2019届浙江省绍兴一中高三下学期5月高考适应性考试数学试题解析
2019届浙江省嵊州中学5月高考模拟数学试题
2019届嵊州5月模拟一、选择题：本大题共10小题，共40分1. 已知集合{}=02A x x <<，{}2230B x x x =+-=，则AB =（ ）A ．∅B ．{}3-C ．{}1D ．{}3,1-2. 在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为1+2i -，3i -，12i -（i 为虚数单位），则D 点对应的复数为（ ） A ．55i -B ．1i -C ．13i +D ．3i -+3. 二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第二项为（ ）A ．35x -B ．10x-C ．35x D ．10x4. “1x ≤”是“1x ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 函数()x xe ef x x-+=的图象大致是（ ）6. 已知双曲线()221122x y m m -=≤≤的离心率为e ，直线:2l y x =-，则（ ） A ．存在m ，使得2e =B ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有一个公共点C ．存在m，使得e =D ．存在m ，使得直线l 与双曲线右支有两个公共点7. 已知104a <<，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时（ ） A ．()E ξ增大，()D ξ增大 B ．()E ξ增大，()D ξ减小C ．()E ξ减小，()D ξ增大D ．()E ξ减小，()D ξ减小8. 已知a ，b 是非零向量，若对任意的实数t ，有12b ta b a +≥+，则（ ）A ．a a b >+B ．a a b <+C ．b a b >-D．b a b <-D.C.B.A.9. 如图，已知三棱锥D ABC -，2AB AC BC AD ===，AB AD ⊥，记平面DAB ，平面DBC ，平面DAC与底面ABC 所成的锐二面角分别为123,,θθθ，则（ ） A ．123θθθ≤≤ B ．213θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．312θθθ≤≤10. 已知数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=-+，记12111n n A a a a =+++，12111n nB a a a =⋅⋅⋅，则（ ） A ．201920191A B +>B ．201920191A B +<C ．2019201912A B ->D ．2019201912A B -<二、填空题：本大题共7小题，共36分11. 我国古代数学著作《算数书》中有这样一个问题：“精米二斗值三钱，糙米三斗值二钱，现在有精、糙米共十斗，卖了十钱，问精、糙米各多少斗？”设精米、糙米斗数分别为x ，y ，则10103223x y x y +=⎧⎪=⎨+⎪⎩，可解得x = ；y = ．12. 已知实数x ，y 满足不等式1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是 ，最大值是 ．13. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 3cm ，表面积是 2cm ．14. 在ABC △中，2AB =，3AC =，边BC 上的中线2AD =，则BC = ，ABC △的面积为 ． 15. 现有红、黄、白三种颜色的小球（形状、大小完全相同）5个，每种颜色至多2个小球，若将这5个小球排成一排，要求中间位置不放白球，且同种颜色的小球不相邻，则共有 种排法． 16. 若关于x 的不等式112x ax x -+-≥对于任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是 ．17. 已知点F ，A 分别为椭圆的()222210x y a b a b+=>>左焦点和右顶点，过F 作x轴的垂线交椭圆于点P ，且AFP △，则椭圆的离心率为 ．DCBA侧视图俯视图正视图三、解答题：本大题共5小题，共74分18. 已知函数()2cos sin cos 26f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，135ADP ∠=︒，AB ，22BC AD ==，2PB PD ==（1）求证：AB PD ⊥；（2）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．20. 已知单调递增的等比数列{}n a 满足1237a a a ++=，且13a 是23,a a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()*112,112,n n b n b nb n n N -=--=≥∈，求数列{}n n a b -的前n 项和n S ．P DCBA21. 已知曲线()2:22δx y x =-≤≤和曲线()()22:4446M x y y +-=≤≤交于A ，B 两点（点A 在第二象限）．过点A 作斜率为1k 的直线1l 交曲线M 于点C （不同于点A ），过点()1,2P 作斜率为2k 的直线2l 交曲线δ于点E ，F 两点，且122k k +=． （1）求1k 的取值范围；（2）已知△BEF 的面积为S ，求()AC AB S ⋅的最大值．22. 已知m R ∈，函数()xxf x m e =-有两个不同的零点12,x x ． （1）证明：10m e <<；（2）证明：21x x ->。
2019年5月浙江省学考选考浙江省绍兴市高2019届高2016级绍兴一中月考数学试卷
浙江省绍兴市第一中学2019年高考五月份月考卷数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,(1)(2)0,A B x x x x Z ==+-<∈，则B A ⋂等于（）A.{}1B.{}2,1 C.{}3,2,1,0 D.{}3,2,1,0,1-2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4i ie π表示的复数位于复平面内A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-5，则输出的y 值是（）A. B.1 C.2 D.4.函数22sin33([,0)(0,])1441xy xxππ=∈-+的图像大致是（）A. B. C. D.5．在ABC△中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若cos cos2cosa C c Ab B+=，且1sinsin22cos=+CAB，则2a b c-+=()A．22B2C．2D．06.已sin(026()t tαπ+>＝，则2cos()3sin()26πααπ-+的取值范围是()A.(1.1]- B.0+∞（，） C.(,1)-∞, D.(,1]-∞7.若，y满足约束条件2101010x yx yx y-+≥++≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2yzx+=的取值范围为（）A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.42][,)3(-∞-+∞， C.42,3⎡-⎤⎢⎥⎣⎦D.4([2,)3-∞-+∞，8.《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个10m高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛底端在同一直线上，从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶正视图侧视图部和山顶三点也共线，则海岛的高NM BAA.2510mB.2610mC.2710mD.3075m9.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A B 、两点，若AF BF 、的中点在y 轴上的射影分别为M N 、，且|MN C 的准线方程为A.1x =- B.2x =- C.32x =-D.3x =-10．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A ．163(0,27B ．83(0,27C.23(0,3D ．3(0,3非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为12.一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为13.已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a aa =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为14.已知抛物线y 2=2px （p ＞0）经过点M （1，2），直线l 与抛物线交于相异两点A ，B ，若△MAB 的内切圆圆心为（1，t ），则直线l 的斜率为______．15．若实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥++≥+-,075,01,01y x y x y x 则该不等式组表示的平面区域的面积为▲，目标函数y x z 23-=的最小值为▲.16．已知函数()221,020,x x x x f x x ⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，方程()0f x a -=有三个实数解，则a 的取值范围是__________．17.在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆C ：224x y +=相切的直线方程．三、解答题:本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB 332（1）求B ∠的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值．19.数列的前项和满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20.如图，在四棱锥P ABCD -中,侧棱PA ⊥底面ABCD ,AD ∥，BC ︒=∠90ABC ,，1=AD 2PA AB BC ===，M 是棱PB 中点.（1）已知点E 在BC 棱上，且平面AME ∥平面PCD ，试确定点E的位置并说明理由；（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值.21.直角坐标系XOY 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线14y x =-于点N ，若,NA mAM NB nBM ==，求证：m n +为定值，并求出此定值.22.设函数x ma ae x g x ex f x x 2)(,)(1-+=-=+（,m a 为实数），(1)求函数)(x f 的单调区间；(2)若存在实数a ，使得()()f x g x ≤对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.（提示：ex e x -=-1)][ln('）。
浙江省2019届高三下学期五校联考试题数学Word版含答案
2018学年浙江省高三“五校联考”考试数学试题卷命题学校：绍兴一中说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{1,5}A =，{}7,5,1-=B ，则()U C A B =（ ▲）A.{}3,9B.{}1,5,7C.{}9,3,1,1-D.{}1,1,3,7,9-2.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ▲ ） A.624+ B.64+C.224+D.24+3. 已知数列}{n a ,满足n n a a 31=+,且9642=a a a ，则=++937353log log log a a a （ ▲）A.5B. 6C. 8D. 114.已知0>+y x ，则“0>x ”是“2||2||22y x y x +>+”的 （ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（第2题图）5. 函数1e 1xx y x--=+的大致图象为（ ▲ ）6. 已知实数y x ,满足1,210,0,y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩如果目标函数y x z -=的最小值为－1，则实数m 等于（ ▲ ）A ．7B ．5C ．4D ．3 7. 已知αααcos sin 2tan+=M ，)28(tan8tan+=ππN ，则M 和N 的关系是（ ▲ ）A.N M >B.N M <C.N M =D. M 和N 无关 8. 已知函数2|log |,0,()1,0.x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数1|)(2|)(--=m x f x g ，且Z m ∈，若函数)(x g 存在5个零点，则m 的值为（ ▲ ） A.5 B.3 C.2 D.19. 设,,为平面向量，2||||==，若0)()2(=-⋅-，则⋅的最大值为（ ▲ ） A. 2 B.49C. 174D. 5 10. 如图，在三棱锥ABC S -中，AC SC =,θ=∠SCB ,θπ-=∠ACB ,二面角A BC S --的平面角为α，则 （ ▲ ）A.θα≥B.α≥∠SCAC.α≤∠SBAD.SBA α∠≥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11．已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z =▲，|z |=▲.12．251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和为▲，该展开式中的常数项为▲.C（第 10题图）SACB13．已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，则函数()f x 的单调递增区间为▲ ，将函数()f x 的图象至少平移▲个单位长度后关于直线4x π=-对称.14．一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为▲，这两个数字和的数学期望为▲.15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12i i PA PA ⋅=是▲.16．从0,1,2,…,8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二 位……），有▲个不同的数.（用数字作答） 17．已知实数,[1,1]x y ∈-，,,max{,},.a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为▲.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos sin 22A A -= (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当)14a A C =+=，求c 的值.19．（本题满分15分）如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧，且,B C 在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==. (Ⅰ)求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值.20．（本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.(Ⅰ)（i ）求数列{}n a 的通项公式； （ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； (Ⅱ) 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b为等比数列？ 并说明理由. 21．（本题满分15分）已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于,A B 两点，过线段AB 上的动点P 作斜率 为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于,M N 两点. (Ⅰ)求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围； (Ⅱ)若104Q （，），求MNQ ∆面积的最大值.22．（本题满分15分）已知函数()e xf x ax b =--.(其中e 为自然对数的底数)(Ⅰ)若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；(Ⅱ)设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m 的取值集合.。
2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题附解析
2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}【答案】B【解析】先求出集合B ，由此能求出A B I ． 【详解】Q 集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1A B ∴=I ，4}．故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．3B ．36C ．3 D ．23【答案】C【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案． 【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积11(11)12S =⨯⨯+=，高3h =故体积133V Sh =，故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．5．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3【答案】A【解析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【详解】Q 21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用． 6．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．7．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．625B ．627C 63-D ．962-【答案】D 【解析】设2x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212xy +„，设2x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 627||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 628|θθ-+，22cos 28(cos 32)100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 289292x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-. 故选：D ． 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A 2 B 6C 3D 6【答案】B【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，设出P 的坐标，由题意求得(,)P a b ，运用直线的斜率公式可得1k ，k ，2k ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，且(,)bP m m a ，由122F PF π∠=，可得以O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于P ，可得222()b m m c a+=，可取m a =，则(,)P a b ，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1bk a c =+，2b k a c =-，b k a=，由1k ，2k -，2k 成等差数列，可得124k k k -=+， 化为2242a a a c -=-，即2232c a =， 可得62c e a ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【解析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 【答案】A【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'． 设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；Q 3]OB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-221[3,2]sin α-，∴sin 23sin ααβ=…，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元． 【答案】7 53【解析】根据物品价格不变，可设共有x 人，列出方程求解即可 【详解】 设共有x 人，由题意知 8374x x -=+， 解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.12．已知268765432876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，若10a =，则012345678a a a a a a a a a ++++++++=________.【答案】256【解析】由题意先求得a 的值，可得26878710(1)(3)x x a x a x a x a +-=++⋯++g ，再令1x =，可得结论． 【详解】已知2687654321876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，651260a a a =-=Q ，3a ∴=，26878710(1)(3)x x a x a x a x a ∴+-=++⋯++g ，令1x =，可得80123456782256a a a a a a a a a ++++++++==， 故答案为：256． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量.若2a e ⋅=r r ，3b e ⋅=r r，且0a b ⋅=r r ，则a b +r r 的取值范围是________.【答案】[5,)+∞【解析】先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解． 【详解】由e r 是单位向量．若2a e =r rg ，3b e =r r g ，设(1,0)e =r，则(2,)a m =r，(3,)b n =r ， 又0a b =r r g ，则6mn =-，则(5,)a b m n +=+rr ，则2||25()a b m n +++rr又2()0m n +…， 所以||5a b +rr …，（当6,6m n ==-或6,6m n ==即||a b +rr的取值范围是[5，)+∞， 故答案为：[5，)+∞． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式. 【答案】6【解析】按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可． 【详解】9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．三、双空题15．已知随机变量的ξ的分布列如图所示，则x y +=________；若()1E ξ=，则()D ξ=________.ξ0 1 2p x13y【答案】23 23【解析】利用分布列的性质以及期望，列出方程，求出y 与x 的值即可得到结果． 【详解】由题意可知：113x y ++=，11213y ⨯+⨯=，解得13y =，13x =， 所以23x y +=，2221112()(01)(11)(21)3333D ξ=-+⨯-+⨯-=．故答案为：23；23． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，属于基本知识的考查．16．