黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(含精品解析)
牡丹江一中2018-2019年高二数学(理)上学期期中试题及答案
2018年学业水平测试数学理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）1.抛物线y x 42=的准线方程为（ ）A 1=yB 1=xC 1-=yD 1-=x 2.下列方程中表示相同曲线的是（ ） A x y =，1=xyB x y 2=，22x y =C ||||x y = ，x y = D ||||x y =，22x y =3.已知椭圆的焦点为)0,1(-和)0,1(，点)0,2(P 在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）A 1422=+y xB 13422=+y xC 1422=+x y D 13422=+x y 4.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ ）A x y 4±=B x y 41±= C x y 2±= D x y 21±= 5.与圆122=+y x 及圆012822=+-+x y x 都外切的圆的圆心在（ ）A 一个椭圆上B 双曲线的一支上C 一条抛物线D 一个圆上6.点)3,2(在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，且C 的焦距为4，则它的离心率为A 2B 4C 2D 37.已知F 是抛物线x y 22=的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，且4||||=+BF AF ，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为（ ）A 1B 2C 3D 4 8．过点)2,0(且与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有（ ）A 1条B 2条C 3条D 无数条9．设21,F F 是双曲线1822=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且o PF F 9021=∠，则点P 到x 轴的距离为（ ）1710．以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为（ ）①曲线191622=+y x 与曲线)9(191622<=-+-k k y k x 有相同的焦点； ②方程22310x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过椭圆1162522=+y x 的右焦点2F 作动直线l 与椭圆交于B A ,两点，1F 是椭圆的左焦点，则B AF 1∆的周长不为定值。
黑龙江省牡丹江一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
黑龙江省牡丹江一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：（单选，共5×12=60分）1．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．2．（5分）参数方程表示的曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆3．（5分）直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A．B．C．D．5．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．|FP1|+|FP2|=|FP3| B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3| D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|7．（5分）在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）A．（2，﹣7）B．（1，0）C．（，）D．（，）8．（5分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P 点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．9．（5分）在极坐标系下，已知点，则△ABO为（）A．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形D．直角等腰三角形10．（5分）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2B．3C．4D．511．（5分）已知直线（t为参数）与曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+3=0交于A、B两点，则|AB|=（）A．1B．C．D．12．（5分）己知集合M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对所有m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范同是（）A．[﹣，]B．（﹣，）C．（﹣，]D．[﹣，]二、填空题：（共5x4=20分）13．（5分）将参数方程（θ为参数）化为普通方程为．14．（5分）直线为参数）上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．16．（5分）实数x、y满足3x2+2y2=6x，则的最大值为．三、解答题：（17题10分，18题至22题各12分）17．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值．19．（12分）已知过点P（1，﹣2），倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m（1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数），经坐标变换（a＞0，b＞0）后所得曲线记为C．A、B是曲线C上两点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的普通方程；（2）求证：点O到直线AB的距离为定值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（单选，共5×12=60分）1．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：由于和是终边相同的角，故点M的极坐标也可表示为．解答：解：点M的极坐标为，由于和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选D．点评：本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，是一道基础题．2．（5分）参数方程表示的曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把参数方程（t为参数）消去参数，化为普通方程后，即可得到结论．解答：解：参数方程，①2﹣②2可得：x2﹣y2=4．参数方程表示的曲线是双曲线．故选：B．点评：本题考查参数方程与普通方程之间的转化，关键是利用已知条件消去参数．3．（5分）直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．解答：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．4．（5分）在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A．B．C．D．考点：圆的参数方程；中点坐标公式．专题：计算题．分析：根据B，C两个点在圆上，可以写出两个点对应的坐标，根据中点的坐标公式，表示出中点的坐标，得到要求的中点对应的参数值．解答：解：x B=a+t1cosθx C=a+t2cosθ对于中点M有x M=（x B+x C）=（a+t1cosθ+a+t2cosθ）=a+（t1+t2）cosθ同理y M=b+（t1+t2）cosθ∴线段BC的中点M对应的参数值是（t1+t2）故选B．点评：本题考查圆的参数方程和中点的坐标公式，本题解题的关键是已知圆上的点，写出点对应的参数式，本题是一个基础题．5．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上考点：圆的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，故选：B．点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．|FP1|+|FP2|=|FP3| B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3| D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：把2x2=x1+x3等式两边同时加p整理成进而根据抛物线的定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|．解答：解：∵2x2=x1+x3，∴，∴由抛物线定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|故选C．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．7．（5分）在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）A．（2，﹣7）B．（1，0）C．（，）D．（，）考点：抛物线的参数方程．专题：计算题．分析：先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可．解答：解：cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2x2=y∴方程（θ为参数且θ∈R）表示x2=（1﹣y）将点代入验证得C适合方程，故选C点评：本题主要考查了抛物线的参数方程化成普通方程，解题的关键是消参，属于基础题．8．（5分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P 点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．考点：直线的倾斜角；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：先将曲线的极坐标方程化为普通方程并求出直线的方程，再将二者联立即可解出．解答：解：将曲线（θ为参数，0≤θ≤π）消去参数θ，化为普通方程为（y≥0）．∵直线PO的倾斜角为，∴=1，∴直线po的方程为：y=x，联立（y≥0），解得，即P．故选D．点评：本题考查了将曲线的极坐标方程化为普通方程及直线与曲线相交的问题，熟练的计算是解决问题的关键》9．（5分）在极坐标系下，已知点，则△ABO为（）A．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形D．直角等腰三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先把极坐标系下的点A，B，C的坐标转化为直角坐标系下的点，然后根据两点就的距离公式可求，AC，AB，BC，从而可进行判断解答：解：极坐标系下，点，则在直角坐标系下A（0，2），B（﹣1，1），C（0，0）∴AC=2，AB=BC=AC2=AB2+BC2三角形ABO为等腰直角三角形故选D．点评：本题主要考查了三角形的形状的判断，解题的关键是要把极坐标系转化为直角坐标系，还要注意两点间的距离公式的应用．10．（5分）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2B．3C．4D．5考点：双曲线的简单性质；等差数列的性质．专题：压轴题．分析：通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值．解答：解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e===5，故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．11．（5分）已知直线（t为参数）与曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+3=0交于A、B两点，则|AB|=（）A．1B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，将直线的参数方程化为普通方程、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，结合弦长公式进行求解．解答：解：由直线（t为参数），得x﹣y﹣1=0，由ρ2﹣4ρcosθ+3=0，得x2+y2﹣4x+3=0，化为标准方程为：（x﹣2）2+y2=1，它表示圆心为（2，0），半径为1的圆．圆心到直线的距离为d==，∴弦长2=，故选：D．点评：本题重点考查了直线的参数方程和普通方程互化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的互化弦长公式等知识，属于中档题．解题关键是准确得到相应的方程的形式．12．（5分）己知集合M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对所有m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范同是（）A．[﹣，]B．（﹣，）C．（﹣，]D．[﹣，]考点：直线与圆锥曲线的关系；子集与交集、并集运算的转换．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由M∩N≠∅，可得y=mx+b与x2+2y2=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b的取值范围．解答：解：由题意，∵M∩N≠∅，∴y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b2﹣3=0∴△=16m2b2﹣4（1+2m2）（2b2﹣3）≥0∴2b2≤3+6m2∵对所有m∈R，均有M∩N≠∅，∴2b2≤3∴故选A．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：（共5x4=20分）13．（5分）将参数方程（θ为参数）化为普通方程为y=x﹣2（2≤x≤3）．．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把y=sin2θ代入x=2+sin2θ可得x=2+y（0≤y≤1）．解答：解：由参数方程（θ为参数），把y=sin2θ代入x=2+sin2θ得x=2+y（0≤y≤1）．即y=x﹣2（2≤x≤3）．故答案为：y=x﹣2（2≤x≤3）．点评：本题考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了三角函数的单调性和有界性，属于基础题．14．（5分）直线为参数）上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是（﹣3，4）或（﹣1，2）．考点：直线的参数方程；两点间距离公式的应用．专题：计算题．分析：根据点在直线上，设直线上的点的坐标为（﹣2﹣t，3+），然后代利用两点间距离公式列出等式，求出参数t的值，最后回代入点的坐标即得．解答：解：设直线上的点的坐标为（﹣2﹣t，3+），则由两点间的距离公式得：得：t=，∴距离等于的点的坐标是：（﹣3，4）或（﹣1，2），故答案为；（﹣3，4）或（﹣1，2）．点评：本小题主要考查直线的参数方程、两点间距离公式的应用、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，方程思想、化归与转化思想．