高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何1直线与圆限时速解训练文1
高三数学二轮复习第一篇专题突破专题六解析几何第1讲直线与圆理
跟踪集训
1.已知三点A(1,0),B(0, 3),C(2, )3,则△ABC外接圆的圆心为
.
答案 解析
1
,
2
3 3
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则
1 D F 0,
3 ∴3E F 0,
D
E
7 2D 3E F 0,
F
∴△ABC外接圆的圆心为
2,
4 3
1,
1, 2.
第1讲 直线与圆
考情分析
总纲目录
考点一 直线的方程 考点二 圆的方程 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线的方程
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式:y-y1=k(x-x1).
(2)斜截式:y=kx+b.
(3)两点式: y =y 1
y2 y1
(xxx21≠ xx1x1 2,y1≠y2).
3
3 3
,
2.已知圆C过点(-1,0),且圆心在x轴的负半轴上,直线l:y=x+1被该圆所截
得的弦长为2 2,则圆C的标准方程为
.
答案 (x+3)2+y2=4
解析 设圆心C的坐标为(m,0)(m<0),则圆心C到直线l:y=x+1的距离d= | m ,∴1 | 弦长为2 = (|mm+11)|=22d,2解得2 m=-3或m=21(舍),
<0),因为所求圆与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2 5,所以 a=22(,可2a得)2 a2=45,则a=-2或a=2(舍去).所以所求圆的标准方程 为(x+2)2+(y-4)2=20.
高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆
等，则m的值为( B )
A.0 或－21
B.12或－6
C.－21或21
D.0 或12
|3m＋5| |－m＋7|
解析 依题意，得 m2＋1＝ m2＋1 .
所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，
所以8m2＋44m－24＝0.所以2m2＋11m－6＝0. 所以 m＝12或 m＝－6.
θ≥
22，即OOMN ≥
2 2.
而 ON＝1，∴OM≤ 2.
∵M(x0,1)，∴ x20＋1≤ 2， ∴x20≤1，∴－1≤x0≤1， ∴x0的取值范围为[－1,1]. 答案 [－1,1]
12 3 4
考情考向分析
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有 关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)， 此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题 的形式出现.
D.3x＋y＋1＝0
解析 由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对 称. 设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，
则有 yx00－ ＋21＝－1， y0＋2 2＝x0－2 1＋1
x0＝1， ⇒y0＝0，
即 B′(1,0).
因为B′(1,0)在直线AC上，
所以直线 AC 的斜率为 k＝13－ －01＝12，
3.两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0
间的距离
d＝
|C1－C2| A2＋B2.
(2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 .
例1 (1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x －2y＋3＝0平行，则k的值是( C )
全国高考数学第二轮复习 专题六 解析几何第1讲 直线与圆 文
专题六 解析几何第1讲 直线与圆真题试做1．(2012·安徽高考，文9)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)2．(2012·山东高考，文9)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )．A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离3．(2012·福建高考，文7)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )．A ．2 5B ．2 3C ． 3D ．14．(2012·北京高考，文9)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为__________． 5．(2012·天津高考，文12)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．6．(2012·江苏高考，12)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．考向分析直线与方程是解析几何的基础，高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程；直线平行与垂直的关系的判定；两条直线的交点和距离问题等，一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程及一般方程；利用圆的性质求动点的轨迹方程；直线与圆，圆与圆的位置关系等问题，其中含参数问题为命题热点．一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，从能力要求看，主要考查函数与方程的思想，数形结合思想以及分析问题与解决问题的能力．热点例析热点一 直线方程与两条直线的位置关系【例1】经过点P (2，－3)作圆(x ＋1)2＋y 2＝25的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，求弦AB 所在直线方程．规律方法 (1)求直线方程的方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题目中另一条件求出待定系数．(2)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②两条不重合的直线a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0和a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行的充要条件为a 1b 2－a 2b 1＝0且a 1c 2≠a 2c 1或b 1c 2≠b 2c 1；③两条直线a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0和a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0垂直的充要条件为a 1a 2＋b 1b 2＝0.判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．(3)忽视对直线方程中的字母分类讨论而丢解或增解直线方程的截距式x a ＋y b＝1中，有ab ≠0的限制，而截距可以取正数、负数和零，所以需要对a ，b 分类讨论，否则容易造成丢解．如过点P (2，－1)，在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b 的直线易漏掉过原点的情形．变式训练 1 (1)“a ＝3”是“直线ax －2y －1＝0与直线6x －4y ＋c ＝0平行”的__________条件．( )A ．充要B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要(2)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为__________．热点二 圆的方程【例2】(2011·课标全国高考，文20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 规律方法 圆的方程的求法求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程一般采用待定系数法．特别提醒：圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记． 变式训练2 (1)已知圆C 经过点A (1,3)，B (2,2)，并且直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，则圆C 的方程为__________．(2)我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”．在如图所示的“串圆”中，圆C 1和圆C 3的方程分别为x 2＋y 2=1和(x －3)2+(y －4)2=1，则圆C 2的方程为_____________________.热点三 直线与圆的位置关系【例3】如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ ·BP 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．规律方法 (1)研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题．(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．变式训练3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：(x －3)2＋(y ＋6)2＝25. (1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程． 思想渗透1．数形结合思想解答与圆有关的范围问题时，经常以形助数，巧妙破解．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )． A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3] D ．[1－2，3]解析：方程y ＝x ＋b 表示斜率为1的平行直线系，曲线方程可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆．如图所示，当直线y =x +b 与半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线x －y ＋b ＝0的距离等于2，即|1×2－1×3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍)．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，可得b ＝3，由图可知满足题意的b 的取值范围为1－22≤b ≤3.答案：C2．分类讨论思想遇到字母时往往要对其进行讨论．试判断方程x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋8＝0表示的曲线类型．解：将x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋8＝0配方，得(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2－4.(1)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，原方程表示以(－2，－m )为圆心，m 2－4为半径的圆；(2)当m 2－4＝0，即m ＝±2时，原方程表示点(－2，－2)或(－2,2)；(3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，原方程不表示任何曲线．1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )．A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝23．(2012·安徽安庆二模，5)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．44．(2012·山东潍坊二模，14)若a ，b ，c 是Rt△ABC 的三边的长(c 为斜边长)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为__________．5．(2012·吉林长春实验中学二模，14)圆心在直线x －2y －1＝0上，且经过原点和点(2,1)的圆的方程为__________．6．(2012·湖北武昌5月模拟，13)在圆x 2＋y 2＝4上的点，与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离的最小值是__________．7．已知直线l 过点P (0,2)，斜率为k ，圆Q ：x 2＋y 2－12x ＋32＝0. (1)若直线l 和圆相切，求直线l 的方程； (2)若直线l 和圆交于A ，B 两个不同的点，问是否存在常数k ，使得OA ＋OB 与PQ 共线？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．C 解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2， 解得－3≤a ≤1.2．B 解析：圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为(－2,0)，半径r 1＝2，圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(2,1)，半径r 2＝3，|O 1O 2|＝42＋12＝17， 因为r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2， 所以两圆相交．3．B 解析：由题意作出图象如下图，由图可知圆心到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3.4．2 2 解析：由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y ＝0的距离d ＝22＝ 2.设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.5．3 解析：∵l 与圆相交所得弦的长为2，∴1m 2＋n2＝4－1，∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16.l 与x 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，∴S △AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn |≥12×6＝3.6．43解析：圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，直线y ＝kx －2是过定点(0，－2)的动直线．圆心C 到直线y ＝kx －2的距离d ＝|4k －2|k 2＋1，要使其满足已知条件，则需d ≤1＋1，即|4k －2|k 2＋1≤1＋1，解得0≤k ≤43.故k 的最大值为43.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】解：设圆心为C ，则AB 垂直于CP .k CP ＝－3－02－(－1)＝－1，故直线AB 的方程为y ＋3＝x －2，即x －y －5＝0.【变式训练1】(1)C 解析：两条直线平行的充要条件是：a 6＝－2－4≠－1c，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ≠－2，故“a ＝3”是“直线ax －2y －1＝0与直线6x －4y ＋c ＝0平行”的必要而不充分条件．(2)x ＋y －3＝0 解析：设圆心坐标为(x 0,0)(x 0＞0)．由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|，圆心到直线l 的距离d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知⎝⎛⎭⎪⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4.∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)． 因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.【例2】解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【变式训练2】(1)(x －2)2＋(y －3)2＝1 解析：由已知得，线段AB 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0.因为圆C 经过A ，B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上．又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，所以直线m 经过圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即圆心C (2,3)．