2012高考数学应用性问题梳理练习题及答案2

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2012届高考数学一轮精品5.2应用性问题作业本A、B卷(练习题和解析)

2012届高考数学一轮精品5.2应用性问题作业本A 、B 卷（练习题和解析）5.2应用性问题作业本1．如图所示,海岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B 处测得岛A 在船的南偏东030方向上，船航行30海里后，在C 处测得岛A 在船的南偏东045此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在△ABC 中，BC=30，030B =，0135ACB ∠=所以 015A =，由正弦定理可知：sin sin BC AC A B = 0030sin15sin 30AC ∴= 所以060cos15AC =，于是A 到BC 所在直线的距离为000sin 4560cos15sin 45AC =40.9838≈>所以船继续向南航行无触礁危险。

2．如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB ，设EB=x ，则则BC=4x ，由已知得0030,150BAE EAC ∠=∠=在△AEC 中，由正弦定理得： sin sin sin sin EC AE AE EAC C EAC C EC ⋅∠=∴=∠05sin150152x x ==在△ABC 中，由正弦定理得：0sin120sin BC AB C=014sin sin120x BC C AB ⋅⋅∴==3= 在△ABE 中，由余弦定理得：22202cos30BE AB AE AB AE =+-⋅⋅16312525,33BE =+-⨯==故所以船速3BE v t===km/h3．如图所示，公园内有一块边长2a 的等边△ABC 形状的三角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上。

2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．AB B ．CB C ．DC D ．AD2．函数1y x =+x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π34．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α＝( ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A．2 BC ．2D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB＝a ，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则()A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝13.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为() A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330, x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．18．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和23n nnS a+=.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC=P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x 轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集， ∴C B ．2． A ∵1y x =+∴y 2＝x ＋1， ∴x ＝y 2－1，x ，y 互换可得：y ＝x 2－1. 又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0，故选A 项． 3．C ∵()sin3x f x ϕ+=是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin 13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，3π2ϕ=.故选C 项． 4．A ∵3sin 5α=，且α为第二象限角， ∴24cos 1sin 5αα=-=－－.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选A 项． 5． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2.又∵准线x ＝－4，∴24a c-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184x y +=，故选C 项．6．B 当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以21 2a=，213 122S=+=.显然只有B项符合．7．C由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A，剩余5人进行全排列：55A，故总的情况有：14A·55A＝480种．故选C 项．8．D连结AC交BD于点O，连结OE，∵AB=2，∴AC=又1CC=AC=CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知，CM⊥OE，M为C H的中点．由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．又△AC C1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.9．D∵a·b＝0，∴a⊥b.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||5AB=.∴||5CD==.∴2||25AD ==. ∴4544445()5555AD AB AB ===-=-a b a b .10． C 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴2m －m＝.∴m 又24c ==， ∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝2221212||||432||||4PF PF c PF PF +-=.11． D ∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞1log 2=，121e2z -==>=，且12e －＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x . 12． B 如图，由题意：tan ∠BEF =12， ∴2112KX =，∴X 2为HD 中点，2312X D X D =，∴313X D =， 4312X C X C =，∴413X C =， 5412X H X H =，∴512X H =， 5612X A X A =，∴613X A =，∴X 6与E 重合，故选B 项． 13．答案：7 解析：∵(x ＋12x )8展开式的通项为T r ＋1＝8C r x 8－r(12x)r ＝C r 82－r x 8－2r，令8－2r ＝2，解得r ＝3.∴x 2的系数为38C 2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 15．答案：5π6解析：y ＝sin xx＝1π2(sin )2sin()23x x x =-．当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6.又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =. 16．答案：35解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角，在△AEA 1中，2222213cos 5a a a a a AEA ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪∠==. 17．解：由A ，B ，C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由2b 2＝3ac 及正弦定理得2sin 2B ＝3sin A sin C ，故1sin sin 2A C ＝.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝12-，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．解：(1)由2243S a ＝得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由3353S a ＝得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝12133n n n n a a -++-，整理得111n n n a a n -+=-. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，… a n －1＝2nn -a n －2，a n ＝11n n +-a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得(1)2n n n a +=. 综上，{a n }的通项公式(1)2n n n a +=. 19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD ．设AC ∩BD =F ，连结EF .因为AC =P A =2，PE =2EC ，故PC =3EC =，FC = 从而PC FC =，ACEC =，因为PC ACFC EC=，∠FCE =∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠P AC =90°，由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ．(2)在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC ．又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ． BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，2222PD PA AD =+=. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d PD α==. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (220,0)，D 2，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E (23，0，23)，B 2b,0)．于是PC ＝(220，－2)，BE ＝(23，b ，23)，DE ＝(23，－b ，23)，从而0PC BE ⋅=，0PC DE ⋅=，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE .(2)AP ＝(0,0,2)，AB ＝b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0－by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即20r -=且2033bq r ++=，令p ＝1，则r =q b =-，n ＝(1，b-)．因为面P AB ⊥面PBC ，故m·n ＝0，即20b b-=，故b = 于是n ＝(1，－1)，DP ＝(2)，1cos ,2||||DP DP DP ⋅==n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP 〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ， P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2) P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x1＝－1x2＝－1当x∈(－∞，－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(－11时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；当x∈(－1∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.因此f(x1)＝13x13＋x12＋ax1＝13x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝13x12＋23ax1＝13(－2x1－a)＋23ax1＝23(a－1)x1－3a.同理，f(x2)＝23(a－1)x2－3a.因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －3a . 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得02(1)ax a =-， 22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+----．由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0，解得a ＝0或23a =或34a =.22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)，故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)， r ＝|MA |=，即2r =. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M=化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，12t =22t =抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③ ②－③得1222t t x +==. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．所以D 到l的距离d ==.。

2012数学高考试题及答案

2012数学高考试题及答案[一、选择题]1. 已知函数 f(x) = x^2 + bx + c 的图像与 x 轴交于 A, B 两点，且 A、B 两点的横坐标之和为 -1，则该函数 f(x) 的表达式为：A) f(x) = x^2 + x + 1 B) f(x) = x^2 + x - 1C) f(x) = x^2 - x + 1 D) f(x) = x^2 - x - 1答案：D2. 已知等差数列 {an} 的公差为 2，若 a1 + a2 + ... + a10 = 100，则a1 + a4 + a7 + ... + a28 =A) 252 B) 260 C) 268 D) 276答案：C3. 已知几何体的一个棱长为 2，且该几何体的其它各边长全都大于1，则这个几何体可以是：A) 正四面体 B) 正六面体 C) 正八面体 D) 正十二面体答案：C4. 已知函数 f(x) = log[size(base a)](3x - 2)，其中 a > 1，则 f^(-1)(3) =A) (a^3 - 2) / 3 B) a^3 - 2 C) a^3 + 2 D) (a^3 + 2) / 3答案：A[二、填空题]1. 某地区市场调查表明，70% 的家庭有电话，80% 的家庭有电视，60% 的家庭有汽车。

调查结果表明至少有一种物品的家庭占总数的百分之几？答案：90%2. 设 a = log[size(base 2)]7，b = log[size(base 3)]7，c = log[size(base 7)]2，则 a × b × c =答案：13. 在甲、乙两列数中，甲列为等差数列，乙列为等比数列，甲、乙两列的首项均为 1，且甲列的前 100 项的和等于乙列的前 100 项的积，则公比 q =答案：104. 设函数 f(x) = a^x + b^x + c^x + d^x，其中 a、b、c、d 为正数，且a > 1，b > 1，c > 1，d > 1，则 f(1) =答案：4[三、解答题]1. 已知函数 f(x) = x^2 + bx + c，若其图像在直线 y = 3x 上方，则函数 f(x) 的图像与直线 y = 3x 交于一个实数解 x，求 b 的取值范围。