属于基础题．15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：把直线和圆的极坐标方程化为极坐标方程，利用直线和圆相交的性质得到×1=﹣1，解得m的值，可得中点A 的直角坐标，再化为极坐标．解答：解：直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0即x﹣y+2=0，曲线C：ρ=2 即=2，即x2+y2=4，表示以原点O为圆心，以2为半径的圆．设弦的中点为A（m，m+2），则由OA垂直于直线可得×1=﹣1，解得m=﹣1，故弦的中点为A（﹣1，1），它的极坐标为，故答案为．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的极坐标，直线和圆相交的性质，属于基础题．16．（5分）实数x、y满足3x2+2y2=6x，则的最大值为2．考点：椭圆的参数方程；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；坐标系和参数方程．分析：3x2+2y2=6x，配方得，3（x﹣1）2+2y2=3，令x=1+cosα，y=sinα，α∈[0，2π），则=，由三角函数的同角公式，和余弦函数的值域，以及二次函数的性质即可得到最大值．解答：解：3x2+2y2=6x，配方得，3（x﹣1）2+2y2=3，令x=1+cosα，y=sinα，α∈[0，2π），则==•=，由于﹣1≤cosα≤1，则当cosα=1时，取得最大值=2．故答案为：2．点评：本题考查运用椭圆的参数方程求最值的方法，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：（17题10分，18题至22题各12分）17．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．解答：解：（1）直线的参数方程为，即．（5分）（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必的热点问题．18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程消去参数，化为普通方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线y=x﹣m的距离d，再由弦长公式求得d，再根据这两个d相等，从而求得m的值．解答：解：（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程是（t是参数），消去参数化为普通方程为y=x﹣m．（Ⅱ）曲线表示一个圆，圆心（2，0）、半径为2，求出圆心（2，0）到直线y=x﹣m的距离为d=，再由弦长公式求得d==，故有=，求得m=1，或m=3．点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．19．（12分）已知过点P（1，﹣2），倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m（1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由点斜式方程得到直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次方程，由判别式大于0，解出即可；（2）由（1）运用韦达定理，以及弦长公式，列方程，解出即可．解答：解：（1）由已知可得直线l：y+2=（x﹣1），联立得x2﹣x++2﹣m=0，因为有两个交点，所以﹣4（+2﹣m）＞0，解得m＞；（2）设直线l交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1+x2=，x1x2=+2﹣m，则|AB|===，解得，m=．点评：本题考查抛物线的方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式解题，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；综合题．分析：（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，最后再化成普通方程即可；（2）将直线的参数方程代入y=x2得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得|MA|•|MB|=|t1t2|=2．解答：解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，∴直线l的极坐标方程，（3分）曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，其普通方程是：y=x2（2分）（2）将代入y=x2得，3分∵点M（﹣1，0）在直线上，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=2（2分）．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化、直线的参数方程，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数），经坐标变换（a＞0，b＞0）后所得曲线记为C．A、B是曲线C上两点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的普通方程；（2）求证：点O到直线AB的距离为定值．考点：参数方程化成普通方程；伸缩变换．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，根据坐标变换，得到曲线C的参数方程，然后，消去参数，得到其普通方程；（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可．解答：解：（1）∵（a＞0，b＞0），∴，，∴（φ为参数）为曲线C的参数方程．…（3分）消参可得曲线C的普通方程为（a＞0，b＞0）…（6分）（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系．…（7分）所以有，∴=，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），则|AB|=，∴点O到AB直线的距离为==∴点O到AB直线的距离为定值．…（12分）点评：本题重点考查了参数方程、距离公式等知识，属于中档题．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．解答：解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB 的面积为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．。
牡丹江市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
牡丹江市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ） A． B． C． D【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．2． 设集合 A={ x|﹣3≤2x ﹣1≤3}，集合 B 为函数 y=lg （ x ﹣1）的定义域，则 A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．[1，2]C ．[1，2）D ．（1，2]3． △ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c，设向量，，若，则角B 的大小为（ ） A． B．C．D．4． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力． 5． 直线在平面外是指（ ） A ．直线与平面没有公共点 B ．直线与平面相交 C ．直线与平面平行D ．直线与平面最多只有一个公共点6． 过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7． 设f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4，其中a ，b ，α，β均为非零的常数，f （1988）=3，则f （2008）的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．不确定 8． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）A ．0B．C．D ．19． 底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．48π C ．60πD ．72π10．如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7 D ．5 12．设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f（x ）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积S =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．14．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 15．已知函数y=f （x ）的图象是折线段ABC ，其中A （0，0）、、C （1，0），函数y=xf （x ）（0≤x ≤1）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ．16．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．17．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．18．曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设p1为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=﹣1、点（﹣1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题19．（本小题满分10分）已知曲线22:149x yC+=，直线2,:22,x tly t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||PA的最大值与最小值.20．已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，B={y|y=2x，1≤x≤2}，求：（1）集合A，B；（2）（∁U A）∩B．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．22．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．23．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．24．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．牡丹江市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】2．【答案】D【解析】解：由A中不等式变形得：﹣2≤2x≤4，即﹣1≤x≤2，∴A=[﹣1，2]，由B中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：D．3．【答案】B【解析】解：若，则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）=0，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（a+c）=0，化为a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=，故选：B．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．4．【答案】A【解析】5．【答案】D【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．故选D．6．【答案】D【解析】解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为l：x=﹣1，设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EG为直角梯形的中位线知，EG====5，∴EH=EG﹣1=4，则AB的中点到y轴的距离等于4．故选D．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．7． 【答案】B【解析】解：∵f （1988）=asin （1988π+α）+bcos （1998π+β）+4=asin α+bcos β+4=3， ∴asin α+bcos β=﹣1，故f （2008）=asin （2008π+α）+bcos （2008π+β）+4=asin α+bcos β+4=﹣1+4=3，故选：B ．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．8． 【答案】C 【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos （45°﹣15°） =cos30°=．故选：C ．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9． 【答案】【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ， 则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2， 又V 四棱锥P －ABCD ＝13S 矩形ABCD ·PO＝13abR ≤23R 3. ∴23R 3＝18，则R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A. 10．【答案】D【解析】解：∵P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，∴sin θcos θ＜0，cos θ＞0，∴sin θ＜0， ∴θ是第四象限角． 故选：D ．【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．11．【答案】C 【解析】试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,,842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以为首项，12为公比的等比数列，则不等式1212111n n a a a a a a +++≤+++等价为()1181122811212n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，整理，得722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈，故选C. 1考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式.12．【答案】B【解析】解：A 项定义域为[﹣2，0]，D 项值域不是[0，2]，C 项对任一x 都有两个y 与之对应，都不符．故选B ．【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．二、填空题13．【答案】114．【答案】 ﹣2 ．【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数， 得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．