一次函数中大小比较问题
一次函数与反比例函数值的大小比较方法
一次函数与反比例函数值的大小比较方法一次函数和反比例函数是两种常见的函数类型。
在一次函数中，函数的值随着自变量的增加而线性增加或减少;而在反比例函数中，函数的值随着自变量的增加而减小。
在这两种函数中，比较函数值的大小是非常常见的问题。
本文将介绍两种函数值的大小比较方法，并给出具体的例子来解释这些方法。
方法一：代入法代入法是将自变量的值代入函数中，比较函数值的大小。
例如，对于一次函数 y = 2x + 1 和反比例函数 y = 1/x,我们可以将x的值代入函数中比较函数值的大小。
当 x = 0 时，一次函数 y = 2(0) + 1 = 1，反比例函数 y = 1/0不存在。
因此,在一次函数中,当x = 0 时，函数值最小，即 y = 1。
当 x = 1 时，一次函数 y = 2(1) + 1 = 3，反比例函数 y = 1/1 = 1。
因此，在一次函数中，当 x = 1 时，函数值最大，即 y = 3。
因此，我们可以得出结论，在一次函数中，当自变量的值越大，函数值也越大;而在反比例函数中，当自变量的值越大，函数值越小。
方法二：图像法图像法是通过绘制函数的图像来比较函数值的大小。
对于一次函数和反比例函数，它们的图像分别是一条直线和一个双曲线。
例如，对于一次函数 y = 2x + 1 和反比例函数 y = 1/x,我们可以将它们的图像绘制在同一个坐标系中,比较函数值的大小。
在一次函数的图像中，当自变量的值越大，函数值也越大，因此函数的图像是一条向右上方倾斜的直线。
在反比例函数的图像中，当自变量的值越大，函数值越小，因此函数的图像是一个向左上方弯曲的双曲线。
通过比较两个函数的图像，我们可以发现，在一次函数中，函数值随着自变量的增加而线性增加;而在反比例函数中，函数值随着自变量的增加而减小。
综上所述，我们可以得出结论，在一次函数中，当自变量的值越大，函数值也越大;而在反比例函数中，当自变量的值越大，函数值越小。
一次函数应用题的解题方法
一次函数应用题的解题方法一次函数应用题的解题方法一、直接代入法直接代入法是将题目中的关键信息转化为代数式，然后根据函数关系列出一次函数的解析式，最后解决问题的方法。
例如，东风商场的一种毛笔售价为25元，一本书法练本售价为5元。
商场制定了甲、乙两种优惠方式：甲为每购买1支毛笔赠送1本书法练本，乙为按照购买金额打9折付款。
某书法小组想购买10支毛笔和x（x≥10）本书法练本。
1）分别列出甲、乙两种优惠方式下的实际付款金额y甲（元）和y乙（元）与x之间的函数关系式。
2）比较不同数量的书法练本时，哪种优惠方式更省钱。
3）商场允许选择一种或两种优惠方式购买，请设计最省钱的购买方案。
1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x≥10）y乙=10×25×0.9+5×x×0.9=225×0.9+4.5x2）比较y甲和y乙的大小，得到：当y甲=y乙时，5x+200=225×0.9+4.5x，解得x=50；当y甲>y乙时，5x+200>225×0.9+4.5x，解得x>50；当y甲<y乙时，5x+200<225×0.9+4.5x，解得x<50.因此，当购买50本书法练本时，两种优惠方式的实际付款相同，可以任选一种；当购买的书法练本数量在10到50之间时，选择甲优惠方式更省钱；当购买的书法练本数量大于50时，选择乙优惠方式更省钱。
3）设按照甲优惠方式购买a（0≤a≤10）支毛笔，则可以获赠a本书法练本。
按照乙优惠方式购买10-a支毛笔和（60-a）本书法练本。
总费用为y=25a+25×0.9×（10-a）+5×（60-a）=495-2a。
因此，当a最大（即a=10）时，y最小。
因此，最省钱的购买方案是先按照甲优惠方式购买10支毛笔，然后按照乙优惠方式购买50本书法练本。
比较两个一次函数的大小
比较两个一次函数的大小一、函数系数知道，直接解不等式1、已知两个一次函数y1=-x+3和y2=3x-4 ,当x取何值时，（1）y1＞y2 （2）y1＜y22、当x_______时，函数y=的图像上的点在函数y=x+1 的图像的上方。
二、由图比大小（找交点，划竖线，比上下，定范围）1、直线y1=k1+b和y2=k2x 如图，则不等式k1+b＞ k2x的解集是___ __2、两个一次函数的图像L1、L2 如图当L1＞L2时，x的取值范围是______________.3、直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（）4、一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是( )A. B.C. D.5、如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是______A. B.C. D. 或6、同一直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b与正比例函数y2=k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（）7、一次函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象如图所示，其交点为P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）8、如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（）9、如图，函数y=kx和y=﹣x+4的图象相交于点A（3，m）则不等式kx≥﹣x+4的解集为（）10、如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y=2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（）11、如图，直线y=﹣x+m与y=x+3的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞x+3＞0的取值范围为（）12、一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象如图所示，自变量为x时对应的函数值分别为y1，y2．若﹣3＜y1＜y2，则x 的取值范围是（）。
考点10 一次函数(精讲)(解析版)
考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。
一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。
2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。
①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。
②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。
3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。
一次函数比较大小
画一次函数
的图象，如图所示，它与x轴交点为(50，0).
(1)当x=50时，y=0，即 ，甲、乙两家旅行社的费用一样；
(2)当x>50时，y>0，即 ，乙旅行社的费用较低；
(3)当x<50时，y<0，即 ，甲旅行社的费用较低.
1.某厂日产手套的总成本y元与日产量x副之间的函数表达
式为
，而手套的出厂价格为每副10元，试问该厂
至少应日产手套多少副才能不亏本？
当80x-(6x+1000)>0，即x>50时，选乙旅行社费用较少；
当88x-(6x+1000)<0，即x<50时，选甲旅行社费用较少.
图象法
例6 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地H处旅游.当地有甲、乙两 家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人100元.经联系协商， 甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每 位游客六折优惠.问该单位选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？
分析：假设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条件， 应付费用80x元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用(60x+1000）元.
