湖南大学实验三 连续时间傅里叶级数
傅里叶级数的计算方法
傅里叶级数的计算方法《傅里叶级数计算方法漫谈》嘿，朋友们！今天咱们来聊聊傅里叶级数的计算方法。
这可真是个有趣的玩意儿呢！傅里叶级数啊，就像是一个神秘的魔法盒子，打开它就能看到各种奇妙的变化。
想象一下，你有一段信号，就像是一段旋律，而傅里叶级数就是能把这段旋律分解成一个个简单音符的神奇工具。
要计算傅里叶级数，首先得搞清楚周期。
这就好比你要知道一首曲子是多长时间重复一次一样。
然后呢，就是要找出那些关键的系数，这些系数就像是音符的强度。
比如说，你看那正弦函数和余弦函数，它们就是傅里叶级数里的主角呀！它们在那里跳来跳去，组合出各种不同的信号。
有时候你会觉得它们怎么这么调皮呢，但正是这种调皮才让整个计算过程变得有意思起来。
计算傅里叶级数的时候，可不能马虎哦！要认真对待每一个步骤，就像厨师精心烹饪一道美味佳肴一样。
从选择合适的区间，到计算那些积分，都要一丝不苟。
我记得我第一次接触傅里叶级数计算的时候，那可真是手忙脚乱啊！一会儿忘了这个，一会儿又算错那个。
但是呢，随着不断地练习和琢磨，慢慢地就找到感觉了。
其实啊，这就和我们生活中的很多事情一样。
一开始可能觉得很难，但是只要不放弃，一点点去尝试，总会有收获的。
就像学骑自行车，一开始可能会摔倒，但多摔几次就会骑啦！傅里叶级数的世界是广阔的，它不仅仅是数学里的一个概念，还在很多领域都有重要的应用呢！比如信号处理、图像处理等等。
想象一下，我们的手机通话、电视画面，背后都有傅里叶级数在默默地工作呢！所以啊，大家可别小看了傅里叶级数的计算方法。
它就像一把钥匙，可以打开很多知识的大门。
总之呢，傅里叶级数的计算方法虽然有点复杂，但只要我们有耐心，有兴趣，就一定能掌握它。
让我们一起在这个神奇的世界里畅游吧！。
连续时间周期信号的傅里叶级数
实验名称 连续时间周期信号的傅里叶级数一、实验目的：1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法。
2、观察由矩形窗函数截断产生的Gibbs 现象，了解其特点、产生的原因及消除的方法。
3、掌握周期函数的傅里叶级数计算方法和编程技术。
二、实验原理：（一）傅里叶级数（FS ）展开周期为T1连续时间周期信号，若满足狄利克莱条件，就可以展开成FS 。
其中三角形式的傅里叶级数为：]2sin 2cos [2 ]sin cos [2)(11101110kt T b kt T a a t k b t k a a t x k k k k k k ππωω∑∑∞=∞=++=++= (1)其中112T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度。
其中：⎰⎰++==100100d sin )(2d cos )(21111T t t k T t t k t t k t x T b t t k t x T a ωω (2)连续时间周期信号x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为22k k k b a A += kk k a b arctan =ϕ (3)其中k 与频率的关系为1ωωk =，因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随频率变化的规律。
三角形式的傅里叶级数表明，一个周期信号x(t) 如果满足狄里克莱条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为Ak 。
反过来理解三角傅里叶级数：用无穷多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。
（二）吉布斯（Gibbs ）现象当利用(1)式对一个周期函数作实际展开运算时，对k 的求和过程不可能进行到无穷，只能到某一有限值K ，即相当于在频域用一个矩形窗函数W K (k)与FS 的求和式相乘，得到一个频域有限长序列X(k)⋅W K (k)，因此实际FS 展开式为∑∞=++=1110)(]sin cos [2)(k K k k k W t k b t k a a t x ωω∑=++=Kk k k t k b t k a a 1110]s i n c o s [2 ωω (4)K 越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。
连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间信号与系统的傅里叶分析是一种非常重要的数学工具和技术，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过傅里叶分析，我们可以将一个复杂的时域信号分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的叠加，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶分析中，我们首先需要了解傅里叶级数和傅里叶变换两个概念。
