0309计数问题
高中数学人教A版选修2-3 基本计数原理例题和练习
基本计数原理(1)分类加法计数原理:做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事情共有N=m1+m2 +……+m n种不同的方法。
(2)分步乘法计数原理:做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N= m1 ×m2 ×……× m n种不同的方法。
计数问题是数学中的重要研究对象，解决计数问题，其基本方法是列举法、列表法、树形图法等：其中级方法是分类加法原理和分步乘法原理：其高级方法是排列组合，基本计数原理是连接初级方法和高级方法的“桥梁”，是核心的方法，是解决计数问题的最重要的方法，而排列组合问题的方法：①特殊元素、特殊位置优先法。
②间接法。
③相邻问题捆绑法。
④不相邻(相间)问题插空法。
⑤有序问题组合法。
⑥选取问题先选后排法。
⑦至多至少问题间接法。
⑧相同元素分组可采用隔板法。
⑨分组问题等。
[例1]用0, 1, ..9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）。
A.243B.252C.261D.279[解析]0，1, 2，…，9共能组成9×10×10=900 (个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8=648 (个)，∴有重复数字的三位数有900-648=252 (个)。
故选B。
[注意]三位数一定要保证最高位不为0.[例2] 6名同学排成一排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有（）种不同站法。
[解析]法一: (位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步:第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有25A 种站法：第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有44A 种站法。
中考数学《计数方法》专题复习考点讲解(含答案)
计数方法考点图解技法透析1．计数计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来．在计数时应遵循的原则是：既不重复也不遗漏．2．计数问题中常运用的方法(1)穷举计数法：当研究对象比较简单数目也不大时，穷举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，最后再求出总数．(2)分类计数法：将研究对象按一定标准分类，然后逐步计数，得出总数，这种方法要用到加法原理．(3)分步计数法：当研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，我们需要将其分成若干步，然后将每一步的方法数相乘，便可得出总数，这种方法要用到乘法原理．(4)递推过渡法：当研究的对象数目较多又比较复杂时，我们常通过对较少数量对象的观察，采用从简单到复杂，从特殊到一般，探究其变化的规律，最后计算出总数．(5)加法原理和乘法原理：当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理：①加法原理：完成一件事情，共有n类办法，第一类办法中又有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，第三类办法中又有m3种不同的方法……，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有：m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法．②乘法原理：完成一件事情，共分n个步骤，第一步中又有m1种不同方法，第二步中又有m2种不同方法，第三步中又有m3种不同方法……．第n步中有m n种不同方法，那么完成这件事情共有：m1·m2·m3…·m n种不同方法．3．几何计数问题(1)简单图形个数的计算：这类问题中出现的图形的组成一般比较简单，没有过多的限制条件，但图形数量和计算量都很大，此类计数问题通常需要根据具体问题寻求一定的规律和运用一定的计数方法来解决．(2)条件图形个数的计算：这类问题的图形数目较多且较复杂，所求的是满足某种限制条件的几何图形的个数，解决此类问题的关键是对限制条件的分析，这些条件的要求往往决定了所求图形的不同情况和种类，此为分类计数的重要依据．(3)分割或包围图形个数的计算：它们是指用一类几何图形（如直线）去分割另一类几何图形（如平面或其他封闭图形），或者一类封闭图形包含另一类封闭图形，解决此类问题，除了掌握必要的分割与包含的几何知识之外，还需要借助有关统计的方法和技巧．名题精讲考点1分类枚举法计数例1 在1到300这300个自然数中，不含有数字3的自然数有_______个．【切题技巧】利用分类枚举法，按数的位数分类；即不含有数字3的一位数有几个；不含数字3的两位数有几个；不含数字3的三位数有几个，最后求出总数．【规范解答】∵不含有数字3的一位数有8个；不含有数字3的两位数有72个；不含有数字3的三位数有162个．∴不含有数字3的自然数共有8＋72＋162＝242个．【借题发挥】分类枚举法就是将所研究对象按某一标准分类，然后把研究对象的各种可能一一列举出来，最后数出总数的方法，这种方法要用到加法原理．在运用枚举法时，必须无一重复，无一遗漏，且枚举法常与分类讨论结合运用，故称为分类枚举法．【同类拓展】1．在1000以内的自然数中，各位数字之和等于16的有多少个？考点2分步法计数例2 某城市街道如图，一个居民要从A处前往B处，如果规定，只能沿从左向右或从上向下的方向走，那么该居民共有几条可选择的路线？【切题技巧】本例看起来复杂，但可以从简单情况入手寻找规律，按从上向下，从左向右的顺序，从简单情况分步来看复杂问题．如先考虑简单情况如图(1)中的正方形，可知以A到C的方法有2种，再考虑如图(2)中的情况，可以从A到D的方法共有3种……【规范解答】从简单情况入手，先考虑如图(1)中的小正方形，不难发现，从A到C 共有2种方法；再考虑如图(2)中的情况，同样可知：从A到D共有3种方法……从而可总结出下述规律：到右下角终点的走法等于它所在小正方形右上角和左下角走法之和，故依次标出每个小正方形的走法不断累加，即可得到答案．