函数的概念(第二课时)
新课程《3.1 函数的概念及其表示》教学设计(2课时)
3.1.1 函数的概念1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;2.用集合与对应的思想理解函数的概念;3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;4.会求函数的定义域。
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：函数的概念及符号()y f x =的理解。
一、函数的概念：设A 、B 是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：y=f(x) x ∈A ．x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x ∈A }叫做函数的 . 二、区间三、函数的三要素： 、 、 。
四、判断函数相等的方法： 、 。
一、复习回顾，温故知新1. 初中学习的函数的定义是什么？定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [a,b] {|}x a x b << 开区间 (a,b) {|}x a x b ≤<半开半闭区间 [a,b){|}x a x b <≤ 半开半闭区间 (a,b] {|}x x a ≥ {|}x x a > {|}x x b < {|}x x b ≤2.回顾初中学过哪些函数？二、探索新知探究一函数的概念问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。
这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。
1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。
如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
1.2.1函数的概念(2)
x2 1 A、f ( x) 与g ( x) x 1 x 1
B、f ( x) 2 x 3 与g ( x) x 2 x C、f ( x) x与g ( x) ( x ) 2 D、f ( x) x 2 2 x 1与g (t ) t 2 2t 1
练习 、函数f ( x) 1
( x 1) 0 x x
的定义域为 C ) (
x A、 | x 0
B、x | x 1} { D、x | x 0} {
C、x | x 0, 且x 1} {
1 练习2、已知f ( x) , 则函数f f ( x)的定义域为( C ) x 1 A、 | x 1} {x B、 | x -2} {x C、 | x 1, 且x -2} {x D、 | x 1, 或x -2} {x
5 例3、函数 y 2 的值域为( D ) 2x 4x 3 A、 (-∞,5］ B、 (0,+ ∞)
C、［5,+ ∞)
D、(0,5]
练习、函数 y 4 3 2 x x 2 的值域为( C ) A、(-∞,2］ C、［2,4］ B、(-∞ ,4］ D、［2, +∞)
例4、求函数 y x 2x 1 的值域
已知复合函数定义域求原函数定义域 已知f[g(x)]的定义域为D，则f(x)的定义域为 g(x)在D上值域。 例如、若函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则 y=f(2x-1)的定义域是（ A ）。
A、[0，5/2]
C、[-5，5]
B、[-1，4]
D、[-3，7]
三、函数的值域
函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
函数的概念第二课时课件
4
(3)设f（x）的定义域是[3, 2 ],
求函数f ( x 2)的定义域。
函数的概念第二课时
10
练习3
=
解:
f
(
3 4
)
2(
3 4
)
2
1 2
，
f
[
f
(
3 4
)]
f
(
1 2
)
1 2
1 2
1 4
，
f
(
1 4
)
2(
1 4
)
2
3 2
，
[1，0) (0函，数2的）概念第二[课2时， ) .
11
练习例4 :当k为何值时,函数y
函数的概念第二课时
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例5、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a 在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
②已知y=f(x)= x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，
求函数的最大值函数g（t）和最小值函 数h（t）。
函数的概念第二课时
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三、小结：
1．函数的定义：区间的概念 2、函数的值： 3、函数的三要素判断同一函数： 4、求定义域:二种类型 5．求值域：
y
kx 7 kx2 4kx
的定义域是一切实数 3
函数的概念第二课时
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5、求值域：
例4、求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x≤1)
②f (x) 2 4 x
③y x
x 1
④y x2 4x 1, x [0,5] ⑤y 2x 4 1 x ；
(6)y＝|x－1|＋|x＋4|；
kx 7 kx2 4kx
函数的概念(第2课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在此过程中培养学生的逻辑推理、数据分析、数学运算的素养。
难点：进一步理解函数的对应关系f，体会函数相等的概念。
学生在第一课时已经学习过函数的概念，并对函数的概念有了深刻的理解。
在此基础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等，求函数的定义域及值域相对好理解，但是抽象函数的定义域对学生是一个考验。
注意：1、区间是集合的另一种表示形
式，注意与不等式的区别。
如：x ≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的 2、写区间的端点时，一定注意书写准确
根据具体实例结合数形结合让学
生加深对区间的
理解，使实例成
为理解概念的一
种思维载体。
【练一练】 (1)用区间表示{x |x ≥0且x ≠2}注意区间左端点
【例1】 把下列数集用区间表示： (1){x |x ≥－1}； (2){x |x <0}；
(3){x |－1<x <1}； (4){x |0<x <1或2≤x ≤4}.
；
量的值求对应的
函数值，提高学
生数学运算的核
心素养，为求函
数的值域打好基．
础。
通过函数的定义，学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养。
通过具体的例子，使学生掌握同一函数的判断方法.