2012 年全国各地高考数学试题及解答汇编大全

3、 (2012 全国卷大纲版●理)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A). A. 12 种； B. 18 种； C. 24 种； D. 36 种. 4、 (2012 全国卷大纲版●理)正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE BF
2、 (2012 新课标●理)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为(A). A. B. C. D.
2 ； 6
3 ； 6 2 ； 3
2 . 2
【解析】 ABC 的外接圆的半径 r 1 1 o 3 ，球心 O 到面 ABC 的距离 2 sin 60 3 第 1 页/共 64 页
1 1 1 1 f ( y)，即 y f 1 ( x) g ( x) 知， y f (2 x) 的 2 2 2
反函数是 y 1 g ( x) ，故函数 y f (2 x) 与 y 1 g ( x) 的图像也关于直线 y x 对称；正 2 2 确. ③ f ( x) f (2 x) f ( x 2) f [2 ( x 2)] f (4 x) f ( x 4) .故 f ( x) 是周期为 4 的函数. 故选 C.
由对称性知， y x，y 1 ， ( x 1) 2 ( y 1) 2 1 围成的面积与 x
1 y x，y ， ( x 1)2 ( y 1)2 1 围成的面积相等. x
故 A B 所表示的平面图形的面积为 y x ， ( x 1)2 ( y 1)2 1 围成的面积

2012高考数学试题及答案

2012高考数学试题及答案2012年高考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选选项前的字母填在题后的括号内。

）1. 若集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B的元素个数是（）。

A. 3B. 4C. 5D. 62. 函数f(x) = x^2 + 2x - 3的对称轴方程是（）。

A. x = -1B. x = 1C. x = -2D. x = 23. 若等差数列的首项为a，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 3，a2 + a3 + a4 = 7，则a的值为（）。

A. 1B. 3C. 5D. 74. 已知三角形ABC中，∠A=90°-∠B，若AB=5，AC=12，则BC的长度为（）。

A. 13B. 9C. 7D. 35. 已知球面上两点P和Q，球的半径为r，PQ=r/2，那么P和Q两点所在的大圆的圆心角的弧度数是（）。

A. π/3B. π/2C. πD. 2π/36. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上对应的点位于（）。

A. x轴B. y轴C. 直线y=xD. 直线y=-x7. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，若g(x)在区间[-1, 2]上单调递减，则实数a的取值范围是（）。

A. a ≥ 5B. a ≤ -5C. a ≥ -2D. a ≤ 28. 一个圆的周长为20π，则该圆的面积是（）。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π9. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y=x的对称点坐标是（）。

A. (3, 2)B. (2, 2)C. (3, 4)D. (4, 3)10. 若a, b, c是等比数列，且abc = 8，a + b + c = 6，则b的值为（）。

A. 2B. 2√2C. 4D. 4√2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2012年高考数学试题及答案

2012年高考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。

A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的前三项为1, 3, 5，求该数列的公差d。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标。

A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A4. 已知直线方程为y = 2x + 1，求该直线与x轴的交点坐标。

A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)答案：B5. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。

A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. 3 + 4iD. -3 - 4i答案：A6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)。

A. 3x^2 - 12x + 11B. 3x^2 - 12x + 10C. 3x^2 - 6x + 11D. 3x^2 - 6x + 10答案：A7. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，求向量a与b的点积。

A. 11B. 14C. 10D. 12答案：B8. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 4}D. {1, 3, 4}答案：B9. 已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。

A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x)D. -cos(x)答案：A10. 已知等比数列{a_n}的前三项为2, 4, 8，求该数列的公比q。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。

2012各省市高考高考题数学题含答案

注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一选择题本大题共12小题每小题5分在每小题给同的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1已知集合12345ABxyxAyAxyA 则B中所含元素的个数为A3 B6 C D 2将2名教师4名学生分成2个小组分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动每个小组由1名教师和2名学生组成不同的安排方案共有A12种B10种C种D种3下面是关于复数21zi的四个命题其中的真命题为1:2pz 22:2pzi 3:pz的共轭复数为1i 4:pz的虚部为1 A23pp B 12pp Cpp Dpp 4设12FF是椭圆2222:10xyEabab的左、右焦点P为直线32ax上一点21FPF是底角为30的等腰三角形则E的离心率为A12 B 23 C D 5已知na为等比数列472aa568aa则110aa A7 B 5 C D 6如果执行右边的程序框图输入正整数2NN和实数12...naaa输出AB则AAB为12...naaa的和B2AB为12...naaa的算术平均数CA和B分别是12...naaa中最大的数和最小的数DA和B分别是12...naaa中最小的数和最大的数7如图网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是某几何体的三视图则此几何体的体积为A6 B 9 C D 8等轴双曲线C的中心在原点焦点在x轴上C与抛物线xy162的准线交于AB 两点43AB则C的实轴长为A2 B 22 C D 9已知0函数sin4fxx在2上单调递减。

则的取值范围是A1524 B 1324 C 102 D02 10 已知函数1ln1fxxx则yfx的图像大致为11已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上ABC是边长为1的正三角形SC为球O的直径且2SC则此棱锥的体积为A26 B 36 C 23 D22 12设点P在曲线12xye上点Q在曲线ln2yx上则PQ最小值为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高考数学常见难题大盘点应用性问题

1 / 4高考数学常见难题大盘点：应用性问题1. 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，年的年生产量的增长率为36%）．（1）求年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？分析：本题命题意图是考查函数、不等式的解法等基础知识，考查运用数学知识分析解决问题的能力。

解析（1）由已知得2003，，，年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则年全球太阳电池的年生产量为 8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。

2. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．（Ⅰ）求该分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ．分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解析：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823)x a x =-+-，令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）．35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时， 23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。

(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析

2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。

2012届高考数学一轮精品5.2应用性问题(考点疏理典型例题练习题和解析)

2012届高考数学一轮精品5.2应用性问题（考点疏理+典型例题+练习题和解析）5.2应用性问题【知识网络】1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．【典型例题】［例1］(1)某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于（A ）3 （B ）32 （C ）3或 32 （D ）3（1）C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（）A B ,C ,m D（2） A（3）一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（精确到1m ）（） A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m （3） B（4）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是．（4）90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h 的速度由B 到C 航行，航向为方位角0140NBC ∠=，A 处有灯塔，其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是（5）km 提示：由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得［例2］在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南(cos 10θθ=方向 300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？角：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ 由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ ∠⋅-+=cos 2222由于PO=300,PQ=20t()5445cos cos =-=∠ θOPQ 故2222203009600OQ t t =+-()21060t ≤+ 即2362880t t -+≤ 解得 2412≤≤t答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．［例3］上海浦东有两建筑物A 、B ，由于建筑物中间有障碍物，无法丈量出它们之间的距离，请你在浦西不过江，利用斜三角形的知识，设计一个测量建筑物A 、B 间距离的方案，并给出具体的计算方法．解：在浦西选取C 、D 测得 CD=a, ∠ADC=α,∠ACD=β，∠BCD=θ，∠BDC=ϕ在△BCD 中：BC=sin sin sin sin()CD a B ϕϕθϕ⋅=+在△ACD 中： AC=sin sin sin sin()CD a A αααβ⋅=+ 在△ABC 中AB=BCA AC BC AC BC ∠⋅⋅-+cos 222=［例4］如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。

