用洛必达法则求未定式极限的解题技巧
未定式极限与洛必达法则
未定式极限与洛必达法则摘要：本文介绍了型未定式极限通过变形使用洛必达法则的方法,及使用洛必达法则时的注意事项。
关键词：未定式极限洛必达法则一、引言洛必达法则是借助导数求、型未定式极限的一种简便而有效的方法。
除此之外，型未定式极限通过变形也可应用洛必达法则求，极限。
其中型变形比较简单，而型的变形较为复杂，本文着重介绍型未定式极限通过变形使用洛必达法则的方法及使用洛必达法则易犯的错误。
二、型未定式极限型未定式极限中函数的共同特征是幂指结构，不能直接用洛必达法则求解。
根据其结构特征，需先给函数用对数恒等式或取对数，然后再利用幂的对数运算性质将函数变形为乘积结构，最后利用洛必达法则求解。
例1、解：所求极限为型未定式极限，而，故例2、求解：所求极限为型未定式极限，令，因为所以，例3、求解：所求极限为型未定式极限，令，因为所以，三、使用洛必达法则注意事项1.满足法则条件，可多次使用法则例4、求（为正整数）解：所求极限为型未定式极限，连续n次施行洛必达法则，有（二）充分运用已有的方法，可使问题简单化例5、求解：所求极限为型未定式极限，可用等价无穷小量替换，再用洛必达法则，有（三）深入剖析，注意法则的局限性例6、求解：所求极限为型未定式极限，若不断地运用洛必达法则，则有如此周而复始，总也求不出极限，但不能因此得出极限不存在的结论，只是洛必达法则不适用于该题，此时应改用其他方法求解。
求解时可以在分子、分母上同除，即通过对型未定式极限变形使用洛必达法则的方法及使用洛必达法则时的注意事项的了解，引导学生在工作学习中，要善于抓住事物的本质及其内在联系，达到化繁为简，事半功倍的效果。
参考文献：[1]刘涛．慎用洛必达（L”Hospitol）法则求极限[J]．中国科技信息，2005（21）[2]窦连江．高等数学(经管类专业适用) [M]．高等教育出版社，2006（9）[3]胡农．高等数学(工科类专业适用) [M]．高等教育出版社，2006（9）作者简介：翟维红（1968—），女，天津市人，天津海运职业学院副教授，主要研究基础数学。
洛必达法则的使用方法
洛必达法则的使用方法
洛必达法则是在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限，来确定未定式值的方法。
两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则应用条件：
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
洛必达法则的运用：
当分子分母都趋近于0或无穷大时，如果单纯的代入极限值是不能求出极限的，但是直观的想，不管是趋近于0或无穷大，都会有速率问题，就是说谁趋近于0或无穷大快一些，而速率可以通过求导来实现，所以就会有洛必达法则。
高数辅导之专题九：洛必达法则
专题九基础知识七种未定式极限的求解方法： （1）00型和∞∞型未定式，直接使用洛必达法则。
（2）∞⋅0型和∞-∞型未定式，先经过适当变化使其成为00型或∞∞型未定式，再使用洛必达法则。
（3）0∞型，∞1型和00型未定式，先取自然对数变形整理后使其成为00型或∞∞型未定式，再使用洛必达法则。
在使用洛必达法则求解极限时，首先应判断此极限为何种形式的未定式，对于不同形式的未定式采用不同的方法，且在解题过程中注意结合极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小替换等方法。
例题1. 已知)0(lim0≠=-→c c x ee k xx x ，求k 和c 。
解：kxx xx kxx x x e ex ee )1(limlim0-=--→→k xx x x x e)(lim-⋅=→kx xx x xx e-⋅=→→0limlim 2101lim-→-=k x xx210lim 1-→-=k x x对于210lim -→k x x，只有以下三种情形：（1）021=-k 时，11lim lim 0210==→-→x k x x ，此时1lim 121=-→k x x。
（2）021>-k 时，0lim 210=-→k x x ，此时∞=-→21lim 1k x x。
（3）021<-k 时，∞===-→-→01lim 1lim 21210k x k x xx ，此时0lim 1210=-→k x x。
故要使)0(lim0≠=-→c c x ee kxx x ，必有021=-k ，21=k ，从而有 1lim21-=-=→xe e c xx x2. 已知)0(lim tan 0≠=-→c c x e e k xx x ，求k 和c 。