而圆的半径r ＝|CB |＝(2－2)2＋(2－3)2＝1， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝94 解析：易求出C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆心C 3(3,4)，半径r 3＝1.设圆C 2的圆心坐标为C 2(a ，b )，半径为r 2，据题意得⎩⎪⎨⎪⎧kC 1C 2＝kC 2C 3，|C 1C 2|＝|C 2C 3|，r 1＋2r 2＋r 3＝5，即可解出⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝2，r 2＝32，故圆C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝94.【例3】解：(1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1.由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ ·BP ＝0， ∴BQ ·BP ＝(BA ＋AQ )·BP ＝BA ·BP ＋AQ ·BP ＝BA ·BP .当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－52， 则BP ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52. 又BA ＝(1,2)，∴BQ ·BP ＝BA ·BP ＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0， 解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BQ ·BP ＝BA ·BP ＝－51＋2k －10k1＋2k＝－5.综上所述，BQ ·BP 是定值，且BQ ·BP ＝－5.【变式训练3】(方法一)(1)证明：设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有d ＝|6m ＋6－8m －3|4m 2＋1， 整理可得4(d 2－1)m 2＋12m ＋d 2－9＝0，① 为使上面关于m 的方程有实数解，则Δ＝122－16(d 2－1)(d 2－9)≥0，解得0≤d ≤10. 可得d ＜5，故不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交． (2)解：由(1)可知0≤d ≤10，即d 的最大值为10.根据平面几何知识可知：当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆C 截得的线段长度最短．∴当d ＝10时，线段(即弦)的最短长度为252－(10)2＝215.将d ＝10代入①可得m ＝－16，代入直线l 的方程得直线被圆C 截得最短线段时l 的方程为x ＋3y ＋5＝0.(方法二)(1)证明：将直线l 的方程变形有：m (2x －8)－y －3＝0， 解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －8＝0，－y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，知直线l 过定点A (4，－3)． 又∵(4－3)2＋(－3＋6)2＜25，∴A 点在圆C 内部， 因此直线l 与圆C 总相交． (2)解：同方法一． 创新模拟·预测演练1．A 解析：直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切⇔圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，即|a －b ＋2|2＝2，|a －b ＋2|＝2.解得a －b ＝0或a －b ＝－4，故选A.2．B 解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )，∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，解得a ＝1，r ＝2，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3．C 解析：可利用数形结合法进行分析解决． 4．2 35．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1102＝2920解析：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，a －2b －1＝0，(a －2)2＋(b －1)2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝65，b ＝110，r 2＝2920，所以所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1102＝2920.6．25 解析：圆的半径是2，圆心(0,0)到l ：4x ＋3y －12＝0的距离d ＝|12|42＋32＝125，所以圆x 2＋y 2＝4上的点与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离的最小值是125－2＝25.7．解：(1)将圆的方程化简，得(x －6)2＋y 2＝4.圆心Q (6,0)，半径r ＝2. 直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，故圆心到直线l 的距离d ＝|6k －0＋2|1＋k 2＝|6k ＋2|1＋k2， 因为直线l 和圆相切，故d ＝r ，即|6k ＋2|1＋k2＝2， 解得k ＝0或k ＝－34，所以，直线l 的方程为y ＝2或3x ＋4y －8＝0. (2)将直线l 的方程和圆的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0， 因为直线l 和圆相交，故Δ＝[4(k －3)]2－4×36×(1＋k 2)＞0，解得－34＜k ＜0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k2，x 1x 2＝361＋k 2，而y 1＋y 2＝kx 1＋2＋kx 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4，OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，PQ ＝(6，－2)．因为OA ＋OB 与PQ 共线，所以－2×(x 1＋x 2)＝6×(y 1＋y 2)， 即(1＋3k )(x 1＋x 2)＋12＝0，代入得(1＋3k )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4(k －3)1＋k 2＋12＝0，解得k ＝－34. 又因为－34＜k ＜0，所以没有符合条件的常数k .。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆练习 文-人教版高三
第1讲 直线与圆1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝1－02＋1－22＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜MN ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________． 答案2553．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______．半径是______． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．4．(2016·课标全国乙)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现．热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．(2)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是______________． 答案 (1)3或5 (2)2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析 (1)两直线平行，则A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0，所以有－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，解得k ＝3或5，且满足条件A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y ＝kx ，由直线过点(5,2)，可得k ＝25，此时直线方程为2x －5y ＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，根据题意设直线方程为x a ＋y2a＝1，由直线过点(5,2)，可得a ＝6，此时直线方程为2x ＋y －12＝0.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为________． 答案 1或2解析 由l 1⊥l 2，则a (3－a )－2＝0， 即a ＝1或a ＝2.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为______________． (2)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)(x －2)2＋(y ±3)2＝4 (2)a <－3或1<a <32解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝± 3.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的圆心为(a,0)，且a <32，并且(a ，a )在圆外，即有a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)， 令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.(2)由直线2x ＋y ＋2＝0和直线ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线的方程为x －y ＋3＝0，设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线x －y ＋3＝0与直线y ＝12x的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝12x ，解得圆心坐标为(－6，－3)，从而得到r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线y ＝kx (k >0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若AB ＝255，则k ＝_________.(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是____________． 答案 (1)12(2)(－1,1]∪{－2}解析 (1)圆心C ()2，0，半径为1，圆心到直线的距离d ＝||2k k 2＋1，而AB ＝255，得(||2k k 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫552＝1，解得k ＝12. (2)曲线x ＝1－y 2，即x 2＋y 2＝1(x ≥0)表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y ＝x ＋b 经过点A (0,1)时，求得b ＝1； 当直线y ＝x ＋b 经过点B (1,0)时，求得b ＝－1；当直线和半圆相切于点D 时，由圆心O 到直线y ＝x ＋b 的距离等于半径， 可得|0－0＋b |2＝1，求得b ＝－2，或b ＝2(舍去)．故当直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点时，b 的取值范围是－1<b ≤1或b ＝－2.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条． 答案 (1)x ±3y ＋4＝0 (2)3解析 (1)如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB 的中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB 中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt△CPQ 中PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.(2)由题意得直线l 为圆(x －22)2＋y 2＝1(A 为圆心)与圆x 2＋(y －1)2＝4(B 为圆心)的公切线，∵AB ＝222＋－12＝3＝1＋2，∴两圆外切，∴两圆共有3条公切线．故答案为3.1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________．押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn 的最小值为________．押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 3＋2 2解析 根据圆心到直线的距离是2得到m ，n 的关系，然后结合不等式即可求解． 由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |m ＋12＋n ＋12＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn ，由m ，n 为正实数，可知m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a (a >0)．故222－5a2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是____________． 答案 x ＋y －5＝0解析 由于直线PA 的倾斜角为45°，且PA ＝PB ，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.2．(教材改编)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(|a ＋1|a 2＋1)2＋(－3)2＝22，解得a ＝0.3．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为________________．答案 3x ＋y ＝0或x －3y ＝0解析 设直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. ∵圆方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝52，∴圆心为(2，－1)，半径为102. 依题意有|2k ＋1|k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，∴直线方程为3x ＋y ＝0或x －3y ＝0.4．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是____________． 答案 {1，－1,3，－3}解析 ∵两个圆有且只有一个公共点， ∴两个圆内切或外切．内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__________． 答案 52－4解析 两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝52，所以(PM ＋PN )min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________．答案 －12解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1， 此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－－1|2＝ 2.7．在平面直角坐标系xOy 中，过点P ()－2，0的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆()x －a 2＋()y －32＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．答案 4解析 由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆()x －a 2＋()y －32＝3的圆心到直线PT 距离为3－322＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4. 8．(2016·课标全国丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝______.答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以CD ＝4. 