由图(3)可知共有40种走法．【借题发挥】(1)分步计数法就是指当所研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，将问题分成若干步，最后求出各步的总数．(2)在利用分步法计数时，要克服盲目性和随意性，一定要按照法则或顺序进行、从简单情况人手分步来思考复杂问题是解决问题的常用技巧．(3)分步法常与分类法结合求解．【同类拓展】2．在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名，在期末考试中，他们又是班上的前四名，如果他们当中只有一位的排名与期中考试的排名相同，那么排名情况有_______种可能；如果他们排名都与期中考试中的排名不同，那么排名情况有_______种可能．考点3 递推过渡法计数例3 小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级或两级，若她要从地面（0级）步行到第9级，问她共有多少种不同的上楼梯的方式．【切题技巧】因为楼梯台阶较多，我们可以先考虑以简单入手．(1)若只有1级台阶，则只有唯一上楼梯方式；(2)若有2级台阶，则有两种上楼梯的方式：①一级一级地上；②一步两级地上；(3)若有3级台阶，则有三种上楼梯的方式：①一级一级地上，②先一级后2级地上，③先2级后1级地上……如此类推．【规范解答】设小美上第n级楼梯有a n种上法，通过分析易知a1＝1，a2＝2，a4＝5，a n＋2＝a n＋1＋a n，n＝1，2，3，…，从而递推可得：a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55．所以小美共有55种不同的上楼梯的方式．【借题发挥】(1)当研究对象比较复杂时，要很自然地想到从特殊到一般的思维方式．即从特殊的简单的情况人手探索变化的规律，(2)用递推过渡法计数时先要从最简单情况和特殊情况入手分析，发挥观察、归纳猜想的思想方法，最终探索出变化规律，且在探索一般的规律时，应注意抓住问题的实质为最后计数提供依据．【同类拓展】3．平面上n个圆（n为正整数），最多能把平面分成多少个部分？考点4加法原理和乘法原理法计数例4 观察如图所示的图形：根据图(1)、(2)、(3)的规律，则图(4)中三角形的个数为_______．【切题技巧】通过观察知：图(1)中三角形的个数为：1＋4＝5（个）；图(2)中三角形的个数为：1＋4＋3×4＝17（个）；图(3)中三角形的个数为1＋4＋3×4＋32×4＝53（个），由图(1)(2)(3)中三角形的个数的规律，可知图(4)中三角形的个数为1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161（个）【规范解答】161个【借题发挥】(1)按本例中图(1)、(2)、(3)……的图形规律，则图（n）中三角形的个数为：1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＋…＋3n－1×4（个）．(2)当研究对象为比较复杂的计数问题中，我们常需要用到加法原理与乘法原理，而且还需要对研究对象进行分析，从简单情形入手，通过观察、归纳、猜想，最后找出其变化规律，再依据规律计算其个数．【同类拓展】4．一个三角形最多将平面分成两部分，两个三角形最多将平面分成8个部分，10个三角形最多将平面分成多少个部分？n个三角形呢？例5分正方形ABCD的每条边为四等分，取分点（不包括正方形的四个顶点）为顶点可以画出多少个三角形？【切题技巧】显然构成三角形的3个顶点不可能共线，即3个顶点不可能在正方形的同一边上，故最多有2个顶点在正方形的同一边上；又因为三角形顶点只能取分点，故必须在正方形的边上．因此只有两种情况：(1)三角形的顶点分别在正方形的三边长；(2)三角形的顶点分别在正方形的两条边上．【规范解答】分两类计算：(1)第一类：如图(1)三角形的顶点分别在正方形的在三条边上．首先，从4条边中取3条有4种取法；其次从每条边上取一点，各有3种取法，故总共计有4×3×3×3＝108（个）三角形．(2)第二类如图(2)，三角形的两个顶点位于正方形的一条边上，而第三个顶点在正方形的另一条边上．首先，从4条边取1条有4种取法，在这边3个分点中取2点，也有3种取法；其次，从其余3边中的9点中取1点，有9种取法，故共有4×3×9＝108（个）三角形．综上所述，两类合计，共有216个三角形．【借题发挥】(1)在使用加法原理和乘法原理时一定要明确两者的不同之处：在用加法原理时，完成一件事有n类方法，都能完成这件事，而用乘法原理时，完成一件事情可分为n步，只有每一步都完成了，这件事情才得以完成．(2)运用加法原理的关键在于合理适当地进行分类，使所分类既不重复又不遗漏；而运用乘法原理的关键在于分步骤，要正确地设计分步程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．【同类拓展】5．至少有两个数字相同的三位数共有( )个．A．280 B．180 C．252 D．396参考答案1．69个．2．9（种）．3．n2－n＋2（个部分）．4．10个三角形最多将平面分成272个部分，n个三角形最多将平面分成(3n2－3n＋2)个部分．5．C。
【奥数】全国通用三年级下册数学《数字计数》高斯课件
120
20
201
21
210
3个
4个
4个
1、涉及数字枚举时，需要 注意0不能在首位。 2、对于没有指定位数的问 题，可以按位数分类枚举。
一共： 3+4+4=11(个)
类与类之间有时会有很多相似性，可以 利用这些相似性大大减少枚举工作量。
如：以1开头的三位数和以2开头的三 位数是相似的，只要枚举清楚以1开 头的三位数有几个，就可以算出其他 类的个数了。
9996
9996
33
9987
9987 8997
9888
9888
9969
9978 8979
8988
9699
9897 8799
8898
6999
9879 9798
7998 7989
8889
9789 7899
4个
12个
4个
例题6、在所有的四位数中，各位数字之和超过32的共有多少个？
36 35 34 33 1个 4个 10个 20个
这节课你学会了什么？
导语
DIRECTORY
一 自我课堂表现怎么样？ 二 本节课学习的知识，学会了吗？ 三 说一说本节有什么收获。
