CH2-5奇异函数(不讲)
奇异函数平衡原理
奇异函数平衡原理奇异函数平衡原理是指在数学领域中，一种特殊的函数平衡现象。
在分析复杂系统、研究物理规律、解决工程问题等方面都有着重要的应用价值。
本文将从奇异函数的概念入手，介绍奇异函数的特点和平衡原理，以及其在实际应用中的意义和作用。
首先，我们来了解一下什么是奇异函数。
奇异函数是指在某些点上函数值趋于无穷大或者无定义的函数。
通常在这些点上，函数的导数也趋于无穷大或者无定义。
奇异函数与普通函数相比，具有更为复杂的性质和行为。
奇异函数平衡原理是指在奇异点附近，函数的增长和衰减趋势达到一种平衡状态。
具体来说，当自变量趋于奇异点时，函数值的增长和导数的增长之间存在一种平衡关系，导致函数值不会无限增长，而是趋于一个有限的值。
这种平衡状态在奇异函数的研究中具有重要的意义。
奇异函数平衡原理的应用非常广泛。
在物理学中，奇异函数平衡原理可以用来描述某些特殊系统的行为，如黑洞的奇异性和奇点。
在工程领域中，奇异函数平衡原理可以用来分析复杂结构的稳定性和振动特性。
在金融数学中，奇异函数平衡原理可以用来建立风险模型和优化投资组合。
奇异函数平衡原理的研究对于深入理解复杂系统的行为和规律具有重要意义。
通过对奇异函数平衡原理的探讨，可以揭示出许多隐藏在复杂系统中的规律和特性，为科学研究和工程应用提供重要的理论基础。
总之，奇异函数平衡原理是数学领域中一个重要的研究课题，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对奇异函数的特点和平衡原理的研究，可以深入理解复杂系统的行为规律，为科学研究和工程应用提供重要的理论支持。
希望本文的介绍能够让读者对奇异函数平衡原理有一个初步的了解，并对其在实际应用中的意义有所启发。
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
3－ 6 已知二阶系统方程
?
x1(t)
?
x2(t)
x2(t ) u(t ),
x1 (0) 0
x1(t f )
2
式中
x2 (0) 0, x2 (t f ) 2,
u(t)
1,t f 自由。试求使性能指标 J
1 2
t 0
f
[
x12
(t
)
x
2 2
(t
)
u 2(t)] dt 为极小
的最优控制 u (t ) ，最优轨线 x (t) 以及最优指标 J 。 解：本例为线性定常系统，积分型性能指标， t f 自由，末端
e
*
J
1
1
[ x(t) u(t)]dt
ln
2 (2 e
t
1 )dt
11
t
32 e
e[ (2 e)e ]dt
ln 0.45
0
2
0
2
ln 2
2
2e 2
最优解曲线如下：
3-5 控制系统
x&1 x&2
u1, x1(0) 0, x1(1) 1 ，试求最优控制
x1 u2 , x2 (0), x2 (1) 1
u1* (t) ,
x2
H u1 2u1 H u2 2u2
10
u1 ( t )
， 解得
20
u2 (t)
1 (1 c1)t
2 1 2 c1
c2
，由状态
方程有
x&1(t )
1
(1 2
c1 )t
c2
，
解得
x&2 ( t )
x1(t )
1 c1
奇异点的分类及其应用
奇异点的分类及其应用奇异点，指函数在某些点处不满足可微性的现象。
在实际应用中，奇异点经常出现，并具有重要的物理和数学意义。
本文将对奇异点的分类及其应用进行探讨。
一、奇异点的分类根据奇异点的类型，可以将奇异点分为四类：可去奇异点、极点、本性奇异点和分歧点。
1. 可去奇异点可去奇异点也称为可消除奇点，表示函数在这一点处可以光滑延拓。
如果在可去奇异点处进行泰勒展开，则展开式为一个有限多项式，并可用极限算符表示。
可去奇异点在许多应用中都十分常见，例如一些物理现象中的响应函数、传输函数等。
2. 极点极点是指函数在这一点处存在无穷大的奇异性。
它可以分为简单极点和高阶极点。
函数在极点处的值趋近于正无穷大或负无穷大，但不能被一个有限值所代替。
极点在复分析中具有重要的作用，例如在微积分学的复分析理论、更复杂的函数等领域中都有应用。
3. 本性奇异点本性奇异点也称为本性不可去奇点，指函数在这一点处的奇异性不能被消除。
本性奇异点是指函数在这一点处在无穷远点的值会趋于确定的值，但是这个限制值不能是一个有限的复数。
本性奇异点在物理学和微积分学中有广泛的应用，如量子力学中的散射、量子场论中的Coulomb相互作用等。
4. 分歧点分歧点是指函数在这一点处分成两个或多个数值。
分歧点在分形、动力学等领域中具有广泛的应用。
二、奇异点的应用1. 奇异点在分形中的应用分形是奇妙的自相似结构，由于其物理和数学上的求解困难，奇异点成为了解决分形问题的关键。
分形中的奇异点主要体现在分形维度的计算上。
分形维度的意义是表示物体的表面积与体积之比。
奇异点在分形中的应用可以帮助我们更好地理解自然界的复杂结构。
2. 奇异点在动力学中的应用动力学是一个广泛的领域，奇异点在其中起着重要的作用。
动力学涉及的问题包括力学、电学、热力学、光学等。
奇异点在这些领域中会导致系统的不稳定性和不可预测性，但又可以作为某些现象的基础解释。
例如流体力学中的涡旋、混沌现象等。
数学中的奇异积分方程理论
数学中的奇异积分方程理论奇异积分方程是指一个不在普通积分方程的解析解范畴内的积分方程。
这类方程出现的原因可能是因为方程本身的积分核存在奇异或不可积分点。
例如，勒让德方程和贝塞尔方程就是奇异积分方程。