已知x ，y 满足约束条件026(03)x y x y x y a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥<≤⎩，当3a =时，3z x y =+的最小值是________.若2z y x =-的最大值是-1，则a =________. 【答案】3 2【解析】3a =时画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求得最优解，计算z 的最小值；画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求出最优解，计算z 的最大值．【详解】当3a =时，画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，如图所示；作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点C 时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 最小，由263x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以(3,0)C ， 此时3z x y =+的最小值为3303min z =+⨯=．画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，如图所示；作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点A 时，直线l '在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由0x y a x y +=⎧⎨-=⎩，解得22a x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以(2a A ，)2a ，此时2z y x =-的最大值为21222max a a az =-⨯=-=-，解得2a =． 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，以及求目标函数的最值应用问题，是基础题．17．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N++-=∈.若数列{}na 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+L ，则整数k =________.【答案】(0,2) 4-【解析】本题根据正数数列{}n a 是单调递增数列，可列出211120n n n n a a a a +++-=-<，通过求出1n a +的取值范围，得到2a 的取值范围，逆推出1a 的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出122019b b b ++⋯+的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果． 【详解】由题意，正数数列{}n a 是单调递增数列，且211n n n a a a ++-=，∴211120n n n n a a a a +++-=-<，解得1(0,2)n a +∈，2(0,2)a ∴∈．∴21221[,2)4a a a =-∈-．10a >Q ，102a ∴<<．又由211n n n a a a ++-=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==---． ∴111111n n n a a a ++=+-． Q 1(1)1n n n b a --=-，∴122019123201911111111b b b a a a a ++⋯+=-+-⋯+---- 112232017201820182019111111111()()()()1a a a a a a a a a =-+++-⋯-+++- 1122320172018201820191111111111a a a a a a a a a =--++-⋯--++- 1120191111a a a =-+- 2019912a =-+．Q 123a =，且数列{}na 是递增数列， 20192(,2)3a ∴∈，即2019113(,)22a ∈， 201991432a ∴-<-+<-．∴整数4k =-．故答案为：(0,2)；-4． 【点睛】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用和数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，属于较难的中档题．四、解答题18．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A . 【答案】（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）17【解析】（1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得答案.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，解得3B π=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 【详解】（1）()223cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭. 取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=, 因为()110,,2,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2PB PD ==（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）设H 在AC 上，13AH AC =，若63PH =，求PH 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）记AC BD O =I ，连结PO ，推导出BD PO ⊥，BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）推导出PH AC ⊥，PH ⊥平面ABCD ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心，BC BH ⊥，从而平面PHB ⊥平面PBC ，进而HPB ∠是PH 与平面PBC 所成角，由此能求出PH 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：记AC BD O =I ，连结PO ，PBD ∆中，OB OD =，PB PD =，BD PO ∴⊥，BD AC ⊥Q ，AC PO O =I ，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ．（2）POB ∆中，2POB π∠=，1OB =，2PB =1PO ∴=，3AO =Q ，33OH =， 2262(3PH ∴==，222PH PO OH ∴=+， PH AC ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，∴PH ∴⊥BC ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心， 6HBO π∴∠=，2HBC π∠=，BC BH ∴⊥，BC ∴⊥平面PHB ∴平面PHB ⊥平面PBC ，∴H 在平面PBC 的射影落在PB 上，HPB ∴∠是PH 与平面PBC 所成角，Rt PHB ∴∆中，6PH =，2PB =，23BH ∴=，236sin 2BH BPH BP ∴∠==⨯=． PH ∴与平面PBC 所成角的正弦值为6．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知数列{}n a 满足12a =，()*122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .（1）通过计算12a ，212a ，322a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求常数t 的取值范围. 【答案】（1）1(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）首先利用赋值法求出312013,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 【详解】（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则1022a =，232a =，3242a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+g ．证明：由于122nn n a a +=+，所以111222n n n n a a ++=+，则：111222n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a是首项为1，公差为12的等差数列． 所以111(1)2222n n a n n =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+g ． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2n n nb b n N n +=∈+， 所以12n n b nb n +=+， 则121211221143n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+g g g ， 所以2(1)n b n n =+．则22()(1)nnt c n n n n =-+g ， 所以1122422()2()2(2)2121n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222221323n t n n n n n n>-==++++++， 由于236n n ++…，所以21333n n++„，即13t >． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型． 21．已知抛物线2:4C x y =与直线:220l x y --=. （1）求抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）设点()00,P x y 是直线l 上的动点，()1,1Q 是定点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ，求证A ，Q ，B 共线；并在3AQ QB =u u u r u u u r时求点P 坐标.【答案】（135；（2）证明见解析，(0,1)P -或(2,0)P 【解析】（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，表示出直线PA ，PB 的方程，利用0x 表示出1x ，2x ，即可求定点P 的坐标．【详解】（1）设抛物线C 上点的坐标为2(,)4t t ，则22|2|535224)5t t d t t --==-+…，(1t =时取等号）， 则抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值3510； （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，214y x =Q ， 12y x ∴'=， ∴直线PA ，PB 的方程为分别为111()2x y y x x -=-，222()2x y y x x -=-，由两条直线都经过点P 点得1x ，2x 为方程200240x x x y -+=的两根1202x x x +=，1204x x y =，直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，1211()4x x y y x x +-=-，01212121101(1)1104442x x x x x x xy x y ++---=-+=-+=， A ∴，Q ，B 共线．又1213(1)x x -=-， 1243x x ∴=-，102012032224x x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 解00x =，02x =，Q 点0(P x ，0)y 是直线l 上的动点，00x ∴=时，01y =-，02x =时，00y =，(0,1)P ∴-，或(2,0)P ．【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22．已知函数2()(0)x f x e ax a =->（其中e 2.718=L 是自然对数的底数） （1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<；（3）当12a =时，证明：对于任意11k e≤+，若12b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线xy e =的交点在y 轴两侧）. 【答案】（1）0,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）需满足()0f x '…恒成立，只需()0f x ''…即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；（3）将问题转化为证明21()2xb e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 【详解】)2(x f x e ax '=-；令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x …恒成立； ()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-…； a ∴的取值范围是(0,]2e；（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；（3）证明：()f x kx b =+，21()2xb e x kx j x =--=，要证明()b j x =有唯一实数解； 当m →+∞时，211(1)2me m m e --+→+∞；当m →-∞时，211(1)2me m m e--+→-∞；即对于任意实数b ，212xb e x kx =--一定有解； ()x j x e x k '=--；当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12b <； ∴只需21()2n b j n e n kn <=--，在11k e+…时恒成立； ∴只需211(1)2n b e n n e<--+；令2111((1))(1)()02n ne n n e n p n e e'--+=--+==，其中一个正解是0n ；0n >Q ，1((1))10n n e n e e'--+=->；()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>； 001n ∴<<；∴0220000111111111(1)112222n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>；综上得证． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．。
2019届浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月教学质量调测数学试题(解析版)
2019届浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月教学质量调测数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}|1A x x =>，则U A =ð（ ） A ．∅ B ．{}|1x x >C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】C【解析】按补集的定义，即可求解. 【详解】U =R ，{}|1A x x =>，{|1}U A x x ∴=≤ð.故选：C. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．复数2i1+i的共轭复数为 A ．1+i B ．1i -C ．1+i -D ．1i --【答案】B【解析】试题分析：，故共轭复数为【考点】复数运算3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】根据三视图，可得几何体由四个边长为1的正方体组成，即可求出结论. 【详解】根据三视图，几何体的直观图如下图所示， 由4个边长为1的正方体组成的组合体， 所以体积为4. 故选：B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原直观图是解题的关键，属于基础题.4．双曲线()2203x y m m -=>的离心率是（ ）A ．23B 6C 2D ．2【答案】A【解析】双曲线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由220,3x m y m >-=，化标准方程为2213x y m m -=， 222224233,,1,33b a m b m e e a ∴==∴=+==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程、简单几何性质，属于基础题. 5．函数()12cos 2f x xx -=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，再结合函数在(0,]π函数值的符号，即可求解. 【详解】 函数()12cos 2f x xx -=定义域为{|0}x x ≠，()1122cos(2)cos 2()f x xx xx f x ---=--==，()f x ∴是偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项A ，B ，3(0,),()0,(,),()0444x f x x f x πππ∈>∈<，3(,],()04x f x ππ∈>.排除D.故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，注意函数的奇偶性和函数值正负的应用，属于基础题.6．若3nx x 的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】求出展开式的通项，令x 的指数为0，得到n 满足的等式，即可求解. 【详解】3nx x 展开式的通项为25361),0,1,n kn kkk kk n n T C x C x k n x--+===L ， 令2250,,,5nn k k k N n -==∈∴Q 为5的倍数的正整数. 故选：C.【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记通项是解题的关键，属于基础题.7．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a ra r +=+，(n N ∈，r R ∈，0r ≠)，则“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立. 【详解】当1r =时，111n n n n a ra r a a ++=+⇒=+，所以数列{}n a 为公差为1的等差数列，即充分性成立；21123,12,2n n a ra r a a r a r r +=+=∴==+Q ，所以若数列{}n a 为等差数列，则2412,1r r r r =++∴=或12r =，即必要性不成立， 综上，“1r =”是“数列{}n a 为等差数列”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题. 8．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m u r，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =r ，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),((0,2,1)B D E x BD ED x ==-u u u r u u u r，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =u r ，则m BDm ED ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =1t s x ==+，所以平面BDE的一个法向量(m x =+u r， 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =r，cos |cos ,|m n α=<>==u r r当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小， 当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大. 故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.9．设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．18,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．316,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]8,1- D ．[]16,1-【答案】C【解析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，可得//AE CF ，2PC PA =，从而有12PA PB PB PC ⋅=-⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ，先固定PB u u u r ，根据向量数量积的定义，求出PC uuu r 在PB u u u r上投影的最大值和最小值，再利用||PB u u u r 的范围，即可求解.【详解】连接MN 分别与两圆交于,E F ，又两圆外切于点P ，,,P E F ∴三点共线，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ， ,PE PF Q 分别为圆M ，圆N 的直径， ,,//PA AE PC CF AE CF ∴⊥⊥∴，又2,2PF PE PC PA =∴=，12PA PB PB PC ⋅=-⋅u u u ru u u r u u ur u u u r ，设G 为PB 中点，连GN ，先固定PB u u u r，根据向量数量积的定义，当PC uuu r 在PB u u u r同向投影最大值时C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的D 点，此时PD u u u r 在PB u u u r 投影1||||22PH PB =+1||||||2||2PB PC PB PD PB PH PB PB ⎛⎫∴⋅≤⋅=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭21||2||162PB PB =+≤， 当且仅当||4PB =，等号成立，min max 1()()82PA PB PB PC ∴⋅=-⋅=-u u u r u u u r u u ur u u u r同理当PC uuu r 在PB u u u r 投影最小（在PB u u u r反向上）时，C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的K 点，此时PK u u u r 在PB u u u r 投影12||2PB -，1||2|2PB PC PB PK PB PB ⎛⎫⋅≥⋅=-⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r2211||2||(||2)2222PB PB PB =---=≥-， 当且仅当||2PB =时，等号成立，max min 11()()(2)122PA PB PB PC ∴⋅=-⋅=-⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的数量积取值范围是[8,1]-.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题. 10．已知数列{}n a ，{}n b 满足11132n n n a a b +=+，11132n n n b a b +=-.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则存在正常数M ，对任意*n N ∈都有（ ） A ．n S M <且n T M > B ．n S M <且n T M < C ．n S M >且n T M < D ．