1.自我反思今天的学习情况，总结 本课收获。
2.教科书课后第一题、第二题。 (20分钟内独立完成)
你专心听讲 的样子最美！
下课啦
交流
DIRECTORY
一 做课教师说课。 二 观课教师评课，主要交流、探讨不足之处。 三 做课教师进行教学反思，谈本课自我收获。
1+4+10+20=35（个）
总结：
分类方式非常多样，有时可以像例题1那样按位数分类，有时可以 像例题2那样按各个数位数字和分类，有时可以像例题3那样按相同 数字的位置分类，有时可以像例题4那样，按用不同数字分类。无 论是哪种分类方式，首先需要将有几类写清楚，然后再枚举出每类 的情况数，最后再将每类的情况数相加，即分类相加。
计数问题之递推法例题讲解【三篇】
计数问题之递推法例题讲解【三篇】分析与解答：如果我们通过计算找到答案比较麻烦，所以我们先从最简单的情况入手。
9×9＝81，有1个奇数；99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数；999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数；……从而可知，999…999×999…999的乘积*有10个奇数。
【第二篇】例题：分析与解答：这道题我们能够采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。
但是，这样计算的工作量比较大，我们能够从简单的情况开始研究。
【第三篇】例题： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。
问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？分析与解答：难的不会想简单的，数大的不会想数小的。
我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人实行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。
这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。
第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。
第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。
第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。
由此能够发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。
统计数字问题
统计数字问题问题描述：⼀本书的页码从⾃然数1开始顺序编码直到⾃然数n。
输的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含有多余的前导数字0.例如，第6页⽤数字6表⽰，⽽不是06或者006等。
数字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别⽤到多少次数字0,1,2...8,9。
算法设计：给定表⽰书的总页码的⼗进制整数n(1<=n<=10^9),计算书的全部页码中分别⽤到多少次数字0,1,2...8,9。
数据输⼊：输⼊数据由⽂件名为input.txt的⽂本提供。
每个⽂件只有1⾏，给出表⽰书的总页码的整数n。
结果输出：将计算结果输出到⽂件output.txt。
输出⽂件总共10⾏，在第k⾏输出页码中⽤到数字k-1的次数，k=1，2， (10)输⼊⽂件⽰例input.txt11输出⽂件⽰例output.txt1411111111我的思路特别简单，就是将页码数遍历⼀遍，每个页码计算其含有的数字，并将各个数值累加在⼀个全局数组中。
#include<iostream>#include<string.h>#include<unistd.h>#include<fstream>using namespace std;#define INPUT_FILE "input.txt"#define OUTPUT_FILE "output.txt"int count[10] = {};void input_book_num(char* file){ofstream fp;fp.open(file, ios::out);if(!fp){cerr<<"Open file failed."<<endl;exit(1);}int a = 0;cout<<"请输⼊书⽬页码：";cin>>a;fp<<a<<endl;fp.close();}void output(char* file, int nu)//将计算好的数据放⼊output.txt⽂件{ofstream fp;fp.open(file, ios::app);if(!fp){cerr<<"Open file"<<"\""<<file<<"\""<<"failed."<<endl;exit(1);fp<<nu<<endl;fp.close();}void read(char* file, int *nu)//从input.txt中读取总页码{cout<<"书本页码读取中...."<<endl;sleep(1);ifstream fp;fp.open(file, ios::in);if(!fp){cerr<<"Open file"<<"\""<<file<<"\""<<"failed."<<endl;exit(1);}fp>>*nu;fp.close();}void num_handling(int nu){cout<<"结果计算中..."<<endl;sleep(1);int a = 0, c = 0;while(nu)//对页码数进⾏遍历{a = nu;while(a){c = a%10;//得到个位数字switch (c){case 0:++count[0];break;case 1:++count[1];break;case 2:++count[2];break;case 3:++count[3];break;case 4:++count[4];break;case 5:++count[5];break;case 6:++count[6];break;case 7:++count[7];break;case 8:++count[8];break;case 9:++count[9];break;default:break;}a = a/10;将页码数缩⼩⼗倍}--nu;}}int main(){int nu = 0;int *pnu = νinput_book_num(INPUT_FILE);read(INPUT_FILE, pnu);cout<<"nu = "<<nu<<endl;num_handling(nu);cout<<"将结果写⼊"<<OUTPUT_FILE<<"⽂件中...."<<endl; for(int i=0; i<10; ++i)output(OUTPUT_FILE, count[i]); }return 0;}计算结果output.txt测试⽤例试试output.txt再试个⼤的output.txt1000试试结果这么有规律，应该没问题。
