高三数学二轮复习 高考大题专攻练 4 数列(B组) 理 新人教版
高考数学大二轮复习 专题四 数列 第2讲 数列求和及综合应用复习指导课后强化训练-人教版高三全册数学
专题四 第二讲A 组1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N ＋，则数列{ba n }的前10项的和为导学号 52134510( D )A ．43(49－1) B ．43(410－1) C ．13(49－1) D ．13(410－1) [解析] 由a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2得，a n ＝2n －1， 由b n ＋1b n＝2，b 1＝1得b n ＝2n －1， ∴ba n ＝2a n －1＝22(n －1)＝4n －1，∴数列{ba n }前10项和为1×410－14－1＝13(410－1)．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1等于导学号 52134511( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n ) [解析] 因为a n ＝1×2n －1＝2n －1， 所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1a n a n ＋1＝12×(14)n －1，所以{1a n a n ＋1}也是等比数列， 所以T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12×1×1－14n 1－14＝23(1－14n )，故选B ． 3．(文)给出数列11，12，21，13，22，31，…，1k ，2k －1，…，k1，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号．．是导学号 52134512( B ) A ．4900 B ．4901 C ．5000D ．5001[解析] 根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，...，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，...，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：199，298，397， (5050)5149，…，991，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝981＋982＋50＝4901．(理)(2017·某某市质检)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是导学号 52134513( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是导学号 52134514( C )[解析] ∵S n ＝na 1＋n n －12d ，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n ．5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |．则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为导学号 52134515( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④[分析] 保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析] 解法一：设{a n }的公比为q ．①f (a n )＝a 2n ，∵a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n)2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ． ③f (a n )＝|a n |， ∵|a n ＋1||a n |＝|a n ＋1a n|＝|q |， ∴{f (a n )}是等比数列，排除A ． 解法二：不妨令a n ＝2n．①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n.显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f (x )＝2x，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以f a 2f a 1＝2422＝4≠f a 3f a 2＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n＝(2)n． 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2．显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ． 6．若数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－1)n＋1，b n ＝3＋－1n －12，n ∈N ＋，且a 1＝2，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 63＝__560__.导学号 52134516[解析] ∵b n ＝3＋－1n －12＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 为奇数1n 为偶数，又a 1＝2，∴a 2＝－1，a 3＝4，a 4＝－2，a 5＝6，a 6＝－3，…，∴S 63＝a 1＋a 2＋a 3＋…a 63＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 63)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560．7．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列{a n a n ＋1a n ＋4}的最大项的值为__19__.导学号 52134517[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2S n －n (n ＋1)＝0， ∴S n ＝n n ＋12，∴a n ＝n ，∴a n a n ＋1·a n ＋4＝n n ＋1n ＋4＝1n ＋4n＋5，当n ＝2时，n ＋4n 取最小值4，此时a na n ＋1a n ＋4取到最大值19．8．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.导学号 52134518 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．[解析] (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比为q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1．