a －1，则f (x )在区间(0,1)上是单调函数．依题意，得f (0)f (1)<0，∴(a －1)(2a －1)<0，∴12<a <1. 5． 若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么当n >2，n ∈N *时，a n ＋b n 与c n 的大小关系为____________．答案 a n ＋b n <c n解析 取a ＝b ＝1，c ＝2，易知当n >2时，a n ＋b n ＝2，c n ＝(2)n ＝2·(2)n －2>2，由题意，a n ＋b n 与c n 的大小关系应该是确定的，故猜想a n ＋b n <c n .事实上，注意a <c ，b <c ，n >2，所以有a n ＋b n ＝a 2a n －2＋b 2b n －2<a 2c n －2＋b 2c n －2＝(a 2＋b 2)c n －2＝c n ，故a n ＋b n <c n .6． 凸函数的性质定理为如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案 332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，。