通过课堂练习，巩固本节学习的内容。
新湘教版必修1高中数学 第二课时 函数的概念
1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数第二课时函数的概念在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：(1)某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表：(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图．①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②在什么时刻，气温为0℃？③在什么时段内，气温在0℃以上？如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？1．函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．2．函数的定义域、值域在函数的定义中，集合A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的像，记作y＝f(x)，由所有x∈A的像组成的集合叫作函数的值域．3．函数的三要素为定义域，对应法则，值域．举出几个有关函数的例子，并用定义加以描述，指出函数的定义域和值域．[提示](1)下表记录了几个不同气压下水的沸点.，值域是{81,100,121,152,179}．(2)如图是匀速直线运动路程s随时间变化的函数关系图，它的定义域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．[例1](1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路点拨]可根据函数的定义直接判断．[解](1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且x不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )解析：选D A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．2．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1 B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．求： (1)f (0)及f ⎝⎛⎭⎫ f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)f (1－x )及f (f (x ))．[思路点拨] 将f (x )中的x 分别赋值或式子，代入1－x1＋x 中化简即得．[解] (1)f (0)＝1－01＋0＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－121＋12＝13， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫13＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－(1－x )1＋(1－x )＝x2－x (x ≠2)．f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝x (x ≠－1).3．已知函数f (x )＝x 2－2x ，求： (1)f (－2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x (x ≠0)； (3)若f (x )＝3，求x 的值． 解：(1)f (－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8. (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1x＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x －2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1x －1＝1x2－1(x ≠0)． (3)若f (x )＝3，则x 2－2x ＝3，x ＝－1或x ＝3.1．若f (x )＝1x 的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N ＝( ) A ．M B ．N C ．∁R MD ．∁R N解析：选A M ＝{x |x >0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M . 2．下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：选B 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确． 3．下列各对函数中，图象完全相同的是( ) A ．y ＝x 与y ＝(3|x |)3 B ．y ＝(x )2与y ＝|x | C ．y ＝xx 与y ＝x 0D ．y ＝x ＋1x 2－1与y ＝1x －1解析：选C 若函数的图象相同，则是相同的函数．对于A ，y ＝(3|x |)3＝|x |，所以对应关系不同；对于B ，y ＝(x )2＝x (x ≥0)，所以两函数定义域与对应关系均不同；对于C ，y ＝xx ＝1(x ≠0)，而y ＝x 0＝1(x ≠0)，定义域与对应关系均相同，是相同的函数；对于D ，y ＝x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，其中x 2≠1，即x ≠±1，而y ＝1x －1中x ≠1，定义域不同，不是相同函数．4．已知f (x )＝11＋x，g (x )＝x 2＋2，则f (2)＝________，f [g (2)]＝________. 解析：f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6， ∴f [g (2)]＝f (6)＝11＋6＝17.答案：13 175．已知函数f (x )＝x 2－x ，若f (a )＝2，则a 的值是________． 解析：f (a )＝(a )2－a ＝2.即(a －2)(a ＋1)＝0，a ＝4. 答案：4通过这节课的学习，你对函数符号“y ＝f (x )”有了哪些新的认识？对应关系f 是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系所施加的对象；f 是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”．f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，表示的是变量．虽然f (x )＝x 2和f (x －1)＝x 2等号右边的表达式都是x 2，但是，由于f 施加的对象不同(一个为x ，而另一个为x －1)，因此两个函数的解析式是不同的．一、选择题1．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )解析：选D 由函数的定义可以判断只有D 正确．2．函数f (x )定义在区间[－2,3]上，则y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：选B ∵2∈[－2,3]，由函数的定义可知，y ＝f (x )的图象与x ＝2只能有一个交点． 3．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 对选项C ，当x ＝4时，y ＝83>2不合题意，故选C.4．下列说法错误的是( )A ．函数定义域中的任一元素在其值域中都有它的对应B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 解析：∵f (x )＝x 2＋|x －2|， ∴f (1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2. 答案：26．若f (2x )＝x 3，则f (1)＝________. 解析：令2x ＝1，则x ＝12，∴f (1)＝(12)3＝18.答案：18三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2＋x －1，求： (1)f (2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1；(3)若f (x )＝5，求x 的值． 解：(1)f (2)＝4＋2－1＝5. (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12＋⎝⎛⎭⎫1x ＋1－1 ＝1x 2＋3x＋1. (3)f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3. 8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019的值． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。
《函数的概念》第二课时参考课件全文
f(2)+f(-2)=2828=0
2．已知函数f(x)=3x3+2x, (1) 求f(2)、f(-2)、f(2)+f(-2)的值； (2) 求f(a)、f(-a)、f(a)+f(-a)的值； (3) 你从（2）中发现了什么结论？