15．【答案】．【解析】解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2∴f（x）=∴y=xf（x）=y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：16．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．17．【答案】[4，16]．【解析】解：直线l：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα•x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．18．【答案】②③④．【解析】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|=k2，对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|∴|PA|+|PB|≥2=2k，③正确；对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2．所以④正确．故答案为：②③④．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．三、解答题19．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，26y x =-+；（2.【解析】试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值.试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-．则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取.当sin()1θα+=时，||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程. 20．【答案】【解析】解：（1）由，解得0≤x ≤3A=[0，3]，由B={y|y=2x，1≤x ≤2}=[2，4]，（2））∁U A=（﹣∞，0）∪[3，+∞）， ∴（∁U A ）∩B=（3，4]21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2，且离心率e=，∴，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，，设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），则直线F1M：，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），∴=||=15×||=180×||，令μ=∈[1，），则=180×，∵y==在[1，）上是增函数，∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．22．【答案】【解析】解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．23．【答案】【解析】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）由，可得，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．24．【答案】【解析】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n=512，解得n=9；设T r+1为常数项，则：T r+1=C9r=C9r2r，由﹣r=0，得r=3，∴常数项为：C9323=672；（2）令x=1，得（1+2）9=39．【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题1.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点为，那么抛物线的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据焦点位置设抛物线方程，再根据焦点坐标确定p.【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点为，所以可设抛物线的方程为，因为所以，选C.【点睛】本题考查抛物线标准方程，考查基本求解能力.属于基础题.2.已知圆的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆的方程为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件设圆的标准方程，再代入点（-1，-1）坐标得半径，即得结果.【详解】因为圆的圆心坐标为(2,-3),所以设圆的方程为，因为圆过点(-1,-1)，所以，即，展开得，选D.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本求解能力. 属于基础题.3.圆的参数方程为，(为参数，)，若Q(－2，2)是圆上一点，则对应的参数的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将点坐标代入圆参数方程，解得参数即可.【详解】因为Q(－2，2)是圆上一点，所以，，因为，所以，选B.【点睛】本题考查圆的参数方程，考查基本求解能力. 属于基础题.4.以下四个命题中，正确的是（）A. 若,则三点共线B. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C.D. 为直角三角形的充要条件是【答案】B【解析】【分析】根据向量表示确定A错误，根据基底条件确定B正确，根据向量数量积定义得C错误，根据直角三角形直角确定D错误.【详解】因为中，所以三点不一定共线，因为为空间的一个基底，所以不在同一个平面，因此也不在同一个平面，从而构成空间的另一个基底，因为,所以不恒成立，因为为直角三角形时A角不一定为直角，即不一定成立，所以D错误，综上选B.【点睛】本题考查向量表示、基底概念、向量数量积定义，考查基本分析求解能力. 属于基础题.5.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，＝（）A. 5B. 3C. 7D. 3或7【答案】D【解析】【分析】根据双曲线定义求.【详解】因为,即,所以＝3或7，选D.【点睛】本题考查双曲线定义，考查基本求解能力. 属于基础题.6.已知椭圆，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是2，是的中点，则的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.【详解】由椭圆定义得，因为，所以因为是的中点，所以=4，选D.【点睛】本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.7.双曲线（）的焦距为4，一个顶点是抛物线的焦点，则双曲线的离心率等于（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据焦距得c，根据抛物线方程得抛物线焦点坐标，结合双曲线顶点得a，最后根据离心率定义求结果.【详解】因为双曲线的焦距为4，所以c=2,因为抛物线的焦点为(1,0)，所以a=1,因此离心率为,选A.【点睛】本题考查抛物线有关性质以及双曲线离心率，考查基本求解能力. 属于基础题.8.已知点，，直线相交于点，且它们的斜率之积为.则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设P点坐标,根据斜率公式列方程，化简得轨迹方程，最后根据范围去杂.【详解】设,则，选A.【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，考查基本化简求解能力. 属于基础题.9.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】设P点坐标,根据向量数量积化简，最后根据点P在椭圆上消元，根据二次函数性质求最值.【详解】因为点和点分别为椭圆的中心和左焦点，所以O(0,0),F(-1,0)设,则,因为点P在椭圆上，所以,因此，因为对称轴，所以当时取最大值6，选C.【点睛】本题考查函数最值以及向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力. 属于中档题.10.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数（）A. 至多一个B. 2C. 1D. 0【答案】B【分析】先根据直线和圆没有交点，得关系，再根据关系确定点位置，最后根据点与椭圆位置关系确定交点个数.【详解】因为直线和圆没有交点，所以，,因此点在椭圆内部，从而过点的直线与椭圆必有两个交点，选B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系以及点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力. 属于中档题.11.已知直线与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据抛物线定义得A,B横坐标关系，进而求得B点坐标，最后根据斜率公式得结果.【详解】设，因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题考查抛物线定义以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力. 属于中档题.12.双曲线（）的左、右焦点分别为，过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【解析】【分析】先根据双曲线定义求，再利用余弦定理得，根据与圆相切得，联立方程解得，即得渐近线方程.【详解】根据双曲线定义得,,在三角形，又与圆相切，所以，因此，（舍负），因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线方程为，选C.【点睛】本题考查双曲线定义、余弦定理应用，双曲线渐近线方程，考查综合分析求解能力. 属于较难题.二、填空题13.点C的极坐标是,则点C的直角坐标为______________【答案】【解析】【分析】根据得结果.【详解】因为点C的极坐标是,所以，点C的直角坐标为【点睛】本题考查极坐标化直角坐标. 属于基础题.14.若，，，则_____【答案】3【解析】【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果.【详解】，【点睛】本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题.15.已知，，，则_____【答案】【解析】【分析】先根据向量减法化简，再根据向量的模的定义以及向量数量积定义求结果.【详解】=【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量模的定义，考查基本求解能力. 属于基础题. 16.已知抛物线，作直线，与抛物线交于两点，为坐标原点且，并且已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于两点，且，则的最小值为___________【答案】【解析】【分析】先联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及解得p，再设P,E,F坐标，表示，根据条件利用基本不等式求最值.【详解】设则由得，所以因为，所以，，根据对称性不妨设，由PE=PD得，因此，当且仅当时取等号，综上的最小值为.【点睛】本题考查求抛物线方程、建立函数关系式以及利用基本不等式求函数最值，考查综合分析求解能力. 属于难题.三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17.经过点M（2,1）作直线l交椭圆于A,B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程。
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题
2018-2019学年度第二学期期末试题高二 理科 数学试卷考试时间:120分钟 分值：150分 命题人：王江云一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合P ＝{x∈R|0≤x≤4}，Q ＝{x∈R||x|<3}，则P∪Q＝( ) A ．[3，4] B ．(－3，4] C ．(－∞，4] D ．(－3，＋∞)2.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件3．已知集合A ＝{x|y ＝－x 2＋x ＋6，x ∈Z}，B ＝{y|y ＝5sin(x ＋φ)}，则A∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4.函数f(x)=e xln x 在x=1处的切线方程是( )A. y=e(x-1)B.y=ex-1C. y=2e(x-1)D.y=x-e 5.若复数i m m m m z )23()232(22+-+--=是纯虚数，则实数的值为( ) A .1或2 B. 21-或2 C.21- D. 2 6．五位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名 方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种D ．32种7．设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞8.函数f(x)=2x 3+9x 2-2在区间[-4,2]上的最大值和最小值分别为( ) A.25,-2 B. 50,-2 C. 50,14 D.50,-14 9．函数||2sin 2x y x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A ．cos 2,y x x R =∈ B ．2log ||,0y x x R x =∈≠且C ．,2x xe e y x R --=∈ D ．31y x =+ 11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( )A.B. 0C. 2D. 5012.设函数f(x)满足x 2f ′(x)＋2xf(x)=错误!未找到引用源。
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题201901230255
11、 过 抛 物 线 y 4 x 的 焦 点 的 直 线 l 交 抛 物 线 于 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) 两 点 ， 如 果
x1 x2 6 ， 则 PQ
D． 8 12、已知 x A．1
(
)
A． 9
B． 6
C．7
5 1 ，则函数 y 4 x 2 的最大值是 4 4x 5
B．2
C．3
D．
1 2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13、极坐标方程 cos 化为直角坐标方程为 14、直线过点 ( 3,4) ，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程：
x2 y 2 15、椭圆 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 的最大距离是 16 4
2
18、(本题 12 分) 设 {an } 是公比为正数的等比数列， a1 2, a3 a2 4 .(Ⅰ )求 {an } 的通项公式 ;(Ⅱ )设
{bn } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 {an bn } 的前 n 项和 Sn .
