高三理科数学第三轮复习限时训练4

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2020版高考理科数学突破三轮复习新课标通用练习：小题强化练(三)

小题强化练(三)一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－8<x <2} B ．{0，1} C ．{1}D ．{0，1，2}2．已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则1＋z1－z ＝( )A ．15＋25iB ．－15＋25iC ．15－25iD ．－15－25i3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金棰由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为( )A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤4．设点F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A ．10B ．210C ． 5D ．2 55.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥C -ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．22B ．12C ．24D ．146．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1，且AB ⊥BC ，点M 是A 1C 1的中点，则异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为( )A ．13B ．223C ．324D ．127．在区间[－2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．28．已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x ＋2)＝f (x )；(2)f (x －2)为奇函数；(3)当x ∈[0，1)时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0(x 1≠x 2)恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫－152，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112的大小关系正确的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫－152 B ．f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112>f ⎝⎛⎭⎫－152 C ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112 D ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f ⎝⎛⎭⎫112>f (4) 9.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数f (x )＝2x －log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点，则|MO ||MF |的最大值为( )A ． 3B ．1C ．33D ．23312．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到y ＝f (x )的图象．若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且f (x )的最大负零点在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6上，则φ的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤π6，π4 B ．⎝⎛⎭⎫π6，π2 C ．⎝⎛⎦⎤π12，π4 D ．⎝⎛⎭⎫π12，π2二、填空题13．二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 9展开式中含x 3项的系数为________． 14．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 4＝16，S 3＝28，则当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________．15．已知扇形OAB 的圆心角∠AOB ＝90°，半径为2，C 是其弧上一点．若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ·μ的最大值为________．16．f (x )是定义在R 上的函数，其导函数为f ′(x )．若f ′(x )>2f (x )，f (2 019)＝2 019e 4 038，则不等式f (x )>2 019e 2x (其中e 为自然对数的底数)的解集为________．参考答案与解析小题强化练(三)1．解析：选B ．由A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}＝{x |－8<x <2}，得A ∩B ＝{0，1}，故选B ．2．解析：选B ．因为z ＝－1＋i ，所以1＋z 1－z ＝1－1＋i 1－(－1＋i)＝i 2－i ＝i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－15＋25i.故选B ．3．解析：选B ．由题意知金棰由粗到细每一尺构成一个等差数列，且首项a 1＝4，a 5＝2，则公差d ＝a 5－a 15－1＝－12.所以a 3＝a 1＋2d ＝4－1＝3，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝9，故选B ．4．解析：选B ．由双曲线方程知a ＝1，b ＝3，则c ＝10，|F 1F 2|＝210.由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝|F 1F 2→|＝210，故选B ．5．解析：选D ．由正视图及俯视图可知，正方形沿对角线BD 折起后，二面角C -BD -A 为直二面角，则三棱锥C -ABD 的侧视图是一腰长为22的等腰直角三角形，如图所示．则其面积为12×22×22＝14，故选D ．6.解析：选B ．法一：由题知AA 1∥BB 1，则异面直线MB 与AA 1所成角为∠MBB 1，如图．又△BB 1M 为直角三角形，cos ∠MBB 1＝BB 1MB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，由AB ⊥BC ，得B 1M ＝12A 1C 1＝22.故MB ＝22＋⎝⎛⎭⎫222＝32，所以cos ∠MBB 1＝BB 1MB ＝223，故选B ．法二：以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，则M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，B (0，0，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－2，AA 1→＝(0，0，2)．设异面直线MB 与AA 1所成角为θ，则cos θ＝|MB →·AA 1→||MB →||AA 1→|＝492×2＝223，所以异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为223，故选B ．7．解析：选B ．由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点，得圆心到直线的距离d ＝|b |2≤a ，解得b ∈[－2a ，2a ]．又b ∈[－2，2]，且直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，所以由几何概型的概率计算公式可知P ＝2a －(－2a )2－(－2)＝12，解得a ＝12，故选B ． 8．解析：选C ．由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，可知f (x )＝f (x －2)．又f (x －2)为奇函数，可知f (x )为奇函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－152＝f ⎝⎛⎭⎫－152＋2×4＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫112－2×3＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又x ∈[0，1)时，f (x )单调递增，故奇函数f (x )在(－1，1)内单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)>f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112，故选C ． 9．解析：选C ．当输入的N ＝24时，程序依次如下执行：N 能被3整除，N ＝243＝8，不满足N ≤3；N 不能被3整除，N ＝8－1＝7，不满足N ≤3；N 不能被3整除，N ＝7－1＝6，不满足N ≤3；N 能被3整除，N ＝63＝2，满足N ≤3，输出N ＝2，故选C ．10．解析：选D ．由f (x )＝2x －log 12x ，可知函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．因为实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )，f (b )，f (c )可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，x 0>c ，D 不可能成立．11．解析：选D ．设抛物线上点M (m ，n )(m >0)，则n 2＝2pm ，可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p 2，所以|MO ||MF |＝m 2＋2pmm ＋p 2＝m 2＋2pmm 2＋pm ＋p 24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24.令pm －p 24＝t ，t >－p 24，则m ＝t p ＋p 4，所以|MO ||MF |＝1＋tt 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t≤1＋13＝233，当且仅当t p 2＝9p 216t ，即t ＝3p 24时，等号成立，故选D ． 12．解析：选C ．法一：函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到函数f (x )＝sin (2x －2φ)的图象，则当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2φ∈⎣⎡⎦⎤－2φ，π2－2φ.由函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，可知⎩⎨⎧－π2＋2k π≤－2φ，π2－2φ≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－k π≤φ≤π4－k π(k ∈Z )．又由0<φ<π2，可知0<φ≤π4①.函数f (x )的所有零点满足2x －2φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝12k π＋φ(k ∈Z )，由最大负零点在⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6内，得－5π12<12k π＋φ<－π6(k ∈Z )，即－5π12－12k π<φ<－π6－12k π(k ∈Z )，由0<φ<π2可知当k ＝－1时，π12<φ<π3②.由①②，φ的取值范围为⎝⎛⎦⎤π12，π4，故选C ．法二：由题意得f (x )＝sin(2x －2φ)，观察选项可取φ＝π3，可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，可知当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，函数f (x )先减后增，不符合题意，排除B ，D ；取φ＝π6，易得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k2π(k ∈Z )，则函数f (x )取得的最大负零点为x ＝－π3∈⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6，符合题意，排除A ，故选C ． 13．解析：二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫2x 9－r(－x )r ＝(－1)r ·29－r C r 9x 32r －9.令32r －9＝3，解得r ＝8，可知所求二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)8·29－8C 89＝2×9＝18.答案：1814．解析：由数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝16，可得a 3＝4.又S 3＝a 3⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1＝28，可得1q 2＋1q ＋1＝7，即⎝⎛⎭⎫1q －2·⎝⎛⎭⎫1q ＋3＝0，解得q ＝12⎝⎛⎭⎫q ＝－13舍去，故a n ＝a 3qn －3＝25－n.则a 1a 2…a n ＝24×23×…×25－n＝2(9－n )n2，可知当(9－n )n2取得最大值时，a 1a 2…a n取得最大值，此时整数n ＝4或5.答案：4或515．解析：由题|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，且OA →·OB →＝0.由OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得OC →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋2λμOA →·OB →＋μ2OB →2＝4λ2＋4μ2，可得4＝4λ2＋4μ2，即λ2＋μ2＝1，所以λ·μ≤λ2＋μ22＝12，当且仅当λ＝μ＝22时取得等号，故λ·μ的最大值为12.答案：1216．解析：构造函数g (x )＝f (x )e 2x ，则g ′(x )＝f ′(x )e 2x －2e 2x f (x )(e 2x )2＝f ′(x )－2f (x )e 2x.由f ′(x )－2f (x )>0，可知g (x )在R 上单调递增，则当x >2 019时，g (x )>g (2 019)＝f (2 019)e 4 038＝2 019，即f (x )e 2x >2 019，所以不等式f (x )>2 019e 2x 的解集为{x |x >2 019}．答案：{x |x >2 019}。

高考数学三轮冲刺数列课时提升训练(4).docx

2015高考数学三轮冲刺数列课时提升训练（4）1、设是正项数列，其前项和满足：,则数列的通项公式=____________。

2、下列说法：①当；②ABC中，是成立的充要条件；③函数的图象可以由函数（其中）平移得到；④已知是等差数列的前项和，若，则.；⑤函数与函数的图象关于直线对称。

其中正确的命题的序号为。

3、在等差数列中，当时，必定是常数数列. 然而在等比数列中，对某些正整数r、s，当时，可以不是常数列，试写出非常数数列的一个通项公式.4、设为递减的等比数列，其中为公比，前项和，且，则= .5、观察下面的数阵，容易看出，第n+1行最右边一个数与第n行最右边一个数满足，12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………则前20行的所有数字之和为．6、7、下列命题中，真命题的序号是 .①中，②数列{}的前n项和，则数列{}是等差数列.③锐角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是.④等差数列{}前n项和为。