(2)S n ＝a 11－q n 1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.9．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *).导学号 52134519(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n ．[解析] (1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项， 所以a 1·a 4＝(42)2＝32．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝32，a 2＋a 3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2．解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8.所以q ＝a 3a 2＝2．故数列{a n }的通项公式a n ＝2n．(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n，S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1．所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1．B 组1．(2017·某某市高三调研)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{12n ＋1a n}的前n 项和T n ＝导学号 52134520( C )A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1 C ．－2n2n ＋1D ．2n 2n ＋1[解析] 本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和． 设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12．当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以12n ＋1a n＝－22n －12n ＋1＝－(12n －1－12n ＋1)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)已知函数f (x )＝log 2x ，等比数列{a n }的首项a 1>0，公比q ＝2，若f (a 2·a 4·a 6·a 8·a 10)＝25，则2f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2017)等于导学号 52134521( C )A ．21009×2018B ．21010×2019C ．21008×2017D ．21009×2017[解析]f (a 2·a 4·a 6·a 8·a 10)＝log 2(a 2·a 4·a 6·a 8·a 10)＝log 2(a 51q 25)＝25， 即a 51·q 25＝225，又a 1>0，q ＝2，故得到a 1＝1．2f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2012)＝2f (a 1)·2f (a 2)·…·2f (a 2017) ＝2log 2a 1·2log 2a 2·…·2log 2a 2017 ＝a 1·a 2·…·a 2017＝a 20171·q 1＋2＋…＋2016＝12017×22016×1＋20162＝21008×2017.故选C ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是导学号 52134522( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值 [解析] 画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．(文)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是导学号 52134523( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在[解析] ∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10．∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10． ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．(理)已知数列{a n }的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k ＝4时，输出S ＝13，则a 2018＝导学号 52134524( D )A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019[解析] 由程序框图可知，{a n }是公差为1的等差数列， 且1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＝13，∴1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4＋1a 4－1a 5＝1a 1－1a 5＝13， ∴1a 1－1a 1＋4＝13，解得a 1＝2，∴a 2018＝a 1＋2017d ＝2＋2017＝2019． 4．(文)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限内的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是导学号 52134525( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由等差、等比数列的性质，可求得x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴P 1(2,2)，P 2(3,4)，∴S △OP 1P 2＝1．(理)已知曲线C ：y ＝1x(x >0)上两点A 1(x 1，y 1)和A 2(x 2，y 2)，其中x 2>x 1.过A 1、A 2的直线l 与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么导学号 52134526( A )A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列[解析] 直线A 1A 2的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1x 2－1x 1x 2－x 1＝－1x 1x 2，所以直线A 1A 2的方程为y －1x 1＝－1x 1x 2(x －x 1)，令y ＝0解得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，故x 1，x 32，x 2成等差数列，故选A ．