奇异积分方程是数学中的重要分支之一，它在物理、工程学、统计、微分方程等众多领域中都有着广泛的应用。
不同于传统的解析理论，奇异积分方程是一种分析理论，它主要依赖于对积分核进行适当的分析。
下面我们将具体介绍奇异积分方程理论的一些基本概念和运用。
一、弱奇异性和强奇异性在奇异积分方程中，存在两种不同的奇异性：弱奇异性和强奇异性。
1. 弱奇异性弱奇异性是指积分核在奇异点附近的某些区域内，其积分值趋于无穷大。
此时，奇异点附近的积分可通过Cauchy主值积分得到有限的值。
例如，对于函数$f(x)$和$g(x)$，在满足$0\leq z\leq 1$的区域内，积分核$K(x,z)$如下所示：$K(x,z)=\dfrac{f(x)g(z)}{x-z}$此时，若$f(x)$和$g(z)$在$x=z$处极限存在，则在$0\leq z\leq1$的积分中，$K(x,z)$是弱奇异积分核。
2. 强奇异性强奇异性是指积分核在奇异点附近的积分值无限增长，而无法通过主值积分得到有限值。
例如，对于函数$f(x)$和$g(x)$，在满足$0\leq z\leq 1$的区域内，积分核$K(x,z)$如下所示：$K(x,z)=\dfrac{\ln{(x-z)}}{x-z}$此时，$K(x,z)$是强奇异积分核，因为在$x=z$处，$K(x,z)$无界。
二、Fredholm积分方程Fredholm积分方程是奇异积分方程的主要类别之一。
Fredholm 积分方程的一般形式为：$\varphi(x)=\int_{a}^{b}K(x,y)f(y)dy$其中，$\varphi(x)$是已知函数，$K(x,y)$是积分核，$f(y)$是未知函数。
该方程的目标就是求解$f(y)$的解析解。
信号与系统_精解课件§1[1].5_奇异函数
![信号与系统_精解课件§1[1].5_奇异函数](https://img.taocdn.com/s3/m/9edd53a4b0717fd5360cdc2c.png)
−
τ O
2
τ
2
sgn(t )
O
t
1 sgn(t ) = −u(−t ) + u(t ) = 2u(t ) − 1 u(t ) = [sgn(t ) + 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
X
定义1
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t)dt = 0 −∞
−∞
∞
3、 δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , δ ′(t − t) = −δ ′(t − t ) 、 0 0
所以 ′(t )是奇函数 δ
∫
δ ′(t)dt = 0 , −∞
−∞
∞
X
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t) 1
O
u(t) 1 t 1
O
δ (t)
∞
(1)
t0 u(t + t0 )
t
1
− t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数： 门函数：也称窗函数
τ τ f (t ) = u t + − u t − 2 2
信号与线性系统(管致中)
1 p 1 p
1 d t p x(t )d x(t ) p dt
?
t dx(t ) 1 p x(t ) x() dt p
1 p =1 p
dx (t ) dy (t ) dt dt
当且仅当x() 0时等号成立
x(t ) y (t ) C
注：初始条件
rzs (0 ) 0, rzs ' (0 ) 0
零输入响应和零状态响应
r (t )(全响应) rzi (t )(零输入响应 rzs (t（零状态响应） ) )
2. 用叠加积分的方法求解零状态响应：原理——系统的叠加性
若f1 (t ) r1 (t )，f 2 (t ) r2 (t )
转移算子：
N ( p) r (t ) e (t ) D( p)
N ( p) H ( p) D( p)
转移算子描述了响应函数和激励函数在时域中的关系
2-2 系统方程的算子表示法
二、算子多项式的运算法则 1、代数运算：
( p a)( p b) p 2 (a b) p ab
B0不可解
i f (t ) (B0 t )e2t
i(t ) in (t ) i f (t ) (C1 B0 )e2t C2e3t tet
其中待定常数C1+B0，C2由初始条件确定：
i(0) C1 B0 C2 1 1, C1 B0 2, C2 1
（杜阿美积分，卷积积分）
零输入响应 自然响应
零状态响应 受迫响应
对于一个稳定的系统而言，系统的零输入响应必然是
自然响应的一部分
零状态响应中又可以分为自然响应和受迫响应两部分。 零输入响应和零状态响应中的自然响应部分和起来构 成总的自然响应，零状态响应中有外加激励源作用产生的 响应是受迫响应
信号与系统第三章习题答案
T 0
−
T 0
e−
jnω0t dt
( ) =
1 − jnω0T
e− jnω0T
+
1 jnω0T
+
1 jnω0T 2
Te
−
jnω0
T
−1 − jnω0
e− jnω0t T 0
=
1 jnω0T
+
1 j2 n 2ω02T 2
e− jnω0T
−1 =
1 j2nπ
+
1 n 2π
2
1−
e− j2 nπ
=1 j2 nπ
n = ±1, ±2,L