2012年高考数学导数及其应用专题练习及答案

绝密★启用前2012届高三数学二轮精品专题卷：专题12 导数及其应用考试范围：导数及其应用一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为t t t s 833123+-=，那么速度为零的时刻是（） A ．1秒B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末 2．（理）已知直线kx y =是曲线x y ln =的切线,则直线kx y =经过点（） A ．)1,(-eB ．)1,(eC ．)1,1(-eD ．)1,1(e（文）曲线2+=x xy 在点)1,1(--处切线的一个方向向量为（） A ．)2,1(-B ．)2,1(C ．)1,2(-D ．)1,2(3．设函数5221)(23+--=x x x x f ，若对于任意[]2,1-∈x ，m x f ＜)(恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．),7(+∞ B ．),8(+∞C ．[),7+∞D ．),9(+∞4．曲线2)(3-+=x x x f 上点0P 处的切线垂直于直线x y 41-=，则点P 0的坐标是（） A ．)0,1(-B ．)2,0(-C ．)4,1(--或)0,1(D ．)4,1(5．已知函数)(x f y =，（x ∈R ）上任一点))(,(00x f x 处的切线斜率200)1)(3(+-=x x k ，则该函数的单调递增区间为（） A ．[)+∞,3 B ．(]3,-∞C ．(]1,--∞D ．[)+∞-,16．对于R上可导的任意函数)(x f ，若满足0)(')1(≤-x f x ，则必有（）A ．)1(2)2()0(f f f ＜+B ．)1(2)2()0(f f f ≤+C ．)1(2)2()0(f f f ＞+D ．)1(2)2()0(f f f ≥+ 7．已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m的取值范围是（） A ．21-≤mB ．21-＞m C ．2≤m D ．2＞m8．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．[)+∞,1 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1C ．[)2,1+ D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,239．已知对∈∀x R ，函数)(x f 都满足)2()2(x f x f -=+ππ，且当)2,2(ππ-∈x 时，x x x f sin 2)(+=，则（）A ．)3()2()1(f f f ＜＜B ．)1()3()2(f f f ＜＜C ．)1()2()3(f f f ＜＜D ．)2()1()3(f f f ＜＜10．（理）已知点P 是曲线13+-=x x e e y 上一动点，α∠为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α∠的最小值是（） A ．0B ．4πC ．32π D ．43π （文）右图是某一函数在第一象限内的图像，则该函数的解析式可能是（）A ．x x e e y -+=B ．xx y 1ln +-=C ．x x y ln +-=D ．xx y 1ln +=二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上） 11．（理）如图所示，点)1,0(),1,1(),0,1(),0,0(C B A O ，则曲线2x y =与x 轴围成的封闭图形的面积是．（文）若幂函数)(x f 的图象经过点)21,41(A ，则该函数在点A 处的切线方程为．12．如图，函数)(x f 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为)4,4(),0,2(),4,0(则=-+→xf x f x △△△)1()1(lim．13．(理)曲线xxy tan 1tan +=在点)21,4(πM 处的切线的斜率为．（文）函数63)(23+-=x x x f 在=x 处取得极小值．14．已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且x xf x f ln )1('2)(+=，则)1('f = ．15．(理)直线x y =是曲线kx y sin =的一条切线，则符合条件的一个实数k 值为．（文）函数f (x )＝x 3－3x-a 有三个不同的零点，则a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）已知函数x mx x x t ++=23)(是奇函数，2)(2++=nx ax x s 是偶函数，设)()()(x s x t x f ++．（1）若1-=a ,令函数)(2)(x f x x g -=,求函数)(x g 在)2,1(-上的极值；（2）对）（+∞-∈∀,31,21x x 恒有0)()(2121＞x x x f x f --成立，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）请你设计一个LED 霓虹灯灯箱。

2012年江苏省高考数学信息卷(二-解析版)

2012年江苏省高考数学信息卷(二-解析版)2012高考数学信息卷二一、填空题1. 已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为142-. 2. 函数()f x 的定义域为R. (1)2f -=，对任意的x ∈R ，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为(1,)-+∞.提示：设()()2h x f x x =-，'()'()20h x f x =->,故()h x 在R 上为增函数.又(1)(1)24h f -=-+=，由()24f x x ->，即()(1)h x h >-，得1x >-.3. 设点P 是ABC ∆内一点（不包括边界），且,,AP mAB nAC m n R =+∈，则22(2)m n +-的取值范围是(1,5).提示：[(1)]AP AQ AB AC λλγγ==+-,((0,1),(0,1))(1)m n γλγλλγ=⎧∈∈⎨=-⎩, 点(,)m n 在直线系x y λ+=上，点(0,2)到直线系 (0,0)x y x y λ+=>>上点的距离取值范围是(1,5).4. 已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…}的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推，若120,21n n a a -==，则n = 211 .提示：∵20(120)1123202102n ⨯+-=++++==，211n ∴=.5. 已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点. I 为12PF F ∆内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+，则双曲线的离心率为 2 .提示：121.22PF PF c c -==, 2,2ca c e a=∴==.6. 如图，在ABC ∆中，90,6,BAC AB D ∠=︒=在斜边BC 上，2CD DB =,则AB AD ⋅的值为 24 .7. 各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，且211()(2)n n S S a n -=+≥，若11n nn n n a a b a a ++=+，且数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则n T =24621n nn ++.提示：11n n S S S --=，211,n n S n S S n a ==,11(21)n n n a S S n a -=-=-，212122221212121n n n b n n n n +-=+=+--+-+, 222222(2)(2)(2)13352121n T n n =+-++-+++--+B C P Q y OxEBAD2246222121n nn n n +=+-=++.二、解答题1. 如图，以x O 为始边作角)0παββα<<<（与，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q,已知点P 的坐标为).54,53(-(1)求αααtan 112cos 2sin +++的值； (2)若,0=•OQ OP 求)sin(βα+的值.解：(1)由三角函数的定义得,54sin ,53cos =-=αα则原式=αααααααααααcos cos sin )cos (sin cos 2cos sin 1cos 2cos sin 22++=++ .2518)53(2cos 222=-⨯==α(2)，2,0πβα=-∴⊥∴=⋅OQ OP OQ OP 2παβ-=∴，53cos )2sin(sin =-=-=∴απαβ，.54sin )2cos(cos ==-=απαβ βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+∴.25753)53(5454=⨯-+⨯=2.如图①三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直， 90=∠ABC ，1BB BC AB ==，M ,N 分别是C A AB 1,的中点.(1) 求证：11//B BCC MN 平面;(2) 求证：C B A MN 11平面⊥.证明：(1)如图②,连接11,AC BC ,显然AC 1过点N.M ,N 分别是C A AB 1,的中点，∴1//BC MN(2)依题意得D 点的坐标为（-2，-1），且D 点在椭圆E 上，直线CP 和DP 的斜率K CP 和K DP 均存在，设P (x ,y ),2211111,,.22224CP DP CP DP y y y y y K K K K x x x x x -+-+-==∴⋅=⋅=-+-+-则P 又点在椭圆E 上，2222118444CP DP y x y K K x -∴=-⋅==--，. 14DP ∴-直线CP 和的斜率之积为定值.(3) 直线CD 的斜率为21，CD 平行于直线l ，∴设直线l 的方程为,21t x y +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1282122y x t x y ，消去y ，整理得042222=-++t tx x ， )4(24162222,1≤-±-=∴t t t x ,()()212221221)21(1x x y y x x MN -•+=-+-=∴)22(452<<--⋅=t t .点C 到直线MN 的距离为,52141tt d =+= 22452452121t t t t d MN S CMN-⋅=⋅-⋅⋅=⋅=∴∆ .224)4(22=≤-=t t 当且仅当时取等号，即2,4222=-=t t t.2212±=∆x y l CMN 的方程为，此时直线面积得最大值为 5. (1) 已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足11122(0),1,2,a a a b a b a =>-=-=333=-a b .若数列{}n a 唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列？若存在，求{}n a ，{}n b 的通项公式；若不存在，说明理由. 解：(1)设{}n a 的公比为q ，则21231,2,3b a b aq b aq =+=+=+. 由123,,b b b 成等比数列得22(2)(1)(3)aq a aq +=++，即24310aq aq a -+-=.（*）由0a >得2440a a ∆=+>，故方程（*）有两个不同的实根.再由{}n a 唯一，知方程必有一根为0，将0q =代入方程得13a =.(2) 假设存在两个等比数列{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列，设{}n a 的公比为1q ，{}n b 的公比为2q . 则221211b a b q a q -=-， 22331211b a b q a q -=-，33441211b a b q a q -=-.由11223344,,,b a b a b a b a ----成等差数列得22121111121122331211121112112()(),2()().b q a q b a b q a q b q a q b q a q b q a q ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩ 即22121122122111(1)(1)0,(*)(1)(1)0.(**)b q a q b q q a q q ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩ (*)2q ⨯-(**)得21121()(1)0a q q q --=.由10a ≠得12q q =或11q =.当12q q =时，由(*) (**)得11b a =或121q q ==，这时2211()()0b a b a ---=，与公差不为0矛盾.当11q =时，由(*) (**)得10b =或21q =，这时2211()()0b a b a ---=，与公差不为0矛盾. 综上所述，不存在两个等比数列{}n a ，{}n b ，使得11223344,,,b a b a b a b a ----成公差不为0的等差数列. 6.已知函数,164)(21+=x mx x f mx x f -=)21()(2,其中0≠∈m R m 且. (1)判断函数)(1x f 的单调性；(2)若2-<m ，求函数[])2,2())((21-∈+=x x f x f x f （）的最值；(3)设函数⎩⎨⎧<≥=2),(2),()(21x x f x x f x g ，当2≥m 时，若对于任意的[)+∞∈,21x ，总存在唯一的()2,2∞-∈x ，使得)()(21x g x g =成立，试求m 的取值范围.解：（1）,)82(4()(2221+-='x x m x f ）则当0>m 时，知函数)(1x f 在)2,2(-上单调递增，在()2,-∞-及),2(+∞上单调递减；当0<m 时，知函数)(1x f 在)2,2(-上单调递减，在()2,-∞-及),2(+∞上单调递增.(2)由22,2≤≤--<x m ，可得x m m x x f )21(2)21()(2⋅==-. x mx mx x f x f x f )21(2164))((221⋅++=+=∴（）. 由(1)知，当2-<m ，22≤≤-x ，函数)(1x f 在[]2,2-上是减函数，而函数x mx f )21(2)(2⋅=在[]2,2-上也是减函数，故当2-=x 时，函数)(x f 取得最大值162,16242mm m m --⨯+即.当2=x 时, 函数)(x f 取得最小值1622mm +-.(3)当2≥m 时，由于21≥x ，则164)()(211111+==x mx x f x g ，由(1)知，此时函数)(1x g 在[)+∞,2上是减函数，从而]160)()]2(0)(111mx g f x g ，（，即，（∈∈若2≥m 时，由于22<x ，则==)()(222x f x g m x -2)21(=2)21(x m -=22)21(x m ⋅，易知)(2x g 在()2,∞-上单调递增，从而))21(0)())2(0)(2222-∈∈m x g f x g ，（，即，（. 要使)()(21x g x g =成立，只需2)21(16-<m m ，即0)21(162<--m m 成立即可, 设,)21(16)(2--=m m m h 则易知函数)(m h 在[)+∞,2上单调递增，且0)4(=h ，故4<m ，所以42<≤m .三、理科附加题1.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的，、、613121现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率.(2)记X 为3人中选择的项目所属于重点工程或产业建设工程的人数，求X 的分布列及数学期望.解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i =1，2，3.由题意，知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立, A i ，B j ，C k (i,j ,k =1,2,3,且i,j ,k 互不相同)相互独立，且P (A i )=21,P (B j )=31,P (C k )= 61. (1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P =3! P (A 1 B 2 C 3)= 6P (A 1) P (B 2) P (C 3)=616131216=⨯⨯⨯.(2) 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知ηη-=3313~X B ），且，（所以,271)31()3(0333=====C P X P η）（,92)32()31()2(1223=====C P X P η）（,94)32)(31()1(2213=====C P X P η）（,271)32()0(3303=====C P X P η）（故X 的分布列是X 的数学期望是227839429212710=⨯+⨯+⨯+⨯=）（X E . 2.已知函数)21(11)1ln()(≥+-+-+=a x a ax x x f .(1)当曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线12:+-=x y l 平行时，求a 的值； (2)求函数)(x f 的单调区间.解：1,)1()12()1(111)(22->+-+-=+---+='x x a ax x x a a x x f , (1)由题意可得,2431)1(-=-='af解得3=a ，因为,42ln )1(-=f 此时在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(2)42(ln --=--x y ，即,22ln 2-+-=x y 与直线12:+-=x y l 平行，故所求a 的值为3.(2)令,0)(='x f 得到0,2121=-=x ax ，由21≥a 可知0,0211≤≤-x a即.① 当21=a 时，21021x a x ==-=.所以),1(,0)1(2)(22+∞-∈≤+-='x x x x f ，故)(x f 的单调递减区间为),1(+∞-.② 当121<<a 时, 2101-,0211x x a=<<<-<-即,所以在区间0)(),0()21,1(<'+∞--x f a上和，在区间.0)()0,21(>'-x f a上故)(x f 的单调递减区间为),0()21,1(+∞--和a ，单调递增区间为)0,21(-a .③ 当1≥a 时，1-211≤-=ax ，所以在区间)0,1(-上0)(>'x f ；在区间),0(+∞上0)(<'x f ；故)(x f 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间为),0(+∞. 综合讨论可得：当21=a 时，函数)(x f 的单调递减区间为),1(+∞-；当121<<a 时，函数)(x f 的单调递减区间为),0()21,1(+∞--和a ，单调递增区间为)0,21(-a . 当1≥a 时，函数)(x f 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间为),0(+∞.。

