最新高中数学一轮复习最基础考点4四种命题的关系及解析

专题4 四种命题的关系
四种命题之间的关系
★★★
○○○○
四种命题及相互关系
四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.
判断四种命题真假的方法
(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．
(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为
判断其等价命题的真假．
(1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )
A．若a>b，则a－1≤b－1
B．若a>b，则a－1<b－1
C．若a≤b，则a－1≤b－1
D．若a<b，则a－1<b－1
(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[解析] (1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．[KS5UKS5U]
[答案] (1)C (2)C
1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0[KS5UKS5U.KS5U
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
解析：选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0
且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y ∈R，则x2＋y2≠0”．
2．命题“若△ABC有一个内角为π
3
，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命
题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角
成等差数列，则△ABC有一个内角为π
3
”，它是真命题．故选D.
3．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.
答案：①②③
1．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考数学（文）试题】下列判断错误的是（ ）
A. 若p q ∧为假命题，则,p q 至少之一为假命题
B. 命题“32,10x R x x ∀∈--≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-->”
C. “若||a c 且||b c ，则||a b ”是真命题
D. “若22am bm <，则a b <”的否命题是假命题
【答案】C
2．【重庆市第一中学2017届高三下学期第二次月考数学（理）试题】已知()01,0,a a x >≠∈+∞且，命题P ：若11a x >>且，则log 0a x >，在命题P 、P 的逆命题、P 的否命题、P 的逆否命题、P ⌝这5个命题中，真命题的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】由对数的单调性可知：当11a x >>且时， log 0a x >，故命题p 是真命题；由命题与逆否命题的等价性可知命题p 的逆否命题也是真命题。

其它三个命题中，逆命题不真，否命题也是错误的，命题p ⌝也是不正确的，应选答案B 。

3．【湖北省荆州中学2018届高三上学期第一次双周考数学（理）试题】下列选项中，说法正确的是
A. 若0a b >>，则2
B. 向量()()1,,,21a m b m m ==- ()m R ∈共线的充要条件是0m =
C. 命题“()*1,322n n n N n -∀∈>+⋅”的否定是“()*1,322n n n N n -∀∈≥+⋅”
D. 已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
【答案】D
4．【河北省廊坊市省级示范高中联合体2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题】下列说法中，正确的个数是（ ）[KS5UKS5UKS5U]
①函数()22x f x x =-的零点有2个； 的最小正周期是π；[KS5UKS5U] ③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则()00f x '=”的否命题是真命题；
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】对于①由题意可知：要研究函数()22x f x x =-的零点个数，只需研究函数22,x y y x ==的图象交点个数即可。

画出函数22,x y y x ==的图象，由图象可
得有3个交点。

所以①不正确；
对于②,
所以②不正确；[KS5UKS5UKS5U]
对于③,命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f′(x0)=0”的否命题是：若f′(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处有极值,显然不正确。

利用y=x3，x=0时，导数为0，但是x=0不是函数的极值点，所以是真命题；所以③不正确；
对于④, ,圆的面积为π,
所以④正确；
本题选择B选项.
5．【广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学（文）试题】下列4个命题：
①“若a、G、b成等比数列，则G2=ab”的逆命题；
②“如果x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；
③在△ABC中，“若A＞B”则“sinA＞sinB”的逆否命题；
④当0≤α≤π时，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对∀x∈R恒成立，则α的取值范
围是 其中真命题的序号是________．
【答案】②③ 【解析】① “若a 、G 、b 成等比数列，则G 2=ab ”的逆命题为“若G 2=ab ，则a 、G 、b 成等比数列”当0a b G ===时G 2=ab ，但a 、G 、b 不成等比数列，故①错； ②“如果260x x +≥﹣，则x ＞2”的否命题与逆命题真假相同，“如果260x x
+≥﹣，则x ＞2”的逆命题为“如果x ＞2，则260x x
+≥﹣”，是真命题，故②对 ③“若A B ＞”则“sinA sinB ＞”的逆否命题的真假与原命题的真假相同， A B ＞则a b >,由正弦定理得sinA sinB ＞，故③对
④当0απ≤≤时，若8x 2820sin x cos αα+≥﹣（）对x R ∀∈恒成立，即有
2643220s i n c o s αα=≤﹣，即有122c o s α﹣≤0，即为，可得
点睛：本题考查命题的真假判断，主要考查等比数列中项的定义和性质，四种命题的判断和二次不等式恒成立问题的解法
6．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题】有下列四个命题
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为_______________.
【答案】①③
7．【河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（文）试题】下列命题中__________为真命题（把所有真命题的序号都填上）． ①“A B A ⋂=”成立的必要条件是“A B Ö”；②“若220x y +=，则x ， y 全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.
【答案】②④ 【解析】①A B A A B ⋂=⇒⊆但不能得出A B Ö，∴①不正确； ②否命题为：“若220x y +≠，则x ，y 不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题； ④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题。

故答案为：②④。

8．【四川省雅安市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题】下列4个命题： ①“若,,a G b 成等比数列，则2G ab =”的逆命题； ②“如果260x x +-≥，则2x >”的否命题；
③在ABC ∆中，“若A B >”则“sin sin A B >”的逆否命题； ④当0απ≤≤时，若()288sin cos20x x αα-+≥对x R ∀∈恒成立，则α的取值范
其中真命题的序号是__________．
【答案】②，③
④略。

故真命题的序号是②③。

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