山东省东营市黄河口中学九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象(第1课时)导学案
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)(第2课时)(一)
1
2
y (x 1)
1
？
2
③抛物线 y 1 x2
2
经过怎样的平移可以得到抛物线
1
2
y (x 1) 1
？
2
总结结论:把抛物线
12 y x
2
向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长
度,就得到抛物线
y
1
(x
2
1)
1
.
2
(3)观察抛物线y=x2,y=(x-1)2,y=(x-1)2+1,你
能用类比的方法判断这三条抛物线之间的 位置关系吗?
以先左、右移,再上、下移.
(2)对称轴是直线x=h.
(3)顶点坐标是(h,k).
(4)如果a>0,当x<h时,y随x的增大而减小,当 x>h时,y随x的增大而增大.如果a<0,当x<h 时,y随x的增大而增大,当x>h时,y随x的增大
而减小.
(5)将抛物线y=ax2先向上或向下平移|k| 个单位长度(k>0时,向上平移;k<0时,向下 平移),可得到抛物线y=ax2+k,然后再将抛 物线y=ax2+k向左或向右平移|h|个单位 长度(h>0时,向右平移;h<0时,向左平移), 就可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,当然也可
结论:这三条抛物线的开口 方向和开口大小相同,顶点
坐标不同,只有抛物线y=(x1)2和抛物线y=(x-1)2+1的 对称轴相同;抛物线y=x2向
右平移1个单位长度,再向 上平移1个单位长度,就得
到抛物线y=(x-1)2+1.)
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点: (1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
人教部初三九年级数学上册 22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 名师教学PPT课件
4.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那
么平移后抛物线的解析式是 y=-(x+3)2或y. =-(x-3)2
5
.若（-
13 4
，y1）（-
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次
函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小
关系为__y_1__＞__y_2__＞___y_3_.
（5）若3≤x≤5，求y的取值范围；
（5）∵当x＞1时，y随x的增大而 增大，当x=3时，y=2;当x=5时， y=8, ∴当3≤x≤5时，y的取值范围 为2≤y≤8.
想一想：若-1≤x≤5，求y的取值范 围∵；当-1≤x≤5时，y的最小值为0，
∴当-1≤x≤5时，y的取值范围 是0≤y≤8.
注意：已知自变量取 值范围，求函数值的 范围时，注意该函数 是否在自变量取值范 围内取最值
课堂小结：
（6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如 果x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小． （6）∵当x＜1时，y随x的增大
而减小，
∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.
变式1：若点A(m，y1)，B(m+1，y2) 在抛物线的图象上，且m＞1，试比 较y1，y2的大小，并说明理由． ∵m＞1，∴1＜m＜m+1，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2.
变式2：若点A(0，y1)，B(4，y2)在抛 物线的图象上，，试比较y1，y2的大
小，并说明理由．
二 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
想一想
抛物线 y
1 x 1 2 ，y
2
1 x 1 2 与抛物线 y
2
人教版数学九年级上册22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质-课件
图象 k>0
开口方向
向上
对称轴 顶点坐标
y轴（直线x=0） （0,k）
函数的增减性 最值
当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时，y 随x增大而增大.
x=0时，y最小值=k
向下 y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
问题2 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
学习难点 3.能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的开口方向、对 称轴、顶点.
抛物线y=a(x-h)2(a≠0)与抛物线 y=ax2(a≠0)的平移规律.
导入新课
复习引入
问题1 说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象的特征.
a的符号
a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0
a<0,k<0
平移法
y=ax2
图象的特征
平移规律：
开口方向 a>0Biblioteka 开口向上顶点坐标（h,0）
a<0,开口向下 对称轴
直线x=h
括号内：左加右减；括号外不变.