已知+-=0，=38,则m=10.⑤常数数列既是等差数列又是等比数列.⑥数列{}满足，，则数列{}为等比数列.8、对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数（即能表示为一个整数的平方的数，例如4是完全平方数、3不是完全平方数），则称数列具有“性质”．不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．下面三个数列：①数列的前项和；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“性质”的为；具有“变换性质”的为 .9、由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：①第二列中的必成等比数列；②第一列中的不一定成等比数列；③；④若9个数之和大于81，则 >9．其中正确的序号有．（填写所有正确结论的序号）．10、若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：. .11、已知前n项和，则…的值为12、用三个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由字母开始，相邻两个字母不能相同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,…….记这种含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的个数为,则, ,．13、设数列{}是等差数列，数列{}是等比数列，记数列{}、{}的前项和分别为、．若、，且，则＝____________14、已知数列的前项和为，，且当，时，，若，则15、若{a n}为等比数列，且16、等差数列中，公差，,,成等比数列，则=17、在数列{a n}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{a n}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n}是等方差数列，则{a}是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数数列.其中正确命题的序号为.(将所有正确命题的序号填在横线上).18、下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．19、已知数列、满足，则=20、若，则。

2020-2021学年高考总复习数学(理科)三轮复习模拟试题及答案解析一高考模拟题

0.010 6.635
三．解答题 17 ．已知数列 {a n} 的前 n 项和 Sn= ﹣ an﹣（）n﹣1+2 （ n ∈ N *），数列 {b n} 满足 b n=2 na n．
（Ⅰ）求证数列 {b n} 是等差数列，并求数列 {a n} 的通项公式；
（Ⅱ）设 c n=log 2 ，数列{
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6 ．下列说法中正确的是（
）
A ．若命题 P：？ x 0∈ R， x 02﹣x 0+1 ＜0 ，则￢ P：？ x ?R， x 2﹣ x+1 ≥0
B ．命题 “若圆 C ：（ x ﹣ m+1 ） 2+ （ y ﹣ m ） 2=1 与两坐标轴都有公共点，则实数 m ∈ [0 ，
A．
B．
C．﹣i D．i
3 ．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（
）
A ． 2 B ． 3 C． 4 D． 5 4 ．已知 tan α＜0 ， sin α= ﹣ ，则 sin2 α= （）
A．
B．﹣
C．
D． ﹣
5 ．“双曲线 C 的渐近线为 y= ± x”是“双曲线 C 的离心率为 ”的（）
A．4 B．
C．
D．
12 ．已知函数 f （ x ） =x 3+kx （ k ∈ R），若关于 x 的方程 f （ x ） =lnx+2ex 2 有唯一解，则
下列说法正确的是（
）
A ． k= +e
B ．函数 f （ x ）的图象在点（ 0 ， f（ 0））处的切线的斜率为 e 2﹣ C．函数 f （ x ）在 [0 ， e] 上单调递减 D．函数 f（ x ）在 [0 ， e] 上的最大值为 2e 3+1

砺剑2022相约高考三轮冲刺摸底卷四数学

砺剑2022相约高考三轮冲刺摸底卷四数学1、下列各角中与45°角终边相同的角是（）[单选题] *A. 405°(正确答案)B. 415°C. -45°D. -305°2、18．下列各对数中，互为相反数的是（）[单选题] *A．﹣（+1）和+（﹣1）B．﹣（﹣1）和+（﹣1）(正确答案)C．﹣（+1）和﹣1D．+（﹣1）和﹣13、下列各角中，与300°终边相同的角是（）[单选题] *A、420°B、421°C、-650°D、-60°(正确答案)4、的值为（）[单选题] *A.-2B. 0C. 1(正确答案)D. 25、5．已知集合A={x|x=3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是( ) [单选题] *A．－2∈AB．2 022?AC．3k2＋1?A(正确答案)D．－35∈A6、3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）[单选题] *A．10℃B．0℃C.-10 ℃(正确答案)D．-20℃7、下列计算正确的是（）[单选题] *A. a2+a2=2a?B. 4x﹣9x+6x=1C. （﹣2x2y）3=﹣8x?y3(正确答案)D. a6÷a3=a28、38．如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（）[单选题] * A．14(正确答案)B．9C．﹣1D．﹣69、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] * A．ab＝cB．a+b＝c(正确答案)C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c210、k·360°-30°（k是整数）所表示的角是第（）象限角。

[单选题] *A. 一B. 二C. 三D. 四(正确答案)11、3．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) [单选题] * A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}(正确答案)D．{x|1<x<4}12、39、在平面直角坐标系中，将点A（m，m+9）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点B，若点B在第二象限，则m的取值范围是（）[单选题] *A．﹣11＜m＜﹣4B．﹣7＜m＜﹣4(正确答案)C．m＜﹣7D．m＞﹣413、26．已知（x﹣a）（x+2）的计算结果为x2﹣3x﹣10，则a的值为（）[单选题] * A．5(正确答案)B．﹣5C．1D．﹣114、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)15、3.检验4个工作，其中超出标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，则最接近标准质量的克数是（）[单选题] *A.4B.3C.-1(正确答案)D.-216、8. 下列事件中，不可能发生的事件是(? ? )．[单选题] *A．明天气温为30℃B．学校新调进一位女教师C．大伟身长丈八(正确答案)D．打开电视机，就看到广告17、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．418、24．下列各数中，绝对值最大的数是（）[单选题] *A．0B．2C．﹣3(正确答案)D．119、20．已知集合A={x|x2(x的平方)－2 023x＋2 022<0}，B={x|x<a}，若A?B，则实数a的取值范围是___. [单选题] *A a≥2022(正确答案)B a>2022C a<2022D a≥120、23.将x-y-6=0改写成用含x的式子表示y的形式为（）[单选题] *A. x=y+6B. y=x-6(正确答案)C. x=6-yD. y=6=x21、12.下列方程中，是一元二次方程的为（）[单选题] *A. x2+3xy=4B. x+y=5C. x2=6(正确答案)D. 2x+3=022、已知直线l的方程为2x-y+7=0，（）是直线l上的点[单选题] *A、（2，3）B、（2，4）(正确答案)C、（2，-3）D、（-2，-3）23、9．(2020·课标Ⅱ)已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=( ) [单选题] *A．?B．{－3，－2,2,3}C．{－2,0,2}D．{－2,2}(正确答案)24、9．如果向东走记为，则向西走可记为() [单选题] * A+3mB+2mC-3m(正确答案)D-2m25、28．下列计算结果正确的是（）[单选题] *A．（a3）4＝a12(正确答案)B．a3?a3＝a9C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．（ab）2＝ab226、下列说法中，正确的是[单选题] *A.一个有理数不是正数就是负数(正确答案)B.正分数和负分数统称分数C.正整数和负整数统称整数D.零既可以是正整数也可以是负整数27、20．下列说法正确的是（）[单选题] *A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数一定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数(正确答案)28、11．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤﹣不仅是有理数，而且是分数；⑥是无限不循环小数，所以不是有理数．其中错误的说法的个数为（）[单选题] *A．6个(正确答案)B．5个C．4个D．3个29、已知x-y=3,x2-y2=12,那么x+y的值是( ??) [单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 6D. 1230、10.若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长[单选题] *A. 12(正确答案)B. 13C. 15D. 14。