傅里叶级数是将一个周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间周期为T的周期信号x(t)，其傅里叶级数表示为：x(t) = a0/2 + ∑ {an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)}其中，n为整数，ω0为角频率（ω0 = 2π/T），an和bn为信号的系数。
傅里叶级数展示了信号在频域上的频谱特性，即信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的基频和各个谐波分量的振幅和相位信息。
而对于非周期信号，我们则需要使用傅里叶变换来分析。
傅里叶变换可以将一个非周期信号分解成一系列连续的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为：X(ω) = ∫ x(t)*e^(-jωt) dt其中，X(ω)为信号在频域上的频谱表示，ω为角频率，e为自然对数的底。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的成分。
同时，我们还可以通过逆傅里叶变换将信号从频域再转换回时域。
傅里叶分析的重要性在于它能够提供信号在时域和频域之间的转换关系，从而可以更好地理解信号的特性和行为。
通过傅里叶分析，我们可以确定信号的频谱特性、频率成分等信息，从而在信号处理、通信系统设计等方面进行相应的优化和调整。
除了傅里叶级数和傅里叶变换，还有诸如快速傅里叶变换（FFT）、傅里叶变换对（FT pair）、功率谱密度（PSD）等相关概念和技术。
这些工具和技术在实际应用中非常有用，例如在音频处理、图像处理、雷达信号处理等方面经常被使用。
总之，连续时间信号与系统的傅里叶分析为我们提供了一个强大的数学工具，能够将信号从时域转换到频域，揭示信号的频谱特性和频率成分，为信号处理和系统设计提供了有力支持。
连续傅里叶级数和傅里叶变换
LTI系统对复指数信号的响应
LTI系统对复指数输入的响应
{est , s C} {z n , z C}
仍是一个相同的复指数信号，只是复数幅度有 所改变
LTI系统对复指数输入的响应
连续时间情况
输入 x(t ) est 单位冲击响应h(t) 输出
y (t ) h( ) x(t )d h( )e
叫做连续傅里叶级数系数， T 表示长度为 T 的任意区间。 这就是连续时间周期信号的傅里叶级数表示法，左式称为合 成公式，右式称为分析公式。它表明：周期信号都可以表示为与 重复频率0 2π T 成谐波关系的复正弦信号 e jk0t 的线性组合， 加权系数 就是傅里叶级数系数 Fk 。
k
说明：
(1) 周期时间函数不可能成为稳定的 LTI 系统的单位 冲激响应，故只有周期信号的傅里叶级数表示，一般不存在系 统的傅里叶级数表示； (2) 尽管周期信号在信号与系统研究中十分重要，但毕竟不 能代表所有信号，更不能表示系统。因此，仅有傅里叶 级数 ，还不能说明复正弦函数或序列可以构成相当广泛 的连续时 间函数或离散时间序列。傅里叶把傅里叶级数推广到傅里叶积 分，解决了这个问题，这正是他的杰出贡献之一； (3) 如果在频域中也引入冲激函数，傅里叶级数可以统一到 傅里叶变换中 ，傅里叶级数的性质也就 包含在傅里叶变换的 性质中。
■ 周期信号的频谱
根据周期信号的 CFS 合成公式，系数 Fk 表示组成周期信号 的各个成谐波关系的复正弦分量 ( e jk0t ) 的复数幅度。在整数 域 k 上， Fk 可以看成复值序列， k0 是连续时间或离散时间 频域 上的谐波频率点，因此，通常用频域 上的 Fk 的序列 图形，来表示组成周期信号的所有谐波分量的复数幅度分布情 况。这就是周期信号频谱的概念，这种图形称为周期信号的频 谱图。
信号与系统 实验三 连续时间周期信号的傅里叶级数
实验三连续时间周期信号的傅里叶级数一、实验目的掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的展开和合成，理解吉布斯现象，掌握周期矩形脉冲信号的频谱及脉冲宽度、周期对周期信号频谱的影响。
二、实验内容1、周期信号的傅里叶级数的展开和合成画出如下图对称方波（取E=1、T=1），并采用有限项傅里叶级数对原函数进行逼近，画出对称方波的1、3、5、7、9、11次谐波的傅里叶级数合成波形，观察吉布斯现象。
sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:1fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2);f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:3fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:5fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:7fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:9fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)sum=0;t=-3:0.01:3;E=1;T=1;ta=T/2;w=2*3.14159/T;for n=1:11fn=(2*E*ta/T)*sin(w*ta*n/2)/(w*ta*n/2); f=(E*ta/T)+cos(n*w*t)*fn-E/2;sum=sum+f;endplot(t,sum)2、周期矩形脉冲信号的频谱a. 