2012年高考真题——理科数学(北京卷)解析版(2).pdf

答案　20 常考角度应用等腰梯形的判定定理及定义进行等腰梯形的判定．对接点二：等腰梯形的判定【例题2】 (2012·毕节地区)如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′. (1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是________形； (2)如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为________度；连接CC′，四边形CDBC′是________形； (3)如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由．分析　(1)利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；(2)利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD＝CE，即可得出答案． (1)解析　证明　∵AD＝AB，AA′＝AC， ∴A′C与BD互相平分， ∴四边形A′BCD是平行四边形．答案　平行四边形 (2)解析　∵DA垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，∴旋转角为90度；证明　∵∠D＝∠B＝90°，A，D，B在一条直线上， ∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形；答案　90　直角梯形 (3)解　四边形ADBC是等腰梯形；证明　过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，则BM∥DN ∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′. ∴△ACD≌△A′BC′，∴BM＝ND， ∴四边形是NDBM是平行四边形 ∴BD∥AC，∵AD＝BC， ∴四边形ADBC是等腰梯形． 1. 根据图形，先猜结论，然后再运用相应的判定定理进行判定； 2．平移、旋转前后的图形是全等的关系； 3．等腰梯形的定义是常用的一种判定方法． (1)有两个角相等的梯形是等腰梯形； (2)有两条对角线相等的梯形是等腰梯形； (3)有两条边相等的梯形是等腰梯形； (4)有两个直角的梯形是直角梯形．其中不正确的命题有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析　根据梯形的判定与性质可判断：(1)错误，直角梯形中有两个角是直角相等，但不是等腰梯形；(2)正确；(3)错误，一腰与一底相等时，不是等腰梯形；(4)正确．所以不正确的命题有2个．答案　B 【预测3】有如下命题：【预测4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC，对角线BD平分∠ABC. 求证：梯形ABCD是等腰梯形．证明　∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∵AD＝DC，∴AB＝CD， ∵四边形ABCD是梯形， ∴梯形ABCD是等腰梯形．常考角度运用梯形中位线的性质进行相关的计算．对接点三：梯形的中位线【例题3】 (2012·咸宁)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD＝2，BC＝12时，四边形BGEF的周长为________．分析　先根据EF∥BC，EG∥AB得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE＝∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC＝∠FEB，故∠FBE＝∠FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD＝2，BC＝12，求出EF的长，进而可得出结论．答案　28 1. 根据题意，猜出四边形BGEF是菱形并加以判断是关键； 2．见线段中点，结合图形，应联想到梯形中位线的性质．【预测5】若梯形的面积为8 cm2，高为2cm，则此梯形的中位线长是 ( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 解析　根据梯形的面积＝梯形的中位线×高，得梯形的中位线的长＝8÷2＝4(cm)．答案　B 【预测6】如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF为中位线，且BC＝EF＝4，那么AB＝ ( ) A．3B．5 C．6 D．8 解析　如图，作CG⊥AB于G点， ∵∠ABC＝60°，BC＝EF＝4， ∴BG＝2，设AB＝x，则CD＝x－2， ∵EF为中位线， ∴AB＋CD＝2EF，即x＋x－2＝8，解得x＝5. 答案　B 易错防范问题1.对等腰梯形的概念及判定方法理解不透彻，出现了混淆；问题2.添加辅助线进行梯形的转化常常出错．梯形中常见错误【例题4】 (2012·西城区)下列说法中正确的是 ( ) A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 B．有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 D．有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形 [错解]　学生往往选A. [错因分析]　本题很容易错选A，认为平行的两边为底，相等的对边一定是腰，主要是对梯形的概念认识不清．如一个平行四边形符合一组对边平行，另一组对边相等，但它不是梯形．只有当一组对边平行，另一组对边相等且不平行时才是等腰梯形． [正解]　A项平行四边形满足条件，故A错；C项一腰和上底相等的梯形不是等腰梯形，故C错；D项矩形的两组对角分别相等，不是等腰梯形，故D错．所以选B(条件可得出梯形在同一底上的两个角相等)．熟记等腰梯形的定义及判定方法，尤其准确把握其包含的条件．课时跟踪检测第二十七讲梯形课前必读考纲要求 1.掌握梯形的概念； 2.掌握等腰梯形的性质； 3.掌握等腰梯形的判定. 考情分析近三年浙江省中考情况年份考查点题型难易度 2010年梯形中位线性质(3分) 填空题容易 2011年等腰梯形的性质(3分) 填空题中等 2012年等腰梯形的判定(8分) 解答题中等网络构建等腰梯形的学习与特殊平行四边形相类似还是围绕边、角、线梯形转化是关键见到中点中位线它的性质应牢记考点梳理 1．梯形：一组对边_____，而另一组对边_______的四边形，叫做梯形． 2．梯形的分类 3．连接梯形两腰的_____的线段叫做梯形的中位线．梯形的中位线___________，且等于__________________ ．梯形的概念、分类及梯形的中位线平行不平行中点平行于两底上、下两底和的一半等腰梯形等腰梯形性质判定 1.等腰梯形________的两个底角相等. 2.等腰梯形的对角线_____. 3.等腰梯形是___对称图形. 1.两腰_____的梯形是等腰梯形 2. ________的两个底角相等的梯形是等腰梯形. 3.对角线_____的梯形是等腰梯形. 等腰梯形的性质和判定同一底上相等轴相等同一底上相等对接中考常考角度根据等腰梯形的性质进行有关的计算和证明．对接点一：等腰梯形的性质【例题1】 (2012·丽水)如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°.当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________．答案　6 1. 梯形问题常常转化为三角形或平行四边形问题； 2．遇角度求线段常常利用解直角三角形．【预测1】如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝ 2 cm，则上底DC的长是________．解析　∵AB∥CD，AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠DCA， ∴CD＝AD＝BC＝2 cm. 答案　2 cm 【预测2】某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E，F，G，H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40 cm，则对角线AC＝________cm.。