9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2，3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________． 答案 [1,3]解析 因为直线y ＝k (x －1)恒过P (1,0)，画出图形，直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则直线落在阴影区域内，因为k PA ＝2－03－1＝1， k PB ＝3－02－1＝3，故k 的取值范围是[1,3]．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________．答案 [1,3＋23]解析 设P (x ，y )，设PA ，PB 的夹角为2θ.△ABP 的面积S ＝12PA 2sin 2θ＝PA 2·2PC 1·PA PC 1＝1. 由2PA 3＝PC 21＝PA 2＋2，解得PA ＝2，所以PC 1＝2，所以点P 在圆(x －1)2＋y 2＝4上．所以|m －2|≤m －12＋－m 2≤m ＋2，解得1≤m ≤3＋2 3.13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．答案 ±1解析 设l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2， k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋bx 1)(k ＋b x 2) ＝k 2＋kb (x 1＋x 2x 1x 2)＋b 2x 1x 2 ＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 21＋k 2b 2－4＝k 2b 2－4－2k 2b 2＋k 2b 2＋b 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4， 由k OP ·k OQ ＝k 2l ，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2， 解得k ＝±1.14．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 由题意知圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t 2. 则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ， ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆
8
,
5
4 =
(4 -4) +
=
∴ (4 + 1)2 + (4 -1) = 42 ,解得 4 = 1,
169
2
(4 -4)2 + (4 -2)2 = 42 ,
4 = 25 .
42
∴圆的方程为
42 ,
2
8 2
169
- 5 +(y-1)2= 25 .
[例2-3] (2023·广东揭阳模拟)在某数学活动课上,数学教师把一块三边长分
2
2
|3-1|
2
= 5,
1+
解得
1
k=- 或
2
k=2.
所以直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,此时圆心(0,-2)到直线的距离
为3,不满足题意.
综上,直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.
(3)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮
经检验知,a=2 或 a=-1 时,l1∥l2.
1
当 a=2 时,d=
当
2-2
2
=
|2+1|
a=-1 时,d=
5
故 a=-1 满足题意.
3 2
.
4
=
3 5
.
5
(2)圆x2+y2+4y=0的圆心到经过点M(-3,-3)的直线l的距离为 5 ,则直线l的
方程为( B )
A.x+2y-9=0或2x-y+3=0
解析 (1)由题意,设圆 C 的圆心为 C(a,0)(a>0),
高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆课后强化训练
专题六 第一讲 直线与圆A 组1．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为 ( B )A ． 2B ．823C ． 3D ．833[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2≠18，求得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋－2＝823.故选B ． 2．(文)(2017·哈三中一模)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为 ( D )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3．(理)⊙C 1：(x －1)2＋y 2＝4与⊙C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2＋y 2＝4截得弦长为 ( D )A ．13B ．4C ．43913D ．83913[解析] 由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0． 圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，⊙O 的半径R ＝2，∴截得弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913． 3．(2017·湖南岳阳一模)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为 ( B )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0[解析] 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)，故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0．4．(2017·南昌一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是 ( D )A ．[－13，0)B ．(－13，0)C ．(－13，＋∞)D ．(－∞，－13)∪(0，＋∞)[解析] 本题考查点到直线的距离、直线的斜率．由题意得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10， 整理得x 0＋3y 0＋2＝0.又y 0<x 0＋2，设y 0x 0＝k OM ，如图，当点位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点位于射线BN (不包括端点B )上时，k OM <－13，所以y 0x 0的取值范围是(－∞，－13)∪(0，＋∞)．故选D ．5．(2017·重庆适应性测试)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝ ( D )A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 5[解析] 本题主要考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，圆心C 到y 轴的距离为1，且|CA |＝|CB |＝2，则CA ⊥CB ，因此圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，故选D ． 6．(2017·广东综合测试)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是 ( C ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22)D ．[3，22][解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，|AB →|≤23|OD →|，又因为|OD →|2＋14|AB →|2＝4，所以|OD →|≥1.因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点，所以|OD →|<2，所以1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 2<2，解得2≤k <22， 故选C ．7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__2__.[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2．8．(2017·天津耀华中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是__(－13,13)__.[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题． 要使圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c |122＋52<1，解|c |<13，∴－13<c <13．9．(2017·河北唐山调研)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k为常数).(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解析] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13．综上可知，k 的值为1或13．(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2， 解得k <－17或k >1．10．(2017·济南模拟)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[解析] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ， 所以|AD |＝23，|AC |＝4．C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2．若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0．由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34．故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0．直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0． 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0．B 组1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( D )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D ．2．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝ ( C ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10[解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，所以k AB ·k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ．3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为 ( A )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 设圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)的圆心为C ，弦AB 的中点为D ，易知C (－1,2)，又D (－2,3)，故直线CD 的斜率k CD ＝3－2－2－－＝－1， 则由CD ⊥l 知直线l 的斜率k l ＝－1k CD＝1，故直线l 的方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0．4．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为 ( C )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．5[解析] 解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5．解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝|2θ－π4＋a ＋2|2．△ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×|2θ－π4＋a ＋2|2＝|2sin(θ－π4)＋a ＋2|，当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1； 当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解； 当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5．解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ， 两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离， 即|m －2|2＝|±2－a －2|2， (S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|．当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1．当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5． 故a ＝1或－5．5．若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是 ( A )A ．－33B ．－ 3C ．33D ． 3[解析] 由条件知，|cos θ＋sin 2θ－1|cos 2θ＋sin 2θ＝14， ∵θ为锐角，∴cos θ＝12，∴sin θ＝32．∴直线的斜率k ＝－cos θsin θ＝－33，故选A ．6．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是 ( C )A ．a >7或a <－3B ．a >6或a <－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －＋a |5<5－＋a 2＋1|5<5得－6<a <6，两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧－＋a |5>5－＋a 2＋1|5>5得a <－3，或a >7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C ．7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9所截得弦长为[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12c 2，∴圆心到直线距离d ＝|c |a 2＋b2＝c12c 2＝2，∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－2＝27．8．已知过点P (2,1)有且只有一条直线与圆C ：x 2＋y 2＋2ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0相切，则实数a ＝__－1__.[解析] 由条件知点P 在⊙C 上，∴4＋1＋4a ＋a ＋2a 2＋a －1＝0，∴a ＝－1或－2． 当a ＝－1时，x 2＋y 2－2x －y ＝0表示圆，当a ＝－2时，x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0不表示圆，∴a ＝－1．9．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)， 则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2． 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92．故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－m22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
(理通用)2019届高考数学大二轮复习-第1部分 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆课件
解得 D＝－2，E＝0，F＝0，
所以圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.
