人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程
人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2
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【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
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即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,
得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
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【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
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【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
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2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版2019年高中数学选修4-4教学案： 第二讲 第1节 第2课时 圆的参数方程_含答案
第2课时 圆的参数方程[核心必知]如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω，以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．(1)在t 时刻，M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．[问题思考]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即(x R )2＋(yR)2＝1，令⎩⎨⎧xR ＝cos θ，y R＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程是什么？提示：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ.(0≤θ<2π)点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M①当M 在x 轴上方时，∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ②当M 在x 轴下方时，∠MO ′x ＝－2φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos （－2φ），y ＝－r sin （－2φ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ③当M 在x 轴上时，对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数且－π2≤φ≤π2)(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，∴参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法．解答本题需设出PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，然后利用已知条件中的参数分别表示x ，y ，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状．设中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ.它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆．解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线．2．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ（cos θ＋sin θ），y 1＝sin θ（cos θ＋sin θ），(θ为参数) 即为所求的参数方程．已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上的动点，(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．(1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋π3)＋1∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1.即3x ＋y 的取值范围为[－1，3]． (2)∵x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0， ∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin (θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C ，求在曲线C 上到原点O 距离最小的点P 的坐标．解：∵OP 2＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋23sin θ＋2cos θ＝5＋4sin (θ＋π6)．当θ＝2k π＋43π，k ∈Z 时，OP 最小，此时点P 的坐标为(12，32)．高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、圆与圆的位置关系．本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题．[考题印证]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 和圆C 的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程．[解析] 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r ＝1，由直线l 的极坐标方程可知直线l 的方程为y ＝1，则根据图象可知直线l 和圆C 的交点为(－1，1)，(1，1)．答案：(－1，1)，(1，1)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2，0)．2．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但不过圆心解析：选D 圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，∴圆心坐标为(0，0)，半径r ＝2，点(0，0)到直线3x －4y －9＝0的距离为d ＝|－9|32＋42＝95<2，∴直线与圆相交，而(0，0)点不在直线上． 3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD.⎩⎨⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ解析：选C 设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ.P (x ，y )则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.∴该参数方程表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆． 答案：圆6．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)． ∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 答案：[1－2，1＋2]7．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．解析：由P 在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)．由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝|2cos （α＋π4）＋6|2，当cos (α＋π4)＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2. 答案：－1＋3 28．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心，由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1 ∴当sin (θ＋π4)＝1时t max ＝2＋1.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0，0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.。