取E=1，τ=1, 画出周期矩形脉冲（教材P83图3-6）的傅里叶级数的频谱（教材P83图3-7）；n=-12:12;E=1;t=1;T=5*t;w=2/T;fn=(E*t/T)*sinc(w*t*n/2);stem(n,fn,'filled');hold onk=-12:0.01:12;f=abs(E*t/T)*sinc(w*t*k/2);plot(k,f,'--');b. 取E=1，τ=1, 画出教材P85图3-8(a)；t=-12:0.01:12;y=u(t+1/4)-u(t-1/4)+u(t-19/4)-u(t-21/4)-u(t+19/4)+u(t+21/4)+u(t-39/4)-u(t-41/4)-u( t+39/4)+u(t+41/4);subplot(2,1,1);plot(t,y);axis([-12 12 -0.1 1.1]);xlabel('t');ylabel('f(t)');n=-12:12;E=1;t=1;T=10*t;w=2/T;fn=(E*t/T)*sinc(w*t*n/2);subplot(2,1,2);stem(n,fn,'filled');hold on;k=-12:0.01:12;f=abs(E*t/T)*sinc(w*t*k/2);plot(k,f,'--');xlabel('w');ylabel('Fn');c. 取E=1， =1, 画出教材P85图3-8(c)。
傅里叶级数 傅里叶变换
傅里叶级数傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换是数学中非常重要的概念，被广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
傅里叶级数是将一个周期函数分解成一系列正弦余弦函数的和，而傅里叶变换则是将一个非周期函数分解成一系列复数波的和。
傅里叶级数的公式可以表示为f(x)=a0/2+Σ(n=1)∞[an*cos(n
πx/L)+bn*sin(nπx/L)]，其中an和bn是傅里叶系数，L是周期。
傅里叶级数的物理意义是将一个周期为L的函数分解成一系列频率
为nω0的正弦余弦函数的和，其中ω0=2π/L。
傅里叶变换的公式可以表示为F(ω)=∫(∞,∞)f(x)e^(iωx)dx，其中F(ω)是频域函数，f(x)是时域函数，ω是角频率。
傅里叶变换的物理意义是将一个时域函数分解成一系列频域函数的和，其中每个频域函数表示了原函数中某个频率的振幅和相位。
使用傅里叶级数和傅里叶变换可以对信号进行滤波、降噪、压缩等处理，同时也为信号的分析提供了强有力的工具。
在实际应用中，傅里叶级数和傅里叶变换经常被用于音频、图像、视频等领域，以及信号调制和解调等通信领域。
- 1 -。
连续时间信号傅立叶级数
例3
f (t ) 3 cos(0 t 4) 求 Fn 。
解: f (t ) 3 cos(0 t 4)
1 j(0t 4) 3 e e j(0t 4) 2 3 j4 j0t 3 j4 j0t e e e e 2 2
2. Dirichlet条件：
①
T0
f (t ) dt
，在任一周期内信号绝对
可积。
② 在任一周期内，只有有限个极值点，且极
值为有限值。
③ 在任一周期内，只有有限个间断点。且在
这些间断点处，函数值为有限值。
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数 收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组
0
T/ 2
t
2 an T
T /2
T / 2
4 f (t ) cos(n0 t )dt T f (t ) sin(n0 t )dt 0
T /2
0
f (t ) cos(n0 t )dt
2 bn T
T /2
T / 2
纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
3 j4 F1 e , 2
3 j4 F1 e 2
Fn 0, n 1
二、傅立叶级数的基本性质
线性特性
若 f1 (t ) F1n , f 2 (t ) F2n
则有
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1n a2 F2n
信号与系统Matlab实验作业
实验一典型连续时间信号和离散时间信号一、实验目的掌握利用Matlab画图函数和符号函数显示典型连续时间信号波形、典型时间离散信号、连续时间信号在时域中的自变量变换。
二、实验内容1、典型连续信号的波形表示（单边指数信号、复指数信号、抽样信号、单位阶跃信号、单位冲击信号）1）画出教材P28习题1-1(3) ()[(63)(63)]t=----的波形图。
f t e u t u t2）画出复指数信号()()j t f t e σω+=当0.4, 8σω==(0<t<10)时的实部和虚部的波形图。