n S M >且n T M >【答案】B【解析】设{}max ,n n n c a b =，则0n c ≥，根据三角不等式结合已知可得115566n nn n a c b c ++≤≤，进而有156n n c c +≤，求出{}n c 的前n 项和的范围，即可求出结论. 【详解】设{}max ,n n n c a b =，则0n c ≥，由三角不等式可知11111532326n n n n n n a a b a b c +=+≤+≤， 11111532326n n n n n n b a b a b c +=-≤+≤， 所以156n n c c +≤，设{}n c 的前n 项和为n H ， 若0n c =时，则0n n n S T H ===， 存在0M >，使得n n S T M =<，若0n c ≠时，则156n n c c +≤，115[1()]66516nn c H c -≤<-， 取16M c =，,n n S M T M ∴<<. 故选：B. 【点睛】本题考查数列的前n 项和，构造数列转化为等比数列是解题的关键，作为选择题或直接取0,0n n a b ==即可得出答案，要注意特殊方法的选取，属于中档题.二、双空题11．我国古代数学家刘微在《九章算术·主释》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知极远者，必用重差.”也就是说目标“极高”、“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次（或两次以上）测量的方法加以实现.为测量某山的高度，在A ，B 测得的数据如图所示（单位：m ），则山高MN =______，A 到山顶的距离AM =______.【答案】(5013 (10013+【解析】设MN h =，将,AM BM 用h 表示，在ABM ∆中，用余弦定理，建立h 方程，求解即可. 【详解】设MN h =，在Rt BMN ∆中，45,2MBN BM h ∠=︒=，在Rt MAN ∆中，30,2MAN AM h ∠=︒=， 在ABM ∆中，由余弦定理，得222242cos AM h BA BM BA BM ABM ==+-⋅⋅∠2100002200h h =++，210050000h h --=，解得50(13)h =+或50(13)h =（舍去） 50(13),2100(13)MN AM MN ∴=+==.故答案为：(5013；(10013+. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查测量问题，利用余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.12．若实数x ，y 满足2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则2x y +的最小值是______，最大值是______.【答案】3 12【解析】设2z x y =+做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最值.【详解】设2z x y =+，做出满足2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩的可行域，如下图阴影部分，当目标函数2z x y =+过点A 时，取得最小值， 当目标函数2z x y =+过点B 时，取得最大值，由2y x y x =⎧⎨=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ，由24y x y x =⎧⎨=-⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩，即(4,4)B ， 2z x y ∴=+的最小值为3，最大值为12.故答案为：3，12.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，应用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.13．随机变量ξ的取值为0，1，2，若()103P ξ==，()1E ξ=，则()1P ξ==______，()D ξ=______.【答案】1323【解析】设()1P x ξ==，则()223P x ξ==-，根据期望公式，建立关于x 的方程，再由方差公式，即可求出()D ξ. 【详解】设()1P x ξ==，则()223P x ξ==-， 241()2()1,333E x x x x ξ=+-=-+==，1(2)3P ξ==，()22212[(01)(11)(21)]33D ξ∴=-+-+-=.故答案为：13，23.【点睛】本题考查随机变量分布列的性质、期望、方差，考查计算求解能力，属于基础题. 14．已知角θ的顶点与原O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()tan πθ-=______，若角α满足()1tan 2αθ-=，则tan α=______.【答案】34211-【解析】由已知可求tan θ，根据诱导公式求出()tan πθ-；利用()ααθθ=-+，再由两角和正切公式即可求解. 【详解】依题意得33tan ,tan()tan 44θπθθ=--=-=， 1tan()tan 24tan tan[()]111tan()tan 118αθθααθθαθθ--+=-+===---⋅.故答案为：34，211-.【点睛】本题考查三角函数定义、诱导公式求值、三角恒等变换求值，注意角之间的转化，属于基础题.三、填空题15．设12,F F 是椭圆222:1(02)4x yC m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y 是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】根据12PF F ∆的面积列不等式，解不等式求得0||x 的取值范围. 【详解】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以202412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,1 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 16．有6个球，其中黑球3个，红、白、蓝色的球各1个，从中取4个球排成一排，则不同的排法有______种（用数字作答）. 【答案】72【解析】对黑球的个数分类讨论，分为黑球3个，2个，1个，结合排列、组合和分类加法原理，即可求解. 【详解】若黑球1个，有4424A =种排列方法， 若黑球2个，有223436C A =种排列方法， 若黑球3个，有113412C C =种排列方法，共有排列方法24361272++=种. 故答案为：72. 【点睛】本题考查计数原理的应用，属于基础题.17．已知不等式223230bt at b +--≤对于t ⎡∈⎣恒成立，则+a b 的最小值是______. 【答案】2-【解析】根据题意，利用待定系数法凑出+a b ，得到t 的值后，计算+a b 的范围，从而得到+a b 的最小值. 【详解】设2()2323f t bt at b =+--由223230bt at b +--≤对于t ⎡∈⎣恒成立，得2(22)330t b ta -+-≤，则2223t t -=时，即22320t t --=12t =-或2t =（舍去），当12t =-时，333022b a ---≤，此时2a b +≥-，现在验证存在,a b 使得等号成立，23142a b ab+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，则46,55a b =-=-， 此时2212123121()()055552f t t t t =---=-+≤， 所以223230bt at b +--≤对于t ⎡∈⎣恒成立,故+a b 的最小值为2-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查了二次函数恒成立问题，考查了等价转化思想以及计算求解能力，属于较难题.四、解答题18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()224sin cos sin cos 2422A A A A ππ⎛⎫⎫--=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，其中A 为锐角.（1）求A ；（2）若1b =，ABC ∆BC 边上的高.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）由降幂公式和二倍角正弦化简条件等式，可得()(sin 12sin 0A A +=，结合A 的范围，即可求解；（2）要求BC 边上的高求出a 即可，由,,A b S 求出c 边，再由余弦定理，求出a . 【详解】（1）由已知()1cos 24sin 31sin ,2A A A π⎛⎫+- ⎪⎝⎭⋅=+ 即()1sin 4sin 31sin 2AA A +⋅=+， 即()()sin 12sin 30A A +-=.∵A 为锐角，sin 0A ∴>， ∴3sin A =，∴3A π=.（2）∵113sin 1sin 3223S bc A c c π==⨯⨯==，∴4c =， 故由余弦定理可知：2214214cos133a π=+-⨯⨯⨯=，从而1113322S ah h ==⨯⨯=，解得23913h =. 所以，BC 边上的高为23913. 【点睛】本题考查三角恒等变换、面积公式以及余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.19．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2CA =，23CB =，现沿ABC ∆的中位线DE 将ADE ∆翻折至'A DE ，使得二面角'A DE A --为60︒.（1）求证：'A C ED ⊥；（2）求直线'BA 与平面'A DE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）510【解析】（1）由已知可得,DE AC DE A D '⊥⊥，进而证DE ⊥平面'A AC ，即可证明结论；（2）取'AA 中点F ，连EF ，则//BA EF '，求EF 与平面'A DE 所成角即可，由（1）得平面'A DE ⊥平面'A AC ，在平面'A AC 内过F 作'FI A D ⊥于I ，连EI ，可得FI ⊥平面'A DE ，FEI ∠为EF 与平面ABC 所成的角，解Rt FEI ∆即可，或建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）因为BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥，'DE A D ⊥，AC A D D '=I ，所以DE ⊥平面'A AC ，A C '⊂平面'A AC ，所以'DE A C ⊥.（2）解法一：取'AA 中点F ，在平面'A AC 内过F 作'FI A D ⊥于I ， 连接EI ，由（1）可知，DE ⊥平面'A AC ，∴平面'A DE ⊥平面'A AC ， ∴FI ⊥平面'A DE ，∴FEI ∠为EF 与平面ABC 所成的角， 由（1）可知,DE AD DE A D '⊥⊥A DA '∴∠为二面角'A DE A --的平面角，即'60A DA ∠=︒，且'AD A D =，∴''1AA AD A D ===， ∵1'22AE A E AB ===，EF AA '∴⊥， ∴2215()2AA EF A E ''=-=， 在'Rt A FI ∆中，3'sin 60FI A F =︒=， 在Rt EFI ∆中，35sin 15FI FEI EF ∠==⋅=， ∵//'EF A B ，∴直线'BA 与平面'A DE 所成角的正弦值也为5.解法二：由（1）得ED ⊥平面'A CA ，因为//BC ED ，所以BC ⊥平面'A CA ， 以C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0D ，()1,3,0E ，33',0,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,23,0B ， 所以33',23,2A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ，设平面'A DE 的法向量为(),,n x y z =r，由n DE n DA ⎧⊥⎨⊥'⎩u u u v v u u u v v ，即301302y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，0y =， 令3z =，则3x =-，所以()3,0,3n =-v，设'BA 与平面'A DE 所成角为θ，则'5sin 1215'n A B n A Bθ⋅===⋅⋅u u u u v v u u u uv v . ∴直线'BA 与平面'A DE 所成角的正弦值也为510.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与直线垂直、求直线与平面所成的角，要注意空间垂直关系的相互转化，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*121210,21n n S a k k n N S a ++==>∈+.（1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）若124a a +=，数列{}n b 满足3log n n ncb a a =-，其前n 项和n T 满足对任意*n N ∈，3n T T ≥，求正实数．．．c 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）[]18,81【解析】（1）根据已知可得()12121n n S k S ++=+，再由12,n n n n a S S -≥=-，可得()12n n a k n a +=≥，再由21ak a =，即可证明结论； （2）令1n =代入已知递推公式，求出1a ，由124a a +=，求出k ，进而求出{}n a 的通项公式，求出n b ，要使*n N ∈，3n T T ≥，恒成立，只需3400b b ≤⎧⎨≥⎩，求解即可. 【详解】 （1）∵12121n n S k S ++=+，∴()12121n n S k S ++=+，故()()121212n n S k S n -+=+≥. 两式相减可得：122n n a ka +=，故()12n na k n a +=≥. ∵21a k a =，∴1n na k a +=为正常数，显然10a ≠，故{}n a 为等比数列. （2）在()12121n n S k S ++=+中令1n =，则()212121S k S +=+，即()()1212121a a k a ++=+，即()()1112121a a k k a ++=+，解得112k a -=. ∵()()12111142k a a a k k -+=+=⨯+=，∴29k =， 解得3k =-（舍去）或3k =，故11a =，从而()1*3n n a n N -=∈， ∵31log 13n n n n c cb a n a -=-=--递增， 由于3n T T ≥恒成立，∴342093027c b c b ⎧=-≤⎪⎪⎨⎪=-≥⎪⎩，解得1881c ≤≤.所以，c 的取值范围为[]18,81. 【点睛】本题考查递推公式证明等比数列，掌握等比数列通项公式，求数列前n 项和最小问题等价转化为数列项的正负，属于中档题.21．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，A 是抛物线上一点，过点A 的切线l 与y 轴相交于点P ，Q 是线段AF 的中点.直线AF 交抛物线于另一点B .（1）求证：PQ 垂直于y 轴； （2）求PAB ∆面积的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）839⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由已知(1,0)F ，设2(,2)A t t ，只需证明P 的纵坐标为t ，设切线的斜率为k ，写出切线方程，与抛物线联立，令0∆=，建立,k t 关系，即可证明；（2）设直线AB 的方程是1x sy =+，与抛物线方程联立，得到,A B 坐标关系，将点B 用t 表示，结合（1）的结论将三角形面积S 表示为t 的函数，根据函数特征求其最值. 【详解】（1）设()2,2A t t ，过A 的切线方程()22y k x tt =-+，与抛物线方程联立，消去x 得：()224420ky y kt t ---=，令()2161620k kt t ∆=+-=， 即22210k t kt -+=，解得1k t=， 故切线l 的方程是：()212y x t t t=-+， 令0x =得y t =，故()0,P t ，又()1,0F ，故AF 的中点Q 的坐标是21,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， P Q y y =，所以PQ 垂直于y 轴.（2）设直线AB 的方程是1x sy =+，代入抛物线方程得：2440y sy --=，设22(,)B x y 所以224ty =-，故212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由（1）题结论可知，()2222111222242ABP t t S PQ t y t tt∆++=⋅-=⋅+=，设t x =，令()()223111222x f x x x xx +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 则()()()2242222213111321'32222xx x xf x x x x x +-+-⎛⎫=+-==⎪⎝⎭，所以()f x 在0,3⎛ ⎝⎦递减，在3⎫+∞⎪⎪⎣⎭递增，故()min f x f ==⎝⎭，所以PAB ∆面积的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系，应用导数法求目标函数的最值是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题. 22．已知函数()ln f x x x =-. （1）若()11f x x ax x +>-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()h x f x m =+有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，求证：2211x x m +>+.【答案】（1）2a ≤；（2）见解析 【解析】（1）()11f x x ax x +>-+恒成立，等价于1x >时，()1ln 1a x x x ->+；当()0,1x ∈时，()1ln 1a x x x -<+，令()()1ln 1a x g x x x -=-+，注意(1)0g =，对a 分类讨论求出()g x 单调性即可求解；（2）求()h x '，得到()h x 的单调区间，进而求出两零点的范围是121x x <<，利用（1）的结论()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，可得()21112x m x m -+<-，再由()h x 在(1,)+∞减函数，可得222()()0h x h x <=，得到()422212x m x m -+>-，建立12,x x 不等量关系，即可证明结论.【详解】（1）由题意可得()f x 的定义域为()0,∞+，()11f x x ax x +>-+恒成立，即ln 11x a x x >-+恒成立， 当1x >时，即()1ln 1a x x x ->+；当()0,1x ∈时，即()1ln 1a x x x -<+，构造函数()()1ln 1a x g x x x -=-+， ()()()221211'2211a g x x a x x x x ⎛⎫=-=⋅++- ⎪⎝⎭++， 令()122x x a xϕ=++-，可知()x ϕ在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 当2a ≤时，()'0g x ≥，则()g x 单调递增，故满足题意， 当2a >时，()()()22221'1x a x g x x x +-+=+，方程()22210x a x +-+=有两个不相等的正根s ，t ， 由于()10g =，所以1s t <<，因此()g x 在()0,s 单调递增， 在(),s t 单调递减，(),t +∞单调递增， 因此()0g s >，()0g t <，不满足题意， 综上：2a ≤.（2）由（1）可得()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，令()()ln h x f x m x x m =+=-+，()11'1x h x x x-=-=， 所以()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，第 21 页 共 21 页 所以()()max 110h x h m ==-+>，1m >，又()0m m m h e m e m e ---=--+=-<，()()2ln 22ln 2ln ln 210h m m m m m m =-+=--<-<，所以在(),1m e -和()1,2m 各存在一个零点，由题设可知1201x x <<<， 因此()111121ln 1x x x m x -=-<+，则()21112x m x m -+<-…①， 因为()h x 在()1,+∞单调递减，因此()()222h x h x >， 即()2222222221ln 1x m x x x --+>>+，所以()422212x m x m -+>-…②， 由①②可得：()()422221111x m x x m x -+>-+， 化简可得2211x x m +>+.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、不等式恒成立以及不等式的证明，构造函数是解题的关键，要注意题中结论的合理应用，属于难题.。
浙江省绍兴一中2019年5月高考适应性考试数学试卷含答案
绍兴一中2019年高考适应性考试数学试题(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足(1)17i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合201x A xx +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<<，则A B =I （ ）A.[)22-，B.(]11-，C.(-1，1)D.(-1，2) 3.在ABC ∆中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD =u u u r ( )A. 1344AB AC +u u ur u u u r B. 2133AB AC +u u u r u u u r C. 1233AB AC +u u u r u u u r D. 1233AB AC -u u u r u u u r4.将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 （ ）A.函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 B.函数()g x 的周期是2πC.函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增D.函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 5.函数()2sin f x x x x =+的图象大致为 ( )6. 在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是 （ ）A. 74B. 94C. 52D.27．若20192019012019(1)(1)(1),x a a x a x x R -=+++++∈L ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为 （ ）A.201912--B. 201912-+C. 201912-D. 201912+8.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有( )A.36种B.44种C.48种D.54种9.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有 ( )A.2对B.3对C.4对D.5对10.已知抛物线,过抛物线上两点A,B 分别作抛物线的两条切线PA,PB,P 为两切线的交点,为坐标原点若,则直线与的斜率之积为 （ ）A. B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，共36分。
2018~2019学年浙江省5月高三模拟考五校联考数学试卷 word版 含参考答案