问题变为比较80x与60x+1000的大小了.
代数法：利用方程、不等式 本题可按下面方法来解，即： 当80x-(60x+1000)=0，即x=50时，选甲或乙旅行社费用一样， 都是80×50=4000元；
解法一 设该单位参加旅游人数为x.那么如选甲旅行社，应付 80x元，选乙旅行社，应付(60x+1000)元.
记y1 80x ，y1 60x 1000 .在同一直 角坐标系中作出两个函数的图象如 图所示，y1 与 y2 的图象交于点(50， 4000).
专题04 利用一次函数比较大小与求范围(解析版)
专题04 利用一次函数比较大小与求范围知识对接考点一、一次函数的性质性质：k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
一次函数表达式的确定：求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.专项训练一、单选题1．已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定【答案】B【分析】一次函数图象上点的坐标特征，把点（-2，y1）和（3，y2）代入y=-x-5中计算出y1与y2的值，然后比较它们的大小．【详解】解：∵点（﹣2，y1）和（3，y2）都在直线y＝-x-5上，∵y1＝-（-2）-5＝-3，y2＝-3-5＝-8，∵y1＞y2．故选B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．2．若点()1,A m y ，点()221,B m a y ++都在一次函数54y x =+的图象上，则（ ） A ．12y y <B ．12y y =-C ．12y y >D ．12y y =【答案】A【分析】 由偶次方的非负性可得出20a ，进而可得出2+1m a m +>，由50k =>，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，进而可得出12y y <．【详解】解：20a ，210a ∴+>，21m m a ∴<++．50k =>，∵y 随x 的增大而增大，12y y ∴<．故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，实数的非负数，一次函数的增减性，灵活运用不等式比较自变量的大小，根据一次函数的增减性判断是解题的关键．3．下列有关一次函数42y x =--的说法中，正确的是（ ）A ．y 的值随着x 值的增大而增大B ．函数图象与y 轴的交点坐标为()0,2C ．当0x >时，2y >-D ．函数图象经过第二、三、四象限【答案】D【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：一次函数42y x =--的函数图像如图，A 、∵k =-4＜0，∵当x 值增大时，y 的值随着x 增大而减小，故选项A 不正确；B 、当x =0时，y =-2，函数图象与y 轴的交点坐标为（0，-2），故选项B 不正确；C 、当x ＞0时，2y <-，故选项C 不正确；D 、∵k ＜0，b ＜0，图象经过第二、三、四象限，故选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 4．在平面直角坐标系中，点(),P x y 在第一象限内，且8x y +=，点A 的坐标为()6,0．设OPA 的面积为S ，S 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．()64808S x x =-+<<B ．()31208S x x =-+<<C ．()32408S x x =-+<<D ．()18083S x x =-+<< 【答案】C【分析】表示出OA 和PB 的长，建立关于x 的三角形面积的表达式，即为一次函数表达式．【详解】解：如选图所示：由x +y =8得，y =−x +8，即点P (x ,y )在y =−x +8的函数图象上，且在第一象限，过点P 做PB ∵x 轴，垂足为B则12OPA S OA PB ∆=•=()1683242x x =⨯⨯-+=-+ ∵点P (x ,y )在第一象限内∵x >0,y =−x +8>0，∵0<x <8∵S =−3x +24(0<x <8) ．故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的关系式，根据三角形面积公式得出函数关系式是关键． 5．若一次函数2y x b =+的图象经过点()2,3，则b 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．5D ．7 【答案】A【分析】直接把点（2，3）代入一次函数y =2x +b ，求出b 的值即可．【详解】解：∵一次函数y =2x +b 的图象经过点（2，3），∵3=4+b ，解得b =-1．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （﹣1，1），B （4，0）两点，若点M （2，y 1）和点N （3，y 2）恰好也是该函数图象上的两点，则y 1，y 2的关系是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．无法确定【答案】C【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y =kx +b 的图象经过A （-1，1），B （4，0）两点，∵104k b k b =-+⎧⎨=+⎩， 解得1545k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵一次函数的解析式为y =15-x +45， ∵k =15-＜0， ∵y 随x 的增大而减小，∵2＜3，∵y 1＞y 2．故选C ．【点睛】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象的性质．7．在平面直角坐标系中，无论a 取任何实数，点P (2a ，a +1)，Q (m ，n )都是直线l 上的点，则(m －2n +4)2的值为（ ）A ．1B ．4C ．9D ．16【答案】B【分析】设直线l 的解析式为y =kx +b ，根据不管a 取何值，P 点都在l 上，即可令a =0，令a =1得到2个点的坐标，求出l 的解析式，然后求解即可.【详解】解： 设直线l 的解析式为y =kx +b∵不管a 取何值，P （2a ，a +1）点都在l 上∵令a =1时，a +1=2，令a =0时，a +1=1∵（2，2）和（0，1）均在l 上 ∵221k b b +=⎧⎨=⎩解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∵直线l 的解析式为112y x =+ ∵Q (m ，n )在直线上 ∵112n m =+ ∵22m n -=- ∵()()2224244m n -+=-+=故选B.【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．已知在一次函数y ＝﹣3x +2的图象上有三个点A (﹣3，y 1)，B (3，y 2)，C (﹣4，y 3)，则下列各式中正确的是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1 【答案】B【分析】根据一次函数图象的增减性来比较A 、B 、C 三点的纵坐标的大小．【详解】解：∵一次函数y ＝﹣3x +2中的﹣3＜0，∵该函数的y 随x 的增大而减小．又∵3＞﹣3＞﹣4，∵y 2＜y 1＜y 3．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点坐标特征．解答该题的关键是熟练掌握一次函数的增减性． 9．一次函数21y x =-+上有两点()12,y -和()21,y ，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法比较【答案】A【分析】根据一次函数的增减性直接判断即可；或求出1y 、2y 的值，进行比较．【详解】解：方法一：因为一次函数21y x =-+中的比例系数20-<，所以y 随着x 的增大而减小，∵-2＜1，∵12y y >；方法二：把x=-2或1分别代入21y x =-+得，15y =、21y =-， ∵12y y >；故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是知道一次函数的增减性由比例系数k 决定，根据k 值可直接判断．10．若直线l 经过不同的三点(),A m n ，(),B n m ，(),C m n n m --，则直线l 经过的象限是（ ）A ．第二，四象限B ．第一，二象限C ．第二，三，四象限D ．第一，三，四象限【答案】A【分析】由点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式，再利用正比例函数的性质可得出该函数图象经过的象限．