t=0:0.01:10;f1='exp(0.4*t)*cos(8*t)';f2='exp(0.4*t)*sin(8*t)';figure(1)ezplot(f1,t);grid on;figure(2)ezplot(f2,t);grid on;3）画出教材P16图1-18，即抽样信号Sa(t)的波形(-20<t<20)。
t=-10:0.01:10;f='sin(t)/t';ezplot(f,t);grid on;4）用符号函数sign画出单位阶跃信号u(t-3)的波形（0<t<10）。
t=0:0.01:10;f='(sign(t-3)+1)/2';ezplot(f,t);grid on;5）单位冲击信号可看作是宽度为∆，幅度为1/∆的矩形脉冲，即t=t 1处的冲击信号为11111 ()()0 t t t x t t t otherδ∆⎧<<+∆⎪=-=∆⎨⎪⎩画出0.2∆=, t 1=1的单位冲击信号。
t=0:0.01:2;f='5*(u(t-1)-u(t-1.2))';ezplot(f,t);grid on;axis([0 2 -1 6]);2、典型离散信号的表示（单位样值序列、单位阶跃序列、实指数序列、正弦序列、复指数序列）编写函数产生下列序列：1）单位脉冲序列，起点n0，终点n f，在n s处有一单位脉冲。
实验三 周期信号的频谱分析
实验三 周期信号的频谱分析一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征 二、原理说明：1、连续时间周期信号的傅里叶级数分析任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。
其中三角傅里叶级数为：∑∞=++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1或： ∑∞=++=100)cos()(k k kt k ca t x ϕω 2.2其中102T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ϕ、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ϕ－0ωk 图像为相位谱。
三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。
也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。
指数形式的傅里叶级数为：∑∞-∞==k tjk kea t x 0)(ω 2.3其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：⎰--=2/2/1110)(1T T tjk k dt et x T a ω 2.4指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度（complex amplitude ）为k a 。
高等数学傅里叶级数展开公式
高等数学傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开是高等数学中一项重要的内容，它是将一个周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程。
本文将对傅里叶级数展开进行详细解释，以及其在实际应用中的意义和指导作用。
首先，让我们来了解一下傅里叶级数的定义。
对于一个周期为T的函数f(x)，在一个周期内（即在区间[0,T)内）可以用以下形式的级数进行展开：f(x) = a₀ + Σ(aₙcos(nωx) + bₙsin(nωx))其中n为整数，ω为基础角频率，a₀、aₙ和bₙ为傅里叶系数。
通过求解这些系数，可以得到原始函数的傅里叶级数展开形式。
傅里叶级数展开的原理基于正弦和余弦函数的正交性。
傅里叶级数将一个周期函数表示为正弦和余弦函数的无限叠加，通过调整系数aₙ和bₙ的大小，可以逐渐逼近原始函数。
傅里叶级数展开在实际应用中具有广泛的意义和应用。
首先，在信号处理领域，傅里叶级数展开被广泛用于信号的频谱分析和滤波处理。
通过将信号展开为频率成分，可以清晰地观察到信号的频率特征，并对信号进行处理和改进。
其次，在物理学中，傅里叶级数展开也有重要的应用。
例如，在声学中，通过傅里叶级数展开可以将复杂的声波信号分解为各个频率成分，从而研究声音的音调、音质等特性。
类似地，在光学中，傅里叶级数展开也被用于研究光波的衍射和干涉现象，以及光的波长和频率特性。
最后，傅里叶级数展开在数学中也具有重要的作用。
通过傅里叶级数展开，我们可以将复杂的函数问题化简为求解一系列正弦和余弦函数的系数问题。
这种分解的方法大大简化了高等数学中的计算和分析过程，提供了一种强大的工具来解决各种数学问题。
总的来说，傅里叶级数展开是一项强大而广泛应用的数学工具，具有生动的几何意义和实用的示范效果。
通过将周期函数展开为正弦和余弦函数的无限叠加，我们可以更好地理解和处理信号、物理现象和数学问题。
在不同领域的应用中，傅里叶级数展开提供了一种全面而有力的分析工具，为研究和应用带来了丰富的成果和不断的创新。
湖南大学实验三 连续时间傅里叶级数.