2018学年浙江省高三“五校联考”考试数学试题卷命题学校：绍兴一中说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{1,5}A =，{}7,5,1-=B ，则()U C A B =（ ▲ ）A.{}3,9B.{}1,5,7C.{}9,3,1,1-D.{}1,1,3,7,9-2. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ▲ ） A. 624+ B. 64+C. 224+D. 24+3. 已知数列}{n a ,满足n n a a 31=+,且9642=a a a ，则 =++937353log log log a a a （ ▲ ） A.5 B. 6 C. 8 D. 114. 已知0>+y x ，则“0>x ”是“2||2||22y x y x +>+”的 （ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（第2题图）5. 函数1e 1xx y x--=+的大致图象为（ ▲ ）6. 已知实数y x ,满足1,210,0,y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩如果目标函数y x z -=的最小值为－1，则实数m 等于（ ▲ ）A ．7B ．5C ．4D ．3 7. 已知αααcos sin 2tan+=M ，)28(tan8tan+=ππN ，则M 和N 的关系是（ ▲ ）A.N M >B.N M <C.N M =D. M 和N 无关 8. 已知函数2|log |,0,()1,0.x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数1|)(2|)(--=m x f x g ，且Z m ∈，若函数)(x g 存在5个零点，则m 的值为（ ▲ ）A. 5B. 3C. 2D. 19. 设,,为平面向量，2||||==，若0)()2(=-⋅-，则⋅的最大值为（ ▲ ） A. 2 B.49C. 174D. 5 10. 如图，在三棱锥ABC S -中，AC SC =,θ=∠SCB ,θπ-=∠ACB ,二面角A BC S --的平面角为α，则 （ ▲ ）A.θα≥B.α≥∠SCAC.α≤∠SBAD.SBA α∠≥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11．已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z = ▲ ，|z |= ▲ .12． 251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和为 ▲ ，该展开式中的常数项为 ▲ .B （第 10题图）SACB13．已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，则函数()f x 的单调递增区间为 ▲ ，将函数()f x 的图象至少平移 ▲ 个单位长度后关于直线4x π=-对称.14．一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为 ▲ ，这两个数字和的数学期望为 ▲ .15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ .16．从0,1,2,…,8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二 位……），有 ▲ 个不同的数.（用数字作答） 17．已知实数,[1,1]x y ∈-，,,max{,},.a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分） 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且cos sin 22A A -= (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)当)14a A C =+=，求c 的值.19．（本题满分15分）如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧，且,B C 在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==. (Ⅰ)求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值.AE.BCDMα（第19题图）20．（本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.(Ⅰ)（i ）求数列{}n a 的通项公式； （ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； (Ⅱ) 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b为等比数列？ 并说明理由. 21．（本题满分15分）已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于,A B 两点，过线段AB 上的动点P 作斜率 为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于,M N 两点. (Ⅰ)求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围； (Ⅱ)若104Q （，），求MNQ ∆面积的最大值.22．（本题满分15分）已知函数()e xf x ax b =--.(其中e 为自然对数的底数)(Ⅰ)若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；(Ⅱ)设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m的取值集合.2019 五校联考参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题11．4355i-，1； 12． 3，-40 ； 13．5[,]()1212k k k Zππππ-+∈，6π； 14．12,5；15e<<； 16．1680； 17．32．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 解：(Ⅰ)由得21)2sin2(cos2=-AA,即212cos2sin21=-AA21sin=A，-------------------3分又π<<A0，02sin2cos>-AA,2sin)22sin(2cosAAA>-=π,2,222ππ<>-AAA所以6π=A-------------------7分(Ⅱ)由1421)sin(=+AC,得1421sin=B由正弦定理：BbAasinsin=,得3=b-------------------10分由余弦定理：Abccba cos2222-+=，得cc3372-+=，4=c或1-=c（舍去）所以4=c-------------------14分19. (Ⅰ)证明：由条件，ADEBE平面⊥,AEBE⊥∴,由计算得3,6,3===ADEDAE,222ADEDAE=+∴,AEED⊥又EBEED=⋂,BCDEAE平面⊥∴,而ABEAE平面⊂∴BCDEABE平面平面⊥------------------6分(Ⅱ)以E为坐标原点，直线EA,ED,EB为x,y,z轴建立空间直角坐标系，)1,6,0(),0,6,0(),2,0,0(),,0,3(CDBA,则)0,26,23(M,3(,2)22BM=-, 1)BC=-,平面α的法向量为(0,0,1)m=-------------------8分设平面MBC的法向量),,(zyxn=，由{n BCn BM⋅=⋅=20zz-=-=⇒取1,(32,1,y n==------------------11分设平面BMC 与平面α所成锐二面角为θ，则6cos ||5||||m n m n θ⋅==⋅所以平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值为5. -------------------15分20. 解：(Ⅰ) （i ）1，所以0又,212,时111211=>+=+=a a a a a n n ，…………………….1分 当,时2≥n )(2122∙∈+=+N n a a S n n n )(2121-21-1-∙∈+=+N n a a S n n n作差整理得： ,因为 ,所以，故数列{}n a 为等差数列，. ……………………………………………………..4分 （ii ）由（i ）知，4)3(+=n n S n ，所以)311(34)3(41+-=+=n n n n S n，从而=++++nS S S S 1111321)311()2111()1121()6131()5121()411((34+-++--++--++-+-+-n n n n n n )31211131211(34+-+-+-+++=n n n 922)312111611(34<+-+-+-+=n n n ， 所以922≥M ，故实数的最小值为922…………………………………….8分 (Ⅱ)由)(2412∙-∈-=N n T n a n λ知λλλ241,24+=-=n n n n T T …………………………..9分当λ6,时11==b n ，……………………………………………………10分当λλλλ241241,时211--+=-=≥--n n n n n T T b n143-=n λ所以)2(4431≥==+n b b n n n λ，…………………………………………………….12分若数列{}n b 是等比数列，则有124b b =而λ122=b ，所以212=b b 与b 2=4b 1矛盾。
浙江省绍兴市高三下学期数学5月适应性考试试卷附解析
高三下学期数学5月适应性考试试卷一、单项选择题1.集合满足，那么集合A可以是〔〕A. {3}B.C.D.2.x，y为正实数，那么〔〕A. B. C. D.3.z是复数，i是虚数单位，那么“ 〞是“ 〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的局部图象是〔〕A. B.C. D.5.双曲线的渐近线过点，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. 2 D.6.假设实数x，y满足约束条件，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.7.设，假设随机变量的分布列如下：-1那么以下说法错误的选项是〔〕A. B. C. D.8.底面为正方形的四棱锥，点的射影在正方形内，且到的距离等于的长，记二面角的平面角为，二面角的平面角为，二面角平面角为，那么以下结论可能成立的是〔〕A. B. C. D.9.等差数列满足，，公差为d，数列满足，假设对任意的都有，那么公差d的取值范围是〔〕A. B. C. D.10.函数没有极值点，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.二、填空题11.角的终边过点，那么________，________．12. ，那么________；________．13.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．为抛物线上两点，那么在A点处抛物线C的切线的斜率为________；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．14.某几何体的三视图如下列图，俯视图为平行四边形，内部图形为扇形，正视图、侧视图上方为直角三角形，下方为矩形，那么三视图中侧视图的面积为________；该几何体的体积为________．15.P是圆上一点，动点，的坐标为，，其中.假设恰好存在一个点，使得，那么________.16.把编号为的五个小球随机放入编号为的五个盒子，每盒一个小球，假设满足，那么不同的放法共有________种．17.平面向量满足：，，，那么的最大值是________．三、解答题18.如图，平面四边形中，．〔1〕假设，，求的面积；〔2〕假设，，，求t的最大值．19.如图，三棱柱各棱长均为2，．〔1〕求证：；〔2〕假设二面角为，求与平面所成角的正弦值．20.数列、满足：，，数列前n项和为．〔1〕假设，求数列的通项公式及；〔2〕假设，求证：．21.椭圆的离心率为，且过点．〔参考公式：过椭圆上一点的切线方程为〕〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记的斜率分别为，且．①求P点轨迹方程；②求证：的面积为定值．22.函数，.〔1〕求函数的单调区间；〔2〕函数.①假设在处取得极小值，求实数的取值范围；②假设的一个极值点为，且，求的最大值．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】，集合A可以是，。
2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题解析
绝密★启用前2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}答案：B先求出集合B ，由此能求出A B I ． 解：Q 集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1A B ∴=I ，4}．故选：B ． 点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-答案：A利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 解：(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A．3B．36C．3D．233答案：C由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积11(11)12S=⨯⨯+=，高3h=故体积133V Sh==故选：C．点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 答案：B根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 解：将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．5．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3答案：A利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 解：Q 21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 点评：本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．6．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．7．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．5B ．7C -D ．9-答案：D设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．解：因为实数x ，y 满足2212xy +…，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 8|θθ-+，22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-. 故选：D ． 点评：本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D答案：B求得双曲线的一条渐近线方程，设出P 的坐标，由题意求得(,)P a b ，运用直线的斜率公式可得1k ，k ，2k ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 解：设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，且(,)bP m m a ，由122F PF π∠=，可得以O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于P ，可得222()b m m c a+=，可取m a =，则(,)P a b ，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1bk a c =+，2b k a c =-，b k a=，由1k ，2k -，2k 成等差数列，可得124k k k -=+， 化为2242a a a c -=-，即2232c a =，可得2c e a ==，故选：B ． 点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>答案：D根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 解： 由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= ∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立； 223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 点评：本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 答案：A根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 解：由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'．设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =，∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；QOB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Qsin 22sin cos 2sin ααα==，2]，∴sin 2sin ααβ=，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„． 故选：A ． 点评：本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元． 答案：7 53根据物品价格不变，可设共有x 人，列出方程求解即可 解： 设共有x 人，由题意知 8374x x -=+， 解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 点评：本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题. 12．已知268765432876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，若10a =，则012345678a a a a a a a a a ++++++++=________.答案：256由题意先求得a 的值，可得26878710(1)(3)x x a x a x a x a +-=++⋯++g ，再令1x =，可得结论．解：已知2687654321876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，651260a a a =-=Q ，3a ∴=，26878710(1)(3)x x a x a x a x a ∴+-=++⋯++g ，令1x =，可得80123456782256a a a a a a a a a ++++++++==， 故答案为：256． 点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量.若2a e ⋅=r r ，3b e ⋅=r r ，且0a b ⋅=r r，则a b +r r的取值范围是________.答案：[5,)+∞先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解． 解：由e r 是单位向量．若2a e =r rg ，3b e =r r g ， 设(1,0)e =r，则(2,)a m =r，(3,)b n =r ， 又0a b =r r g ，则6mn =-，则(5,)a b m n +=+rr ，则||a b +rr ，又2()0m n +…，所以||5a b +rr …，（当m n ==m n ==即||a b +rr 的取值范围是[5，)+∞，故答案为：[5，)+∞． 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 14．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式. 答案：6按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可． 解：9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：6． 点评：本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．三、双空题15．已知随机变量的ξ的分布列如图所示，则x y +=________；若()1E ξ=，则()D ξ=________.答案：23 23利用分布列的性质以及期望，列出方程，求出y 与x 的值即可得到结果．解：由题意可知：113x y ++=，11213y ⨯+⨯=，解得13y =，13x =， 所以23x y +=，2221112()(01)(11)(21)3333D ξ=-+⨯-+⨯-=．故答案为：23；23． 点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，属于基本知识的考查．16．已知x ，y 满足约束条件026(03)x y x y x y a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥<≤⎩，当3a =时，3z x y =+的最小值是________.若2z y x =-的最大值是-1，则a =________. 答案：3 23a =时画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求得最优解，计算z 的最小值；画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求出最优解，计算z 的最大值． 解：当3a =时，画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，如图所示；作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点C 时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 最小， 由263x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3x y =⎧⎨=⎩，所以(3,0)C ，此时3z x y =+的最小值为3303min z =+⨯=．画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，如图所示；作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点A 时，直线l '在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由0x y a x y +=⎧⎨-=⎩，解得22a x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以(2a A ，)2a ，此时2z y x =-的最大值为21222max a a az =-⨯=-=-，解得2a =． 故答案为：3，2． 点评：本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，以及求目标函数的最值应用问题，是基础题．17．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N++-=∈.若数列{}na 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+L ，则整数k =________.答案：(0,2) 4-本题根据正数数列{}n a 是单调递增数列，可列出211120n n n n a a a a +++-=-<，通过求出1n a +的取值范围，得到2a 的取值范围，逆推出1a 的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出122019b b b ++⋯+的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果． 解：由题意，正数数列{}n a 是单调递增数列，且211n n n a a a ++-=，∴211120n n n n a a a a +++-=-<，解得1(0,2)n a +∈，2(0,2)a ∴∈．∴21221[,2)4a a a =-∈-．10a >Q ，102a ∴<<．