解：k x x x x k x x x x e e x e e )1(lim lim tan 0tan 0-=--→→k x x xx x e )(tan lim 0-⋅=→ kx xx x xx e -⋅=→→tan limlim 001201sec lim -→-=k x kx x1201cos 1lim -→-=k x kx xxkx x x k x 210cos )cos 1)(cos 1(lim -→+-= 12021lim 2-→=k x kx xk x x k -→=30lim 1（由题设知0≠k ）0≠=c故03=-k ，3=k ，从而31=c 。
利用洛必达法则求未定式极限的几种技巧
非 常广 泛 、 高效的方法 ， 其 通过求 分式 的分 子、 分 母 的 导 数 的 方 法达 到 消 去 未 定 因 素 的 目 的 ， 该 法整 齐划 一 ， 使 用 方 便． 但它也有局限性 ， 解 题 时 需 要 一 定 的 条 件 和 技 巧． 本文
结合学生应用此法则 时容易 忽视 的一些 问题， 给 出 利 用 该 法则 求极 限 的几 种 技 巧．
＿ 『 ｃ 。 ｓ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ｘ ｄ ＝ 』 ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ｘ ｄ ｓ ｉ ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ 一 』 ｓ ｉ ｎ ｄ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ 一 ／ ｓ ｅ ｃ ｄ
．
解原 式 （ 百 ０ ） ＝ ｌ ｉ ａ ｒ
＿ 一１ ｎ
：
则 ． 所 需 条 件中 较易 忽 略 的 是 极限 ｌ ｉ ａ ｒ 厂 ＇ 要 存 在 ， 若 … ｇ Ｌ Ｊ ｌ ｉ ＿ 厂 不 存 在 ， 并 不 能 得 出 原 极 限 不 存 在 的 结 论 ． 一 ｇ （ Ｊ
解先 求 极 限 ＿ ． ＋ ∞ — Ｉ ｎ （ 、 ÷ ） ， ＝ 一 （ 、 一 ） 』 ＝ 。 ， 所
例２ 求极限 ｌ ｉ ｍ ！
二 ＿ 二
以 ， 极 限 ÷ ㈩
（ ２ ） 只要 符 合 法 则 所 需 的 条 件 ， 可 连 续 多 次 使 用 该 法
用 洛 必 达 法 则求 极 限． 根 据 数 列 极 限 与 函 数 极 限 的关 系 ， 数
列极限 ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ） 的特 殊 ｉ ａ ｒ ｆ （ ｎ ） 可 以作 为连 续 变 量 的极 限 ｌ
…
一１
： ｌ — ｌ ｉ （ 二
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则(高考题)
洛必达法则(高考题)洛必达法则洛必达法则是微积分中的重要概念之一。
它用于求解未定式的极限，主要包括三个法则。
法则1：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，那么它们的极限相等。
法则2：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在正负无穷处极限存在，那么它们的极限相等。
法则3：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在某一点的去心邻域内极限存在，那么它们的极限相等。
在使用洛必达法则求解极限时，需要注意以下几点：1.检查是否满足前提条件，否则结果可能不正确。
2.可以连续多次使用洛必达法则，直到求出极限为止。
3.若不满足前提条件，不能使用洛必达法则，需要从其他途径求解。
XXX在高考中也经常出现，例如以下题目：1.设函数f(x) = e^(-1-x-ax)/(x^2)，求f(x)的单调区间和a的取值范围。
解：根据洛必达法则，当a = 1时，f(x) = e^(-1-x)，f'(x) = e^(-1)。
当x∈(-∞,0)时，f'(x)。
0.因此，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。
又因为f(x)≥1/x^2，所以当x≥1时，f(x)≥1/e。
因此，a的取值范围为a≤1/2.经过格式修正和改写，文章变得更加清晰易懂。
首先，将文章中的数学符号进行修改，使其符合规范。
然后，删除掉明显有问题的段落，比如第一段中的“于是当x时，f(x).”这句话没有明确的意义。
最后，对每段话进行小幅度的改写，使其更加清晰易懂。
具体修改如下：首先，对于函数 $f(x)$，当 $f'(x) \geq 0$（$x \geq 0$）时，有 $f(0) = 2$。
因此，当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 2$。
由不等式 $e。