5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)(1a n＋1)，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值X 围为导学号 52134527( A )A ．λ<2B ．λ>3C ．λ>2D ．λ<3[解析] 易知1a n ＋1＝2a n＋1，所以1a n ＋1＋1＝2(1a n＋1)．又a 1＝1，所以1a n ＋1＝(1a 1＋1)2n －1＝2n，所以b n ＋1＝(n －λ)2n，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n －λ＋1)2n －1>0，所以n －λ＋1>0． 又n ∈N *，所以λ<2．6．已知函数f (x )＝a ·b x 的图象过点A (2，12)、B (3,1)，若记a n ＝log 2f (n )(n ∈N *)，S n是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是__－3__.导学号 52134528[解析] 将A 、B 两点坐标代入f (x )得， ⎩⎪⎨⎪⎧12＝ab 2，1＝ab 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝2，∴f (x )＝18·2x .∴f (n )＝18·2n ＝2n －3．∴a n ＝log 2f (n )＝n －3． 令a n ≤0，即n －3≤0，∴n ≤3．∴数列前3项小于或等于零，故S 3或S 2最小．S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－2＋(－1)＋0＝－3．7．(2017·某某、某某、某某调研)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n 群，…，第n 群恰好n 个数，则第n 群中n 个数的和是__3·2n－2n －3__.导学号 52134529[解析] 由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n－3……设这n 个数的和为S 则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n＋2n＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋41－2n －11－2－(2n －1)＝2n＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n－2n －3．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.导学号 52134530(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析] (1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析] (1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1． 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ．(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1， 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4． 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1． 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2．因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1a n ＋2，a 1＝－12.导学号 52134531 (1)求证{1a n ＋1}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值． [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝－1a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝－1a n ＋2＋1＝a n ＋2－1a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2， 由于a n ＋1≠0， ∴1a n ＋1＋1＝a n ＋2a n ＋1＝1＋1a n ＋1，∴{1a n ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．word(2)由(1)题结论知：1a n ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1， ∴a n ＝1n ＋1－1＝－n n ＋1(n ∈N *)． (3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立， 而1＋a n ＝1n ＋1， 设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12． ∴P 的最大值为12．。
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高考大题专攻练10.分析几何 (B 组 )大题集训练，练就慧眼和规范，占据高考取胜点！1. 已知椭圆E：+=1(a>b>0) 的离心率为，其右焦点为F(1 ，0).(1) 求椭圆 E 的方程 .(2) 若 P，Q，M，N四点都在椭圆 E 上，已知与共线，与.共线，且·=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值【分析】 (1) 由椭圆的离心率公式可知： e= = ，由 c=1，则 a= ， b2=a2-c 2=1，故椭圆方程为+y2=1.(2)由条件知 MN和 PQ是椭圆的两条弦，订交于焦点 F(1，0) ，且 PQ⊥MN，设直线 PQ的斜率为 k(k ≠0) ，P(x 1，y1) ，Q(x2，y2) ，则 PQ的方程为 y=k(x-1) ，联立整理得： (1+2k2)x 2-4k 2x+2k2 -2=0 ，x1+x2=，x1x2=，则|PQ|=·，于是 |PQ|=，同理： |MN|==.则 S= |PQ||MN|=，令t=k2+，t≥2，S= |PQ||MN|==2，当 k=±1 时， t=2 ，S=，且S是以t为自变量的增函数，当 k=±1 时，四边形 PMQN的面积取最小值.当直线 PQ的斜率为 0 或不存在时，四边形PMQN的面积为 2.综上：四边形 PMQN的面积的最小值和最大值分别为和 2.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Ω： +=1(a>b>0) 的离心率为，直线 l：y=2 上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为 1. 世纪金榜导学号 92494446(1)求椭圆Ω的方程 .