实验三 连续时间傅里叶级数§3.1 连续时间傅立叶级数的性质目的本练习要检验连续时间傅立叶级数（CTFS ）的性质。
实验内容：1．满足)()(11T t x t x +=的最小周期T 是多少？利用这个Ｔ值，用解析法求)(1t x 的CTFS 系数。
2．考虑信号)()()(11t x t x t y -+=，利用CTFS 的时间倒置和共轭性质求)(t y 的CTFS 系数。
3．在11≤≤-t 上画出信号)(t y 。
能预计出什么样的对称性？能够利用CTFS 的对称性说明它吗？4．考虑信号)()()(*11t x t x t z -=。
利用CTFS 的时间倒置和共轭性质求)(t z 的CTFS系数。
代码：1.x=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)');t=linspace(-1,1,1000);subplot(311);ezplot(x,[-1,1]);grid on ;k=[-5:5];syms t ;f=x*exp(-i*2*pi*t*k);Fn=int(f,t,0,1);F=abs(Fn);subplot(312);subplot(313);stem(F);2.x1=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)'); x2=subs(x1,-t,t);y=x1+x2;t=linspace(-1,1,1000);k=[-5:5];syms t;f=y*exp(-i*2*pi*t*k);Fn=int(f,t,0,1);F=abs(Fn)；subplot(211);stem(Fn);subplot(212);stem(F);3.x1=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)') x2=subs(x1,'(-1*t)','t')y=x1+x2;ezplot(y,[-1,1]);4.x1=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)')x2=conj(x1);z=x1-x2;ezplot(z,[-1,1]);§3.2 连续时间傅立叶级数中的能量关系目的分别在时域和频域求信号能量，验证帕斯瓦尔定理。
第三章 连续时间周期信号的傅里叶级数分析
即： x(t) akeskt
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(n)
ak
H
(Z
k
)Z
n k
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
0
2 T0
则有 k
可以表
x(t)e jn0t
a e j (k n)0t k
k
对两边同时在一个周期内积分，有
T0 x(t)e jn0t dt 0
a e dt T0 k0
j (k n)0t
k
T0 e j(kn)0t dt 0
T0 0
cos(k
n)0tdt
j
T0 0
sin(k
n)0tdt
信号对称性与频谱的关系：
当 x(t) x时(，t) 有
ak
1 T0
T0 2
T0 2
x(t)e jk0tdt
2 T0
T0
0 2 x(t) cos k0tdt
表明：偶信号的 ak是关于 的k 偶函数、实函数。
当 x(t) 时x(，t)有
1
ak T0
T0 2
T0 2
x(t)e
jk0tdt
j
结论：
❖ 复指数函数 est 、z n 是一切LTI系统的特征函
数。H (s)、H (z)分别是LTI系统与复指数信号相对
实验三 连续周期性时间傅里叶系数
实验三连续周期性时间信号的傅里叶级数一、实验目的：1. 进一步掌握MATLAB子函数的表示方法2. 深刻理解傅里叶级数的信号分解理论及收敛性问题3. 理解周期性信号的频谱特点。
二、实验原理傅里叶级数设有连续时间周期信号，它的周期为T，角频率，且满足狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。
傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
1. 三角形式的傅里叶级数：式中系数，称为傅里叶系数，可由下式求得：[2. 指数形式的傅里叶级数：式中系数称为傅里叶复系数，可由下式求得：周期信号频谱具有三个特点：（1）离散性，即谱线是离散的；（2）谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上；（3）收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小。
周期信号的MATLAB表示周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时，本质上是对信号进行数值积分运算。
在Matlab中有多种进行数值积分运算的方法，我们采用quadl函数，它有两种其调用形式。
(1) y＝quadl(‘func’, a, b)。
其中func是一个字符串，表示被积函数的.m文件名（函数名）；a、b分别表示定积分的下限和上限。
(2) y＝quadl(@myfun, a, b)。
其中“@”符号表示取函数的句柄，myfun表示所定义函数的文件名。
例：用MATLAB计算脉冲宽度T1 = 2；周期T = 4的周期性脉冲信号的复傅里叶级数，分别画出N = -2:2， -10:10， -50:50， -200:200的傅里叶级数展开及合成，观察吉普斯效应。
