秋浙教版八年级数学上册练习：2.3等腰三角形的性质定理(一)

2.3等腰三角形的性质定理（一）ABC 中，AB = AC, BD 平分/ ABC , Z A = 36° ,则/ 1C. 72 °D. 1082. 如图，在厶ABC中，AB = AC , Z A = 30°, AB的垂直平分线I交AC于点D, 则Z CBD的度数为(B)A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°3. 如图，在厶ABC中，AB = AC ,过点A作AD II BC.若Z 1= 70°则Z BAC的度数为(A)A. 40°B. 30°C. 70°D. 50°4. 如图，在厶ABC中，AB = AC , Z ABC , Z ACB的平分线BD , CE交于点O, 且BD交AC于点D , CE交AB于点E .某同学分析图形后得出以下结论：①厶BCDCBE ;②厶BAD BCD ;③厶BDA CEA ;④厶BOECOD ;⑤厶ACE◎△ BCE.上述结论一定正确的是（D）A.①②③B. ②③④C.①③⑤D.①③④的度数为（C）1如图，在等腰三角形（第5题）5. 如图，在厶ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC = CD = BD = BE .若Z A = 50°则/ CDE的度数为（D）A. 50°B. 51°C. 51 . 5°D. 52. 5°A（第6题）6. 如图，在厶ABC 中，AB = AC , BD 丄AC , Z ABC = 72° ,求Z ABD 的度数.【解】T AB = AC, ZABC = 72°•••ZACB = Z ABC = 72°•••ZA = 36 ° .TBD 丄AC,•••ZABD = 90°-36°=54°A7. 如图，将△ ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A'处.若D为AB边的中点，Z B= 50°求Z BDA的度数.【解】•/ D是AB的中点，.•.BD = AD .由折叠的性质,得A'D= AD, ABD = AD .•••ZBA'D =Z B = 50 °v/B+Z BAD +Z BDA = 180 °•••ZBDA '= 180 ° Z B— Z BAD = 80 °A(第8题)8. 如图，在厶ABC 中，已知AB = AC , AD = AE , Z BAD = 28°,求Z EDC 的度数.【解】v AB= AC, •••ZB=Z C.同理，ZADE = Z AED .设Z EDC = a, ZC = 3,则Z ADE = Z AED =Z EDC +Z C= a+ 3,Z ADC = Z ADE + Z EDC = a+ 3+ a= 2 a+ 3-vZ ADC = Z BAD + Z B = 28 °+ 3,「•2 a+ 3= 28 + 3, •- a= 14 °即Z EDC = 14 °B组（第9题）9. 如图，在厶PAB中，PA = PB, M , N, K分别是PA, PB, AB上的点，且AM=BK , BN = AK .若Z MKN = 44°,则Z P 的度数为(D)A. 44°B. 66°C. 88°D. 92°【解】v PA= PB, •••ZA=Z B.AM = BK,在厶AMK和厶BKN中，T ZA= Z B,AK = BN, :./AMK也启KN (SAS). /.Z AMK = Z BKN .T Z MKB = ZMKN+ Z BKN = Z A+Z AMK ,•••ZA=Z MKN = 44 °•••/P= 180 °Z A-Z B = 92 °10. 如图，已知AB = A i B , A i B i = A1A2, A2B2 = A2A3, A3B3 = A3A4 ,….若Z A 70°,则ZB n-i A n A n- i 的度数为(C)B【解】在/ABA i 中，T Z A= 70 ° AB= A i B,/.Z BA i A= Z A= 70°°.°A i A2 = A i B i, ZBA i A 是/A i A2B i 的外角，/•Z B i A z A i =Z BA i A2同理，ZB2A3A2 = 2Z B i A2A i = Z BA iA ZB3A4A3=2 Z B2A3A2=Z BA iA,--ZBn —i A n A n —i =11. 如图，在/ ABC中，分别以AC , BC为边作等边三角形BCE ,连结AE , BD交于点O,求Z AOB的度数.ACD和等边三角形fi（第10题）An-o70° B.oC.D.