19． （本题 12 分） 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c 且 cos A （1）若 b c 6 ，且 b < c ，求 b, c 的值． （2）求 ABC 的面积的最大值。
6、要得到 y sin(2 x 位
x2 y2 7、 已知 P 是椭圆 1 上一点， F1、 F2 是焦点，∠ F1PF2=90° ，则△ F1PF2 的面积 25 16
( ) B．12 C．14 D． 16
1
A．10
8、 等差数列 {an } 的前 10 项和为 30,前 20 项和为 100,则它的前 30 项 和是 A．210 B．170 C．130 D．260 ) D. 1 ）
2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合,集合，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合,集合，则，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．函数y＝的定义域为()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数解析式有意义，列出关系式，即可求解函数的定义域，得到答案.【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，列出函数解析式有意义的条件是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．若函数，则函数定义域为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数解析式有意义，列出相应的不等式，借助对数函数的形式求解，即可求解函数的定义域，得到答案. 【详解】 由题意，函数有意义，则满足，即，解得，即函数的定义域为，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，及对数函数的性质的应用，其中解答中根据函数的解析式，列出函数解析式有意义的条件是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．已知cosα＝23，则sin2α等于 ( ) A ．59 B ．59±C ．D ．【答案】A【解析】sin 2α＝1－cos 2α＝59. 故选A.5．设f （x ）＝lgx ＋x －3，用二分法求方程lgx ＋x －3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f （2．25）＜0，f （2．75）＞0，f （2．5）＜0，f （3）＞0，则方程的根落在区间（ ）A ．（2，2．25）B ．（2．25，2．5）C ．（2．5，2．75）D ．（2．75，3） 【答案】C【解析】试题分析：因为f （2．25）＜0，f （2．75）＞0，由零点存在定理知，在区间).,.(752252内必有根，利用二分法得f （2．5）＜0，由零点存在定理知，方程的根在区间).,.(75252，选C.【考点】零点存在定理、二分法.6．是幂函数，且在上是减函数，则实数（）A．2 B．C．4 D．2或【答案】A【解析】由题意，函数是幂函数，求得或，再根据时，函数不是单调函数，当时，函数，满足题意，即可得到答案.【详解】由题意，函数是幂函数，则，解得或，当时，函数，此时函数不是单调函数，舍去；当时，函数，此时函数在上是单调递减函数，故选A.【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟记幂函数的基本概念，以及幂函数的单调性的判定方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．已知,若,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，函数,求得,进而可求解的值.【详解】由题意，函数,由,即,得,则，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的求解问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性和函数的解析式的应用，合理应用函数的奇偶性和准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．下列函数中值域是的是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，对于A 中，函数的值域为，对于B 中，函数值域为，对于C 中，函数值域为，对于D 中，函数值域为，即可得到答案.【详解】由题意，对于A 中，函数，即值域为，，不满足题意； 对于B 中，当时，函数，即值域为，不符合题意；对于C 中，函数，其中，所以其值域为，符合题意； 对于D 中，当时，函数，即值域为，不符合题意；综上可知，只有C 符合，故选C. 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的性质，以及函数的值域的求解，其中熟记基本初等函数的性质，及函数的值域的求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力.9．已知角α终边经过点12P ⎫⎪⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．12 B C D ．12± 【答案】B【解析】由于1,r OP x ===，所以由三角函数的定义可得cos x r α==，应选答案B 。
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理考试时间:120分钟 分值:150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1 D ．－373．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．① D ．②③ 4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞) 6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0B ．⎠⎛1 0x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝07．余弦函数是偶函数，f (x )＝cos(x ＋1)是余弦函数，因此f (x )＝cos(x ＋1)是偶函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确8.设复数z 满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( )A .2+3iB .2-3iC .3+2iD .3-2i9.若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞) 10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．3OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rB ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 011．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．16．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M＝1PO2，N ＝1PA2＋1PB2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y＝5x，求：(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．18．(本小题满分12分) 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，1f(x)d x＝－2，求a、b、c的值．⎠⎛19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：(1)函数f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间．20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BA⊥AC，SA⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥SB；（Ⅱ）若AB＝AC＝SA＝3，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC 与平面AEF所成角的正弦值．21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，求证：；求直线AM与平面所成角的正弦值．22．(本小题满分12分) 已知函数 f (x )=ln(1+x ) - ln(1-x ), (1)求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (2)求证:当x ∈(0,1)时,f (x )>2;(3)设实数k 使得f (x )>k 对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值.2019-2020学年度第一学期期末试题答案高二理科数学试卷考试时间:120分钟 分值:120分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，在第四象限．答案： D2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1D ．－37解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－37.答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①D ．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案： C6．下列计算错误的是( )A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0B ．⎠⎛1 0x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D7．余弦函数是偶函数，f (x )＝cos(x ＋1)是余弦函数，因此f (x )＝cos(x ＋1)是偶函数，以上推理(C )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误． 8.设复数z 满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( A )A .2+3iB .2-3iC .3+2iD .3-2i9.若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( D )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （A ）A ．3OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rB ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++D ．=+++OM11．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析： 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． 答案： B12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(A )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－ 1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞) 解析：记函数g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，因为当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，故当x ＞0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R)是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)单调递减，且g (－1)＝g (1)＝0.当0＜x ＜1时，g (x )＞0，则f (x )＞0；当x ＜－1时，g (x )＜0，则f (x )＞0，综上所述，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．解析： z ＝－1＋i1＋i －1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.答案： 3x ＋y ＋6＝015．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0 ∴b ＝0，∴f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412，∴a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3. 答案： －316．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO2，N ＝1PA2＋1PB2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ， ∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△PAB ＋S 2△PBC ＋S 2△PAC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12PA ·PB ·PC ，∴S 2△ABC ·PO 2＝14PA 2·PB 2·PC 2④，③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0.∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，则所求切线方程为y －254＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2516，即2x －y ＋258＝0.(2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为52x 1.又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1， ∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4. ∴切点为M (4,10)，斜率为54，∴切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.18．(本小题满分12分) 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， 又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－6，∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6， ∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BA ⊥AC ，SA ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：AC ⊥SB ；（Ⅱ）若AB ＝AC ＝SA ＝3，E 为线段BC 的中点，F 为线段SB 上靠近B 的三等分点，求直线SC 与平面AEF 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）∵SA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，又BA⊥AC，SA∩BA＝A，∴AC⊥平面SAB，又SB⊂平面SAB，∴AC⊥SB．（Ⅱ）以AB、AC、AS为x轴y轴z轴建立如图所示坐标系，则A（0，0，0），S（0，0，3），C（0，3，0），E（，，0），F（2，0，1），∴＝（，，0），＝（2，0，1），＝（0，﹣3，3），设＝（x，y，z）为平面AEF的法向量，，∴，∴，令x＝﹣1，得一个法向量＝（﹣1，1，2），cos＜，＞＝＝＝即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为．21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，求证：；求直线AM与平面所成角的正弦值．【解析】如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，2，，，，，，即，；轴面，面的法向量取0，，设直线AM与平面所成角为，，直线AM与平面所成角的正弦值为．22．(本小题满分12分)已知函数 f(x)=ln(1+x) - ln(1-x),(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f'(x)=,f'(0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)令g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f'(x)-2(1+x2)=.因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时,f(x)>2.(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)-k,则h'(x)=f'(x)-k(1+x2)=.所以当0<x<时,h'(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减.当0<x<时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<k.所以当k>2时,f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.。