【详解】解：设一次函数的解析式为(0)y kx b k =+≠， 将(),A m n ，(),B n m ，(),C m n n m --代入，得：()mk b n nk b m m n k n m +=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩，解得10k b =-⎧⎨=⎩， ∵一次函数的解析式为y x =-，∵该函数图象经过第二、四象限．故选：A ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及正比例函数的性质，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．二、填空题11．已知一次函数的图象经过点0,5，且与直线y x =平行，则一次函数的表达式为______．【答案】5y x =+【分析】根据两直线平行的条件可知1k =，再把(0,5)代入y x b =+中，可求b ，进而可得一次函数解析式．【详解】解：设一次函数的表达式为y kx b =+，y kx b =+与直线y x =平行，y x b ∴=+，把(0,5)代入y x b =+中，得5b =，∴一次函数解析式是5y x =+，故答案为：5y x =+．【点睛】本题考查了两条直线平行的问题，解题的关键是知道两条直线平行的条件是k相等．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，5）．将∵BOA绕点A顺时针方向旋转得∵B′O′A，若点B在B′O′的延长线上，则直线BB′的解析式为__．【答案】y＝﹣940x+5【分析】首先证明OO′∵AB，求出直线OO′解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出O′坐标，设直线B′O′解析式为y＝mx+n，把B与O′坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式．【详解】解：连接OO′交AB于M，∵∵BOA绕点A按顺时针方向旋转得∵B′O′A，∵∵BOA∵∵B′O′A，∵AB＝AB′，OA＝AO′，∵点B在B′O′的延长线上，AO′∵B B′，∵BO′＝B′O′＝OB，∵OA＝AO′，BO＝BO′，∵OO′∵AB，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A与B坐标代入得：405k bb+=⎧⎨=⎩，解得：545kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∵直线AB解析式为y＝﹣54x+5，∵直线OO′解析式为y＝45 x，联立得：55445y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：100418041x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 10080(,)4141， ∵M 为线段OO ′的中点，∵O ′200160(,)4141， 设直线B ′O ′解析式为y ＝mx +n ，把B 与O ′坐标代入得：20016041415m n n ⎧+=⎪⎨⎪=⎩， 解得：m ＝940-，n ＝5， 则直线BB′解析式为y ＝940-x +5． 故答案为：y ＝﹣940x +5．【点睛】此题考查坐标与图形变化-旋转、待定系数法求一次函数解析式，正确理解各直线之间的关系，确定点坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．13．已知一次函数1y x =和()()220220x x y x x ⎧--⎪=⎨-≥⎪⎩＜，当12y y >时，x 的取值范围是 _________ 【答案】12x -<<【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可；【详解】∵当0x <，12y y >时，20x x x --⎧⎨⎩＞＜，解得：10x -<<；∵当0x ≥时，12y y >，220x x x -⎧⎨≥⎩＞，解得 02x ≤<； 综上12x -<<；故答案是：12x -<<．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，分类讨论，解不等式组，准确计算是解题的关键．14．已知()111,P y -，()222,P y 是一次函数y x b =-+的图像上的两点，则1y ______2y （填“＞”或“＜”或“=”）．【答案】>【分析】先根据一次函数y x b =-+中k =-1判断出函数的增减性，再根据-1<2进行解答即可．【详解】解：∵一次函数y x b =-+中k =-1＜0，∵y 随x 的增大而减小，∵-1<2，∵y 1>y 2．故答案为>．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．15．如图，一次函数y ax b =+与y cx d =+的图象交于点P ．下列结论中，所有正确结论的序号是_________．∵0b <；∵0ac <；∵当1x >时，ax b cx d +>+；∵a b c d +=+；∵c d >．【答案】∵∵∵【分析】仔细观察图象：∵根据一次函数y ＝ax ＋b 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点即可判断a 、b 的正负；∵根据一次函数y ＝cx ＋d 图象从左向右变化趋势及与y 轴交点可判断c 、d 的正负，即可得出结论；∵以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；∵由两个一次函数图象的交点坐标的横坐标为1可得出结论；∵由一次函数y ＝cx ＋d 图象与x 轴的交点坐标为（d c -，0），可得d c -＞-1，解此不等式即可作出判断． 【详解】解：∵由图象可得：一次函数y ＝ax ＋b 图象经过一、二、四象限，∵a ＜0，b ＞0，故∵错误；∵由图象可得：一次函数y ＝cx ＋d 图象经过一、二、三象限，∵c ＞0，d ＞0，∵ac ＜0，故∵正确；∵由图象可得：当x ＞1时，一次函数y ＝ax ＋b 图象在y ＝cx ＋d 的图象下方，∵ax ＋b ＜cx ＋d ，故∵错误；∵∵一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝cx ＋d 的图象的交点P 的横坐标为1，∵a ＋b ＝c ＋d ，故∵正确；∵∵一次函数y ＝cx ＋d 图象与x 轴的交点坐标为（d c -，0），且d c-＞-1，c ＞0， ∵c ＞d ．故∵正确．故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象与性质并利用数形结合的思想是解题的关键．三、解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(0,1)-．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1y x =-；（2）1m ≤【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（0，-1）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式； （2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，0），即可得出当1x >时，y x m=-+都小于1y x =-，根据1x >，可得m 可取值1，可得出m 的取值范围．【详解】解：（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，∵1k =．∵一次函数y x b =+的图象过点(01)-，， ∵1b =-．∵这个一次函数的表达式为1y x =-．（2）由（1）得y=x -1，解不等式-x+m ＜x -1得12m x +>由题意得11,2m +≤ 故m 的取值范围1m ≤【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． 17．已知一次函数()()30y k x k =-≠．（1）求证：点()3,0在该函数图象上．（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点()4,2-，求k 的值．（3）若0k <，点()11,A x y ，()22,B x y 在函数图象上，且12y y <，判断120x x -<是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）-4；（3）不成立，理由见解析【分析】（1）令x =3，得y =0即可得证；（2）一次函数y =k （x -3）图象向上平移2个单位得y =k （x -3）+2，将（4，-2）代入可得k ； （3）由y 1＜y 2列出x 1、x 2的不等式，根据k ＜0可得答案．