5．(2018·全国卷Ⅰ，15)直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＋2y－3＝0 交于 A，B 两点， 则AB＝__2__2___.
[解析] 由 x2＋y2＋2y－3＝0，得圆心为(0，－1)，半径为 2，
所以圆心到直线的距离
d＝
2．过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点，且到点 P(0,4)距 离为 2 的直线方程为__y_＝__2_或___4_x_－__3_y_＋__2_＝__0__.
[解析] 由x2－x＋2y3＋y－3＝8＝0，0 得xy＝＝12，. ∴l1 与 l2 交点为(1,2)，直线 x＝1 显然不适合． 设所求直线为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y＋2－k＝0， ∵P(0,4)到直线距离为 2，∴2＝|－12＋－kk2|. ∴k＝0 或 k＝43. ∴直线方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0.
7．(2017·天津卷，12)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为
l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A．若
∠FAC＝120°，则圆的方程为___(_x_＋__1_)2_＋__(_y－____3_)2_＝__1____.
[解析] 由 y2＝4x 可得点 F 的坐标为(1,0)，准线 l 的方程为 x＝－1.由圆心 C 在 l 上，且圆 C 与 y 轴正半轴相切(如图)，可得点 C 的横坐标为－1，圆的半径为 1， ∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝ 3，所以点 C 的 纵坐标为 3.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1.
(5)直线的两种位置关系 ①当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时： (ⅰ)两直线平行：l1∥l2⇔__k_1＝__k_2__. (ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2⇔_k_1_·k_2_＝__－__1__. ②当两直线方程分别为 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 时： (ⅰ)l1 与 l2 平行或重合⇔A1B2－A2B1＝0. (ⅱ)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[推荐学习]高考数学二轮复习第1部分专题六解析几何1直线与圆限时速解训练文1
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限时速解训练十五 直线与圆(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D.由题意可得圆的半径r ＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D. 2．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12解析：选D.依据题意得圆的圆心为(1,1)，半径为r ＝1.因为直线和圆相切，所以|3＋4－b |32＋422＝1，解得b ＝12或b ＝2，故选D.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心G ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选A.圆心坐标为(－1,0)，所求直线的斜率为1，所以方程为x －y ＋1＝0，故选A. 4．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数为( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选 B.C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心距d ＝|C 1C 2|＝＋2＋＋2＝13.|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2相交，有两条公切线，故选B.5．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(2，－4)，半径为5，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，故弦长为252－＋2＝8，故选B.6．若两直线l 1：3x ＋4y ＋a ＝0与l 2：3x ＋4y ＋b ＝0都与圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0相切，则|a －b |＝( ) A. 5B ．2 5C ．10D ．20解析：选D.注意到直线l 1与l 2平行，且它们间的距离等于d ＝|a －b |5；又直线l 1，l 2均与题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有|a －b |5＝4，即|a －b |＝20，故选D.7．(2016·山东潍坊模拟)圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A ．1013 B ．921 C ．1023D ．911解析：选C.因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.8．(2016·山东烟台诊断)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为( ) A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D.圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)，半径r ＝1，圆心到直线的最小距离d ＝5k 2＋1＝22＋12，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)，故选D.9．(2016·河北石家庄二检)若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( ) A ．[4,6] B ．(4,6) C ．[5,7]D ．(5,7)解析：选B.因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4＜r ＜6，故选B.10．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：x (y －mx －m )＝0有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，3)B ．(－3，0)∪(0，3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 D.⎝⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：选D.由x (y －mx －m )＝0可知x ＝0，y ＝m (x ＋1)，当直线y ＝m (x ＋1)与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切时，m ＝±33，当m ＝0时，只有两个公共点，因此m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33，故选D.11．(2016·山东潍坊模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．4解析：选B.由图可知，若圆C 上存在点P 使得∠APB ＝90°，则圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以m －1≤32＋42≤m ＋1，即4≤m ≤6.12．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB＝1时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．不存在解析：选A.结合图形求解．曲线y ＝2－x 2是半圆(如图)，当△AOB 的面积等于1时，12×2×2sin ∠AOB ＝1，∠AOB ＝90°，此时圆心O 到直线AB 的距离OC ＝1，又OP ＝2，易得∠CPO ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，故选A.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则该圆的标准方程是________．解析：根据题意，设圆的方程为(x －2)2＋(y －a )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－4－a 2＝r 2，－2＋－2－a2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝514．已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线互相平行可得a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 答案：2515．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心坐标为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以－2＋－m2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝25416．已知P 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点，PA ，PB 是圆(x －4)2＋(y －5)2＝4的切线，A ，B 为切点，则∠APB 的最大值为________．解析：依题意，圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心C 1(1,1)、半径是1；圆心C 2(4,5)、半径是2，且sin ∠APB 2＝|AC 2||PC 2|＝2|PC 2|，当|PC 2|最小时，sin ∠APB2最大，∠APB 最大，|PC 2|的最小值等于|C 1C 2|－1＝4，因此sin ∠APB 2的最大值是12，∠APB2的最大值是30°，即∠APB 的最大值是60°. 答案：60°。
高考数学二轮复习专题6解析几何第一讲直线与圆练习文
