北大附中深圳南山分校高中部2012届高二下学期第一次月考(文数)
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。
北大附中深圳南山分校学费多少
北大附中深圳南山分校学费多少
北大附中深圳南山分校是国内一流的学校，其学费也与其一流的地位不谋而合，相比其他学校来说，学费相对较高。
今天，让我们来看看北大附中深圳南山分校的学费是多少，以及其中可能存在的一些折扣情况。
首先要提到的是，北大附中深圳南山分校的学费由高到低分为三档：文科组、理科组、体育组。
文科组的学费为每学期2.7万元，理科组的学费为每学期2.8万元，体育组的学费为每学期2.9万元。
此外，北大附中深圳南山分校还提供了一些优惠政策，例如特别优惠政策等，以满足学生的不同需求。
例如，如果学生成绩优异，可以享受普通文科组每学期2.6万元的优惠价格；如果学生家庭因某种原因经济条件不好，可以享受更多的优惠，最高每学期可享受2.4万元的学费优惠。
另外，学校还提供学费贷款和助学贷款的服务，以满足家庭经济处境艰难的学生的需求。
学费贷款的服务主要针对高中生和在校大学生，助学贷款则用于支持唐山地区的学生申请留学国外。
总而言之，北大附中深圳南山分校的学费高于一般中学，但和其他一流学校相比也不算太贵。
在优惠政策和贷款服务的支持下，有条件的学生可以在其学习。
当然，最终决定学费的决定权仍在学校，并有可能随着时间变化而变化。
因此，如果您正在考虑选择北大附中深圳南山分校，建议您务必了解最新的学费政策。
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北大附中深圳南山分校学费多少
北大附中深圳南山分校学费多少深圳市位于珠江三角洲的中国南方，是中国的一座重要的经济城市。
深圳市近几年的经济发展非常迅速，也成为全国知名的经济中心之一，同时也是受全国人民欢迎的旅游胜地。
除此之外，深圳的教育也越来越受到欢迎。
许多家长希望让孩子接受深圳的良好教育，但就学费带来的压力也是不可忽视的一个关键因素。
因此，有关深圳市各类学校的学费问题也是家长们最关注的报考中学的重要问题。
在深圳市，北大附中深圳南山分校是深圳市最优秀的中学之一，它的教育质量高于其他中学。
在深圳，北大附中深圳南山分校已经受到了深圳市所有家长的青睐，其学生在全国中也都获得了很高的评价。
那么，北大附中深圳南山分校的学费是多少呢？根据学校官方网站的相关介绍，北大附中深圳南山分校为每学期收取一笔学费，具体学费标准如下：1、九年一贯制普通班学费：每学期收取总费用4400元，其中普通教育费用：每学期收取3600元，体育与物理课费用：每学期收取800元。
2、九年一贯制高级班学费：每学期收取总费用4980元，其中高级教育费用：每学期收取3990元，语文、体育及物理课费用：每学期收取990元。
3、初中、高中阶段，全日制普通班学费：每学期收取总费用6000元，其中普通教育费用：每学期收取4800元，语文、体育及物理课费用：每学期收取1200元。
4、初中、高中阶段，全日制高级班学费：每学期收取总费用6500元，其中高级教育费用：每学期收取5100元，语文、体育及物理课费用：每学期收取1400元。
以上就是北大附中深圳南山分校的学费标准，从中可以看出，北大附中深圳南山分校的学费也是相对较高的。
不过，和其他一些知名学校相比，北大附中深圳南山分校在学费这一方面仍然是相对低廉的。
在当今经济不断增长、社会充满竞争的大背景下，当家长们报考孩子入学时，孩子接受的教育质量也是一个重要的因素。
从学费的角度来看，北大附中深圳南山分校的学费并不算太高，是深圳引领教育科技发展的重要校园之一，且教学环境优越，以及各种课程的教学质量受到了深圳市的一致认可，因此对于家长而言，它也是一个不可多得的优质教育机构，也是孩子出色发展的重要背景。
北京大学附属中学(行知、未名学院)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
北京大学附属中学（行知、未名学院）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷考生须知：1.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分.2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.3.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知等差数列通项公式为，则公差为（）A 5B. 4C. 2D. 32. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D.3. 已知函数，下面说法正确的是（ ）A. 在上的平均变化率为1B. C. 是的一个极大值点 D. 在处的瞬时变化率为24. 在数列中，，且，则其前项的和为（）A. 841B. 421C. 840D. 4205. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）的.{}n a 32n a n =+()0,∞+ln y x x=+3y x x =+1y x x=+2sin y x x=+()sin2f x x =()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()cos2f x x'=π3x =()f x ()f x 0x ={}n a 11a =()*12N n n a a n n ++=∈41()y f x =R ()y f x ='A. 2是的极大值点B. 在处的切线斜率大于0C.D. 在上一定存在最小值6. 设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（ ）A. 3B. 6C. 7D. 88. 若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 9. 给出以下值：①，②，③，④，其中使得函数有且仅有一个零点的是（ ）A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②④10. 李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论：①；②；③设，则；④设，则有最大值，但没有最小值.其中所有正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知等比数列中，，，则该数列的前项和为______.12. 设，使存在极值的一个的值可以是______.13. 设，若的单调减区间为，则______，______..()f x ()f x ()()0,0f ()()34f f <()f x ()3,5-{}n a n n S 321a a a >>{}n S {}n a n S n 83S S >130S <n S n =()2ln 2x f x x =-(),m +∞m [)1,+∞()1,+∞()0,1(]0,1k e k =-1e k =-0k =1k =()e xk f x x=-{}n a 11a =22a =33a =312n n n n a a a a +++=+-20232023a =20242020a =-123n n S a a a a =++++ 20235056S =123n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ n T {}n a 28a =-34a =4()3231f x x ax x =+++()f x a ()2ln f x ax bx x =++()f x ()1,2=a b =14. 函数的定义如下表：1234551234已知，且数列满足对任意的，均有.若，则正整数的值为______.15. 牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用. 如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴的交点的横坐标是的1次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴的交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列. 这就是所谓的“牛顿迭代法”.（1）当，时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：______；（2）若取作为2次近似值为______（用分数表示）.三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数.（1）求曲线在处切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最小值.17. 已知数列为等差数列，，，数列满足，.的的()f x x ()f x 04a ={}n a *n ∈N ()1n n a f a -=123180105m m m a a a a +++++++= m r ()0f x =0x r ()()00,x f x ()y f x =()()00,x f x 1l ()00f x '≠1l x 1x r ()()11,x f x ()y f x =()()11,x f x 2l ()10f x '≠2l x 2x r r {}n x ()0n f x '≠*n ∈N r 1n +1n x +n n x 1n x +=02x =r ()3211233f x x x x =+-+()y f x =0x =()f x ()f x []1,4-{}n a 11a =2410a a +={}n b 11b =121n n b b +=+（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设，求数列的前项和.18. 设函数.（1）求的单调区间；（2）若，设，求证：不存在极大值.19. 已知数列是无穷数列，.（1）若，，写出，的值；（2）已知数列中，求证：数列中有无穷项为；（3）已知数列中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.{}n a {}1n b +n n n c a b =+{}n c n n S ()2e axf x x =()f x 1a =()()g x f x x =-()g x {}n a 11111,0,0n n n n n n n n na a a a a a a a a --+----≥⎧=⎨--<⎩11a =22a =4a 5a {}n a 0k a ={}n a 0{}n a 0120a a >>{}()*212max ,n n n b a a n -=∈N{}max ,m n m n {}n b北京大学附属中学（行知、未名学院）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】C第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.【11题答案】【答案】10【12题答案】【答案】（答案不唯一）.【13题答案】【答案】①.## ②. 【14题答案】【答案】145【15题答案】【答案】 ①. ②. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）（2）增区间，减区间 （3）【17题答案】【答案】（1） （2）证明略 （3）【18题答案】【答案】（1）答案略 （2）证明略【19题答案】【答案】（1）， （2）证明略（3）证明略4140.2532-()()n n n f x x f x '-975631y x =+()(),1,3,-∞+∞()1,3133-21n a n =-1222n n n ++--41a =50a =。
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知i 1i z=-，则z = （ ）A ．0B ．1C D ．22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA --=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．1AC uuu rB ．1AC u u u rC ．1D B u u u u rD ．1DB u u u u r3．已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB u u u r的坐标为（ ） A ．()8,8,4--B ．()8,8,4-C ．()8,8,4-D ．()8,8,4--4．如图，已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，AA DB ''⋅=u u u r u u u u r（ ）A．1B C D ．1-5．设1n u r ，2n u u r分别是平面α，β的法向量，其中()11,,2n y =-u r ，()2,2,1n x =-u u r ，若αβ∥，则x y +=（ ）A ．92-B ．72- C ．3 D ．726．已知直线1l 的方向向量为()0,0,1u =r，直线2l 的方向向量为()1v =-r ，则直线1l 与2l 所成角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．已知n r 为平面α的一个法向量，a r 为直线l 的一个方向向量，则“a n ⊥r r”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++r u u u r u u u r u u u r ，向量b OA OB OC =+-r u u u r u u u r u u u r，则与,a b r r不能构成空间基底的向量是( )A ．OA u u u rB ．OB u u u rC ．OC u u u rD ．OA u u u r 或OB u u u r9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,1,1A 在坐标平面Oxz 内的射影为点B ，且关于y 轴的对称点为点C ，则B ，C 两点间的距离为（ ）AB ．C ．D 10．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ．23B C ．13D ．23-二、填空题11．已知向量()2,3,1a =-r ，则与a r共线的单位向量为.12．已知向量()2,0,1a =-r ，(),2,1b m =-r 且a b ⊥r r，则m =，a b +=r r .13．已知直线l 经过()1,0,1A ，()2,0,0B 两点，则点()2,1,4P 到直线l 的距离为.14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB =u u u r ，()0,2,0AC =u u u r ，()0,0,2AD =u u u r .则CD u u u r 与CB u u ur 的夹角的余弦值为；CD u u u r 在CB u u u r 的投影向量a =r . 15．以下关于空间向量的说法：①若非零向量a r ，b r ，c r满足//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r②任意向量a r ，b r ，c r满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r③若{},,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，且221333OD OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，D四点共面④已知向量()1,1,a x =r ，()3,,9b x =-r ，若310x <，则,a b r r 为钝角其中正确命题的序号是.三、解答题16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为线段11B C 的中点.(1)求证：11AA D E ⊥； (2)求平面1D BE 的法向量； (3)求点1A 到平面1D BE 的距离.17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为4，D 为1CC 的中点，E 为11A B 的中点.(1)求证：1//C E 平面1A BD ；(2)求直线BC 与平面1A BD 所成角的正弦值.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，1AA =60BAD ∠=︒，1145BAA DAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，设AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r .(1)试用基底{},,a b c r r r表示向量1OA u u u r ；(2)求1OA 的长；(3)求直线1OA 与直线BC 所成角.19．如图，四棱锥S --ABCD P 为侧棱SD 上的点．（1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求平面P AC 与平面ACD 的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ．若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．。
广东省深圳市北大附中深圳南山分校2024届中考适应性考试数学试题含解析
广东省深圳市北大附中深圳南山分校2024年中考适应性考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．若关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a 的取值范围( )A ．1162a -<-B ．116a 2-<<-C ．1162a -<-D ．1162a -- 2．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次．3.82亿用科学记数法可以表示为（ ）A ．3.82×107B ．3.82×108C ．3.82×109D ．0.382×10103．如图所示是由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上 小正方体的个数，那么该几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．4．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 11B 11C 11D 11E 11F 11的边长为（ ）A ．92432B ．98132C ．82432D ．881325．内角和为540°的多边形是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列计算正确的是（ ）A ．3a ﹣2a ＝1B ．a 2+a 5＝a 7C ．（ab ）3＝ab 3D ．a 2•a 4＝a 67．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）A ．18B ．36C ．41D ．588．哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟的年龄是x 岁，哥哥的年龄是y 岁，下列方程组正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，BD ∥AC ，BE 平分∠ABD ，交AC 于点E ，若∠A=40°，则∠1的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．40°10．在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（ ）A ．|﹣3|B ．﹣2C ．0D ．π二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是______．12．已知三个数据3，x+3，3﹣x的方差为23，则x=_____．13．某个“清涼小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分別是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮科的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分別比一个工作日的上货量增加了50%、60%、50%，且全部售出．但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料一瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了503元．则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是_____元．14．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是____________．16．点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（3，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．18．（8分）如图矩形ABCD中AB=6，AD=4，点P为AB上一点，把矩形ABCD沿过P点的直线l折叠，使D点落在BC边上的D′处，直线l与CD边交于Q点．（1）在图（1）中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法和理由）（2）若PD′⊥PD，①求线段AP的长度；②求sin∠QD′D．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD//EC，∠AED=∠B．求证：△AED≌△EBC；当AB=6时，求CD的长．20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，做△ABC的外接圆⊙O，延长EC交⊙O于点D，连接BD、AD，BC与AD交于点F分，∠ABC=∠ADB。
2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷2024年10月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题，共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.在长方体中,化简(A)(B)(C)(D)2.若向量,则(B)4(D)53.已知经过两点的直线的一个方向向量为,那么(A)-2(B)-1(C)(D)24.已知为平面的一个法向量,为一条直线,为直线的方向向量,则“”是“”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)6.如图,在四面体中,为BC 的中点,为AD 的中点,则可用向量表示为1111ABCD A B C D -1AB AD AA ++=1CB 1BC 1CA 1AC (1,1,0),(1,0,2)a b ==- ||a b +=(0,2),(1,0)A B (1,)k k =12-n αl m l m n ⊥//l α123,,l l l 123,,k k k 123k k k >>312k k k >>213k k k >>231k k k <<O ABC -,,,OA a OB b OC c D === E OE,,a b c(A)(B)(C)(D)7.如图,在直三棱柱中,且,则与所成的角为(A)(B)(C)(D)8.已知,过点的直线与线段AB 没有公共点,则直线斜率的取值范围是(A)或(B)(C)(D)或9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段AB 上的点,且,点在线段上,则点到直线AD 距离的最小值为(A)(D)110.如图,在棱长为a 的正方体中,为的中点,为上任意一点,E ,F 为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是111222a b c ++ 111442a b c ++111424a b c ++ 111244a b c ++111ABC A B C -1AB BC AA ==AB BC ⊥1B C 1A B π6π4π3π2(1,2),(2,0)A B -(1,4)C -l l k 1k >4k <-41k -<<14k -<<4k >1k <-1111ABCD A B C D -E 3AEEB=P 1D E P 35()B ()C 1111ABCD A B C D -P 11A D Q 11A B(A)点P 到平面QEF 的距离(B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥P-QEF 的体积(D)二面角P-EF-Q 的大小第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
广东省深圳市高级中学(集团)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)
深圳市高级中学2023-2024学年第二学期期中考试高二数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 432×× B. 34C. 43D. 32×【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分析可得4名学生，每人有3种可选方案，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项， 则每人有3种可选方案，则4人共有433333×××=种分式， 故选：C ．2. 设随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(02)P X <<=（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5D. 0.9【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布对称性计算可得. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(4)0.1P X ≥=，()102(24)(4)0.42P X P X P X <<=<<=−≥=.故选：B3.二项式62x展开式的常数项为（ ）A. 160−B. 60C. 120D. 240【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【详解】62x展开式的通项为：()()32666166C 2C 21kk k k k k k k T x x −−−+ ==⋅⋅−⋅ ， 令3602k −=得4k =， 所以展开式的常数项为()2644C 2160××−=， 故选：B ．4. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A.35B.115C.715D.815【答案】D 【解析】【分析】记抽取黄球的个数为X ，则由题意可得X 服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可.【详解】记抽取黄球的个数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为()237210C C C k k P X k −==，0k =，1，2． 所以，()()()11203737221010C C C C 8112C C 15P X P X P X ≥==+==+=． 或()()0237210C C 81101C 15P X P X ≥=−==−=． 故选：D ．5. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A 、B 、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种 A. 25 B. 60 C. 90 D. 150【答案】D 【解析】【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有35C 种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有12254222C C C A 种分法， 再将三组人员分配到A 、B 、C 三个乡村学校去，共有33A 种，所以不同的选派方法共有122335425322C C C C A 150A +=种. 故选：D6. 已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC⊥平面ABC ，3BC =，PB =PC =，则三棱锥−P ABC 外接球的体积为（ ）A 10πB.C.53πD.【答案】D 【解析】【分析】由ABC 为直角三角形，可知BC 中点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC ，所以球心在过M 与平面ABC 垂直的直线上，且球心为PBC 的外心.利用正余弦定理求出PBC 外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC 中点M ，过点M 做直线l 垂直BC ，因为ABC 为直角三角形，所以点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC ⊥平面ABC ，所以l ⊂平面ABC ，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，且球心为PBC 的外心.在PBC中，222cos 2PB BC PC PBC PB BC+−∠==⋅所以sin PBC ∠，则PBC 外接圆半径为12.的V =. 故选：D7. 过点(),P a b 可作3条直线与函数()32f x x =−的图象相切，则（ ）A. 312a b <−B. 312a b >−C. 32a b<−D. 32a b>−【答案】A 【解析】【分析】设切点坐标，利用导数求出切线，由切线过点(),P a b ，整理得32460t at b −−=有3组解，转化为三次函数有三个零点问题，利用导数解决.【详解】设过点(),P a b 的直线与函数()32f x x =−的图象切于点()3,2Q t t−，()26f x x ′=−，则函数()f x 在点Q 处的切线斜率()26k f t t ′==−， 切线方程为()3226y t t x t +=−−，由切线过点(),P a b ，所以有()3226b t t a t +=−−，整理得32460t at b −−=，设()3246g t t at b =−−，则问题转化为()g t 有3个零点， 因为()21212g t t at =−′，由()0g t ′=得0=t 或t a =，若0a =，()0g t ′≥恒成立，()g t 在R 上单调递增，不合题意. 当0a >时，()0g t ′>解得0t <或t a >，()0g t ′<解得0t a <<，此时()g t 在(),0∞−和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，()0g 为函数极大值，()g a 为函数极小值；当0a <时，()0g t ′>解得t a <或0t >，()0g t ′<解得0a t <<，此时()g t 在(),a −∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，()g a 为函数极大值，()0g 为函数极小值；()g t 有3个零点，则()0g 与()g a 异号，即()()()3020g g a b a b =−−−<，所以()320b a b +<， 得332210a b a b b +=+<，所以312a b <−.故选：A8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，右焦点2F 到渐近线的距离为31F 作圆222:C x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若121cos 2F MF ∠=，则圆C 的面积为（ ） A. 9π B. 8πC. 6πD. 4π【答案】A 【解析】b ，可得b ，结合双曲线定义与121cos 2F MF ∠=可得a ，即可得圆C 的面积.【详解】如图，因为右焦点2F 到渐近线的距离为3，故3b = 作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，因为1F M 与圆222:C x y a +=相切，所以21,22,2OA a F B OA a F B b ====， 因为121cos 2F MF ∠=，即1260F MF ∠=，在直角2F MB 中，2tan 60F B MB M === ， 又点M 在双曲线上，由双曲线的定义可得：121222F M F M F B MB F M b a −=+−=−=，整理得b =，因为3b =3a =，圆C 的面积22ππ9πS r a ===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，从而结合双曲线定义与直角三角形的性质可得a ，即可得圆C 的面积.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和24nS n n =−，则（ ） A. {}n a 不是等差数列 B. 25na n =− C. 数列n S n是等差数列 D. 121067a a a +++=【答案】BC 【解析】【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 即可求出数列{}n a 的通项，再根据等差数列的定义和前n 项和公式逐一判断即可.【详解】由24nS n n =−， 当1n =时，11143a S ==−=−， 当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n − =−=−−−−−=−，当1n =时，上式也成立，所以25na n =−，故B 正确； 因为()()1215252n na a n n +−=+−−−=，所以{}n a 是等差数列，故A 错误； 对于C ，244n S n nn n n−==−，因为()114411n n S S n n n n +−=+−−−=+，所以数列n S n是等差数列，故C 正确； 对于D ，令250n a n −≥，则52n ≥， 所以当3n ≥时，0n a >，当2n ≤时，0n a <，故312101211200260868a a a a a a a S S +++−+++=−=+=−= ，故D 错误. 故选：BC.10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件1A 和2A 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. 13()5P A =B. 11()50P B =C. ()1950P B A = D. 22()11P A B =【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.【详解】依题意可得13()5P A =，22()5P A =，()23125C 3C 10P B A ==，()22225C 1C 10P B A ==， 所以()()()()()112233211151051050P B P A P B A P A P B A =+=×+×=，故A 正确、B 正确、C 错误； ()()()()()222212|2105()111150P A B P B A P A P A B P B P B ×====，故D 正确.故选：ABD11. 已知函数()2ln 11f x x x =−−−，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,+∞ B. ()f x 的值域为RC ()()20232024log 2024log 20231f f +=.D. 若()e 1e 1b b f a b +=−−，()0,1a ∈，()0,b ∈+∞，则e 1b a =【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出定义域，求导得到函数单调性，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到函数的值域；C 选项，计算出()10f f x x +=，结合202320241log 2024log 2023=得到C 正确；D 选项，利用同构变换得到()1e bf a f=，结合()0,1a ∈，()0,b ∞∈+得到1e ba =，D 正确. 【详解】A 选项，()2ln 11f x x x =−−−的定义域为()()0,11,∞∪+， ()()21201f x x x =−′+>在定义域上恒成立， 故()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,∞+，A 正确；B 选项，当x 趋向于0时，()f x 趋向于−∞，当x 趋向于+∞时，()f x 趋向于+∞， 故()f x 的值域为R ，B 正确；C 选项，0x >，()1221ln 122011x f f x x x x x x+−−++−−=−+=−−， 又202320241log 2024log 2023=，所以()()20232024log 2024log 20230f f +=，C 错误； D 选项，()e 1e 122121ln e ln 12e 1e 1e 1e e 1b b b b b b b b f a b b +−+=−=−=+−=−++ −−−−12e 121211111e e 1e e 11ln ln l e n e b b b b b b b=−+=−+=−−−−−， 又()2ln 11f x x x =−−−，故121ln 11e e 1eb b b f−−=−， 故()1e b f a f =，因为()0,b ∞∈+，所以()10,1e b∈， 又()0,1a ∈，故1eb a =，即e 1b a =，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题难点是D 选项变形得到()12ln11e 1e bbf a =−−−，得到()1e b f a f= ，从而进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 由样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)得到的回归方程为y ＝56x ＋a ，已知5112ii x==∑，5122i i y ==∑，则实数a 的值为________．【答案】2.4 【解析】【详解】由题表得x ＝2.4，y ＝4.4，代入回归方程，解得a ＝2.4. 13. 已知随机变量的ξ分布列为则x y +=________；若(2)1E ξ=，则()D ξ=_______． 【答案】 ①. 12②.2312【解析】【分析】由概率和等于1，可求出x y +的值，然后根据(2)1E ξ=，可求出()E ξ，进而由数学期望的计算公式可求出,x y 的值，然后计算()D ξ即可. 【详解】由题意得，11136x y +++=，则12x y +=. 因为(2)1E ξ=，所以1()2E ξ=，则112262x y −++=，即16x y −+=，又12x y +=，解得11,63x y ==， 所以22221111111123()20122623262312D ξ =−−×+−×+−×+−×=． 故答案为：12；2312. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算等，考查数学运算核心素养，属于中档题.14. 若函数()ln e ln e xxa xf x x x a x=+−−（R a ∈）有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()()0,11,+∞ 【解析】【分析】化简函数()()ln e xa f x x x x=+−，得到()ln g x x x =+和()e x h x x =在()0,∞+上单增，结合存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=，且存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，结合12x x =，进而得到实数a 的取值范围． 【详解】由函数()()()ln e ln 1ln e ,(0)xxx a f x x x a x x x x x=+−+=+−>， 设()ln g x x x =+，可得()110g x x+′=>，()g x 单调递增， 且11ln 2022g=−+<，()1010g =+>， 所以存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=， 令e 0xax−=，即e x a x =， 设()e xh x x =，可得()(1)e 0xh x x =+>′，则()h x 在()0,∞+上单增， 又由()00h =且x →+∞时，()h x ∞→+，所以当()0,a ∞∈+时，存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，即22e xa x =，若12x x =时，可得1111ln 0ex x x a x += = ，则11ln x x =−，可得11e x x −=，所以11e 1xx =， 所以1a =，综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,∞∪+．故答案为：()()0,11,∞∪+．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e xg x x =； ②e e ln ln e ln a a a b b a b b<⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e x g x x =； ③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e xg x x =±. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4是13,a a 的等比中项，且63312S S −=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S n +的前n 项和为n T ． 【答案】（1）31na n =− （2）()231n n T n =+ 【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可； （2）由（1）求出n S ，从而得到121131n S n n n =− ++，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】设正项等差数列{}n a 的公差为(0)d d >， 因为4是13,a a 的等比中项，所以2134a a =，即()11216a a d +=， 又63312S S −=，即()1161533312a d a d +−+=，即124d a =+，解得123a d = = 或140a d =− =（舍去）， 所以()23131n a n n =+−=−；【小问2详解】由（1）可得()2131213222n S n n n n n =+−×=+， 所以()312n S n n n +=+， 所以()1212113131n S n n n n n =×=− +++， 所以()21111121211322313131n n T n n n n =−+−++−=−= +++ ． 16. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）727（2）分布列见解析，()53E ξ=【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】记至少两次试验成功为事件A ，则甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率()2323331117C 1C 33327P A ××−+= = . 【小问2详解】由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，所以()0222212110C C 3329P ξ ==⋅= ， ()112021110012222121121111C C C C 33233223P ξ ==⋅+⋅=⋅⋅⋅， ()202112022201102222222121121121132C C C C C C 33233233236P ξ ==⋅⋅+⋅= + ， ()2021122112222212112113C C C C 3323326P ξ ==⋅+⋅= ， ()202222212114C C 33236P ξ ==⋅= ， 故ξ的分布列为 所以()11131150123493366363E ξ=×+×+×+×+×=. 17. 如图，在三棱锥−P ABC 中，PAB 与ABC 都为等边三角形，平面PAB ⊥平面,,ABC M O 分别为,PA AB 的中点，且,PO BM G N = 在棱BC 上，且满足2BN NC =，连接GN ．（1）求证：GN ∥平面PAC ；（2）设2AB =，求直线PN 与平面BGN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.【小问1详解】证明：连接MC ，如图所示．在PAB 中，因为,M O 分别为,PA AB 的中点，PO BM G ∩=，所以G 为PAB 的重心，所以2BG GM=， 又2NB CN=，所以GN MC ∥， 又GN 平面,PAC MC ⊂平面PAC ，所以GN ∥平面PAC ．【小问2详解】连接OC ，因为PAB 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面,ABC AB PO =⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面CAB ，又,OC AB ⊂平面CAB ，所以,PO OC PO AB ⊥⊥．因为ABC 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以CO AB ⊥．以O 为坐标原点，,,OC OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．的则)()(,0,1,0,,C B P G ，所以(),0,CB BG − ． 设平面BGN 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n CB y n BG y z ⋅+= ⋅=−+=令1x =，解得3y z =， 所以平面BGN的一个法向量()n = ，(()111333NP CP CN CP CB =−=−=−=− ． 设直线PN 与平面BGN 所成角的大小为θ，则sin cos ,n NP n NP n NP θ⋅===⋅ ， 即直线PN 与平面BGN． 18. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m−为C 上一点，且32MF . （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i ）求点Q 的坐标；（ii ）求OAQ 与OAB 面积之和的最小值.【答案】（1）23y x =（2）（i ）(4,0)Q −；（ii） 【解析】【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求,p m ，由此可得抛物线方程；的（2）（i ）设l 的方程为4x my =+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y −，应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．【小问1详解】 由题意可得322924p m pm += = ，解得32p =， 所以C 的方程为：23y x =；【小问2详解】（i ）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+， 代入抛物线23y x =的方程，可得23120y my −−=，方程23120y my −−=的判别式2Δ9480m =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y −不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==−, 所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +−=−−，即121112()()y y y y x x m y y +−=−− 即()11123y y x x y y −=−−，令0y =，可得()()212113y y y x y −⋅−=−， 所以()()2121112312x y y y y y y =−⋅−+==−，所以4x =−所以(4,0)Q −；（ii ）如图所示，可得111114222OAQ S OQ y y y =⋅⋅=××= ， 121211442222OAB S y y y y =××+××=+ ， 所以OAQ 与OAB 的面积之和1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y −=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立， 所以OAQ 与OAB的面积之和的最小值为 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
2023深圳南山区民办高中学费一览表
2023深圳南山区民办高中学费标准
2023年深圳民办高中学费收费标准如下：
1、深圳市为明学校( 原北大附中深圳南山分校 )，学费：普高班4.5万元/学期(食宿另算 )，学校性质为民办学校，2023年招生计划160，宿舍情况为全寄宿形。
2、盐田区梅沙双语学校，学费：10.8万元/年，学校性质为民办学校，2023年招生计划58，宿舍情况为全寄宿形，住宿费1.6万元/年。
3、深圳醒华实验学校，学费为高考班: 38000元/学期，学校性质为民办学校，2023年招生计划122，宿舍情况为全寄宿形，住宿
费5000元/学期。
4、深圳明德外语实验学校，学费为英语班: 29500元/学期，日语班:31500元/学期，学校性质为民办学校，2023年招生计划360，宿舍情况为全寄宿形，住宿费2600元/学期，伙食费自理。
5、桃源居中澳实验学校，学杂费:33000元/学期，学校性质为民办学校，2023年招生计划1100，宿舍情况为全寄宿形，住宿费 5000元/学期，伙食费:5500元/学期。
6、富源学校，学费：49200元/学期，含学杂费、住宿费、伙食费、校服费，校车接送费，教辅资料费等，学校性质为民办学校，2023年招生计划680，宿舍情况为全寄宿形。
7、福景外国语学校，学费普高班:28500元/学期，学校性质为民办学校，2023年招生计划336，宿舍情况为全寄宿形，住宿费3700元/学期，伙食费:5500元/学期。
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深圳实验学校高中部2023-2024年度高二第一阶段考试数学试题
深圳实验学校高中部2023-2024学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟满分：150分命题人：陈素玲审题人：陈雪艳一、单选题：在每小题给出的四个选项中有且仅有一项是符合题目要求的，共8小题，每小题5分,满分40分.1.下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值是（）X 3459P2a 16a +1216A ．16B ．112C ．19D ．122．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（）A ．(1,1)-B ．(]1,1-C ．()0,1D ．()0,+∞3.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（）种不同的涂色方法.A ．108B ．96C ．84D ．484.我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2024是“八合数”)，则“八合数”共有（）个.A ．35B ．56C ．120D ．1655.6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（）种.A ．720B ．450C ．360D ．1806．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b的取值范围为（）A ．1b >B ．1b <且0b ≠C ．2b >D ．2b <且0b ≠7.某一地区患有流感的人占0.05，流感患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是流感患者的概率为（）A ．12B ．9200C ．919D ．18378．若对任意的12,(,)x x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 12x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A ．1eBC ．1D ．e二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，则（）A ．可组成360个四位数B ．可组成108个是5的倍数的四位数C ．可组成各位数字之和为偶数的四位数有180个D ．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第88个数为231010.已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（）A ．()0.4P B =B ．()06|.P A B =C ．()|0.5P A B =D ．()()()P AB P A P B =11.若函数()()2ln 21()f x x a x x a R =+-+∈存在两个极值点12,x x ()12x x <，则（）A ．0a ＜或2a >B ．1102x ＜＜C ．2()0f x <D ．()()1212ln 2f x f x +>-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.在53(21)(1)x y +-的展开式中，32x y 的系数为.13.有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为0.06，第2台车床加工的次品率为0.05，第3台车床加工的次品率为0.08，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，现从中任意选取1个零件，则取到的零件是次品的概率为.14.已知函数()()1e xf x x =+，过点(1,)M t 可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t的取值范围是.四、解答题：共5大题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）某校将进行篮球定点投测试，规则为：每人至多投3次，先在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N 处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．已知甲同学两分球投篮命中的概率是12，三分球投篮命中的概率是110，乙同学两分球投篮命中的概率是25，三分球投篮命中的概率是15.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．16.（15分）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列.17.（15分）已知函数()()()ln f x a x a x a =+-∈R （1）讨论函数()f x 的极值点个数；（2）证明：当0a >时，()3ln 2f x a ≥+.18.（17分）已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．19.（17分）已知函数2()2ln (1)21().f x x a x ax a R =-+-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x .（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：12x x +>.。