2021年高考理科数学三轮冲刺热点题型 12+4专项练习A含答案

2021年高考理科数学三轮冲刺热点题型 12+4专项练习A“12＋4”专项练11.已知集合A ＝{x |log 3x ≥0}，B ＝{x |x ≤1}，则( ) A.A ∩B ＝∅ B.A ∪B ＝R C.B ⊆A D.A ⊆B答案 B2.已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞) D.(－∞，－3) 答案 A解析由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1，故选A.3.已知命题p ：“m ＝1”，命题q ：“直线mx －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A4.命题：∀x ∈R ，ln(e x －1)<0的否定是( ) A.∀x ∈R ，ln(e x －1)>0 B.∀x ∈R ，ln(e x －1)≥0 C.∃x 0∈R ，ln(e 0x －1)<0 D.∃x 0∈R ，ln(ex －1)≥0答案 D5.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(－π2＜φ＜0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (π6)等于( )A.－23B.－12C.12D.23答案 D解析由图可知，T ＝2(11π12－7π12)＝2π3＝2πω，所以ω＝3，又f (7π12)＝A cos(7π4＋φ)＝0，所以7π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π4，k ∈Z ，又因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π4.所以f (x )＝A cos(3x －π4).由f (π2)＝A cos(3×π2－π4)＝－A sin π4＝－23，所以A ＝223，所以f (π6)＝223cos(π2－π4)＝223sin π4＝23.故选D.6.甲，乙，丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25B.1130C.715D. 16 答案 C解析所求概率为P ＝23×34×35＋13×34×25＋23×14×25＝715.7.“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形”，根据“三段论”推理形式，则作为大前提、小前提、结论的分别为( ) A.①②③ B.③①② C.②③① D.②①③ 答案 C解析用三段论的形式写出的演绎推理是：大前提 ②矩形的对角线相等小前提 ③正方形是矩形结论 ①正方形的对角线相等，故选C.8.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为2π3的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为()A.20πB.2053π C.25π D. 255π答案 A解析由三视图可知，该三棱柱的底面为顶角为2π3，两腰为2的等腰三角形，高为2，底面三角形的外接圆直径为23sin2π3＝4，半径为2，设该三棱柱的外接球的半径为R ，则R 2＝22＋12＝5，所以该三棱柱的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝20π，故选A. 9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y ＋1x ＋1的范围是( )A.[13，2]B.[－12，12]C.[12，32]D.[32，52] 答案 C解析在直角坐标系中作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0.由斜率公式可知z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点M (x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知z max ＝2＋11＋1＝32，z min ＝1＋13＋1＝12，故选C.10.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与B 1C 所在直线所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 C解析作A 1B ∥D 1C ，连接B 1D 1，易证∠B 1CD 1就是A 1B 与B 1C 所在直线所成的角，由于△B 1CD 1是等边三角形，因此∠B 1CD 1＝60°，故选C.11.已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C.2x ±y ＝0 D.x ±2y ＝0 答案 B解析 a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 1的离心率为a 2－b 2a，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 2的离心率为a 2＋b 2a， ∵C 1与C 2的离心率之积为32， ∴a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32， ∴(b a )2＝12，b a ＝22， C 2的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.故选B.12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A.[－32e ，1) B.[－32e ，34) C.[32e ，34) D.[32e ，1)答案 D解析设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题意知存在唯一的整数x 0使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方， ∵g ′(x )＝e x (2x －1)＋2e x ＝e x (2x ＋1)，∴当x <－12时，g ′(x )＜0，当x >－12时，g ′(x )＞0，∴当x ＝－12时，g (x )取最小值－2e －12，当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e ＞0，直线y ＝ax －a 恒过定点(1，0)且斜率为a ，故－a ＞g (0)＝－1且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e≤a <1.13.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________.答案 10 000解析 i ＝0，S ＝0⇒i ＝1，S ＝1⇒i ＝2，S ＝4⇒i ＝3， S ＝9…由此可知S ＝i 2，所以当i ＝100时，S ＝10 000.14.已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中，x 4的系数为1，则a ＝________. 答案 2解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中，x 4 的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1，所以a ＝2，所以应填2.15.函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________. 答案 (0，1]解析根据题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0，1].16.已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________. 答案－16解析如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°， OA ＝2OD ＝23×32＝33，由于AD 平分∠A ，∠BOC ，所以，OB →＋OC →＝2OD →＝－OA →，同理，OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →，所以，(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB →＝|OB →|2cos 120° ＝|OA →|2cos 120° ＝(33)2×(－12)＝－16.“12＋4”专项练21.设全集I ＝R ，集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >2}，B ＝{x |y ＝x －1}，则( ) A.A ⊆B B.A ∪B ＝A C.A ∩B ＝∅ D.A ∪B ＝∅答案 A2.若复数z 满足z i ＝1＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.2－i B.2＋i C.－2－i D.－2＋i答案 B解析 ∵z i ＝1＋2i ，∴z ＝1＋2ii ＝2－i ，∴z ＝2＋i.3.下列有关命题的说法错误的是( ) A.若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题 B.“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件 C.“sin x ＝12”的必要不充分条件是“x ＝π6”D.若命题p ：∃x 0∈R ，x 20≥0，则命题綈p ：∀x ∈R ，x 2<0答案 C4.命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3 答案 C5.设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 D解析若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件.6.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6 答案 C解析若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，所以|f (x )|max ＝f (π6)＝sin(2×π6＋φ)＝sin(π3＋φ)，即π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<2π，所以φ＝π6或φ＝7π6，当φ＝π6时，f (π2)＝sin(π＋π6)＝－sin π6＝－12，f (π)＝sin(2π＋π6)＝sin π6＝12，f (π2)＜f (π)，不合题意，当φ＝7π6时，f (π2)＝sin(π＋7π6)＝－sin 7π6＝12，f (π)＝sin(2π＋7π6)＝sin 7π6＝－12，f (π2)＞f (π)，符合题意，所以φ＝7π6，故选C.7.已知两个不重合的平面α，β和两条不同的直线m ，n ，则下列说法正确的是( ) A.若m ⊥n ，n ⊥α，m ⊂β，则α⊥β B.若α∥β，n ⊥α，m ⊥β，则m ∥n C.若m ⊥n ，n ⊂α，m ⊂β，则α⊥β D.若α∥β，n ⊂α，m ∥β，则m ∥n 答案 B解析 A.若n ⊥α，m ⊥n ，则m ∥α或m ⊂α，又m ⊂β， ∴α⊥β不成立，∴A 错误.B.若α∥β，n ⊥α，则n ⊥β，又m ⊥β，∴m ∥n 成立， ∴B 正确.C.m ⊥n ，n ⊂α，m ⊂β，则α⊥β或α∥β.∴C 错误.D.若α∥β，n ⊂α，m ∥β，则m ∥n 或m 与n 相交或m ，n 为异面直线，∴D 错误. 8.如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是( )A.33 B.533 C.233D. 3 答案 B解析由三视图可知，该几何体是由三棱柱割掉一个角(三棱锥)而成的几何体，所以体积为34×22×2－13×34×22×1＝533.9.已知{a n }为等比数列， a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于( ) A.－7 B.－5 C.5 D.7 答案 B解析由等比数列性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解之得a 4＝－2或a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q 3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.10.设随机变量X ～B ( n ， p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A.34 B.116 C.31 024 D.1256 答案 C解析根据二项分布的均值和方差公式，有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np (1－p )＝3，解之得n ＝12，p ＝12，所以P (X ＝1)＝C 112(12)12＝31 024. 11.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图和第n 个图小正方形的个数( )A.28，(n ＋1)(n ＋2)2B.14，(n ＋1)(n ＋2)2C.28，n 2D.12，(n 2＋n )2答案 A解析观察所给图形的小正方形，可得a n －a n －1＝n ＋1 (n ≥2，n ∈N )，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝n ＋1，这n －1个式子相加得到a n －a 1＝(n －1)(3＋n ＋1)2＝(n －1)(n ＋4)2，a 1＝3，解得a n ＝(n －1)(n ＋4)2＋3＝n 2＋3n ＋22＝(n ＋1)(n ＋2)2，验证n ＝1成立，当n ＝6时，a n ＝28，故选A.12.定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (x ＋1)是偶函数，(x －1)f ′(x )<0，若x 1<x 2且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A.f (x 1)<f (x 2) B.f (x 1)＝f (x 2) C.f (x 1)>f (x 2) D.不确定答案 C解析因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (x )的图象关于x ＝1对称，由(x －1)f ′(x )＜0得，x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.若x 1≤1，由x 1＋x 2>2，得x 2>2－x 1≥1，所以f (x 1)＝f (2－x 1)>f (x 2)；若x 1>1，则1<x 1<x 2，所以f (x 1)>f (x 2). 综上知f (x 1)>f (x 2).13.如图是一个算法的程序框图，最后输出的S ＝________.答案 25解析因为a ＝1时，P ＝9＞0，则S ＝9，此时a ＝2，P ＝16>9，继续可得S ＝16，将a ＝3代入得P ＝21>16，则得S ＝21，将a ＝4代入得P ＝24>21，则S ＝24，将a ＝5代入得P ＝25>24，得S ＝25，将a ＝6代入得P ＝24<25，此时输出S ＝25. 14.若⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是________.答案 1解析画出可行域如图所示，A (a ，a )为最优解，故z ＝3a ＝3，a ＝1.15.如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________.答案－16解析 (AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(QP →＋2AQ →)·(AB →－AC →)＝QP →·(AB →－AC →)＋2AQ →·(AB →－AC →)＝QP →·CB →＋2AQ →·(AB →－AC →)＝(2AQ →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝9－25＝－16.16.设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析设P (－c ，y 0)，代入双曲线C ∶x 2a 2－y 2b2＝1，得y 20＝(b 2a )2，由题意知y 0＜0，∴y 0＝－b 2a，又∵P 在直线y ＝b3a x 上，代入得c ＝3b ，又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴e ＝c a ＝324.“12＋4”专项练31.(2016·天津)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B 等于( ) A.{1} B.{4} C.{1，3} D.{1，4} 答案 D解析因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10. 即B ＝{1，4，7，10}.又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.故选D. 2.设z 是纯虚数，若1－i z ＋2是实数，则z 等于( )A.－2iB.－iC.iD. 2i 答案 A解析设z ＝b i(b ≠0)，1－iz ＋2＝1－i b i ＋2＝(2－b )－(2＋b )i 4＋b 2∈R ， ∴2＋b ＝0，b ＝－2，∴z ＝－2i.3.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |a ≤－2或a ＝1}B.{a |a ≥1}C.{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D.{a |－2≤a ≤1}答案 A解析 p 为真，则x 2≥a ，所以a ≤1； q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，解得，a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”为真命题，则a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.4.已知条件p ：x 2－2x －3＜0，条件q ：x ＞a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( ) A.a ＞3 B.a ≥3 C.a ＜－1 D.a ≤－1 答案 D5.函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是()A.ω＝π2，φ＝π4B.ω＝π3，φ＝π6C.ω＝π4，φ＝π4D.ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析由图象得T 4＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4，当x ＝1时，y ＝1，∴sin(π4＋φ)＝1，则φ＝π4时符合，故选C.6.由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项是( )A.1100B.100C.34103D.14 答案 A解析由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1得， a 2＝13＋1＝14，a 3＝143×14＋1＝17，a 4＝173×17＋1＝110，a 5＝1103×110＋1＝113，a 6＝1133×113＋1＝116，…，各项分子为1，分母构成等差数列{b n }，首项b 1＝1，公差为d ＝3，所以b 34＝b 1＋(34－1)d ＝1＋33×3＝100，故选A. 7.给出以下四个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； ②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 答案 C8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172 C.13 D. 17＋3102 答案 C解析该三视图的几何体是三棱台ABC —DEF ，为正方体中的一部分，如图. BC ＝2，EF ＝22，BE ＝CF ＝5， S BCFE ＝12(2＋22)×(5)2－(22)2＝92，所以S 表＝12＋2＋2×12×(1＋2)×2＋92＝13.故选C.9.已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ；四面体的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R .类比三角形的面积可得四面体的体积为( )A.V ＝12(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)RB.V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)RC.V ＝14(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)RD.V ＝(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R答案 B解析根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，∴△ABC 的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，对应于四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R .10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0，1，2，…，9}.