高考数学二轮复习专题 6 分析几何第一讲直线与圆练习文配套作业一、选择题1．已知两条直线y＝ ax－2和y＝( a＋2) x＋1相互垂直，则 a 等于( D)A．2 B ．1C．0 D ．－1分析：解法一将选项分别代入题干中察看，易求出D切合要求．应选D.解法二∵直线y＝ ax－2和y＝( a＋2) x＋1相互垂直，∴a( a＋2)＝－1.∴ a＝－1.故选D.2. (2015 ·江苏卷改编) 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－ y －2m－ 1＝ 0( m∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为(A)A． ( x－ 1) 2＋y2＝ 2 B ． ( x－1) 2＋ ( y－1) 2＝ 2C．x2＋ ( y－ 1) 2＝ 2 D ． ( x－2) 2＋ ( y－1) 2＝ 2分析：直线 mx－ y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2 ，－ 1) 时，圆的半径最大，此时半径r 知足 r 2＝(1－2)2＋(0＋1) 2＝2.3．(2015 ·北京卷 ) 圆心为 (1 ， 1) 且过原点的圆的方程是( D)A． ( x－ 1) 2＋ ( y－1) 2＝ 1B． ( x＋ 1) 2＋ ( y＋1) 2＝ 1C． ( x＋ 1) 2＋ ( y＋1) 2＝ 2D． ( x－ 1) 2＋ ( y－1) 2＝ 2分析：圆的半径 r ＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，圆心坐标为(1，1)，因此圆的标准方程为 ( x－1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 2.4．对随意的实数k，直线 y＝ kx＋1与圆 x2＋ y2＝2的地点关系必定是( C)A．相离 B ．相切C．订交但直线可是圆心D ．订交且直线过圆心分析：解法一112＝r，且圆心 C(0，0)到直线 kx－ y＋1＝0的距离为 d＝≤ ＜1＋k2 1圆心 C(0，0)不在该直线上．解法二直线 kx－ y＋1＝0恒过定点(0，1)，而该点在圆C内，且圆心不在该直线上．故选 C.5．已知圆的方程为x 2＋y2－ 6－8y＝ 0. 设该圆过点 (3 ， 5) 的最长弦和最短弦分别为AC x和 BD，则四边形 ABCD的面积为( B)A．10 6 B ．20 6 C．30 6 D．40 6分析：由 x2＋ y2－6x－8y＝0，得( x－3)2＋( y－4)2＝25，圆心为(3，4)，半径为 5.又点 (3 ，5) 在圆内，则最长弦 | AC| ＝ 10，最短的弦 | BD| ＝2·25－（ 3－ 3）2－（ 4－ 5）2＝224＝4 6，1∴ S 四边形ABCD＝2×10×46＝20 6.6．(2015 ·新课标Ⅱ卷) 已知三点A(1 ， 0) ，B(0 ，3) ，C(2 ，3) ，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( B)5B.21A.33254C. 3D.3分析：在座标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝| AC|＝|BC|＝2( 也能够借助图形直接察看得出) ，因此△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E 为外2心，同时也是重心．因此 | AE| ＝ 3| AD| ＝23，进而 |3OE|＝22OA＋AE＝41＋ 3＝213，应选 B.二、填空题7．(2014 ·陕西卷) 若圆C的半径为1，其圆心与点(1 ， 0) 对于直线y＝ x 对称，则圆C 的标准方程为________．分析：因为圆心与点(1 ，0) 对于直线y＝ x 对称，因此圆心坐标为(0 ，1) ．因此圆的标准方程为： x 2＋ ( y － 1) 2 ＝1.答案： x 2＋ ( y － 1) 2 ＝18．(2014 ·湖北卷 ) 直线 l 1：y ＝ x ＋ a 和 l 2：y ＝ x ＋b 将单位圆 C ：x 2＋ y 2＝1 分红长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．分析： 依题意，设 l1 与单位圆订交于A ，B 两点，则∠ AOB ＝ 90° . 如图，当a ＝1，b ＝－1 时知足题意，因此a 2＋b 2＝ 2.答案： 2三、解答题9．已知圆 ：2＋ y2－ 2 ＋ 4 － 4＝ 0，能否存在斜率为1 的直线l ，使以 l 被圆 C 截得C x x y的弦长 AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明原因．分析： 圆 C 化成标准方程为 ( x － 1) 2＋( y ＋ 2) 2＝ 9.假定存在以 AB 为直径的圆 M ，圆心 M 的坐标为 ( a ，b ) ，因为 CM ⊥l ，∴kkb ＋ 2＝－ 1，a －1CM l× 1＝－ 1，∴ a ＋ b ＋ 1＝ 0，得 b ＝－ a －1. ① 直线 l 的方程为 y － b ＝ x － a ，即 x －y ＋ b － a ＝ 0.| b － a ＋ 3|| CM |＝，∵以 AB 为直径的圆 M 过原点，2∴ | MA |＝ | MB | ＝| OM |.222| b － ＋3| 2222| － ＋3|22 2∴ | MB | ＝| CB | －| CM | ＝9－a＝ | OM | ＝ a ＋ b ，即 9－b a＝ a ＋b . ②223由①②得 a ＝ 或 a ＝－ 1，35当 a ＝ 2时， b ＝－ 2，此时直线 l 的方程为 x －y － 4＝ 0；当 a ＝－ 1 时， b ＝ 0，此时直线 l 的方程为 x － y ＋ 1＝0.故这样的直线 l 是存在的，方程为x － y － 4＝0 或 x －y ＋ 1＝ 0.1 2 2 2 210．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ： ( x ＋ 3) ＋ ( y － 1) ＝ 4 和圆 C ： ( x － 4) ＋ ( y－ 5) 2＝ 4.(1) 若直线 l 过点 A (4 ， 0) ，且被圆 C 1 截得的弦长为 2 3，求直线 l的方程；(2) 设 P 为平面上的点，知足：存在过点 P 的无量多对相互垂直的直线 l 1 和 l 2，它们分别与圆 C 1 和圆 C 2 订交，且直线 l 1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等， 试求全部知足条件的点 P 的坐标．分析： (1) 因为直线 x ＝ 4 与圆 C 不订交，因此直线 l 的斜率存在． 设直线 l 的方程为 y1＝k ( x － 4) ，即 kx － y －4k ＝ 0. 由垂径定理， 得圆心 C 到直线的距离 d ＝22 3 22 －＝ 1，12| － 3k － 1－ 4 k |联合点到直线距离公式，得k 2＋ 1＝ 1.化简，得 24k 2＋ 7k ＝ 0，解得 k ＝ 0 或 k ＝－ 7 .24 7因此直线 l 的方程为： y ＝ 0 或 y ＝－ 24( x － 4) ，即 y ＝ 0 或 7x ＋ 24y － 28＝ 0.1(2) 设点 P 坐标为 ( m ， n ) ，直线 l 1， l 2 的方程分别为： y － n ＝ k ( x － m ) ， y － n ＝－ k ( x －m )( k ≠0) ，11即： kx － y ＋ n －km ＝ 0，－ k x － y ＋n ＋ k m ＝ 0.因为直线 l 1 被圆 C 1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得圆心 C 1 到直线 l 1 与圆心 C 2 到直线 l 2 的距离相等．－－ ＋ －41|3k－ k － 5＋ n ＋ k m1nkm |，故有k 2＋ 1＝12k ＋ 1化简得 (2 － m － n ) k ＝ m － n － 3 或 ( m －n ＋ 8) k ＝m ＋ n － 5，对于 k 的方程有无量多解，有2－m－n＝ 0，m－n＋8＝0，或m－n－3＝0m＋n－5＝0，解得点 P 坐标为－3，13或5，－ 1.2222经查验，以上两点知足题目条件．11．已知过点A(－1，0)的动直线 l 与圆 C：x2＋( y－3)2＝4订交于 P，Q两点， M是 PQ 中点， l 与直线 m： x＋3y＋6＝0订交于点 N.(1)求证：当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C；(2)当 PQ＝2 3时，求直线 l 的方程．1分析： (1) ∵l与m垂直，且k m＝－3，∴k l＝3.故直线 l 方程为 y＝3( x＋1)，即3x－ y＋3＝0.∵圆心坐标 (0 ，3) ，知足直线l 方程．∴当 l 与 m垂直时， l 必过圆心 C.(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－1切合题意．②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 y＝ k( x＋1)，即 kx－ y＋ k＝0，∵ PQ＝23，CM＝ 4－3＝ 1，| － 3＋k|4则由 CM＝k2＋1＝1，得k＝3.∴直线 l ：4x－3y＋4＝0.故直线 l 的方程为 x＝－1或4x－3y＋4＝0.。
高考数学大二轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆复习指导课后强化训练(2021年整理)
专题六第一讲A组1．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为错误!（ B ）A． 2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］由l1∥l2知3＝a（a－2)且2a≠6(a－2），2a2≠18,求得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋错误!＝0,两条平行直线l1与l2间的距离为d＝错误!＝错误!.故选B．2．(文）（2017·哈三中一模)直线x＋y＋错误!＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为错误!( D )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析］弦心距d＝错误!＝1,半径r＝2,∴劣弧所对的圆心角为错误!．（理）⊙C1：（x－1)2＋y2＝4与⊙C2：（x＋1）2＋（y－3）2＝9相交弦所在直线为l,则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为错误!（ D )A．错误!B．4C．错误!D．错误![解析］由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0．圆心O(0，0）到l的距离d＝错误!，⊙O的半径R＝2，∴截得弦长为2错误!＝2错误!＝错误!．3．（2017·湖南岳阳一模）已知圆C:x2＋(y－3）2＝4，过A(－1，0）的直线l与圆C 相交于P,Q两点．若|PQ｜＝2错误!,则直线l的方程为错误!( B )A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0［解析] 当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意;当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1），由|PQ|＝2错误!,则圆心C到直线l的距离d＝错误!＝1，解得k＝错误!，此时直线l的方程为y＝错误!(x＋1），故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0．4．(2017·南昌一模)已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上,线段PQ的中点为M(x0,y0)，且y0〈x0＋2,则错误!的取值范围是错误!（ D ）A．［－错误!，0）B．(－错误!，0）C．（－错误!，＋∞) D．(－∞，－错误!)∪(0，＋∞)[解析］本题考查点到直线的距离、直线的斜率．由题意得错误!＝错误!，整理得x0＋3y0＋2＝0.又y0<x0＋2，设错误!＝k OM,如图，当点位于线段AB(不包括端点）上时，k OM>0，当点位于射线BN(不包括端点B）上时，k OM<－错误!,所以错误!的取值范围是（－∞，－错误!)∪(0，＋∞)．故选D．5．(2017·重庆适应性测试）已知圆C：（x－1）2＋（y－2)2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝导学号 52134696( D ）A．－错误!B．±错误!C．－错误!D．±错误![解析] 本题主要考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，圆心C到y轴的距离为1，且｜CA｜＝｜CB|＝错误!，则CA⊥CB，因此圆心C（1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是有错误!＝1，解得b＝±错误!，故选D．6．（2017·广东综合测试）已知直线x＋y－k＝0(k〉0）与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是原点，且有|错误!＋错误!｜≥错误!|错误!｜,则k的取值范围是错误!( C ) A．（错误!,＋∞）B．［错误!，＋∞)C．［错误!,2错误!）D．[错误!,2错误!][解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB的中点为D，则OD⊥AB，因为｜错误!＋错误!｜≥错误!|错误!|，所以|2错误!|≥错误!|错误!|,|错误!｜≤2错误!｜错误!|，又因为｜错误!｜2＋错误!｜错误!|2＝4，所以|错误!|≥1。