北大附中南山分校入学条件
北大附中南山分校入学条件【实用版】目录1.北大附中南山分校简介2.入学条件及要求3.学费及奖学金情况4.报名时间和流程5.学校特色和优势正文北大附中南山分校是一所位于广东省深圳市南山区的优质高中，隶属于北大附中教育集团。
该校秉承北大附中的办学理念，致力于为学生提供高水平的教育资源和良好的学习环境，培养具有国际视野和创新精神的优秀人才。
一、北大附中南山分校简介北大附中南山分校创建于 2000 年，占地面积约 3.3 万平方米，拥有现代化的教学设施和一流的师资力量。
学校现有高中部、初中部和国际部，实行小班化教学，确保每位学生都能得到充分的关注和指导。
二、入学条件及要求1.具有深圳市户籍或符合深圳市中考报名条件的非户籍学生；2.品行端正，具有良好的学习习惯和团队协作精神；3.身心健康，符合学校规定的体检标准。
三、学费及奖学金情况1.学费：根据不同年级和学部，学费有所不同，具体收费标准以学校公布为准；2.奖学金：学校设有奖学金制度，对于品学兼优的学生给予一定的奖励。
四、报名时间和流程1.报名时间：每年 3 月份开始接受报名，具体报名时间请关注学校官方公告；2.报名流程：在线填写报名表，提交相关材料，参加学校组织的面试和考试，合格后发放录取通知书。
五、学校特色和优势1.师资力量：学校拥有一支高素质的教师队伍，其中包括特级教师、高级教师和外籍教师；2.国际化教育：学校积极开展国际交流与合作，为学生提供丰富的国际课程资源和留学指导；3.素质教育：学校注重学生全面发展，开设丰富的课外活动和社团组织，培养学生的兴趣爱好和特长；4.校园环境：学校环境优美，设施一流，为学生提供舒适的学习和生活条件。
广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期第一阶段考试数学试卷
广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高二上学期第一阶段考试数学试卷一、单选题1．已知点(3,1,4)A ，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--B ．(1,3,4)-C ．(3,1,4)---D ．(4,1,3)-2．直线3410x y --=的一个方向向量是（ ）A ．(3,4)B ．(4,3)C ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭3．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．[]0,4B ．[]4,4-C ．[]4,0-D ．[]0,24．直线a ⊥平面α，b ∥α，则a 与b 的关系为 A ．a ⊥b 且a 与b 相交 B ．a ⊥b 且a 与b 不相交 C ．a ⊥bD ．a 与b 不一定垂直5．已知直线的参数方程为45x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则直线上与点()4,5P 点的坐标是（ ） A ．()4,5-B ．()3,6C ．()3,6或()5,4D ．()4,5-或()0,16．M ，N 分别为直线34120x y --=与6850x y -+=上任意一点，则MN 最小值为（ ） A ．2910B ．295C ．175D ．17107．如图，M 为四面体OABC 的棱BC 的中点，N 为OM 的中点，点P 在线段AN 上，且2AP PN =，设OA a =u u u rr，OB b =u u u r r，OC c =u u u rr，则OP =u u u r（ ）A ．111366OP a b c =++u u u r r r r B ．21131212OP a b c =++u u u r r r rC ．111366OP a b c =-+u u u r r r rD ．2113126OP a b c =+-u u u r r r r8．点(2,1)P --到直线:10(R)l mx y m m +--=∈的距离最大时，直线l 的方程为（ ） A ．2320x y --= B ．3280x y ++= C ．3250x y +-=D ．2310x y -+=二、多选题9．设A 、B 、C 、D 是空间中四个不同的点，下列命题中正确的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 也是异面直线 C ．若AB AC DB DC ==，，则AD =BC D ．若AB AC DB DC ==，，则AD ⊥BC10．已知空间四点()()()()1,1,0,2,2,1,1,1,1,0,2,3A B C D -，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．AB CD ⊥B ．AD =C ．点A 到直线BCD ．点D 到平面ABC11．下列说法正确的是（ ）A ．方程21y k x -=+与方程2(1)y k x -=+可表示同一直线 B ．经过点(2,1)P ，且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C ．过两点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可用方程()()()()211211x x y y y y x x --=--表示D ．已知(2,3)A ，(1,1)B ，点P 在y 轴上，则||||PA PB +三、填空题12．已知直线l 经过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为．13．在正三棱锥P ABC -中，O 是ABC V 的中心，2PA AC ==，则PO PB ⋅=u u u r u u u r. 14．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()10F ,，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为.四、解答题15．已知直线l 的倾斜角为135o ，且经过点()1,1P ． (1)求直线l 的方程；(2)求点()3,4A 关于直线l 的对称点A '的坐标．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，4PC =，120ABC BCP DCP ∠=∠=∠=︒.(1)求证：PA BD ⊥； (2)求AP 的长.17．已知ABC V 的顶点(1,2)A ，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210x y +-=，ABC ∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =. (1)求直线BC 的方程；(2)若点P 满足PBC ABC S S =△△，求动点P 的轨迹方程.18．已知平面边形ABCD 中，//AD BC ，BC CD ⊥，且2AD CD ===.以AD 为腰作等腰直角三角形PAD ，且PA A D =，将PAD △沿直线AD 折起，使得平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AB ⊥平面PAC ；(2)若M 是线段PD 上一点，且//PB 平面MAC ， ①求三棱锥M ABC -的体积；②求平面PBC 与平面ABM 夹角的余弦值.19．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，点E 在母线PC 上，且3AB AE ==，CE(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)求直线PO 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)在线段OP 上是否存在一点M ，使得平面MAB 与平面ADE ？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由。
深圳中学评价精选(南山区、宝安区篇)
择校看过来：深圳中学评价（南山区、宝安区篇）每到入学的前期，家有入学小孩的家长们都开始梳理起自己的社会关系，而且不惜重金，不怕麻烦，托关系，找门路，想方设法将孩子送入自己心目中的所谓名校。
在这里整理了一些深圳南山区、宝安区部分知名学校的家长及学生评价。
以下评价仅供参考！！希望能切实对大家有用哦！南山区------------------------------------------------------------------------------------------一、深圳北大附中南山分校地址：深圳市南山区月亮湾大道3002号评价汇总：关于学校评论：北大附中人比较少，老师不会因为人多而忽略少数同学，但一个学期的学费要两万七，要考虑自己家的情况再说。
这里的教师没公立学校的教师的责任心大（家长认为），工作算得上是不错，环境优美，是个绿色化的校园，省一级学校。
考北大的高中，目前是没有考试的，就是按中考的成绩录取，前提是你有报志愿，今年学校的录取分数是536。
因为我是北大附中初中部毕业的，我很喜欢那个学校，我觉得老师很负责，而且环境很好，饭很好吃就对了，可以说是全深圳学校中饭已经很不错的了。
初中的学习氛围是很好，但是高中有点欠佳，不过也是不错，在540~520分数线中的学校中，是一个很好选择的一个学校。
住宿也是很好，有空调，而且很漂亮，学校整体看上去是黄色和绿色的，初中的学费一年是1万4千3，如果加上住宿的话，一年就大约是2万9左右。
高中应该是差不多的，可能会贵点吧，但也不会贵到哪里去。
如果你中考的志愿没有填北大的话，也有可能去不了噢，你要找找关系才可以吧。
------------------------------------------------------------------------二、深圳市育才中学地址：深圳市南山区工业六路2评价汇总：关于学校评论：我就是育才的啊，住宿条件还是不错的（但学校因为扩招以后宿舍会变成6个人一间宿舍），但是可以住进去的人不多，最开始如果不是真的离学校很远的话是很难申请到的。
广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷
广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷一、单选题1．向量()2,1a =r ，()1,b x =r ，若a b ⊥r r ，则（ ） A ．12x =B ．12x =-C ．2x =D ．2x =-2．在ABC V 中，2,3,60AB AC B ===︒，则cos C 等于（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知向量(),3a m =r ，()1,b m =r ，若a r 与b r方向相反，则a =r （ ） A ．54B ．48C．D．4．已知向量(2,0)a =r，sin b α⎛ ⎝=⎭r ，若向量b r 在向量a r上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭r ，则||a b +=rr （ ）ABC ．3D ．75．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．8a =，16b =，30A =︒，有两解 B ．18b =，20c =，60B =︒，有一解 C ．30a =，25b =，150A =︒，有一解 D ．5a =，2c =，90A =︒，无解6．在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD AB ⊥，4522B AB CD ︒∠===，，M 为BC 的中点，则MA MD ⋅=u u u v u u u u vA ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC V 中，π,23BAC AD DB ∠==u u ur u u u r ，P 为CD 上一点，且12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ，若||3,||4AC AB ==u u u r u u u r ，则AP CD ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．76-B ．76C ．1312-D ．13128．在ABC V 中，点D 是边BC 的中点，且4=AD ，点E 满足221sin cos 2BE BA BCθθ=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r（θ∈R ），则()EB EC EA +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．10- B ．8- C ．6- D ．4-二、多选题 9．已知复数z =则（ ）A ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限B ．复数z 的实部为12C ．1z z=D ．复数2z 10．下列说法正确的是（ ）A ．||||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r rB ．在ABC V 中，若sin2sin2A B =，则ABC V 为等腰直角三角形 C ．在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件D ．已知平面内的一组基底12,e e r r ，则向量1212,e e e e +-r r r r也能作为一组基底11．