浅谈圆的辅助线作法4
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
圆辅助线作法汇总(值得一看)
辅助线是指在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段，是初中学生学习中很重要的一部分，也是各种考试的热点，下面就让我们看下与圆有关的辅助线的做法。
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆虽然是初中数学最熟悉的几何图形之一，但它有很多新的知识点，尤其有许多知识点都与前面的知识紧密联系着，解题时必须用到直线型中的定理、法则。
因此，解题时先要由条件对图形有比较好的认识，再联想相关知识，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一解决。
下面就让我们看看圆中常见的辅助线的作法：1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4.遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5.遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。
（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7.遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1. 有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P,且AC=BD。
求证：PO平分/ APD。
=> OE=OF ]/ OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF0OP=OP=> / OPE= / OPF => PO 平分/ APD分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD,进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。
证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F(=>(=AB CDAC=BD A C B D=> AB=CDOE丄AB, OF/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPDODP B图1-1证法2:连结OA, OD。
/ CAP= / BDP/ APC= / DPB => △ACP^A DBPAC=BD=>AP=DP、OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J2. 有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
圆中常用辅助线的作法
圆中常用辅助线的作法1．圆中作辅助线的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。
（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。
（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。
（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段。
（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。
（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。
（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。
（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。
3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。
4.当两圆相切，可作公切线或连心线说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。
说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。
5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。
说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
6．有半圆，可作整圆说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算,弦心距来中间站;圆上若有一切线,切点圆心半径连;要想证明是切线,半径垂线仔细辨;是直径,成半圆,想成直角径连弦;弧有中点圆心连,垂径定理要记全;圆周角边两条弦,直径和弦端点连;要想作个外接圆,各边作出中垂线;还要作个内切圆,内角平分线梦园;如果遇到相交圆,不要忘作公共弦;若是添上连心线,切点肯定在上面;二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径;作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量;2、常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点;作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角;2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角;作用：利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点;作用：利用圆周角的性质,可得到直径;4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形;5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径;2若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心即作半径,再证其与直线垂直;6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段;作用：利用内心的性质,可得：1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等;例题1、如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A=45°,BC=2,求⊙O的面积; 例题2、如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在弧AMB上,则∠C的度数是________.例题3、如图,AB是⊙O的直径,AB=4,弦BC=2,∠B=例题4、如图,AB、AC是⊙O的的两条弦,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,⊙O的半径是例题5、如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC⊥L于C,BD⊥L于D,且AC+BD=AB;求证：直线L与⊙O相切;例题6、如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB 上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为______________例题7、如图,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=例题8、如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB 于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．