人教版高中数学选修4-4课件 第2讲-2《圆锥曲线的参数方程》
＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
14
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的 轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2
2.双曲线的参数方程 普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
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已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sinctos t ，(t 为参数)，曲 线 C2：6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表 示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
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在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的 参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
(人教)高中数学选修4-4课件：第2讲参数方程4
•四、渐开线与摆线, F二二—卜1.掌握基圆与滚动圆的概念.亠—理鯉渐_旺线和摆线的概念,I ----------------------------------------- :L i.掌握渐开线和摆线的参数方程及应用.| [•_2—常一与方程二三角函数和圆锥曲线结合命题」预习学案启动思维•国际自盟场地自行车世界杯赛,于2010年1月22日在匕京开赛,有来自50多个国家（地区）自行车协会和商业队的400余人参加.如果在自行车的轮子上喷上白色印记,让它在笔直的道路上行驶.•这个白色印记会留下怎样的轨迹曲线？走进教材1.渐开线及其参数方程(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线, 相应的定圆叫做渐开线的基圆.(2)设基圆的半径为门圆的渐开线的参数方程为[x=r（cos（p-\-（psin（p）(卩是参数)y =厂（sin% —（pcos（p）2・摆线及其参数方程仃）当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上的定点运动的轨迹叫做半摆线,简称摆线，又叫做旋轮线.⑵设圆的半径为r,圆滚动的角为©那么摆线的参数方（°为参数）程是）=厂（1—cos。
）自主练习•1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（）•A.只有圆才有渐开线•B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形•C.正方形也可以有渐开线•D.对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画岀的渐开线形状就不同•解析:A・不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆,正方形也有渐开线• B两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的,因此得到的图形也不相同• C .同A项解析• D・对于同—个不论在什么地方建立平面直角坐标系,画出的图形大小和形状都是一样的,只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同•答案：C3cos0，2-圆仁圖 那么其横坐标可能是（A ・7T C ・6兀 解析： 根据条件可知圆的摆线的参数方程为所以(p = ^kjt(k Z).而 %— 3(p —3sin^9 — Z). （0为参数）的摆线上一点的纵坐标为0,B. 3兀D ・12pr=30 — 3sin0卜=3 — 3cos0 （°为参数），把y=0代入，得cos^=l,答案：C参数），则此渐开线对应的基圆的直径是 ____________ ;当参数0= 寸时，对应的曲线上的点的坐标为 ____________解析： 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看岀，基圆的半径为1,故直径为2.欲求当卩=扌时对 应的坐标只需把卩=扌代入曲线的参数方程，得％=¥+亨，y =¥—窖，由此可得对应的坐标为库+容，平―窖.3.已知圆的渐开线的参数方程是x=cosO+OsinO, y = sin0—OcosO(0为4•已知一个圆的摆线过一定点请与出该摆线的参数方程.解析：根据圆的摆线的参数方程的表达式x— Y sm(p[为参数河知，只需求出其中的厂，也)=/(]—COS 爭)就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出厂值再代入参数方程的表达式.令厂(1—COS0)= O 可得cos°=l,所以（p = 2kit伙WZ）代入可得 % = r（2kii—sin2Z：7i） = 1.所以rE又根据实际情况可知厂是圆的半径，故厂>0. 所以，应有P>0且胆乙即胆N+.1 兀=页（卩—sm°）,所以，所求摆线的参数方程是q 1 9为尸刼1—W）参数）（其中胆N+）・课堂讲义的距离.［思路点渐开线的参数方科紧公瓷-A, B 两点的距离 例已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应 的曲线上两点A, B对应的参数分别是号和娶，求4, B 两点间典例导航的渐开线参数方程［解题过程］由题意，知r=l,则圆的渐开线参数方程为f x=cos° + 0sin0(°为参数)y=s\n(p—(pcos(pc7t 7171 7tx=cos^+2 s i n 2 ~ 2?［规律方法］求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开线, 我们以基圆圆心O 为原点，一条直径所在直线为X 轴建立直角 坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到，圆 兀 71 兀 y=sin ㊁—㊁ cos ㊁( \• 兀•叫乞13K 3兀当(p=w 时， 2 ' 2 .3兀 3兀 ^=smy-y ：.B -y, -1 .：.\AB\=yj 3兀 3兀,3兀 37i x=cos 二-十：-・ sin"^~ •COS^-= — 1,2 + (1+ 1)2 = 2&2+1.兀 3兀的渐开线的参数方程为"厂cos°+0sin0为参数）.$=rsin^? 一（pcos（p［变式训练］1•给出某渐开线的参数方程开线的基圆半径是 ___________ ,且当参数（P 取号时对应的曲线上的 点的坐标是 __________ ・=3cosy + 3°sin°,y=3 sin(p —（卩为参数），根据参数方程可以看出该渐3解析：本题考查对渐开线参数方程的理解.根据一般情371把厂号分别代入无和y,可得胃亍即得对应的点的坐标.UV=3,答案:况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程 \x=厂（cos 爭 +（psin （p ）, 卜=（卩 为参数）进行对照可知，这里的r=3,即基半径是3•然后•例勿M 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请 写岀该圆的半径最大时该摆线的参数方程. •［思路点拨］的摆线方程［解题过程］令y=0,可得a(l—cos°) = 0, 由于a>0,所以cos°=l,所以(p—2k7t(k Z). 代入兀=a(0—sin°),得x=a(2kn—sin2kTt)(k G Z). 又因为x=2,所以a(2hr—sin2br)=2,解得a=£伙WZ). 又由实际可知a>0,所以a=右伙WN+), 易知当£=1时，。
高中数学 第二讲 参数方程 2-1-1 参数方程的概念与圆的参数方程课件 新人教A版选修4-4
5．(高考真题·安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度
x＝t＋1， 单位．已知直线l的参数方程是 y＝t－3 (t为参数)，圆C的极坐
标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. 14
B．2 14
C. 2
D．2 2
答案 D 解析 由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x －2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝ 2 ，故弦长＝2 r2－d2 ＝ 2 2.