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点，且()()()sin sin sin sin a A B c b B C -=-+，2c =，则（ ）．A ．π6C =B ．ABC V 面积的取值范围为(C ．ABC V 周长的取值范围为(]4,6D ．CD 长度的取值范围为(三、填空题12．若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为.13．在ABC V 中，令CB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，若1a b e +=ur r r ，22a b e -=u u r r r ，121==u r u u r e e ，1212e e ⋅=u r u u r ，则ABC V 的AB 边上的中线长为．14．在平行四边形ABCD中，AD =u u u r 向量AD u u u r 在AB u u u r方向上的投影为1，且0B D D C ⋅=u u u r u u u r ，点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围为．四、解答题15．已知复数21(i)z a =+，243i z -＝，其中a 是正实数． (1)若12i z z ＝，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，求a 的值．16．已知()1,0a =r，()2,1b =r ，()3,4c =-r ， (1)若 ()//ka b c +r r r求k 的值；(2)若 23AB a b =+u u r ur r ，BC a mb =+u u ur r r 且,,A B C 三点共线， 求m 的值．17．已知函数21()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=->．(1)当1ω=时，求函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的值域；(2)在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2π,0,2A f a AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC V 的面积．18．如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B 同在水平面内的两个测点C 与D .在C 点测得塔底B 在北偏东45︒方向，然后向正东方向前进20米到达D ，测得此时塔底B 在北偏东15︒方向.(1)求点D 到塔底B 的距离BD ；(2)若在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，求铁塔高AB . 19．在锐角ABC V 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，tan 21tan B aC c+=. (1)求角B 的大小； (2)求sin sin A C +取值范围；(3)当sin sin A C +取得最大值时，在ABC V 所在平面内取一点D （D 与B 在AC 两侧），使得线段2,1DC DA ==，求BCD △面积的最大值.。
2012深圳中考各高中录取线对应的全市成绩排名
2012深圳中考各高中录取线对应的全市成绩排名The editor on July 10, 2012.If you have any questions, please mailto 110035937@ 序号学校名录取线学生全市成绩排名1深圳外国语学校67123902深圳外国语学校（择校）66328243深圳中学65731894深圳中学（择校）65731895深圳实验学校（高中部）66924936深圳实验学校（高中部，择校）66726007深圳市高级中学63647618深圳市高级中学（择校）63845909福田区红岭中学616674010福田区红岭中学（择校）627559011宝安区宝安中学（一）607779612宝安区宝安中学（二）676214813宝安区宝安中学（择校）638459014深圳大学师范学院附属中学（一）600869215深圳大学师范学院附属中学（二）614696516深圳大学师范学院附属中学（择校）610743217罗湖区翠园中学5881037818罗湖区翠园中学（择校）603830019深圳市第二高级中学5701325520深圳市第二高级中学（择校）5861067721南山区育才中学5811144822南山区育才中学（择校）5811144823罗湖区罗湖外语学校5571557724罗湖区罗湖外语学校（择校）5491709625宝安区新安中学（一）5541613926宝安区新安中学（二）624588827宝安区新安中学（择校）5701325528龙岗区龙城高级中学（一）5451787929龙岗区龙城高级中学（二）647387830龙岗区龙城高级中学（择校）598895931深圳市第二实验学校（一）5621466232深圳市第二实验学校（二）5871052733深圳市第二实验学校（择校）5771208834宝安区松岗中学（本地班）5601502435宝安区松岗中学（本地班）（择校）622609436南山区南山外语学校（中学部）5681360037南山区南山外语学校（中学部）（择校）5651412638南山区南头中学（一）5441807739南山区南头中学（二）5841098140南山区南头中学（择校）5551595141深圳市第三高级中学（原教苑中学）(一)5381928242深圳市第三高级中学（原教苑中学）(二)595937143深圳市第三高级中学（原教苑中学）（择5751241544福田区福田中学（一）5272156245福田区福田中学（二）5811144846福田区福田中学（择校）5611484247宝安区宝安高级中学（一）5391907948宝安区宝安高级中学（二）620630449宝安区宝安高级中学（择校）5781192650深圳市第二外国语学校（一）5541613951深圳市第二外国语学校（二）5691342752深圳市第二外国语学校（择校）5541613953深圳实验学校（中学部）5551595154深圳实验学校（中学部，择校）5571557755宝安区西乡高级中学（一）5112499256宝安区西乡高级中学（二）595937157宝安区西乡高级中学（择校）5711308558南山区华侨城中学（一）5112499259南山区华侨城中学（二）5741258160南山区华侨城中学（择校）5461768261南山区北师大南山附属学校5342010162南山区北师大南山附属学校（择校）54817290 63龙岗区平冈中学（一）50326736 64龙岗区平冈中学（二）6315210 65龙岗区平冈中学（择校）5949511 66罗湖区滨河中学51524125 67罗湖区滨河中学（择校）54917096 68福田区梅林中学（一）50226954 69福田区梅林中学（二）56813600 70福田区梅林中学（择校）54418077 71北大附中深圳南山分校52921141 72福田区益田中学（一）49927610 73福田区益田中学（二）56414303 74福田区益田中学（择校）54717486 75盐田区沙头角中学（一）48929791 76盐田区沙头角中学（二）55316328 77盐田区沙头角中学（择校）54118676 78深圳技师学院（原高级技工学校）（应用52721562 79深圳技师学院（原高级技工学校）（信息52023049 80深圳技师学院（原高级技工学校）（国际53619690 81深圳技师学院（原高级技工学校）（珠宝51025210 82深圳技师学院（原高级技工学校）（电子52422196 83深圳技师学院（原高级技工学校）（电气48031734 84深圳技师学院（原高级技工学校）（光机47033851 85深圳技师学院（原高级技工学校）（印刷47133642 86深圳技师学院（原高级技工学校）（应用48530658 87深圳技师学院（原高级技工学校）（汽车48830008 88深圳市耀华实验学校54817290 89深圳市明珠学校49628265 90宝安区观澜中学（一）48031734 91宝安区观澜中学（二）5939652 92宝安区观澜中学（择校）56813600 93深圳职业技术学院（五专、工业设计）48231304 94深圳职业技术学院（五专、国际商务）48929791 95福田区华强职业技术学校47532799 96光明新区光明高级中学（一）40046091 97光明新区光明高级中学（二）49029573 98光明新区光明高级中学（三）55416139 99光明新区光明高级中学 （择校）54018877 100宝安区龙华中学（一）47333221 101宝安区龙华中学（二）58410981 102宝安区龙华中学（择校）56314482 103龙岗区布吉高级中学（一）44139575 104龙岗区布吉高级中学（二）58011606 105龙岗区布吉高级中学（择校）55815392 106宝安区沙井中学44239391 107宝安区沙井中学（择校）56713774 108深圳市菁华中英文实验中学46534887 109深圳市行知职业技术学校45337297 110深圳市福景外国语学校（普高班）48430873 111深圳市福景外国语学校（中加出国班）44439020 112深圳清华实验学校（民办班）45137687 113深圳清华实验学校（公办班）54218475 114光明新区光明中学（一）43141356 115光明新区光明中学（二）47532799 116光明新区光明中学（三）56015024 117光明新区光明中学（择校）53320308 118深圳市皇御苑学校43640480 119坪山高级中学（一）44638644 120坪山高级中学（二）44538832 121坪山高级中学（三）56414303 122坪山高级中学（择校）54717486 123深圳第二高级技工学校（原技工学校）（44938073 124深圳第二高级技工学校（原技工学校）（48830008 125深圳第二高级技工学校（原技工学校）（46834268126深圳第二高级技工学校（原技工学校）（43440834127深圳第二高级技工学校（原技工学校）（46235501128深圳第二高级技工学校（原技工学校）（43939941129深圳第二高级技工学校（原技工学校）（46634682130深圳第二高级技工学校（原技工学校）（45536904131深圳第二高级技工学校（原技工学校）（44339206132深圳第二高级技工学校（原技工学校）（45736508133深圳第二高级技工学校（原技工学校）（43341009134深圳第二高级技工学校（原技工学校）（47632587135深圳第二高级技工学校（原技工学校）（42242857136深圳市石岩公学（公办班）42841867137深圳市石岩公学（民办班）44439020138深圳市第一职业技术学校45237493139深圳市第一职业技术学校（动画与设计专45536904140深圳市第一职业技术学校（移动通信专业43540657141南山区中加学校47133642142龙岗区布吉中学41144553143龙岗区布吉中学（择校）54517879144深圳市新鹏职业高级中学40046091145深圳市宝安职业技术学校（一）40046091146深圳市宝安职业技术学校（二）42941698147深圳市龙岗职业技术学校（一）40046091148深圳市龙岗职业技术学校（二）47931948149深圳市富源学校42841867150深圳市博伦职业技术学校40046091151龙岗区建文中学40046091152深圳市沪教院福田实验学校41144553153龙岗区东升学校40046091154深圳市奥斯翰外语学校40145958155深圳市华胜实验学校40046091156深圳东方英文书院40046091157深圳市盐港中学40745131158深圳市崛起实验中学40046091159深圳市平湖外国语学校40046091160宝安区明德外语实验学校40046091161深圳市第二职业技术学校（一）43540657162深圳市第二职业技术学校（二）40046091163深圳市第二职业技术学校（分校部）35051123164宝安区龙华中英文实验学校40046091165宝安区康桥书院40046091166深圳市沙井职业高级中学35051123167深圳机场实验学校35051123168深圳市第三职业技术学校40046091169深圳市宝安成人中等专业学校35051123170深圳市龙翔学校35051123171深圳市开放职业技术学校35051123172深圳市携创技工学校35051123173深圳市深德技工学校35051123174宝安区美中学校30053537175福田区云顶学校30053537176深圳宝山技工学校35051123177深圳尚德技工学校35051123 mailto:110035937@。
深圳北大附中深圳南山分校数学高一下期中经典复习题(培优练)