∫ ∫ F0
=
1 T
T f (t ) dt = 1
0
T
T 0
1−
1 T
t
dt
=
1 2
该信号的指数型傅里叶级数为
( ) ∑∞
ft =
1 e jnω0t
n=−∞ j 2nπ
98
其频谱图如图 ３．２（ｂ）所示。
（２）由图 ３．１（ｂ）可知，其周期为T = 2π ，其频ω0 = 1，信号的解析式为：
2πn
100
即
bn
=
−
2E nπ
n为奇数
0
n为偶数
故得信号的傅里叶级数展开式为
f
(t )
=
−
2E π
sin
ω0t
+
1 sin 3
3ω 0t
+
1 sin 5
5ω 0t
+
L
+
1 n
sin
nω0 t
+
电路理论课件华科汪建版ch1讲稿
延迟单位冲激函数(tt0) 3）一些重要性质
0 t0 t
**与单位阶跃函数的关系
(t)
= lim
0
p(t)
= lim
0[11(t)
–1(t-)]
**与普通函数f(t)的乘积
d1(t) = dt
(t)f(t)= (t)f(0)
dr(t) dt =
d1(t)t dt
=(t)t+1(t) =
1(t)
**冲激函数是偶函数，即(t)= (-t)
1-3-2 基尔霍夫电压定律（KVL）
1、定律内容 uk(t) =0
1-3-2 基尔霍夫电压定律（KVL）
1、定律内容 uk(t) =0
例
- i1
+ u1
1
u1+ u6 – u7 – u4= 0
1
i2 2
2 i3 i5
3
2、备注
5 4
• 定律与电路元件的性质无关 • 对虚拟回路也适用
i4 5 i7 7
1-1 电路的基本概念
1-1-1 电路
+
–
1、电路的3个基本组成部分
电源 负载 中间环节
电路（电网络）是互相连接起来的电源与负载的总体， 电流能在其中流通. 电路中存在三种基本电磁效应.
2、集中参数电路和分布参数电路
集中参数电路 u(t) i(t) 常微分方程 dmax0.01min 分布参数电路 u(x,t) i(x,t) 偏微分方程 dmax0.01min
• 电压真实方向的习惯规定:从高电位指向低电位
+
E
UR
-
R1
R2
R5
R3
R4
• 电压参考方向的表示，意义 R6
时间无关薛定谔方程特殊函数解析求解与精确解
时间无关薛定谔方程特殊函数解析求解与精确解薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
一般来说，薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。
然而，在某些特殊情况下，我们可以得到时间无关薛定谔方程，这种方程不依赖于时间变量，而仅描述粒子在空间中的运动。
本文将探讨如何通过特殊函数解析求解时间无关薛定谔方程，并给出其精确解。
在量子力学中，时间无关薛定谔方程的一般形式为：Hψ = Eψ其中H为哈密顿算符，ψ为波函数，E为能量。
为了求解这个方程，我们可以将波函数表示为特殊函数的形式，其中常见的特殊函数有Hermite函数、Laguerre函数和球谐函数等。
首先，考虑一维谐振子的时间无关薛定谔方程。
谐振子的哈密顿算符可以表示为：H = -½*d²/dx² + ½*x²在这种情况下，薛定谔方程变为：(-½*d²/dx² + ½*x²)ψ = Eψ将波函数表示为Hermite多项式的形式，可以得到薛定谔方程的解析解。
由于篇幅限制，这里不再详细展开计算过程，读者可以参考相关教材或论文进行深入研究。
接下来，我们考虑二维薛定谔方程的求解。
二维薛定谔方程的哈密顿算符可以表示为：H = -½*(∂²/∂x² + ∂²/∂y²) + V(x, y)其中V(x, y)为势能函数。
对于一些特殊的势能函数，如谐振子势能、球形势阱势能等，可以找到相应的特殊函数解析求解二维薛定谔方程。
最后，我们来讨论三维薛定谔方程的解析求解。
三维薛定谔方程的哈密顿算符可以表示为：H = -½*(∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²) + V(x, y, z)同样地，对于一些具有特殊势能函数的情况，可以找到相应的特殊函数解析求解三维薛定谔方程。
奇异函数平衡法
奇异函数平衡法奇异函数平衡法是数学中一种重要的数值计算方法，特别是在求解奇异微分方程或极限积分时，该方法表现得非常出色。
该方法的基本思想是利用函数的奇异行为来构造平衡方程，在所设定的奇异点处达到平衡，然后以求解平衡方程为主线，得到所要求的解析式。
本文将围绕“奇异函数平衡法”详细介绍其具体的应用步骤。
一、确定问题的性质在运用奇异函数平衡法求解问题时，首先需要明确所求问题的性质，因为仅当其表示为奇异微分方程形式时，奇异函数平衡法才具有效性。
因此，如果问题不能表示为奇异微分方程，则无法使用奇异函数平衡法求解。
因此通常需要通过变量替换、逐项分析等技巧，将所求问题转换为奇异微分方程的形式。
二、确定方程的阶数和奇异点接下来需要确定所要求解的方程的阶数和奇异点数，方程的阶数可以通过微分方程的一般形式进行判断，而奇异点则是指微分方程系数矩阵的奇异性质所在点，通常情况下，系统的状态在奇异点处具有特殊性质，例如无解或多解等问题。
在寻找奇异点时，可以通过尝试性试探或数值模拟的方法，找到可疑的奇异点，并进一步确认其奇异性质。
三、建立平衡方程在确定了问题的奇异性质和奇异点后，需要进一步建立平衡方程。
平衡方程建立的目的是为了保证在奇异点处的状态达到平衡，从而使得问题的解析式更加准确。