若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( ) A.725 B.925 C.750 D.950 答案 A解析共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0，1；当a ＝1时，b ＝0，1，2；当a ＝2时，b ＝1，2，3；当a ＝3时，b ＝2，3，4；当a ＝4时，b ＝3，4，5；当a ＝5时，b ＝4，5，6；当a ＝6时，b ＝5，6，7；当a ＝7时，b ＝6，7，8；当a ＝8时，b ＝7，8，9；当a ＝9时，b ＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P ＝28100＝725，故选A.11.函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A.(0，12)B.(－12，0)和(12，＋∞)C.(12，＋∞) D. (－∞，－12)和(0，12)答案 A解析由题意，得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x (x >0)，又当x ∈(0，12)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间是(0，12)，故选A.12.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C.2 D.73 答案 B解析由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ① 又|PF 1|＝4|PF 2|，②联立①②解得|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，当cos ∠F 1PF 2＝－1时，解得e ＝53(e ＝－53不合题意，舍去)，即e 的最大值为53，故选B.13.(1－12x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为________.答案 60解析因为(1＋2x )5展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·2k·x 2k，所以(1－12x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为1×C 45×24－12×C 25×22＝60.14.曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为__________________. 答案 x －y －2＝0解析 y ′＝3x 2－2，y ′|x ＝1＝1，所以切线方程为x －y －2＝0.15.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是__________________.答案 13解析由程序框图知：第一次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；第二次循环S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；第三次循环S ＝1－121＋12＝13，i ＝4；第四次循环S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；第五次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝6；…S 值的周期为4，∵跳出循环体的i 值为2 106，∴共循环了2 015次，∴输出的S ＝13.16.已知向量OP →＝(2，1)，OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XA →·XB →的最小值是________. 答案－8解析直线OP 方程为y ＝12x ，设点X 坐标为(m ，12m )，则XA →＝(1－m ，7－12m )，XB →＝(5－m ，1－12m )，所以XA →·XB →＝(1－m )(5－m )＋(7－12m )(1－12m )＝54m 2－10m ＋12＝54(m －4)2－8，当m ＝4时，XA →·XB →有最小值为－8.“12＋4”专项练41.设全集U ＝{x |x <9且x ∈Z }，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，图中阴影部分所表示的集合为( )A.{1，2，3，4，5，6，7，8}B.{1，2，4，5，6}C.{1，2，4，5，6，7，8}D.{1，2，3，4，5，6}答案 B2.已知i 为虚数单位，则复数2i1＋i等于( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案 A3.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C.∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 20D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 20 答案 D解析原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合. 4.sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°等于( ) A.－12 B.32 C.22 D.12答案 D解析 sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°＝sin 47°cos 17°－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12，故选D.5.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案 C解析 ∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误.6.若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析方程x 2k －3＋y 2－(k ＋3)＝1表示双曲线，只需满足(k －3)(－k －3)＜0，解得k ＞3或k ＜－3.所以k ＞3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.8C.43 5 D.45 答案 A解析该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为5的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积V ＝83，故选A.8.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为( )A.32 B.1010 C.25 D.35答案 C解析设正方体的边长为2，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，M (2，1，2)，N (2，2，1).所以AM →＝(0，1，2)，CN →＝(2，0，1)，所以cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·CN →|AM →||CN →|＝25. 9.设函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是( )A.2936B.3144C.3655D.4366 答案 C解析由题意得函数f (x )＝x a ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，即ax a －1＋a ＝2x ＋2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2＋2x ，1f (n )＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)，则S 9＝12(1＋12－110－111)＝3655，故选C.10.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B.15 C.19 D.320 答案 A解析先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13(非第一)种方法，其余三个自由排，共有A 13A 13A 33＝54(种)方法，这是总结果；学生C 第一个出场，先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13种方法，C 第一个出场，剩余2人自由排，故有A 13A 13A 22＝18(种)，故学生C 第一个出场的概率为1854＝13.11.已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值是( ) A.－2327 B.－32 C.－932 D.－233答案 B解析双曲线ax 2＋by 2＝1的渐近线方程可表示为ax 2＋by 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝0得(a ＋b )x 2－2bx ＋b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2b a ＋b ，y 1＋y 2＝2aa ＋b ，所以原点和线段AB 中点的直线的斜率为 k ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝a b＝－32，故选B.12.定义在(0，π2)上的函数f (x )，其导函数为f ′(x )，若恒有f (x )<f ′(x )tan x ，则( )A.f (π6)>3f (π3)B.f (π6)<3f (π3)C.3f (π6)>f (π3)D.3f (π6)<f (π3)答案 D解析因为x ∈(0，π2)，所以sin x >0，cos x >0.由f (x )<f ′(x )tan x ，得f ′(x )sin x －f (x )cos x >0. 不妨设g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x >0，所以函数g (x )在(0，π2)上单调递增，所以g (π6)<g (π3)，即f(π6)sinπ6<f(π3)sinπ3，亦即3f(π6)<f(π3)，故选D.13.执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝________.答案 4解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6，n＝1；第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意，结束循环. 14.在一次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：年龄x21 24 34 41脂肪y9.5 17.5 24.9 28.1由表中数据求得y关于x的线性回归方程为y^＝0.6x＋a^，若年龄x的值为50，则y的估计值为________.答案32解析由题意可得x＝30，y＝20，将(30，20)代入y^＝0.6x＋a^，解得a^＝2，所以线性回归方程为y^＝0.6x＋2，再将x＝50代入y^＝0.6x＋2得y^＝32，故答案为32.15.(x＋1)(1x－1)3的展开式中的常数项为______.答案－4解析 (1x －1)3的通项公式是T k ＋1＝C k 3(1x)3－k (－1)k ＝C k 332--k x (－1)k ，所以原式中出现常数项则－3－k 2＝－1或－3－k2＝0，解得：k ＝1或k ＝3，所以其常数项为C 13(－1)＋C 33(－1)3＝－3－1＝－4. 16.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AD →⊥DC →，则AC →·BD →＝______. 答案－8解析因为AC →＝AD →＋DC →，BD →＝BA →＋AD →，所以AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BA →＋AD →) ＝AD →·BA →＋AD →2＋DC →·BA →＋DC →·AD → ＝0＋4＋(－12)＋0＝－8，故答案为－8.“12＋4”专项练51.已知全集U ＝R ，N ＝{x |x (x ＋3)<0}，M ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x |－3<x <－1}B.{x |－3<x <0}C.{x |－1≤x <0}D.{x |x <－3} 答案 C2.若复数z 满足(1－2i)z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.－35－45i B.35＋45i C.－35＋45i D.35－45i答案 C3.命题：“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”的否定是( ) A.不存在x ∈R ，x 2＋x ＋1>0 B.∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1>0 C.∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0 D.∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0 答案 C4.已知p ：α为第二象限的角，q ：sin α>cos α，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 A5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝12，则S 13等于( ) A.52 B.54 C.56 D.58 答案 A解析若a 3＋a 7＋a 11＝12，则有3a 7＝12， ∴a 7＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝52.6.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)图象的一个对称中心为(2，0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为3，且f (1)>f (3)，要得到函数f (x )的图象可将函数y ＝2cos ωx 的图象( ) A.向右平移12个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移12个单位长度D.向左平移π6个单位长度答案 A解析由两条对称轴的距离|x 1－x 2|的最小值为3，可得T ＝6，∴6＝2πω，ω＝π3，又函数f (x )＝2cos(ωx＋φ)图象的一个对称中心为(2，0)，则2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π6，f (x )＝2cos(π3x －π6)，满足f (1)>f (3)，故可将函数y ＝2cos ωx 的图象向右平移12个单位长度得到函数f (x )的图象，故选A.7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁，从A 点出发沿正方体的棱前进，要它走过的第n ＋2条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2 016条棱之后的位置是在( ) A.点A 1处 B.点A 处 C.点D 处 D.点B 处答案 B解析走过的棱可依次为AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A ，因此走过6条棱后回到起点，所以周期为6，因为2 016÷6＝336，所以又回到起点A .8.如图是一个几何体的三视图，正(主)视图是一个等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧(左)视图为一个直角三角形，俯视图是一个直角梯形，且AB ＝BC ＝1，则此几何体的表面积是( )A.12B.32 C 5＋32 D.5＋32＋ 2 答案 D解析几何体为一个四棱锥，高为1，底面为直角梯形，上、下底为1和2，高为1，因此几何体四个侧面中有两个全等的直角三角形，直角边分别为1，2，一个底边长为2的等腰直角三角形，还有一个边长为2的等边三角形，因此表面积为12×(1＋2)×1＋2×12×1×2＋34×(2)2＋12×1×2＝5＋32＋2，故选D. 9.已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( ) A.45 B.35 C.π60 D.π3 答案 A解析由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.10.平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22 C.33 D.13答案 A解析如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m 、n 所成角的大小与B 1D 1、CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小. 而B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，因此∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.11.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )A.y ＝x ＋1的图象上B.y ＝2x 的图象上C.y ＝2x 的图象上D.y ＝2x －1的图象上答案 D解析由题可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环，x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环，x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x ＝4＋1＝5>4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)，点(4，8)均满足在函数y ＝2x －1的图象上.12.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 有两个极值点x 1，x 2，若点P (x 1，f (x 1))为坐标原点，点Q (x 2，f (x 2))在圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上运动时，则函数f (x )图象的切线斜率的最大值为( ) A.3＋ 2 B.2＋ 3 C.2＋ 2 D.3＋ 3 答案 D解析因为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，又因为点P (x 1，f (x 1))为坐标原点，所以f (0)＝0，f ′(0)＝0，c ＝0，d ＝0，令f ′(x )＝0，即f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2b3a，f (x 2)＝a (－2b 3a )3＋b (－2b 3a )2＝4b 327a 2，又点Q (x 2，f (x 2))在圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上运动，所以a <0，k ＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ≤－b 23a ＝32·y 2x 2，y 2x 2表示圆上动点与原点连线的斜率，由几何意义可求得y 2x 2的最大值为2＋233，因此k 的最大值为3＋3，故选D.13.已知x ，y 的取值如表所示：若y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋72，则b ^＝________.x 2 3 4 y546答案 12解析 x ＝3，y ＝5，∴5＝b ^×3＋72，∴b ^＝12.14.如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间(19，13)内，那么输入实数x 的取值范围是________.答案 (1，2)解析模拟执行程序框图，可得其功能为计算并输出分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，－1≤x ≤1，3－x ，x <－1或x >1的值，如果输出的函数值在区间(19，13)内，即y ∈(3－2，3－1)，从而解得x ∈(1，2)，故答案为(1，2).15.数列1，2，3，4，5，6，…，n ，…是一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式a n ＝n ，前n 项和S n ＝(1＋n )n2.若将该数列排成如下的三角形数阵的形式1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… … … … … … … …根据以上排列规律，数阵中的第n 行(n ≥3)的第3个(从左至右)数是________. 答案 n 2－n ＋62解析由题意知该三角形数阵的每一行的第一个数为n (n －1)2＋1，所以第三个数为n 2－n ＋62.16.设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________. 答案 4π解析圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.。