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题
211黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题考试时间: 120分钟 分值: 150分 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分)1、已知全集U R =，集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =≥，则()U A B =（ ) A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x <≤ C ． {|12}x x ≤< D ．{|2}x x ≤2、已知(,3)a x =， (3,1)b =， 且a b ⊥， 则x 等于 ( ）A ． 1B ．－1C ．9D ．－93、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( ） ABC ．12 D ．134、双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（ ） A ．x y 49±= B ．x y 94±= C ．x y 32±= D ． x y 23±=5、下列说法错误．．的是 （ ） A ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒"的充分不必要条件； B ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题． C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<,则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥;D ． 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠,则0ab ≠”6、要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移3π个单位B ．向右平移23π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移23π个单位7、已知P 是椭圆x y 2225161+=上一点，F 1、F 2是焦点，∠F 1PF 2=90°,则△F 1PF 2的面积（ ) A ．10 B ．12 C ．14 D ． 16的前30项和是8、等差数列{}n a 的前10项和为30,前20项和为100，则它A ．210B ．170C ．130D ．2609、某三棱锥的三视图如图7所示，则该三棱锥的体积是 （ ） A.16B. 23 C 。
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2018—2019学年度第一学期期中试题数学学科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.已知全集U R =，集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =?，则()U A B ?ð（ ）A. {|1}x x ³B. {|12}x x <?C. {|12}x x ?D. {|2}x x £【答案】C 【解析】 【分析】由题意，全集U R =，根据集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =?，求得A B È，再根据补集的运算，即可求解.【详解】由题意，全集U R =，集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =?， 则{|1A B x x ?<或2}x ³，所以(){|12}U A B x x ??ð，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知(,3)a x =v , (3,1)b =v , 且a b ^v v , 则x 等于 ( )A. 1B. －1C. 9D. －9 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的垂直的性质，利用向量的数量积等于零，即可求解. 【详解】由题意，向量(,3)a x =v,(3,1)b =v, 因为a b ^vv, 所以3310a bx ?+?vv ，解得1x =-，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的垂直的性质和向量的数量积的运算问题，其中解答中熟向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）12 D. 13【答案】B 【解析】 【分析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，则椭圆的离心率为2c e a ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用,,a b c 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ）A. 94y x =?B. 49y x =?C. 23y x =?D. 32y x =? 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程即可．【详解】双曲线22149x y -=的渐近线方程为：y=±32x ．故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题． 5.下列说法错误．．的是 （ ） A. “1sin 2q =”是“30q =?”的充分不必要条件； B. 如果命题“p Ø”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题． C. 若命题p ：2,10x R x x $?+<，则2:,10p x R x x ??+?；D. 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ¹，则0ab ¹”【答案】A 【解析】 【分析】对于A 中，“1sin 2q =”是“030q =”的必要不充分条件；对于B 中，根据简单的复合命题的真假关系，可得是正确的；对于C 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得是正确额的；对于D 中，根据命题的否命题的定义，可得是正确； 【详解】对于A 中，“1sin 2q =”是“030q =”的必要不充分条件，所以不正确； 对于B 中，如果命题“p Ø”与命题“p 或q ”都是真命题，可得p 是假命题，q 一定是真命题，所以是正确的；对于C 中，若命题2:,10p x R x x $?+<，，根据全称命题与存在性命题的关系， 可得2:,10p x R x x ??+?是正确的；对于D 中，根据命题的否命题的定义，可知命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ¹，则0ab ¹”是正确；故选A.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记充要条件的判定方法、复合命题的真假判定、全称命题与存在性命题的关系，以及否命题的概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.要得到2sin(2)3y x p=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A. 向右平移3p 个单位 B. 向右平移23p 个单位 C. 向左平移3p个单位 D. 向左平移23p 个单位【答案】A 【解析】 【分析】由题意，将函数sin 2y x =的图像向右平移3p 个单位，得2sin(2)3y x p =-，得到答案.【详解】由题意，将函数sin 2y x =的图像向右平移3p个单位，得2sin[2()]sin(2)33y x x p p=-=-，所以只需将函数sin 2y x =的图象向右平移3p 个单位，即可得到2sin(2)3y x p =-，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数的图象变换的规则是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知P 是椭圆22+12516x y =上一点，F 1、F 2是焦点，∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积( )A. 10B. 12C. 14D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】设12,PF m PF n ==，在12Rt PF F D 中，由勾股定理可得()2222m n c +=，利用椭圆的定义得122PF PF a+=，即2m n a +=，联立解答mn 即可. 【详解】由椭圆22+12516x y =，可得2222225,16,9a b c a b ===-=，所以5,4,3a b c ===，所以12,PF m PF n ==， 在12Rt PF F D 中，由勾股定理可得()222236m n c +==，又122PF PF a +=，所以10m n +=， 联立221036m n m n ì+=ïí+=ïî，解得32mn =，所以12PF F D 的面积1162S mn ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，及其简单的几何性质的应用，同时椭圆的定义的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.等差数列{}n a 的前10项和为30,前20项和为100,则它的前30项和是 A. 210 B. 170 C. 130 D. 260 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质，232,,n n n n n S S S S S --成等差数列，即可得出.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质，232,,n n n n n S S S S S --成等差数列， 所以30301002(10030)S +-=?，解得30210S =，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和及其性质，其中熟记等差数列通项公式和前n 项的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( )A.16 B. 23 C. 13D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由几何体的三视图可知，该三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2的三棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知该三棱锥表示底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥， 所以其体积为11111123323V Sh ==创创=，故选C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 10.已知0.32a =，2log 0.3b =，20.3c =，则（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b << 【答案】C 【解析】利用指数函数，对数函数的单调性，直接求解即可.【详解】由题意，可得0.30221a =>=，22log 0.3log 10b =<=，200.30.31c =<=， 即1a >，0b <，(0,1)c Î，所以b c a <<，故选C.【点睛】本题主要考查了指数幂与对数式的比较大小问题，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ = ( )A. 9B. 6C. 7D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的方程，算出焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程为24y x =，可得2412pp =?， 所以抛物线的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 根据抛物线的定义，可得11221,122p pPF x x QF x x =+=+=+=+， 所以12()2PF QF x x +=++，又因为PQ 过抛物线的焦点F ，且126x x +=， 所以12()28PQ PF QF x x =+=++=，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，以及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 12【解析】 【分析】由题意，54x <，则1540,054x x->>-，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，54x <，则1540,054x x->>-，则11142453[(54)]331454554y x x x x x x =-+=-++=--++?=---，当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立， 所以函数14245y x x =-+-的最大值为1，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最大值问题，其中解答中根据题设条件，合理构造基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.极坐标方程cos r q =化为直角坐标方程为___________ 【答案】22x y x += 【解析】 【分析】由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî，代入即可求解. 【详解】由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî，则2cos cos r q rr q =?，所以22x y x +=.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.直线过点(3,4)-，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程：___________【答案】430x y +=或10x y +-= 【解析】 【分析】根据题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线的方程. 【详解】由题意，当直线过原点时，此时所求直线的斜率为43k =-，所以所求直线的方程为43y x =-，即430x y +=； 当直线不过原点时，设直线的方程为1(0)x ya a a+=?，又由直线过点(3,4)-， 代入得3411a a a-+=?，即直线的方程为10x y +-=， 所以直线过点(3,4)-，且在两坐标轴上的截距相等方程为430x y +=或10x y +-=. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据直线在坐标轴上的截距相等，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.15.椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离是_______【解析】 【分析】设与20x y +-=平行且与椭圆221164x y +=相切的直线方程为20x y c ++=，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c 的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线20x y c ++=与椭圆221164x y +=相切．由2220,1,164x y c x y ì++=ïíï+=ïî消去x 整理得2284160y cy c ++-=. 由()216320c D=-=得c =?.当c =(c =-舍去)．即x+2y+42=0与椭圆221 164x y+=相切,椭圆221164x y+=上的点到直线220x y+-=的最大距离即为两条平行线之间的距离:222421012d--==+【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.16.在极坐标中，已知圆C经过点(2)4Pp，，圆心为直线3sin3pr q骣琪-=-琪桫与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．【答案】解：∵圆C圆心为直线3sin3pr q骣琪-=-琪桫与极轴的交点，∴在3sin32pr q骣琪-=-琪桫中令=0q，得1r=。