题型二 直线的参数方程
例2 (高考真题·湖南)极坐标ρ＝cosθ和参数方程
x＝－1－t， y＝2＋t (t为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．圆、直线
【解析】 极坐标方程ρ＝cosθ化为普通方程为x2＋y2＝
x，x2＋y2＝x为圆的方程，参数方程
x＝－1－t， y＝2＋t
【解析】 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投 出机舱的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，
由于炸弹作平抛运动，依题意，得 xy＝ ＝120000t0，－12gt2，即xy＝ ＝120000t0，－5t2. 令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20(s)． 所以飞机投弹t s后炸弹的水平位移为100t m，离地面的高度 为(2 000－5t2)m，其中，0≤t≤20. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动， 以汽车为参考系．水平方向s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投 弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1 600(m)．
化为普通方程
为x＋y－1＝0，x＋y－1＝0为直线的方程，故选D.
高中数学选修4-4第二讲一第2课时圆的参数方程
第二讲 参数方程一、曲线的参数方程第2课时 圆的参数方程A 级 基础巩固 一、选择题1．已知圆P ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋10cos θ，y ＝－3＋10sin θ(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )A ．P (1，3)，r ＝10B ．P (1，3)，r ＝10C ．P (1，－3)，r ＝10D ．P (1，－3)，r ＝10解析：由圆P 的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r ＝10.答案：C2．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数) 解析：由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． 答案：D3．已知圆O 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，圆上点A 的坐标是(4，－33)，则参数θ＝( )A.7π6B.4π3C.11π6D.5π3解析：由题意⎩⎨⎧4＝2＋4cos θ，－33＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)， 所以⎩⎨⎧cos θ＝12，sin θ＝－32(0≤θ<2π)，解得θ＝5π3. 答案：D4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2. 答案：B5．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2. 所以直线与圆相交，但不过圆心．答案：D二、填空题6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2， y ＝4t 21＋t 2， 所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)． 答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)7．已知曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为P (x ，y )，定点为A ，则|PA |＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2＝ 9＋42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 故|PA |min ＝9－42＝22－1.答案：22－18．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．解析：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)消参可得 x 2＋(y ＋1)2＝1，利用圆心到直线的距离d ≤r 得|－1＋a |2≤1， 解得1－2≤a ≤1＋ 2.答案：x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]三、解答题9．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点．(1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解：方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan φ＝2确定)，所以1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立．因为－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1，所以当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．10．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.B 级 能力提升1．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(a －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34，φ为锐角， 所以最大值为36.答案：A2．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2sin θ，y ＝2cos θ(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x 轴交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：令y ＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π2或3π2，当θ＝π2时，x ＝－3＋2sin π2＝－1， 当θ＝3π2时，x ＝－3＋2sin 3π2＝－5， 故|AB |＝|－1＋5|＝4.答案：43．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎨⎧x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎨⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)。
2020-2021学年人教A版数学选修4-4课件：第二讲 一 第二课时 圆的参数方程
1．已知(x，y)在曲线 F(x，y)＝0 上，求 φ(x，y)的最值，常用曲线 F(x，y)＝0 的
的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻 ．
2．若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝rcos θ，
___y＝___rs_i_n_θ____(θ 为参数)．其中参数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点
O 逆 时针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度． 3．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程为__xy_＝＝__yx_00＋_＋_R_R_sc_ion_s_θθ_，____0_≤__θ_＜___2_π_.