平衡方程通常采用Taylor级数的形式，以表达出函数在奇异点附近的行为，并与微分方程进行匹配。
其中，平衡方程中高阶项和低阶项的系数相比较大，因此可以通过消去如$e^{-t}$这样的因子来简化方程。
四、分析特殊行为在构造平衡方程后，需要对函数在奇异点附近的特殊行为进行分析。
这通常可以通过分析平衡方程的其中某些项，确定函数的奇异特性。
例如，当在平衡方程中出现$ln x$的项时，通常表明函数在奇异点处有对数奇异性质；而当出现$1/(x-a)$的项时，则表明函数在奇异点处有极点奇异性质。
这些特殊行为的分析，将有助于我们进一步判断函数的性质和确定合适的求解方法。
诡异的狄利克雷函数
诡异的狄利克雷函数函数是我们初中就开始接触的一个数学概念，也是高中阶段最核心的数学概念之一，我们通常用f(x)来表示一个函数。
上了大学之后，我们会更加深入地研究函数的连续性，可微性，可导性等问题。
但是对于绝大多数的同学，平时所接触的函数都只是所谓的初等函数。
初等函数，指的是由5大类基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数，经过有限次加减乘除与复合所得到的函数。
比如我随手写一个函数：它可就可以看成是一个三角函数与幂函数做复合，再和指数函数做除法得到的。
你可以搜罗一下你所见到的函数，基本上都是初等函数，那么这个“初等”又是怎么回事呢？难道还有“高等”的函数吗？的确如此，初等函数都具有一些良好的性质，比如，所有初等函数在其定义域上都是连续的，并且是几乎处处可导的，即使有一些不可导点，那这些不可导点也是有限的、孤立的。
也就是说，初等函数的图像都是我们可以想象出来的，就是一段儿除了个别点之外，其余都是连续的、光滑的曲线。
比如我刚才随手写的函数，它的图像就是那么是否会有一些函数，它有无穷多个不可导点，甚至每一点都不可导，更有甚者，图像我们连画都画不出来？这样的函数是有的，而它显然不是我们熟悉的初等函数，因为其性质太过诡异，我们称其为“病态函数”。
最简单的一类病态函数就是大名鼎鼎的迪利克雷函数。
在介绍他之前，我们先来介绍一下他的发明人——德国大数学家狄利克雷(Dirichlet)。
狄利克雷出生于1805年，他可谓是师出名门，曾经是“数学王子”高斯的学生，同时也参加过另一位法国大数学家傅里叶领导的小组活动。
他于1829年到柏林大学任教，1831年被选为普鲁士科学院院士，并于1855年接替高斯成为哥廷根大学的教授，同年被选为英国皇家学会会员。
狄利克雷在数论，分析学，和数学物理等多方领域做出了杰出贡献，19世纪上半叶非常重要的是一位数学家，同时也为19世纪下半叶哥廷根大学成长为世界数学中心奠定了基础。
五次方程不可解的证明过程
五次方程不可解的证明过程五次方程的一般形式可以表示为：ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0，其中a、b、c、d、e、f是已知的实系数。
我们将证明，不存在一般五次方程的解析解，也就是无法使用基本的数学运算和已知函数来求解一般五次方程。
首先，我们可以用代数方法证明这一结论。
假设存在一个解析解，也就是可以通过基本的数学运算和已知函数来求出方程的根。
设五次方程的根为x1，x2，x3，x4，x5根据代数基本定理，任何一个非常数的多项式方程在复数域上至少有一个复数根。
因此，至少有一个根是复数，我们将其设为x1因为复数根是成对出现的，所以剩下的四个根可以两两配对，分别为x2和x3，以及x4和x5设复数根x1的实部为p，虚部为q，即x1 = p + iq。
同样地，设配对的两个复数根分别为x2 = r + is，x3 = r - is，x4 = u + iv，x5 = u - iv。
将这五个根代入方程，我们可以得到以下五个方程：a(p + iq)^5 + b(p + iq)^4 + c(p + iq)^3 + d(p + iq)^2 + e(p + iq) + f = 0a(r + is)^5 + b(r + is)^4 + c(r + is)^3 + d(r + is)^2 + e(r + is) + f = 0a(r - is)^5 + b(r - is)^4 + c(r - is)^3 + d(r - is)^2 + e(r- is) + f = 0a(u + iv)^5 + b(u + iv)^4 + c(u + iv)^3 + d(u + iv)^2 + e(u+ iv) + f = 0a(u - iv)^5 + b(u - iv)^4 + c(u - iv)^3 + d(u - iv)^2 + e(u- iv) + f = 0将这五个方程展开，并分离实部和虚部，我们可以得到五个关于p、q、r、s、u、v的实系数方程。
专题讲座奇异函数匹配法和课后习题重点难点讲解
专题讲座和课后习题重点难点讲解)()()()()()()()(1111011110t e E t e dt d E t e dt d E t e dt d E t r C t r dtd C t r dt d C t r dt d C m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ （1）式 系统用这个n 阶的线性时不变微分方程表示。