1+x$（$x \neq 0$）可得 $e^x - x。
1 -x$（$x \neq 0$）。
因此，当 $a。
1$ 时，有：2f'(x) < e^x - 1 + 2a(e^{-x} - 1) = e^{-x}(e^x - 1)(e^x - 2a)$$因此，当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f'(x) < 0$，而 $f(0) = 2$，因此当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f(x) < 2$。
洛必达法则的用法
洛必达法则是一种求极限的方法，主要用于解决在某些函数在特定条件下，未定式极限的问题。
它是由法国数学家洛必达在研究不定积分时发现的。
在使用洛必达法则时，需要注意满足一定的条件，并且要正确理解其适用范围和限制。
首先，洛必达法则适用于以下两种情况：
1. 当函数在某点处极限为0/0型或∞/∞型时；
2. 当函数在某点处的导数接近于无穷大时。
在使用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限必须是0/0型或者∞/∞型；
2. 被考察的极限的左右极限都必须存在且相等；
3. 被考察的极限中分子分母的导数必须都存在；
4. 在使用洛必达法则之后，必须要再化简，或者再将一些其他次数的函数变为最一次；
5. 最后一步仍需要进行适当的恒等式的变换；
6. 对简单的分数应该求极限进行拆分，对于三角函数、指数函数等复杂函数则需要进一步考虑使用它们各自的方法进行转化。
总的来说，洛必达法则的使用需要考虑函数的极限形式、导数情况以及能否满足洛必达法则的条件等。
使用洛必达法则需要注意它的适用范围和限制，否则可能会导致错误的结果。
此外，在运用洛必达法则时还需要注意等价代换、夹逼定理等技巧的应用。
这些技巧的应用可以简化计算过程，提高解题效率。
另外，除了洛必达法则外，还有其他求极限的方法，如泰勒公式、无穷小替换、夹逼法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
同时，对于一些复杂的极限问题，可能需要结合多种方法来求解。
因此，熟练掌握各种求极限的方法对于解决数学问题来说是非常重要的。
求极限过程中洛必达法则的使用技巧
求极限过程中洛必达法则的使用技巧文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考。
关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式。
极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远。
理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等。
下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨。
一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2.，推广的形式为：，推广的形式为：3.其中可以是一个代数式。
由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式。
二、洛必达法则的两个标准形态1.型不定式定理1.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
2.型不定式定理2.若在或内有定义，并满足（1）（或），（或）；（2）在或内可导，且；（3）（或）存在或为；则（或）。
三、求极限举例求例1.解：本题极限形式是型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了。
+（其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算。
洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有或型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为或型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限。
用洛必达法则求未定式极限的解题技巧
用洛必达法则求未定式极限的解题技巧作者：白云霞马勇乌兰李彩艳来源：《新校园·上旬刊》2015年第01期摘要：本文总结了利用洛必达法则计算未定式极限应该注意的一些问题和解题技巧。
关键词：洛必达法则；极限；解题技巧用洛必达法则求未定式极限，是微分学里面的一个重点，也是一个难点。
如果只是肤浅地知道这一法则，盲目地使用，求出的极限未必正确。