用参数方程表示为xy＝＝23＋＋scions
θ， θ
(θ 为参数)，
由于点 P(x，y)在圆上，
∴可设点 P 为(3＋cos θ，2＋sin θ)，
(1)x2＋y2＝(3＋cos θ)2＋(2＋sin θ)2 ＝14＋4sin θ＋6cos θ ＝14＋2 13sin(θ＋φ)(其中 tan φ＝32)， ∴x2＋y2 的最大值为 14＋2 13，最小值为 14－2 13. (2)x＋y＝3＋cos θ＋2＋sin θ＝5＋ 2sin(θ＋π4)， ∴x＋y 的最大值为 5＋ 2，最小值为 5－ 2.
1．已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程． 解析：由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 得(x＋1)2＋(y－3)2＝1. 令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ， 所以参数方程为xy＝＝3－＋1s＋incθos θ ，(θ 为参数)．
探究二 与圆的参数方程有关的轨迹问题
θ， θ
(θ∈[0,2π))．故
人教版高中数学选修4-4第二讲第二节5圆的参数方程(共18张ppt)
思考：圆心为C（a,b),半径为r的圆的参数 方程是什么？
y b
v O
P r y
C
(x,y)
a
x
x
探究点1 圆的参数方程
圆心为C（a,b)， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
y b
v O
P(x,y) r y
C
a
x
∴该圆的圆心为(-1,3),半径为2. x 1 2 cos (θ为参数) ∴参数方程为 y 3 2 sin
练习：已知圆方程为 x2+y2=2x，写出它的参数方程.
x 1 cos 解： (为参数） y sin
比较圆的标准方程与参数方程，思考用参数 方程表达圆时有什么优点？
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线 的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参数. 2、求曲线的参数方程的步骤有哪些?
(1)建系；(2)设点;(3)选参;(4)列式;(5)证明.
x 2 cos (为参数) 2： y 2 sin _____________
x 5 cos 1 练习2 : 若圆的参数方程为 (为参数), y 5 sin 1 2+(y+1)2=25 ( x 1) 则其标准方程为_____________
答案： [1,3]
课堂训练
x 2 cos 1、P( x, y )是曲线 (为参数）上一点，则 y sin ( x 5) 2 ( y 4) 2的最大值为（ A ）
圆的参数方程j及应用课件--高中数学人教A版选修4-4第二讲
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x 2cos 6 3 cos , y 2sin sin
2
2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x
二、1. 圆圆心的为参原数点方半程径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义
是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的 角度
圆心为O1(a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程x yFra biblioteka b
r r
cos sin
(为
参
数)
y
P
b
ry
v
O
|102－＋0＋－11|2＝
1＝ 2
22，
所以点
P
到直线
l
距离的最大值为
2＋
2 2.
4．在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 x2＋y2－8xcos θ－6ysin θ＋ 7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为 P(x，y)，求 2x－y 的取值范围．
[解] 由题设得xy＝＝43csionsθθ，， (θ 为参数，θ∈R)．
[解] (1)曲线 C1 上的动点 M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原 点 O(0,0)，
设 P 的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得 x＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ， y＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以点 P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
人教新课标版数学高二选修4-4课件 第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程
答案
梳理 圆的参数方程
圆心和半径
圆的坐标方程
圆心O(0,0)，半径r
x2＋y2＝r2
圆心C(a，b)，半径r (x－a)2＋(y－b)2＝r2
圆的参数方程 x＝rcos θ y＝rsin θ (θ为参数) x＝rcos θ＋a y＝rsin θ＋b (θ为参数)
(1)求常数a的值；
解 将点M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
x＝1＋2t， y＝at2，
得－4＝3＝at21，＋2t，
消去参数t，解得a＝1.
解答
(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上.