画出T = 4， T =8下的双边谱A.首先创建一个子函数singRect（t, T1），表示单个脉冲信号，时间为t，宽度为T1。
function y = singRect(t, T1)y = (abs(t) <= T1);endB.创建傅里叶积分的被积子函数function y = rectExp(t, k, w)y = (abs(t) <= 1) .* exp(-1j*k*w*t);endC.创建子函数用于傅里叶级数计算及合成function [x, ak] = fourierSeries(N, t)T1 = 1;T = 4; w = 2 * pi/T;ak = zeros(1, 2 * N + 1);for i = 1:2*N+1 %傅里叶分解，计算傅里叶系数akak(i) = quadl(@(t)fsInt(t, i - N - 1, w, T1), -2, 2)/T;end;x = 0;for i = 1:2*N + 1 %傅里叶级数合成x = x + ak(i) * exp(1j*(i - N - 1)*w*t);endendD.创建main函数，计算不同N下的傅里叶级数及合成。
连续时间周期信号的傅里叶级数
实验名称 连续时间周期信号的傅里叶级数一、实验目的：1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法。
2、观察由矩形窗函数截断产生的Gibbs 现象，了解其特点、产生的原因及消除的方法。
3、掌握周期函数的傅里叶级数计算方法和编程技术。
二、实验原理：（一）傅里叶级数（FS ）展开周期为T1连续时间周期信号，若满足狄利克莱条件，就可以展开成FS 。
其中三角形式的傅里叶级数为：]2sin 2cos [2 ]sin cos [2)(11101110kt T b kt T a a t k b t k a a t x k k k k k k ππωω∑∑∞=∞=++=++= (1)其中112T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度。
其中：⎰⎰++==100100d sin )(2d cos )(21111T t t k T t t k t t k t x T b t t k t x T a ωω (2)连续时间周期信号x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为22k k k b a A += kk k a b arctan =ϕ (3)其中k 与频率的关系为1ωωk =，因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随频率变化的规律。
三角形式的傅里叶级数表明，一个周期信号x(t) 如果满足狄里克莱条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为Ak 。
反过来理解三角傅里叶级数：用无穷多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。
（二）吉布斯（Gibbs ）现象当利用(1)式对一个周期函数作实际展开运算时，对k 的求和过程不可能进行到无穷，只能到某一有限值K ，即相当于在频域用一个矩形窗函数W K (k)与FS 的求和式相乘，得到一个频域有限长序列X(k)⋅W K (k)，因此实际FS 展开式为∑∞=++=1110)(]sin cos [2)(k K k k k W t k b t k a a t x ωω∑=++=Kk k k t k b t k a a 1110]s i n c o s [2 ωω (4)K 越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。
连续时间傅里叶变换
欢迎共阅第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4)(i) (ii) (iv) (v) (vi) (5) (i) (ii)(iii)(iv) (v) (6) (i) 1111n n n n n F a jb a F -==-=22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2π=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。
(iii)奇信号的FS ：00==n a a ；⎰ω=111sin )(2Tn tdt n t f T b ；n n n n jF b d c 2===；n n n jb F F 21-=-=- (n F 纯虚，奇对称)； 2π-=ψn ；0=θn(iv) 奇的周期信号的FS 系数只有正弦项。
(7) 周期信号的傅里叶频谱：(i) 称{}n F 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS 谱。
(ii)称{}n F 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS 幅度谱。
(iii)称{}n ϕ为傅里叶复数相位频谱，简称FS 相位谱。
(iv)周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率1ωn (或频率1nf )上有值。
(v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T π=ω。
