测控系统仿真技术3

3.2.3 控制系统的稳定性分析 1. 稳定的基本概念
系统是否稳定是决定系统能否正常工作的前提条 件，系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程性 质上。 若系统受到扰动偏离原来的平衡状态后，去掉 扰动量，系统能够按照一定精度恢复到原始状态， 这样的系统我们称之为稳定的系统。反之，如果去 掉扰动，系统不能回到原始状态，或者偏离量随时
对于单位反馈系统来讲，稳态误差系数与开环传递函数中的 积分环节数有直接的关系。 对于稳定的系统，静态误差系数反映了系统限制或消除稳态 误差的能力，系数越大，稳态误差越小；系统的类型号越高 ，则限制或消除稳态误差的能力越强。
3. 关于稳态误差计算时的几点说明
（1）只有稳定的系统才能计算其稳态误差，否则无意义，如 果系统的稳定性事先没有确定，要按照稳定的条件和判断方 法确定系统是稳定的，然后才能计算稳态误差。 （2）前面的分析和计算公式的推导是在输入信号作用下，单 位负反馈系统的稳态误差处理，如果是非单位反馈系统，应 该将其转换为单位反馈，再利用公式处理。 （3）公式中的K值，是根据式（3-19）所表示的系统开环
如果系统的数学模型可采用二阶微分方程来描述，则 该系统称为二阶系统。 二阶系统的传递函数为：
n C ( s) k ( s) 2 2 2 R( s) T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
2
T为时间常数， 为阻尼比， 率。
n
2
1 T
为无阻尼自然振荡频
4. 脉冲函数信号
脉冲函数信号也称为冲击函数信号，单位脉冲函数信号 为数学上的一种抽象，在实际系统中难以产生。 5. 正弦函数信号 正弦函数信号是在频率法中采用的外作用信号，用正 弦函数作为系统的外作用信号，可以求得系统对不同频 率的正弦输入信号的稳态响应，称之为频率响应。
3.1.3
典型信号的响应 对于一个控制系统来讲，设其各变量的初始 状态为零，在输入典型外作用信号时，系统的输 出称为典型信号的响应。
即：
G(s)
10 5 s 2 0.5s 1
；放大系数K=5，时间常数T=0.5
按公式可得加入放大器后系统的单位阶跃响应表达式为：
c(t ) k (1 e

t T
) 5(1 e 2t )
（2）计算系统的过渡过程调节时间 取5%的误差带：ts=3T=3×0.5=1.5（秒）
3.2.4 系统的稳态误差分析
前面所讨论的系统过渡过程表征了系统的动态性能， 这是控制系统的重要特征之一。控制系统的另一个特 征是稳态性能，对于稳定的系统，它的稳态性能一般 是根据系统在阶跃函数、斜坡函数、加速度函数等输 入信号作用下引起的稳态误差来衡量。
1. 稳态误差的概念
我们将稳定系统误差的终值称为系统的稳态误差，记为：
G(s) C (s) 1 R( s) Ts 1
dt
T为系统的时间常数，下面讨论在系统初始条件为零时，一阶 系统对典型输入信号的响应。
一阶系统的单位阶跃响应分析
对一阶系统输入单位阶跃函数信号：
r (t ) 1 (t )
其拉氏变换为：
R( s)
1 S
1 1 1 T 系统的输出响应： C ( s) R( s) G ( s) s Ts 1 s Ts 1
常称之为调节时间。
一般有：ts=3T （对应5%的误差带） ts =4T （对应2%的误差带） 从上式中可以看出，系统的时间常数越小，调节时间就越小， 系统响应的过渡过程时间就越短，响应过程的快速性就越 好。
【例3.1】已知一阶系统的传递函数为
10 G( s) s2
求其单位阶跃响应表达式，计算系统的过渡过程调节时间，分 析系统的性能特点。 解：（1）将一阶系统的传递函数化为标准式并找出系统的特 征参数
取2%的误差带：ts=4T=4×0.5=2（秒）
（3）从上述计算结果分析该系统的性能特点
该系统中加入了1个放大器，系统的单位阶跃响
应是一条从零开始，按指数规律变化，最终稳态
值为5的非周期性曲线，动态过程无振荡；由于
时间常数为0.5，使得调节时间稍长，快速性较差； 系统的稳态误差为零。
3.2.2 二阶系统的时域响应
2．二阶系统的性能指标计算及其参数对应 关系
C(t) σ 1 0.9 td 0.5 0.1 0 tr tp t ts
%
通常，在欠阻尼状态下，如上图所示，描 述系统的动态性能指标有以下5个方面：
（1）延迟时间：d t
1 0.7
n
这是系统的单位阶跃响应到达其稳态 值的50%所需的时间。增大自然频率或 是减少阻尼比，都可以使系统响应的延 迟时间减少，从而使响应的初始段时间 短，跟踪迅速。
ess lim e(t )
t
系统的稳态误差取决于系统的结构（包括系统的类 型及参数）和外部输入信号的性质。
2. 稳态误差的计算
我们采用静态误差系数法来分析讨论系统稳态误差的计算 ，这是给定稳态误差终值的一种计算方法。
在典型输入信号作用下的稳态误差与系统 型号、静态误差系数的对应关系参见表3-4。
将上式进行拉氏反变换，可以得到系统输出的过渡过程表达式：
c(t ) 1 e