高考数学二轮复习专题6解析几何第1讲直线与圆文
第1讲直线与圆直线的方程及应用1.(2015贵州模拟)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( A )(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0解析:由题意,可设所求直线方程为x-2y+C=0,又因为点(-1,3)在所求直线上,所以-1-2×3+C=0,解得C=7.故选A.2.(2015长春调研)一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )(A)m>1且n<1 (B)mn<0(C)m>0且n<0 (D)m<0且n<0解析:因为y=-x+经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此其必要不充分条件为mn<0.故选B.3.(2015郑州模拟)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( D )(A)(-1,) (B)(-∞,)∪(1,+∞)(C)(-∞,1)∪(,+∞) (D)(-∞,-1)∪(,+∞)解析:如图,k AB=-1,k AC=,因此满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪(,+∞).故选D.4.(2015山西模拟)已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为( C )(A)5 (B)4 (C)2 (D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=,所以|ab|=|a×|=|a+|=|a|+||≥2.故选C.5.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( C )(A)(B)2(C)3(D)4解析:由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离都相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0(m<0),根据平行线间的距离公式得,=,即|m+7|=|m+5|,所以m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.故选C.圆的方程及应用6.(2015辽宁模拟)圆心在直线y=x上,经过原点,且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为( C )(A)(x-1)2+(y-1)2=2(B)(x-1)2+(y+1)2=2(C)(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2(D)(x-1)2+(y+1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2解析:由于圆心在y=x上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=r2,将原点(0,0)代入圆的方程得r2=2a2,①由圆在x轴上截得弦长为2,得r2=a2+1,②由①②得所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.7.(2015黑龙江模拟)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为( A )(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+(y-1)2=5(C)(x-1)2+(y-2)2=25 (D)(x-2)2+(y-1)2=25解析:设此圆的圆心坐标为(x0,)(x0>0),则圆的半径r=≥=,当且仅当2x0=,x0=1时,等号成立,圆的面积最小,此时圆心坐标为(1,2),半径为,所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.故选A.8.以双曲线-=1的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是.解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨取y=x,即4x-3y=0.双曲线的右焦点为(5,0),圆心到直线4x-3y=0的距离为d==4,即圆的半径为4,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+y2=16.答案:(x-5)2+y2=16直线与圆、圆与圆的位置关系9.(2015资阳市高三适应性检测)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( C )(A)相离(B)相切(C)相交且不过圆心(D)相交且过圆心解析:对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且点(0,1)在圆x2+y2=4内,所以对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心.故选C.10.(2015惠州模拟)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( B )(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离解析:两圆心的距离为,且1<<5,即|r1-r2|<d<r1+r2,因此两圆相交.故选B.11.(2015安徽模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l过点(1,0)且与直线x-y+1=0垂直.若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB的面积为( A )(A)1 (B)(C)2 (D)2解析:圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,圆心为(0,-1),半径为2,直线方程l的斜率为-1,方程为x+y-1=0.圆心C到直线l的距离d==.弦长|AB|=2=2=2,又坐标原点O到AB的距离为,所以△OAB的面积为×2×=1.故选A.12.(2015江西模拟)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0,和圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则b的取值范围为( D )(A)(,)(B)(0,)(C)(0,)(D)(,)∪(,+∞)解析:圆C的标准方程为(x+1)2+y2=b2,由两直线平行可得a(a+1)-6=0,解得a=2或a=-3,又当a=2时,直线l1与l2重合,舍去,此时两平行线方程分别为x-y-2=0和x-y+3=0;由直线x-y-2=0与圆(x+1)2+y2=b2相切,得b==,由直线x-y+3=0与圆相切,得b==,当两直线与圆都相离时,b<,所以“平行相交”时,b满足故b的取值范围是(,)∪(,+∞).13.圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a= .解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为=.由22+()2=2-a,得a=-4.答案:-414.(2014湖北卷)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .解析:由题意得,直线l1截圆所得的劣弧长为,则圆心到直线l1的距离为,即=⇒a2=1,同理可得b2=1,则a2+b2=2.答案:2一、选择题1.(2015贵州模拟)过点P(1,3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为( D )(A)x+y-4=0 (B)3x-y=0(C)x+y-4=0或3x+y=0 (D)x+y-4=0或3x-y=0解析:若直线过原点,设直线方程为y=kx,把点P(1,3)代入得k=3,此时直线为y=3x,即3x-y=0.若直线不经过原点,则设直线方程为+=1,即x+y=a.把点P(1,3)代入得a=4,所以直线方程为x+y=4,即x+y-4=0,故选D.2.(2015哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为( A )(A)135°(B)120°(C)60° (D)45°解析:由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f(),即-b=a,因此直线l的斜率为-1,倾斜角为135°.3.(2015唐山模拟)直线l:x=my+2与圆M:x2+2x+y2+2y=0相切,则m的值为( B )(A)1或-6 (B)1或-7(C)-1或7 (D)1或-解析:圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2,圆心为(-1,-1),半径为,由题意直线与圆相切,即d==,解得m=-7或m=1.故选B.4.(2015贵州模拟)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为( C )(A)2x+y-3=0 (B)x-2y+1=0(C)2x-y-1=0 (D)x+2y-3=0解析:圆(x-3)2+y2=9的圆心为A(3,0),所以AP⊥MN,AP的斜率为k==-,所以直线MN的斜率为2,所以弦MN所在直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,选C.5.(2015福建模拟)若不论m取何实数,直线l:mx+y-1+2m=0恒过一定点,则该定点的坐标为( A )(A)(-2,1) (B)(2,-1) (C)(-2,-1) (D)(2,1)解析:直线l的方程可化为m(x+2)+y-1=0,由得故直线l恒过定点(-2,1).故选A.6.(2015哈尔滨模拟)已知点P(1,2)和圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0,过P作C的切线有两条,则k 的取值范围是( D )(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,)(C)(-,0) (D)(-,)解析:若x2+y2+kx+2y+k2=0表示一个圆,则k2+4-4k2=4-3k2>0,即-<k<,若过点P作圆的切线有两条,则P点在圆C:x2+y2+kx+2y+k2=0外,将P(1,2)坐标代入后得到k2+k+9>0,由于k2+k+9=(k+)2+8>0恒成立,所以k的取值范围是(-,).故选D.7.