(vi)FS 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS 频谱的值、幅度和相位 (vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。
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实验三 连续时间傅里叶级数§3.1 连续时间傅立叶级数的性质 目的本练习要检验连续时间傅立叶级数（CTFS ）的性质。
实验内容：1．满足)()(11T t x t x +=的最小周期T 是多少？利用这个Ｔ值，用解析法求)(1t x 的CTFS 系数。
2．考虑信号)()()(11t x t x t y -+=，利用CTFS 的时间倒置和共轭性质求)(t y 的CTFS 系数。
3．在11≤≤-t 上画出信号)(t y 。
能预计出什么样的对称性？能够利用CTFS 的对称性说明它吗？4．考虑信号)()()(*11t x t x t z -=。
利用CTFS 的时间倒置和共轭性质求)(t z 的CTFS系数。
代码： 1.x=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)'); t=linspace(-1,1,1000); subplot(311); ezplot(x,[-1,1]); grid on ; k=[-5:5]; syms t ;f=x*exp(-i*2*pi*t*k); Fn=int(f,t,0,1); F=abs(Fn); subplot(312); subplot(313); stem(F);2.x1=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)'); x2=subs(x1,-t,t);y=x1+x2;t=linspace(-1,1,1000);k=[-5:5];syms t;f=y*exp(-i*2*pi*t*k);Fn=int(f,t,0,1);F=abs(Fn)；subplot(211);stem(Fn);subplot(212);stem(F);3.x1=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)') x2=subs(x1,'(-1*t)','t')y=x1+x2;ezplot(y,[-1,1]);4.x1=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)')x2=conj(x1);z=x1-x2;ezplot(z,[-1,1]);§3.2 连续时间傅立叶级数中的能量关系目的分别在时域和频域求信号能量，验证帕斯瓦尔定理。
相关知识一个硬限幅器是一种器件，其输出是即时输入信号符号的函数，具体说就是当输入信号)(t x是正时，输出信号)(t y等于1；而当)(t x是负时，输出信号)(t y等于－1。
调频（FM ）的某些部分或雷达系统中都常用硬限幅器处理某一即时输入信号的相位，而不管任何可能的幅度失真。
在本练习中要考虑将信号0()c o s ()x t t ω=通过硬限幅器的输出)(t y 的问题。
中等题1．求信号)(t y 的CTFS 表示。
提示：利用CTFS 性质，并根据周期为T 的对称方波⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<= T t 4 04 1)(T T t t s具有CTFS 系数k a 为 kk a k ππ)2s i n (= 的知识。
2．一个周期信号的基波分量的能量可以定义为2121-+a a ，其中k a 是该信号的CTFS 。
试计算输出)(t y 和输入)(t x 中的基波分量的能量，能量有增益或损失吗？能说明能量变化的原因吗？3．利用帕斯瓦尔定理求该信号一个周期内的总能量，利用前100个频率，即100,<k a k 近似这个和式，这个和式收敛到何值？4．为了观察该能量估计值收敛得有多快，试画出该信号能量估计值作为在和式中所用项数个数的函数图。
∑-==nnk kn ae 2深入题（可选）5．利用该信号能量的解析式求下面和式的闭式表达式：∑∞=+02)12(1k k提示：利用帕斯瓦尔定理将总能量的时域和频域表达式联系起来。
代码： 1.syms t;k=[-20:20];ak=(sin((k+eps)*pi/2)./((k+eps)*pi))fk=ak.*(1-exp(-i.*(k+eps)*pi));stem(k,fk);2.x=sym('cos(pi*t)^2');ex=int(x,0,2)ey=((sin(pi/2)./(pi)).*(1-exp(-i*pi)))^2+((sin(pi/2)./(pi)).*(1-e xp(i*pi)))^2运行结果：ex =1 ey = 0.8106系统传递的过程中有能量的损失。
3.syms t;k=[-100:100];ak=(sin((k+eps)*pi/2)./((k+eps)*pi));fk=ak.*(1-exp(-i.*(k+eps)*pi));figure(1)stem(k,fk);Ey=sum(abs(fk).^2);x=sym('cos(pi*t)');f=x*exp(-i*2*pi*t*k);fx=int(x.^2,t,0,2);e=2*Ey;Ex=abs(sum(x.^2));4.syms t;k=[-30:30];ak=(sin((k+eps)*pi/2)./((k+eps)*pi)); fk=ak.*(1-exp(-i.*(k+eps)*pi));y=abs(fk);Py=(y.^2);cumsum(Py,2)stem(k,2*Py)5.syms t;x=1./(2*k+1).^2;y=x.*exp(i.*k*pi*t); f=sum(y)ezplot(t,f)§3.3 用傅立叶级数综合连续时间信号 目的学习CTFS 系数的连续时间信号的傅立叶分析与综合。