|oZ BA i A2n-i（第11【解】设AC与BD交于点H .•••必CD , MCE都是等边三角形，•••CD = CA, CB = CE, ZACD = Z BCE = 60 °•••/DCB = Z ACE,•ZDCB ^z ACE(SAS),•••ZCDB = Z CAE.又vZ DCH + Z DHC + Z CDB = 180 ；ZAOH + Z AHO + Z CAE = 180 ；ZDHC = Z AHO ,•Z AOH = Z DCH = 60 ；•Z AOB = 180 -Z AOH = 120 :12. 如图，在厶ABC中，AB = AC , BD , CE是厶ABC的两条高线，BD与CE相交于点O.(1) 求证：OB = OC.(2) 若Z ABC = 70；,求Z BOC 的度数.【解】(1)v AB = AC ,•Z ABC = Z ACB .TBD , CE是厶ABC的两条高线，•Z BEC = Z CDB = 90 ；又v BC = CB,• ZBEC ^zCDB(AAS),又•••/ BOE = Z COD , ZBEO = Z CDO = 90 °• ZBOE ^z COD(AAS),.•QB = OC .⑵连结DE .vZ ABC = 70° AB = AC ,• Z A = 180 °2X 70 = 40 :vZ A +Z AED + Z ADE = 180°, Z OED + Z ODE + Z DOE = 180°,•••ZA +Z AEO +Z ADO + Z DOE = 360°.又 T Z AEO = Z ADO = 90°,• Z A +Z DOE = 180 ；• Z BOC =Z DOE = 180 °40 = 140 °（第13题）13. 如图，在厶ABC 中，已知BC = AC , Z BAC 的外角平分线交 BC 的延长线于1点D •若Z ADC = 2Z CAD ，求Z ABC 的度数.【解】 如解图，设Z ABC = x , ZCAD = y ,则 Z ACD = 2x , ZADC = ?Z CAD 数学乐园14. （1）已知在△ ABC 中，Z A = 90° , Z B = 67. 5° ,请画一条直线，把这个三 角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画 出来.2y ，• Z ABC = 36°.（第13题解） x + 2y = 180°只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.（2）已知在△ ABC中，Z C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求Z ABC与Z C之间的关系.（第14题）导学号：91354010【解】（1）如解图①②（共有2种不同的分割法）.（第14题解）(第14题解③)(2)设/ ABC = y, / C= x,过点B的直线交边AC于点D . 在厶DBC中，1①若/ C 是顶角，如解图③，则/ CBD = Z CDB = 90°—~x, Z A = 180°—x —y.1故Z ADB = 180°—Z CDB = 90°+ 荻 > 90° ,此时只能有Z A = Z ABD ,f1、即180 —x —y = y —90 —qx ,3••• 3x + 4y = 540° , /-Z ABC = 135°—4Z C.②若Z C是底角，第一种情况：如解图④ ，当DB = DC时，Z DBC = x •在△ ABD中，Z ADB = 2x, Z ABD = y —x.若AB = AD ,则2x= y —x,此时有y = 3x,/.z ABC = 3Z C.若AB = BD，则180°—x —y= 2x,此时有3x + y= 180° , /Z ABC = 180°—3Z C. 若AD = BD ,贝V 180°—x—y= y —x,此时有y = 90° ,即Z ABC = 90 ° , Z C 为小于45°的任意锐角.（第14题解）第二种情况：如解图⑤，当BD = BC时，ZBDC = x, ZADB = 180°-x>90°此时1 1只能有AD = BD , AZ\ = Z ABD = j Z BDC = q Z C vZ C,这与题设Z C是最小角矛盾. •/当Z C是底角时，BD = BC不成立.3综上所述，ZABC与Z C之间的关系是Z ABC = 135°—j Z C或Z ABC = 3 Z C或Z ABC = 180°—3/C 或Z ABC = 90°（Z C 是小于45° 的任意锐角）.。