所以使用洛必达法则必须懂得它的使用条件以及应该注意的一些问题。
如果在一个题目中使用洛必达法则之后，发现仍然是未定式极限，并且满足洛必达法则条件，可以再次使用洛必达法则。
也就是说，洛必达法则在一个题目里可以多次使用。
最后，洛必达法则是计算未定式极限的重要方法，但不是唯一的。
不能使用洛必达法则的极限不一定就不存在，可利用别的方法求极限。
本文对洛必达法则求未定式极限的解题技巧总结如下：1.如果对于满足洛必达法则条件的或未定式，可直接使用。
例如：求极限解：[][=]=12.如果对于0·∞未定式，一般要通过取倒数化为或未定式，然后利用洛必达法则求极限。
例如：求极限x（-arctanx）解：x（-arctanx）[0·∞][=][·]===13.对于未定式00，1∞，∞0的极限，一般要通过取对数化为0·∞未定式来做，再通过2中的方法化成或未定式，然后利用洛必达法则求极限。
例如：求极限xsinx解：xsinx[00][=]e=e[0·∞][=][·]e[][=]e=e=e=e0=14.对于∞-∞未定式的极限通过取倒数，化成-的形式，再通分化为或未定式，然后求极限。
例如：求极限（-）解：（-）[∞-∞][=][][=]=-15.也有一些极限存在，但不能使用洛必达法则求解。
例如：求极限解：[=][]，故极限不存在，这样的解法是错误的。
正确的解法：=（1+）=1+0=16.洛必达法则与等价无穷小代换相结合求极限。
例如：求极限（-）解：（-）==[][=]==·=本文主要从以上几个方面探讨了利用罗必塔法则求未定式极限的解题技巧，旨在帮助学生在学习过程中避免盲目地套用公式，导致出现解题错误。
七种未定式的极限解法
七种未定式的极限解法未定式极限是指在求解数列极限、函数极限等问题中，出现了未知的形式不确定的极限式子。
例如，0/0、∞/∞、1^∞、0^0、∞-∞、∞^0、1^∞等。
这些极限式子看似无解，但实际上有很多方法可以求解它们。
1. 利用洛必达法则洛必达法则是求解未定式的一种常用方法，它指的是对于形如0/0或∞/∞的未定式，可以先对函数分子和函数分母求导数，然后再求原函数的极限，如此多次运用直到极限存在或无限趋近于某个值为止。
例如，求解lim(x→1)[(x^2-1)/(x-1)]，此时x-1=0，x^2-1=0，因此可得到0/0的未定式。
此时应该对分子和分母分别求导数，得到lim(x→1)[(2x)/(1)]=2。
因此，这个极限等于2。
2. 利用泰勒公式泰勒公式是将函数表示成幂级数的公式，可以用来求解一些未定式的极限。
通过将函数展开成泰勒级数，可以将函数的极限转化为级数的极限，从而进行求解。
3. 化为指数函数的形式对于一些形如0^0、∞^0、1^∞的未定式，可以将它们化为指数函数的形式，然后再求解。
其中，化为指数函数的形式通常需要利用对数运算。
例如，求解lim(x→0) [(1+x)^(1/x)]，此时1^∞是一个未定式。
通过取自然对数ln，可得到ln(lim(x→0) [(1+x)^(1/x)])=lim(x→0)ln[(1+x)^(1/x)]。
根据对数运算法则，可将指数函数拆为自然对数函数，得到lim(x→0) [ln(1+x)/x]。
因为此时0/0是一个未定式，可以使用洛必达法则。
对分子和分母同时求导数，得到lim(x→0) [1/(1+x)] = 1。
因此，原极限等于e^1，即e。
4. 利用换元法换元法是求解一些未知式子的常用方法，它通常能够将未定式转化为已知的极限式子，从而进行求解。
5. 利用等价无穷小量法6. 利用夹逼定理夹逼定理是一种求解极限的方法，它通常用于一些难以直接求解的未定式，夹逼定理是通过夹逼一个已知的极限式子，使得我们能够推导出原未知式子的极限。
浅析洛必达法则求函数极限.docx
浅析洛必达法则求函数极限.docx⽤洛必达法则求未定式极限的⽅法⼀、洛必达法则求函数极限的条件及适⽤范围(⼀) 洛必达法则定理定理1⑴若函数/(X )与函数g(x)满⾜下列条件： (1)在。
的某去⼼邻域讥兀)内可导,且g?)HO (2) lim /(x) = 0 XTG+0 lim g(x) = 0 XTO+0 v f\x) A(3) lim ------ ------ = A兀T"+0 g\x)则lim /⑴⼆lim f = A (包括A 为⽆穷⼤的情形)XT"+0 g(x)g'(x)定理2若函数/(兀)和g(x)满⾜下列条件+ ⼀, X -> X o ，兀 TOO,兀⼀>+00,X —>—00。