（一） 从-0到+0状态的转换有两条规律：（1）当电路中无冲激电流(或阶跃电压)作用于电容时，则换路前后电容两端的电压不会发生突变，)0(+C v = )0(-C v ；当电路中无冲激电压 (或阶跃电流)作用于电感时，则换路前后电感中电流不会发生突变， )0(+L i = )0(-L i（2）“标准”的微分方程右端自由项中包含δ(t)及其各阶导数，则-0到+0状态发生了跳变，即.等等)0()0(或)0()0(-+-+'≠'≠r r r r ，否则不会跳变。
在结合书中例题分析后，再请同学回答习题2-5，是否有跳变。
（二） 冲激函数匹配法求+0状态着重讲解习题2-5（3）小题后，让学生自己做习题2-5（1）和（2）习题2-5（3）：222()3()4()()d d d rt rt rt e t d t d t d t ++= ，若激励信号为)()(t u t e =, 起始状态为(0)1,(0)1r r --'==，求(0)(0)r r ++'和冲激函数匹配法求解系统的+0状态一般方法是：将激励信号()e t 代入系统的微分方程（1）式并整理后，得到-0到+0期间的微分方程为1011110111()()()()()()()()()n n n n n n l l l l l l d d d C r t C r t C r t C r t dt dt dt d d d B t B t B t B t D u t dt dt dtδδδδ------++++=+++++∆ ， (-0<t<+0) 可以设()(1)1101(1)(2)1101()()()()()()()()()()()()nl l l l n n l l l l n d r t a t a t a t a t b u t dt d r t a t a t a t a u t dtr t δδδδδδδ-------⎧'=+++++∆⎪⎪⎪=++++∆⎨⎪⎪⎪=⎩代入t=0时微分方程,求出0a 、1a 、2a …l a 、b则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=--+------++)0()0()0()0()0()0(01111r r a r dt d r dtd b r dt d r dtd n n n n n nn n +0状态为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=-+------++)0()0()0()0()0()0(11011r r r dt d a r dtd r dt d b r dtd n n n n n nn n 1、给定系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(22t e t e dtd t r t r dt d t r dt d +=++ ， 若激励信号为)()(t u te =，起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，求系统的完全响应)(t r ，并指出其零输入响应、零状态响应、瞬态响应、稳态响应、自由响应和强迫响应各分量。
奇异函数的定义
奇异函数的定义一、奇函数和偶函数的定义在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型。
它们分别满足以下定义：1. 奇函数：对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)。
2. 偶函数：对于任意实数x，有f(-x)=f(x)。
其中，f(x)是一个实值函数。
二、奇异函数的定义在数学中，奇异函数是指既不是奇函数也不是偶函数的一类特殊的函数。
它们不满足上述的奇偶性质，因此也被称为非周期性函数。
三、常见的奇异函数1. 绝对值函数：y=|x|绝对值函数是一种最常见的奇异函数。
它在x=0处取得最小值0，在其他点处都为正值。
其图像呈V字形状，且关于y轴对称。
2. 符号函数：y=sgn(x)符号函数也是一种常见的奇异函数。
它在x=0处取得唯一的非零值1或-1，在其他点处都为0。
其图像呈阶梯状，且关于y轴对称。
3. Dirac delta 函数：δ(x)Dirac delta 函数是一种极限型的奇异函数。
它在所有实数点上都为0，除了x=0处，此时其取值为无穷大。
其图像呈尖峰状，且没有定义的导数和积分。
四、奇异函数的性质1. 奇异函数与偶函数的和仍为奇异函数。
2. 奇异函数与奇函数或偶函数的积仍为奇异函数。
3. 奇异函数在有限区间上不一定可积，但可以用广义积分进行计算。
4. 奇异函数在某些物理问题中具有重要应用，如量子力学中的波函数、信号处理中的滤波器等。
五、实现一个绝对值奇异函数的代码下面是一个使用Python语言实现绝对值奇异函数图像绘制的代码：```import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx = np.linspace(-5, 5, 1000)y = abs(x)plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Absolute Value Function')plt.show()```该代码使用NumPy库生成-5到5之间1000个等距离点，并计算出每个点对应的绝对值。
奇异函数平衡原理
奇异函数平衡原理奇异函数平衡原理是指在奇异函数的研究中，通过对奇异点的平衡处理，可以得到奇异函数的解析解。