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17 计数原理、二项式定理)

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2012安徽理)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（） ()A 3- ()B 2- ()C 2 （D ）3 【解析】选D第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=2.(2012安徽理)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 （D ）2或4 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人3. (2012北京理)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。

【答案】B4．(2012广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任选一个，其中个位数为0的概率是（） A ．94 B ．31 C ．92 D ．91解析：（D ）．两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，而其中个位数为0的有5个，是10,30,50,70,90。

所以，所求事件的概率为91455=5．(2012湖北理)设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =A ．0B ．1C ．11D ．12 考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6.(2012辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（） (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。

2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参考答案2

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2, 0, 0),C (2, 22,0),E (1, 2, 1),)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ,则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BCAE θ,θ=4π.由此可知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二]取PB 中点F ,连接EF 、AF ,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中,由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1)1111224ABCS ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC -的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ,所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 25 2.解析:(1)证法一如图,过直线b 上任一点作平面π的垂线n ,设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ,则,,b c n 共面,根据平面向量基本定理,存在实数,λμ使得c b n λμ=+则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥,所以0a b ⋅=又因为a πÜ,n π⊥,所以0a n ⋅= 故0a c ⋅=,从而a c ⊥证法二如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作PO π⊥,垂足为O,则O c ∈ ∵PO π⊥,a πÜ,∴直线PO a ⊥ 又a b ⊥,b Ü平面PAO ,POb P =ABCD P EF∴a ⊥平面PAO ,又c Ü平面PAO ,∴a c ⊥(2)逆命题:a 是平面π内一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a c ⊥,则a b ⊥. 逆命题为真命题.3. 解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==,在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面BD⊥平面AED,⊂AE 平面AED,且A AE AD = ,故AED;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ,建立如图所示的空间直角坐标系,)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ,向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ,则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ,而二面角F-BD-C 的平面角为锐角,则二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ,连接1,CG FG ,由于CB CD =,因此CG BD ⊥, 又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥,所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中,由于120BCD ∠=︒,因为12CG CB =,又CB CF =,所以225GF CG CF CG =+=, 故5cos 5FGC ∠=,因此二面角F BD C --的余弦值为55. 4. 【答案及解析】(1) 证明:取''A B 中点P,连结MP,NP,而M,N 分别是A 'B 与'B 'C 的中点,所以,MP∥A 'A ,PN∥'A 'C ,所以,MP∥平面'A AC 'C ,PN∥平面'A AC 'C ,又MP NP p ⋂=,因此平面MPN∥平面'A AC 'C ,而MN ⊂平面MPN,所以,MN∥平面'A AC 'C , 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明. 5. 【解析】解:(1)证明:连接AO ,在1AOA 中,作1OE AA ⊥于点E ,因为11//AA BB ,得1OE BB ⊥,因为1AO ⊥平面ABC ,所以1A O BC ⊥,因为,AB AC OB OC ==, 得AO BC ⊥,所以BC ⊥平面1AA O ,所以BC OE ⊥, 所以OE ⊥平面11BB C C , 又2211,5AO AB BO AA =-==,得2155AO AE AA ==(2)如图所示,分别以1,,OA OB OA 所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), C(0,-2,0), A 1(0.0,2),B(0,2,0) 由(1)可知115AE AA =得点E 的坐标为42(,0,)55,由(1)可知平面11BB C C 的法向量是42(,0,)55,设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =,由10n AB n A C ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩,得200x y y z -+=⎧⎨+=⎩,令1y =,得2,1x z ==-,即(2,1,1)n =-所以30cos ,10||||OE n OE n OE n ⨯<>==⨯ 即平面平面11A B C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是3010. 【点评】本题考查线面垂直,二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中,立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直,平行有关的线面关系的证明;二、考查空间几何体的体积与表面积;三、考查异面角,线面角,二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问,第3种考查多出现在第2问;对于角度问题,一般有直接法与空间向量法两种求解方法.6. 【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC .又∵AD ⊂平面ABC ,∴1CC AD ⊥.ByOC AEzA 1B 1C 1x又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =，,∴AD ⊥平面11BCC B .又∵AD ⊂平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B . (2)∵1111A B AC =,F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥.又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ⊂平面111A B C ,∴11CC A F ⊥. 又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ,1111CC B C C =,∴1A F ⊥平面111A B C .由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD .又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系.【解析】(1)要证平面ADE ⊥平面11BCC B ,只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可.它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得.(2)要证直线1//A F 平面ADE ,只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可.7. 【解析】解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC,由AB=4,3BC=,90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又E 是CD 的中点,所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE. (Ⅱ)过点B 作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由(Ⅰ)CD⊥平面PAE 知,BG⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知,PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意,知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形,故 3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中,4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以于是85.5PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为解法2:如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为:(Ⅰ)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,,CD AP 分别是PAE 平面,ABCD 平面的法向量,而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以由(Ⅰ)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故解得855h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=,所以四棱锥P ABCD -的体积为 118512851633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由13V S PA =⨯⨯算得体积,或者建立空间直角坐标系,求得高几体积.8.考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解析:(Ⅰ)解法1:在如图1所示的△ABC 中,设(03)BD x x =<<,则3CD x =-.由AD BC ⊥,45ACB ∠=知,△ADC 为等腰直角三角形,所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知,折起后(如图2),AD DC ⊥,AD BD ⊥,且BD DC D =, 所以AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-.于是 312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦, 当且仅当23x x =-,即1x =时,等号成立,故当1x =,即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. 解法2:同解法1,得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+.令321()(69)6f x x x x =-+,由1()(1)(3)02f x x x '=--=,且03x <<,解得1x =.ABC D PE图 ②xy z 345h当(0,1)x ∈时,()0f x '>;当(1,3)x ∈时,()0f x '<. 