牡丹江市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
牡丹江市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．下面的结构图，总经理的直接下属是（）A．总工程师和专家办公室B．开发部C．总工程师、专家办公室和开发部D．总工程师、专家办公室和所有七个部2．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x∈R，2x2﹣1＞0x=-，则输出的结果为（）4．执行下面的程序框图，若输入2016A．2015 B．2016 C．2116 D．20485． 已知向量||=， •=10，|+|=5，则||=（ ）A ．B ．C ．5D ．256． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）8． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.9． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）A ．4B ．2C ．D ．210．奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞，，C ．()1-∞-，D ．()1+∞，11．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72C ．D ．92【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．12．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．二、填空题13．函数y=lgx 的定义域为 ．14．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ．15．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________．16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m ，则山高MN= m ．17．在三角形ABC 中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P 为BC 中点，则三角形ABP 的周长为 ．18．在△ABC中，已知=2，b=2a ，那么cosB 的值是 ．三、解答题19．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2ABC π∠=，AD =33AB DC ==．（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若PA PD ==PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．20．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且12||2F F =，点ABCDP在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与以原点为圆心，b 为半径的圆上相切于第一象限，切点为M ，且直线l 与椭圆交于P Q 、两点，问22F P F Q PQ ++是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．21．已知函数f （x ）=|x ﹣a|．（1）若f （x ）≤m 的解集为{x|﹣1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值． （2）当a=2且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f （x ）+t ≥f （x+2）．22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求tan tan AB的值；（Ⅱ）若a =4B π=，求ABC ∆的面积．23．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．24．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．（1）若cos∠ADC=，求AB的值；（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？牡丹江市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】C【解析】解：按照结构图的表示一目了然， 就是总工程师、专家办公室和开发部． 读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．故选C ．【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．2． 【答案】B【解析】解：根据题意，M ∩N={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}∩{（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}═{（x ，y ）|} 将x 2﹣y=0代入x 2+y 2=1， 得y 2+y ﹣1=0，△=5＞0，所以方程组有两组解，因此集合M ∩N 中元素的个数为2个， 故选B ．【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题3． 【答案】C【解析】解：命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0， 则其否命题为：∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0，故选C ；【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；4． 【答案】D 【解析】试题分析：由于20160-<，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到2x =，从而可得1y =，由于20151>，则进行2y y =循环，最终可得输出结果为2048．1考点：程序框图． 5． 【答案】C【解析】解：∵；∴由得，=；∴； ∴．故选：C ．6． 【答案】B【解析】解：由于α是△ABC 的一个内角，tan α=，则=，又sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=，cos α=（负值舍去）．则cos （α+）=cos cos α﹣sin sin α=×（﹣）=．故选B ．【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．7． 【答案】C【解析】解：易知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，在定义域R +上单调递增．因为当x →0时，f （x ）→﹣∞；f （1）=﹣4＜0；f （2）=ln2﹣2＜0；f （3）=ln3＞0；f （4）=ln4+2＞0． 可见f （2）•f （3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点． 故选C ．8． 【答案】C.【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C. 9． 【答案】A【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），∴AB 是正方体的体对角线，AB=，设正方体的棱长为x ，则，解得x=4．∴正方体的棱长为4，故选：A ．【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．10．【答案】B 【解析】试题分析：由()()()()()212102102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()()11-∞-+∞，，．考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 11．【答案】B【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O EP A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为12PC ==可得34243316ππ=，解得72PA =，故选B ．12．【答案】C【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =262创?1123+22622创创?15=，故选C ．4646101011326E VD CBA二、填空题13．【答案】{x|x＞0}．【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．14．【答案】（x﹣1）2+（y+1）2=5．【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，∴a+b=0，①且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r2﹣d2=，即r2﹣（）2=③；由方程①②③组成方程组，解得；∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．15．【答案】2【解析】16．【答案】150【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得，，因此AM=100m．在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由得MN=100×=150m．故答案为：150．17．【答案】7+【解析】解：如图所示，设∠APB=α，∠APC=π﹣α．在△ABP与△APC中，由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα，AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），∴AB2+AC2=2AP2+，∴42+32=2AP2+，解得AP=．∴三角形ABP的周长=7+．故答案为：7+．【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【答案】．【解析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．b=2a，∴==．∴cosB=．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解： （Ⅰ）当13PE PB =时，//CE 平面PAD . 设F 为PA 上一点，且13PF PA =，连结EF 、DF 、EC ， 那么//EF AB ,13EF AB =. ∵//DC AB ，13DC AB =，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ． 又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分） （Ⅱ）设O 、G 分别为AD 、BC 的中点，连结OP 、OG 、PG ，∵PB PC =，∴PG BC ⊥，易知OG BC ⊥，∴BC ⊥平面POG ，∴BC OP ⊥．又∵PA PD =，∴OP AD ⊥，∴OP ⊥平面ABCD ． （8分）建立空间直角坐标系O xyz -（如图），其中x 轴//BC ，y 轴//AB ，则有(1,1,0)A -,(1,2,0)B , (1,2,0)C -．由(6)(2PO ==-=知(0,0,2)P ． （9分） 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,2,2)PB =-,(2,0,0)CB =u r则00n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即22020x y z x +-=⎧⎨=⎩，取(0,1,1)n =. 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，(1,1,2)AP =-u u u r ，则||3sin |cos ,|||||AP n AP n AP n θ⋅=<>==⋅ ∴3πθ=，∴直线PB 与平面PAD 所成角为3π. （13分）20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．21．【答案】【解析】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a ﹣m ≤x ≤a+m ， ∵f （x ）≤m 的解集为{x|﹣1≤x ≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f （x ）=|x ﹣2|，则不等式f （x ）+t ≥f （x+2）等价为|x ﹣2|+t ≥|x|．当x ≥2时，x ﹣2+t ≥x ，即t ≥2与条件0≤t ＜2矛盾．当0≤x ＜2时，2﹣x+t ≥x ，即0，成立．当x ＜0时，2﹣x+t ≥﹣x ，即t ≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．22．【答案】【解析】（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由(31)cos 2cos a B b A c +-=及正弦定理得(31)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B +-==， （3分）∴3sin cos 3sin cos A B B A =，∴tan 3tan A B=（6分） （Ⅱ）tan 3tan 3A B ==，3A π=，6sin sin 42sin sin 3a Bb A ππ===， （8分） 62sin sin()4C A B +=+=， （10分） ∴ABC ∆的面积为11621sin 62(33)2242ab C +=⨯⨯⨯=+（12分） 23．【答案】【解析】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x ＜1}∴A ∩B={x|0＜x ＜1}（2）若A ∩B=∅当A=∅时，有a ﹣1≥2a+1∴a ≤﹣2当A ≠∅时，有∴﹣2＜a≤或a≥2综上可得，或a≥2【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．24．【答案】【解析】（本小题满分12分）解：（1）∵，∴，∴…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分）∵，…3分∴，…5分（2）∵∠BAD=θ，∴， (6)由正弦定理有，…7分∴，…8分∴，…10分=，…11分当，即时f（θ）取到最大值9．…12分【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．。
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文201905220262