(2)已知椭圆Ω的上极点为A，点B，C是Ω上的不一样于A的两点，且点 B，C对于原点对称，直线 AB，AC分别交直线 l 于点 E，F. 记直线AC与 AB的斜率分别为 k1，k2.①求证： k1·k2为定值；②求△ CEF的面积的最小值 .【解题导引】 (1) 由题知 b=1，由=，b=1联立求解即可得出.(2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出 .方法二：设B(x 0，y0)(y 0>0) ，则+ =1，因为点 B，C 对于原点对称，则 C(-x 0，-y 0) ，利用斜率计算公式即可得出.②直线 AC的方程为 y=k1x+1，直线 AB的方程为 y=k2x+1，不如设 k1>0，则 k2<0，令y=2，得E，F，可得△ CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c).【分析】 (1) 由题意知 b=1，由=，因此 a2 =2，b2=1.故椭圆的方程为+y2 =1.(2)①方法一：直线 AC的方程为 y=k1x+1，由21得(1+2 )x+4k x=0，解得 x C=-，同理x B=-，因为 B，O，C 三点共线，则由x C+x B=--=0，整理得 (k 1+k2)(2k 1k2+1)=0 ，因此 k1k2=- .方法二：设B(x 0，y0)(y 0>0) ，则+ =1，因为点 B，C 对于原点对称，则 C(-x 0，-y 0) ，因此k1k2=·===- .②直线 AC的方程为 y=k1x+1，直线 AB的方程为 y=k2x+1，不如设 k1>0，则 k2<0，令 y=2，得 E，F，而 y C=k1x C+1=-+1=，因此，△ CEF的面积 S△CEF= |EF|(2-y c)==··.由 k1k2=-，得k2=-，则 S△CEF=·=3k1+≥，当且仅当k1=时获得等号，因此△ CEF的面积的最小值为.【加固训练】 (2017 ·广元一模 ) 已知点 P 是椭圆 C 上任一点，点 P 到直线 l1：x=-2 的距离为 d1，到点 F(-1 ，0) 的距离为 d2，且= . 直线 l 与椭圆 C 交于不一样两点A，B(A，B 都在 x 轴上方 ) ，且∠ OFA+∠OFB=180°.(1)求椭圆 C的方程 .(2) 当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程 .(3)对于动直线 l，能否存在一个定点，不论∠ OFA怎样变化，直线 l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明原因 .【解题导引】 (1) 设 P(x，y) ，得==，由此能求出椭圆 C的方程 .(2) 由已知条件得k BF=-1 ，BF：y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，由此能求出直线l 方程 .(3)B 对于 x 轴的对称点 B1在直线 AF上. 设直线 AF的方程为 y=k(x+1) ，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0 ，由此能证明直线l 总经过定点 M(-1 ，0).【分析】 (1) 设 P(x ，y) ，则 d1=|x+2| ，d2=，==，化简得+y2=1，因此椭圆 C的方程为+y2 =1.(2) 因为 A(0，1) ，F(-1 ，0) ，因此 k AF= =1，∠ OFA+∠OFB=180°，因此 k BF=-1 ，直线 BF的方程为 y=-(x+1)=-x-1 ，代入+y2=1，得： 3x2+4x=0，因此 x=0 或 x=-，代入y=-x-1得，(舍)或因此B.k AB== ，因此 AB的方程为 y= x+1.(3)因为∠ OFA+∠OFB=180°，因此 B 对于 x 轴的对称点 B1在直线 AF 上.设 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，B1(x 2，-y 2).设直线 AF的方程为 y=k(x+1) ，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0 ，x1+x2=-，x1x2=，k AB=，因此AB的方程为y-y1=(x-x 1) ，=，令 y=0，得： x=x1-y 1y1=k(x 1 +1)，y2=k(x 2+1) ，x=====-1.因此直线 l 总经过定点 M(-1，0).封闭 Word 文档返回原板块。
2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练： 10 Word版含解析
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高考大题专攻练10.解析几何(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，其右焦点为F(1，0).(1)求椭圆E的方程.(2)若P，Q，M，N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且·=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【解析】(1)由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b2=a2-c2=1，故椭圆方程为+y2=1.(2)由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(1，0)，且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则PQ的方程为y=k(x-1)，联立整理得：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，x1+x2=，x1x2=，则|PQ|=·，于是|PQ|=，同理：|MN|==.则S=|PQ||MN|=，令t=k2+，t≥2，S=|PQ||MN|==2，当k=±1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值.当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2.综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：+=1(a>b>0)的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1. 世纪金榜导学号92494446(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F.记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2.①求证：k1·k2为定值；②求△CEF的面积的最小值.【解题导引】(1)由题知b=1，由=，b=1联立求解即可得出.(2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出.方法二：设B(x0，y0)(y0>0)，则+=1，因为点B，C关于原点对称，则C(-x0，-y0)，利用斜率计算公式即可得出.