课后作业
见《学练优》本课时练习
一 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
探究归纳 例1 画出二次函数 y1x12,y1x12
2
2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1x12
2
···
－2
-1 2
人教版九年级数学上册 第22章 22.1.3 《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》
人教版九年级数学上册第22章二次函数22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质同步测试题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )2．对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是( )A．顶点坐标为(－3，2)B．对称轴为直线x＝－3C．当x＞3时，y随x的增大而增大D．当x＞3时，y随x的增大而减小3．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )A．m>1 B．m>0C．m>－1 D．－1<m<04.把抛物线y＝－2x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的解析式为( ) A．y＝－2(x＋1)2＋2 B．y＝－2(x＋1)2－2C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2－25. 将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( )A ．y ＝2x 2＋1B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2(x －8)2＋1D ．y ＝2(x －8)2－36. 抛物线y ＝a(x ＋1)2＋2的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点的坐标是( ) A ．(12，0) B ．(1，0)C ．(2，0)D ．(3，0)7．如图是对称轴相同的两条抛物线，下列关系不正确的是( ) A ．h ＝m B ．k ＝n C ．k ＞nD ．h ＞0，k ＞08. 已知二次函数y ＝(x －h)2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( ) A ．1或－5 B ．－1或5 C ．1或－3D ．1或39．若直线y ＝mx ＋n 经过第一、二、四象限，则抛物线y ＝(x －m)2＋n 的顶点必在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．如图，动点A 在抛物线y ＝－(x －1)2＋4(0≤x ≤3)上运动，直线l 经过点(0，6)，且与y 轴垂直，过点A 作AC ⊥l 于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则另一对角线BD 的取值范围正确的是( ) A ．2≤BD ≤3 B ．3≤BD ≤6 C ．1≤BD ≤6 D ．2≤BD ≤6第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．抛物线y=5(x-4)2+3的顶点坐标是 .12. 点A(-1,m)和点B(-2,n)都在抛物线y=(x-3)2+2上,则m 与n 的大小关系为m n(填“<”或“>”). 13. 已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是 .14．将抛物线y ＝x 2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后抛物线的表达式为_________________________.15．抛物线y ＝－3(x ＋3)2－3的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________． 16.如图所示，已知抛物线C 1，C 2关于y 轴对称，抛物线C 1，C 3关于x 轴对称，如果抛物线C 2的解析式是y ＝34(x ＋2)2－1，那么抛物线C 3的解析式是_____________________．17．已知点(－1，y 1)，(－312，y 2)，(－2，y 3)都在函数y ＝3(x ＋1)2－2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______________.18. 如图，已知抛物线l 1∶y ＝12(x －2)2－2与x 轴分别交于点O ，A 两点，将抛物线l 1向上平移得到l 2，过点A 作AB ⊥x 轴交抛物线l 2于点B ，如果由抛物线l 1、l 2、直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l 2的解析式为_____________________.三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标： (1)y ＝3(x －1)2＋2；(2)y ＝－13(x ＋1)2－5.20. (6分)已知抛物线y ＝a(x －3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a 的值；(2)若点A(m ，y 1)，B(n ，y 2)(m ＜n ＜3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．21. (6分) 把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．22．(6分) 如图，某次体育测试中，一名男生推铅球的路线是抛物线，最高点为(6，5)，出手处点A 的坐标为(0，2)．(1)求抛物线的解析式； (2)问铅球可推出多远？23．(6分) 某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为103 m ，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动(如图)，在离中心水平距离4 m 处达到最高，高度为6 m ，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径AB 是多少？24．(8分) 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)， 且过点B(3，0)．(1)求该二次函数的解析式；(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．25．(8分) ) 已知抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的交点为A，B(B在A的右边)，与y轴的交点为C.