(1) y=( x)2 (3) y= x2
(2) y=3 x
(4)
y=
x32 x
解： 函数y=x(x∈R)。 Nhomakorabea(4) 函数
y=
x2 x
=x(x≠0)
这两个函数的对应关系相同，但定义域不相同， 所以这两个函数不相等。
1．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由： (1) 表示导弹飞行高度h与时间t关系的函数
(2) 使根式 1有-x意义的实数集合为{x|x≤1}；
使根式 有x+意3义的实数集合为{x|x≥-3}；
所以定义域为：[-3，1]。
2．已知函数f(x)=3x3+2x, (1) 求f(2)、f(-2)、f(2)+f(-2)的值； (2) 求f(a)、f(-a)、f(a)+f(-a)的值； (3) 你从（2）中发现了什么结论？
这两个函数的对应关系相同，但定义域不相同， 所以这两个函数不相等。
例2：下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
(1) y=( x)2 (3) y= x2
(2) y=3 x
(4)
y=
x32 x
解： 函数y=x(x∈R)。
(2) 函数 y=3 x =x(x∈R) 3
这两个函数的对应关系相同，定义域也相同， 所以这个函数与函数y=x(x∈R)相等。
高中数学 1.2.1函数的概念(第2课时)课件 新人教A版必
前后整体范围一致
f (x 1)的定义域为 (0,2]
定义域就是指x的取值范围
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, ) 求f ( x )的定义域
2
f ( x )的定义域为[2,) 2
本课小结
• 复习并巩固了函数的概念
下列函数的定义域。
(1) f (2x 1) (2) f (1 x) f (x)
(1)[1,0] (2)[0,1]
可简要概括为：
１.定义域仅指x的取值；
２.对同一对应法则括号里的
整体范围一致
题型二：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f (x 1)的定义域为[1,1],
求f ( x )的定义域 2
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
解：f (2x 1)中0 x 1
定义域就是指x的取值范围
1 2x 11
f (x 1)中1 x 1 1 0 x 2
练：已知f ( x 3)的定义域为[4,9], 求函数f (x)的定义域。
f (x)的定义域为：[1,0]
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, )
函数的概念
高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念第2课时函数的定义域与值域教案数学教案
第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：12对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析： 要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．[例1] 下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3；(2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．(2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x. 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下，f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]．解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}． (2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6， 又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}．(2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同．[典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112.。
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的最大值、最小值)
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
B．0，2 D．12，2
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第三章 函数的概念与性质
函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
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第三章 函数的概念与性质
解析：选 A.结合函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有 最大值无最小值．
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第三章 函数的概念与性质
图象法求最值的一般步骤
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 函数的概念与性质
1．函数 f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选 C.由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当
x＝5 时，有最大值 f(5)．
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第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
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第三章 函数的概念与性质
利用函数的单调性求最值 已知函数 f(x)＝xx－＋12，x∈[3，5]． (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值． 【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且 x1<x2， f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21＝（x13＋（2x）1－（xx22）＋2），
人教版高中数学第一章函数的概念(第2课时)(共42张PPT)教育课件
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
• 例6.已知函数 f(x) 5x 1
x2 （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1<x≤2，则2<x+3 ≤5
［1,2］还是2x+1∈［1,2］? f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的
x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？
探究提示：
1.x+ 1 ∈［0,2］，x- 1∈［0,2］.
2
2
2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为
［1,2］，它的含义是x∈［1,2］.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域. 【解析】选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7 种不同情况. 即值域为{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6},{4,5,6}.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2 x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
第三章 3.1 3.1.1 第二课时 函数的概念