高三数学(理)限时练四(含答案)

高三数学（理）限时练四班级_____________ 姓名______________1.设全集}1|{},03|{,2-<=>--==x x B x x x A R U ,则图中阴影部分表示的集合为（） A ．}0|{>x xB ．}13|{-<<-x xC ．}03|{<<-x xD ．}1|{-<x x【答案】B2. “1a =-”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．非充分必要条件【答案】B3. 设集合{|sin ,}A y y x x R ==∈,集合{|lg }B x y x ==,则()R C A B =（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．[11]-， C ．(1,)+∞ D ．[1,)+∞【答案】C4．若3322,0,""""a b a b a b a b ab >>+>+则是的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A5．若实数a ,b ,c 满足log 2log 2log 2a b c <<,则下列关系中不可能成立．．．．．的是（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】A6. 设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为6，则z 的最小值为（）A ．－2 B.－3 C ．－4 D.－5解析 B 如图，x ＋y ＝6过点A (k ，k )，k ＝3，z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，B (－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3.7. 设a .,,,(0,)b R a b x y +∈≠∈+∞,则222()a b a b x y x y++≥+,当且仅当a b x y =时,上式取等号,利用以上结论,可以得到函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值为（） A ．169 B ．121 C ．25 D ．168.在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若0cAC aPA bPB ++=，则ABC ∆的形状为（）A. 等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.9. 已知1,0b a t >>>, 若x a a t =+,则x b 与b t +的大小关系为（）A ．x b >b t +B ．x b =b t +C ．x b <b t +D ．不能确定【答案】A10. 已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4a 1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4a 2解析 C m 2＋1m ＝m ＋1m≥2，所以要使不等式恒成立，则有2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a ix －2≤2，所以0≤a ix ≤4，因为a 1>a 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a10≤x ≤4a2, 即0≤x ≤4a 1，所以使不等式恒成立的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4a 1，故选C.11. 已知集合]12,1[],5,2[-+=-=p p B A ，且满足A B ⊆，则p 的取值范围是________.12. 若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩是奇函数,则满足()f x a >的x 的取值范围是______.【答案】(13,)--+∞13. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋2f (3)，且f (－2)＝2，则f (2 012)＝________.解析令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋2f (3)，即f (3)＝f (－3)＋2f (3)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (3)＝0，∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (2 012)＝f (6×335＋2)＝f (2)＝f (－2)＝2. 【答案】 214. 若正数a b ，满足12=+b a ,则ab b a ++224的最大值为__________.【答案】161715. {a n }是等差数列，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是________________.16. 已知集合{},,,,A a b c d e =,{}1,2,3B =,定义函数:f A B →满足条件:①函数f 的值域为B;②f (a)≠f (b),则满足条件的不同函数f 的个数______.【答案】11417. 设R ,,∈c b a ,有下列命题:①若0>a ,则b ax x f +=)(在R 上是单调函数; ②若b ax x f +=)(在R 上是单调函数,则0>a ; ③若042<-ac b ,则 03≠++c ab a ; ④若03≠++c ab a ,则042<-ac b .其中,真命题的序号是____. 【答案】①③; 18. 已知二次函数()f x 满足:（1）若(1)2()f x x f x +=+,(0)1f =,求()f x 的解析式;（2）若(2)(2)f x f x -=+,()f x 最大值为5,(0)1f =,求()f x 的解析式。

高三数学限时强化训练4及答案

高三数学限时强化训练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{}2|3A y y x ==-+，5|lg 1x B x y x ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪+⎝⎭⎩⎭，则()A B A B U I ð等于（）. A ．(]()5,31,Y -∞- B ．(]()+∞-∞-,31,Y C ．()()+∞-∞-,31,Y D ．(][]5,31,Y -∞-2．设复数131i 22z =+，234i z =+，则220151z z 等于（）. A ．51B ．51-C ．20151 D ．20151-3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）. A ．1y x =-B ．()21ln x x y ++=C ．3xy =D ．x x y -=34．已知函数()sin y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为（）. A ．3π4 B ．π4 C ．0 D ．π4-5.以下四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设,a b ∈R ，若8≠+b a ，则4≠a 或4≠b ”是假命题； ③“2>x ”是“211<x ”的充分不必要条件； ④命题“对任意x ∈R ，都有20x …”的否定是“存在x ∈R ，使得02<x ”其中正确的命题有（）.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6．程序框图如图所示，其输出S 的结果是（）. A ．6 B. 24C ．120 D. 8407.甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示.甲茎乙 5 7 1 6 8 8 8 223 6 7设1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）.A ．12x x =，12s s <B ．12x x =， 12s s >C ．12x x >， 12s s >D ．12x x =， 12s s =8.6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同的站法种数为（）. A.12 B.18 C.24 D.369.设()102100121021x a a x a x a x -=++++L ，则13579a a a a a ++++的值为（）.A ．10132+B ．10132-C ．10312-D ．10132+-10.如图所示，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，则OB OC ⋅u u u r u u u r的最大值是（）.A.2B.21+C.πD.411.已知1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，1260F PF ∠=o，21PF F ∠的角平分线PA 交x 轴于点A ，1F A =u u u r 23AF u u u u r，则双曲线的离心率为（）.A ．2B ．27C ．5D ．3 12．函数()f x 的定义域为()(),11,-∞+∞U ，且()1f x +为奇函数，当1x >时，()161222+-=x x x f ，则方程()f x m =有两个零点的实数m 的取值范围是（）.A ．()6,6-B ．()2,6-C ．()()6,22,6--UD ．()(),66,-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在题中横线上 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.侧视图俯视图正视图314．设坐标原点为O ，过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于两点A ，B ，若2=AF ，则BF = . 15.已知函数()()201520151220151x xf x xx -=++∈+R ，等差数列{}n a 满足()1007f a +()10091f a -= 4,则=2015S .16．设满足条件1x y +…的点()y x ,构成的平面区域面积为1S ，满足条件221x y +…的点()y x ,构成的平面区域面积为2S ，满足条件[][]221x y +…的点()y x ,构成的平面区域面积为3S （其中[]x ，[]y 分别表示不大于x ，y 的最大整数，例如[][]12.1,13.0=-=-），给出下列结论：①点()32,S S 在直线x y =上方的区域内； ②点()32,S S 在直线7=+y x 下方的区域内； ③123S S S >>；④321S S S >>.其中所有正确结论的序号是_______________．答案部分一、选择题二、填空题： 13．335 14．2 15.2201516. ①④ 解析部分1.解析首先，注意到集合A 代表元素为y ，也就是23y x =-+的值域，故(],3A =-∞.集合B 代表元素为x ，故()1,5B =-，则(),5A B =-∞U ，(]1,3A B =-I ，所以()(](),13,5A B A B =-∞-U I U ð.故选A. 2.解析利用复数运算性质1122z z z z =和z z =，可得12015201520151221155z z z z ===.故选A.3.解析首先，根据奇函数定义可排除C ；又3y x x =-，231y x '=-不是恒大于0，故排除D ；又A 虽是奇函数，但不满足在定义域上始终增（是分两个区间单调递增），故排除A ； B 选项是奇函数，可利用判定奇函数的等价条件()()0f x f x +-=来判断，先求导，再利用对称性判断单调性，只判断0x >部分即可. 故选B. 4.解析通过两相邻对称轴间距为π2，可得π2π2T =⨯=，故2π=2Tω=. 将图像平移后的新函数为πsin 24y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，该函数为偶函数，则πππ42k ϕ+=+，ππ4k ϕ=+，k ∈Z . 所以ϕ的一个可能取值为π4.故选B.5.解析 ①无必然联系，原命题为真，则它的逆否命题为真.故①错误；②转化成逆否命题“若4a =且4b =，则8a b +=”为真命题，故其逆否命题，即原命题也为真. 故②错误； ③2x >可推出112x <，但112x <未必有2x >（还可以0x <）.故③正确； ④全称命题的否定，先将“任意”变为“存在”，再否定结论，故④正确. 综上可得，③④正确.故选C.6.解析由程序框图可得12345120S =⨯⨯⨯⨯=.故选C.7.解析 11517222828225x ++++==，21618232627225x ++++==，12x x =. 因为()()()()()2222215221722222228222822146-+-+-+-+-=，又()()()()()222221622182223222622272294-+-+-+-+-=，所以12s s >.故选B.8.解析先考虑特殊元素.甲、乙放在两端，有22A 种站法. 再考虑丙、丁绑定成一体，有22A 种站法. 将丙、丁整体与剩下人排，有33A 种站法.故由分步乘法计数原理，共有223223A A A 24⋅⋅=（种）站法. 故选C. 9.解析令1x =，()1001210211a a a a ⨯-=++++L ①令1x =-，()1001210211a a a a ⨯--=-+++⎡⎤⎣⎦L ②-①②得()135792a a a a a ++++=()1013--，所以13579a a a a a ++++=10132-.故选B.10.解析过,C D 分别作两坐标轴的垂线，它们相交于点E ，如图所示. 设BAx θ∠=，则ADO θ∠=，CDE θ∠=，所以()sin cos ,sin B θθθ+，()cos ,sin cos C θθθ+. 故OB OC ⋅u u u r u u u r()()sin cos cos sin sin cos θθθθθθ=+++=()22πcos sin 2sin 24θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当ππ42θ+=，π4θ=时取等号. 所以OB OC ⋅u u u r u u u r的最大值为2.故选A.11.解析由角平分线定理知11223PF F APF AF ==. 又122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =. 在12F PF △中，由余弦定理得：12cos cos 60F PF ∠==o2221212122PF PF F F PF PF +-=()()2223223a a c a a +-⋅⋅，整理得2223104a a c =-，即274c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2c e a ==.故选B.12.解析由()1f x +是奇函数可知()()11f x f x +=--，故()f x 关于()1,0中心对称.作出()f x 图像，如图所示.当1x >时，(3)2f =-；当1x <时，由对称性可得(1)2f -=. 当1x →+时，()6f x →；当1x →-时，()6f x →-.所以由图可知，要使()f x =m 有两个零点，必有()()6,22,6m ∈--U .故选C.13.解析由几何体的三视图，在长为22的长方体中，还原其立体图形，如图中所示的AEF BCD -. 故13V S h S h =-=底柱底锥11122212323⨯-⨯⨯=.214.解析解法一：设直线AB 的倾斜角为θ，因为221cos 1cos p AF θθ===--，所以cos 0θ=.所以221cos 10p BF θ===++. 解法二：由抛物线定义，得12A x AF +==，所以1A x =，直线AB 的方程为1x =，所以2BF AF ==.评注解法一用到了一个焦点弦的结论：若AB 是抛物线的一条焦点弦，F 是焦点,则1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+，θ为AB 的倾斜角.15.解析令()()201520151220151x x g x f x x-=-=++. 因为()()()20152015g x g x xx +-=+-+20151201512015120151x x x x----+=++ 20151120152015112015x xx x--+++0=，所以()g x 为奇函数.又()20152120151xg x x=+-+，所以()g x 为单调递增函数. 因为()()1007100914f a f a +-=，所以()()10071009212f a f a -=---⎡⎤⎣⎦，即()()()10071009100911g a g a g a =--=-，所以100710091a a =-，所以1007100920152015201522a a S +=⋅=.16. 解析作出1x y +…，221x y +…，[][]221x y +…的图像，分别如图a ，图b ，图c所示.图a 图b图c12S ==，2S =π，3S =5，故()()23,π,5S S =，在y x =上方，在7x y +=上方，321S S S >>. 所以正确结论的序号为①④.。