【详解】解：（1）在y =k （x -3）中令x =3，得y =0，∵点（3，0）在y =k （x -3）图象上；（2）一次函数y =k （x -3）图象向上平移2个单位得y =k （x -3）+2，将（4，-2）代入得：-2=k （4-3）+2，解得k =-4；（3）x 1-x 2＜0不成立，理由如下：∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在y =k （x -3）图象上，∵y 1=k （x 1-3），y 2=k （x 2-3），∵y 1-y 2=k （x 1-x 2），∵y 1＜y 2，∵y 1-y 2＜0，即k （x 1-x 2）＜0，而k ＜0，∵x1-x2＞0，∵x1-x2＜0不成立．【点睛】本题考查一次函数图象上的点，解题的关键是将点坐标代入变形．18．已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）y1≥y2，理由见解析【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据一次函数y＝﹣x+1的性质即可判断．【详解】解：（1）根据题意，设一次函数解析式为：y＝kx+b(0)k≠，将（﹣1，2）和（3，﹣2）代入得：232k bk b⎧-+=⎨+=-⎩，解得：11kb=-⎧⎨=⎩，∵一次函数解析式为：y＝﹣x+1；（2）∵k＝﹣1＜0，∵y随x的增大而减小，∵当x1≤x2时，y1≥y2．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的过程，根据一次函数的性质比较函数值的大小．19．已知一次函数图象经过(0，-1)和(2，3)两点．（1）求此一次函数的解析式；（2）若点(m，-3)在函数图象上，求m的值．【答案】（1）y=2x-1；（2）-1【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），再把点(0，-1)和(2，3)代入即可求出k，b的值，进而得出一次函数的解析式；（2）把点（m，-3）代入一次函数的解析式，求出m的值即可．【详解】解：（1）设一次函数的解析式为y =kx +b ，则有123b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：21k b =⎧⎨=-⎩， ∵一次函数的解析式为y =2x -1；（2）∵点（m ，-3）在一次函数y =2x -1图象上，∵2m -1=-3，∵m =-1．【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．20．已知一次函数y kx b =+，当2x =时，5y =；当2x =-时，11y =-．求k 和b 的值．【答案】43k b =⎧⎨=-⎩ 【分析】根据题意列出关系k 、b 的二元一次方程组，求解即可.【详解】解：由题意，得25211k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得43k b =⎧⎨=-⎩∵k 和b 的值分别为4和-3.【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A -，点()10B ,． （1）求一次函数解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数2y x n =+的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）1y x =-（2）2n ≥【分析】（1）通过待定系数法将点()0,1A -，点()10B ,代入解析式求解； （2）根据题意得出21x n x +-＞，求出x 得取值范围，结合1x >即可得出n 的取值范围．【详解】解：（1）∵一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()0,1A -，点()10B ,， ∵10b k b-=⎧⎨=+⎩， 解得：11k b =⎧⎨=-⎩， ∵一次函数的解析式为：1y x =-，（2）由（1）得：1y x =-，根据题意：21x n x +-＞，解得：1x n --＞，由题意得：11n --≤，即2n ≥．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，根据数形结合的思想解题是关键．22．已知：y 与x +2成正比例，且x ＝﹣4时，y ＝﹣2；（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）点P 1（m ，y 1），P 2（m ﹣2，y 2）在（1）中所得函数图像上，比较y 1与y 2的大小．【答案】（1）2y x =+；（2）12y y ＞【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据一次函数的增减性解答即可．【详解】解：（1）∵y +与x +2成正比例，设y ＝k （x +2），把x ＝﹣4，y ＝﹣2代入得：﹣2＝k （﹣4+2），解得：k ＝1，∵y ＝x +2；（2）∵k ＝1＞0，∵y 随x 的增大而增大，又∵m ＞m -2，∵y 1＞y 2．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键．23．如图，直线1l 的解析表达式为：33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标．（2）求直线2l 的解析表达式．（3）求ADC 的面积．（4）在直线2l 上存在异于点C 的另—点P ，使得ADP △与ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）(1,0)D ；（2）362y x =-；（3）92；（4）(6,3)P 【分析】（1）已知1l 的解析式，令0y =求出x 的值即可；（2）设2l 的解析式为y kx b =+，由图联立方程组求出k ，b 的值；（3）联立方程组，求出交点C 的坐标，继而可求出ADC S ∆； （4）ADP ∆与ADC ∆底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC ∆高就是点C 到AD 的距离． 【详解】解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=，1x ∴=，(1,0)D ∴；（2）设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：4x =，0y =；3x =，32y =-，代入表达式y kx b =+， ∴40332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩， ∴326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为362y x =-； （3）由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩， (2,3)C ∴-，3AD =，193|3|22ADC S ∆∴=⨯⨯-=； （4）ADP ∆与ADC ∆底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC ∆高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值|3|3=-=，则P 到AD 距离3=，P ∴纵坐标的绝对值3=，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，1.56y x =-，3y =，1.563x ∴-=6x =，所以(6,3)P ．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答．。
一次函数基本题型讲解( 附答案版)
一次函数基本题型过关卷题型一、点的坐标方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数； 若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________；2、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。