所以当1x =时,()f x 取得最大值.故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. (Ⅱ)解法1:以D 为原点,建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==.于是可得(0,0,0)D ,(1,0,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)A ,(0,1,1)M ,1(,1,0)2E ,且(1,1,1)BM =-.设(0,,0)N λ,则1(,1,0)2EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=,即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=,故12λ=,1(0,,0)2N .所以当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时,EN BM ⊥. 设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =-,得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n . 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ,则由11(,,0)22EN =--,(1,2,1)=-n ,可得1|1|32sin cos(90)2||||262EN EN θθ--⋅=-===⋅⨯n n ,即60θ=. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60. 解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==. 如图b ,取CD 的中点F ,连结MF ,BF ,EF ,则MF ∥AD .由(Ⅰ)知AD ⊥平面BCD ,所以MF ⊥平面BCD . 如图c ,延长FE 至P 点使得FP DB =,连BP ,DP ,则四边形DBPF 为正方形,所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ,连结EN ,又E 为FP 的中点,则EN ∥DP , 所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ,又EN ⊂面BCD ,所以MF EN ⊥. 又MF BF F =,所以EN ⊥面BMF . 又BM ⊂面BMF ,所以EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥,而点F 是唯一的,所以点N 是唯一的.即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点),EN BM ⊥. 连接MN ,ME ,由计算得52NB NM EB EM ====, 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形,如图d 所示,取BM 的中点G ,连接EG ,NG ,则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中,过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN .故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角.在△EGN 中,易得22EG GN NE ===,所以△EGN 是正三角形, 故60ENH ∠=,即EN 与平面B M N 所成角的大小为60.C AD B 图aE Mx y z图b C AD BEF MN 图c BDP C F N EBG M N E H图d N9. 解析:(Ⅰ)因为PC ⊥平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面平面ABCD ,所以PA BD ⊥.而PC PA P =,PC ⊂平面PAC ,PA ⊂PAC ,所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BD ⊥平面PAC ,而AC ⊂平面PAC ,所以BD AC ⊥,而ABCD 为矩形,所以ABCD 为正方形,于是2A B A D ==.间直角法1:以A 点为原点,AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ,于是()0,2,0BC =,()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ,则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ,从而2020y x z =⎧⎨-=⎩,令1x =,得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =-.所以二面角B PC A --的余弦值为210cos ,10522⋅<>==⨯121212=n n n n n n ,于是二面角B PC A --的正切值为3. 法2:设AC 与BD 交于点O ,连接OE .因为PC ⊥平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,BE ⊂平面BDE ,所以PC OE ⊥,PC BE ⊥,于是OEB ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ,OE ⊂平面PAC ,所以O E B ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得O E P AO C P C=,而2AB AD ==,所以22AC =,2OC =,而1PA =,所以3PC =,于是12233PA OE OC PC =⨯=⨯=,而2OB =,于是二面角B PC A --的正切值为3OBOE=. 10. 【考点定位】本题考查直线与直线、直线与平面以及二面角等基础知识、考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想. 解:(1)以点A 为原点建立空间直角坐标系,设AB a =,则11011(1)102aAD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=,故11B E AD ⊥(2)假设在棱上存在一点(0,0,)P t ,使得//DP 平面1B AE ,则(0,1,)DP t =-设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =,则有100002ax z n AB ax y n AE +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪⋅=⎩⎩,取1x =,可得(1,,)2a n a =--,要使//DP 平面1B AE ,只要DP n ⊥1022a at t ∴-=⇒=,又DP ⊄平面1B AE ,∴存在点P 使//DP 平面1B AE ,此时12AP =.(3)连接11,A D B C ,由长方体11AA AD ==,得11A D AD ⊥11//B C A D ,11AD B C ∴⊥,由(1)知11B E AD ⊥,故1AD ⊥平面11DCB A .1AD 是平面11DCB A 的法向量,而1(0,1,1)AD =,则二面角是30︒,所以,即2AB =11. 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解. 解:设ACBD O =,以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0),(2,0,0),(2,0,2),A C P --设(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -.(Ⅰ)证明:由2PE EC =得22(,0,)33E , 所以(22,0,2)PC =-,22(,,)33BE a =,(0,2,0)BD a =,所以22(22,0,2)(,,)033PC BE a ⋅=-⋅=,(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a ⋅=-⋅=.所以P C ⊥,PC BD ⊥,所以PC ⊥平面BED ;(Ⅱ) 设平面PAB 的法向量为(,,n x y z =,又(0,0,2),(2,,0)AP AB a ==-,由0,0n AP n AB ⋅=⋅=得2(1,,0)n a =,设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =,又(2,,0),(22,0,2)BC a CP ==-,由0,0m BC m CP ⋅=⋅=,得2(1,,2)m a =-,由于二面角A PB C --为90,所以0m n ⋅=,解得2a =.所以(2,2,2)PD =-,平面PBC 的法向量为(1,1,2)m =-,所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为||12||||PD m PD m ⋅=⋅,所以PD 与平面PBC 所成角为6π.【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点E 的位置的选择是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.12. 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大.解:(1)CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1ACD , 又1A C ⊂平面1ACD , 又1AC CD ⊥, ∴1A C ⊥平面BCDE(2)如图建系C xyz -,则()200D -，，,()0023A ，，,()030B ，，,()220E -，， zyxA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M∴()10323A B =-，，,()1210A E =--，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，,则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()123n =-，，又∵()103M -，，∴()103CM =-，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒(3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，,()20DP a =，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，,则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,∴31230a a ++=,612a =-,2a =- ∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直13. 【解析】(I)取11,BC B C 的中点为点1,O O ,连接1111,,,AO OO AO AO则AB AC AO BC =⇒⊥,面ABC ⊥面11BB C C AO ⇒⊥面11BB C C 同理:11A O ⊥面11BB C C 得:1111//,,,AO AO A O A O ⇒共面又11,OO BC OO AO O ⊥=⇒BC ⊥面111AOO A AA BC ⇒⊥(Ⅱ)延长11A O 到D ,使1O D OA = 得:11////O D OA AD OO ⇒1OO BC ⊥,面111A B C ⊥面11BB C C 1OO ⇒⊥面111A B C ⇒AD ⊥面111A B C (Ⅲ)11,AO BC AO BC AOA ⊥⊥⇒∠是二面角1A BC A --的平面角在11Rt OO A ∆中,222211114225A O OO AO =+=+=在1Rt OAA ∆中,22211115cos 25AO AO AA AOA AO AO +-∠==-⨯ 得:二面角1A BC A --的余弦值为55-.。

2012全覆盖卷高考数学应用题真题解析

2012全覆盖卷高考数学应用题真题解析2012年的高考全覆盖卷是一份备受关注的数学应用题试卷。

通过解析这份试题，我们可以更好地了解数学应用题的解题思路和方法，为高考备考提供有力的指导。

本文将对2012年高考数学应用题进行详细解析。

第一题：已知函数f(x)=x^2-x-6，g(x)=√x+1（1）求函数f(x)和g(x)的定义域。

（2）判断函数f(x)和g(x)是否为单调函数，并说明理由。

解析：（1）对于函数f(x)，要使f(x)有意义，首先要保证函数中没有出现除数为零的情况，即√x+1为正数。

解得x>-1。

另外，函数中存在x的平方项，所以定义域还要考虑x的取值范围。

根据实数的定义域，可知函数f(x)的定义域为x>-1。

对于函数g(x)，要使g(x)有意义，根式内不能出现负数或零。

解得x>-1。

所以函数g(x)的定义域为x>-1。

（2）通过求导，可得到函数f(x)的导数为f'(x)=2x-1，这是一个一次函数。

当x>1/2时，f'(x)>0，即f(x)单调递增；当x<1/2时，f'(x)<0，即f(x)单调递减。

所以函数f(x)在定义域x>-1内为单调函数。

函数g(x)的导数为g'(x)=1/(2√x+2)，这是一个单调递减的函数。

所以函数g(x)在定义域x>-1内为单调函数。

第二题：已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，BC=6，AD=8，DP是BM 的垂线，过A、C作水平线，分别交DP于M、N。

求MN的长度。

解析：过A作水平线交DP于M，过C作水平线交DP于N，所以AMNC 为矩形。

梯形ABCD中，已知BC=6，所以MN=BC=6。

第三题：若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4,x}，集合C={x,4,5}，则x的取值范围是多少？解析：由题可知A、B和C的交集不为空，则存在相同的元素。