人大附分班考试班 第三讲 数论 教师版
小学阶段的数论知识包括数的整除、奇偶性、质数合数、约数倍数、同余问题、完全平方数等，这些知识也是初中数论的重点，分班考试的命题则在于考查这些知识的基本性质及其应用。
1.两个整数相加时，和是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，积是一个三位数，且三个数字相同。
请写出所有满足上述条件的两个整数。
【分析】 三个数字相同的三位数，可以用下面的式子表示：111⨯一位数337=⨯⨯一位数。
我们再找出几组使乘积等于“337⨯⨯一位数”的两个整数：①1和337⨯⨯一位数；②3和37⨯一位数；③37和3⨯一位数；④337⨯和一位数，满足条件的只有②③，即3和74；37和18。
2.一个五位数是54的倍数，并且它的各位数字都不为0。
删去它的一位数字后所得的四位数仍是54的倍数.再删去该四位数的一位数字后所得的三位数还是54的倍数，再删去该三位数的一位数字后所得的两位数还是54的倍数，试求原五位数。
【分析】 最后剩下的两位数还是54的倍数说明这个两位数只能是54，前一个三位数是54的倍数（就是9的倍数），所以每次删去的数都是9的倍数，而一位数字是9 的倍数只能是9，所以每次删去的一位数字是9，则三位数可以是549，594，954，其中只有594 是54的倍数，同理四位数可以是9594，5994，5949，只有5994是54的倍数，最后五位数可以是95994，59994，59949，其中只有59994 是54的倍数。
3.已知 2006120062111222N =⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个，试将N 表示为4个大于1的自然数之积。
【分析】 因为1122÷11＝102，111222÷111＝1002，ll112222÷111l ＝10002，…N A B ÷=，其中2006120050A=111B=1002⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个，，102÷2＝51，1002÷2＝501，10002÷2＝5001，2B C ÷=，其中20040C =50001 ⋅⋅⋅个，51÷3＝17，501÷3＝167，5 001÷3＝16667，3C D ÷=，其中20046D =16667⋅⋅⋅个，所以 2006120046N =A B C D =1112316667.⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅个个 真题模考第三讲数论4.为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3或4所整除。
常见的几种计数问题
常见的几种计数问题环形排列：有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？解：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。
设集合D 为坐成一圈的坐法的集合。
以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A 中都对应不同元素，但在集合D 中相当于同一种坐法，所以集合D 中每个元素对应集合A 中9个元素，所以S （D ）=9！/9.隔板法 ： 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采隔板用法练习1.(a+b+c+d)15有多少项？解析： 当项中只有一个字母时，有14C 种（即a.b.c.d 而指数只有15故01414C C ⋅。
当项中有2个字母时，有24C 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，隔板法一分为2，114C 即24C 114C 当项中有3个字母时34C 指数15分给3个字母分三组即可21434C C当项种4个字母都在时31444C C ⋅ 四者都相加即可．即01414C C ⋅+24C 114C +21434C C +31444C C ⋅=816（项） 练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（216C ） 分析：先把每个盒子里放入编号个球，即1号盒子放1个球，2号盒子放2个球，3号盒子放3个球。
共有1种剩下的14个球+3个盒子（看作球）=17个球，用插空法把它们分为3组即可，共有16个空位置，所以有C 216种 。
所以一共有：C 216 =120种 合并单元格解决染色问题：（全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