题型二、关于点的距离的问题方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -； 若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -；点(,)A A A x y1、 点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 2、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a的值为__________； 3、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为___________.题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
反比例与一次函数综合面积问题,比较大小问题
反比例与一次函数综合（1）考点：1.求反比例函数，一次函数解析式，求点坐标2.面积问题3.通过图像求不等式解集4.线段和差最值课前思考：1.已知点A(4.5,5), B(6,0), C(－2,0), 求△ABC的面积.小结：求面积方法__________________________2.已知点A(－2,1),B(1,－3),C(3,4), 求△ABC的面积.小结：求面积方法__________________________铅锤法：如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下计算方法：①如图，过三角形的某个顶点作与x轴或y轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A BS S S AD y y S S CE x x∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D,E两点坐标可以通过BC或AB的直线方程以及A或C点坐标得到．②如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．ABC DEBF DAC AEB CBFS S S S S∆∆∆∆=---.所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．③如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()ABABCBCBACACADEBADFCCFEByyxxyyxxyyxxSSSS+--+-++-=-+=212121ABC△经典例题：例1、如图，已知一次函数b +x k =y 11的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数xk =y 22的图分别交于C 、D 两点，点D 的坐标（2，-3），点B 是线段AD 的中点。
（1）求一次函数b +x k =y 11与反比例函数xk =y 22的解析式。
（2）求△COD 的面积；（3）直接写出21y >y 时自变量x 的取值范围。
变式练习：如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=的图象交于点A ﹙﹣2，﹣5﹚ C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b 的表达式； （2）连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．（3）直接写出kx+b>时自变量x 的取值范围。
一次函数数形结合求范围、比大小(北师版)(含答案)
一次函数数形结合求范围、比大小（北师版）试卷简介:本套试卷主要考查一次函数的数形结合——根据自（因）变量的取值范围读出相应因（自）变量的取值范围、比较两个函数值的大小。
一、单选题(共10道，每道10分)1.已知，是正比例函数图象上的两点，下列判断中正确的是( )A. B.C.当时，D.当时，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数的增减性2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是( )A.x＞1B.x<1C.x<2D.x＞2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数的增减性3.函数的图象如图所示，下列说法正确的是( )A.当x<0时，y＞3B.当x<0时，y<0C.当x＞-2时，y＞0D.当x＞-2时，y＞3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数的增减性4.如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A(-3，0),B(0，5)两点，当-3<x<0时，y的取值范围是( )A.y＞0B.y<5C.0<y<5D.y<0或y＞5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与一元一次不等式5.已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），x与y的部分对应值如表所示，那么满足kx+b<0的x的取值范围是( )A.x<0B.x＞0C.x＞1D.x<2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数的增减性6.已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），（0，-1），则满足kx+b≧0的x的取值范围是( )A.x≧2B.x≦2C.0≦x≦2D.-1≦x≦2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与一元一次不等式7.如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则满足2x<ax+4的x的取值范围是( )A. B.x<3C. D.x>3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与一元一次不等式8.如图所示，函数和的图象相交于（-1，1），（2，2）两点．当时，x的取值范围是( )A.x<-1B.-1<x<2C.x>2D.x<-1或x>2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与一元一次不等式9.如图，直线与的交点坐标为（1，2），则使成立的x的取值范围为( )A.x＞1B.x＞2C.x<1D.x<2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与一元一次不等式10.已知实数x满足-5≤x≤5，，，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是( )A.1B.2C.24D.-9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与一元一次不等式。
一次函数解题技巧与疑难详解
一次函数【一次函数图象的平移规律】一个点作上下平移时，横坐标不变，纵坐标发生变化（向上平移,纵坐标变大；向下平移,纵坐标变小）。
同理，一个点作左右平移时，纵坐标不变，横坐标发生变化（向右平移,横坐标变大，向左平移，横坐标变小）。
由于图形在平移时，图形上的每一个点都作了相同的平移，所以在理解一次函数平移时，只须抓住一个点的变化去理解就行了。
直线y=kx+b上下平移m个单位时，每个对应点的x取值不变，但对应的函数值y增加或减少m个单位，故解析式变为y=kx+b±m。
直线y=kx+b左右平移时，我们不防将函数解析式变一下形，得到 x = yk－bk当直线y=kx+b，即x = yk－bk左右平移m个单位时，每个对应点的y取值不变，但对应的函数值x减少或增加m个单位，故解析式变为 x = yk－bk-m或 x =yk－bk+m 化成一般式就得到 y=kx+b±km 即y=k(x±m)+b观察得出规律：直线y=kx+b平移时，“上加下减只变b,左加右减括号里”【例谈求一次函数解析式的常见题型】一. 定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。
注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。
如本例中应保证二. 点斜型例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
三. 两点型已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
五. 斜截型例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
六. 平移型例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。
注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。