2020版高考理科数学突破三轮复习新课标通用练习：小题强化练(四)

小题强化练(四)一、选择题1．设集合A ＝{y |y ＝log 2x ，0<x ≤4}，B ＝{x |e x >1}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．(0，2] C ．(－∞，2)D ．R2．若i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝|1－i|＋i ，则z 的虚部为( ) A ．2－12B ．2－1C ．－2＋12iD ．1－223．设随机变量X ～N (1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5.A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 5394．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为( )A ．133升B ．176升C ．199升D ．2512升5.已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为( )A ．16B ．163C ．83D ．86.某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( )A ．13B ．23C ．14D ．347．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，b ＝2，则△ABC 面积的最大值是( )A ．1B ． 3C ．4D ．68．执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于( )A ．－23tanπ9－21B ．tan 25π9－3tan π9－22C ．－23tan π9－22D ．tan 25π9－3tan π9－219．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：①A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}，A ∩B ＝∅；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(A ，B )的个数为( )A ．10B ．12C ．14D ．1610．设3x ＝2，y ＝ln 2，z ＝5－12，则( )A ．x <y <zB ．y <z <xC ．z <x <yD ．z <y <x11．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝2π3，AP ＝3，AB ＝23，Q 是BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为π3，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( )A ．45πB ．57πC ．63πD ．84π12．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意实数x 都有f ′(x )＝e x (2x ＋3)＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，若不等式f (x )－k <0的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫－1e ，0 B ．⎣⎡⎦⎤－1e 2，0 C ．⎝⎛⎦⎤－1e 2，0 D ．⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 二、填空题13．已知平面向量a ，b 满足b ·(a ＋b )＝3，且|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＝________． 14．已知奇函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，那么ω＝________，f ⎝⎛⎭⎫13＝________．15．已知抛物线y 2＝4x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝－4(其中O 为坐标原点)，则△ABO 的面积的最小值是________．16．(2019·湖北仙桃、天门、潜江期末改编)已知函数f (x )＝12a sin 2x －(a ＋2)cos x －(a ＋1)x在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上无极值，则a ＝________，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最小值是________．参考答案与解析小题强化练(四)1．解析：选B ．A ＝(－∞，2]，B ＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(0，2]． 2．解析：选D ．由题意得z ＝2＋i 1＋i＝(2＋i)(1－i)2＝2＋12＋1－22i ，则z 的虚部为1－22.3．解析：选B ．由正态分布的概率分布特点可得P (1<X ≤2)＝12P (0<X ≤2)＝12×0.682 7＝0.341 35.又正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为0.658 65，所以向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，落入阴影部分的点估计有6 587个．4．解析：选B ．设该竹子自上而下各节的容积构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4，解得a 1＝1322，d ＝766，则第1，3，9节的容积之和为a 1＋a 3＋a 9＝3a 1＋10d ＝3922＋7066＝176(升)．5.解析：选C ．由三视图可知该几何体是正四面体，如图中C -AB 1D 1所示，其外接球即为正方体的外接球，由外接球的半径为3，得正方体的棱长为2，则正四面体的棱长为22，体积为212×(22)3＝83.6．解析：选B ．某人由小区A 到小区H 的最短路径有6条，分别为ABCEH ，ABOEH ，ABOGH ，ADOEH ，ADOGH ，ADFGH ，其中经过市中心O 的有ABOEH ，ABOGH ，ADOEH ，ADOGH ，共4条，故所求概率P ＝46＝23.7．解析：选B ．由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 和正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，则2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sinB ．因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B＝12，故B ＝π3.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，则4＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，当且仅当a ＝c ＝2时取等号．则△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3，即△ABC 面积的最大值是 3.8．解析：选A ．由程序框图可得S ＝tan 4π9tan 3π9＋tan 5π9tan 4π9＋tan 6π9tan 5π9＋…＋tan24π9tan 23π9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 4π9－tan 3π9tan π9－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π9－tan 4π9tan π9－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 24π9－tan 23π9tan π9－1＝tan 24π9－tan 3π9tan π9－21＝－23tan π9－21.9．解析：选A ．对非空集合A ，B 中的元素按个数分类：(1)当集合A 中只有1个元素时，集合B 中有5个元素，则A ＝{5}，B ＝{1，2，3，4，6}，只有1种可能；(2)当集合A 中有2个元素时，集合B 中有4个元素，则A 中必有元素4，B 中必有元素2，则A ＝{1，4}，B ＝{2，3，5，6}或A ＝{3，4}，B ＝{1，2，5，6}或A ＝{4，5}，B ＝{1，2，3，6}或A ＝{4，6}，B ＝{1，2，3，5}，共4种可能；(3)集合A 中不可能有3个元素；(4)当集合A 中有4个元素时，集合B 中有2个元素，与情况(2)相同，只需A ，B 互换即可，共4种可能；(5)当集合A 中有5个元素时，集合B 中有1个元素，与情况(1)相同，只需A ，B 互换即可，共1种可能．综上可得，有序集合对(A ，B )的个数为10.10．解析：选C ．由3x ＝2得x ＝log 32，则2>1x ＝log 23>log 2e ＝1y >1，则12<x <y <1.又z ＝5－12＝55<12，则z <x <y . 11.解析：选B ．设直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，三棱锥P -ABC 外接球的球心为O ，半径为R ，如图所示，则0<sin θ＝P A PQ＝3PQ ≤32，所以PQ ≥23，则PQ 的最小值为23，AQ 的最小值是3，即点A 到BC 的距离为3，所以∠BAQ ＝π3.因为∠BAC ＝2π3，所以∠CAQ ＝π3，所以AB＝AC ＝23，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 2π3＝(23)2＋(23)2－2×23×23×⎝⎛⎭⎫－12＝36.所以BC ＝6.取△ABC 的外接圆的圆心为O ′，则圆O ′的半径r ＝12×6sin 2π3＝2 3.连接OO ′，OA ，作OM ⊥P A 于点M ，则点M 为P A 的中点，所以R 2＝OA 2＝OP 2＝(23)2＋⎝⎛⎭⎫322＝574，故三棱锥P -ABC 的外接球O 的表面积S ＝4πR 2＝57π.12．解析：选C ．令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x ＋3，则g (x )＝x 2＋3x ＋c ，c ∈R ，所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋c )，则f (0)＝c ＝1，所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)，f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4)＝e x (x ＋4)·(x ＋1)．当x <－4或x >－1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－4)，(－1，＋∞)上单调递增；当－4<x <－1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－4，－1)上单调递减．由f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)＝0，得x 2＋3x ＋1＝0，由Δ>0，可知f (x )只有2个零点．由f (－4)＝5e 4>0，f (－3)＝1e 3>0，f (－2)＝－1e 2<0，f (－1)＝－1e<0，f (0)＝1>0，且x →－∞时，f (x )→0＋，则可作出函数f (x )的大致图象如图．若不等式f (x )<k 的解集中有2个整数时，则这2个整数是－1，－2.又f (－2)＝－1e 2，则－1e2<k ≤0.13．解析：b ·(a ＋b )＝a ·b ＋|b |2＝3，又|b |＝2，则a ·b ＝－1，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝ 3. 答案： 314．解析：由f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(0<φ<π)是奇函数得φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx ，f ′(x )＝－A ωcos ωx ，由题知E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，则A ω＝32，最小正周期T ＝2，则ω＝2πT ＝π，A ＝32π，则f (x )＝－32π·sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝－32πsin π3＝－34π. 答案：π －34π15．解析：由题意可设直线AB ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)．因为点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，所以y 1y 2<0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，x 1x 2＝(y 1y 2)216＝m 2，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－4m ＝－4，解得m ＝2，则直线AB 恒过点(2，0)，y 1y 2＝－8，则△ABO 的面积S ＝12×2|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋8y 1≥28＝42，当且仅当y 1＝±22时取等号，故△ABO 面积的最小值是4 2.答案：4 216．解析：函数f (x )的导数为f ′(x )＝a cos 2x ＋(a ＋2)sin x －a －1＝a (1－2sin 2x )＋(a ＋2)sin x －a －1＝－2a sin 2x ＋(a ＋2)sin x －1＝－(2sin x －1)(a sin x －1)．当sin x ＝12，即x ＝π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，f ′(x )＝0.所以要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上无极值，则a ＝2，此时f ′(x )＝－(2sin x －1)2≤0恒成立，即f (x )单调递减，故在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3π2. 答案：2 －32π。