第二课时函数的概念(二)课标要求素养要求1.会判断两个函数是否为同一函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的值域.1.通过对区间概念的理解及判断两个函数为同一函数，提升数学抽象素养；2.通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.问题1如何表示列车的运行速度的范围？提示我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200<v<350，用集合可表示为{v|200<v<350}.问题2还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？提示还可以用区间表示为(200，350)，这就是我们今天要学习的知识.1.区间注意区间端点的开闭设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x |a <x <b } 开区间 (a ，b ) {x |a ≤x <b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a <x ≤b } 半开半闭区间(a ，b ] {x |x ≥a } [a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤a } (－∞，a ] {x |x <a } (－∞，a )R(－∞，＋∞)2.同一个函数 函数的三要素完全相同 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数.3.常见函数的值域(1)一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的定义域为R ，值域是R . (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ， 当a >0时，值域为⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞， 当a <0时，值域为⎝⎛⎥⎤－∞，4ac －b 24a . 教材拓展补遗[微判断]1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(√)2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.(×)提示 两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同. 3.函数y ＝1＋x 2的值域为(1，＋∞).(×) 提示 y ＝1＋x 2的值域为[1，＋∞). [微训练]1.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )x x <2 2≤x ≤3 x ≥3 y－11A.{y |－1≤y ≤1} C.{y |2≤y ≤3}D.{－1，0，1}解析 由表格知，对应的y 的值为－1，0，1，故选D. 答案 D2.区间[1，2)表示的集合为________. 解析 根据区间的定义，可表示为 {x |1≤x <2}. 答案 {x |1≤x <2}3.已知函数f (x )与函数g (x )＝21－1－x是同一个函数，则函数f (x )的定义域为________.解析 因为f (x )与g (x )为同一个函数，则f (x )与g (x )的定义域相同， 所以f (x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－1－x ≠0，1－x ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≤1，即x ≤1且x ≠0.答案 (－∞，0)∪(0，1] [微思考]1.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？提示 不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定. 2.区间与集合有什么联系？提示 区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应与原题的表达方式一致.题型一区间的应用注意区间端点的写法【例1】把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.解(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；(2){x|x<0}＝(－∞，0)；(3){x|－1<x<1}＝(－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]. 规律方法用区间表示数集的方法：(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.【训练1】(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________.(2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________.解析(1){x|x≥0且x≠2}＝[0，2)∪(2，＋∞).(2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞).答案(1)[0，2)∪(2，＋∞)(2)(－1，＋∞)题型二同一函数的判断【例2】(1)下列各组函数：①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；②f(x)＝xx，g(x)＝xx；③f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x (0≤x ≤5).其中表示同一函数的是________(填序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否为同一函数，并说明理由.(1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；②f (x )与g (x )的对应关系不同，不是同一函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的对应关系不同，不是同一函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是同一函数；⑤f (x )与g (x )的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数. 答案 ⑤(2)解 不相同.对于函数y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数.规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 下列各组函数是同一函数的是( ) A.y ＝1，y ＝xxB.y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4C.y ＝|x |，y ＝(x )2D.y ＝x ，y ＝3x 3解析 A ，B ，C 中的两函数定义域均不相同，故选D. 答案 D题型三 求函数的值域对于一次函数、二次函数，反比例函数可借助图象求函数的值域，值域要写成集合或区间的形式.【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝x －1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.解 (1)(直接法)∵x ≥0，∴x －1≥－1，∴y ＝x －1的值域为[－1，＋∞). (2)(观察法)∵x ∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x 代入y ＝x 2－2x ＋3得y ＝11，6，3，2，∴y ＝x 2－2x ＋3的值域为{2，3，6，11}. (3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2（x －3）＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (4)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.规律方法 求函数值域的常用方法(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.(2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.(4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.【训练3】求下列函数的值域：(1)y＝16－x2；(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；(3)y＝xx＋1；(4)y＝2x＋41－x.解(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤16－x2≤4，即函数y＝16－x2的值域为[0，4].(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2，11].(3)(分离常数法)∵y＝xx＋1＝1－1x＋1，且定义域为{x|x≠－1}，∴1x＋1≠0，即y≠1.∴函数y＝xx＋1的值域为{y|y∈R，且y≠1}.(4)(换元法)令t＝1－x(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象可得函数的值域为(－∞，4].一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.3.同一函数的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.二、素养训练1.函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为()A.(5，9)B.[5，9]C.{5，7，9}D.{5，6，7，8，9}解析由题意知，函数的定义域为{2，3，4}，依次代入y＝2x＋1得y＝5，7，9，所以函数的值域为{5，7，9}.故选C.答案 C2.