2018-2019学年度第二学期期中试题高二文科数学试卷考试时间:120分钟 分值：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为( )A ．40B ．48C ．50D ．802．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a3．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程为必过点( )∧∧∧+=a x b y A.(2,2) B. (1.5 ,4) C.(1.5 ,0) D.(1,2)4. 从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（ ）A. A 与B 互斥且为对立事件B. B 与C 互斥且为对立事件C. A 与C 存在有包含关系D. A 与C 不是对立事件5. 从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ）．A. 1B.21 C. 31 D. 6．现有五个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是（ ）．A. 101 B. 53 C. 103 D. 1097．下列函数中，在区间 上为减函数的是( )(1,1)-32A ．B ．C ．D ． 11y x=-cos y x =ln(1)y x =+2x y -=8. 若命题“p ∧q ”为假，且“¬p ”为假，则( )A ．p 或q 为假B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假9.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A ．∀x ∈R ，|x |>0B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤010．下列各式：①；②；③；④；1{0,1,2}∈{0,1,2}∅⊆{1}{0,1,2004}∈{0,1,2}{0,1,2}⊆⑤，其中错误的个数是（ ）{0,1,2}{2,0,1}= A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．三个数，，之间的大小关系是（ ）23.0=a 3.0log 2=b 3.02=c A ．a < c < b B ．a < b < c C ． b < a < c D ． b < c < a12．已知函数则下列结论正确的是（ ）()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f A ．是偶函数 B ．的值域为 ()x f ()x f [)+∞-,1C ．是周期函数 D ．是增函数 ()x f ()x f二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．将某班的60名学生编号为：01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________． 14．掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是__________________ 15．如右图，在一个边长为a 、b （a ＞b ＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为31a 与21a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.16．函数的值域为___ ____.1313)(+-=x x x f三、解答题(共6小题，共70分)17．（10分）过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， P α22121x y +=,M N 求的最小值及相应的的值。
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
2018-2019学年度第二学期期末试题高二理科数学试卷一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合{}|04P x R x =∈≤≤，{}|3Q x R x =∈<，则P Q =U （ ） A. []3,4B. (]3,4-C. (],4-∞D.()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先解含绝对值不等式可化简集合Q 得()3,3Q =-，然后由并集的定义可求得P Q ⋃。
【详解】{|3}(3,3)Q x R x =∈<=- 。
由题意得，[]0,4P =，()3,3Q =-，∴(]3,4P Q ⋃=-，故选B .【点睛】高考对集合的考查，难度不大，一般都是以小题的形式考查。
本题考查含绝对值不等式的解法及集合的运算。
意在考查学生的运算能力和转化能力。
2.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3.已知集合A ＝{x|y B ＝{y|y ＋φ)}，则A∩B 中元素的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用定义域的的要求可以求出A 集合，利用三角函数的性质求出B 集合，再计算A 与B 的交集的元素个数即可.【详解】集合A 满足－2x ＋x ＋6≥0，(x －3)(x ＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B ＝[，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B 中元素个数为5. 【点睛】本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.4.函数()ln xf x e x =在1x =处的切线方程是()A. ()1y e x =-B. 1y ex =-C. ()21y e x =-D.e y x =-【答案】A 【解析】求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【详解】求曲线y ＝e xlnx 导函数，可得f ′（x ）＝e xlnx xe x+∴f ′（1）＝e ，∵f （1）＝0，∴切点（1，0）．∴函数f （x ）＝e xlnx 在点（1，f （1））处的切线方程是：y ﹣0＝e （x ﹣1）， 即y ＝e （x ﹣1） 故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查．5.若复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+是纯虚数，则实数m 的值为()A. 1或2B. 12-或2 C. 12-D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义可得2m 2﹣3m ﹣2＝0且m 2﹣3m +2≠0然后求解． 【详解】∵复数z ＝（2m 2﹣3m ﹣2）+（m 2﹣3m +2）i 是纯虚数 ∴2m 2﹣3m ﹣2＝0且m 2﹣3m +2≠0 ∴m 12=-故选：C ． 【点睛】本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键是要注意m 2﹣3m +2≠0，属于基础题.6.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种【答案】D 【解析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有5232=种，应选D.7.设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A. (]1-∞-，B. ()0+∞，C. ()10-，D. ()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.8.函数()32292f x x x =+-在区间[]4, 2-上的最大值和最小值分别为()A. 25,-2B. 50,-2C. 50,14D. 50,-14【答案】B 【解析】【分析】求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值． 【详解】∵函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2， ∴f ′（x ）＝6x 2+18x ，当x ∈[﹣4，﹣3），或x ∈（0，2]时，f ′（x ）＞0，函数为增函数； 当x ∈（﹣3，0）时，f ′（x ）＜0，函数为减函数；由f （﹣4）＝14，f （﹣3）＝25，f （0）＝﹣2，f （2）＝50，故函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值及函数的单调性问题，属于中档题．9.函数y =2x sin2x 的图象可能是A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x ，因,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A. cos 2y x =，x ∈R B. 2log y x =，x ∈R 且x≠0C. 2x x e e y --=,x ∈RD. 3+1y x =，x ∈R 【答案】B 【解析】【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ， 对于先减后增，排除A ，故选B.考点：函数的奇偶性、单调性.11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A. 50-B. 0C. 2D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．12.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D 【解析】试题分析：Q 函数()f x 满足2'()2()x e x f x xf x x +=，()2'xe xf x x⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2F x x f x =，则()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ϕ=-，则()()()()2'2',x xe x x e F x x xϕϕ-=-=∴在()0,2上单调递减，在()2,+?上单调递增，()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0eF x ϕϕ=-=∴≥.又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,+?单调递增，()f x \既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.在732x⎛⎝的展开式中常数项是__________．【答案】14 【解析】172137722177(2)()(1)2kkkkk kk k T C x x C x----+=-=-⋅⋅⋅ ，令7210,62k k -==，则展开式中得常数项为667(1)214C -⨯⨯=.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式1C r n r rr n T ab -+=,根据所求项的要求，解出r ，再给出所求答案.14.把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，分3步分析：①、让甲分到一班，②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分3步分析： ①、让甲分到一班，只有1种方法；②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，有C 32＝3种安排方法； ③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，有C 32＝3种安排方法；则不同的分法有1×3×3＝9种； 故答案为：9．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排． 15.()02121xx dx -++=⎰_________________．【答案】13【解析】 【分析】根据微积分基本定理计算即可【详解】01-⎰（x 2+2x +1）dx ()(320321111|0[(1)1)1333x x x -⎛⎫⎤=++=-⨯-+-+-= ⎪⎦⎝⎭． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理，关键是找到原函数，属于基础题．16.已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R)，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________. 【答案】4 【解析】'()(1ln )f x a x =+，由()f x 的图像在1x =处的切线方程为20x y -=，易知(1)=2f ，即2b =，'(1)2f =，即2a =，则4a b +=，故答案为4.三解答题(共6小题，共70分)17.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcos ()4πθ-＝22.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【答案】（1）2213x y += （2）32【解析】试题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C 的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线l 的距离的最大值．试题解析：⑴由cos 224πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得()cos sin 4ρθθ+=， ∴:l 40x y +-=由3x cos y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得:C 2213x y +=⑵在:C 2213x y +=上任取一点()3cos ,sin Pθθ，则点P 到直线l 的距离为2sin 43cos sin 432d πθθθ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==≤32． 7分∴当sin =3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1，即56θπ=-时，max 32d =. 10分考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.18.在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望； (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【答案】(Ⅰ)X 的分布列数学期望4EX =；(Ⅱ)3281. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先定出X 的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1种情况有24C 种可能，第2中情况有14C （或34C ）种可能.将上述三种情况的概率相加即得到教师甲获胜的概率.试题解析：(Ⅰ)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知，2~(6,)3X B6621()()()(0,1,2,3,4,5,6)33kk k P X k C k -==⋅⋅=3分X 的分布列为：6分12916(01112260316042405192664)4729729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.或因为2~(6,)3X B ，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4. 7分(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156*********()()()()()3333381P A C C =⋅⋅+⋅⋅+=11分 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281. 考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率. 19.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率； (Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 【答案】（1）1315（2）,POD123//BCPOD,//,CD BO AO CD AO ==ADCOAD CD =（3）1810【解析】本题考查离散型随机变量的分布列，考查等可能事件的概率，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个概率的综合题目（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ，事件A 包括两种情况，一是抽到的是一个一等品，二是抽到的是一个二等品，这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．