奇异函数是指在某些点上不满足解析性质的函数，例如在某些点上不可导或者不连续。
在实际问题中，奇异函数的研究具有重要的意义，因为很多现实问题都可以用奇异函数来描述。
在奇异函数的研究中，平衡原理是一种重要的方法，它可以帮助我们求解奇异函数的性质和解析解。
奇异函数平衡原理的基本思想是，在奇异点附近，通过引入新的变量转化为常函数，从而使得原方程在奇异点附近变得简单。
通过这种方法，可以将奇异函数转化为解析函数，从而得到奇异函数的解析解。
奇异函数平衡原理的具体步骤如下：首先，找到奇异点的位置，确定奇异点的类型。
奇异点可以分为可去奇异点、极点和本性奇异点。
不同类型的奇异点需要采取不同的平衡处理方法。
其次，引入新的变量进行平衡处理。
通过引入新的变量，可以将原方程在奇异点附近转化为常函数，从而得到简化的方程。
然后，对新的方程进行求解。
通过对新的方程进行求解，可以得到奇异函数的解析解。
最后，将得到的解析解转化回原变量。
通过将得到的解析解转化回原变量，可以得到奇异函数的解析解。
奇异函数平衡原理的应用非常广泛，它在物理、工程、经济等领域都有重要的应用。
例如，在量子力学中，奇异函数平衡原理被用来求解薛定谔方程；在电路分析中，奇异函数平衡原理被用来求解奇异电路。
奇异函数平衡原理不仅可以帮助我们求解奇异函数的解析解，还可以帮助我们深入理解奇异函数的性质和行为。
总之，奇异函数平衡原理是奇异函数研究中的重要方法，它通过对奇异点的平衡处理，可以帮助我们求解奇异函数的解析解。
奇异函数平衡原理具有重要的理论意义和实际应用价值，它在科学研究和工程技术中都具有重要的地位。
通过深入学习和理解奇异函数平衡原理，可以更好地应用它来解决实际问题，推动科学技术的发展。
奇怪的函数
奇怪的函数近年来，函数论领域内出现了一些奇怪的函数，这些函数的定义和性质不但给数学家带来挑战，也为我们提供了更加丰富多彩的奇妙数学世界。
本文将介绍一些比较典型的奇怪函数，并探讨它们的内在特征和奥秘。
一、狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet Function)是一种典型的奇怪函数。
它的定义如下：$D(x)=\begin{cases}1,x∈\mathbb{Q} \\0,x∈\mathbb{R-Q}\end{cases}$其中，$\mathbb{Q}$和$\mathbb{R-Q}$分别代表有理数集和无理数集。
这个函数的奇特之处在于：当自变量为有理数时，函数值为1，而当自变量为无理数时，函数值为0。
这个函数表现了有理数与无理数的本质差异，是数学中的一个重要概念。
狄利克雷函数的像集是一个非常非常规则的集合。
由于它同时包含了0和1两个值，因此在数学图像上它就像一条拥有无数个密集缝隙的井形状蜘蛛网。
这个像集被称为康托集（Cantor Set），它具有类似于分形图形的自相似性质。
二、魏尔斯特拉斯函数魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass Function)也是一种非常奇怪的函数，它的定义如下：$W(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)$其中，$a$和$b$均为实数，0<$a$<$b$<$1$。
这个函数的奇特之处在于它是一组无限多个余弦函数的无限级数。
由于余弦函数具有周期性质，因此可知道这个无限级数所对应函数的周期是 $1/b$。
这个函数对于所有的$x$都是连续的，但它处处不可导。
魏尔斯特拉斯函数的画像也是类似于分形，有无穷个多个波峰和波谷，且波峰和波谷越来越小，越来越平滑，显得非常细致和复杂。
三、柯西函数柯西函数(Cauchy Function)也是一种非常特殊的函数，它定义如下：$C(x)=\frac{1}{x-i}$其中，$i$为虚数单位。
2. 奇异积分方程
§2 奇异积分方程一、奇异积分方程的定义与例子1° 如果积分方程的积分是积分区间为无限（或核K (x,ξ)为无界函数）的广义积分，那末称该方程为奇异积分方程，例如⎰∞=0d )(s i n 2)(ξξξπy x x F (1)⎰∞-=0d )()(ξξξy e x F x (2) 和⎰∞-=0d )()(ξξξx y x F (3)都是奇异积分方程。
2° 方程（1）的右边所定义的函数可以看作y(x)的傅立叶正弦变换。
若当x>0时，F(x)逐段可微且⎰∞0)(dx x F 存在，则方程（1）有唯一的反演公式： ⎰∞=0d )(sin 2)(ξξξπF x x y （x >0）考虑齐次积分方程 ⎰∞=0d )(s i n )(ξξξλy x x y (4) 从已知的公式⎰∞--+±±=+±02222d 2sin 22][ξαπξπαπαξαx x e x x x e x (x>0,α>0) 可知πλ2±=确实是特征值。
当πλ2=时，对任意正常数α，函数 2212)(x x e x y x ++=-απα (x >0) 满足方程（4）；而当πλ2-=时，对任意正常数α，函数2222)(xx e x y x +-=-απα (x >0) 也满足方程（4）。
于是这两个λ值是无穷重的特征值，即每个值对应无穷多个特征函数。
这个事实与Fr 方程的任一特征值只对应有限个独立特征函数是大不相同的。
3° 由方程（2）右边所定义的函数F （x ）是函数y （x ）的拉普拉斯变换。
因为不是一切函数都能作拉普拉斯变换，两个不同函数不能有同一个拉普拉斯变换。