已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝(x)2；②f(x)＝x，g(x)＝3x3；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中是同一函数的是()A.没有B.仅有②C.有②④D.有②③④解析对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同.答案 C3.函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A.[0，1]B.[0，1)C.(0，1]D.(0，1)解析因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<1x2＋1≤1，所以函数的值域为(0，1]，故选C.答案 C4.下列函数中值域为(0，＋∞)的是()A.y＝xB.y＝1 xC.y＝1x D.y＝x2＋1解析y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)，故选B.答案 B5.将下列集合用区间以及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|x＝0或1≤x≤5}；(3){x|x＝3或4≤x≤8}；(4){x|2≤x≤8且x≠5}；(5){x|3<x<5}.解(1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)；用数轴表示如图①.(2){x|x＝0或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1，5]；用数轴表示如图②.(3){x|x＝3或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]；用数轴表示如图③.(4){x |2≤x ≤8且x ≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]；用数轴表示如图④. (5){x |3<x <5}用区间表示为(3，5)；用数轴表示如图⑤.图⑤基础达标一、选择题 1.函数f (x )＝x ＋2x －2的定义域是( ) A.[－2，2) B.[－2，2)∪(2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(2，＋∞)解析 x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －2≠0，即x ≥－2，且x ≠2.∴函数f (x )＝x ＋2x －2的定义域是[－2，2)∪(2，＋∞).故选B.答案 B2.下列各组函数为同一函数的是( ) A.f (x )＝x ，g (x )＝x 2x B.f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0 C.f (x )＝（x ）2x ，g (x )＝x（x ）2D.f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析 A.因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数；C.这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.故选C.答案 C3.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A.1B.0C.－1D.2解析∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.答案 A4.下列函数中不满足f(2x)＝2f(x)的是()A.f(x)＝|x|B.f(x)＝x－|x|C.f(x)＝x＋1D.f(x)＝－x解析验证法.根据同一函数的定义，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)，故选C.答案 C5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有() A.10个 B.9个C.8个D.4个解析由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.答案 B二、填空题6.下列各对函数中是同一函数的是________(填序号).①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；②f(x)＝（2x＋1）2与g(x)＝|2x＋1|；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.解析 ①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f (x )＝（2x ＋1）2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不相同，不是同一函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数.答案 ②④7.若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的值是________.解析 由题意知f (x )为一次函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a －3≠0，所以a ＝－1. 答案 －18.在实数的原有运算中，我们定义新运算“”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2.设函数f (x )＝(1x )－(2x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________.解析 由题意知，当x ∈[－2，1]时，f (x )＝－1；当x ∈(1，2]时，f (x )＝x 2－2∈(－1，2].所以当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－1，2].答案 [－1，2]三、解答题9.求下列函数的值域：(1)y ＝5x ＋4x －1； (2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝2－－x 2＋4x .解 (1)y ＝5x ＋4x －1＝5（x －1）＋9x －1＝5＋9x －1，且9x －1≠0，∴y ≠5，∴函数的值域是{y |y ≠5}.(2)令t ＝1－2x (t ≥0)，∴x ＝－12t 2＋12，∴y ＝－12t 2－t ＋12＝－12(t ＋1)2＋1，当t ≥0时，y ≤12，∴函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. (3)y ＝2－－x 2＋4x ＝2－－（x －2）2＋4， ∵0≤－（x －2）2＋4≤4＝2，所以y ＝2－－x 2＋4x 的值域为[0，2]. 10.已知函数f (x )＝12x 2－x ＋32，是否存在实数m ，使得函数的定义域和值域都是[1，m ](m >1)？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.解 存在.理由如下：f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x －1)2＋1的对称轴为x ＝1，顶点(1，1)且开口向上.∵m >1，∴当x ∈[1，m ]时，y 随x 的增大而增大，∴要使f (x )的定义域和值域都是[1，m ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （m ）＝m ，∴12m 2－m ＋32＝m ，即m 2－4m ＋3＝0，∴m ＝3或m ＝1(舍)∴存在实数m ＝3满足条件.能力提升11.已知函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立.(1)求f (0)和f (1)的值.(2)若f (2)＝a ，f (3)＝b (a ，b 均为常数)，求f (36)的值.解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0), 所以f (0)＝0.令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0.(2)令x ＝2，y ＝3，则f (6)＝f (2)＋f (3)＝a ＋b ，令x ＝y ＝6，则f (36)＝2f (6)＝2a ＋2b .12.对于函数f (x )，若f (x )＝x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))＝x ，则称x 为f (x )的“稳定点”，函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f (x )＝x }，B ＝{x |f (f (x ))＝x }.(1)求证：A B ；(2)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，若A ＝{－1，3}，求集合B .解 (1)若A ＝，则A B 显然成立. 若A ≠，设t ∈A ，则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ，从而A B ，故A B 成立.(2)因为A ＝{－1，3}，所以f (－1)＝－1，且f (3)＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2－a ＋b ＝－1，32＋3a ＋b ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，3a ＋b ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，所以f (x )＝x 2－x －3. 因为B ＝{x |f (f (x ))＝x }，所以(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ，所以(x 2－x －3)2－x 2＝0，即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0，所以(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0，所以x ＝±3或x ＝－1或x ＝3.所以B ＝{－3，－1，3，3}.。