3,5 2,4 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时有四个单元格①②③⑤，不同的着色方法相当于4个元素 ①②③⑤的全排列数A 44（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A 44 种着色法． 图1（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格①②③ ，从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有A C 3334⋅种方法．由加法原理知：不同着色方法共有2A C A 333444+=48+24=72（种）此题的另一解法：区域号1 ，2 ，3 ，4 ，5同2，2 2,4方法数 4 ，3 ，2，1 ， 1故不同着色方法共有：4*3*2*（1*2+1*1）=72（种）几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种（33C+3=33）5分析：3个侧面的5个点中取3个有：33C种方法，3条底边是3种方法5用转换法解排列组合问题5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法？解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．5C=126种9某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．解：无论怎样走必须经过三纵四横，因此，把问题转化为3个相同的白球与4个相同的黑球的排列问题．3C=35（种）=c477错位排列同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有种（9）分析：设A、B、C、D四张贺卡分别由a、b、c、d四人所写，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法，不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法，所以共有3x3x1x1=9种分配方式。
五年级上册数学概念整理1.4
第一单元认识负数、面积是多少1、0既不是正数，也不是负数。
正数都大于0，负数都小于0。
在数轴上，以“0”为分界点，越往左边的负数越小，左边的数都比右边的小。
举例：-234<-1<0<+12、在生活中，常把0作为正负数的分界，比如零上温度（+）、零下温度（—）；盈利（+）、亏损（—）；收入（+）、支出（—）；东北（+）、西南（—）……，所以说：正负数是一对相反的数。
2、在数不规则图形的面积时不满一格的看作半格。
两个半格算一整格。
不规则图形的面积=满格数+半格数÷2第二单元多边形面积的计算1、长方形的周长=（长+宽）×2长方形的面积=长×宽=底×高正方形的周长=边长×4正方形的面积=边长×边长2、分割思想：把一个复杂图形分割成几个简单的图形。
转化思想：把一个不规则图形通过分割、平移等方法转化成一个规则图形（前后图形的形状变了，但前后图形的面积不变，）3、沿着平行四边形的任意一条高剪开，然后通过移动拼成一个长方形。
长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。
长方形的面积和拼成的平行四边形的面积相等，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，用字母表示S=a×h。
4、等底等高的长方形和平行四边形的面积一定相等。
周长不一定相等。
6、把长方形方框拉成平行四边形，周长不变，但高变小了，所以面积变小了；把一个平行四边形通过剪、拼变成一个长方形，它的周长变小，面积不变。
7、将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
因为平行四边形的面积等于底×高，所以三角形的面积等于底×高÷2。
用字母表示S=a×h÷2。
四年级下册小数的意义和性质
小数的意义和性质重难点知识集锦及练习集锦2、分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。
分母是10的分数写成一位小数，表示十分之几。
分母是100的分数写成两位小数，表示百分之几。
分母是1000的分数写成三位小数，表示千分之几。
3、判断一个小数是几位小数，可以通过数小数点后面的数，小数点后面有几个数，就是几位小数。
注意：写几位小数要大写，如：4.032，小数点后面有3个数字，是（三）位小数。
4、小数点左边第一位是个位，计数单位个（一）小数点左边第二位是十位，计数单位十；小数点右边第一位是十分位，计数单位十分之一（0.1）小数点右边第二位是百分位，计数单位百分之一（0.01）小数点右边第三位是千分位，计数单位千分之一（0.001）小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、 0.01、 0.001……（1）每相邻两个记数单位间的进率是（10）。
（2）小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位。
整数部分的最低位是个位。
个位和十分位的进率是10。
（3）小数部分最高位是十分位，最大的计数单位是十分之一。
整数部分没有最高数位。
相邻两个计数单位之间的进率都是10。
5、1里面有（10）个0.1（十分之一） ,0.1（十分之一）里面有10个0.01（百分之一），0.01（百分之一）里面有10个0.001（千分之一），1里面有100个0.01。
6、小数的读法：先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再读小数部分。
读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几个0就读几个0。
7、小数的写法：先写整数部分（按照原来的写法），再写小数点，再小数部分：写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0就写几个0。
8、小数的性质：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不能去掉。
作用可以化简小数等。
9、小数的大小比较：（1） 先比较整数部分；（2）如果整数部分相同，就比较十分位；（3）十分位相同，就比较百分位；（4）以此类推，直到比较出大小。
八数码问题解释
8数码问题又称9宫问题，源于一个古老的智力游戏。
说白了就是我们小时候玩的“华容道”。
意在给定的9格棋盘的8个格子内分别放一个符号，符号之间互不相同，剩下一格做为“出口”。
我们把8个符号在棋盘上的排列顺序称作8数码的状态，游戏要求给定一个初始的状态与一个终止状态，符号要经过若干次移动后由初态变成终态，这个过程中只有“出口”附近的符号可以朝“出口”的方向移动，且每次只能移动一个符号。