(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论；(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案 1-5 DCBAA 6-10 BBBBD 11. (4,3) 12. < 13. x ≥-3 14. y ＝(x ＋2)2－5 15. x ＝－3，(－3，－3) 16. Y=-34(x-2)2+1 17. y 2＞y 3＞y 1 18. y ＝12(x －2)2＋2 19. 解：（1）开口向上，对称轴是直线x ＝1, 顶点(1，2) （2）开口向下，对称轴是直线x ＝－1，顶点(－1，－5) 20. 解：(1)a ＝－1(2)由题意得抛物线的对称轴是直线x ＝3， ∵抛物线开口向下，∴当x ＜3时，y 随x 的增大而增大， 而m ＜n ＜3， ∴y 1＜y 221. 解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5(2)它的开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5) 22. 解：(1)设y ＝a(x －6)2＋5， 把(0，2)代入，得a ＝－112，∴y ＝－112(x －6)2＋5(2)当y ＝0时，x 1＝6＋215，x 2＝6－215(舍去)， 故可推出(6＋215)m 远23. 解：设y 轴右侧抛物线的解析式为y ＝a(x －4)2＋6，将(0，103)代入得16a ＋6＝103，解得a ＝－16，∴抛物线的解析式为y ＝－16(x －4)2＋6，令y ＝0得－16(x －4)2＋6＝0，x 1＝10，x 2＝－2(舍) ∴AB ＝10－(－10)＝20(m)． 答：这个喷水池的直径AB 是20 m24. 解：(1)设二次函数解析式为y ＝a(x －1)2－4， ∵二次函数图象过点B(3，0)， ∴0＝4a －4，得a ＝1，∴二次函数解析式为y ＝(x －1)2－4 (2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0， 解方程得x 1＝3，x 2＝－1，∴二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(3，0)和(－1，0)，∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点，平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标为(4，0) 25. 解：(1)正确的结论有： ①点坐标为(1，1)； ②图象开口向下；③象的对称轴为直线x ＝1； ④数有最大值1；⑤当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；⑥当x ＞1时，y 随x 的增大而减小等(选答3个即可)(2)由题意，若△BOC 为等腰三角形，则只能OB ＝OC.由－(x －m)2＋1＝0， 解得x ＝m ＋1或x ＝m －1.∵B 在A 的右边，∴B 点的横坐标为x ＝m ＋1＞0， OB ＝m ＋1.又∵当x ＝0时，y ＝1－m 2＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0，1－m 2＜0， 解得m ＞1. 由m ＋1＝m 2－1，解得m ＝2或m ＝－1(舍去)，∴存在△BOC 为等腰三角形的情形，此时m ＝2。
人教版数学九年级上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2的函数图象和性质(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=a(x-h)²的函数图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常学习中是否遇到过需要分析抛物线形状的问题？”（如抛物线运动的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y=a(x-h)²的基本概念、图象性质和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-二次函数的增减性、最大（小）值及其与a的正负关系；
-实际问题中二次函数的模型构建和求解。
举例：讲解a的正负对函数图象开口方向的影响，以及h对对称轴位置的影响；通过图象分析最大（小）值出现的条件及其计算方法。
2.教学难点
-理解a、h的参数变化对二次函数图象的具体影响，尤其是对图象开口大小和顶点位置的综合判断；
此外，实践活动环节，同学们在分组讨论和实验操作中表现积极，但成果展示时，部分小组的表达能力还有待提高。针对这一问题，我打算在后续的教学中，多给予同学们表达和展示的机会，以提高他们的语言组织和表达能力。
在小组讨论中，同学们对二次函数在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到有些同学在讨论时过于依赖教材，缺乏独立思考。为了培养同学们的创新意识，我将在今后的教学中，鼓励他们多角度、多维度地思考问题。
九年级数学人教版(上册)22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
小 大
归纳总结
图象 （示意图）
归纳总结
图象 （示意图）
归纳总结
图象 （示意图）
归纳总结
归纳总结
开口方向 开口大小 对称性 增减性
开口向上
开口向下
探究思考
逆向思考
探究思考
∴ 向右平移6个单位长度，向上平移4个单位长度．
探究思考
∴ 向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度．
还有别的方法吗？
探究思考
∴向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度．
只需考虑顶点坐标的平移．
探究思考
探究思考
探究思考
探究思考
探究思考
常见条件：抛物线形状；平移前后解析式；对称 轴；最值；顶点探究思考
探究思考
抛物线上的点越接近顶点，纵坐标越大； 横坐标越靠近对称轴，对应的函数值越大．
探究思考
课堂小结
布置作业
同学们，再见！
人教版数学九年级上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件1
-7
2
-8
y 1 (x 1)2 2
用平移观点看函数：
抛物线 y a(x h)2可以看作是由 抛物线 y ax2平移得到。 y
(1)当h>0时，向右平移 h 个单位；
ox
(2)当h<0时，向左平移 h 个单位。
4、二次函数 y (x 2)2是由二次函 数 y x2向 平移 个单位得到的。
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 2
y 1 x2 2
··· 9 －2 1 0 1 －2 9
···
2
2
2
2
···
9 －2 1 0 1 －2 9 ···