定理证明：作辅助函数于是函数F(x)及G(x)在［d,d +》)连续，在(d,G + /)可导，并且G (%)丰0?今对(G ,G + /) 内任意⼀点x,利⽤柯西中值定理得(1) 在d 的某去⼼邻域Mr)内可导，且g3 H 0(2) lim /(x) = oolim p(x) = ooX->X ()(3) r⼴(x)⼈ lim = A则lim = lim 以卫=5+o 0(x) 5+() g(x) 5+0 g\x)A (包括A 为⽆穷⼈的怙:形)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适⽤：F (兀)=0, 当兀=aG(x) =0, 当兀=a空n(叽空丄G(x) G(x)-G(G ) G\X Q )由F(Q 及G (劝的定义，上式B |jZW =ZW g(x) gUo)所以当XTQ + 0时（这时显然有兀oTG + O ）,对上式两端取极限，即证毕。
关于定理⼆的证明⽅法也同定理1类似，这⾥就不点出。
当然，还有其他不同的证明⽅法。
（-）洛必达法则使⽤条件只有在分⼦、分母同时趋于零或者同时趋于⽆穷⼤时，才能使⽤洛必达法则。
连续多次使⽤法则时，每次都要检査是否满⾜定理条件，只有未定式⽅可使⽤，若是检查结果满⾜法则使⽤条件，才可连续使⽤洛必达法则，直到求出函数极限或者为⽆穷⼤，否则就会得出错谋的结果，下⾯举个例⼦来说明。
浅析洛必达法则求函数极限
用洛必达法则求未定式极限的方法一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理1[1] 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。
定理证明：作辅助函数⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x f x F 当当,0),,(),()(δ⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),,(),()(δ于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('≠x G 今对()δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得).,(,)(')(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即)(')(')()(00x g x f x g x f = 所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000证毕。
洛必达法则解未定式极限及其误区
ｌｉｍ （一 ）＝０．
— ＋０ ＋
应用洛必达法则，首先未定式应为昔或詈型的商的形
式 ，如例 ３这种 乘积形式 的未定式 ，我们 先将 其转 化为 商 的
形式 ，即 或 ，再 用洛必达法则 求解．
例 ４ 求 ｌｉｒａ （ｓｉｎｘ） ． （０。型 未 定 式 ）
如例 ４中幂指 函数 类 型 的未定 式 求极 限 ，我们 一般 可
【参考 文献 】 ［１］华东 师范 大 学数 学 系．数 学分 析 ：上 册 ［Ｍ］．第 三
版 ．北 京 ：高 等教 育 出版 社 ，２００１：１２７—１２９． ［２］王建 林．高等数学及其 应用［Ｍ］．北 京：中 国农 业 出
解 ｌｉｒａ ｅｘ一 笔 ＝ 等（为詈型未定式）：
ｌｉｍ （为 旦 型 未 定 式 ）＝ ｌｉｍ ． ＝０．
所 以ｌｉ
＝ｏｏ（无穷小 与无 穷大 的关 系）．
２．使 用 洛 必 达 法 则 时 ，发 生 本 质 性 的 错 误 ．个 别 学 生 在 用洛必达法 则时对 整个 分 式求 导数 ，没 有搞 清 楚 洛必 达 法 则 的 结 论 ．
求解 ，这其实是 忽略 了洛必达法 则的条件 １．
例 ５ 求 １ｉｒ
．
一 、 及 一型 未定 式
Ｕ
。ｏ
错解ｌ ｉ ，ｎ毛÷ ＝ｌ ｉ ｍ ÷ ＝
在文献 ［１］中定理 ６．６及定 理 ６．７给出 了洛 必达法 则 次洛 必达法则 ）．
＝ｓ（用两
及其证 明 ，它 是导 数 的一个 应用 ，是对 及— 型 未定式 极
结 果．
例
６
求
ｌｉｒ ａ— Ｘ பைடு நூலகம்－— ＳＩＢ． ￣ ［３］
(完整版)洛必达法则详述与其在高考中的实际运用
一．L ’Hospital 法则（洛必达法则）法则1 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1) lim x ®af x ()=0 及lim x ®ag x ()=0；(2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导，且¢g x ()¹0；(3) limx ®a ¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A 。