所以对一个给定函数F(x)，若（2）存在一个解，则解是唯一的。
考虑齐次积分方程⎰∞-=0d )()(ξξλξy e x y x （x >0） （5） 根据伽马函数的定义有()ααξαξξ-∞--Γ=⎰x e x 01d ()0>α以α-1代替α，得 ()101d -∞---Γ=⎰ααξξαξξx e x ()1<α 由上面两等式推出 ⎰∞-----Γ+-Γ-ΓΓ=Γ+-Γ011])()1([)1()(d ])()1([a a a a x x a x a a a a a e ξξξξ()10<<α 如果令 ()()ααλ-ΓΓ=11 ()10<<α 那末上式表明，函数()()()αααα--Γ+-Γ=x x x y 11 （x >0）是积分方程（5）的解。
奇异线性系统的正则化
奇异线性系统的正则化摘要：奇异线性系统在应用方面很广泛，例如，可以解决积分方程问题和非线性规划问题的求解问题。
在线性代数中有很多应用，例如找到一个很好的近似量x’其中x ∈R n,其满足一个近似方程AX≈B ，其中A 满足的条件NM RA ⨯∈，给出的b ∈R m。
直接用由电脑解出的x ’来逼近x 是没有意义的，因为b 的右边界的错误和此条件对于矩阵A 的限制。
为了避免这一问题，通常的一种做法是用一个对于b 的误差不敏感的近似系统来取代线性方程组Ax=b ，N M R A ⨯∈，N R ∈x ，M R ∈b ，并且由后一系统经过电脑所得到的解是对x 的近似。
这一替代被称为正则化。
本文探讨了各种为奇异线性系统计算出稳定解的正则化方法。
目录 1.简介1.1线性系统的基本概念 1.2向量和矩阵的范数 2奇异线性系统2.1奇异线性系统的定义 2.2矩阵A 的条件数2.3检测一个线性系统的解的精确性 2.4经典的奇异系统2.4.1多项式数据拟合：范德蒙系统2.4.2一个多项式函数的近似：希尔伯特系统 3线性系统的最小二乘解3.1奇异值分解3.2用奇异值分解解决线性系统3.2.1奇异值分解和线性系统的稳定性 3.3数值秩 4正则化方法4.1秩的定义和不适定问题 4.2正则化方法 4.2.1吉洪诺夫方法4.2.2截断奇异值分解（TSVD ） 5结论一个截断奇异值分解（TSVD ） 参考文献 1.简介我们将开始研究奇异线性系统的一些线性代数的基本概念。
1.1线性系统的基本概念一个线性系统方程的形式如下：AX ＝B ，其中A 是一个已知的M×n 维的coefficient 矩阵，形式如下：A 是m×n 的矩阵，b 是m 维的向量，形式如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21b ，x 是n 维的未知向量，形式如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x 21x ，线性方程组有很多应用，包括以下内容： a.用牛顿迭代法求解非线性方程组。
奇异线性二次最优控制的线性迭代计算方法
Ｓ．ｔ．量（￡）一Ａ（￡）ｘ（ｆ）＋Ｂ（￡）Ｈ（￡）， Ｘ（ｏ）一Ｘｏ，ｔ Ｅ
ｉｔｅｒａｔｉｏｎ
ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ
Ｅｏ，Ｔ］
（２）
Ｒｉｃｃａｔｉ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ＬＱ ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ
注‘１—２｜．
Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ
ｏｆ
Ｓｉｎｇｕｌａｒ
Ｌｉｎｅａｒ
Ｑｕａｄｒａｔｉｃ
Ｏｐｔｉｍａｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ
ＺＨＯＵ Ｊｉａｎｉ，ＺＨＵ Ｊｉｎｇｈａｏ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９２， Ｃｈｉｎａ）
对于奇异线性二次最优控制问题，按照经典的
是连续的矩阵函数，Ｈ（・）：［ｏ，Ｔ］一Ⅳ是平方可积 的，‰ＥＷ是给定的．又设ｗ（・）：Ｅｏ，Ｔ］一Ⅳ硒是
连续的，并且在Ｅｏ，Ｔ］上满足ＷＴ（￡）＝ｗ（￡）≥ｏ．再
设ＨＥⅣ‰是半正定的对称矩阵．奇异线性二次最 优控制问题在理论研究和实际应用中广泛存在，是 最优控制研究领域的一个重要组成部分，同时也是 控制论的一个研究热点，得到众多学者的广泛关
０≤ＸｏＴＰ（０）‰一Ｊ。（ｚｉ。）≤Ｊ。（Ｈ。（・））一
ｒＴ
Ｊ（“＋（・））＋ｅＩ Ｈ＋（￡）ＴＨ＋（ｔ）ｄｔ—ｕＰ＋￡Ｍ
Ｊ
０
第２步：计算ⅣＤ（￡）．
第３步：若ｆ ｘ手Ｐ宰，（ｏ）‰－－ｘ手Ｐ？。（ｏ）甄Ｉ＜￡，
则迭代停止，给出近似最优值瑶Ｐｉ（ｏ）勘，否则，令 ｉ＝ｉ＋１，转第２步．
（１７）
即得到式（１６）． 另一方面，由于砧。（・）为奇异线性二次最优控
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当
t 0
时，有 g(0) g( )u1 ( )d ，
此积分可作为 u1 ( t )在积分意义下的定义。 ⒊ 若
g (t ) 是一个偶函数，则 g(0) 0
。
由此可推得 u1 ( t )是奇函数，即：
u1 (t ) u1 (t )
⒋ 考察