（II ）由题意知X 的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率，写出变量的概率，写出分布列．（III ）随机选取3件产品，这三件产品都不能通过检测，包括两个环节，第一这三个产品都是二等品，且这三件都不能通过检测，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果． 解（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”…………2分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===.X123P故X 的分布列为(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=.20.已知函数()f x xlnx =. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)对于任意正实数x ,不等式()12f x kx >-恒成立,求实数k 的取值范围. 【答案】（1）在1(0,)e上单调递减,在1(,)e+∞上单调递增（2）(),1 2ln -∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负即可求出单调区间；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可； 【详解】(1)因为()f x xlnx =.所以()1f x lnx '=+, 令()0f x '=,得1x e=, 当1(0,)x e∈时,()0f x <′;当1(,)x e∈+∞时,()0.f x '> 所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减,在1(,)e+∞上单调递增.(2)由于0x >,()12f x kx >-恒成立,所以12k lnx x<+. 构造函数()12k x lnx x=+,所以221121()22x k x x x x '-=-=.令()0k x '=,解得12x =,当1(0,)2x ∈时,()0k x '<,当1()2,x ∈+∞时,()0k x '>.所以函数()k x 在点12x =处取得最小值,即1 1)22(k ln =-.因此所求k 的取值范围是(),1 2ln -∞-.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化思想，属于中档题．21.已知函数()ln f x x bx c =+-，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为40x y ++=． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 在定义域内恒有()2ln f x x kx ≥+成立，求k 的取值范围．【答案】（1）()ln 23f x x x =--;（2） ()f x 的单调增区间为1(0,)2，单调减区间为1(,)2+∞; （3）2(,2]e -∞--． 【解析】【试题分析】（1）借助导数的几何意义建立方程组求解；（2）先求导再借助导数与函数单调性之间的关系求解；（3）先将不等式进行等价转化，再分离参数借助导数知识求其最值，即可得到参数的范围。
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2018—2019学年度第一学期期中试题数学学科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.已知全集，集合，，则（ ）U R ={|1}A x x =<{|2}B x x =³()U A B È=ðA.B. C. D. {|1}x x ³{|12}x x <£{|12}x x £<{|2}x x £【答案】C【解析】【分析】由题意，全集，根据集合，，求得，再根据补集的运算，即可U R ={|1}A x x =<{|2}B x x =³A B È求解.【详解】由题意，全集，集合，，U R ={|1}A x x =<{|2}B x x =³则或，所以，故选C.{|1A B x x È=<2}x ³(){|12}U A B x x È=£<ð【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知,, 且, 则等于 ( )(,3)a x = (3,1)b = a b ^ x A. 1 B. －1 C. 9 D. －9【答案】B【解析】【分析】根据向量的垂直的性质，利用向量的数量积等于零，即可求解.【详解】由题意，向量,,(,3)a x = (3,1)b = 因为, 所以，解得，故选B.a b ^ 3310a b x ×=+´= 1x =-【点睛】本题主要考查了向量的垂直的性质和向量的数量积的运算问题，其中解答中熟向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ ）2C. D. 1213【答案】B【解析】【分析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解.22a b =【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，22a b =则椭圆的离心率为，故选B.c e a ==【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用的关,,a b c 系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.双曲线的渐近线方程是（ ）22149x y -=A. B. C. D. 94y x =±49y x =±23y x =±32y x =±【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程即可．【详解】双曲线的渐近线方程为：y=±x ．22149x y -=32故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．5.下列说法错误的是 （）A. “”是“”的充分不必要条件；1sin 2q =30q =°B. 如果命题“”与命题“p 或q”都是真命题，那么命题一定是真命题．p Øq C. 若命题p ：，则；2,10x R x x $Î-+<2:,10p x R x x Ø"Î-+³D. 命题“若，则”的否命题是：“若，则”0a =0ab =0a ¹0ab ¹【答案】A【解析】【分析】对于A 中，“”是“”的必要不充分条件；对于B 中，根据简单的复合命题的真假关系，1sin 2q =030q =可得是正确的；对于C 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得是正确额的；对于D 中，根据命题的否命题的定义，可得是正确；【详解】对于A 中，“”是“”的必要不充分条件，所以不正确；1sin 2q =030q =对于B 中，如果命题“”与命题“或”都是真命题，可得是假命题，一定是真命题，所以是p Øp q p q 正确的；对于C 中，若命题，，根据全称命题与存在性命题的关系，2:,10p x R x x $Î-+<可得是正确的；2:,10p x R x x Ø"Î-+³对于D 中，根据命题的否命题的定义，可知命题“若，则”的否命题是：“若，则0a =0ab =0a ¹”是正确；故选A.0ab ¹【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记充要条件的判定方法、复合命题的真假判定、全称命题与存在性命题的关系，以及否命题的概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.要得到的图像, 需要将函数的图像( )2sin(2)3y x p =-sin 2y x =A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位3p 23p 3p 23p 【答案】A【解析】【分析】由题意，将函数的图像向右平移个单位，得，得到答案.sin 2y x =3p2sin(23y x p =-【详解】由题意，将函数的图像向右平移个单位，得，sin 2y x =3p 2sin[2()]sin(2)33y x x p p =-=-所以只需将函数的图象向右平移个单位，即可得到，故选A.sin 2y x =3p2sin(2)3y x p =-【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中解答中熟记三角函数的图象变换的规则是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知P 是椭圆上一点，F 1、F 2是焦点，∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积( )22+12516x y =A. 10 B. 12 C. 14 D. 16【答案】D【解析】【分析】设，在中，由勾股定理可得，利用椭圆的定义得12,PF m PF n ==12Rt PF F D ()2222m n c +=，即，联立解答即可.122PF PF a +=2m n a +=mn 【详解】由椭圆，可得，22+12516x y =2222225,16,9a b c a b ===-=所以，所以，5,4,3a b c ===12,PF m PF n ==在中，由勾股定理可得，12Rt PF F D ()222236m n c+==又，所以，122PF PF a +=10m n +=联立，解得，所以的面积，故选D.221036m n m n ì+=ïí+=ïî32mn =12PF F D 1162S mn ==【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，及其简单的几何性质的应用，同时椭圆的定义的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.等差数列的前10项和为30,前20项和为100,则它的前30项和是{}n a A. 210B. 170C. 130D. 260【答案】A【解析】【分析】由等差数列的前n 项和的性质，成等差数列，即可得出.{}n a 232,,n n n n n S S S S S --【详解】由等差数列的前n 项和的性质，成等差数列，{}n a 232,,n n n n n S S S S S --所以，解得，故选A.30301002(10030)S +-=´-30210S =【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和及其性质，其中熟记等差数列通项公式和前n 项的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( )A. B. C. D. 1623131【答案】C【解析】【分析】由几何体的三视图可知，该三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2的三棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知该三棱锥表示底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥，所以其体积为，故选C.11111123323V Sh ==´´´´=【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.10.已知，，，则（ ）0.32a =2log 0.3b =20.3c =A.B. C. D. c b a <<b a c <<b c a <<c a b<<【答案】C【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，直接求解即可.【详解】由题意，可得，，，0.30221a =>=22log 0.3log 10b =<=200.30.31c =<=即，，，所以，故选C.1a >0b <(0,1)c Îb c a <<【点睛】本题主要考查了指数幂与对数式的比较大小问题，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则 ()24y x =l 11(,)P x y 22(,)Q x y 126x x +=PQ =A. 9 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的方程，算出焦点为，准线方程为，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.(1,0)F 1x =-【详解】由题意，抛物线的方程为，可得，24y x =2412p p =Þ=所以抛物线的焦点为，准线方程为，(1,0)F 1x =-根据抛物线的定义，可得，11221,122p p PF x x QF x x =+=+=+=+所以，12()2PF QF x x +=++又因为过抛物线的焦点，且，PQ F 126x x +=所以，故选D.12()28PQ PF QF x x =+=++=【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，以及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.已知，则函数的最大值是54x <14245y x x =-+-A. 1 B. 2 C. 3 D. 12【答案】A【解析】【分析】由题意，，则，利用基本不等式，即可求解.54x <1540,054x x->>-【详解】由题意，，则，54x <1540,054x x ->>-则，11142453[(54)331454554y x x x x x x =-+=-++=--++£-=---当且仅当，即时等号成立，15454x x-=-1x =所以函数的最大值为1，故选A.14245y x x =-+-【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最大值问题，其中解答中根据题设条件，合理构造基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.极坐标方程化为直角坐标方程为___________cos r q =【答案】22x y x+=【解析】【分析】由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解.cos sin x y r q r qì=ïí=ïî【详解】由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式，cos sin x y r q r qì=ïí=ïî则，所以.2cos cos r q r r q =Þ=22x y x +=【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.直线过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程：___________(3,4)-【答案】或430x y +=10x y +-=【解析】【分析】根据题意，根据在坐标轴上的截距相等，分类讨论，即可求解所求直线的方程.【详解】由题意，当直线过原点时，此时所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为，43k =-43y x =-即；430x y +=当直线不过原点时，设直线的方程为，又由直线过点，1(0)x y a a a +=¹(3,4)-代入得，即直线的方程为，3411a a a-+=Þ=10x y +-=所以直线过点，且在两坐标轴上的截距相等方程为或.(3,4)-430x y +=10x y +-=【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据直线在坐标轴上的截距相等，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.15.椭圆上的点到直线的最大距离是_______221164x y +=20x y +-=【解析】【分析】设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线方程和20x y +-=221164x y +=20x y c ++=椭圆方程，由判别式等于0求得c 的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线与椭圆相切．20x y c ++=221164x y +=由消去x 整理得.2220,1,164x y c x y ì++=ïíï+=ïî2284160y cy c ++-=由得.()216320c D=-=c =±当时符合题意(舍去)．c =c =-即x+2y+与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为221164x y +=221164x y +=20x y +-=两条平行线之间的距离:d 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.16.在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的C )4P p，sin 3p r q æöç÷-=-ç÷èøC 极坐标方程．【答案】解：∵圆圆心为直线C sin 3p r q æöç÷-=-ç÷èø∴在，得。