【高考】高考数学三轮增分练四数列文

【关键字】高考(四)数列1．(2016·课标全国乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 2．(2016·天津)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n k ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑n k ＝1 1T k <12d 2. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1. 因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2d ·n a 2＋a 2n 2 ＝2d 2n (n ＋1)．所以∑n k ＝1 1T k ＝12d 2∑nk ＝1 1k k ＋1＝12d 2∑n k ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d 2. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列． ∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 4．已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2)若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设c n ＝a n b n ，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．(1)解因为a n ＝23(－13)n －1＝－2(－13)n ， S n ＝23[1－－13n ]1－－13＝12[1－(－13)n ]，所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－－13n －2－13n ＋2＝12. (2)解若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ，所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)，两式相减得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2，当n ≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，两式相减得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ，即a n －1＋a n ＋1＝2a n ，又由2S 1＝a 1＋2,2S 2＝2a 2＋4，得a 1＝2，a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列，故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1.(3)证明由(2)得c n ＝n ＋1n ，对于给定的n ∈N *，若存在k ，t ≠n ，且t ，k ∈N *，使得c n ＝c k ·c t ，只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t，即1＋1n ＝(1＋1k )·(1＋1t )，即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n k ＋1k －n，则k ＝n ＋1，则t ＝n (n ＋2)，∴对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和22n n c +＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n使得2+12.n n n n c c c =+5．已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)．(1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝12，求S n . 解 (1)令n ＝1，得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，所以a 3＝2λ＋4λ＋12λ＋1. 由a 22＝a 1a 3，得(21＋λ)2＝2λ＋4λ＋12λ＋1，因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时， a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，公差为12的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12，即S n ＋1＝(n 2＋32)a n ，① 当n ≥2时，S n －1＋1＝(n 2＋1)a n －1，② ①②得，a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是首项为13的常数列，所以a n ＝13(n ＋2)．代入①得S n ＝(n 2＋32)a n －1＝n 2＋5n 6.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高三数学(理科)限时训练(4)

高三数学（理）限时训练（4）参考答案1．【答案】A 【解析】∵{4}A B = ，∴(){1,2,3}U A B = ð． 2．【答案】C 【解析】221i 1iz ==-+． 3．【答案】Bsin a A =sin sin AA =．∴tan B 0B π<<，∴3B π=，1cos 2B =． 4．【答案】C 【解析】()cos sin x x f x e x e x '=-， ∴0(0)(cos0sin0)1k f e '==-=．5．【答案】C 【解析】画出1()2xy =和cos y x =的图象便知两图象有3个交点，∴()f x 在[0,2]π上有3个零．6．【答案】B 【解析】135333273++=． 7．【答案】C 【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．∴22212c b ac a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．8．【答案】A 【解析】∵()86f x x x '=-+，∴140318a a ⋅=，∴220166a =，∵20160a >，∴2016a =20161a =． 9．【答案】A 【解析】四面体的直观图如图， ∴112(12)2323V =⨯⨯⨯⨯=． 10．【答案】C【解析】∵，()4f x ≥=，当且仅当2x =时，min ()4f x =．[2,3]x ∈时，∴2min ()24g x a a =+=+．依题意min min ()()f x g x ≥，∴0a ≤．11．【答案】D 【解析】设1212,F F c AF m ==，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴1AB AF m ==，1BF =．由椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为4a ，∴42a m =+，2(2m a =．∴222)AF a m a =-=．∵2221212AF AF F F +=，∴222224(21)4a a c +=，∴29e =-e =．12．【答案】D 【解析】∵不等式2[()]()0f x af x +<恰有1当()0f x >时，则0a <，不合题意；当()0f x <时，则2x >．依题意22[(3)](3)0[(4)](4)0f af f af ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩， ∴9306480a a -<⎧⎨-≥⎩，∴38a <≤，故选D ．13．【答案】60【解析】662166(2)(2)rrrrrrrr T C x x C x---+=-=-，令622r -=，解得2r =，∴2x 的系数为226(2)60C -=．14．【答案】24π【解析】21142124382OAB P S πππ∆⨯===⨯⨯．15．【解析】tantan743tan()tan()1243tan tan 143πππππππ+-=-+==- 7tan()12π=-=， ∴sin cos A A =，∴4A π=．332cos sin 22cos sin 2()2cos sin(2)42B C B B B B ππ+=+-=+- 22cos cos 22cos 12cos B B B B =-=+-1332(cos )222B =--+≤．16．【答案】4+ 【解析】设(,)M x y ，(3,1),(1,3)AB AC ==， ∵AM AB AC λμ=+ ，∴(,1)(3,1)(1,3)(3,3)x y λμλμλμ+=+=++． ∴313x y λμλμ=+⎧⎨+=+⎩，∴318338x y x y λμ--⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩，∵2,2m n λμ<≤<≤，∴31283328x y m x y n --⎧<≤⎪⎪⎨-++⎪<≤⎪⎩，即1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩∴1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩表示的可行域为平行四边形，如图：由317313x y x y -=⎧⎨-+=⎩，得(8,7)A ，由381313x y m x y -=+⎧⎨-+=⎩，得(32,2)B m m ++，∴(2)AB m ==-,∵(8,7)A 到直线383x y n -+=-的距离d =， ∴(2)16AB d m ⋅=-=， ∴(2)(2)2m n -⋅-=，∴2222(2)(2)()2m n m n -+-=-⋅-≤，∴2(4)8m n +-≥，4m n +≥+选做题 1、1）由已知得1(1)221nS n n n=+-⨯=-， ∴22n S n n =-．当2n ≥时，2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．11413a S ==⨯-， ∴43n a n =-，*n ∈N ．（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n n n b a n =-=--．当n 为偶数时，(15)(913)[(45)(43)]422n nT n n n =-++-++⋅⋅⋅+--+-=⨯=，当n 为奇数时，1n +为偶数112(1)(41)21n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+，综上，2,2,,21,21,.n n n k k T n n k k **⎧ =∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩N N 2、解：（Ⅰ），设g （x ）=x ﹣1﹣lnx，则，∴当x ∈（0，1）时，g'（x ）＜0， ∴g （x ）＞g （1）=0，∴f'（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递增． ……………………4分（Ⅱ）h （x ）=x 2lnx ﹣ax 2+ax （a ＜0），∴h'（x ）=2xlnx+x ﹣2ax+a ，∴h''（x ）=2lnx ﹣2a+3， ∴h''（x ）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，h''（x ）＜0，h''（1）=3﹣2a ＞0，∴必存在α∈（0，1），使得h''（x ）=0，即2ln α﹣2a+3=0，∴h'（x ）在（0，α）上单调递减，在（α，+∞）上单调递增，…………8分又h'（α）=a ﹣2α＜0，h'（1）=1﹣a ＞0，设h'（x 0）=0，则x 0∈（0，1），∴h （x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增，又h （1）=0，不妨设x 1＜x 2，则0＜x 1＜x 0，x 0＜x 2＜1，由（Ⅰ）知，∴，，∴x 1+x 2＞1．………………12分。