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
2
2
··· 9 －2 1 0 1 －2 9
···
2
2
2
2
y
可以看出，抛物线 y 11((xx11))22
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
c>0
c<0
开口向上
c>0 c<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y 1 (x 1)2
2
和 y 1 (x 1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴
2
和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系。
先列表：
x
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 2
··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
人教版初中数学九年级上册22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质2
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y＝6x2 得到抛物线 y＝6(x－3)2＋3 和抛
物线 y＝6(x＋3)2－3；
(4)试讨沦函数 y＝6(x＋3)2－3 的性质；
3．不画图象，直接说出函数 y＝－2x2－5x＋7 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
1
1
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y＝－ x2 得到抛物线 y＝－ x2－1 和抛物
2
2
1 线 y＝ (x＋1)2－1；
2
1 (4)试讨论函数 y＝－ (x＋1)2－1 的性质。
2
2．已知函数 y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3 和 y＝6(x＋3)2－3。
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22.1.3 二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质
第 3 课时 二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质
教学目标：
1．使学生理解函数 y=a(x－h)2＋k 的图象与函数 y=ax2 的图象之间的关系。 2．会确定函数 y=a(x－h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数 y=a(x－h)2＋k 性质的探索过程，理解函数 y=a(x－h)2＋k 的性质。
顶 点 (0，0)
问题 2：从上表中，你能分别找到函数 y=2(x－1)2＋1 与函数 y=2(x－1)2、y=2x2 图象的关系
2022九年级数学上册 第22章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质 3二次函数y=a(x-h)
解：(1)在y＝－x－2中，令x＝0，则y＝－2，令y＝0， 则x＝－2，∴点B的坐标为(0，－2)，点A的坐标为 (－2，0)．∵抛物线y＝a(x－h)2的顶点为A，∴y＝a(x ＋2)2.∵抛物线经过点B，∴4a＝－2，解得a＝－ 1 ，
＝ 1 ×4×16－ 1 ×4×4＝24.
2
2
拔尖角度一 抛物线与平移综合
18.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上， OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向右平移1个单位长度后得 到△AA1B1. (1)求以A为顶点且经过点B1的抛物线的解析式；
OA＝AB可得直线OB的解析式为y＝x.由
y
=
x,
2 解得
x 1 =
3
+ 2
5,
y
1
=
3
+ 2
5,
x 2 =
3
2
5
,
Байду номын сангаас
y
2
=
32
5
,
y = x - 1 ,
∵x1＝ 3 5 >1，不合题意，舍去，
2
∴点C的坐标为( 3 5 ，3 5 )．
2
2
拔尖角度二 与抛物线有关的线段和最短问题
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点一 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝1 (x－2)2的图象可能是(D )
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22.1.3 二次函数y=a （x －h ）2+k 的图象
【学习目标】
会用二次函数()k h x a y +-=2
的性质解决问题；
【学习过程】 一、知识链接：
1.抛物线22(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。
当x 时，y 随x 的增大而增大.
2. 抛物线22(+1)3y x =--是由22y x =-如何平移得到的？答： 。
二、自主学习
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？ 分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。
2.仔细阅读课本第10页例4：
分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点
是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。
由已知条件可设抛物线的解析式为 。
抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。
求水管的长就是通过求点 的 坐标。
二、跟踪练习：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.
(1) 直接写出点A 及抛物线顶点P 的坐标； (2) 求出这条抛物线的函数解析式；
三、能力拓展 1.知识准备
如图抛物线()2
14y x =--与x 轴交于A,B 两点，交y 轴于点D 抛物线的顶点为点C
（1） 求△ABD 的面积。
（2） 求△ABC 的面积。
（3）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。
（4）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。
（5）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。