一、选择题1．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12383]直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞ 3．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③4．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 5．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π 6．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D 417．(0分)[ID ：12343]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小3P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π8．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 9．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒； ③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a11．(0分)[ID ：12365]如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 12．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1013．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2214．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行 15．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2二、填空题16．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．17．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．18．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．19．(0分)[ID ：12486]以(3,2)a =-方向向量的直线平分圆2220x y y =++，直线l 的方程为________.20．(0分)[ID ：12454]如图，在ABC 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.21．(0分)[ID ：12445]正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V ，则球O 的体积是______． 22．(0分)[ID ：12459]已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．23．(0分)[ID ：12520]如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.24．(0分)[ID ：12453]在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.25．(0分)[ID ：12494]已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y 2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是2√23be 2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12607]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点.（1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．27．(0分)[ID ：12572]如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．28．(0分)[ID ：12570]已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．29．(0分)[ID ：12556]如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥；（2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.30．(0分)[ID ：12542]如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．B4．D5．C6．A7．C8．D9．B10．B11．A12．D13．A14．D15．C二、填空题16．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个17．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关18．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6019．【解析】【分析】由为方向向量设直线的方程为：若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上故得解【详解】根据题意要求的直线的方向向量为：设直线的方程为：圆即圆心为若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上则有：则直20．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本21．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥22．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握23．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平24．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面25．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.2．B解析：B【解析】【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论.【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+2=，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B.【点睛】 本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．4．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.5．C解析：C【解析】【分析】的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为∴三棱锥的外接球体积为343π⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．6．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.7．C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324r ==， 则：2r =， 所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用． 8．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 9．B解析：B【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.10．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径32DE = 2343S ππ==故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=23=，∴1OO ==∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．D解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.15．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．二、填空题16．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离2d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22222222a a ∴-即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =， 则2MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．17．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。
广东省深圳市南方科技大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题+答案
南科大附中2023年春季学期高一年级期中考试数学命题人：王凡 审题人：李林（本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。
将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”。
2．作答时，务必将答案正确填写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。
一、选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
）1．下面空间图形的截面一定是圆面的是（ ） A ．圆台B ．球C ．圆柱D ．圆锥2．如图所示，一个水平放置的四边形OABC 的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O A B C ''''，则原四边形OABC 的面积是（ ）A ．162B ．82C ．16D ．83．已知两个单位向量,a b 的夹角是120，则a b −=（ ） A ．1B ．2C ．2D ．34．如图，在三棱锥−P ABC 中，,,,,,E F G H I J 分别为线段,,,,,PA PB PC AB BC CA 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．//PH BG B ．//IE CP C ．//FH GJ D ．//GI JH5．在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且30OCB ∠=︒，2AB =，则AC 等于（ ）A ．1B ．2C ．5D ．26．设复数z 在复平面内对应的点为()0,a ，若2z =，则a =（ ） A ．2iB ．2iC ．2±D ．2±7．如图所示，在三棱台A B C ABC '''−中，沿平面A BC '截去三棱锥A ABC '−，则剩余的部分是（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台8．甲烷分子式为4CH ，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用C 表示碳原子的位置，用1234,,,H H H H 表示四个氢原子的位置，设14,CH CH α=，则cos2α=（ ）A ．13−B ．79−C ．79D ．13二、选择题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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北大附中深圳南山分校高中部2012届高二下学期第一次月考文数一、选择题：(本大题共12小题，每小题6分，满分72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1、根据二分法原理求解方程x 2－2=0得到的算法框图可称为A.工序流程图B.程序框图C.知识结构图D.组织结构图 2、下列两个变量具有相关关系的是A.正方体的体积与它的边长B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C.人的身高与体重D.人的身高与视力3、下列命题中正确的是A.任意两复数均不能比较大小B.复数z 是实数的充要条件是z =zC.虚轴上的点表示的是纯虚数D. i+1的共轭复数是i －1 4、已知复数z=－1+i ，则z 在复平面内对应的点在第几象限A.一B.二C.三D.四5、“猿用肺呼吸，猫用肺呼吸，象用肺呼吸，所以一切哺乳动物都用肺呼吸”.此推理方法是A.完全归纳推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理 6、我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形，则第n 个正方形数是 A.n(n －1) B.n(n+1) C.n 2D.(n+1)27、(2011湖南高考)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，算得22110(40302020)K 7.860506050⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯. 附表：参照附表，得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”8、如果用C ，R 和I 分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么有 A.C=R ∪I B.R∩I={0} C.∁U R=C∩I D. R∩I =∅ 9、已知集合A={x|x=a+(a 2－1)i ，a ∈R ，i 是虚数单位}，若A ⊆R ，则a=A.0B.1C.－1D.±1男 女 总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.63510.828…10、如果执行如图的程序框图，输入n=6， m=4，那么输出的p 等于A.720B.360C.240D.12011、复数z 1=a+i ，z 2=－2+i ，如果|z 1|<|z 2|， 则实数a 的取值范围是A.a>0B.a>2C.－2＜a ＜2D.a<－2或a>2 12、i 是虚数单位，若17ia bi 2i+=+- (a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是 A.－15 B.－3 C.3 D.15二、填空题：(本大题共5小题，每小题6分，满分30分) 11、把两条直线的位置关系 填入下图中的M ，N ，E ，F 中， 顺序较为恰当的是________.