d g(t ) f (t )u1 (t )dt dt [ f (t ) g(t )] t 0
t
0
2
4
sin
1
t
t0
t
0
t
之所以产生这种现象，是因为 (t ) 是一 个理想化的非常规函数，被称为奇异函数。
通常采用在 卷积 或 积分 运算下函数所表现
的特性来定义奇异函数。 一. 通过卷积定义 (t ) 从系统的角度,可以说
(t )是一个恒等系统的 单位冲激响应,因此，x( t ) x( t ) * ( t ) ——这就是在卷积运算下 (t ) 的定义。
2.5
奇异函数（Singularity function）
在 第 一 章 中 介 绍 单 位 冲 激 时 ， du( t ) 定 义 (t ) 显然是不严密的，因为 dt 在 t 0 时 u(t 不连续。进而采用极限的观点， ) 将 视为在 时的极限。但这种定义或 0 (t ) 描述 现为与 的方法在数学上仍然是不严格的， (t ) 因为有许多不同的函数在
( ) * (t ) g( t ) ( )d g(t )
若
t 0 ，则有：g(0) g( ) ( )d 此式即可作为在积分运算下 (t ) 的定义式。
(t )就是这样一种信号，当它与某个信号 g(t )
f (t ) (t ) f (0) (t )
若
f (t ) t
，则可推出
t (t ) 0
,则
因此，若有
tf1 (t ) tf2 (t )
f1 (t ) f 2 (t ) C (t )
三. 单位冲激偶及其他奇异函数
理想微分器 的单位冲激响应应该是 (t ) 的
u2 (t ) u1 (t ) * u1 (t )
d x( t ) x( t ) * u1 ( t ) 2 dt u1 ( t ) * u1 ( t ) uk (t ) u1 (t ) * u1 ( t ) ** u1 (t )
2
k个
uk ( t ) u1 ( t ) * u1 ( t ) * * u1 (t )
x(t ) * u1 (t ) x( )d
t
因此：
u2 (t ) u1 (t ) * u1 (t ) u( )d tu(t )
t
称 为 单 位 斜 坡 函 数 （ Unit ramp
function ）
1 2 u 3 ( t ) u1 ( t ) * u1 ( t ) * u1 ( t ) t u( t ) 2
u k ( t ) u1 ( t ) * u1 ( t ) * * u1 ( t )
t u( t ) ( k 1)!
k 1
k个
事实上，
(t ) 的各次积分已经是常规函
数了，当然可以按常规函数定义的方法去
描述。
⒌ 若 f (t ) t ，进而有： tu1 ( t )
( t )
t u1 ( t ) 0
2
因此，若有 t 2 f ( t ) t 2 f ( t ) ， 1 2 则 f1 (t ) f 2 (t ) C1 (t ) C2 u1 (t )
按此定义方法推广下去，有：
相 乘 并 在 到 上 积 分 时 ， 其 结 果 就
是 g (0)。
据此定义又可以推出： ⒋ 若
g (t )
是奇函数，则
g ( 0) 0
，
因此
(t ) 是偶函数，
即： (t ) (t )
⒌ 根据积分下的定义有：
g(0) f (0) g(t ) f (t ) (t )dt g(0) f (t ) (t )dt
时都表 0
有相同的特性。 (t )
例如:以下信号的面积都等于1，而且在
0时，它们的极限都表现为单位冲激。
(t )
1
r (t ) (t ) * (t )
1
t
0
0
2
t
r (t ) * r (t )
1
1
1 e
t
u (t )
[ f ( t ) g ( t ) f ( t ) g ( t )] t 0
[ f (0) g(0) f (0) g(0)]
f (0)g(t ) (t )dt
f (0) g(t )u1 (t )dt
f (t )u1 (t ) f (0)u1 (t ) f (0) (t )
根据定义可以得出
⒈
(t ) 的如下性质：
(t t0 ) * (t ) (t t0 )
x( t ) * ( t ) x( t ) (t ) * (t ) (t )
⒉ 当
x( t ) 1 时，有
x(t ) * (t ) x(t ) ( )d ( )d 1
d 微分，记为 u1 ( t ) ( t ) ，从卷积运算或 dt
LTI系统分析的角度应该有：
d x( t ) * u1 ( t ) x( t ) dt
x (t )
微分器
dx( t ) dt
u1 ( t ) 称为单位冲激偶（Unit u1 ( t )
(1)
doublet）
t
0
(1)
由此定义出发可以推出：
⒈ 当
x( t ) 1 时，有：
x(t )u1 ( )d u1 ( )d 0
u1 ( )d 0
g(t ) * u1 (t ) g(t )u1 ( )d ⒉ 考察
d d g( t ) g ( ) dt d t
在积分运算下有：
例如：
g(t )uk (t )dt (1) g (0)
k (k )
g(t )u2 (t )dt
g(t )du1 (t ) g(t )u1 (t ) g(t )u1 (t )dt g(t )d (t ) g(t ) (t ) g(t ) (t )dt
g(0)
四.
(t ) 的积分 (t ) 的积分。
用类似方法也可以定义
若用 u0 (t ) (t )
t
u1 (t ) u(t ) ，则有：
u1 (t ) ( )d u(t )
u1 ( t ) 是理想积分器的单位冲激响应。