(2015河北模拟)直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为( B )(A)(B)2(C)(D)解析:由已知可得圆心到直线的距离为d=,所以|EF|=4,所以S△ECF=×4×=2.故选B.8.(2014安徽卷)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( D )(A)(0,] (B)(0,] (C)[0,] (D)[0,]解析:设过点P的直线方程为y=k(x+)-1,则由直线和圆有公共点知≤1.解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是[0,].9.(2015江西模拟)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线l距离分别是,-,则满足条件的直线l共有( C )(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条解析:当A,B位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两条;因为|AB|==,而A到直线l与B到直线l距离之和为+-=,所以当A,B位于直线l两侧时,存在一条与AB垂直且距离A,B分别为,-的直线,综合可知满足条件的直线共有3条.10.已知直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是原点),则点P(a,b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( A )(A)+1 (B)2 (C)(D)-1解析:由题意知∠AOB为直角,则原点到直线ax+by=1的距离为d==,则+a2=1,显然M(0,1)为椭圆+a2=1的焦点,所以点P(a,b)与点M(0,1)之间的最大值为+1,选A.11.(2015佳木斯模拟)已知实数x,y满足x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y-2|的最小值是( A )(A)5-(B)4-(C)-1 (D)5解析:将x2+y2-4x+6y+12=0化为(x-2)2+(y+3)2=1,|2x-y-2|=×,所以|2x-y-2|表示圆(x-2)2+(y+3)2=1上的点到直线2x-y-2=0的距离的倍,而()min=-1=-1,所以|2x-y-2|的最小值为×(-1)=5-.故选A.二、填空题12.(2015潍坊模拟)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是.解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3.点(a,b)到圆心的距离为d====,所以当a=2时,d有最小值=3.此时切线长最小为==4.答案:413.当且仅当m≤r≤n时,两圆x2+y2=49与x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r>0)有公共点,则n-m的值为.解析:整理x2+y2-6x-8y+25-r2=0,得(x-3)2+(y-4)2=r2,该圆圆心是(3,4),半径为r,要使两圆有公共点需|r-7|≤≤7+r,即2≤r≤12,进而可知m=2,n=12,所以n-m=10.答案:1014.(2015赤峰市高三统考)已知☉O:x2+y2=1,若直线y=kx+2上总存在点P,使得过点P的☉O 的两条切线互相垂直,则实数k的取值范围是.解析:因为圆心为O(0,0),半径R=1.设两个切点分别为A,B,则由题意可得四边形PAOB为正方形,故有PO=R=,由题意知圆心O到直线y=kx+2的距离小于或等于PO=,即≤,即1+k2≥2,解得k≥1或k≤-1.答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)15.(2015安徽省黄山模拟)在直角坐标系中,定义两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离为d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题:①若P,Q是x轴上两点,则d(P,Q)=|x1-x2|;②已知两点P(2,3),Q(sin2α,cos2α),则d(P,Q)为定值;③原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)的最小值为;④若|PQ|表示P,Q两点间的距离,那么|PQ|≥d(P,Q);其中为真命题的是(写出所有真命题的序号).解析:①若P,Q是x轴上两点,两点纵坐标均为0,则d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命题正确;②若两点P(2,3),Q(sin2α,cos2α),则d(P,Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4,所以命题正确;③设直线上任意一点为(x,x+1),则原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,即其最小值为1,所以命题错误;④由基本不等式a2+b2≥(a+b)2,得|PQ|=≥(|x1-x2|+|y1-y2|)=d(P,Q),所以命题成立.综上所述,正确的命题为①②④.答案:①②④直线与圆、圆与圆的位置关系训练提示:(1)直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.(2)圆的弦长的常用求法①几何法:求圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则()2=r2-d2;②代数法:运用根与系数的关系及弦长公式:|AB|=|x1-x2|=.(3)①圆与直线l相切的情形——圆心到l的距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于l.②圆与直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径,过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦;连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦;过圆内一点的所有弦中,最短的是垂直于过这点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径.(4)①判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代数法.②当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或公共弦长时,只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程,然后转化为直线与圆相交求公共弦长.1.已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0化成标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-.(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.2.已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.(1)若Q(1,0),求切线QA,QB的方程;(2)求四边形QAMB面积的最小值;(3)若|AB|=,求直线MQ的方程.解:(1)设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1,则圆心M到切线的距离为1,即=1,解得m=-或0,所以切线QA,QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1.(2)因为MA⊥AQ,所以=|MA|·|QA|=|QA|==≥=.所以四边形QAMB面积的最小值为.(3)设AB与MQ交于P,则MP⊥AB,所以|MP|==.易证|MB|2=|MP||MQ|,即1=|MQ|,所以|MQ|=3,设Q(x,0),则|MQ|2=x2+22=9,所以x=±,所以Q(±,0),所以MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=0.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设知y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.4.已知以点C(t,)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.(1)证明:由题意知圆C过原点O,所以|OC|2=t2+.则圆C的方程为(x-t)2+(y-)2=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t.所以S△OAB=|OA|×|OB|=×||×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.(2)解:因为|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,所以OC垂直平分线段MN.因为k MN=-2,所以k OC=,所以直线OC的方程为y=x,所以=t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),|OC|=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=<,圆C与直线y=-2x+4相交于两点;当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),|OC|=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=>,圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,应舍去.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.5.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.由题意,得=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3.整理,得-8≤5a2-12a≤0.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为[0,].6.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求·的取值范围.解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=.由垂径分弦定理得+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4得A(-2,0),B(2,0).设P(m,n),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得·=m2+n2,即m2-n2=2.因为·=(-2-m,-n)·(2-m,-n)=2(n2-1). 由于点P在圆O内,故由此得n2<1.所以·的取值范围为[-2,0).。
高考数学二轮总复习 第1部分 层级2 专题6 解析几何 第1讲 直线与圆课件 理
(2)化圆 C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)为(x－1)2＋(y－2)2＝r2， 可得圆心坐标为(1,2)，半径为 r， 由圆心(1,2)到直线 l：3x－4y－15＝0 的距离 d＝|3×13－2＋4×－24－215|＝4，且|AB|＝6， 得 r2＝32＋42＝25. ∴圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选 B． [答案] (1)C (2)B