课后练习1、已知：P是⊙O外一点,PB,PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．2、如图,ΔABC中,∠C=90°,圆O分别与AC、BC相切于M、N,点O在AB上,如果AO=15㎝,BO=10㎝,求圆O的半径.3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.4、如图,学校A附近有一公路MN,一拖拉机从P点出发向PN方向行驶,已知∠NPA=30°,AP=160米,假使拖拉机行使时,A周围100米以内受到噪音影响,问：当拖拉机向PN方向行驶时,学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时,则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线;圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一,与圆有关的问题,汇集了初中几何的各种图形概念和性质,其知识面广,综合性强,随着新课程的实施,园的考察主要以填空题,选择题的形式出现,不会有比较繁杂的证明题,取而代之的是简单的计算;圆中常见的辅助线有：1作半径,利用同圆或等圆的半径相等； 2涉及弦的问题时,常作垂直于弦的直径弦心距,利用垂径定理进行计算和推理； 3作半径和弦心距,构造直角三角形利用勾股定理进行计算； 4 作直径构造直径所对的圆周角； 5 构造同弧或等弧所对的圆周角； 6遇到三角形的外心时,常连接外心与三角形的各个顶点； 7 已知圆的切线时,常连接圆心和切点半径； 8 证明直线和园相切时,有两种情况：1已知直线与圆有公共点时,连接圆心与公共点,证此半径与已知直线垂直 ,简称“有点连线证垂直,”2已知直线与圆无公共点时,过圆心作已知直线的垂线段,证它与半径相等,简称“无点做线证相等”此外,两解问题是圆中经常出现的问题,涉及弧,弦,与圆有关的角,点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系等知识,着重考察思维的完备性和严谨性,应特别引起重视。
解题技巧专题圆中辅助线的作法
解题技巧专题圆中辅助线的作法在解题过程中，我们经常会遇到一些问题，例如如何构造等腰三角形、正方形、平行四边形等几何图形，以及如何构造垂直线、角平分线、中位线等几何线段。
这些问题在解决数学问题时非常常见，而圆中辅助线的作法就是一种常用的解决这类问题的技巧。
圆中辅助线的作法是指在解决圆相关的问题时，通过添加一些辅助线来辅助解决问题。
这些辅助线可以增强我们对图形的理解，简化问题的分析过程，使问题更易于解决。
下面将介绍一些常见的圆中辅助线的作法：1.构造圆的切线如果需要构造一条圆的切线，可以先连接圆心与切点，然后再从切点向圆外引一条与半径垂直的线段，两条线段的交点就是切线的切点。
利用这条切线可以帮助我们解决一些关于切线的性质问题。
2.构造垂直线如果需要构造一条与圆上特定点垂直的直线，可以连接该点与圆心，并在圆上引一条经过该点的切线，然后从圆心引一条与切线垂直的线段，两条线段的交点就是所求直线与圆的交点。
利用这条直线可以帮助我们解决一些关于圆的性质问题。
3.构造角平分线如果需要构造一条角的平分线，可以先连接角的两个顶点与圆心，然后再从圆心引一条与角平分线相垂直的线段，两条线段的交点就是所求角的平分线与圆的交点。
利用这条角平分线可以帮助我们解决一些关于角平分线的性质问题。
4.构造中位线如果需要构造一条线段的中位线，可以将线段的两个端点连接到圆心，并在圆上引一条经过中点的切线，然后再从圆心引一条与切线垂直的线段，两条线段的交点就是所求线段的中点。
利用这条中位线可以帮助我们解决一些关于线段中点的性质问题。
5.构造等腰三角形如果需要构造一个等腰三角形，可以先在圆上确定一个顶点，然后连接圆心与该点，并延长线段到圆的另一侧，再将圆切割成两个等弧，然后以切割点为顶点连接圆心，就可以得到一个等腰三角形。
利用这个等腰三角形可以帮助我们解决一些关于等腰三角形的性质问题。
这些是一些常见的圆中辅助线的作法，通过添加这些辅助线，我们可以更好地理解和解决与圆相关的问题。
浅谈圆的辅助线作法4
浅谈圆的辅助线作法4
5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。
例7 如图7，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B
两点，过A 点作⊙O 2的切线交⊙O 1于点C ，
直线CB 交⊙O 2于点D ，DA 延长线交⊙O 1
于点E ，连结CE 。
求证 CA=CE 。
分析：欲证CA=CE ，考虑在三角形中证它
们所对的角相等，即∠E=∠CAE ，又由
∠DAF=∠CAE ，想到弦切角∠DAF 与所夹弧
对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦AB ，得∠E=∠DBA ，易证CA=CE 。
说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。
例8 如图8，在梯形ABCD 中，以两腰 AD 、BC 分别为直径的两个圆相交于M 、N 两点， 过M 、N 的直线与梯形上、下底交于E 、F 。
求证： MN ⊥AB 。
分析：因为MN 是公共弦，若作辅助线O 1O 2， 必有MN ⊥O 1O 2，再由O 1O 2是梯形的中位线，得O 1O 2//AB ，从而易证MN ⊥AB 。
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
C D
E M N G A B O 2 O 1
F 图 8 F E B C A O 1 O 2 . . 图 7 D。
例谈圆中常见作辅助线的方法
例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。
只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。
通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。
解：过点o作om⊥ac于m，∴am=md=ad/2=1.∵pq切⊙o于t，∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，∴∠otc=∠act=∠omc=90°，∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，∴在rt△aom中，.即⊙o的半径为2.例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.求证：ac=bd.证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de.∵ac=ae-ce，bd=be-de.∴ac=bd.二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.在rt△aho中，oh=6cm.∴ch=4cm，dh=16 cm.答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。