t T
Css Ctt
在单位阶跃输入信号作用下，一阶系统的输出量随时间变化 的规律是单调上升的指数曲线，响应的最终值为1，时间常数T是 描述响应速度的唯一参数，Ｔ越小，暂态过程进行得越快，即速 度越快。
结论：一阶系统的阶跃响应曲线是一个单调的非周期响应， 没有超调量，系统过渡过程的快慢是其主要性能指标，通
（2）上升时间： 其中，
tr d
arccos
这是系统的响应从其稳态值的10%上升到 90%所需的时间。表征了系统的响应速度， 上升时间越小，响应越快。当阻尼比不变时， 角就不变，则增大自然频率会使上升时间缩 短，可加快系统的响应速度；当阻尼振荡频 率不变时，阻尼比越小，上升时间就越短。
3.1.1 概述 系统的响应是指在给定信号作用下，系统的输出信号随时间 变化的状况，也是系统微分方程的解。我们将系统在稳定之前 的响应称为暂态响应，它提供系统在过渡过程中各项动态性能 指标；系统到达稳态后的响应称为稳态响应，它反映出系统的 稳态性能指标，也即系统稳态误差的大小。 为了便于研究和分析控制系统，通常选用几种确定的函数来 作为典型的外部输入信号，其具备的基本特点是：
s1, 2 n j n 1 2 j d
n 是特征根实部的模值；称为阻尼振荡角频率，
对二阶系统输入单位阶跃函数信号：r (t )
1 (t )
1 R 拉氏变换为： ( s ) S
系统的输出响应为：
n 1 C ( s ) R( s ) ( s ) 2 s s 2 n s n 2
2
s n n 1 2 2 2 s ( s n ) 2 d ( s n ) d
将上式进行拉氏反变换，可以得到系统输出的过渡过程表达式：
c(t ) 1 e
nt
[cos d t

1 2
sin d t ]
这就是二阶系统在欠阻尼状态下单位阶跃响应的过渡过程。
响应状态 欠阻尼状态 临界阻尼状态 过阻尼状态 零阻尼状态
特征根形式 实部为负的共轭复根 相等的负实根 两个不相等的负实根 一对纯虚根
响应特点 衰减的振荡特性 非周期响应，无振荡 非周期响应，无振荡 持续的等幅振荡
0＜ ＜1
=1 ＞1 =0
1. 二阶系统的单位阶跃响应分析
下面重点分析在欠阻尼状态下的二阶系统的单位阶跃响应。 由于欠阻尼状态下，阻尼比取值为0＜ ＜1，此时系统的特征 根为一对实部为负的共轭复根，可变为：
3. 劳斯稳定判据 英国人E.J.劳斯提出一种代数判据，它是根据系统 特征方程式的系数来直接判断特征根的实数部分的 符号，从而决定系统的稳定性。
劳斯稳定判据为：控制系统稳定的充要条件是劳 斯阵列表中第一列所有元素的计算值均大于零。 检查劳斯阵列表中第一列所有元素的符号：
若第一列各元素均为正值，说明特征根具备负的 实数部分，即所有闭环极点都在[S]平面的左半部分， 系统是稳定的； 如果第一列元素值出现负号，则系统不稳定， 符号改变的次数等于特征右根的个数。
传递函数得到的，如果给定的系统传递函数表达式不是标准
式，则应先将其转换为式（3-19）所示的形式。
4. 减少稳态误差的措施 （1）组成控制系统的元器件参数应具备相应的精 度和稳定性。 （2）提高系统的开环放大倍数可以降低系统的稳 态误差，通常是在系统的前向通道中串联放大环 节。但是，单纯提高K值会使系统的稳定性变坏， 造成系统不稳定，解决的办法是可以进行相应的 校正，如引入局部速度负反馈等。 （3）提高系统的型号，可以增强系统跟随输入信 号的能力，通常是在系统的前向通道中串联积分 环节。但是，积分环节增加以后，会改变闭环系 统的传递函数极点，将使系统稳定性下降。
（3）峰值时间：
tp d
这是指系统响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。 其值与阻尼振荡频率成反比。 （4）超调量：
% e

1 2
这是系统响应在过渡过程中，输出量的最大值与稳态值之 间的偏差。超调量只是阻尼比的函数，阻尼比越大，超 调量越小，系统的动态响应越平稳。
（5）调节时间：
间增长而增加，则称之为不稳定数具有相同的符号， 且均不为零，也即特征方程不缺项。 控制系统稳定的充要条件是： ——特征根均为负实数或者具有负的实数 部分；或者说特征方程所有根均在根平 面的左半部分；也可以说系统闭环传递 函数的所有极点均位于[S]平面的左半部 分。
2
二阶系统的闭环特征方程为
方程的特征根为：
s 2 n s n 0
s1, 2 n n 2 1