②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0，令y=2，得E，F，可得△CEF的面积S△|EF|(2-y c).CEF=【解析】(1)由题意知b=1，由=，所以a2=2，b2=1.故椭圆的方程为+y2=1.(2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，由得(1+2)x2+4k1x=0，解得x C=-，同理x B=-，因为B，O，C三点共线，则由x C+x B=--=0，整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0，所以k1k2=-.方法二：设B(x0，y0)(y0>0)，则+=1，因为点B，C关于原点对称，则C(-x0，-y0)，所以k1k2=·===-.②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0，令y=2，得E，F，而y C=k1x C+1=-+1=，所以，△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c)==··.由k1k2=-，得k2=-，则S△CEF=·=3k1+≥，当且仅当k1=时取得等号，所以△CEF的面积的最小值为.【加固训练】(2017·广元一模)已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F(-1，0)的距离为d2，且=.直线l与椭圆C交于不同两点A，B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA+∠OFB=180°.(1)求椭圆C的方程.(2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程.(3)对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解题导引】(1)设P(x，y)，得==，由此能求出椭圆C的方程.(2)由已知条件得k BF=-1，BF：y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，由此能求出直线l方程.(3)B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设直线AF的方程为y=k(x+1)，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0，由此能证明直线l总经过定点M(-1，0). 【解析】(1)设P(x，y)，则d1=|x+2|，d2=，==，化简得+y2=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)因为A(0，1)，F(-1，0)，所以k AF==1，∠OFA+∠OFB=180°，所以k BF=-1，直线BF的方程为y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，所以x=0或x=-，代入y=-x-1得，(舍)或所以B.k AB==，所以AB的方程为y=x+1.(3)由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF 上.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，B1(x2，-y2).设直线AF的方程为y=k(x+1)，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0，x1+x2=-，x1x2=，k AB=，所以AB的方程为y-y1=(x-x1)，令y=0，得：x=x1-y1=，y1=k(x1+1)，y2=k(x2+1)，x=====-1.所以直线l总经过定点M(-1，0).关闭Word文档返回原板块。
高考数学二轮复习数列多选题知识点及练习题含答案
高考数学二轮复习数列多选题知识点及练习题含答案一、数列多选题1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59T T =，则必有141T =B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项C ．若67T T >，则必有78T T >D ．若67T T >，则必有56T T >【答案】ABC 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】由等比数列{}n a 可知11n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：()1211212111111123n n n n n n n n a a q a q a qa a T a a a q a q--+++-=⋅⋅⋅==⋅=对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()71491426211141a q q T a ∴===，故A 正确；对于B ，若59T T =，可得42611a q =，即13211a q=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得76811871T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，56651T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.2．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ）A ．22800a t =-B ．175n n a a t +=- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【分析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+， 所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.3．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11n n n a a a +=+，1(1)n n b n a =+，若23100100122223100b b b T b =++++，则（ ） A ．n a n = B ．1n n b n =+ C ．100100101T =D ．10099100T =【答案】BC 【分析】 先证明数列1n a 是等差数列得1n a n =，进而得1(1)1n nn b n a n ==++，进一步得()211111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101T =. 