所以x的取值范围为{x}∩{x}={x}，即x为任意实数。

2012年高考理科数学精彩试题及问题详解全国卷2

实用文档文案大全2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种3. 下面是关于复数iz???12的四个命题中，真命题为（）P1: |z|=2， P2: z2=2i， P3: z的共轭复数为1+i， P4: z的虚部为-1 .A. P2，P3B. P1，P2C. P2，P4D. P3，P44. 设F1，F2是椭圆E: 12222??byax)0(??ba的左右焦点，P为直线23ax?上的一点，12PFF△是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为（）A.21B.32C.43D.545. 已知{a n}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（）A. 7B. 5C. -5D. -76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输入A、B，则（）A. A+B为a1， a2，…，a N的和B.2BA?为a1， a2，…，a N的算术平均数C. A和B分别是a1， a2，…，a N中最大的数和最小的数D. A和B分别是a1， a2，…，a N中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18实用文档文案大全8. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=34，则C的实轴长为（）A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0??，函数)4sin()(????xxf在),2(??单调递减，则?的取值范围是（）A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]10. 已知函数xxxf???)1ln(1)(，则)(xfy?的图像大致为（）A. B. C. D.11. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A.62B. 63C. 32D. 2212. 设点P在曲线x ey21?上，点Q在曲线)2ln(xy?上，则||PQ的最小值为（）A. 2ln1?B.)2ln1(2? C. 2ln1? D. )2ln1(2?第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量a，b夹角为45o，且1?||a，102??||ba，则?||b .14. 设x，y满足约束条件??????????????0031yxyxyx，则2zxy??的取值范围为. 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3 1 1y xo 1 1y x o 1 1y x o 1 1y x o实用文档文案大全正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a满足12)1(1?????naa nnn，则}{n a的前60项和为 .三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本小题12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，0sin3cos????cbCaCa.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.18. （本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n ∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，121AABCAC??，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD. （Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C pyx22?)0(?p 的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点. （Ⅰ）若∠BFD=90o，△ABD面积为24，求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.元件1元件2元件3C BADC1A1 B1实用文档文案大全21. （本小题12分）已知函数121()(1)(0)2x fxfefxx?????. （Ⅰ）求)(xf的解析式及单调区间；（Ⅱ）若baxxxf???221)(，求ba)1(?的最大值. 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF // AB，证明：（Ⅰ）CD = BC；（Ⅱ）△BCD∽△GBD.23. （本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxy???????（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为)3,2(?.（Ⅰ）点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2的取值范围.24. （本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f (x) = |x + a| + |x-2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x) ≤ | x-4 |的解集包含[1, 2]，求a的取值范围.FGDEABC．实用文档文案大全2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学【参考答案】一、选择题：1．【答案：D】解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x，小的是y，共2510C?种选法. 2．【答案：A】解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有1224CC种安排方案. 3．【答案：C】解析：经计算2221,||2(1)21zizziii??????????? =，，复数z的共轭复数为1i??，z的虚部为1?，综上可知P2，P4正确.4．【答案：C】解析：由题意可得，21FPF△是底角为30o的等腰三角形可得212PFFF?，即32()22acc??，所以34cea??. 5．【答案：D】解析：472∵aa??，56478aaaa???，4742aa????，或4724aa???，，14710∵，，，aaaa 成等比数列，1107aa????.6．【答案：C】解析：由程序框图判断x>A得A应为a1，a2，…，a N中最大的数，由x<B得B应为a1，a2，…，a N中最小的数. 7．【答案：B】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为1132323932V??????. 8．【答案：C】解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A(43)?在222xya??上，将点A代入得24a?，所以实轴长为24a?.9．【答案：A】解析：由322,22442kkk??????????????????Z得，1542,24kkk??????Z，15024∵，∴?????.10．【答案：B】实用文档文案大全解析：易知ln(1)0yxx????对(1,0)(0,)x????U恒成立，当且仅当0x?时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B. 11．【答案：A】解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312OABC V?????，226SABCOABC VV????. 12．【答案：B】解析：因为12x ye?与ln(2)yx?互为反函数，所以曲线12x ye?与曲线ln(2)yx?关于直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A，则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.则11()122xx yee?????，2x e??，即ln2x?，故切点A的坐标为(ln2,1)，因此，切点A点到直线y=x距离为|ln21|1ln222d????，所以||22(1ln2)PQ d???. 二、填空题：13．【答案：32】解析：由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||ababaabbaabb???????????o rrrrrr rrrrrr2422||||10bb????rr，解得||32b?r.14．【答案：[3,3]?】解析：画出可行域，易知当直线2Zxy??经过点(1,2)时，Z取最小值-3；当直线2Zxy??经过点(3,0)时，Z取最大值3. 故2Zxy??的取值范围为[3,3]?.15．【答案：38】解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228????. 16．【答案：1830】解析：由1(1)21nnn aan?????得2212124341①②kkkk aakaak?????????????LL，由②?①得,21212kk aa????③由①得, 2143656059()()()()奇偶SSaaaaaaaa??????????L(1117)3015911717702?????????L.由③得, 3175119()()()奇Saaaaaa???????AB C O实用文档文案大全5957()21530aa?????L，所以60()217702301830奇奇奇偶偶SSSSSS?????????.三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由cos3sin0aCaCbc????及正弦定理可得sincos3sinsinACAC?sinsin0BC???，sincos3sinsinsin()sin0ACACACC?????，3sinsincossinACAC?sin0C??，sin0C?Q，3sincos10AA????，2sin()106A?????，1sin()62A???，0A???Q，5666A????????，66A?????，3A???.（Ⅱ）3ABC S?V Q，13sin324bcAbc???，4bc??，2,3aA???Q，222222cos4abcbcAbcbc????????，228bc???，解得2bc??.18．解析：（Ⅰ）当n≥16时，y=16×(10-5)=80，当n≤15时，y=5n-5×(16-n)=10n-80，得1080,(15)()80,(16)nnynNn????????. （Ⅱ）（ⅰ）X可能取60，70，80. P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，X的分布列为：X60 70 80 P0.10.20.7X的数学期望E(X) =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差D(X) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. （ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X的分布列为X55 65 75 85 P0.10.20.160.54X的数学期望E(X) =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4?76，所以应购进17枝玫瑰花. 19．解析：（Ⅰ）证明：设112ACBCAAa???，直三棱柱111CBAABC?，2DCDa???，12CCa?，22211DCDC CC???，1DCDC??.又1DCBD?Q，1DCDCD?I，1DC??平面BDC. BC?Q平面BDC，1DCBC??. （Ⅱ）由 (Ⅰ)知，12DCa?，15BCa?，又已知BDDC?1，3BDa??. 在RtABD△中，3BDa?，,90ADaDAB???o，2ABa??. 222ACBCAB???，C BADAB1实用文档文案大全ACBC??.法一：取11AB的中点E，则易证1CE?平面1BDA，连结DE，则1CE?BD，已知BDDC?1，BD??平面1DCE，BD??DE，1CDE??是二面角11CBDA??平面角. 在1RtCDE△中，111221sin22CEaCDECDa????，130CDE???. 即二面角11CBDA??的大小为30.法二：以点C为坐标原点，为x轴，CB为y轴,1CC为z轴,建立空间直角坐标系Cxyz?.则????????11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2AaaBaDaaCa.??,,DBaaa???uuur，??1,0,DCaa??uuur,设平面1DBC的法向量为1111(,,)nxyz?r，则11111100nDBaxayaznDCaxaz????????????????uuurruuurr，不妨令11x?，得112,1yz??，故可取1(1,2,1)n?r.同理,可求得平面1DBA的一个法向量2(1,1,0)n?r. 设1nr与2nr的夹角为?，则121233cos||||262nnnn???????rrrr, 30???. 由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角11CBDA??的大小为30.20．解析：（Ⅰ）由对称性可知，BFD△为等腰直角三角形，斜边上的高为p，斜边长2BDp?. 点A到准线l的距离2dFBFDp???. 由42ABD S?△得，11224222BDdpp??????，2p??. 圆F的方程为22(1)8xy???. （Ⅱ）由对称性，不妨设点(,)AA Axy在第一象限，由已知得线段AB是圆F的在直径，90o ADB??，2BDp??，32A yp??，代入抛物线:C pyx22?得3A xp?.直线m的斜率为333AF pkp??.直线m的方程为332pxy???. 由pyx22?得22xyp?,xyp??. 由33xyp???得, 33xp?.故直线n与抛物线C的切点坐标为3(,)36pp，直线n的方程为3306pxy???.所以坐标原点到m，n的距离的比值为333412：pp?.实用文档文案大全21．解析：（Ⅰ）1()(1)(0)x fxfefx??????，令x=1得，f (x)=1，再由0x?得(1)fe??. 所以)(xf的解析式为121()(1)(0)2x fxfefxx?????，令21()2x fxexx???，∴()1x fxex????，易知()1x fxex????是R上的增函数，且(0)0f??.所以()00fxx????，()00fxx????，所以函数)(xf的增区间为(0,)??，减区间为(,0)??.（Ⅱ）若baxxxf???221)(恒成立，即21()()(1)02x hxfxxaxbeaxb?????????恒成立，()(1)x hxea????Q.(1)当10a??时，()0hx??恒成立，()hx为R上的增函数，且当x???时，()hx???，不合题意；(2)当10a??时，()0hx?恒成立，则0b?，(1)0ab??；(3)当10a??时，()(1)x hxea????为增函数，由()0hx??得ln(1)xa??，故()0ln(1)fxxa?????，()0ln(1)fxxa?????，当ln(1)xa??时，()hx取最小值(ln(1))1(1)ln(1)haaaab???????. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0haaaab????????，即1(1)ln(1)baaa?????，10a??Q，22(1)(1)(1)ln(1)abaaa???????，令22()ln0uxxxxx??? ()，则()22ln(12ln)uxxxxxxx??????，()00,()0uxxeux???????xe??，所以当xe?时，()ux取最大值()2eue?. 故当1,2eaeb???时，(1)ab?取最大值2e. 综上，若baxxxf???221)(，则ba)1(?的最大值为2e.22．解析：（Ⅰ）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，∴DE//BC. ∵CF//AB，DF//BC，∴CF//BD且CF=BD，∵又D为AB的中点，∴CF//AD且CF=AD，∴CD=AF. ∵CF//AB，∴BC=AF，∴CD=BC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC//GF，∴GB=CF=BD，∠BGD=∠BDG=∠DBC=∠BDC，∴△BCD∽△GBD.23．解析：（Ⅰ）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636????. 所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1,3)、(3,1)?、(1,3)??、(3,1)?. （Ⅱ）设??2cos,3sin P??，则222222||||||||(12cos)(33sin)PAPBPCPD?????????222222(32cos)(13sin)(12cos)(33sin)(32cos)(13sin)??????????????????????FGDEABC．实用文档文案大全??22216cos36sin163220sin32,52?????????.所以2222||||||||PDPCPBPA???的取值范围为??32,52.24．解析：（Ⅰ）当3a??时，不等式3)(?xf?|3||2|3xx????????2323xxx????????????或????23323xxx????????????或????3323xxx???????????或4x?. 所以当3a??时，不等式3)(?xf的解集为?1xx?或?4x?.（Ⅱ）()|4|fxx??的解集包含]2,1[，即|||2||4|xaxx?????对??1,2x?恒成立，即||2xa??对??1,2x?恒成立，即22axa?????对??1,2x?恒成立，所以2122aa????????，即30a???. 故a的取值范围为??3,0?.。