①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交12、已知(x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x ，y ∈R ，求x+y=______.13、平面直角坐标系下直线．．的方程为Ax+By+C=0 (A 2+B 2≠0)，请类比空间 直角坐标系下平面．．的方程为_____________________________. 14、观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为______________________________. 15、i ＋i 2＋i 3+……+i 2012= .16、若3+2i 是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根，则q 的值是_______.两条直线的位置关系 M NE F参考答案一、选择题答案表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCBCCDDBCB1、解：利用程序框图中的循环结构可以求x 2－2=0的近似值，故选择B.2、解：正方体的体积与它的边长，匀速行驶的车辆的行驶距离与时间两个变量具有函数关系；而人的身高与体重两个变量是具有相关关系；人的身高与视力两个变量不具有相关关系，故选择C.3、解：任意两复数均不能比较大小是错误的；虚轴上的点表示的是纯虚数也是错误的；i+1的共轭复数是i －1也是错误的；而复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的，故选择B.4、解：z=－1+i 的共轭复数z =－1＋i ，在复平面内，z 对应的点的坐标为(－1，－1)，在第三象限，故选择C.5、解：由“猿、猫、象”三种特殊哺乳动物用肺呼吸推理出一切哺乳动物都用肺呼吸，是从特殊到一般的归纳推理，故选择B.6、解：由图可得第一个到第n 个图形对应的正方形数是1，22，32，…，n 2， 故选择C.7、解：因为K 2≈7.8≥6.635，而P(K 2≥6.635)=0.010，故由独立性检验的意义可知，相关的概率大于1－0.010=0.99，故选择C. 8、解：如果用C ，R 和I 分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么有R∩I=∅，故选择D.9、解：∵A ⊆R ，∴x=a+(a 2－1)i 中a 2－1=0，∴a=±1，故选择D. 10、解：考查认识流程图以及判断流程图输出的结果. 列出每一次输出的结果：第一次循环：p=1×(6－4+1)=3，再进行循环； 第二次循环：k=2，p=3×(6－4+2)=12，再进行循环； 第三次循环：k=3，p=12×(6－4+3)=60，再进行循环； 第四次循环：k=4，p=60×(6－4+4)=360，结束循环，所以p=360， 故选择B.11、解：选C.由于|z 1，|z 2|z 1|<|z 2|，两边平方，解得－2<a<2，故选择C. 12、解：∵17i (17i)(2i)515i13i 2i (2i)(2i)5+++-+===-+--+.∴a=－1，b=3. ∴ab=－3，故选择B.二、填空题：11、解：由于两直线的位置关系有相交与平行，相交又分为斜交与垂直，所以恰当的是①、③、②、④.12、已知(x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x ，y ∈ R ，则由两个复数相等的充要条件可知，x 1=y 1=y 3-⎧⎨-⎩，解得x =5y =4⎧⎨⎩，故x+y=9.13、平面直角坐标系下直线的方程为Ax+By+C=0 (A 2+B 2≠0)，请类比空间直角坐标系下平面的方程为Ax+By+Cz+D=0 (A 2+B 2+C 2≠0).14、解：由13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152，则第五个式子为: 13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212. 15、解：i ＋i 2＋i 3+ i 4=0，∴i ＋i 2＋i 3+……+i 2012=0.16、解：把3+2i 代入方程得：2(3+2i)2+p(3+2i)+q=0，整理得(10+3p+q)+(24+2p)i=0，利用复数相等的充要条件得10+3p +q =024+2p =0⎧⎨⎩，解得p =12q =26-⎧⎨⎩，故q=26.三、解答题：17、解：(1)当m 2+m －2=0，即m=－2或m=1时，z 为实数； (2)当m 2+m －2≠0，即m ≠－2且m ≠1时，z 为虚数；(3)当222m +3m 2=0m +m 20⎧-⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =m =22m 2m 1⎧-⎪⎨⎪≠-≠⎩或且， 即1m =2时，z 为纯虚数； (4)当222m +3m 2=0m +m 20⎧-⎪⎨-=⎪⎩，解得1m =m =22m 2m 1⎧-⎪⎨⎪=-=⎩或或，即m=－2时，z=0. 注：对于本题，只要概念清晰，就能顺利地列出以上各式，求出m 值. 18、解：(用反证法证明1)∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴211b a c =+≥， ∴b 2≤ac 即ac －b 2≥0.假设B 是钝角，则cosB<0，由余弦定理可得，222a cb cos B 2ac +-=222ac b 02ac a ac cb 2-≥>≥-.这与cosB<0矛盾，故假设不成立.∴B 不可能是钝角.(用反证法证明2)∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴211b ac =+， 假设B 是钝角，则B 2π>，则B 是△ABC 的最大内角，所以b>a ，b>c ，(在三角形中，大角对大边)，从而11112a c b b b +>+=，这与211b a c=+矛盾，故假设不成立，因此B 不可能是钝角.(用综合法证明) ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴211b a c =+≥， 证明：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴211b a c=+，即2ac=b(a+c)， 由余弦定理和基本不等式可得，2222a cb 2ac b cos B 2ac 2ac+--=≥2b 12ac =-2b b 11b(a +c)a +c=-=-，∵a ，b ，c 为△ABC 三边，∴a+c>b ， ∴b10a +c->，∴cosB>0，∴∠B<900，因此B 不可能是钝角. 19、解：由题意知，a=18，b=12，c=5，d=78，所以a+b=30，c+d=83，a+c=23，b+d=90，n=113.所以22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++=2113(1878512)30832390⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈39.6>10.828.所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系.认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%.20<.b a <c b ，∵a 、b 、c>0，只需证b 2<ac ，又∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴211b a c =+≥，即b 2≤ac ， 又a 、b 、c 任意两边均不相等，∴b 2<ac 显然成立，故所得大小关系正确. 方法技巧：巧用分析法证明不等式不等式的证明方法主要有直接证明与间接证明，而分析法就是直接证明的一种，用分析法证明问题思路比较明确，即由结论出发，通过逐步寻求使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件为止，方法比较简单，推理比较明了，是我们平时在做题时遇到绊脚石时最好的帮手，应引起大家的足够重视.附录：1、假设两个分类变量X 与Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}，{y 1，y 2}，其2×2列联表如图所示:对于以下数据，对同一样本能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组为A.a=5，b=4，c=3，d=2B.a=5，b=3，c=2，d=4C.a=5，b=2，c=4，d=3D.a=2，b=3，c=5，d=41、解：∵22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，代入数据可知：B 组中各值使K 2最大，故选择B.2、如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值为 A.1B.2C.2D.53、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8，S 4，S 12，S 8，S 16，S 12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，_________，________，1612T T 成等比数列.3、独具【解题提示】等差数列与等比数列中的类比是“和”类比到“积”，“差”类比到“商”.解：通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4，816124812T T T T T T ，，成等比数列，故填84T T ，128T T .答案: 84T T ，128TT . 4、已知两条相交直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直 线最多有6个交点点，五条直线最多有10个交点.由此可归纳n 条直线最多 交点个数为__________.1n(n 1)2- 5、(2011·福州高二检测)当实数m 为何值时，复数z=(m 2－8m+15)+(m 2+3m －28)i(m ∈R)在复平面内对应的点，(1)在x 轴上？ (2)在第四象限？ (3)位于x 轴负半轴上？ 5、解：(1)由已知得：m 2+3m －28=0，∴(m+7)(m －4)=0， 解得：m=－7或m=4.(2)由已知得：22m -8m +15>0m +3m 28<0⎧⎪⎨-⎪⎩，∴m <3m >57<m <4⎧⎨-⎩或，∴－7<m<3.(3)由已知得：22m -8m +15>0m +3m 28<0⎧⎪⎨-⎪⎩，∴3<m <5 m =7m =4⎧⎨-⎩或，∴m=4.6、(本小题满分12分)小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游活动的准备工作，他测算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，去洗手间2分钟，洗脸、刷牙7分钟、准备早点15分钟(只需在煤气灶上热一下)，煮牛奶8分钟(有双眼煤气灶可以利用)，吃早点10分钟，查公交线路图5分钟，给出差在外的父亲发短信2分钟，走到公共汽车站10分钟，小强粗略地算了一下，总共需要67分钟.为了赶上7:50的公共汽车，小强决定6：30起床，可是小强一下子睡到7:00了！按原来的安排，小强还能参加这次郊游活动吗？如果不能，请你帮小强重新安排一下时间，画出一份郊游出行流程图来，以使得小强还能来得及参加此次郊游活动.6、解：按原来的安排，小强不能参加这次郊游活动，如图(单位：分钟)：共需时间为8+2+7+15+10+5+2+10=59(分钟)，59>50，所以不能.可设计流程图如下图所示(单位：分钟).能使小强来得及参加郊游. 7、(本小题满分12分)数列{x n }由下列条件确定：x 1=a>0， n+1n n1ax (x )2x =+，n ∈N *. (1)证明：对n≥2，总有x n(2)证明：对n≥2，总有x n ≥x n+1.7、解题提示：解答本题要充分利用解决不等式问题的基本方法：基本不等式，作差法，放缩法等.证明：(1)由x 1=a>0，及n+1n n1ax (x )2x =+，可知x n >0，从而有n+1x ≥∈N *)，所以,对n≥2，总有n x ；(2)当n ≥2时，因为n x 0≥>，n+1n n 1a x (x )2x =+，所以2n n 1n na x 1x x 02x +--=⋅≤，故对n≥2，总有x n ≥x n+1成立.8、(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据.广告支出x(单位：万元)1 2 3 4 销售收入y(单位：万元)12 28 42 56(1)画出表中数据的散点图； (2)求出y 对x 的线性回归方程； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 8、解：(1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a、 b .于是5x 2=，69y 2=，代入公式得： 11223344222221234x y x y x y x y 4xy b x x x x 4x +++-=+++-25694184732255304()2-⨯⨯==-⨯， 69735ay bx 2.252=-=-⨯=- 故y 与x 的线性回归方程为 73yx 25=-，其中回归系数为735， 它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元.(3)当x=9万元时，73y 92129.45=⨯-=(万元). 方法技巧：建立回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确两个变量； ②画散点图，观察它们之间的关系；③用最小二乘法估计线性回归方程中的参数；④得出结论后分析残差是否异常.若有异常，则应检查数据是否有误，或者选用的模型是否恰当.i x i y i x i 2 x i y i 1 1 12 1 12 2 2 28 4 56 3 3 42 9 126 4 45616224。