又由211n n n a a a ++-=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==---． ∴111111n n n a a a ++=+-． Q 1(1)1n n n b a --=-，∴122019123201911111111b b b a a a a ++⋯+=-+-⋯+---- 112232017201820182019111111111()()()()1a a a a a a a a a =-+++-⋯-+++- 1122320172018201820191111111111a a a a a a a a a =--++-⋯--++- 1120191111a a a =-+-2019912a =-+．Q 123a =，且数列{}na 是递增数列， 20192(,2)3a ∴∈，即2019113(,)22a ∈， 201991432a ∴-<-+<-．∴整数4k =-．故答案为：(0,2)；-4． 点评：本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用和数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，属于较难的中档题．四、解答题18．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A . 答案：（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）17（1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得答案.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，解得3B π=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 解：（1）()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭. 取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=,因为()110,,2,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯.点评：本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2PB PD ==.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）设H 在AC 上，13AH AC =，若6PH =PH 与平面PBC 所成角的正弦值. 答案：（1）见解析；（2）63（1）记AC BD O =I ，连结PO ，推导出BD PO ⊥，BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）推导出PH AC ⊥，PH ⊥平面ABCD ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心，BC BH ⊥，从而平面PHB ⊥平面PBC ，进而HPB ∠是PH 与平面PBC 所成角，由此能求出PH 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）证明：记AC BD O =I ，连结PO ，PBD ∆中，OB OD =，PB PD =，BD PO ∴⊥，BD AC ⊥Q ，AC PO O =I ，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ．（2）POB ∆中，2POB π∠=，1OB =，2PB =，1PO ∴=，3AO =Q ，33OH =， 2262()3PH ∴==，222PH PO OH ∴=+， PH AC ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，∴PH ∴⊥BC ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心， 6HBO π∴∠=，2HBC π∠=，BC BH ∴⊥，BC ∴⊥平面PHB ∴平面PHB ⊥平面PBC ，∴H 在平面PBC 的射影落在PB 上，HPB ∴∠是PH 与平面PBC 所成角，Rt PHB ∴∆中，6PH =，2PB =，23BH ∴=，236sin 2BH BPH BP ∴∠==⨯=． PH ∴与平面PBC 所成角的正弦值为6．点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知数列{}n a 满足12a =，()*122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .（1）通过计算102a ，212a ，322a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}nb 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求常数t 的取值范围. 答案：（1）1(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭（1）首先利用赋值法求出312013,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 解：（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则1022a =，232a =，3242a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+g ．证明：由于122nn n a a +=+，所以111222n n n n a a ++=+， 则：111222n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a是首项为1，公差为12的等差数列． 所以111(1)2222n n a n n =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+g ． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2n n nb b n N n +=∈+， 所以12n n b nb n +=+， 则121211221143n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+g g g ， 所以2(1)n b n n =+．则22()(1)nnt c n n n n =-+g ， 所以1122422()2()2(2)2121n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222221323n t n n n n n n>-==++++++， 由于236n n ++…，所以21333n n++„，即13t >．点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．21．已知抛物线2:4C x y =与直线:220l x y --=. （1）求抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）设点()00,P x y 是直线l 上的动点，()1,1Q 是定点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ，求证A ，Q ，B 共线；并在3AQ QB =u u u r u u u r时求点P 坐标.答案：（1）10；（2）证明见解析，(0,1)P -或(2,0)P （1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，表示出直线PA ，PB 的方程，利用0x 表示出1x ，2x ，即可求定点P 的坐标．解：（1）设抛物线C 上点的坐标为2(,)4t t ，则22|2|24)t t d t t --=-+…，(1t =时取等号）， 则抛物线C 上的点到直线l； （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，214y x =Q ， 12y x ∴'=， ∴直线PA ，PB 的方程为分别为111()2x y y x x -=-，222()2x y y x x -=-，由两条直线都经过点P 点得1x ，2x 为方程200240x x x y -+=的两根1202x x x +=，1204x x y =，直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，1211()4x x y y x x +-=-，01212121101(1)1104442x x x x x x xy x y ++---=-+=-+=， A ∴，Q ，B 共线．又1213(1)x x -=-，1243x x ∴=-，102012032224x x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 解00x =，02x =，Q 点0(P x ，0)y 是直线l 上的动点，00x ∴=时，01y =-，02x =时，00y =，(0,1)P ∴-，或(2,0)P ．点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22．已知函数2()(0)xf x e ax a =->（其中e 2.718=L 是自然对数的底数） （1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<； （3）当12a =时，证明：对于任意11k e≤+，若12b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线xy e =的交点在y 轴两侧）. 答案：（1）0,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）见解析；（3）见解析（1）需满足()0f x '…恒成立，只需()0f x ''…即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；（3）将问题转化为证明21()2xb e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 解：)2(x f x e ax '=-；令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x …恒成立；()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-…； a ∴的取值范围是(0,]2e；（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；（3）证明：()f x kx b =+，21()2xb e x kx j x =--=，要证明()b j x =有唯一实数解； 当m →+∞时，211(1)2me m m e --+→+∞；当m →-∞时，211(1)2me m m e--+→-∞；即对于任意实数b ，212xb e x kx =--一定有解； ()x j x e x k '=--；当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12b <； ∴只需21()2n b j n e n kn <=--，在11k e+„时恒成立； ∴只需211(1)2n b e n n e<--+；令2111((1))(1)()02n ne n n e n p n e e'--+=--+==，其中一个正解是0n ；0n >Q ，1((1))10n n e n e e'--+=->；()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>；001n ∴<<； ∴0220000111111111(1)112222n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>； 综上得证．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．。
2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题(解析版)
一、单选题
1．已知集合 A {1, 2,3, 4} ， B x x n2, n A ，则 A B （ ）
A．{1, 2}
B．{1, 4}
C．{1, 2,3, 4}
D． {2, 3}
【答案】B
【解析】先求出集合 B ，由此能求出 A B ．
则此双曲线的离心率为（ ）
A． 2
6 B． 2
C． 3
D． 6
【答案】B
【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，设出 P 的坐标，由题意求得 P(a, b) ，运用直
线的斜率公式可得 k1 ， k ， k2 ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求
值．
【详解】
设双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的一条渐近线方程为
令 x 1 ，可得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 28 256 ，
故答案为：256． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二
项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
13．已知 a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量.若 a e 2 ， b e 3 ，且 a b 0 ，
【详解】
已知 (x 1)2 (x a)6 a8 x8 a7 x7 a6 x6 a5 x5 a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1x1 a0 (a R) ，
a1 2a6 6a5 0 ， a 3 ，
(x 1)2 (x 3)6 a8 x8 a7 x7 a1x a0 ，
cos2 6 2 cos 8 (cos 3 2)2 10 0 恒成立， | x2 y2 2 | | x2 y2 6x 7 | sin2 cos2 6 2 cos 8 9 6 2 cos… 9 6 2
浙江省绍兴市第一中学2019年高考五月份月考卷数学试题
浙江省绍兴市第一中学2019年高考五月份月考卷数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,3,(1)(2)0,A B x x x x Z ==+-<∈，则B A ⋂等于（ ） A. {}1 B. {}2,1 C. {}3,2,1,0 D. {}3,2,1,0,1-2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将 指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4i ie π表示的复数位于复平面内A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-5，则输出的y 值是（ ）A.B. 1C. 2D.4.函数22sin33([,0)(0,])1441xy xxππ=∈-+的图像大致是（）A. B. C. D.5．在ABC△中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若cos cos2cosa C c Ab B+=，且1sinsin22cos=+CAB，则2a b c-+=( )A．2B C．2D．06.已sin(026)()t tαπ+>＝，则2cos()3sin()26πααπ-+的取值范围是( )A.( 1.1]- B.0+∞（，） C.(,1)-∞, D.(,1]-∞7.若，y满足约束条件2101010x yx yx y-+≥++≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2yzx+=的取值范围为（）A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.42][,)3(-∞-+∞， C.42,3⎡-⎤⎢⎥⎣⎦D.4]([2,)3-∞-+∞，8. 《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个10m高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛底端在同一直线上，从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶正视图侧视图部和山顶三点也共线，则海岛的高A. 2510mB. 2610mC. 2710mD. 3075m9. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A B 、两点，若AF BF 、的中点在y 轴上的射影分别为M N 、，且|MN C 的准线方程为A. 1x =-B. 2x =-C. 32x =-D. 3x =- 10．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A ．(0,27 B ．(0,27 C.(0,]3D ．(0,3非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽 样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为 12.一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正 方形，则该几何体的表面积为13.已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 14.已知抛物线y 2=2px （p ＞0）经过点M （l ，2），直线l 与抛物线交于相异两点A ，B ，若△MAB 的内切圆圆心为（1，t ），则直线l 的斜率为______．NMPDCB A15．若实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥++≥+-,075,01,01y x y x y x 则该不等式组表示的平面区域的面积为 ▲ ，目标函数y x z 23-=的最小值为 ▲ .16．已知函数()221,020,x x x x f x x ⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，方程()0f x a -=有三个实数解，则a 的取值范围是__________．17.在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆C ： 224x y +=相切的直线方程 ． 三、解答题:本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB． （1）求B ∠的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值． 19.数列的前项和满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20.如图，在四棱锥P ABCD -中,侧棱PA ⊥底面ABCD ,AD ∥，BC︒=∠90ABC ,，1=AD 2PA AB BC ===，M 是棱PB 中点.（1）已知点E 在BC 棱上，且平面AME ∥平面PCD ，试确定点E的位置并说明理由；（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值.21.直角坐标系XOY 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线14y x =-于点N ，若,NA m AM NB nBM ==，求证：m n +为定值，并求出此定值.22.设函数x ma ae x g x ex f x x 2)(,)(1-+=-=+（,m a 为实数），(1)求函数)(x f 的单调区间；(2)若存在实数a ，使得()()f x g x ≤对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. （提示：ex e x -=-1)][ln('）数学参考答案1-5 AA AA D 6-10 DBADA11. 32 12.322+ 13. 3414.-115. 6；2- 16.()1,2 17. 34100x y +-=或 2x =．18.1）由三角形面积可知11838sin 22B ⨯=⨯⨯⨯，sin 2B =，又因为B ∠是锐角，所以π3B ∠=． （2）由（1）可知2222cos 6492449AC AB BC AB BC B =+-⨯⨯=+-=，所以7AC =．又因为2226449913cos 228714AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯⨯，因此113cos 3cos 378214AC A B +=⨯+⨯=．19.解：（1）∵，∴当时，.∴，，故为等比数列.设公比为，则，，∵成等差数列，∴， ∴，∴.∴.（2）∵，∴.∴，，相减得：∴.20. 解：（1）E 为BC 中点，证明如下：E M 、分别为BC PB , 中点，ME PC ∴∥又,ME PDC PC PDC ⊄⊂平面平面ME PDC ∴平面∥又EC AD ∥ EADC ∴四边形为平行四边形AE DC ∴∥同理，AE PDC 平面∥ 又AE ME E =AME PDC ∴平面平面∥（2）以A 为原点，分别以AD,AB,AP 所在直线为X,Y,Z 轴建立空间直角坐标系，则(000),(020),(220),(100),(002)A B C D P ，，，，，，，，，，,(011)M ，，设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，DN DC λ=则)(1211MN MA AD DN λλ=++=+--，，取平面PAB 的法向量为(1,0,0)n =则sin =cos ,MN n θ<>=令[]+1=1,2t λ∈，则22222(1)15=11523523710()125t t t t tλλλ+=≤-+-+-+ 所以sin 7θ≤ 当5233t λ=⇔=时，等号成立 即当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大角的21. (1)椭圆的标准方程为：2211612x y +=； (2)设1122001(,),(,),(,)4A x y B x y N x x -，由,NA mAM =得1010111(,)(1,3)4x x y x m x y -+=--所以0011134,11m x m x x y m m -+==++， 00134(,)11m x m x A m m -+∴++，因为2211612x y +=上，所以得到0220134()()1111612m x m x m m -++++=，得到220139964804m m x ++-=；同理，由NB nBM =可得220139964804n n x ++-= 所以m,n 可看作是关于x 的方程220139964804x x x ++-=的两个根，所以323m n +=-为定值.22. (1) 1)(1-='+x e x f10)(->>'x x f 得由，10)(-<<'x x f 得, )1,(--∞单调递减，),1(+∞-单调递增.……4分(2) x ma e a e x ma ae e x g x f x h x x x +--=+--=-=+)()()()(1令1)()()()(+-=-='x e a e x g x f x h 则若e-a≥0，可得h′（x ）＞0，函数h （x ）为增函数，当x→+∞时，h （x ）→+∞， 不满足h （x ）≤0对任意x ∈R 恒成立；若e-a ＜0，由h′（x ）=0，得1x e a e =-，则1ln x a e=-， ∴当x ∈)1ln ,(e a --∞时，h′（x ）＞0，当x ∈),1(ln +∞-ea 时，h′（x ）＜0，∴1ln 111()max (ln )()ln 1ln a e h x h e a e ma ma a e a e a e-==--+=--+--- 若f （x ）≤g （x ）对任意x ∈R 恒成立， 则11ln ma a e--+-≤0（a ＞e ）恒成立， 若存在实数a ，使得11ln ma a e --+-≤0成立， 则ma≥11ln a e-+-，∴1ln()a e m a a-≥--（a ＞e ），令F （a ）1ln()a e a a-=--， 则222ln()1()ln()'()()aa e a e a e ea e F a a a a a e ------=-=-． ∴当a ＜2e 时，F′（a ）＜0，当a ＞2e 时，F′（a ）＞0， 则min 1()(2)F a F e e==-．∴m 1e≥-．则实数m 的取值范围是1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。
2019届浙江省绍兴市选考科目适应性考试数学试题(解析版)
【解析】在直y的最大值，判断约束条件所表示的平面区域的形状，求出面积即可.