2012高考数学试题及答案全国卷2

2012高考数学试题（全国卷Ⅱ）一．选择题：（共12个小题，每小题5分，满分60分） 1. 复数131ii-++= (A) 2+i(B) 2-i(C) 1+2i(D)1-2i2.已知集合A ={1，3，B ={1，m }，A ∪B =A ，则m =(A) 0(B) 0或3(C) 1(D) 1或33.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x = - 4，则该椭圆的方程为(A) 221612y +x =1(B) 22168y +x =1(C) 2284y +x =1(D) 22124y +x =14.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB = 2，CC 1E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为： (A) 2(B)(C)(D) 15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5 = 5，S 5 =15，则数列{11n n a a +}的前100项和为(A) 100101(B)99101(C)99100(D)1011006.△ABC 中，AB 边的高为CD ，CB = a ，CA = b ，a •b = 0，| a | = 1，| b | = 2，则AD = (A)13a -13b (B)23a -23b (C)35a -35b (D)45a -45b7.已知α 为第二象限的角，sin α +cos α，则cos2α = (A)(B)(C)(D)8.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2-y 2 =2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2 = (A) 14(B)35(C)34(D)459.已知x = ln π，y =log 5 2，z =12e -，则(A) x < y < z(B) z < x < y(C) z < y < x(D) y < z < x10.已知函数y =x 3-3x + c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c = (A) -2或2(B) -9或3(C) -1或1(D) -3或111.将字母a , a , b , b , c , c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同点排列方法共有 (A) 12种(B) 18种(C) 24种(D) 36种12.正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE = BF =37，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 (A) 16(B) 14(C) 12(D) 10二．填空题：（共4个小题，每小题5分，满分20分）13.若x 、y 满足约束条件，则z =3x - y 的最小值为14.当函数y = sin x - cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x = 15.若(x +1x) n 的展开式中第三项与第七项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为16. 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1= 60o ，则异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为二．解答题：（共6个小题，满分70分）17.（本小题满分10分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A - C ) + cos B = 1，a = 2c ，求C .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，ACP A = 2， E 是PC 上的一点，PE = 2EC . (Ⅰ)证明：PC ⊥平面BED ；(Ⅱ)设二面角A -PB - C 为90o ，求PD 与平面PBC19. （本小题满分12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换. 每次发球，胜方得1分，负方得0分. 设再甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中，甲先发球.(Ⅰ)求开始第四次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (Ⅱ)ξ 表示开始第四次发球时乙的得分，求ξ 的期望.x - y +1≥0x + y -3≤0 x + 3y -3≥020. （本小题满分12分）设函数f (x ) = a x + cos x , x∈[0, π] . (Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)设f (x ) ≤1 + sin x，求a的取值范围.21. （本小题满分12分）已知抛物线C：y = (x +1) 2与圆M：(x-1) 2 +( y-12) 2 = r 2 (r > 0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(Ⅰ)求r；(Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22. （本小题满分12分）函数f (x ) = x 2 - 2x - 3 .定义数列{x n}如下：x1= 2，x n+1是过两点P(4, 5)、Q n(x n, f (x n))的直线PQ n与x轴的交点的横坐标.(Ⅰ)证明：2≤x n < x n+1<3 ；(Ⅱ)求数列{x n}的通项公式.答案1.C2.B3.C4.C5.A6.D7.A8.C9.D 10.A 11.A 12.B13. -1 14. 15. 56 16. ………………。

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应用性问题梳理（二）
【数列模型】
【例5】商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；
（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，8
1.05＝1.4774）
【解析几何模型】
【例6】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线
为y轴建立平面直角坐标系（图4）。

考察范围到A、
B两点的距离之和不超过10Km的区域。

（1）求考察区域边界曲线的方程：
（2）如图4所示，设线段
12
PP是冰川的部分边界
线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与
其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动
0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。

问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
【概率统计模型】
【例7】一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p与运动员离飞碟的距离s(米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s(米)与飞行时间t(秒)满足()()
15104
s t t
=+≤≤, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行
第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为4
5
, 当第
一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不
计.
(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率;
(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;
(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个
飞碟的概率.
【例8】某研究小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试的成绩（百分制）如下表所示：
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85分（含85分）以上为优秀。

（参考数据：
802.813
7146)21125(202
=⨯⨯⨯⨯-⨯） 22⨯
⑵根据⑴中表格的数据计算，有多少的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？ ⑶记从这20个人中任取2人，这两人数学成绩与物理成绩都优秀的概率为)(A P ；假设这次考试的人数足够多，现以这20人的情况推测从全体考生中任取2人，这两人数学成绩与物理成绩都优秀的概率为)(B P ，试分别求出)(A P 与)(B P 的值。

基础大题自测（十二）
1、已知复数1sin 2 z x i λ=+
,2() (,,,)z m m x i m x R λ=+∈,且12z z =．（1）若0λ=且0x π
<<，求x 的值；
（2）设λ＝()f x ，已知当x α=时，12λ=
，试求cos(4)3
π
α+的值．
2、如图6，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于
CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O
所在平面，
垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9．
（1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；
（2）求二面角D BC E --的平面角的正切值．
3、某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍。

（1）设买钾肥x 吨，买氮肥y 吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥
各买多少才行？（2）设点),(y x P 在（1）中的可行域内，求10
20
-+=
x y t 的取值范围；
（3）已知)0,10(A ，O 是原点， ),(y x P 在（1）中的可行域内，求s =
范围.。