第20章 专题02 数形结合之一次函数值的大小比较(学
编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 数形结合之一次函数值的大小比较（学生版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．若点()1,A m y ，点()221,B m a y ++都在一次函数54y x =+的图象上，则（ ）A ．12y y <B ．12y y =-C ．12y y >D ．12y y =2．对于实数a ，b ，我们定义符号{}max ,a b 的意义为：当a b ≥时，{}max ,a b a =；当a b <时，{}max ,a b b =；如：{}max 1,21-=，{}max 2,33=，若关于x 的函数为{}max 3,1y x x =+-+，则该函数的最小值是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．43．下列有关一次函数42y x =--的说法中，正确的是（ ） A ．y 的值随着x 值的增大而增大 B ．函数图象与y 轴的交点坐标为()0,2 C ．当0x >时，2y >-D ．函数图象经过第二、三、四象限4．一次函数y 1=kx +b 与y 2=x +a 的图象如图，则下列结论：①k <0；①a <0；①当x <3时，y 1<y 2中，正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．05．在平面直角坐标系中，若点()1,1x -，()2,2x -，()3,1x 都在直线2y x b =-+上，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ） A ．123x x x >> B ．321x x x >> C ．213x x x >>D ．231x x x >>6．若点A （-1，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是函数y=-x +1图像上的点，则（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 17．y kx b =+(0)k ≠，图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y 且，12x x ≠，1212()()t x x y y =--，当k 0<时，t 的取值范围是（ ） A ．0t >B ．0t ≥C ．0t =D ．0t <8．对于实数a , b ，定义符号{}, min a b ,其意义为:当a b ≥时,{}, min a b b =:当a b ＜时,{}, min a b a =,例如{}2,11-=-,若关于x 的函数{}21,5y min x x =--+,则该函数的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．43D ．539．已知点()11A x y ，，()22B x y ，，()33C x y ，，()21D -，四点在直线4y kx =+的图象上，且132x x x >>，则123y y y ，，的大小关系为（ ） A ．123y y y >>B ．132y y y <<C ．213y y y >>D ．321y y y <<10．已知函数23(1)(1)x x y x x -+≤⎧=⎨>⎩若,a x b m y n ，则下列说法错误的是（ ）A ．当1n m -=时，b a -有最小值0.5B ．当1n m -=时，b a -有最大值1.5C ．当1b a -=时，n m -有最小值1D ．当1b a -=时，n m -有最大值2二、填空题11．已知直线y 1=x ，23141,535y x y x =+=-+的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y 1，y 2，y 3中的最小值，则y 的最大值为______．12．已知正比例函数：y = (3m -2)x 的图像上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当x 1 < x 2时，有y 1 >y 2那么m 的取值范围是_____．13．如图，一次函数y ax b =+与y cx d =+的图象交于点P ．下列结论中，所有正确结论的序号是_________． ①0b <；①0ac <；①当1x >时，ax b cx d +>+；①a b c d +=+；①c d >．14．已知一次函数12y kx k =-（k 是常数）和21y x =-+．（1）无论k 取何值，12y kx k =-（k 是常数）的图像都经过同一个点，则这个点的坐标是_______； （2）若无论x 取何值，12y y >，则k 的值是_______．15．一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；①a ＞0；①当x ＜3时，y 1＜y 2正确的是_____．16．若点()14,y -，()22,y 都在直线2y x =-+上，则1y __________2y （填“＞”或“＝”或“＜”）17．如图，在边长为6的等边①ABC 中，点D 在边AB 上，且AD ＝2，长度为1的线段PQ 在边AC 上运动，则线段DP 的最小值为_____，四边形DPQB 面积的最大值为_____．18．已知一次函数1y x =和()()220220x x y x x ⎧--⎪=⎨-≥⎪⎩＜，当12y y >时，x 的取值范围是 _________19．已知()111,P y -，()222,P y 是一次函数y x b =-+的图像上的两点，则1y ______2y （填“＞”或“＜”或“=”）．20．已知函数12y x=+，255y x=-，321 3y x=-+，若无论x取何值，s总取1y，2y，3y中的最大值，则s的最小值是______．三、解答题21．甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子．在甲店，该种子的价格为5元/ kg，如果一次购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8折．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，价格均为4.5 元/ kg．（1）根据题意，填写下表：（2）设一次购买种子的数量为x kg（0x≥）. 在甲店购买的付款金额记为1y元，在乙店购买的付款金额为2y元，分别求1y，2y关于x的函数解析式；（3）若在同一店中一次购买种子的付款金额是36元，则最多可购买种子______ kg.若在同一店中一次购买种子10 kg，则最少付款金额是________元.22．A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如表：设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）试比较A、B两城总运费的大小；（3）若B城的总运费不得超过4800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．23．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组1y xy mx n=+⎧⎨=+⎩，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．24．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．（1）求y甲、y乙与x的关系式；（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．25．2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．（1）根据图象可知，洗手液的单价为元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）请求出a的值；（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．26．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数2||y x =-的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象如图所示．（1）观察发现：函数2||y x =-图象的顶点（最高点）坐标是________，函数2||2y x =-+图象的顶点坐标是________，函数2|2|y x =-+图象的对称轴是________．