2017年秋人教A版必修1《1.2函数及其表示》成长训练含解析

主动成长夯基达标1. 下列各组函数是否表示同一个函数?（1）f （x ）＝x ，g （x ）=（x ）2；（2）f 1（x ）=(x+2)2，f 2（x ）＝|x ＋2|；（3）f （x ）＝x 2－2x －1，g （t ）＝t 2－2t －1；（4）y=x ，y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=>0,||0,00,22s s s s s s s思路解析：定义域和对应法则是确定函数的两个基本要素，两个函数是否相同取决于定义域和对应法则是否分别相同.答案：（1）f （x ）＝x 的定义域为R ，g （x ）=（x ）2的定义域为{x ｜x ≥0}，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数.（2）f 1（x ）=2)2(+x =|x+2|，它与f 2（x ）＝｜x ＋2｜的对应法则与定义域均相同，所以是同一个函数.（3）两函数的对应法则和定义域相同，而函数与表示函数的字母无关，所以表示同一函数. （4）两个函数，其中一个是分段函数，它的定义域为R ，不管s ＞0，s ＜0，s ＝0都有y ＝s ，对应法则和y ＝x 相同.因此这两个函数定义域和对应法则都相同，所以它们是相同的函数. 2. 已知函数f （x ）=x 2-2x-3的定义域为F ，g （x ）=31-+x x 的定义域为G ，那么集合F 、G 的关系是( ) A. F=G B. F ⊆G C. G ⊆FD. F ∪G=G思路解析：函数的定义域是使函数思路分析式有意义的自变量的值. F={x|x 2－2x －3≥0}={x|x ≤－1或x ≥3}，G={x|31-+x x ≥0且x －3≠0}={x|x ≤－1或x ＞3}，∴G ⊆F ，选C.答案：C3. 设二次函数f(x)满足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式.思路解析：要求的函数是二次函数，一般可设其为f(x)＝ax 2+bx+c(a ≠0)，然后根据已知条件求出系数a 、b 、c ，从而求得该二次函数.由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图象关于直线x=2对称，故可设函数f(x)＝a(x-2)2+k. 答案：∵f(2+x)＝f(2-x)，∴f(x)的图象关于直线x=2对称.于是，设f(x)＝a(x-2)2+k(a ≠0)，则由f(0)＝3，可得k ＝3-4a ，∴f(x)＝a(x-2)2+3-4a ＝ax 2-4ax+3.∵ax 2-4ax+3＝0的两实根的平方和为10， ∴10＝x 12+x 22＝(x 1+x 2)2-2x 1x 2＝16-a6. ∴a=1.∴f(x)＝(x-2)2-1＝x 2-4x+3. 4. 在下列5个对应中：①f ：N →N *，x →|x －3|；②f ：N →Q ，x →2 x；③f ：{1，2，3，4，5，6}→{－4，－3，0，5，12}，x →x （x －4）；④f ：N →{－1，1}，x →（－1）x；⑤f ：{平面M 内的圆}→{平面M 内的三角形}，圆→圆内接三角形. 其中是映射的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个思路解析：根据映射的定义易知：①不是映射（因为3在N *中无象）；⑤也不是映射（因为圆内接三角形不唯一），其余均是映射. 答案：B5. 某城镇近20年常住人口y （千人）与时间x （年）之间的函数关系如下图.考虑下列说法：①前16年的常住人口是逐年增加的； ②第16年后常住人口实现零增长； ③前8年的人口增长率大于1；④第8年到第16年的人口增长率小于1.在上述四种说法中，正确说法的序号是 .思路解析：由图知前16年中人口不断增加，但增长率小于1，16年后人口零增长. 答案：①②④6. 设f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-<≤-+2,320,2101,22x x x x x 则f ｛f ［f(－43)］｝的值为_________ ，f(x)的定义域是_________．思路解析：∵－1＜－43＜0，∴f(－43)＝2×(－43)＋2＝21. 而0＜21＜2，∴f(21)＝－21×21＝－41.∵－1＜－41＜0， ∴f(－41)＝2×(－41)＋2＝23．因此f ｛f ［f(－43)］｝＝23．函数f(x)的定义域为｛x ｜－1≤x ＜0｝∪｛x ｜0＜x ＜2｝∪｛x ｜x ≥2｝＝｛x ｜x ≥－1且x ≠0｝．答案：23｛x ｜x ≥－1且x ≠0｝ 7. 求函数y=145-+x x 的值域.思路解析：此函数的分子与分母都是关于x 的一次函数,因此可采用分离常数的方法求解.y=145-+x x =19)1(5-+-x x =5+19-x . ∵19-x ≠0, ∴y ≠5,即函数值域为(-∞,5)∪(5,+∞). 答案：(-∞,5)∪(5,+∞)8. 求函数y=322322-++-x x x x 的值域.思路解析：函数的解析式是分式,且分母中变量x 的次数是二次的,所以函数式可化为关于x 的一元二次方程.根据函数的定义,函数的定义域不是空集,所以此一元二次方程有实根,即Δ≥0.我们称这种求值域的方法为“判别式法”.答案：将解析式改写成关于x 的一元二次方程(y-1)x 2+(2y+2)x-(3y+3)=0. 当y ≠1时,Δ≥0,2y 2+y-1≥0⇒y ≥21或y ≤-1. 当y=1时,x=23在其定义域内， 所以值域为(-∞,-1］∪［21,+∞).走近高考9.已知函数f(x)=1122++++kx kx x x 的定义域是R ，则实数k 的取值范围是( )A. k ≠0B. 0≤k<4C. 0≤k ≤4D. 0<k<4思路解析：此题可以采用两种思考方式，一是由于是选择题，分别代入0、4验证可得出答案，或者转化成kx 2+kx+1≠0恒成立，然后分k=0和k ≠0两种情况讨论. 答案：C10.（经典回放）已知f(x x +-11)=2211x x +-，则f(x)的解析式可能为( )A.21x x+ B. -212x x + C. 212x x +D. -21xx + 思路解析：此题是典型的复合函数求解析式问题，可采取换元法解出. 答案：C11.设f(x)＝|x －1|－|x|，则f ［f(21)］等于( ) A. -21 B. 0 C.21 D. 1思路解析：应该先求f(21)的值，然后再带入解析式中可求得f ［f(21)］=1. 