函数的概念第二课时教学设计
函数的概念第二课时教学设计函数的概念第二课时教学设计A【教学目标】1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。
B【教学重难点】教学重点能熟练求解常见函数的定义域和值域．教学难点对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．C【教学过程】1、创设情境下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？（1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ；（2） f(x)＝x；g(x)＝x；、（3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) 2 ；（4） f(x) ＝|x|；g(x)＝．2、讲解新课总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同3、典例例1 求下列函数的定义域：（1）y?x?1?x?1；（2）y?1x2?3?5?x2；分析：一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．解：（1）由??x?1?0,?x?1,得?即x?1，故函数y?x?1?x?1的定义域是[1，??)． x?1?0,x??1,??2x?3?0,?x??,（2）由?得?即?5≤x≤5且x≠±，25?x?0,x?5,故函数的定义域是{x|?≤x≤且x≠±3}．点评：求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：① 分式中，分母不等于零．② 偶次根式中，被开方数为非负数．③ 对于y?x0中，要求x≠0．（专业的、优秀的、实惠的教育辅导机构）y?(x?1)0x|?xy?2x?3?12?x?变式练习1求下列函数的定义域：（1）；（2）1x．x?1?0,?x??1,(x?1)0解（2）由?得? 故函数y?是{x|x<0，且x≠?1}． x|?x?x?0,?|x|?x?0,3?x??,??2x?3?0,2?3? （4）由?2?x?0,即?x?2, ∴?≤x＜2，且x≠0，2?x?0?x?0,故函数的定义域是{x|?3≤x＜2，且x≠0}． 2说明：若A是函数y?f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数f：AB而言，如果如果值域是C，那么C?B，因此不能将集合B当成是函数的值域．我们把函数的`定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；（2）f (x)=( x-1)2+1．解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}．（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}点评：通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．变式练习2 求下列函数的值域：2y?x?4x?6，x?[1，5)；（1）（2）y?3x?1x?1；解：（1）y?(x?2)2?2．x?[1，5)的图象，作出函数y?x2?4x?6，由图观察得函数的值域为{y|2≤y＜11}．（专业的、优秀的、实惠的教育辅导机构）（2）解法一：y?的值域为｛y|y≠3｝．解法二：把y?3x?1看成关于x的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数x?13(x?1)?444，显然可取0以外的一切实数，即所求函数?3?x?1x?1x?1定义域｛x|x≠－1｝内有解的条件是y－3≠0，y＋1，解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．－≠－1??y－3点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．4、课堂小结（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．。
课时2 函数的概念(二)
课时2 函数的概念(二)1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)对应关系相同的两个函数一定是同一个函数．( ×)(2)[a ，a －1]表示一个区间．( × )(3)函数的定义域和值域都相同，这两个函数不一定是同一个函数．( √ )(4)函数y ＝k x的值域为R .( × )题型1 区间的概念2．用区间表示数集{x |2<x ≤4}＝__(2,4]__．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ .题型2 同一个函数4．下列各组函数是同一个函数的是( C )A ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2xB ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x解析：A.f (x )＝－2x 3＝－x －2x 与g (x )＝x －2x 的对应关系不同，故不是同一个函数．B.f (x )＝x 2与g (x )＝(x ＋1)2的对应关系不同，故不是同一个函数．C.f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一个函数．D.f (x )＝0与g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)的定义域不同，故不是同一个函数．5．若函数f (x )与函数g (x )＝1－x x 是同一个函数，则函数f (x )的定义域是__(－∞，0)∪(0,1]__．解析：要使g (x )与f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，∴f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 6．下列各对函数中是同一个函数的是__②④__.①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0；②f (x )＝(2x ＋1)2与g (x )＝|2x ＋1|；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.解析：①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，定义域为{x |x ≠0}，两函数的定义域不同，不是同一个函数；②f (x )＝(2x ＋1)2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不同，不是同一个函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一个函数．题型3 函数的值域7．函数y ＝x ＋1x －1在区间[2,5]上的值域是 ⎣⎡⎦⎤32，3 . 解析：由题意y ＝x ＋1x －1＝2x －1＋1，此函数在区间[2,5]上是减函数，所以有32≤y ≤3，故函数的值域是⎣⎡⎦⎤32，3.8．求下列函数的值域：(1)y ＝3－x 2x －1； (2)y ＝－x 2－x ＋1(1≤x ≤2)．解：(1)y ＝－12·x －3x －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52x －12. 因为52x －12≠0，所以y ≠－12， 即函数的值域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)y ＝－x 2－x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋54.因为1≤x ≤2，所以－5≤－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋54≤－1，所以函数y ＝－x 2－x ＋1的值域为[－5，－1]．易错点1 忽略定义域致错9．下列各组函数中，是同一个函数的是( A )A ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1B ．f (x )＝2x ，g (x )＝2(x ＋1)C ．f (x )＝(－x )2，g (x )＝(－x )2D ．f (x )＝x 2＋x x ＋1，g (x )＝x解析：A 中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B 中对应关系不同；C 中定义域不同；D 中定义域不同．