例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.求证：pb是⊙o的切线.证明：连接oa、ob.∵pa是⊙o的切线，∴∠oap=90°.∵oa=ob，ab⊥op，∴∠aop=∠bop.又∵oa=ob，op=op，∴△aop≌△bop.∴∠opb=∠oap=90°.∴pb是⊙o的切线.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例5：直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度ab的长是多少厘米？解：连接oa，作oc⊥ab于c，则ac=bc=ab.在rt△oac中，oa=×52=26厘米，oc=26-16=10厘米，∴ac=24厘米.∴ab=2ac=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形（在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明）例6：已知，如图6，在半径为4的⊙o中，ab，cd是两条直径，m为ob的中点，cm的延长线交⊙o于点e，且em>mc.连结de，de=. （1）求证：am·mb=em·mc；（2）求em的长；（3）求sin∠eob的值.解：（1）连接ac，eb，则∠cam=∠bem.又∠amc=∠emb，∴△amc∽△emb.∴，即am·mb=em·mc.（2）∵dc为⊙o的直径，∴∠dec=90°，ec=∵oa=ob=4，m为ob的中点，∴am=6，bm=2.设em=x，则cm=7-x. 代入（1），得6×2=x（7-x）.解得x1=3，x2=4.但em>mc，∴em=4. （3）由（2）知，oe=em=4，作ef⊥ob于f，则of=mf=ob=1. 在rt△eof中，∴sin∠eob=.例7：如图7所示，△abc是直角三角形，∠abc=90°，以ab为直径的⊙o交ac于点e，点d是bc边的中点，连结de.（1）求证：de与⊙o相切；（2）若⊙o的半径为，de=3，求ae.（1）证明：连结oe，be，∵ab是直径，∴be⊥ac.∵d是bc的中点，∴de=db，∴∠dbe=∠deb.又oe=ob，∴∠obe=∠oeb，∴∠dbe+∠obe=∠dbe+∠oeb.即∠abd=∠oed.又∵∠abc=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形（在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决）例8：如图8，点a、b、c在⊙o上（ac不过o点），若∠acb=60°，ab=6，求⊙o半径的长。
圆中常见的辅助线
圆中常见辅助线的做法1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
即：构造直角三角形作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3．遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5．遇到有切线时常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）即：连半径，得垂直。
作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
即：无端点，作垂直，证（与半径）相等作用：若OA=r，则l为切线。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）即：有端点，连半径，证垂直作用：只需证OA⊥l，则l为切线。
7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。
9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
圆的常用辅助线
圆中常见的辅助线的作法1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3．遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
作用：若OA=r，则l为切线。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。
（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。
9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。
作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
AB (BD ， (CD (D A 图 1AC(AC (BD (AB (CD(证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
浅谈圆的辅助线作法
浅谈圆的辅助线作法摘要：数学教学的重要目的在于培育学生的数学思维能力，而制造性是数学思维的最全然.最核心的智力品质。
在初中平面几何的教学中，要不断地利用教材特点，挖掘生活素材，适时地培育学生的制造性思维能力。
下面以如何作圆的辅助线的探讨与归纳予以说明。
关键词：圆 半径 直径 弦 弦心距在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上适合的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培育学生的制造性思维。
添加辅助线的方式有很多，本文只通过度析探讨归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定明白得决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且别离垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPFAB (BD ，(CD (D 图 1 AC (AC (BD (AB (CD(0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
圆中常用辅助线的做法
Hale Waihona Puke ∴BD=CD例3、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点， ∠A = 50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC 的度数。
解：连结 OB、 OC ，
∵ AB、AC是⊙O的切线 ∴ AB⊥OB， AC⊥OC， ∴∠ABO = ∠ACO = 90° 在四边形ABOC中，∠A = 50° ∴∠BOC = 360°- ∠A -∠ABO - ∠ACO = 360°- 50°- 90°-90° = 130° ∴ ∠BPC = = 65°
【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦 BC=2, C ∠B=
A O B
• 【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与 AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的 • 延 长线于D，求证：AC=CD．
• 例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为 ⊙ O 的切线，切点为 B ， OC 平行于弦 AD ， 求证：CD是⊙O的切线.