如下图所示，（其中我们用0表示出口，=》表示移动一次，=》*表示移动0-n次）：初态终态1 2 3 1 2 3 0 1 24 5 6 =》 4 5 6 =》* 3 4 57 8 0 7 0 8 6 7 82 解决方案通过观察我们可以发现每一次8数码的状态都可以通过移动字符变成有限的几种其他状态，比如上图中我们可以知道初态“出口”附近有8和6可以移动，那么这个初态可以经过移动得到两个新的状态。
我们人在玩这个游戏的时候，总是要做下面几个步骤：1．看看哪个符号可以移动。
2．判断一下哪个符号的移动最有利于到达终态。
3．选定一个符号并移动它。
4．判断是否到达终态，是则结束，否则就回到第一步。
而现在我们要使用机器来模拟这一过程，其步骤与人类类似，但不同的是，人在执行第二部的时候总是能预先判断未来好几步的局势，从而选出最有利的一步，而机器则不行，它要先得到一个状态才能知道这个状态下一步将会到哪些状态而无法像我们一样一次就看到后面几步的状态。
那么基本思想就是让机器穷尽由初态出发到达所有可能状态的路径，并从中找到有终态的路径作为问题的解。
2.1 A*算法就如我们上面说到的让机器找出所有的可能来得到问题的解，看起来似乎很简单，但问题在于一旦8数问题的解达到一定规模，机器所要穷尽的路径数量将变得极为庞大，无疑会消耗大量的时间和空间。
那么如何让机器像人一样在选择移动符号的时候总是能选择最有利的那一个呢？下面就要介绍启发式搜索中的一个算法A*算法来解决这个问题。
数字的计数问题
数字的计数问题数字的计数问题是一个在日常生活中经常会遇到的情况。
无论是数学计算、统计数据还是计量单位，数字的计数都起着非常重要的作用。
本文将探讨数字的计数问题，包括计数的方法、常见应用场景以及可能遇到的相关挑战。
一、计数的方法数字的计数可以通过不同的方法进行。
以下是几种常用的计数方法：1. 单位计数法：使用特定的计量单位来表示数量。
例如，表示长度时使用米（m），表示质量时使用克（g）等。
2. 固定基数法：使用固定的基数词（如一、十、百、千等）进行计数。
比如，使用基数词一到十进行计数，可以表示从1到10的数量。
3. 频次计数法：根据某个事件或现象发生的次数进行计数。
比如，统计一个月内降雨的次数或一天内接到的电话数量。
以上是一些常用的计数方法，不同的场景可能需要使用不同的计数方法。
二、常见应用场景数字的计数在我们的日常生活中随处可见。
以下是一些常见的应用场景：1. 数学与统计：在数学和统计学中，数字的计数是非常重要的。
无论是进行简单的加减乘除运算，还是进行复杂的统计分析，都需要对数字进行计数。
2. 财务与经济：数字的计数在财务和经济领域也非常重要。
例如，统计销售额、计算利润率等都需要对数字进行准确的计数。
3. 人口普查与统计：在人口普查和统计调查中，数字的计数是了解人口规模、分布和组成的基础。
通过对数字的计数，可以为社会政策制定提供可靠的依据。
4. 生产与制造：在生产和制造行业中，数字的计数用于记录生产数量、库存管理等。
通过对数字的计数，可以实现生产效率的控制和优化。
三、相关挑战尽管数字的计数看似简单，但在实际应用中可能会遇到一些挑战。
以下是一些可能的挑战：1. 计量单位的转换：在不同的场景中，可能需要进行不同计量单位之间的转换。
需要注意单位之间的换算关系，以确保准确的计数结果。
2. 测量误差：在进行实际测量时，可能会存在测量误差。
需要进行有效的误差控制和数据校正，以提高计数的准确性和可靠性。
3. 数据采集的困难：在某些场景下，数据的采集可能存在一定的困难。
初中数学竞赛《计数方法》练习题及答案 (20)
初中数学竞赛《计数方法》练习题
1.小张上学路线如图，只准往东或往北走，且不许触及池塘，图中阴影部分，则共有（）条不同的路径．
A．18B．19C．20D．21
【分析】先确定关键点b、d、f，因为这三个点代表到达学校不同的路径，然后计算出家→b、家→e、家→d、d→学校的路径选择，从而可得出小张到达学校的不同的路径的数量．【解答】解：由题意可得：
家→d有6种路径；d→g→学校有3中路径；故家→d→学校有6×3＝18中路径可走；
小张可选择的路径有：
①家→b→c→学校，共一种路径；
②家→e→f→学校，共一种路径；
③家→d→学校，共有18种路径；
综上可得小张到达学校有：1+1+18＝20种选择．
故选：C．
【点评】此题考查的是计数方法，关键之处在于寻找关键点b、d、f，难点在于找出这三点到达学校的不同路径的数量，要求先仔细观察，不要盲目计算，否则很容易遗漏或重复．。
noip2000提高组 方格取数解题
近年来，随着信息技术的快速发展，程序设计能力被认为是一种重要的综合能力，尤其是在计算机领域。
而在程序设计竞赛中，NOIP (National Olympiad in Informatics in Provinces) 作为国家级的信息学竞赛，更是为广大中小学生提供了一个练习、提高编程能力的评台。
其中，NOIP2000提高组所涉及的方格取数问题，一直备受关注。
方格取数是一类经典的算法问题，通过对方格中的数字进行取数，使得所选择的数字符合一定的规则，并且达到最大或者最小的目标值。
NOIP2000提高组的方格取数问题，往往会涉及到一定的数学知识和编程技巧。
下面将从多个方面对该问题展开讨论。
1. 方格取数问题的定义和规则在NOIP2000提高组中，方格取数问题往往是指给定一个n×m 的网格，每个格子中都有一个正整数，要求从左上角走到右下角，每步只能向右或向下，最多取 k 次数，使得所经过的格子中的数字和最大（或最小）。
对于不同的约束条件，这一问题可能会有不同的变种，如只能向右走或者只能向下走等。
2. 算法原理和解题思路针对方格取数问题，可以采用动态规划、DFS（深度优先搜索）、BFS （广度优先搜索）等算法来解决。
其中，动态规划是比较常用的解题思路，通过状态转移方程和递推关系来求解最优解。
对于一些特殊情况，如有负数存在时，需要特殊处理。
3. 编程实现和代码优化在实际解题过程中，编程实现是必不可少的一部分。
通过合理的数据结构选择和算法优化，能够减少运行时间和空间复杂度，提高程序的效率。
对于大规模数据测试和边界情况的处理，也是检验编程能力的关键。
总结回顾，NOIP2000提高组的方格取数问题，不仅考察了学生对于算法和数据结构的理解，更重要的是锻炼了他们的动手能力和解决实际问题的能力。
在实际应用中，类似的方格取数问题也常常出现，例如在路径规划、资源分配等领域，都能够找到相关的算法思想。
加强对方格取数问题的学习和实践，对于提高程序设计能力和计算机思维能力具有重要意义。
数学教案,帮你轻松驱走内心的怪兽!