[误区警示] 两函数为同一个函数只有在定义域、对应关系相同的前提下才成立． 易错点2 忽视所换元的取值范围致错10．求函数y ＝x ＋x ＋1的值域．解：设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54.又因为t ≥0，故f (t )≥－1.所以函数的值域是{y |y ≥－1}．[误区警示] 二次函数求值域要注意自变量的取值范围．(限时30分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋13的定义域为[0,1]，则它的值域为( A ) A ．⎣⎡⎦⎤13，56B ．RC ．⎣⎡⎦⎤13，12D ．[]0，12．下列四个区间能表示数集A ＝{x |0≤x <5或x >10}的是( B )A ．(0,5)∪(10，＋∞)B ．[)0，5∪(10，＋∞)C ．(]0，5∪[10，＋∞)D ．[0,5]∪(10，＋∞)3．已知函数f (x )＝2－2x x ＋1(x >1)，则它的值域为( D ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．(－2,0)解析：f (x )＝2－2x x ＋1＝－2(x ＋1)＋4x ＋1＝－2＋4x ＋1(x >1)，设t ＝x ＋1(t >2)，易知：y ＝4t ∈(0,2)，故f (x )＝－2＋4x ＋1(x >1)的值域为(－2,0)． 4．(多选题)下列各组函数中表示同一个函数的是( BD )A ．y ＝20与y ＝x xB ．y ＝1(x >0)与y ＝|x |x(x >0) C ．y ＝x 2＋x 与y ＝x x ＋1D ．y ＝x ＋1与y ＝3(t ＋1)3解析：A 中y ＝20＝1，定义域为R ，y ＝x x＝1(x ≠0)，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；B ．两个函数的对应关系、定义域相同，是同一个函数；C 中由x 2＋x ≥0得x ≥0或x ≤－1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≥－1，得x ≥0， 两个函数的定义域不相同，不是同一个函数．D 中y ＝3(t ＋1)3＝t ＋1，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数．5．(多选题)函数f (x )＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，当－12≤x ≤72时，下列函数中，其值域与f (x )的值域相同的函数为( ABD )A ．y ＝x ，x ∈{}－1，0，1，2，3B ．y ＝2x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，12，1，32C ．y ＝1x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，13，14 D ．y ＝x 2－1，x ∈{}0，1，2，3，2解析：由题意，可得当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，f (x )＝－1；当x ∈[0,1)时，f (x )＝0；当x ∈[1,2)时，f (x )＝1；当x ∈[2,3)时，f (x )＝2；当x ∈⎣⎡⎦⎤3，72时，f (x )＝3.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，72时，函数f (x )的值域为{－1,0,1,2,3}．对于A 选项，y ＝x ，x ∈{－1,0,1,2,3}，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于B 选项，y ＝2x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，12，1，32，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于C 选项，y ＝1x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，13，14，该函数的值域为{－1,1,2,3,4}；对于D 选项，y ＝x 2－1，x ∈{}0，1，2，3，2，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}．故选ABD.二、填空题6．已知区间(4p －1,2p ＋1)，则p 的取值范围为__(－∞，1)__．解析：由题意，得4p －1<2p ＋1，所以p <1.7．函数f (x )＝x 2－2x 的定义域为__(－∞，0]∪[2，＋∞)__，值域为__[0，＋∞)__． 解析：要使函数有意义，则需x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，即定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)．因为f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，结合函数的定义域可得f (x )≥0，即函数的值域为[0，＋∞)．8．由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为y ＝[x ]，例如[1.2]＝1，[－0.3]＝－1，则函数y ＝2[x ]＋1，x ∈[－1,3)的值域为__{－1,1,3,5}__．三、解答题9．若函数f (x )＝x 2＋4x ＋6，求f (x )在[－3,0]上的值域．解：f (x )＝x 2＋4x ＋6＝(x ＋2)2＋2，x ∈[－3,0]，f (x )max ＝f (0)＝6，f (x )min ＝f (－2)＝2，故f (x )在[－3,0]上的值域为[2,6]．10．已知矩形的面积为10，试构建问题情境描述下列变量关系：(1)y ＝10x； (2)y ＝2x ＋20x. 解：(1)设矩形长为x ，宽为y ，那么y ＝10x. 其中x 的取值范围A ＝{x |x >0}，y 的取值范围B ＝{y |y >0}，对应关系f 为每一个长方形的长x ，对应到唯一确定的宽10x. (2)设矩形长为x ，周长为y ，那么y ＝2x ＋20x.其中x 的取值范围A ＝{x |x >0}，y 的取值范围B ＝{y |y >0}，对应关系f 为每一个长方形的长x ，对应到唯一确定的周长2x ＋20x .。
河北省任丘市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册：3.1.1 函数的概念(第二课时)
§3．1．1 函数的概念（第二课时）导学目标：1．了解构成函数的三要素，能求具体函数及抽象函数的定义域． 2．了解构成函数的三要素，理解函数值域的含义，能求简单函数的值域．（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =+++++的定义域；（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．通过观察，若函数()f x ()1f x -=①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ．（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域． （2）求函数21()x f x --=的定义域．【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． （2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？）（3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()f x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域．【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．（2）求函数()63f x x x =-在区间[]2,4上的值域．§3．1．1 函数的概念（第二课时）参考答案（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？ 【答案】（1）[)0,+∞（2）()1f x x =-，[)1,+∞（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =+++++的定义域； 【答案】要使函数有意义，应有504010x x x +≥⎧⎪+≠⎪⎨⎪⎪+≠⎩即541x x x ≥-⎧⎪≠-⎨⎪≠-⎩所以函数的定义域是[)()()54411-----+∞，，,．（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．通过观察，若函数()f x x =，则函数()11f x x -=-，我们可有如下结论：①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ． 【答案】[)1,+∞（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？ 【答案】{}033x x x N ≤≤∈且 【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？【答案】 令2t x =，由x R ∈，可得0t ≥，223y t t =--，0t ≥；前后函数自变量改变，相应的取值范围也改变．