12/11/2021
(2)由(1)得，AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)， 即 y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0＝－x0＋5， x0＋12＝y0－x20＋12＋16. 解得xy00＝ ＝32， 或xy00＝ ＝1－1，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
12/11/2021
考点三 直线与圆的位置关系 |析典例|
【例】 (2019·河北省衡水中学高三模拟)已知圆 C 经过原点 O(0,0)且与直线 y＝2x －8 相切于点 P(4,0)．
(1)求圆 C 的方程； (2)在圆 C 上是否存在两个点 M，N 关于直线 y＝kx－1 对称，且以线段 MN 为直径 的圆经过原点？若存在，写出直线 MN 的方程；若不存在，请说明理由．
1，则 a＝( )
A．－43
B．－34
C． 3
D．2
解析：选 A 由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)， 由点到直线的距离公式得 d＝|a＋a24＋－11|＝1，解得 a＝－43，故选 A．
12/11/2021
2．(2018·全国卷Ⅲ)直线 x＋y＋2＝0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x
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限时速解训练十五 直线与圆
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝1 B ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝1 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝2 D ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝2
解析：选D.由题意可得圆的半径r ＝2，故圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝2，故选D. 2．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12
D ．2或12
解析：选D.依据题意得圆的圆心为(1,1)，半径为r ＝1.因为直线和圆相切，所以|3＋4－b |
32＋422
＝1，解得b ＝12或b ＝2，故选D.
3．经过圆x 2
＋2x ＋y 2
＝0的圆心G ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋1＝0
解析：选A.圆心坐标为(－1,0)，所求直线的斜率为1，所以方程为x －y ＋1＝0，故选A. 4．两个圆C 1：x 2
＋y 2
＋2x ＋2y －2＝0，C 2：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数为( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选 B.C 1：(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝4，C 2：(x －2)2
＋(y －1)2
＝4.圆心距d ＝|C 1C 2|＝ 2＋1 2
＋ 1＋1 2
＝13.
|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2相交，有两条公切线，故选B.
5．圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＋8y －5＝0被抛物线y 2
＝4x 的准线截得的弦长为( ) A ．6 B ．8 C ．10
D ．12
解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x －2)2
＋(y ＋4)2
＝25，圆心为(2，－4)，半径为5，抛物线y 2
＝4x 的准线为x ＝－1，故弦长为252
－ 2＋1 2
＝8，故选B.
6．若两直线l 1：3x ＋4y ＋a ＝0与l 2：3x ＋4y ＋b ＝0都与圆x 2
＋y 2
＋2x ＋4y ＋1＝0相切，则|a －b |＝( ) A. 5
B ．2 5
C ．10
D ．20
解析：选D.注意到直线l 1与l 2平行，且它们间的距离等于d ＝|a －b |
5；又直线l 1，l 2均与
题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有|a －b |
5＝4，即|a －b |＝20，故
选D.
7．(2016²山东潍坊模拟)圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A ．1013 B ．921 C ．1023
D ．911
解析：选C.因为圆的方程为(x －1)2
＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝1
2
³10³223＝1023.
8．(2016²山东烟台诊断)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA 是圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为( ) A ．3 B.
212
C ．2 2
D ．2
解析：选D.圆C ：x 2
＋(y －1)2
＝1，圆心C (0,1)，半径r ＝1，圆心到直线的最小距离d ＝5
k 2＋1
＝22
＋12
，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)，故选D.
9．(2016²河北石家庄二检)若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2
(r ＞0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( ) A ．[4,6] B ．(4,6) C ．[5,7]
D ．(5,7)
解析：选B.因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有
两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4＜r ＜6，故选B.
10．若曲线C 1：x 2
＋y 2
－2x ＝0与曲线C 2：x (y －mx －m )＝0有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，3)
B ．(－3，0)∪(0，3)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，33 D.⎝
⎛⎭⎪⎫－
33，0∪⎝
⎛⎭⎪⎫0，33 解析：选D.由x (y －mx －m )＝0可知x ＝0，y ＝m (x ＋1)，当直线y ＝m (x ＋1)与圆x 2
＋y 2
－2x ＝0相切时，m ＝±33，当m ＝0时，只有两个公共点，因此m ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫－33，0∪⎝
⎛⎭⎪⎫0，33，故选D.
11．(2016²山东潍坊模拟)已知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5
D ．4
解析：选B.由图可知，若圆C 上存在点P 使得∠APB ＝90°，则圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以m －1≤32
＋42
≤m ＋1，即4≤m ≤6.
12．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2
相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △
AOB
＝1时，直线l 的倾斜角为( )
A ．150°
B ．135°
C ．120°
D ．不存在
解析：选A.结合图形求解．曲线y ＝2－x 2
是半圆(如图)，当△AOB 的面积等于1时，12³2
³2sin ∠AOB ＝1，∠AOB ＝90°，此时圆心O 到直线AB 的距离OC ＝1，又OP ＝2，易得∠
CPO ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，故选A.
二、填空题(把答案填在题中横线上)
13．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则该圆的标准方程是________．
解析：根据题意，设圆的方程为(x －2)2＋(y －a )2＝r 2
，则⎩⎪⎨⎪⎧
0－2 2
＋ －4－a 2
＝r 2
， 0－2 2＋ －2－a 2＝r 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
r 2
＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2
＝5.
答案：(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝5
14．已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．
解析：由两直线互相平行可得a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3
b
＝1.又a ，b 为正数，所
以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )²⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a
≥13＋2
6a b ²6b
a
＝25，当且仅当a ＝b ＝5时
取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 答案：25
15．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心坐标为(2，
m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以 4－2 2＋ 0－m 2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－
2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254
.
答案：(x －2)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254
16．已知P 是圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0上的动点，PA ，PB 是圆(x －4)2
＋(y －5)2
＝4的切线，
A ，
B 为切点，则∠APB 的最大值为________．
解析：依题意，圆C 1：(x －1)2
＋(y －1)2
＝1的圆心C 1(1,1)、半径是1；圆心C 2(4,5)、半径是2，且sin ∠APB 2＝|AC 2||PC 2|＝2|PC 2|，当|PC 2|最小时，sin ∠APB
2最大，∠APB 最大，|PC 2|的
最小值等于|C 1C 2|－1＝4，因此sin ∠APB 2的最大值是12，∠APB
2的最大值是30°，即∠APB 的
最大值是60°. 答案：60°。