数学教案，帮你轻松驱走内心的怪兽！第一章：认识数字与计数1.1 数字0的认识学习数字0的写法和读法理解数字0在数轴上的位置和作用练习使用数字0进行简单的计算1.2 数字1的认识学习数字1的写法和读法理解数字1在数轴上的位置和作用练习使用数字1进行简单的计算1.3 数字2的认识学习数字2的写法和读法理解数字2在数轴上的位置和作用练习使用数字2进行简单的计算1.4 数字3的认识学习数字3的写法和读法理解数字3在数轴上的位置和作用练习使用数字3进行简单的计算1.5 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第二章：加减法运算2.1 加法运算学习加法的概念和符号理解加法在数轴上的表示方法练习使用加法进行简单的计算2.2 减法运算学习减法的概念和符号理解减法在数轴上的表示方法练习使用减法进行简单的计算2.3 加减混合运算学习加减混合运算的规则练习完成简单的加减混合运算2.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第三章：乘除法运算3.1 乘法运算学习乘法的概念和符号理解乘法在数轴上的表示方法练习使用乘法进行简单的计算3.2 除法运算学习除法的概念和符号理解除法在数轴上的表示方法练习使用除法进行简单的计算3.3 乘除法混合运算学习乘除法混合运算的规则练习完成简单的乘除法混合运算3.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第四章：认识分数4.1 分数的概念学习分数的定义和表示方法理解分数在数轴上的位置和作用练习基本分数的写法和读法4.2 分数的加减法运算学习分数的加减法运算规则练习完成简单的分数加减法运算4.3 分数的乘除法运算学习分数的乘除法运算规则练习完成简单的分数乘除法运算4.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第五章：解方程与不等式5.1 解方程学习解一元一次方程的方法练习解简单的一元一次方程5.2 解不等式学习解一元一次不等式的方法练习解简单的一元一次不等式5.3 方程与不等式的应用学习将实际问题转化为方程与不等式求解练习完成相关的应用题5.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第六章：几何图形基础6.1 点、线、面的概念学习点的定义和特性学习线的定义和分类学习面的定义和分类6.2 直线与射线学习直线的特点和表示方法学习射线的特点和表示方法6.3 角的概念与分类学习角的定义和表示方法学习不同类型的角及其特点6.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第七章：三角形7.1 三角形的定义与性质学习三角形的定义和基本性质理解三角形的角度和边长关系7.2 三角形的分类学习不同类型的三角形及其特点练习判断三角形类型的方法7.3 三角形的计算学习三角形面积的计算方法学习三角形角度和的计算方法7.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第八章：四边形8.1 四边形的定义与性质学习四边形的定义和基本性质理解四边形的角度和边长关系8.2 四边形的分类学习不同类型的四边形及其特点练习判断四边形类型的方法8.3 四边形的计算学习四边形面积的计算方法学习四边形对角线的性质和计算方法8.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第九章：圆9.1 圆的定义与性质学习圆的定义和基本性质理解圆与圆心角的关系9.2 圆的周长与面积学习圆的周长和面积的计算方法理解圆周率π的概念和应用9.3 圆的方程学习圆的标准方程和一般方程练习解决与圆相关的几何问题9.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第十章：概率与统计初步10.1 概率的基本概念学习概率的定义和表示方法理解必然事件、不可能事件和随机事件10.2 概率的计算学习简单事件的概率计算方法练习解决实际问题中的概率问题10.3 统计的基本概念学习统计数据的收集、整理和表示方法理解平均数、中位数和众数的概念10.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第十一章：立体几何11.1 立体几何的基本概念学习立体图形的定义和特性理解三维空间中的点、线、面关系11.2 柱体、锥体和球体学习柱体、锥体和球体的定义和性质理解不同立体图形的表面积和体积计算方法11.3 立体图形的展开图学习立体图形展开图的画法练习根据展开图还原立体图形11.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第十二章：坐标系与函数12.1 坐标系的基本概念学习平面直角坐标系的定义和表示方法理解坐标系中点的表示和图形绘制12.2 函数的基本概念学习函数的定义和表示方法理解函数的输入输出关系和图像12.3 线性函数学习线性函数的定义和性质练习解决实际问题中的线性函数问题12.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第十三章：代数初步13.1 代数表达式学习代数表达式的定义和表示方法理解代数表达式在数学中的应用13.2 一元一次方程组学习一元一次方程组的解法练习解决实际问题中的方程组问题13.3 不等式组学习不等式组的解法练习解决实际问题中的不等式组问题13.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第十四章：几何证明14.1 几何证明的基本概念学习几何证明的定义和作用理解几何证明的方法和步骤14.2 三角形和四边形的证明学习三角形和四边形的基本证明方法练习解决实际问题中的几何证明问题14.3 圆的证明学习圆的相关证明方法练习解决实际问题中的圆的证明问题14.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点第十五章：数学思维与解题策略15.1 数学思维的基本概念学习数学思维的定义和特点理解数学思维在解决问题中的应用15.2 解题策略的基本概念学习解题策略的定义和分类理解不同解题策略在解决问题中的应用15.3 逻辑推理与归纳总结学习逻辑推理的方法和步骤练习解决实际问题中的逻辑推理与归纳总结15.4 小结与练习回顾本章所学内容完成相关练习题，巩固知识点重点和难点解析教案《数学教案，帮你轻松驱走内心的怪兽！》共分为十五个章节，涵盖了从数字认识和基础运算到几何图形、概率统计、立体几何、坐标系与函数、代数初步、几何证明以及数学思维和解题策略等多个数学领域。
数字计数问题
例1从0至99的整数中，数字0和1各出现了多少次？ “0”出现了多少次: 0 10 20 30 … 90 10次
“1”出现了多少次:
个位出现次数: 1 11 21 … 91 10次 十位出现次数: 10 11 12 … 19 10次
“0”出现了10次, “1”出现了20次。
每个数字在1000以内的整数中的分布情况列成下表。
1～2002
1～1999
5 6 78
0
0 00
1
1 11
2232×4×3×2-1 Nhomakorabea47（个）
2000，2001，2002 2个
有2002-49=1953（个）数与5678相加时至少发生一次进位。
P185~186 1、2、3、4、5、8
【习题精练】
1、在1～1000中这1000个自然数中，总共有（ ）个数字“1”
8、在1～2002这2002个自然数中，含数字1的数共有多少个？
9、在大于等于1998，小于等于8991的整数中，个位数字与十 位数字不同的数共有多少个
10、用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的 凑法？
123~199 200~799 800~895
18次 220次 20次
18+220+20=258（次）
例3 从1994至4991的自然数中,十位数字与个位数字相同的数有
多少个?