法则2 设函数f x ()和g x ()在点a 的某个去心邻域oU a ,d ()内有定义，且满足：(1)()lim x ag x →=∞； (2)f x ()和g x ()在oU a ,d ()内可导,且¢g x ()¹0；(3) limx ®a¢f x()¢g x ()=A （A 为常数，或为∞） 则有 ()()lim x af xg x →=lim x ®a¢f x ()¢g x ()=A利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x ®+a，x ®-a洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
0⋅∞型： lim x ®0+x ln x =lim x ®0+ln x 1x (化为∞∞型)=lim x ®0+1x 1ln x(化为00型，但无法求解) ¥-¥型：lim x ®p 2tan x -sec x ()=lim x ®p2sin x -1cos x =lim x ®p 2cos x-sin x =0(通分后化为00型)1∞型： lim x ®0cos x ()1x 2=e limx ®0lncos xx 2=elimx ®0-sin xcos x ×2x=e-12(化为0型) 0∞型： lim x ®+¥x sin1x=elim x ®+¥sin 1x ×ln x =elimx ®+¥ln xx=elimx ®+¥1x=1(化为∞∞型) 0型：lim x ®0+x sin x=elimx ®0+ln x csc x elimx ®0+1x-csc x cot x ()=elim x ®0+-sin xx×tan x =1(化为∞∞型)变形举例: limx ®-lim x ®-¥-1(不变形求导无法求出)二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xf x e x ax =---。
浅谈利用洛必达法则求未定式极限
浅谈利用洛必达法则求未定式极限作者：楼向东来源：《文存阅刊》2019年第17期摘要：本文结合洛必达法则在教学中存在的问题，说明利用洛必达法则求未定式极限的方法及应用，以便更好的利用洛必达法则求极限。
关键词：极限;洛必达法则求解未定式极限的方法不唯一，而洛必达法则是求型型未定式极限常用的方法之一。
下面通过具体实例说明如何利用洛必达法则求型型未定式极限。
一、洛必达法则设函数f（x）与g（x）满足下列条件：（1），;（2）在点x0的某去心邻域中，f'（x）与g'（x）都存在，且g'（x）≠0;（3）则有二、洛必达法则的应用例1求解：该极限为型，则====注：若仍是型，且满足洛必达法则条件可再一次用洛必达法则，即若满足洛必达法则条件可多次用洛必达法则。
例2求错解：分析：当x→1该时分子极限是-2，分母的极限是0，该极限不是型，不能用洛必达法则正解：由无穷大和无穷小的关系得，∞说明：用洛必达法则前，须验证极限是否为型或型。
否则不能用洛必达法则。
例3求解：当x→0时，;ex-1～x说明：洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，若能与其它求极限的方法结合，如应用等价无穷小替换或重要极限，效果会更好。
总之在使用洛必达法则应注意是否滿足法则条件，再由题目结合其他求极限方法灵活应用才能更好应用洛必达法则。
参考文献：[1]吴赣昌，世纪数学教育信息化精品教材[M]，中国人民大学出版社，2009.[2]尤晓琳，吴振芬.极限的等价无穷小替换研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），2011，11，20（3）：4-6.作者简介：楼向东（1962年—），女，吉林长春人，副教授，研究方向：教学及应用数学研究。
计算不定式极限的一般方法洛必达法则
1 cos x 例2 求 lim . 2 x0 x 0
0
型
1 cos x (1 cos x ) lim 解二 lim 2 x 0 x0 x ( x 2 ) sin x 1 sin x lim lim x0 2 x 2 x0 x 1 . 2
的求极限方法相结合更好！
2. 型
1 1 00 步骤： . 0 0 00
1 1 例10 求 lim( ). ( ) x 0 sin x x (x sin x) 0 解 原式 lim ( ) x 0 (x sin x ) 0
0 (1 cos x ) lim ( ) x 0(sin x x cos x ) 0
一、两个基本类型不定式
如果当x a (或x )时, 两个函数f ( x )与 f ( x) g ( x )都趋于0, 或都趋于 , 那么极限 lim xa g( x ) ( x ) 可能存在, 也可能不存在.通常将这种极限叫作 0 不定式, 分别记为 , . 0
0 1. 型不定式 0 定理 如果函数f ( x )和g ( x )满足
例 8 求 lim x cot 2 x . ( 0 )
x0
提示与分析： x与cot 2x，哪部分做分母，要以转化后极 限易算为准则.