解答
类型二 求曲线的参数方程 例2 如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A 分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
题型探究
类型一 参数方程及应用 例 1 已知曲线 C 的参数方程是xy＝＝32tt，2＋1 (t 为参数). (1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系； 解 把点M1的坐标(0,1)代入方程组， 得01＝ ＝32tt， 2＋1. 解得 t＝0. ∴点M1在曲线C上. 同理可知，点M2不在曲线C上.
(2)参数的意义 参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有 物理 意义或 几何 意义的变数， 也可以是 没有明显实际的意变义数. 特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方 程可以与普通方程进行互化.
知识点二 圆的参数方程
思考
如图，角θ的终边与单位圆交于一点P，P的坐标如何表示？
解析 圆心O′(1,0)，∴kO′P＝－1，即直线l的斜率为1. ∴直线l的方程为x－y－3＝0.
高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲 一 曲线的参数方程 2.圆的参数方程
曲线的参数方程
2．圆的参数方程
圆的参数方程
(1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
角函数定义，有 cos ωt＝
x r
，sin
ωt＝
y r
，即圆心在原点
O，
半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点
M(x，y)．则yx＝＝02＋＋2sc2ions
θ， θ，
即xy＝＝121s＋in12θco，s θ，
(θ 为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，12为半径 的圆.
圆的参数方程的应用
[例 2] 若 x，y 满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求 2x＋y 的最值． [思路点拨] (x－1)2＋(y＋2)2＝4 表示圆，可考虑利用圆的 参数方程将求 2x＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．
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x＝－1＋cos θ，
所以参数方程为
(θ 为参数)．
y＝3＋sin θ
x＝－1＋cos 答案：y＝3＋sin θ
θ， (θ
为参数)(答案不唯一)
5．已知点
P12，
23，Q
是圆xy＝＝scions
θ， θ (θ
为参数)
上的动点，则|PQ|的最大值是________．
解析：由题意，设点 Q(cos θ，sin θ)，
参数写出它的参数方程； (2)若点 P(x，y)在该圆上，求 x＋y 的最大值和最小
值．
解：(1)直角坐标方程为 x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
将方程配方为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
所以圆心为(2，2)，半径 r＝ 2，
x＝2＋ 2cos α，
故圆的参数方程为
(α 为参数)．
y＝2＋ 2sin α
失分警示：若没有此说明，则扣 1 分． d 取得最大值 2＋ 2.(10 分)
归纳升华 1．根据圆的参数方程可知圆 x2＋y2＝r2 上动点 M(x， y)可直接写成 M(rcos θ，rsin θ)，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上动点 M(x，y)可直接写成 M(a＋rcos θ，b＋rsin θ)，这 样就把与圆有关的解析几何问题转化为三角函数问题．
形；
(2)已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它
化为参数方程．
x＝1＋2cos t， 解：(1)由曲线的参数方程
y＝－2＋2sin t， x－1＝2cos t， 得 y＋2＝2sin t. 因为 cos2t＋sin2t＝1， 所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，
x＝－1＋cos θ，
所以参数方程为
(θ 为参数)．
y＝3＋sin θ
归纳升华 1．把圆的参数方程化为普通方程，就是将参数方程 中的参变量消去，常利用 sin2θ＋cos2θ＝1 进行消参，但 要注意消去参数时变量范围的一致性．
2．将一般方程标准化，引入参数，化为参数方程．将 参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范 围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围确定参数 f(t) 和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
则|PQ|＝
cos
θ－122＋sin
θ－
232＝
2－ 3sin θ－cos θ＝ 2－2sinθ＋π6
故|PQ|max＝ 2＋2＝2. 答案：2
类型 1 圆的参数方程与普通方程互化(自主研析)
[典例 1]
(1)
已
知曲线
的参数
方
程
x＝1＋2cos t， y＝－2＋2sin t
(0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为 ___xy_＝＝__yx_00＋＋__rr_sc_ion_s_θθ_，__(_θ_为__参__数__)_．__
温馨提示 圆的参数方程不唯一，选取的参数不同，
相应的参数方程也不同．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)圆
x2＋y2＝25
的参数方程是xy＝＝55csions
θ， θ (θ
为参
数)．( )
(2)圆(x＋6)2＋y2＝4
的参数方程是xy＝＝26s＋in2θcos
θ， (θ
为参数)．( )
(3)参数方程xy＝＝44scions
θθ，(θ∈[0，2π)与xy＝＝44scions
θ， θ
θ∈0，π2都表示同一圆．(
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
(2)x＋y＝2＋ 2cos α＋2＋ 2sin α＝4＋2sinα＋π4， 故 x＋y 的最大值是 6，最小值是 2.