（2）探索思考：平移函数2||y x =-的图象是否可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象？如果可以，分别写出平移的方向和距离．如果不行，请说明理由．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象．若点（1x ，1y ）和（2x ，2y ）在该函数图象上，且213x x >>，比较1y ，2y 的大小． 27．已知一次函数y ＝﹣2x +4．（1）在平面直角坐标系内画出函数图象；（2）函数图象经过两点A （﹣12，m ），B （﹣1，n ），比较m ，n 的大小？28．已知，一次函数y ＝112x -+．（1）画出这个函数的图像．（2）判断点P （10，﹣3）是否在这个函数的图像上． （3）若点Q （a +1，2a ﹣1）在这个函数的图像上．求a 的值．（4）这个函数的图像上有两个点A y 1），B （1007，y 2），请比较y 1和y 2的大小，并说明理由．29．对于两个实数a ，b ，规定Max （a ，b ）表示a ，b 两数中较大者，特殊地，当a = b 时，Max （a ，b ）=a ．如：Max （1，2）= 2，Max （-1，-2）= -1，Max （0，0）= 0． （1）Max （-1，0）= ，Max （n ，n -2）= ； （2）对于一次函数12y x =--，2y x b =+， ①当x ≥-1时，Max （y 1，y 2）= y 2，求b 的取值范围；①当x =1-b 时，Max （y 1，y 2）=p ，当x =1＋b 时，Max （y 1，y 2）=q ，若p ≤q ，直接写出b 的取值范围．30．已知函数y＝2(0)1(0)2kx k xkx k x-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩（k≠0）的图象为G．（1）若点（1，3）在图象G上，则k＝；（2）无论k取何值，图象G上都有点M（x1，y1）点N（x2，y2）（x1＜x2），点P为y轴上任意一点，若四边形OMPN为菱形，求满足条件的x1值；（3）已知当k﹣1≤x≤k+2时，图象G的最高点纵坐标为y1，最低点的纵坐标为y2，若y1﹣y2＝4，直接写出满足条件的k值．。
最值问题19种题型
最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。
4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。
5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。
一次函数与反比例函数值的大小比较方法
一次函数与反比例函数值的大小比较方法一次函数和反比例函数是数学中比较基础的概念，它们在实际问题中有广泛的应用。
一次函数通常表示为 y = kx + b 的形式，其中k 是斜率，b 是 y 轴截距。
反比例函数通常表示为 y = k/x 的形式，其中 k 是常数。
在一次函数中，当斜率 k 为正数时，函数值 y 随着 x 的增大而增大;当斜率 k 为负数时，函数值 y 随着 x 的增大而减小。
在反比例函数中，当常数 k 为正数时，函数值 y 随着 x 的增大而减小;当常数 k 为负数时，函数值 y 随着 x 的增大而增大。
为了比较一次函数和反比例函数的值大小，我们可以通过求解它们的交点来确定它们的大小关系。
具体来说，我们可以将一次函数和反比例函数的方程联立起来，解得它们的交点坐标，然后在这个交点处比较它们的函数值大小。
例如，假设我们有一次函数 y = 2x + 1 和反比例函数 y = 3/x,我们可以将它们的方程联立起来,得到一个二次方程 2x^2 + x - 3 = 0。
通过求解这个二次方程，我们可以得到两个交点坐标 x1 = -1 和x2 = 3/2。
在 x1 = -1 处，一次函数的函数值为 y1 = 2(-1) + 1 = -1，反比例函数的函数值为 y2 = 3/(-1) = -3。
因此，在这个交点处，反比例函数的值比一次函数的值小。
在 x2 = 3/2 处，一次函数的函数值为 y3 = 2(3/2) + 1 = 4，反比例函数的函数值为 y4 = 3/(3/2) = 2。
因此，在这个交点处，一次函数的值比反比例函数的值大。
通过这种方法，我们可以比较一次函数和反比例函数的值大小，并确定它们的大小关系。
函数中的“大小比较”问题
【当堂检测】 当堂检测】
3、已知点A（-4, y1）、 （-3, y2）、 （1, y3） 、已知点 （ ）、B（ ）、C（ 是二次函数y=x2+4x-5的图象上的三个点，则y1,y2,y3的 的图象上的三个点， 是二次函数 的图象上的三个点 大小关系是（ 大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 ． ． C．y3＜y1＜y2 ． D．y1＜y3＜y2 ． 4、一次函数ｙ1=ｘ－ 与反比例函数ｙ2=2/x的图 ｘ－1与反比例函数 、一次函数ｙ ｘ－ 与反比例函数ｙ 的图 像交于点A(2,1)，B(－1,－2)，则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取 像交于点 ， － － ，则使ｙ 值范围是（ 值范围是（ ） A．ｘ＞ ．ｘ＞2 B．ｘ＞ 或－1＜ｘ＜ ．ｘ＞2 ＜ｘ＜0 ．ｘ＞ ．ｘ＞ ＜ｘ＜ C．－ ＜ｘ＜ ．－1＜ｘ＜ D．ｘ＞ 或ｘ＜－ ．ｘ＞2 ｘ＜－1 ．－ ＜ｘ＜2 ．ｘ＞
y -1 -2
．
y=k2x x
y=k1x+b
【课内探究】 课内探究】
考点二：两个函数中的“大小比较”问题 考点二：两个函数中的“大小比较”
3、（2010年潍坊中考）已知函数y1 = x2与函数 1 y2 = - 2 x+3的图象大致如图，若y1 < y2，则自变量 的x的取值范围是（ ） 3 3 y A. - 〈x〈2 B. x 〉 2或x 〈2 2 C. 3 D. 3
y 2 y2 A y 1 1 x O 1 2
(A）0 1 2
(B) 0 1 2
(C) 0 1 2
(D) 0 1 2
【课内探究】 课内探究】
考点二：两个函数中的“大小比较”问题 考点二：两个函数中的“大小比较”
2、直线L1：y=k1x+b与直线 2：y=k2x在同一平面直 、直线 与直线L 与直线 在同一平面直 角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式k 角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式 1x+b＞k2x 的解为（ ) 的解为（ A. x＞-1 B. x＜-1 ＞ ＜ C. x＜-2 D. 无法确定 ＜
一次函数开口大小规律
一次函数开口大小规律一次函数开口大小规律：在形如 y = ax²的一次函数中，当 a 的绝对值越大，函数图像的开口就越小；当 a 的绝对值越小，函数图像的开口就越大。
同学们，咱们来想象一下，这个一次函数就像是一个神奇的魔法口袋。
而这个 a 呢，就像是控制口袋开口大小的神奇按钮。
a 这个家伙，它的绝对值大小就决定了这个魔法口袋开口的宽窄。
比如说，当 a 的绝对值很大很大的时候，就好像这个口袋的口子被一双大力的手紧紧地捏住了，只留了一个小小的缝隙，所以开口就变得很小很小。
这时候，函数图像的开口就像是一个小气鬼，紧紧地捂着自己，不肯轻易敞开。
反过来，当 a 的绝对值很小很小的时候，就好像有人轻轻地松开了捏着口袋的手，口袋的口子变得宽松了许多，开口也就变得很大很大啦。
函数图像的开口就变得大方起来，大大咧咧地敞开着。
咱们来举个例子，假设 a 等于 5 ，另一个函数里 a 等于 1/5 。
当 a 等于 5 的时候，图像的开口就像是一个害羞的小姑娘，抿着嘴，只露出一点点缝隙；而当 a 等于 1/5 的时候，图像的开口就像一个热情的大叔，咧着大嘴笑得特别开怀。
在实际生活中，这个规律也有不少用处呢。
比如说，建筑师在设计桥梁的时候，需要考虑桥梁的承重和形状，这时候一次函数的开口大小规律就能派上用场啦。
还有，工程师设计一些抛物线形状的建筑物，也得依靠这个规律来计算和优化。
总之，一次函数开口大小的规律在数学和实际应用中都非常重要。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多知识的大门，解决各种各样的问题。
了解了这个有趣的规律，大家是不是对数学的神奇之处又有了新的认识呢？如果大家还想更深入地探索数学世界的奥秘，不妨去读一读《数学之美》这本书，或者登录“数学中国”这个网站，那里有更多精彩的数学知识等着大家去发现。
希望大家都能在数学的海洋中畅游，找到属于自己的宝藏！。
中考数学《比较一次函数值的大小》专项练习题及答案