x 0 ( x ) 解 原式 lim ( ) lim x 0 tan 2 x x 0 (tan 2 x ) 0
1 1 lim . 2 x 0 2sec 2 x 2
0
例12 求 lim x . ( 00 )
x0
x
ex是连续 函数
洛必达 法则
解 原式 lim e
x0
x ln x
使用洛必达法则求极限的技巧
使用洛必达法则求极限的技巧【摘要】使用洛必达法则求极限,其特点就是通过求极限号下分式的分子、分母的导数(一次或多次)的方法达到消去未定因素的目的。
本文介绍了在使用洛必达法则求极限时的若干方法和技巧。
【关键词】分离因式变元替换洛比达法则无穷小等价替换1.分离因式并求解其极限。
注意:在使用洛比达法则的时候要注意分离因式,先将具有非零极限的因子提到极限号外面,及时求解其极限,再对余下未定式求极限。
例1.解:原式=2.先作变元替换,再用洛比达法则求解。
注意:当直接就利用洛比达法则求解比较困难时,可以考虑是否可以先利用变量替换后再来利用洛比达法则求解。
例2.求解:分析:可以令,进而简化求解过程。
若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
小结:若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
3.以及型未定式必须先转换成了或者型未定式求解。
例3.求解:小结:当遇到以及型未定式时,一般要进行分子分母有理化才可以构造出或者型未定式,以便直接利用洛比达法则求解。
4.先取对数,再利用洛比达法则求解。
例4.求解注意:对于型未定式,它们为幂指函数的极限,常常利用此方法求解。
解:令,则对于与型的数列极限不能直接利用洛比达法则但是可以间接的使用洛比达法则进行求解。
例5.求解:解:因为:小结:解的是一个数列时,因为数列是没有导数的,不能直接使用洛比达法则。
但是由数列极限和函数极限的关系我们可以知道:离散变量n的极限可以作为连续变量x的极限,其所求的值也就是数列极限的值。
6.多次使用洛比达法则求解。
注意:只要被球函数满足洛比达法则的使用条件,就可以连续多次使用洛比达法则,直到求出极限或者得出不符合洛比达法则条件的情况为止。
极限相关(三步教学)
洛必达法则1.原理:洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法。
两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算，洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
2.具体使用步骤:零比零型limx→a f(x) g(x)第一步: 先看一下分子, 分母在这个a点的极限, 如果limx→af(x)=0而且limx→ag(x)=0，那么可以考虑用洛必达法则，如果分子趋于0，分母趋于常数则极限为0；分子趋于常数，分母趋于0则极限不存在。
第二步: 同时对分子分母求导, 得到f′(x)和g′(x), 如果满足limx→a f′(x)g′(x)=A，则有lim x→a f(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=A无穷比无穷型limx→af(x)g(x)第一步: 先看一下分子, 分母在这个a点的极限, 如果limx→af(x)=∞而且limx→ag(x)=∞, 那么可以考虑用洛必达法则第二步: 同时对分子分母求导, 得到f′(x)和g′(x), 如果满足limx→a f′(x)g′(x)=A，则有lim x→a f(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=A学3.具体例题分析1.limx→0+xlnx化简：可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上,将原式变为limx→0+lnx 1 x按步骤解题：步骤一：分子分母的极限都趋于无穷, 可以考虑洛必达法则步骤二：同时对分子分母进行求导, 即lim x→0+lnx1x=limx→0+1/x−1/x2=limx→0+(−x)=0注释：洛必达法则的使用时要求分子和分母在去心邻域内可导即可，不过做极限计算题时一般不用考虑概念性的问题。
2.limx→0+√cosx−√cosx3sin2(x)化简：对分子分母求导并不好算,所以先尝试换元变形, 令t=√cosx6则sin2x=1−t12, 故原式变limt→1t3−t2 1−t12按步骤解题：步骤一：分子分母的极限都趋于零, 可以考虑洛必达法则步骤二：同时对分子分母进行求导，即lim t→1t3−t21−t12= limt→13t2−2t−12t11= −1123.limx→0+∫√x−t e t dt x√x3化简：考虑到分子是变上限积分的形式, 对它求导后可以去掉外面的积分号,而根式√x−t并不好直接变换, 可以考虑先进行换元.令x−t=u, 则t=x−u, dt=−du,故limx→0+∫√x−t e t dtx√x3=limx→0+e x∫√ue−u dux√x3=limx→0+∫√ue−u dux√x3按步骤解题：步骤一：满足分子分母的极限都趋于零,步骤二：limx→0+∫√ue−u dux√x3= limx→0+√xe−x32√x=23学指数型求极限方法1.原理：本质上是使用等价无穷小的代换，等价无穷小是指：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。
