八年级数学上册1.3勾股定理的应用同步练习3(含解析)(新版)北师大版

勾股定理的应用

一、选择题

1．已知直角三角形的周长为，斜边为2，则该三角形的面积是( )．62+

A. B. C. D.1

41

43

212．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )．A. B.或 C. D.或774124247

二、填空题

3．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______．

4．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高

BE ＝______．

5．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠A CB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高

CD ＝______．

6．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．

7．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则

AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______．

三、解答题

8．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝求AB 102的长．

9．在数轴上画出表示及的点．

10-1310．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．

11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC 的长．

13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且

DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．

14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线

l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?

15.如图,C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB 丄BD ，ED 丄BD ，连接AC,EC.已知AB = 5,DE=1,BD=8,设CD=x.

(1)用含x 的代数式表示AC+CE 的长；

(2)请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？

(3)根据（2)的最小值.

16.勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系（勾股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.定理表述

请你根据图(1)中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).

尝试证明

以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a,b 为底，以a+b 为髙的直角梯形(如图(2)),请你利用图(2)验证勾股定理.知识拓展

利用图(2)中的直角梯形，我们可以证明，其证明步骤如下：

a b c +<

∵BC=a+b,AD=，

又∵在直角梯形ABCD 中，有BC AD （填大小关系），即 ，

∴a b c +<

参考答案

1．C ．

2．D

3． ;3434

15,344．16，19.2．

5．5，5．

26．.4

32a 7．6，，．

36338． 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.132.

1324422=+k m 9．图略．

,3213,31102222+=+=10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt△ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．

11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt△ABE 中，

AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．

12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则

DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝，CF ＝4．在Rt △CEF 中(8－x )2＝x 2＋42，解得622=-AB AF x ＝3．

13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．

14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则

.

172,34=∴=AC AB 15.思想建立(1)要求AC ＋CE 的长,只需分别在Rt△ABC 和Rt△CDE 中利用勾股定理求出AC,CE 的长即可；(2)要使AC ＋CE 的值最小,就须满足AC,CE 在同一条直线上；(3)根据题意,先画出满足题意的图形,再根据勾股定理求解即可.

解.

(2)当A,C,E 三点共线时,AC ＋CE 的值最小.

(3)如图所示,作BD ＝12,过点B 作AB⊥BD,过点D 作ED⊥BD,使AB ＝2,ED ＝3,连接AE 交BD 于

点C,设BC ＝x,则AE 的最小值,

过点A 作AF∥BD 交ED 的延长线于点F,得长方形ABDF,则

AB ＝DF ＝2,AF ＝BD ＝12,EF ＝ED ＋DF ＝3＋2＝5,所以,即13AE ==

的最小值为13.

16.思想建立重要验证勾股定理,就是要证明a 2＋b 2＝c 2.利用面积关系:S 梯形ABCD ＝S Rt △ABE ＋S R t△DEC ＋S Rt △AED 即可证明a 2＋b 2＝C 2.

解：［定理表述］如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.

[尝试证明]∵RtΔABE≌RtΔECD，∴∠AEB=∠EDC.

又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，

∴∠AED=90°.

∵S 棒形ABCD =S RtΔABE +S RtΔDEC +S RtΔAED ，

∴（a+b ）（a+b ）=ab+ab+c 2，12121212

整理，得a 2+b 2=c 2.