2021-2022年高三数学下学期三轮复习第四次单元测试三轮拉练四试题理

2021-2022年高三数学下学期三轮复习第四次单元测试三轮拉练四试题理一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，其中是实数，是虚数单位，则（）A． B． C． D．2. 已知集合，，则（）A． B． C． D．3. 高三（3）班共有学生人，座号分别为，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为的样本．已知号、号、号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A． B． C． D．4. 已知函数，则使的的集合是（）A． B． C． D．例如. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为时，则输出的结果为（）A． B． C． D．6. 设满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是（）A ．B ．C ．D ． 7. “”是“函数在上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A ．种B ．种C ．种D ．种9.已知函数()32123f x x ax bx c =+++有两个极值点1212,112x x x x -<<<<，且，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D.10. 已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知不共线的平面向量，满足，，那么；第14题12. 某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有人； 13.已知的最小值为n ，则二项式展开式中x 2项的系数为．14.某三棱锥的三视图如图所示，该三是；中的阴15. 若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图影部分的面积为；三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量,,实数为大于零的常数，函数,，且函数的最大值为. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，若，,且,求的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过公里的地铁票价如下表：票价（单位：元）现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过公里.已知甲、乙乘车不超过公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为， .（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．18．（本小题满分12分）圆O上两点在直径的两侧（如图甲），沿直径将圆折起形成一个二面角（如图乙），若的平分线交弧于点，交弦于点为线段的中点．（Ⅰ）证明：平面∥平面；（Ⅱ）若二面角为直二面角，且，︒=︒45DAB,CAB，求直线与平面所∠=∠60成角的正弦值．19．（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，．（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足（），且，试求的通项公式及其前项和．20．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆上存在关于直线对称的两个不同的点，求椭圆的离心率的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数（为实数）．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；（Ⅲ）已知，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++．高三数学三轮过关检测四一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D C B A B C A C A C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 12. 13. 15 14． 15．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅-……2分因为，所以的最大值为，则 …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342x f x π=--，所以21()sin()02342A f A π=--= 化简得因为，所以则，解得 …………………………………………………8分因为2222240cos 222b c a b c A bc bc+-+-=-==，所以则22402b c bc +=≥+，所以20(2bc ≤=- ……………10分则3cos20(142AB AC AB AC π⋅==-≥ 所以的最小值为 …………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过公里且不超过公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 …………………4分（Ⅱ）由题意可知，则11111(7)43234Pξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233Pξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434Pξ==⨯+⨯=………………………………………………………………10分所以的分布列为则11111()67891081243412Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分18【解答】证明：（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线，∴OF∥AC，又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，∴平面OGF∥平面CAD．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC⊂平面ABC，∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1，∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB，∴直线OM，OB，OC两两垂直，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则B（0，1，0），C（0，0，1），D（，，G（，，F（0，，）．∴=（，，=（0，﹣1，1），=（，﹣，0）．设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1，=（，1，1）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分∴=1，||=1， =．∴=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且(112)50(17)(12)(13)5d qd q d d+=⎧⎨++=++++⎩即解得：，或1112256dq⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由于是各项都为正整数的等比数列，所以……………………………………2分从而，．……………………………………4分（Ⅱ），两式相除：，由，可得：是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分当为偶数时，……………………………………………………………7分13124()()n n n S d d d d d d -=+++++++22221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122nnn nn ⨯-⨯-=+=-+-=--- (9)分当为奇数时，112116()2n n n d +-=⨯=…………………………………………………………10分13241()()n n n S d d d d d d -=+++++++112211221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n n n n n +-+-⨯-⨯-=+=-+-=---,,n n n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，48,48,nn n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ …………………12分为奇数为偶数为偶数为奇数20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点的坐标为，由题意可知022002003292p x x y y px ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分解得：所以抛物线的方程为： ………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的焦点椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合椭圆半焦距……①…………………………………………5分设是椭圆上关于直线对称的两点，由22221 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*）则42222222644(16)()0m m n m m n λλ∆=-+->，得：……②………………………………………………………………7分对于（*），由韦达定理得：212122224()216n y y x x m nλλ∴+=-++=+ 中点的坐标为将其代入直线得：222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……………………………………………………9分由①②③消去，可得：，椭圆的离心率，………………………………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，，，则，1()12ln 2ln 212f =-+=- 函数的图象在点的切线方程为：，即 …………………………………………………………………4分（Ⅱ），由由于函数在区间上不存在极值，所以或 ………………………5分由于存在满足，所以……………………………………6分对于函数，对称轴①当或，即或时，，由，结合或可得：或②当，即时，，由，结合可知：不存在；③当，即时，；由，结合可知：综上可知：或………………………………………………………………9分（Ⅲ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在处取得最大值即11()1ln (1)0f x f x x=-+≤=，∴，……………………………………11分令，则，即，∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++-1111121n n n <++++--．故11111ln(1)12345n n+<++++++． ………………………………………………14分N;38551 9697 隗22561 5821 堡30514 7732 眲u29090 71A2 熢40614 9EA6 麦33108 8154 腔 Km}|。

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俯视图
高三理科数学第三轮复习限时训练（四）
时间30分钟成绩
1、在复平面内，复数
21i
+ 对应的点与原点的距离是（） A. 1
B. C.2
D. 2、某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，
主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）（）
A. 240000cm
B. 240800cm
C. 21600(22cm +
D. 241600cm
3、设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯
是一个向量，它的模
sin a b a b θ⨯=⋅⋅
，若()(1,a b =-= ，则a b ⨯=
（）
A ．
B ．2
C ．
D ．4
4、若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为
5、已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：
(2)12
(2)4
f f ≤⎧⎨
-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为 6、（几何证明选讲选做题）如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点
，则PC= ，CD= .
7、（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为
]2,0[s i n ,c o s
πθαα∈⎩
⎨
⎧==y x ，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为θ
θρcos sin -=b ．若
曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是．
8、已知椭圆
2
2
2
1(01)
y
x b
b
+=<<的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，
过F,B,C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为(,)
m n．
(1) 若椭圆的离心率
2
e=，求⊙P的方程；
（2）若⊙P的圆心在直线0
x y
+=上，求椭圆的方程．
高三理科数学第三轮复习限时作业（四）
时间：35分钟成绩
1、已知全集R U =，集
合}{
|A x y ==
，集合{|0B x =＜
x ＜2
}，则
()U C A B ⋃=（）
A ．[1,)+∞
B ．()1+∞，
C ．[0)∞，+
D ．()0∞，+ 2、设}{n a 是等差数列，}{n b 为等比数列，其公比1≠q , 且0>i b (=i 1、2、3 …n) 若
111111,b a b a ==，则 ( )
A 、66b a =
B 、66b a >
C 、66b a <
D 、 66b a > 或 66b a <
3、已知R b a ∈,， 1
36
61
+=
+a a
m ,6
53
12
+
-=
b b n ，则下列结论正确的是（）。

A 、 n m ≤
B 、n m ≥
C 、n m >
D 、n m >
4、过抛物线)0(22>=p px y 上一定点),(00y x M (00≠y )，作两条直线分别交抛物线于),(11y x A , ),(22y x B ，当MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补时，则=+0
2
1y y y
（） A ．4
B ．4-
C ．2
D ．2-
5、已知函数2(4)()(1)
(4)
x
x f x f x x ⎧<=⎨
-≥⎩，则)2(-f ,(5)f _____________.
6、经过抛物线x y 42
=的焦点F 作与轴垂直的直线, 交抛物线于A 、B 两点, O 是抛物线的顶点,
再将直角坐标平面沿x 轴折成直二面角, 此时A 、B 两点之间的距离= , ∠AOB 的余弦
值是．
7、若不等式12x x a ++-<无实数解, 则a 的取值范围是
8、通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。

讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持
较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。

分析结果和实验表明，用)(x f 表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分钟），可有以下的关系式：
⎪⎩⎪
⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=).3016(,1073)
1610(,59)
100(,436.21.0)(2x x x x x x x f
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内, 求能达到该接受
能力要求的时间共有多少分钟?
（3）如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值
=
M (5)(10)(30)
6
f f f +++ ，它能高于45吗？
解：（1）0<x ≤10时，有f(x)=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9 故当0<x ≤10时，时，f(x)递增，最大值为f(10)=-0.1×(-3)2
+59.9=59; 显然，当16<x ≤30时，f(x)递减，f(x)<-3×16+107=59.
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟；（5分）
(2) 依题意, 当0<x ≤10时，令f(x)≥55,则(x-13)2
≤49,
∴6≤x ≤10; （7分）
当10<x ≤16时，f(x)=59符合要求；（8分）
当16<x ≤30时，令f(x)≥55,则x ≤17
3
1 （9分）
因此，学生达到（或超过）55的接受能力的时间为173
1－6＝11
3
1 (分钟)；（11分）
(3)f(5)=53.5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47，f(25)=32, f(30)=17 所以M=
6
17
324759595.53+++++≈44.6<45. （13分）
故知平均值不能高于45. （14分）。