圆的常用辅助线及作法
•圆的常用辅助线作法的“数学歌诀” 弦与弦心距，亲密紧相连。 中点与圆心，连线要领先。 两个相交圆，不离公共弦。 两个相切圆，常作公切线。 圆与圆之间，注意连心线。 遇直径想直角，遇切点作半径。
例1、如图，已知，在以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC =BD。
证明：过O作OE ⊥ AB， 垂足为E。 由垂径 定理得： AE = EB， CE = DE ∴ AE - CE = BE - DE 即：AC = BD
E
例：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长 BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为 什么？ A 解：连接AD ∵AB是⊙ O的直径 分析：由于 AB是⊙ O的直径， 故连接AD。由直径所对的圆 O ∴∠ADB=90° 周角是直角，可得 AD⊥BC. 又因为△ ABC中，AC=AB， 即AD⊥BC 所以由等腰三角形的三线合 又∵AC=AB 一，可证得 BD=CD。
圆中常见辅助线
圆中常见辅助线得做法一．遇到弦时(解决有关弦得问题时）1、常常添加弦心距,或作垂直于弦得半径（或直径）或再连结过弦得端点得半径。
作用:①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对得弧、弦与弦心距之间得关系；③利用弦得一半、弦心距与半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
例:如图，在以Ｏ为圆心得两个同心圆中,大圆得弦AB交小圆于Ｃ、Ｄ二点、求证：AC= BD 证明：过O作OE⊥AB于E∵Ｏ为圆心,OE⊥AB∴AＥ = BE CE ＝ DＥ∴AC = BD练习：如图，AB为⊙O得弦，P就是AB上得一点，AB = 10cm,PＡ= 4cm、求⊙Ｏ得半径、２、有等弧或证弧等时常连等弧所对得弦或作等弧所对得圆心角、例:如图，已知AＢ就是⊙O得直径，M、N分别就是AO、ＢO得中点，CM ⊥AB,ＤN⊥AＢ，求证：证明：(一）连结OC、OD∵Ｍ、N分别就是AO、ＢO得中点∴ＯM = AＯ、ON ＝BO∵ＯA = OB ∴OM ＝ ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OＣ = OD∴Rt△≌Rt△DOＮ∴∠COA ＝∠ＤOＢ∴(二)连结AC、ＯC、OＤ、BＤ∵M、N分别就是AO、BO得中点∴AC = OC BＤ＝ OＤ∵ＯC = ＯＤ∴ＡC = ＢD ∴3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别就是⊙O 得弦AB、CＤ得中点,AB ＝ CＤ,求证：∠ＡMN = ∠ＣNＭ证明：连结OM、ON∵O为圆心,M、N分别就是弦ＡB、CD得中点∴OM⊥ＡB ON⊥CＤ∵AＢ＝ CD ∴ＯＭ = OＮ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN ＝ 9０o－∠ＯMN∠CＮM = 90o－∠OＮM∴∠ＡMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距、例：如图,已知⊙O 1与⊙O 2为等圆,P 为O 1、O 2得中点,过P 得直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、Ｂ、求证：AC ＝ B Ｄ证明：过O 1作Ｏ1M ⊥AB 于M ，过O 2作O ２N ⊥AB 于N,则O 1Ｍ∥O 2Ｎ∴∵O 1P = O 2P ∴O 1M = Ｏ2N ∴A Ｃ = ＢD二、有弧中点(或证明就是弧中点）时,常有以下几种引辅助线得方法：⑴连结过弧中点得半径 ⑵连结等弧所对得弦 ⑶连结等弧所对得圆心角例:如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 得中点，C 为弧A Ｂ得中点，求证:CD ＝ CE证明：连结OC∵C 为弧AB 得中点 ∴∴∠AOC =∠BOC∵D 、Ｅ分别为OA 、OB 得中点，且AO = BO ∴OD = O Ｅ = ＡO = BO 又∵OC = OC∴△OD Ｃ≌△ＯＥC∴ＣD = C Ｅ三.