十位数字与个位数字相同的数
个数
1994～1999:
1999
1个
2000～2999: 2000
2011 2022
…
2099
2100 2111 2122
5、把10拆分成若干个不同的整数的和，共有______种方法。
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0309计数问题(一)枚举法
1. 如图9-10，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。
从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。
问有多少种不同的取法？
解：三数之和是9，不考虑顺序。
1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9
答：有3种不同的取法。
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2. 从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？
解：两数之和大于10，不考虑顺序。
8+7，8+6，8+5，8+4，8+3
7+6，7+5，7+4
6+5
答：共有9种不同的取法。
3. 现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？
解：2角3分=23分
5×4+2×1+1×1=23，5×4+1×3=23，5×3+2×4=23，5×3+2×3+1×2=23，5×3+2×2+1×4=23
答：一共有5种不同的支付方法。
4. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？
解：需要考虑吃的顺序不同。
7，5+2，4+3，3+4，3+2+2，2+5，2+3+2，2+2+3
答：有8种不同的吃法。
5. 有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份。
问一共有多少种不同的订法？
解：3个工厂各不相同，3数之和是300份，要考虑顺序。
99+100+101，99+101+100，100+99+101，100+1 00+100，100+101+99，101+99+100，101+100+99
答：一共有7种不同的订法。
6. 在所有的四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个？
解：4个数字之和是34，只有9+9+9+7=34，9+9+8+8=34，不同的数字放在不同位是组成的四位数不同，考虑顺序。
9997，9979，9799，7999；9988，9898，9889，8998，8989，8899
答：有10个。
7. 有25本书，分成6份。
如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法？
解：1+2+3+4+5+10，1+2+3+4+6+9，1+2+3+4+7+8，1+2+3+5+6+8，1+2+4+5+6+7
答：有5种分法。
8. 小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册。
已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本。
那么，共有多少种不同的购买方法？
解：4种书每种1本，共3+5+7+11=26（元），70-26=44，44元买6本书
11×3+5×1+3×2，11×2+7×2+5×1+3×1，11×2+7×1+5×3，11×1+7×4+5×1
答：共有4种不同的购买方法。
9. 甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。
从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？
解：如图
答：不同的排法共有9种。
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10. abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为1，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134。
请写出所有满足关系a＜b，b＞c，c＜d的四位数abcd来。
解：若a最小：1324，1423；若c最小：2314，2413，3412
答：有5个：1324，1423，2314，2413，3412。
11. 一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字。
问一共有多少个这样的数？
解：设两位数是AB，三位数是CDE，则AB*5＝CDE。
CDE能被5整除，个位为0或5。
若E=0，由于E+C＝D，所以C＝D；又因为CDE/5的商为两位数，所以百位小于5。
当C=1，2，3，4时，D =1，2，3，4，CDE＝110，220，330，440。
若E=5，当C=1，2，3，4时，D=6，7，8，9，CDE＝165，275，385，495。
答：一共有8个这样的数。
12. 3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3人各穿一件。
现在25个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。
规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。
那么，甲穿的运动衣的号码是多少？
解：3人自己取走的球数是25-（1+2+3）19-2=17（个），17=3*4+2*1+1*3，所以，穿2号球衣的人取走手中球数1的3倍，这是甲。
答：甲穿的运动衣的号码是2。
13. 甲、乙两人打乒乓球，谁先胜两局谁赢；如果没有人连胜两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。
那么一共有多少种可能的情况？
解：设甲胜为A，甲负为B，若最终甲赢，有7种可能的情况。
如图
同理，乙赢也有7种可能的情况。
7+7＝14
答：一共有14种可能的情况。
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14. 用7张长2分米、宽1分米的长方形不干胶，贴在一张长7分米、宽2分米的木板，将其盖住，共有多少种不同的拼贴方式？在这里，如果两种方案可以通过旋转而互相得到，那么就认为是同一种。
解：12种。
如图所示。
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15. 用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那么共有多少种不同的方法？在这里，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或者旋转加反射而互相得到，那么就认为是同一种。
解：12种。
如图所示。
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