【详解】 解:因为11nn n a a a +=+,两边取倒数得: 1111n n a a +=+,即1111n na a ,所以数列1n a 是等差数列,公差为1,首项为111a ,故()1111n n n a =+-⨯=,所以1n a n=, 所以1(1)1n n nb n a n ==++，故()211111n b n n n n n ==-++， 所以31002100122211112310022334100101b b b T b =++++=++++⨯⨯⨯11111111100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故BC 正确，AD 错误； 故选：BC 【点睛】本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列1na 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .4．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列 【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果.【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．6．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n ++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.7．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<，∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、平面向量多选题9．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确； 对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。
2021-2022年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练四数列
2021年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练四数列1．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b2n－1}的前n项和(n∈N*)．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q＞0，解得q＝2.所以b n＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n.(2)设数列{a2n b2n－1}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2n b2n－1＝(3n－1)×4n，故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4T n＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3T n＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝12×1－4n 1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8. 故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.2．已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1－nq ，n ∈N *，p ，q ∈R.(1)若q ＝0，且数列{a n }为等比数列，求p 的值；(2)若p ＝1，且a 4为数列{a n }的最小项，求q 的取值范围． 解：(1)∵q ＝0，a n ＋1－a n ＝p ·3n －1， ∴a 2＝a 1＋p ＝12＋p ，a 3＝a 2＋3p ＝12＋4p ，由数列{a n }为等比数列，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4p ，解得p ＝0或p ＝1.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，∴a n ＝12，符合题意；当p ＝1时，a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12＋(1＋3＋…＋3n －2)＝12＋1－3n －11－3＝12·3n －1， ∴a n ＋1a n＝3.符合题意． ∴p 的值为0或1.(2)法一：若p ＝1，则a n ＋1－a n ＝3n －1－nq ，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12＋(1＋3＋…＋3n －2)－[1＋2＋…＋(n －1)]q ＝12[3n －1－n (n －1)q ]．∵数列{a n }的最小项为a 4，∴对任意的n ∈N *，有12[3n －1－n (n －1)q ]≥a 4＝12(27－12q )恒成立，即3n －1－27≥(n 2－n －12)q 对任意的n ∈N *恒成立．当n ＝1时，有－26≥－12q ，∴q ≥136；当n ＝2时，有－24≥－10q ，∴q ≥125；当n ＝3时，有－18≥－6q ，∴q ≥3； 当n ＝4时，有0≥0，∴q ∈R ；当n ≥5时，n 2－n －12>0，所以有q ≤3n －1－27n 2－n －12恒成立，令c n ＝3n －1－27n 2－n －12(n ≥5，n ∈N *)，则c n ＋1－c n ＝2n 2－2n －123n －1＋54nn 2－16n 2－9>0，即数列{c n }为递增数列，∴q ≤c 5＝274.综上所述，q 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，274.法二：∵p ＝1，∴a n ＋1－a n ＝3n －1－nq ，又a 4为数列{a n }的最小项，∴⎩⎨⎧a 4－a 3≤0，a 5－a 4≥0，即⎩⎨⎧9－3q ≤0，27－4q ≥0，∴3≤q ≤274.此时a 2－a 1＝1－q <0，a 3－a 2＝3－2q <0， ∴a 1>a 2>a 3≥a 4.当n ≥4时，令b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1－b n ＝2·3n －1－q ≥2·34－1－274>0，∴b n ＋1>b n ，∴0≤b 4<b 5<b 6<…， 即a 4≤a 5<a 6<a 7<….综上所述，当3≤q ≤274时，a 4为数列{a n }的最小项，即q 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，274.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n3＋r (r ∈R ，n ∈N *)．(1)求r 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .①当n ∈N *时，λ<T 2n －T n 恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n 的整式g (n )，使得∑i ＝1n －1(T n ＋1)＝T n ·g (n )－1对一切n ≥2，n∈N *都成立．