【详解】
在直角坐标系内，约束条件所表示的平面区域如下图所示：
约束条件所表示的平面区域是四边形 ，显然点 的纵坐标最大，解方程组
，所以y的最大值为 ；
四边形 的面积为 .
【答案】B
【解析】先计算 ，然后再计算 ，最后可以计算出 的结果.
【详解】
，故本题选B.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算法则、复数单位 的幂运算，考查了除法运算，考查了数学运算能力.
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过三视图可以判断该几何是圆锥的一半，利用圆锥的体积公式即可求解.
【答案】1 12
【解析】 ， 两个等式相减即可求出 的值，再利用勾股定理可以求出 ，最后求出 的值.
【详解】
因为 ， ，所以两个等式相减得 ，即 ，又 ，由勾股定理可知：
（舍去），
所以有 .
【点睛】
本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.
12．若x，y满足约束条件 ，则y的最大值为__________，此约束条件所表示的平面区域的面积为__________.
6．已知数列 是公比为q的等比数列，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先根据等比数列的性质，结合不等式 ，可以确定q的取值范围，然后根据充分性、必要性的定义选出正确答案.
【详解】
.
显然由 不一定能推出 ，但由 一定能推出 ，因此“ ”是“ ”的必要不充分条件，故本题选B.
2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题(带解析)
2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}【答案】B【解析】先求出集合B ，由此能求出A B I ． 【详解】Q 集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1A B ∴=I ，4}．故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．3B ．36C ．3 D ．23【答案】C【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案． 【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积11(11)12S =⨯⨯+=，高3h =故体积133V Sh ==故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 4．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．5．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3【答案】A【解析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【详解】Q 21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用． 6．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．7．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．625B ．627C 63-D ．962-【答案】D 【解析】设2x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212xy +„，设2x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 627||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 28|θθ-+，22cos 628(cos 32)100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 628962962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-故选：D ． 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A 2 B 6C 3D 6【答案】B【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，设出P 的坐标，由题意求得(,)P a b ，运用直线的斜率公式可得1k ，k ，2k ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，且(,)bP m m a ，由122F PF π∠=，可得以O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于P ，可得222()b m m c a+=，可取m a =，则(,)P a b ，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1bk a c =+，2b k a c =-，b k a=，由1k ，2k -，2k 成等差数列，可得124k k k -=+， 化为2242a a a c -=-，即2232c a =， 可得62c e a ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【解析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 【答案】A【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'． 设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；Q 3]OB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-，221[3,2]sin α-，∴sin 23sin ααβ=…，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元． 【答案】7 53【解析】根据物品价格不变，可设共有x 人，列出方程求解即可 【详解】 设共有x 人，由题意知 8374x x -=+， 解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.12．已知268765432876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，若10a =，则012345678a a a a a a a a a ++++++++=________.【答案】256【解析】由题意先求得a 的值，可得26878710(1)(3)x x a x a x a x a +-=++⋯++g ，再令1x =，可得结论． 【详解】已知2687654321876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，651260a a a =-=Q ，3a ∴=，26878710(1)(3)x x a x a x a x a ∴+-=++⋯++g ，令1x =，可得80123456782256a a a a a a a a a ++++++++==， 故答案为：256． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量.若2a e ⋅=r r ，3b e ⋅=r r，且0a b ⋅=r r ，则a b +r r 的取值范围是________.【答案】[5,)+∞【解析】先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解． 【详解】由e r 是单位向量．若2a e =r rg ，3b e =r r g ，设(1,0)e =r，则(2,)a m =r，(3,)b n =r ， 又0a b =r r g ，则6mn =-，则(5,)a b m n +=+rr ，则2||25()a b m n +++rr ，又2()0m n +…， 所以||5a b +rr …，（当6,6m n ==-或6,6m n ==即||a b +rr的取值范围是[5，)+∞， 故答案为：[5，)+∞． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式. 【答案】6【解析】按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可． 【详解】9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．三、双空题15．已知随机变量的ξ的分布列如图所示，则x y +=________；若()1E ξ=，则()D ξ=________.ξ0 1 2p x13y【答案】23 23【解析】利用分布列的性质以及期望，列出方程，求出y 与x 的值即可得到结果． 【详解】由题意可知：113x y ++=，11213y ⨯+⨯=，解得13y =，13x =， 所以23x y +=，2221112()(01)(11)(21)3333D ξ=-+⨯-+⨯-=．故答案为：23；23． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，属于基本知识的考查．16．已知x ，y 满足约束条件026(03)x y x y x y a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥<≤⎩，当3a =时，3z x y =+的最小值是________.若2z y x =-的最大值是-1，则a =________. 【答案】3 2【解析】3a =时画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求得最优解，计算z 的最小值；画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求出最优解，计算z 的最大值．【详解】当3a =时，画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，如图所示；作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点C 时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 最小，由263x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以(3,0)C ， 此时3z x y =+的最小值为3303min z =+⨯=．画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，如图所示；作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点A 时，直线l '在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由0x y a x y +=⎧⎨-=⎩，解得22a x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以(2a A ，)2a ，此时2z y x =-的最大值为21222max a a az =-⨯=-=-，解得2a =． 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，以及求目标函数的最值应用问题，是基础题．17．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N++-=∈.若数列{}na 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+L ，则整数k =________.【答案】(0,2) 4-【解析】本题根据正数数列{}n a 是单调递增数列，可列出211120n n n n a a a a +++-=-<，通过求出1n a +的取值范围，得到2a 的取值范围，逆推出1a 的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出122019b b b ++⋯+的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果． 【详解】由题意，正数数列{}n a 是单调递增数列，且211n n n a a a ++-=，∴211120n n n n a a a a +++-=-<，解得1(0,2)n a +∈，2(0,2)a ∴∈．∴21221[,2)4a a a =-∈-．10a >Q ，102a ∴<<．又由211n n n a a a ++-=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==---． ∴111111n n n a a a ++=+-． Q 1(1)1n n n b a --=-，∴122019123201911111111b b b a a a a ++⋯+=-+-⋯+---- 112232017201820182019111111111()()()()1a a a a a a a a a =-+++-⋯-+++- 1122320172018201820191111111111a a a a a a a a a =--++-⋯--++- 1120191111a a a =-+- 2019912a =-+．Q 123a =，且数列{}na 是递增数列， 20192(,2)3a ∴∈，即2019113(,)22a ∈， 201991432a ∴-<-+<-．∴整数4k =-．故答案为：(0,2)；-4． 【点睛】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用和数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，属于较难的中档题．四、解答题18．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A . 【答案】（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）17【解析】（1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得答案.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，解得3B π=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 【详解】（1）()223cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭. 取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=, 因为()110,,2,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2PB PD ==（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）设H 在AC 上，13AH AC =，若63PH =，求PH 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）记AC BD O =I ，连结PO ，推导出BD PO ⊥，BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）推导出PH AC ⊥，PH ⊥平面ABCD ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心，BC BH ⊥，从而平面PHB ⊥平面PBC ，进而HPB ∠是PH 与平面PBC 所成角，由此能求出PH 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：记AC BD O =I ，连结PO ，PBD ∆中，OB OD =，PB PD =，BD PO ∴⊥，BD AC ⊥Q ，AC PO O =I ，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ．（2）POB ∆中，2POB π∠=，1OB =，2PB =1PO ∴=，3AO =Q ，33OH =， 2262()3PH ∴==，222PH PO OH ∴=+， PH AC ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，∴PH ∴⊥BC ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心， 6HBO π∴∠=，2HBC π∠=，BC BH ∴⊥，BC ∴⊥平面PHB ∴平面PHB ⊥平面PBC ，∴H 在平面PBC 的射影落在PB 上，HPB ∴∠是PH 与平面PBC 所成角，Rt PHB ∴∆中，6PH =，2PB =，23BH ∴=，236sin 2BH BPH BP ∴∠==⨯=． PH ∴与平面PBC 所成角的正弦值为6．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知数列{}n a 满足12a =，()*122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .（1）通过计算12a ，212a ，322a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}nb 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求常数t 的取值范围. 【答案】（1）1(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）首先利用赋值法求出312013,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 【详解】（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则1022a =，232a =，3242a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+g ．证明：由于122nn n a a +=+，所以111222n n n n a a ++=+，则：111222n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a是首项为1，公差为12的等差数列． 所以111(1)2222n n a nn =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+g ． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2n n nb b n N n +=∈+， 所以12n n b nb n +=+， 则121211221143n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+g g g ， 所以2(1)n b n n =+．则22()(1)nn t c n n n n =-+g ， 所以1122422()2()2(2)2121n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222221323n t n n n n n n>-==++++++， 由于236n n ++…，所以21333n n++„，即13t >． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型． 21．已知抛物线2:4C x y =与直线:220l x y --=. （1）求抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）设点()00,P x y 是直线l 上的动点，()1,1Q 是定点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ，求证A ，Q ，B 共线；并在3AQ QB =u u u r u u u r时求点P 坐标.【答案】（135；（2）证明见解析，(0,1)P -或(2,0)P 【解析】（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，表示出直线PA ，PB 的方程，利用0x 表示出1x ，2x ，即可求定点P 的坐标．【详解】（1）设抛物线C 上点的坐标为2(,)4t t ，则22|2|535224)5tt d t t --==-+…，(1t =时取等号）， 则抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值3510； （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，214y x =Q ， 12y x ∴'=， ∴直线PA ，PB 的方程为分别为111()2x y y x x -=-，222()2x y y x x -=-，由两条直线都经过点P 点得1x ，2x 为方程200240x x x y -+=的两根1202x x x +=，1204x x y =，直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，1211()4x x y y x x +-=-，01212121101(1)1104442x x x x x x xy x y ++---=-+=-+=， A ∴，Q ，B 共线．又1213(1)x x -=-， 1243x x ∴=-，102012032224x x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 解00x =，02x =，Q 点0(P x ，0)y 是直线l 上的动点，00x ∴=时，01y =-，02x =时，00y =，(0,1)P ∴-，或(2,0)P ．【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22．已知函数2()(0)x f x e ax a =->（其中e 2.718=L 是自然对数的底数） （1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<；（3）当12a =时，证明：对于任意11k e≤+，若12b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线xy e =的交点在y 轴两侧）.【答案】（1）0,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）需满足()0f x '…恒成立，只需()0f x ''…即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；（3）将问题转化为证明21()2xb e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 【详解】)2(x f x e ax '=-；令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x …恒成立； ()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-…； a ∴的取值范围是(0,]2e；（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；（3）证明：()f x kx b =+，21()2xb e x kx j x =--=，要证明()b j x =有唯一实数解； 当m →+∞时，211(1)2me m m e --+→+∞；当m →-∞时，211(1)2me m m e--+→-∞；即对于任意实数b ，212xb e x kx =--一定有解； ()x j x e x k '=--；当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12b <； ∴只需21()2n b j n e n kn <=--，在11k e+…时恒成立； ∴只需211(1)2n b e n n e<--+；令2111((1))(1)()02n ne n n e n p n e e'--+=--+==，其中一个正解是0n ；0n >Q ，1((1))10n n e n e e'--+=->；()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>； 001n ∴<<；∴0220000111111111(1)112222n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>；综上得证． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．。