1．圆的参数方程主要用于解决与圆有关的轨迹问题 与最值问题．
2．利用圆的参数方程求 x，y 代数式的取值范围问题， 常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域来求 解.
【学习力-学习方法】
联立方程组
(2 分)
x2＋（y－2）2＝4，
x＝－2， x＝0，
解得
或 (3 分)
y＝2
y＝4，
对应的极坐标分别为2
2，34π，4，π2.(5 分)
(2)设 P(2cos θ，2＋2sin θ)，(6 分)
|2cos θ－2sin θ＋2|
则 d＝
2
＝(7 分)
2
2cosθ＋π4＋1.(8 分)
当 cosθ＋π4＝1 时，
审题指导：(1)先将圆的参数方程化为普通方程，然 后和直线方程联立方程组，解得交点的直角坐标，再化为 直角坐标．
(2)利用点到直线的距离公式求出距离，然后利用三 角函数知识求最值或结合圆的性质求最值．
[规范解答] (1)直线 l：y＝x＋4，圆 C：x2＋(y－2)2
＝4，(1 分)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y＝x＋4，
数，
则点 P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．
由中点坐标公式可得
2cos θ＋6
2sin θ＋0
x＝ 2 ＝cos θ＋3，y＝ 2 ＝sin θ.
x＝cos θ＋3，
因此点 M 的轨迹的参数方程为
(θ 为
y＝sin θ
参数)．
归纳升华 当点 P 在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 上时，可设其坐标 为(x0＋rcos θ，y0＋ysin θ)然后找所求动点与点 P 的关系， 从而求得其参数方程．
圆的参数方程知 D 正确． 答案：D
3．参数方程x＝11－＋tt22，(t 为参数)，化为普通方程为 y＝1＋2tt2
() A．x2＋(y－1)2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．x2＋y2＝1
1－t2 1－x 解析：x＝1＋t2，1＋x＝t2
代入
y＝1＋2tt2，
2．利用圆的参数方程容易解决一些与圆有关的最值 和取值范围问题．
求最值问题时，利用圆的参数方程来将问题合理地转 化，常用的方法是建立代数与三角函数的联系，利用三角 函数的值域求解，解决此类问题还要注意数形结合思想的 应用．
[变式训练] 已知某圆的极坐标方程为 ρ2－4 2
ρcosθ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为直角坐标方程，并选择恰当的
所以 0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0. 所以所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2. (2)由 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0 得 (x＋1)2＋(y－3)2＝1， 令 x＋1＝cos θ，y－3＝sin θ，
)
(4)圆的参数方程为xy＝＝2－si2n＋θ2cos
θ， (θ
为参数)，则
圆心坐标为(－2，0)．( )
x＝5sin 解析：(1)参数方程
θ， 消参后得到
x2＋y2＝
y＝5cos θ
25 ， 可 以 表 示 圆 ， 不 过 此 时 参 数 θ 的 几 何 意 义 与
x＝5cos θ，
中 θ 的几何意义是不同的，但参数方程是正
(4)由圆的参数方程知圆心为(－2，0)，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆(x－1)2＋y2＝4 上的点可以表示为( ) A．(－1＋cos θ，sin θ) B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：由圆的方程知圆心为(1，0)，半径为 2，故由
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完 整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完 整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
解：(1)消去参数 t，得到圆的标准方程为(x－1)2＋(y
＋2)2＝9. 由 2ρsin(θ－π4)＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0. (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）