题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域．（2）求函数()f x =的定义域．【答案】（1）11|22x x x ⎧+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}|13x x x <>或；【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域． 【答案】（1）[]0,4 （2）[]2,2- （3）31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3）13,212x x -≤≤∴-≤-≤，故()f x 的定义域为[2,2]-， 所以令2212x -≤+≤，解得3122x -≤≤， 故()21y f x =+的定义域是31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． 【答案】[1,1]-由题意，函数()f x 的定义域为[1,2]-，则函数()()()g x f x f x =+-满足1212x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1221x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[1,1]-．（2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域． 【答案】[)(]2,11,1---；函数()f x 的定义域[]4,2-,即422x -≤≤,可得21x -≤≤ 又分母10x +≠,可得1x ≠-． ∴()()21f xg x x =+的定义域为[)(]2,11,1---．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．【答案】{}026t t ≤≤题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？） （3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．高中数学必修第一册- 11 -【答案】（1）{}0,2,3（2）[)2,+∞，{}6,3,2，[)2,11（3）(]2,1--【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()af x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域． 【答案】（1）[)2,+∞；（2）[]4,5【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．【答案】（1）[)4,5- （2）1(,]2-∞ （3）[4,)+∞（2）()()224321f x x x x =-+=--，因为1-≤x ≤1，所以3-≤x −2≤1-，所以1≤(x −2)2≤9，则0≤(x −2)21-≤8．故函数()[]243,1,1f x x x x =-+∈-的值域为[0，8]．函数()g x 的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令()2112,02t t x x t -=-=≥，得21122y t t =--+，故1,2y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，所以函数()12g x x x =--的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）()()()2212111124111x x x h x x x x x -+-+===-++≥---．当且仅当x ＝2时“＝”第三章 函数的概念与性质- 12 -成立，故函数()2(1)1x h x x x =>-的值域为[)4,+∞．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R 【答案】B2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域． 【答案】(,1]-∞-∪1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．由1124x ≤+≤，得112x -≤≤，即110x -≤<或102x<≤， 解得x ≤ 1-，或12x ≥．∴函数的定义域为(-∞，1-]∪[12，+∞)．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．【答案】13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．高中数学必修第一册- 13 -()f x 的定义域是[0,2]，且11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102,2102,2x x ⎧+⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩则13,2215,22x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩ 即1322x ．()g x ∴的定义域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．【答案】 [2,2]-（2）求函数()3f x x =在区间[]2,4上的值域．【答案】12,4⎤-⎦t =,则26x t =- ∵[]2,4x ∈,2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t tt =--=+-其对称轴16t =-, 故得()f x 的值域为12,4⎤-⎦．。
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x≥a x >a x≤b
（ -∞ ，b]
（a，+∞）
（-∞，b） [a，+∞）
x<b
将下列集合用区间表示出来：
(1){x | 2 x 1 0}; (2){x | x 4, 或 1 x 2}
答案（1）
1 ， + 2
（2） ， -4 -1,2
4 4 x5 3 3 4 - ， 所以所求函数的定义域为 3 3 4 4 所以所求函数的定义域为- ，
-1x-11 4 -3 4
3 5 1 -1 x 1 -5x 3 1 -1 x+ 1 4 4 4 4 3 3 4 4 ， 即 ， 即 x
{
{x | x 3且x 2}
（2）分析：对应关系
f
1 （） = （） +3+ （） +2
1 1 求函数 y f ( x ) f ( x ) 的定义域。 4 4
例2 若函数 y f ( x) 的定义域为[1，1]，
分析： 定义域即函数自变量的取值范围，函数 解：由题意可知： y=f（x）的自变量为 x 自身独自占据（）， 11 5 3 -1 x+ x 1 1 3 3 -1 故 （） 1 ，所以函数 f （ x+ ） f （ x）定义域满足 4 4 4 ，即 4 ，即4 - x
1 例1 已知函数 f x x 3 x2 （1）求函数的定义域 2 f ( 3 ), f ( ) 的值 （2）求 3
（3）当a>0时，求 f (a), f (a 1) 的值
分析（1） x 3 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3} x30 , 解之x 3且x 2 1 解：由题意得： x2 0 x 的集合是 {x|x≠2} 所以 x 2 有意义的实数 这个函数的定义域就是 函数的定义域为 {x | x 3且x 2}
定义
{x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b}
名称
闭区间 开区间
符号
[a，b] (a,b)
数轴表示
a a a a b b b b
{x|a≤x < b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x ≤ b} 半开半闭区间 (a,b]
注意：在图中，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点。
4 4
x
4
4
例3 设f(x)的定义域是[-1,3]，值域为[0,1], 试求函数f(2x+1)的定义域及值域。 • 分析：函数f(2x+1)的自变是仍是x，不是 2x+1，故应由2x+1满足的条件中求出x的取 值范围，进而得所求定义域；而2x+1已取 遍定义域内的每一个实数，所以值域没有 改变。 • 解：由已知-1≤2x+1≤3，得-1≤x≤1。得函数 f(2x+1)的定义域是[-1,1]，值域仍为[0,1]。
复习：
1．函数的定义 2、定义域,函数的值和值域 3、函数的三要素判断同一函数
的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b]
⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b) ⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b] 这里的实数a，b叫做相应区间的端点
集合与区间不能混用。例：集合{x|1 x 3或5 x<7} 5,7 表示但不能写成{x| 5,7 可用区间 1,3 1 x 3}
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
其中“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷 大”，“+∞”读作“正无穷大”。