中考数学《比较一次函数值的大小》专项练习题及答案一、单选题1．已知点(−1，a)和(12，b)都在直线y =2x −3的图象上，则a ，b 的大小关系是（ ）A ．a >bB ．a <bC ．a =bD ．a ，b 的大小不能确定2．已知函数 y 1=x −2 和 y 2=2x +1 ,当时 y 1>y 2 , x 的取值范围是( )A ．x <−5B ．x <−3C ．x ﹥−5D ．x ﹥−33．一次函数y 1＝kx+b 与y 2＝x+a 的图象如图，则kx+b≥x+a 的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x≥﹣2C ．x≤﹣2D ．无法确定4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过二、三、四象限，且还经过点(0，m)，(2，n)，（P ，1）和（3，-2），则下列判断正确的是（ ） A ．m <nB ．m <−3C ．n <−2D ．p <−1.55．若直线y ＝2x ﹣1经过点A （﹣2，m ），B （1，n ），则m ，n 的大小关系正确的是（ ）A ．m<nB ．m>nC ．m ＝nD ．无法确定6．一次函数 y 1=mx +n 与 y 2=−x +a 的图象如图所示，则 mx +n <−x +a 的解集为（ ）A ．x >3B ．x <1C ．x <3D ．0<x <37．已知 P 1(−3，y 1) 、 P 2(2，y 2) 是一次函数 y =−2x +b 图象上的两个点，则 y 1 与 y 2 的大小关系为（）A．y1<y2B．y1≤y2C．y1>y2D．不能确定y1与y2的大小8．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是(）A．B．C．D．9．一次函数y=−2x+1上有两点(−2，y1)和(1，y2)，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．无法比较10．已知M(2,a),N(−5,b)是一次函数y=3x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（）A．a>b B．a=b C．a<b D．以上都不对11．如图，直线y=2x和y=kx+b相交于点P (2，4)，则不等式2x≤kx+b的解集为()A．x≥4B．x≤4C．x≥2D．x≤212．已知点(-1，y1)，(-0.5，y2)，(1.5，y3)是直线y=-2x+1上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y3>y2>y1B．y1>y2>y3C．y1>y3>y2D．y3>y1>y2二、填空题13．如果点A(1，m)与点B(3，n)都在直线y=−2x+1上，那么m与n的大小关系式.14．直线y=−2x+b经过点则y1y2（填“<”或“>”）.15．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx和y=−x+3的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx<−x+3的解集是16．已知函数y 1=k 1x+b 1与函数y 2=k 2x+b 2的图象如图所示，则不等式k 1x+b 1＜k 2x+b 2的解集是 ．17．已知一次函数 y =−3x +m 的图形经过了A （x 1，1），B （x 2，-2），C （x 3，3），则x 1，x 2，x 3的大小关系为 .18．如图，直线y=x+b 与y=kx 的图象交于点M(-5，5)，则不等式x+b>kx 的解集为 。
一次函数中大小比较问题
人教版八年级数学下册
一次函数中比较大小问题
河北省平泉市台头山初级中学
王 金
人教版八年级数学下册
一次函数中比较大小问题
河北省平泉市台头山初级中学
王 金
点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在一次函数 y＝－2x+4图像上，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系 一、特值法：把x1，x2赋予具体数值，分别 代入解析式求出y1,y2再比较y1,y2的大小。 解：由于x1＜x2，令x1=1，x2=2 则： y1 ＝ －2×1﹢4=2
y 2 ＝ － 2 × 2 ﹢ 4 =0
∴ y1＞ y2 评析：此法简捷准确，但不具有一般性。
点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在一次函数 y＝－2x+4图像上，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系 二、图像法：在y＝－2x+4图像上描出A,B两点 ，根据上方点纵坐标大于下方点的纵坐标来判 断y1 与y2的大小关系。 A
显然：A在B的上方，则y1﹥ y2
x1
B x2
Hale Waihona Puke 评析：此法直观准确，但费时。
点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在一次函数 y＝－2x+4图像上，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系 三、利用函数增减性比较大小： 一次函数y＝－kx+b中，k＞0时， y随x增大而增 大；k ＜0时， y随x增大而减小。
解： y＝－2x+4中， －2 ＜0， y随x增大而减小。
∵ x1 ＜ x2
∴ y1 ＞ y 2
评析：此法符合学生发展思维，具有严密地逻辑性， 解后有成就感。
绝对值函数和一次函数比较大小k的范围
绝对值函数和一次函数比较大小k的范围
绝对值函数和一次函数比较大小的范围
在数学中，绝对值函数和一次函数是两种常见的函数形式。
它们在图像上有着明显的差异，因此我们可以通过比较它们的特点来确定它们的大小范围。
我们来看一次函数。
一次函数的一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，而截距b则决定了直线与y轴的交点位置。
接下来，我们来看绝对值函数。
绝对值函数的一般形式可以表示为
y = |x|。
绝对值函数的图像是以原点为中心的V形曲线。
与一次函数相比，绝对值函数没有斜率和截距的概念，因为它不会倾斜或平移。
要比较绝对值函数和一次函数的大小范围，我们可以关注它们的图像特点。
首先，绝对值函数的值始终为非负数，即y >= 0。
而一次函数的值可以是任意实数。
因此，对于任意x值，绝对值函数的值都不会小于一次函数的值。
我们还可以通过观察斜率来比较两个函数的大小范围。
一次函数的斜率k可以决定函数的增减性。
当k大于0时，一次函数是增函数；当k小于0时，一次函数是减函数。
而绝对值函数则没有斜率的概念，它在x = 0处有一个转折点，即在x = 0附近由减变增。
因此，
无论一次函数的斜率是正还是负，绝对值函数的值始终大于一次函数。
绝对值函数的值始终大于一次函数的值，且绝对值函数的值始终为非负数。
因此，绝对值函数和一次函数的大小范围是不同的。
绝对值函数的值范围为[0, +∞)，而一次函数的值范围为(-∞, +∞)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∵ x1 ＜ x2
∴ y1 ＞ y 2
评析：此法符合学生发展思维，具有严密地逻辑性， 解后有成就感。
显然：A在B的上方，则y1﹥ y2
x1
B x2
评析：此法直观准确，但费时。
点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在一次函数 y＝－2x+4图像上，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系 三、利用函数增减性比较大小： 一次函数y＝－kx+b中，k＞0时， y随x增大而增 大；k ＜0时， y随x增大而减小。
y 2 ＝ － 2 × 2 ﹢ 4 =0
∴ y1＞ y2 评析：此法简捷准确，但不具有一般性。
点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在一次函数 y＝－2x+4图像上，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系 二、图像法：在y＝－2x+4图像上描出A,B两点 ，根据上方点纵坐标大于下方点的纵坐标来判 断y1 与y2的大小关系。 A
人教版八年级数学下册
一次函数中比较大小问题
河北省平泉市台头山初级中学
王 金
人教版八年级数学下册
一次函数中比较大小问题
河北省平泉市台头山初级中学
பைடு நூலகம்王 金
点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在一次函数 y＝－2x+4图像上，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系 一、特值法：把x1，x2赋予具体数值，分别 代入解析式求出y1,y2再比较y1,y2的大小。 解：由于x1＜x2，令x1=1，x2=2 则： y1 ＝ －2×1﹢4=2