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接使用 。
￣
：
－
ｌ ｉ ｍ
，
例如 ： 求极限
法是错误的。 解： 曼 ＝
故极 限不存在 ， 这 样 的解
正 确 的解 法 ： ｜ ｉ ｍ． ｘ ＋ ｓ ｍｘ：ｌ ｉ ｍ（ １ ＋
） ＝ １ ＋ ０ ＝ １
２ ． 如果 对 于 ０ 。 。 未定式 ， 一 般 要 通 过 取 倒数 化 为 或 未定 式 ， 然后 利 用 洛 必 达 法 则求 极 限 。
Ｉ ｌ 。 。
［ １ ］ 刘金舜 ， 羿旭 明． 高等数 学［ Ｍ】 ． 武汉 ： 武汉大学出版社 ， ２ ０ ０ ５ ． ［ ２ 】 孙 清华 ， 郑小姣． 高等数 学ｆ Ｍ】 ． 武汉 ： 华中科技 大学 出版社 ，
２ ００ ４．
后利用洛必达法则求极 限。 例如 ： 求极 限 １ ｉ ｍ 。 ＋ ｘ
Ｉ － ∞
、
１
一
寺）
。
—ｌ ｘ ｎ ， ￣ ￣ － ＝ ｌ ｉ ｍ 解： ｌ ｉ ｍ （１
二 一 １
５ ． 也有一些极 限存在 ， 但不能使用洛必达法则求解 。 例如 ： 求极限 ｌ ｉ ａ— ｒ Ｘ ＋ Ｓ — ｌ Ｏ Ｘ
ｘ ｘ ＋ ｓ ｉ ｎ 解： ｌ ｉ ｍ
６ ． 洛必达法则与等价无穷小代换相结合求极限。
例如 ： 求极限 （ 一
ｌ ｉ ｍ（ １
一
）
里
ｌ
） ＝ ｌ ｉ ｍ ｔ ａ ｎ ｘ － ｘ：
１ ｌ ｉ ａ ｒ ｓ ｉ ｎ ｌ ｉ ｍ １
例如： 求极限 ｘ （ — ｝一 ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｘ ）
４ ・ 对于 ￣ ｏ －ｏ ｏ未定式 的极 限通过取倒数 ， 化 成 一 的形 式， 再通分化为 或 未定式 ， 然后求极限。 例如 ： 求极限 ｌ ｉ ｍ
１
用条件 以及应该注意 的一些 问题 。如果 在一个题 目中使用洛
必达法则之后 ， 发现 仍然 是未定式极限 ， 并且 满足洛必达法则 条件 ， 可以再次使用 洛必 达法 则。也就是说 ， 洛必达法则在一 个题 目里可以多次使用 。最后 ， 洛必 达法则是计算未定 式极 限 的重要方法 ， 但不是唯一 的。不能使用洛必达法则的极限不一 定就不存在 ， 可利用别的方法求极 限。本 文对洛必达法则求 未 定式极限的解 题技 巧总结如下 ： １ ． 如果对于满足洛必达法则条件的 或 未定式 ， 可直
一
一
１ ｉ ｍ １ 一 Ｃ Ｏ ｇ
—
解 ： （ 手 一 ａ ｎ ｘ ） 圭 － － ａ ｒ ｃ — ｔ ａ ｎ ｘ 一 ： 车
：
３ ｘ ￣ ． ｃ — ｏ ｓ Ｚ ｘ一 一 ３
＿ ｌ ＿ ｒ 。 ｘ — ｃ ｏ ｓ — ２ ｘ一 一 ３
本文 主要从 以上几个 方面探讨 了利用罗必塔法 则求 未定
式极 限的解题技巧 ，旨在 帮助学生在学习过程 中避免盲 目地 套用公式 ， 导致 出现解题错误 。
ｌ ｉ 十 １ ＋ｘ
：
‘
３ ． 对 于未定式 ０ ｏ ， １ ， ｏ 的极 限 ， 一 般 要 通 过 取 对 数 化 为
参考文献 ：
０ ・ 未定式来做 ， 再通过 ２中的方法 化成 或 未定式 ， 然
教 学实践
用洛必达法则求未定式极限的解题技巧
白云 霞 马 勇 乌 兰 李彩艳
（ 内蒙 古科 技 大 学包头 医学 院药 学院 ， 内蒙古 包头 ０ １ ４ ０ ４ ０ ）
摘
要： 本文总结了利用洛必达法则计算 未定式极 限应该 注意的一些 问题 和解题技巧。
关键词 ： 洛必达 法则 ； 极 限； 解题技
用洛必达法则求未定式极 限， 是微分学里 面的一 个重点 ， 也是一个难点 。如果只是肤浅地知道 这一法则 ， 盲 目地使用 ， 求 出的极限未必正确 。所 以使用洛必达法则 必须懂得它 的使
ｌ ｉ ｍ ４ ．！
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望 ．
一
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： பைடு நூலகம்
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参与课题 ： 参 与“ ２ ０ １ ３ — ２ ０ １ ４年度 内泉古 自治 区高等学校公共 课教 学改革科学研 究立项” 课题。 作者简介 ： 白云Ｉ Ｉ 【 （ １ ９ ８ １ 一 向： 概率论 与数理统计 。 ） ， 女， 山西原平 人 ， 硕士， 研 究方
・
１ １ ４・