精品解析：2019年浙江省一模数学试题(解析版)
2019学年浙江省高三“五校联考”考试数学试题卷命题学校：绍兴一中一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{}1,5A =，{}1,5,7B =-，则()U C A B =（ ）A. {}3,9B. {}1,5,7C. {}1,1,3,9-D. {}1,1,3,7,9-【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集的定义求出AB ，根据集体补集的定义求出()UC A B .【详解】因为{}1,5A =，{}1,5,7B =-，所以{}=1,1,5,7A B ⋃-，又因为集合{}1,1,3,5,7,9U =-，所以{}3(),9U C A B =，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.2.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 4+B. 4+C. 4+D. 4【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示：ABC ABC SAB SBC1112222224222S S SS S-=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：A点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.3.已知数列{}n a ，满足13n n a a +=，且2469a a a =，则353739log log log a a a ++=（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 11【答案】D 【解析】 分析】由已知可得数列{}n a 为等比数列，由等比数列的性质和通项结合对数运算的性质进行计算即可得到答案. 【详解】数列{}n a 满足13n n a a +=,则数列{}n a 等比数列且公比q=3,由等比数列的性质可得324649a a a a ⋅⋅==,则()()()33335373935793734log log log log log log a a a a a a a a q ++===()399343log log 9311a q ==⨯=,故选：D【点睛】本题考查等比数列通项和等比数列性质p q m n a a a a =（其中m+n=p+q ）的应用，考查对数的运算性质，属于基础题.4.已知0x y +>，则“0x >”是“||2222yx x y +>+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】首先判断由0x >，能不能推出||2222yx x y +>+，而后再看由||2222yx x y +>+，能不能推出0x >，然后通过充分性、必要性的定义得出答案.【详解】由不等式||2222yx x y +>+，可以构造一个函数：2()2tf t t =+，可以判断该函数为偶函数且0t >时，函数单调递增.当0x >时，而0x y +>，这时y 可以为负数、正数、零，因此,x y 的大小关系不确定，因此由“0x >”不一定能推出“||2222yx x y +>+”.当||2222yx x y +>+成立时，利用偶函数的性质，可以得到：22()()0x y x y x y x y >⇒>⇒+->，而0x y +>，因此有0x y ->，所以有x y >-且x y >，如果0x ≤，则有0y <，所以0x y +<，这与0x y +>矛盾，故0x >，故本题选B.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，构造函数，利用函数的性质和不等式的性质是解题的关键.5.函数1e 1xx y x--=+的大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】求函数定义域，解不等式0y >，再判断当x →+∞时，y 值的情况，这样运用排除法可以选出正确答案. 【详解】函数的定义域为：1x ≠-，这样可以排除B ；1e 0111xx y x x--=>⇒-<<+,这样可以排除A. 当x →+∞时，0y →，可以排除D ，故本题选C.【点睛】本题考查了函数图象，应用排除法是解题的关键.6.已知实数,x y 满足1,210,0,y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩如果目标函数z x y =-的最小值为－1，则实数m 等于（ ）A. 7B. 5C. 4D. 3【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式所对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值为－1，确定实数m 的值. 【详解】作出不等式所对应的平面区域，如下图所示；由目标函数z x y =-的最小值为－1，得y x z =-，即当1z =-时，函数为1y x =+，此时对应的平面区域在直线1y x =+的下方，由121y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，同时点A 在直线x y m +=上，所以235m =+=，故选B.【点睛】本题考查了线性规划的应用，根据条件确定直线x y m +=经过点A 是解题的关键.7.已知tan sin cos 2M ααα=+，tan(tan2)88N ππ=+ ，则M 和N 的关系是（ ）A. M N >B. M N <C. M N =D. M 和N 无关【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系中的商关系，两角差的余弦公式，化简M ，用同角三角函数的商关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，求出tan8π的值，而后求出N 的值，最后可以判断出M 和N 的关系.【详解】sinsinsin cos cos cos()2222tansin cos sin cos 1,2coscoscos222M ααααααααααααααα+-=+=+===sin 2sin sin 1cos 8884tan18cos2cossinsin8884πππππππππ-====，tan(tan2)12)1)188N ππ=+=+==，所以M N =，故本题选C.【点睛】本题考查了同角三角函数关系、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，考查了数学运算能力.8.已知函数2log ,0,()1,0.x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩，函数()2()1g x f x m =--，且m Z ∈，若函数()g x 存在5个零点，则m 的值为（ ） A. 5 B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】由方程与函数的相互转化得：函数()g x 存在5个零点等价于()y f x =的图象与直线11,22m m y y +-==共5个交点，作图可知：1121012Z m m m +⎧⎪⎪-⎪<<⎨⎪∈⎪⎪⎩…，解得2m =，得解． 【详解】()2()10()12()1,2m g x f x m m f x f x =-=+==--⇒，函数g （x ）存在5个零点等价于y ＝f （x ）的图象与直线11,22m m y y +-==共5个交点，如下图所示：通过图可知：m 应该满足：1121012Z m m m +⎧⎪⎪-⎪<<⎨⎪∈⎪⎪⎩…，解得2m =，故本题选C. 【点睛】本题考查了方程与函数的相互转化，考查了数形结合思想，正确画出图形是解题的关键.9.设,,a b c 为平面向量，2a b ==，若()()20c a c b -⋅-=，则b c ⋅的最小值为（ ） A. 2 B. 17 4C. 94-D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由()()20c a c b -⋅-=，可以得到b c ⋅的表达式，而后利用二次函数的性质可以求出b c ⋅的最小值.【详解】因为()()20c a c b -⋅-=，所以221111cos cos 2222b c c a c a b c a c a c a b a b ⋅=-⋅+⋅=-⋅〈⋅〉+⋅〈⋅〉22211cos 2cos (cos )cos 2cos 24b c c c a c a b c a c a c a b ⇒⋅=-〈⋅〉+〈⋅〉=-〈⋅〉-〈⋅〉+〈⋅〉，显然当1cos 2c a c =〈⋅〉时，b c ⋅有最小值，为21cos 2cos 4a c ab -〈⋅〉+〈⋅〉，当cos 1a b 〈⋅〉=-且2cos 1a c 〈⋅〉=时，即a b ⋅反向且a c ⋅共线时，b c ⋅的最小值为94-，故本题选C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的最小值，利用二次函数的性质是解题的关键.10.如图，在三棱锥S ABC -中，SC AC =，SCB θ∠=，ACB πθ∠=-，二面角S BC A --的平面角为α，则（ ）A.αθ≥ B. SCA α∠≥ C. SBA α∠≤ D. SBA α∠≥【答案】B 【解析】 【分析】先对θ取090特殊值，进行判断，最后可以判断出SCA α∠≥. 【详解】当090θ=时，显然有,BC AC BC SC ⊥⊥，故BC ⊥平面SAC ，于是SCA ∠是二面角S BC A --的平面角，即SCA α=∠，当090θ≠时，SCA ∠不是二面角S BC A --的平面角，故而SCA α<∠，综上所述：SCA α∠≥，故本题选B.【点睛】本题考查了二面角与平面角大小关系的判断，考查了空间想象能力.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z =________，z =_________.【答案】 (1). 43i 55- (2). 1 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则求出z ，利用复数模公式求出z . 【详解】因为()1+22i z i =+，所以2(2)(12)4343,12(12)(12)555i i i i z i i i i ++⋅--====-++⋅-1z ==.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.12.251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和为_______，该展开式中的常数项为________. 【答案】 (1). 3 (2). -40 【解析】 【分析】令1x =，可以求出251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和；求出51(2)x x-展开式中通项公式，可以判断出不存在常数项以及2x -项，求出1x -项的系数，最后结合21x x ++式中x 项的系数，求出251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中的常数项.【详解】令1x =，所以51(1)(111)(2)31f =++-=，故251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和为3；二项式51(2)x x-展开式的通项公式为：55525155(2)(1)(1)2r r r r r r r r r T C x x C x ----+=⋅-=-⋅⋅⋅，当250,2r -=-时，没有正整数解，故不存在常数项以及2x -项，当251r -=-时，即当2r =时，1x -的系数为3225(1)240C -⋅⋅=-，而21x x ++中的x 项的系数为1，所以251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中常数项为40140-⨯=-.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，利用二项式展开式的通项公式是解题的关键.13.已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，则函数()f x 的单调递增区间为________ ，将函数()f x 的图象至少平移 ______个单位长度后关于直线4πx =-对称. 【答案】 (1). ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2). 6π【解析】 【分析】由函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，可以得到下列等式：7,12122T ππ-= （T 为函数的周期），2()12k k Z πωϕπ+=∈，再结合2T ωπ=，0,||2πωϕ><，求出,ωϕ，然后利用余弦函数的单调性求出函数()f x 的单调递增区间，平行后图象关于直线4πx =-对称，说明平移后的图象在4πx =-处达到最值，求出平移的单位长度. 【详解】因为函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，所有有7,12122T ππ-= （T 为函数的周期），所以T π=，而2T ωπ=，而0>ω，所以2ω=，又函数最高点为(,1),12π所以有2()12k k Z πωϕπ+=∈，而||2ϕπ<，所以6πϕ=-，因此函数解析式为()c o s (2)6f x x π=-，当222()6k x k k Z ππππ-≤-≤∈时，函数单调递增，即5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，函数单调递增，因此函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.函数()cos(2)6f x x π=-平移m 个单位，得到()cos 2()cos 2266f x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，此时图象关于4πx =-对称，因此 2246m k πππ-⨯+-=()k ∈Z ，23m k ππ=+，,26k m k Z ππ=+∈，当0k =时，6m π=，所以函数()f x 的图象至少平移6π个单位长度后关于直线4πx =-对称.【点睛】本题考查了余弦函数的图象和性质，根据条件求出,ωϕ是解题的关键.14.一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为_________，这两个数字和的数学期望为__________. 【答案】 (1). 12(2). 5 【解析】 【分析】写出基本事件，然后计算出事件“正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数”的基本事件，利用古典概型计算公式求出概率；先求出两个数字和的可以有取值，并求出概率，利用数学期望的计算公式求出这两个数字和的数学期望值.【详解】该正四面体抛掷两次，出现的可能情况如下：(1,1),(12),(1,3),(14),(2,1),(22),(2,3),(24),，，，，(3,1),(32),(3,3),(34),(4,1),(42),(4,3),(44),，，，，共16种情况，向下一面的数字和为偶数的有(1,1),(1,3),(22),(24),(3,1),(3,3),(42),(44),，，，，共8种情况，故该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为81162=.设该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为X ,它的可能到值为2，3，4，5，6，7，81214141(2),(3),(4),(5)16168164164P X P X P X P X ===========， 41211(6),(7),(8)16416816P X P X P X ========，111111123456785168444816EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了古典概型，离散型随机变量的数学期望，考查了数学计算能力.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】【分析】根据12i iPA PA⋅=，1,2i=可得以12A A为直径的圆与线段BF有两个交点（不含端点），从而得到,,a b c满足的不等式组，从这个不等式组可求离心率的取值范围.【详解】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为O：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=，1,2i=，所以O与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e+<<.故填⎭.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c的不等式或不等式组．16.从0，1，2，…，8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二位…），有______个不同的数.（用数字作答）【答案】1680【解析】【分析】根据条件可知：第2，4，5位必须为偶数，然后根据0的位置，进行讨论，求出问题.【详解】因为奇数数字不能放在偶数位，所以第2，4，5位必须为偶数，0，1，2，…，8中，有0，2，4，6，8四个偶数，1，3，5，7四个奇数，若第2，4，5位三个位置中有0，则1234C A 种，其余第1，3号位置，有26A 种方法，共有1223461080C A A =个不同的数；若第2，4，5位三个位置中没有0，则有34A 种方法，第1位有5种方法，第3位也有5种方法，则共有355600A A ⨯=种方法，所以一共有10806001680+=种方法.【点睛】本题考查了排列组合知识，先考虑特殊元素要求是解题的关键.17.已知实数,[1,1]x y ∈-，{},,max ,,.a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为__________.【答案】32【解析】 【分析】法一：令{}22max 1,|2|0x y x y k -+-=>，于是有22222144k x y k x xy y⎧≥-+⎨≥-+⎩，利用不等式的性质和完全平方式的性质，可得22223443(2)33k k x xy y x y +≥-++=-+≥，解得32k ≥，于是可求出22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值.法二：固定变量y ，构造函数 22()1,()|2|f x x y g x x y =-+=-，由图象的对称性，只考虑[0,1]y ∈时情形，令2212x y y x -+=-，解得0x =，{}()22001max 1,|2|222x y x y g x y x y -+-==-=+，构造新函数，利用导数，可以求出22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值.【详解】法一：令{}22max 1,|2|0x y x y k -+-=>，则22222144k x y k x xy y⎧≥-+⎨≥-+⎩，因此有 ()2222222441(1)4(4)k k x xy y x y x yx y λλλλλ+≥-++-+=+-+-+成立，22(1)4(4)x yx y λλ+-+-为完全平方式时，3λ=， 22223443(2)33k k x xy y x y +≥-++=-+≥解得32k ≥，所以22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为32. 法二：固定变量y ， 22()1,()|2|f x x y g x x y =-+=-,由图象的对称性，只考虑[0,1]y ∈时情形，令2212x y y x -+=-，解得0x =，{}()22001max 1,|2|222x y x y g x y x y -+-==-=+，1()2()222h y y h y '=+==令()0h y '>，解得313y -+<≤，所以{}2233max 1,|2|32x y x y h ⎛--+-== ⎝⎭. 【点睛】本题考查了求函数的最小值问题，利用不等式和方程的性质、构造函数是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos sin 22A A -=（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当)14a A C =+=，求c 值.【答案】（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）4c =【解析】【分析】 （Ⅰ）对等式cossin 222A A -=两边同时平方，利用二倍角的正弦公式求出1sin 2A =，结合角A 是三角形的内角和cossin 222A A -=，可以确定角A 的取值范围，最后求出角A ； （Ⅱ）由三角形内角和定理和sin()14C A +=，可以求出sin 14B =，运用正弦定理，可以求出b =再利用余弦定理可以求出c 的值.【详解】（Ⅰ）由sin cos 22A A -=21cos sin 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112sin cos 222A A -=，1sin 2A =，又0A π<<，cossin 022A A->，cos sin sin 2222A A A π⎛⎫=->⎪⎝⎭，222A A π->，2A π<，所以6A π=. （Ⅱ）由sin()14C A +=，得sin 14B =，由正弦定理：sin sin ab A B=，得b = 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得2733c c =+-，4c =或1c =-（舍去）， 所以4c =.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查了数学运算能力.19.如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧，且,B C在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==.