有直径时常作直径所对得圆周角，再利用直径所对得圆周角为直角证题、例：如图,AB 为⊙O 得直径，ＡＣ为弦，Ｐ为A Ｃ延长线上一点，且ＡC ＝ PC ，PB 得延长线交⊙Ｏ于D ，求证：AC ＝ DC 证明:连结AD∵ＡＢ为⊙O 得直径∴∠A ＤP = 9０o∵ＡC = PC ∴ＡＣ = CD =AP 例（2005年自贡市）如图２,P 就是⊙O 得弦CB 延长线上一点,点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C .求证：P Ａ就是⊙O 得切线。
圆添加辅助线的方法与技巧
圆添加辅助线的方法与技巧哎呀，今天咱们聊聊圆，圆这个家伙，看似简单，其实里面的门道可不少。
说到圆，大家脑海里是不是浮现出那优美的曲线，像个大饼、又像个球，真是惹人爱呢。
不过，要想把圆弄得更漂亮、更有意思，咱们就得动动脑筋，添加一些辅助线，嘿，这可不是随便画几条线那么简单哦。
咱们得理解什么叫辅助线。
这可不是随便画的线，而是要起到帮助我们理解、分析的作用。
比如，咱们在画一个圆的时候，加几条径向线，这样一来，圆的每个部分都能清晰可见，真是方便极了。
就像开车时要有导航，不然你可真是迷了路。
这样的辅助线还能够帮助我们分清圆的各个部分，比如直径、弧长之类的，哎呀，这可不是小事，做数学题可全靠这些呢。
然后说到如何添加辅助线，其实方法多着呢。
比如说，可以从圆心向外画几条线，这样就能把圆分成若干个扇形，像个美味的披萨，让人一看就想吃。
这样的做法可真是让人眼前一亮。
再比如，咱们可以画出直径，直径可是圆中最重要的线之一，能够告诉我们圆的大小。
这条线也方便我们后续的计算，比如圆的面积、周长，嘿，真是一箭双雕呀。
还有一种常见的辅助线是切线。
这可是一个非常有意思的概念，切线就像是在圆边上轻轻一碰，接触的那一瞬间，哇，简直太完美了。
想象一下，一辆车刚好驶过圆的边缘，不留痕迹，恰到好处，这样的画面是不是美得不要不要的呢。
通过添加切线，咱们能更好地理解圆的性质，像是给自己的知识加了一把钥匙，打开了新世界的大门。
哎，我忍不住想起了生活中的一些例子。
就像咱们做菜，添加调料的时候，如果只是一味的撒盐，味道可能就很单调。
可如果你把盐、酱油、花椒粉统统加上，哇塞，味道就丰富多了，口感层次分明，简直让人欲罢不能。
圆也是这个道理，辅助线就像是调料，添加进去，立马让原本简单的圆生动起来。
咱们还可以通过对称性来添加辅助线。
就像是把圆对折，能够形成对称的两个部分，这样不仅让圆看起来更有美感，也方便我们在解题时找到关键点。
生活中很多事物也是这样的，像情侣间的默契，总是能在关键时刻彼此呼应，简直让人羡慕。
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浅谈圆的辅助线作法
4 5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。
例7 如图7，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B
两点，过A 点作⊙O 2的切线交⊙O 1于点C ，
直线CB 交⊙O 2于点D ，DA 延长线交⊙O 1
于点E ，连结CE 。
求证CA=CE 。
分析：欲证CA=CE ，考虑在三角形中证它们所对的角相等，即∠E=∠CAE ，又由
∠DAF=∠CAE ，想到弦切角∠DAF 与所夹弧
对的圆周角相等，故需作辅助线：公共弦AB ，得∠E=∠DBA ，易证CA=CE 。
说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。
例8如图8，在梯形ABCD 中，以两腰
AD 、BC 分别为直径的两个圆相交于M 、N 两点，
过M 、N 的直线与梯形上、下底交于E 、F 。
求证：MN ⊥AB 。
分析：因为MN 是公共弦，若作辅助线O 1O 2，必有MN ⊥O 1O 2，再由O 1O 2是梯形的中位线，得O 1O 2//AB ，从而易证MN ⊥AB 。
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
C D E M N G
A B O 2O 1 F 图8
F E B
C A O 1O 2.
. 图7 D。