相关知识一大类连续时间周期信号可以表示成如下和式 ∑∞-∞==k tT jk kea t x )2()(π式中k a 是连续时间傅立叶级数（CTFS ）。
本练习要综合具有较少非零系数个数的信号，将考虑具有无限个非零CTFS 系数的连续时间信号的傅立叶分析与综合。
基本题对于这些习题要用少数几个非零的傅立叶级数系数构造周期信号的符号表达式。
3个信号的基波周期和非零的CTFS 系数给出如下：i a a i a a i a a i a a T t x i a a i a a i a a i a a T t x a a a a T t x 81;41;21;;4:)( .381;41;21;;2:)( .22;5;1:)( .1*44*33*22*113*44*33*22*11233111=========-====-==========---------- 对每一信号创建连续时间信号的符号表达式，并用ezplot 画出信号的两个周期。
若已知)(2t x 的图，如何能由两个信号的傅立叶级数系数预计)(3t x 的图？如何本来就能根据傅立叶系数预计出3个信号中每一个都应该是实信号？ 中等题 定义⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0 10 00 1)(k k k k sign并考虑具有下面基波周期T 和傅立叶级数系数k a 的信号：4．⎪⎩⎪⎨⎧>≤+==K k K k k a T t x k 011;5:)(245．⎪⎩⎪⎨⎧>≤-==K k K k k sign a T t x kk 0 )2(1)(;20:)(5对每一信号K ＝1，3和9。
对每个K 值，创建对)6,5,4)((=n t x n 的符号表达式，并用ezplot 画出各信号的两个周期。
如果信号为复数，要单独分开画出它们的实部和虚部。
6．怎样本就能由傅立叶级数系数预计到哪个信号应该是实信号？ 代码： 1 2 3.syms t ;x1=simple(5*(exp(i*2*pi*t)+exp(-i*2*pi*t))+2*(exp(i*6*pi*t)+exp(-i*6*pi*t)))x2=simple(i*(exp(i*pi*t)-exp(-i*pi*t))-1/2*i*(exp(i*2*pi*t)-exp(-i*2*pi*t))+1/4*i*(exp(i*3*pi*t)-exp(-i*3*pi*t))-1/8*i*(exp(i*4*pi*t)-exp(-i*4*pi*t)))x3=simple(i*(exp(i*1/2*pi*t)-exp(-i*1/2*pi*t))+1/2*i*(exp(i*pi*t)-exp (-i*pi*t))+1/4*i*(exp(i*3/2*pi*t)-exp(-i*3/2*pi*t))+1/8*i*(exp(i*2*pi *t)-exp(-i*2*pi*t))) subplot(2,2,1) ezplot(t,sym(x1)) axis([0,8,-10,10]) subplot(2,2,2) ezplot(t,sym(x2)) axis([0,8,-5,5]) subplot(2,2,3) ezplot(t,sym(x3)) axis([0,8,-5,5])4.syms t;k=[-9:9];x4=1./(k.^2+1);y4=x4.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)); x5=sign(k)./(-2).^abs(k);y5=x5.*(exp(i*2*pi/20.*k*t)); x6=1./(2.^abs(k+2));y6=x6.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)); subplot(221)ezplot(t,sum(y4),[-5,5]) subplot(222)m=simple(sum(y5))；mr=simple(real(m))；mi=simple(imag(sum(y5)))；ezplot(t,mr,[-20,20])subplot(223)ezplot(t,mi,[-20,20])subplot(224)ezplot(t,sum(y6),[-5,5])5.syms tk=[-3:3];ak1=1./(k.^2+1)x1=ak1.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)) subplot(2,2,1)ezplot(sum(x1),[-5,5])ak2=sign(k)./(-2).^sqrt(k.*k) x2=ak2.*(exp(i*pi/10.*k*t)) subplot(2,2,2)ezplot(t,sum(x2),[-20,20])ak3=1./2.^sqrt((k+2).^2)x3=ak3.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)) subplot(2,2,3)ezplot(t,sum(x3),[-5,5])§3.4方波和三角波的傅立叶表示 目的这个练习要用傅立叶级数分析周期方波，对信号将研究截断的傅立叶级数重构公式，特别要研究随N 的增大，)(t x N 是如何收敛的？ 相关知识一般来说，傅立叶级数系数可有无限个非零值。