（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BCDE；（Ⅱ）若M是AD中点，求平面BMC与平面α所成锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】【分析】（Ⅰ）由,B C在平面α上的射影分别为,E D，可以得出BE⊥平面ADE，进而可以得到BE AE⊥，通过计算可以证明出ED AE⊥，利用线面垂直的判定定理可以得到线面垂直，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面ABE⊥平面BCDE；（Ⅱ）以E为坐标原点，直线EA，ED，EB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面α的法向量和平面MBC的法向量，利用空间向量的数量积坐标表示，可以求出平面BMC与平面α所成锐二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：由条件，BE⊥平面ADE，∴BE AE⊥，由计算得AE=ED=3AD=，∴222AE ED AD+=，ED AE⊥，又ED BE E⋂=，∴AE⊥平面BCDE，而AE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BCDE.（Ⅱ）以E为坐标原点，直线EA，ED，EB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，)A，()0,0,2B，()D，()C，则M⎫⎪⎪⎝⎭，32BM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，()1BC=-，平面α的法向量为()0,0,1m=，设平面MBC的法向量(),,n x y z=，由2022x y zn BCn BMz⎧+-=⋅=⎪⇒⎨⋅=⎩-=，取1y =，(32,1,n =，设平面BMC 与平面α所成锐二面角为θ，则6cos m n m nθ⋅==⋅. 所以平面BMC 与平面α. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、以及利用空间向量数量积的坐标表示求二面角的大小问题，考查了数学运算能力.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.（Ⅰ）（i ）求数列{}n a 的通项公式；（ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； （Ⅱ） 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？ 并说明理由. 【答案】(1) （i ）12n n a +=（ii ）229(2)见解析 【解析】 【分析】（1）（i ）由2212n n n S a a +=+知2111212n n n S a a ---+=+，作差求得112n n a a --=，得到数列{}n a 为等差数列，求得12n n a +=.（ii ）由等差数列前n 项和公式得到(3)4n n n S +=，对n S 取倒，得到141133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项相消求得123n 1111229S S S S ++++<，从而得到M 的最小值. （Ⅱ）由（i ）可知12n n a +=，所以得到42nn T λ=-，求解数列{}n b 得到1=4,(2)n n b b n +≥，检验212b b =，所以不存在λ.【详解】解：（1）（i ）1n =时，2111212a a a +=+，又10,1n a a >∴=，当2n ≥时，()22*n 111212a ,212N n n n n n S a S a a n ---+=++=+∈.作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-，110,2n n n a a a ->∴-=， ∴数列{}n a 的等差数列，12n n a +=. （ii ）由（i ）知(3)4n n n S +=， 14411(3)33n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 123n1111S S S S ∴++++ 411111111111134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4111111323123n n n ⎛⎫=+++--- ⎪+++⎝⎭41111122361239n n n ⎛⎫=+---< ⎪+++⎝⎭ 不等式123n 1111M S S S S ++++<恒成立，229M ∴≥， ∴实数M 的最小值是229. （2）由()2142N n a n T n λ-+=-∈，知42n n T λ=-，124n n T λλ=+，当1n =时，16b λ=，当2n ≥时，11112123•4?4?4n n n n n n b T T λλλλλ---=-=+--=，13•44,(2)n n n b b n λ+∴==≥，数列{}n b 是等比数列，214b b ∴=，22112,2b b b λ=∴=，与214b b =矛盾， ∴不存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列.【点睛】本题考查数列求通项公式知n S 求n a ，考查数列裂项相消求和，考查等比数列的证明，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于,A B 两点，过线段AB上的动点P 作斜率为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于,M N 两点.（Ⅰ）求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）若104Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求MNQ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）AB=22k ⎡∈⎣；（Ⅱ）1716【解析】 【分析】（Ⅰ）椭圆方程和抛物线方程联立，求出,A B 两点的坐标，直接求出线段AB 的长利用导数求出抛物线的切线的斜率，求出切线方程，利用动点P 的横坐标的取值范围可以求出直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）切线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系，结合弦长公式，可求,M N 两点距离，以及点Q 到直线MN 的距离d，利用面积公式，求出面积的表达式，利用换元法、求出求MNQ ∆面积的最大值. 【详解】（Ⅰ）由题意得：12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，12B ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以AB =设直线与抛物线切于2,2mR m⎛⎫⎪⎝⎭，∵y'x=，∴k m=，则切线方程为22my mx=-，当12y=-时，212mxm-⎡=∈⎣，22k⎡∈⎣.（Ⅱ）切线与椭圆联立()222234214414402xym x m x mmy mx⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎪⎩，∴3122441mx xm+=+，4122441mx xm-⋅=+，得MN=d=令24129t m⎡=+∈-+⎣，117216MNQS MN d∆=⋅=.当且仅当1629t⎡=-+⎣.解法二：同上联立()()221222111242841MNQmmS x xm∆+⋅=+⋅-=+()()()2242221416412841m m mm++-++≤⋅+()()22174117161641mm+==+，当且仅当27m⎡=-+⎣.【点睛】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力22.已知函数()e xf x ax b=--.（其中e为自然对数的底数）（1）若()0f x≥恒成立，求ab的最大值；（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m 的取值集合.【答案】（1）2e；（2）{}1-． 【解析】 【分析】（1）就0,0,0a a a <=>三种情况利用导数讨论()f x 的单调性及其相应的最小值后可得：0a =时，0b ≤成立，0a >时，ln b a a a ≤-成立，对后一种情况构建新函数()22ln h a a a a =-，利用导数可求()h a 的最大值即可.（2）求出()F x '，它是一个减函数且值域R ，故()F x '存在唯一的零点0x ，再由题设条件可以得到()00F x =，()00F x '=，用0x 表示,a b 后可把不等式()1m a e b -+≥化为()()00001ln 10xm x m e x m e x +-+-+-+≥，构建新函数()()()1ln 1x m k x x m e x m e x=+-+-+-+，就0,0m m ≤>两类情况利用导数讨论函数的单调性后可得实数m 的取值，注意后者的进一步讨论以m -与1的大小为分类标准.【详解】（1）()xg x e a '=-，当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,b m a -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 当0x m <时，()000010xg x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；当0a =时，()xg x e b b =->-，只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，令()22ln h a a a a =-，()()2122ln 12ln h a a a a a a a a'=--=-， 令()0h a '=，a =当(a ∈，()0h a '>，()h a在(上为增函数；当)a ∈+∞，()0h a '<，()h a在)+∞上为减函数． 所以()1122h a he e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e ． （2）()1x F x e a x'=-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=， 即00000ln 1010x x x e ax b e a x ⎧+-++=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以001x a e x =-，()001ln x o b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()00000111ln x x m e e x e x x ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭， 得()()00001ln 10x m x m e x m e x +-+-+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1x m k x x m e x m e x=+-+-+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭． 若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾； 当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数，所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数，所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，，当()0,1x ∈时，()0k x '<，()k x 为减函数，而(1)0k =，所以()F x 有唯一的零点.综上，m 的取值集合为{}1- ．【点睛】含参数的函数不等式的恒成立问题，可以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.函数的零点问题，可利用导数讨论函数的单调性，再结合函数已有的零点来讨论参数的取值.。
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绝密★启用前2019届浙江省绍兴一中高三下学期5月高考适应性考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C化简得到34z i =--，得到答案. 解析：()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C . 点评：本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 2．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 答案：C求出集合A ，然后与集合B 取交集即可． 解析：由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C.点评：本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．3．在ABC V 中，12BD DC =u u u v u u u v ，则AD uuu v=（ ）A ．1344+AB AC u u u v u u u v B ．21+33AB AC u u uv u u u vC ．12+33AB AC u u uv u u u vD ．1233AB AC -u u uv u u u v答案：B在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+，即可得到答案． 解析：如下图，12BD DC =u u u r u u u r ，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+,故答案为B.点评：本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．4．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 答案：A根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 解析：将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ sin x Q 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 点评：本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质. 5．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A先判断函数()f x 为偶函数，然后通过构造函数()()f x xg x =，()sin g x x x =+，可判断()g x 是单调递增函数，从而可得到0x >时，()()00g x g >=，即可判断0x >时，()()f x xg x =，()()()=+0f x g x xg x '>'，从而可确定()f x 在()0,+?上单调递增，即可得到答案． 解析：因为()()()22sin sin =f x x x x x x x f x -=--=+，所以()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立，所以()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()=+0f x g x xg x '>', 即()f x 在()0,+?上单调递增，故只有选项A 正确．点评：本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题．6．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b+的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2答案：B画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 解析：如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=. ()(511511254194525252020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .点评：本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 7．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++L ，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+答案：A取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L ，计算得到答案. 解析：取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L . 故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--L . 故选：A . 点评：本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种 B ．44种C ．48种D ．54种答案：B分三种情况，任务A 排在第一位时，E 排在第二位；任务A 排在第二位时，E 排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．解析：六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：222312A A=；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有122322=12C A A，可能都在A、E的右侧，排列方法有2222=4A A；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧11222222=16C C A A；所以不同的执行方案共有121241644+++=种．点评：本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．9．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对答案：C画出该几何体的直观图P ABCD-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．解析：该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可证：平面PAB⊥平面PAD，由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB 平面PCD，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．点评：本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．10．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）A．B．C．D．答案：A分析：先设A,B,,再求切线PA,PB方程，再求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.详解:设A,B,,因为所以切线PA的方程为所以切线PB的方程为联立切线PA,PB的方程解之得x=a+b,y=ab,所以P（a+b,ab）.所以故答案为A点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A ,B ,,再求切线PA,PB 方程，求点P 坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.二、填空题11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，416S =，则数列{}n a 的公差d =________，通项公式n a =________.答案：2 21n a n =- 直接利用等差数列公式计算得到答案. 解析：213a a d =+=，414616S a d =+=，解得11a =，2d =，故21n a n =-.故答案为：2；21n a n =-. 点评：本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力. 12．若1sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=________，cos2cos αα+=________. 答案：1349-根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案. 解析：1sin cos 23παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故24cos 2cos 2cos 1cos 9αααα+=-+=-.故答案为：13；49-.点评：本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题.13．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为()12,0F -，点(A ，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________. 答案：2 2设双曲线的右焦点为()22,0F ，根据1APF ∆周长为11223PF PA AF AF a ++≤++，计算得到答案. 解析：设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()22,0F .1APF ∆周长为：11222323628PF PA AF PF a PA AF a a ++=+++≤++=+=.当2APF 共线时等号成立，故1a =，即实轴长为22a =，2ce a==. 故答案为：2；2. 点评：本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为________. 答案：0.38 0.9考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，计算得到概率，再计算数学期望得到答案. 解析：第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：()()()()()()0.510.610.410.50.610.410.510.60.40.38p =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：10.50.60.3p =⨯=，20.60.50.3p =⨯=，30.40.750.3p =⨯=.故随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，故()()334310.310000p ξ==-=；()()2134410.310.310010p C ξ=⋅-==； ()()2231890.310.321000p C ξ=⋅-==；()3270.033100p ξ===.故()3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：0.38 ；0.9. 点评：本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．若0a b +≠，则()2221a b a b +++的最小值为________.由基本不等式，可得到222222222()()2()222≥a b a b a b ab a b a b +++++++==，然后利用222221()1()2()a b a b a b a b +++≥+≥++可得到最小值，要注意等号取得的条件。