答案：D12.已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)>-2x 的解集为(1,3). （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围.思路解析：因为本题给出解析式特征，可采取待定系数法求解.解：(1)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0,得ax 2-(2+4a)x+9a=0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a\59a=0，即5a 2-4a-1=0. 解得a=1或a=-51. 由于a<0,舍去a=1. 将a=-51代入①得f(x)的解析式为f(x)=-51x 2-56x-53. （2）由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a(x-a a 21+)2-aa a 142++及a<0,可得f(x)的最大值为-aa a 142++.由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-00142a a a a ,解得a<-2-3或-2+3<a<0. 故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(-∞,-2-3)∪(-2+3,0). 13. 函数f(x)=xx-+11的定义域为A ，函数y=f ［f(x)］的定义域为B ，则( ) A. A ∪B=B B. A ⊆BC. A ∩B=BD. A=B思路解析：此题的解题目标是确定两个集合的包含关系——相等关系、子集关系，所以要先将两个集合表示出来.表示两个集合时，要注意根据题中分母不能为0的限制条件求出集合A ，还要注意两个函数在对应法则上的联系，即y=f ［f(x)］中的f(x)与f(x)中的x 具有相同的取值范围.据此可以求出集合B.∵1-x ≠0，∴x ≠1,即A=（-∞，1）∪（1，+∞）.又∵y=f ［f(x)］中的f(x)与f(x)中的x 具有相同的取值范围，∴f(x)≠1,即xx-+11≠1.解得x ≠0且 x ≠1 .∴B=（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）. ∴A ∪B=A ≠B ，因此A 不正确.又∵集合A 中的元素0在集合B 中没有相对应的元素，∴集合A 不是集合B 的子集，当然A ≠B.因此，B 不正确，D 也不正确. ∵A ∩B=B ，因此C 正确. 答案：C14. 设f 是从集合A 到集合B 的映射，下列四个说法：①集合A 中的每一个元素在集合B 中都有元素与之对应；②集合B 中的每一个元素在集合A 中也都有元素与之对应；③集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素也不同；④集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素也不同，其中正确的是( ) A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ①④思路解析：根据映射的定义，从集合A 到集合B 的映射f ，只要求集合A 的每一个元素在集合B 中都有“唯一”“确定”的元素与之对应即可.即集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，也没有要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素.①符合映射的定义，∴正确；映射的定义不要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素，∴②不正确；集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，∴③不正确；④正确.∵如果集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素相同，那么就违背了映射定义的“唯一”性原则.综上，①和④正确，因此，选D. 答案：D15. 甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象为( )A. 甲是图①，乙是图②B. 甲是图①，乙是图④C. 甲是图③，乙是图②D. 甲是图③，乙是图④ 答案：B16.设二次函数f(x)=ax 2＋bx+c ，当x=3时取得最大值10，并且它的图象在x 轴上截得的线段长为4，求a 、b 、c 的值. 思路解析：此题注意别被给出二次函数的解析式迷惑，可根据条件先合理选取二次函数的其他表示形式，最后应用比较系数法解决问题.答案：当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成 f(x)＝ a(x-3)2＋10，且a ＜0． 因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图象在x 轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图象与x 轴交点的横坐标分别是1、5．因此，二次函数又可写成f(x)=a(x-1)(x-5)的形式，从而a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，a=-25，所以f(x)=- 25(x-3)2+10=-25x 2+15x-225.因此，a=-25,b=15,c=-225.17. 已知xy ＜0，并且4x 2-9y 2=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．思路解析：4x 2-9y 2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy ＜0呢？看看y 的值是否是唯一确定的. 答案：xy<0⇔⎩⎨⎧<>00y x 或⎩⎨⎧><0y x .因为4x 2-9y 2=36,故y 2=94x 2-4. 又⎪⎩⎪⎨⎧≥->049402x x ⇔x>3或⎪⎩⎪⎨⎧≥-<049402x x ⇔x<-3因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．。