解：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋r ，∴r ＝23，∴S n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋23.当n ≥2时，S n －1＝a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋13.两式相减，得a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，∴a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)． ∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝31×42×53×…×n n －2×n ＋1n －1， 即a n a 1＝n n ＋12.∴a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)， 又a 1＝2适合上式． ∴a n ＝n (n ＋1)． (2)①∵a n ＝n (n ＋1)，∴b n ＝1n ＋1，T n ＝12＋13＋…＋1n ＋1. ∴T 2n ＝12＋13＋…＋12n ＋1，∴T 2n －T n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1. 令B n ＝T 2n －T n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1.则B n ＋1＝1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋3. ∴B n ＋1－B n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝3n ＋42n ＋22n ＋3n ＋2>0.∴B n ＋1>B n ，∴B n 单调递增， 故(B n )min ＝B 1＝13，∴λ<13.∴实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.②证明：∵T n ＝12＋13＋…＋1n ＋1，∴当n ≥2时，T n －1＝12＋13＋…＋1n，∴T n －T n －1＝1n ＋1， 即(n ＋1)T n －nT n －1＝T n －1＋1.∴当n ≥2时，∑i ＝1n －1(T n ＋1)＝(3T 2－2T 1)＋(4T 3－3T 2)＋(5T 4－4T 3)＋…＋[(n ＋1)T n －nT n －1]＝(n ＋1)T n －2T 1＝(n ＋1)T n －1.∴存在关于n 的整式g (n )＝n ＋1，使得∑i ＝1n －1(T n ＋1)＝T n ·g (n )－1对一切n ≥2，n∈N *都成立．4．已知数列{a n }满足a 1＝12，对任意的正整数m ，p ，都有a m ＋p ＝a m ·a p .(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－b 424＋1＋…＋(－1)n ＋1b n2n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设c n ＝2n ＋λb n ，则是否存在实数λ，使得数列{c n }是单调递增数列？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵对任意的正整数m ，p ，都有a m ＋p ＝a m ·a p ，∴令m ＝n ，p ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，从而a n ＋1a n ＝a 1＝12， ∴数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列．(2)由(1)可知，a n ＝12n .由a n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－b 424＋1＋…＋(－1)n ＋1b n2n ＋1得，a n －1＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－b 424＋1＋…＋(－1)n ·b n －12n －1＋1(n ≥2)， 故a n －a n －1＝(－1)n ＋1b n2n ＋1(n ≥2)，故b n ＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝b 12＋1，解得b 1＝32，不符合上式．∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋1，n ≥2，n ∈N *.(3)∵c n ＝2n ＋λb n ，∴当n ≥2时，c n ＝2n＋(－1)n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1λ，当n ≥3时，c n －1＝2n －1＋(－1)n －1⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋1λ， 根据题意，当n ≥3时，c n －c n －1＝2n －1＋(－1)nλ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32n >0，即(－1)n λ>－2n －132n ＋2. ①当n 为大于等于4的偶数时，有λ>－2n －132n＋2恒成立，又2n －132n＋2随着n 的增大而增大，此时⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝12835，即λ>－12835， 故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12835，＋∞.②当n 为大于等于3的奇数时，有λ<2n －132n＋2恒成立，此时⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝3219，即λ<3219. 故λ的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，3219；③当n ＝2时，由c 2－c 1＝⎝⎛⎭⎪⎫22＋54λ－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32λ>0，得λ<8.综上可得，实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12835，3219.5．已知各项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝pa n a n ＋1(n ∈N *)，p ∈R.(1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数p 的值； (2)若a 1，a 2，a 3成等差数列， ①求数列{a n }的通项公式；②在a n 与a n ＋1间插入n 个正数，共同组成公比为q n 的等比数列，若不等式(q n )(n ＋1)(n＋a )≤e(e 为自然对数的底数)对任意的n ∈N *恒成立，求实数a 的最大值． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝pa 1a 2，a 2＝1p；当n ＝2时，a 1＋a 2＝pa 2a 3，a 3＝a 1＋a 2pa 2＝1＋1p. 由a 22＝a 1a 3，得1p 2＝1＋1p，即p 2＋p －1＝0，解得p ＝－1±52.(2)①因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3，得p ＝12，故a 2＝2，a 3＝3，所以S n ＝12a n a n ＋1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12a n a n ＋1－12a n －1a n ，因为a n ≠0，所以a n ＋1－a n －1＝2.故数列{a n }的所有奇数项组成以1为首项，2为公差的等差数列，其通项公式a n ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×2＝n ， 同理，数列{a n }的所有偶数项组成以2为首项，2为公差的等差数列，其通项公式是a n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－1×2＝n ， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝n .②由①知，a n ＝n ，在n 与n ＋1间插入n 个正数，组成公比为q n 的等比数列，故有n ＋1＝nq n ＋1n ，即q n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n 1n ＋1， 所以(q n )(n ＋1)(n ＋a )≤e，即⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋a ≤e，两边取对数得(n ＋a )ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ≤1，分离参数得a ≤1ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n －n 恒成立 .令n ＋1n ＝x ，x ∈(1,2]，则a ≤1ln x －1x －1，x ∈(1,2]， 令f (x )＝1ln x －1x －1，x ∈(1,2]，则f ′(x )＝ln x 2－x －12xln x 2x －12，下证ln x ≤x －1x，x ∈(1,2], 令g (x )＝x －1x－2ln x ，x ∈[1，＋∞), 则g ′(x )＝x －12x 2>0，所以g (x )>g (1)＝0，即2ln x <x －1x ，用x 替代x 可得ln x <x －1x，x ∈(1,2]， 所以f ′(x )＝ln x 2－x －12x ln x 2x －12<0，所以f (x )在(1,2]上递减，所以a ≤f (2)＝1ln 2－1. 所以实数a 的最大值为1ln 2－1. 6．设三个各项均为正整数的无穷数列{a n }，{b n }，{c n }．记数列{b n }，{c n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有a n ＝b n ＋c n ，且S n ＞T n ，则称数列{a n }为可拆分数列．(1)若a n ＝4n ，且数列{b n }，{c n }均是公比不为1的等比数列，求证：数列{a n }为可拆分数列；(2)若a n ＝5n ，且数列{b n }，{c n }均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列{b n }，{c n }的通项公式；(3)若数列{a n }，{b n }，{c n }均是公比不为1的等比数列，且a 1≥3，求证：数列{a n }为可拆分数列．解：(1)证明：由a n ＝4n ＝4·4n －1＝3·4n －1＋4n －1，令b n ＝3·4n －1，c n ＝4n －1. 则{b n }是以3为首项，4为公比的等比数列，{c n }是以1为首项，4为公比的等比数列，故S n ＝4n －1，T n ＝4n －13.所以对任意的n ∈N *，都有a n ＝b n ＋c n ，且S n >T n .所以数列{a n }为可拆分数列．(2)设数列{b n }，{c n }的公差分别为d 1，d 2.由a n ＝5n ，得b 1＋(n －1)d 1＋c 1＋(n －1)d 2＝(d 1＋d 2)n ＋b 1＋c 1－d 1－d 2＝5n 对任意的n ∈N *都成立．所以⎩⎨⎧ d 1＋d 2＝5，b 1＋c 1－d 1－d 2＝0，即⎩⎨⎧ d 1＋d 2＝5，b 1＋c 1＝5， ① 由S n >T n ，得nb 1＋n n －12d 1>nc 1＋n n －12d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫d 12－d 22n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－c 1－d 12＋d 22n >0. 由n ≥1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫d 12－d 22n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－c 1－d 12＋d 22>0对任意的n ∈N *成立． 则d 12－d 22≥0且⎝ ⎛⎭⎪⎫d 12－d 22＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－c 1－d 12＋d 22>0即d 1≥d 2且b 1>c 1. ② 由数列{b n }，{c n }各项均为正整数，则b 1，c 1，d 1，d 2均为正整数，当d 1＝d 2时，由d 1＋d 2＝5，得d 1＝d 2＝52∉N *，不符合题意，所以d 1>d 2. ③ 联立①②③，可得⎩⎨⎧ d 1＝4，d 2＝1，b 1＝4，c 1＝1或⎩⎨⎧ d 1＝4，d 2＝1，b 1＝3，c 1＝2 或⎩⎨⎧ d 1＝3，d 2＝2，b 1＝4，c 1＝1或⎩⎨⎧ d 1＝3，d 2＝2，b 1＝3，c 1＝2. 所以⎩⎨⎧ b n ＝4n ，c n ＝n 或⎩⎨⎧ b n ＝4n －1，c n ＝n ＋1或⎩⎨⎧ b n ＝3n ＋1，c n ＝2n －1或⎩⎨⎧ b n ＝3n ，c n ＝2n .(3)证明：设a n ＝a 1q n －1，a 1∈N *，q >0，q ≠1，则q ≥2. 当q 为无理数时，a 2＝a 1q 为无理数，与a n ∈N *矛盾． 故q 为有理数，设q ＝b a(a ，b 为正整数，且a ，b 互质)． 此时a n ＝a 1·b n －1an －1. 则对任意的n ∈N *，a n －1均为a 1的约数，则a n －1＝1，即a ＝1， 故q ＝b a＝b ∈N *，所以q ∈N *，q ≥2. 所以a n ＝a 1q n －1＝(a 1－1)q n －1＋q n －1，令b n ＝(a 1－1)·q n －1，c n ＝q n －1.则{b n }，{c n }各项均为正整数．因为a 1≥3，所以a 1－1≥2>1，则S n >T n ，所以数列{a n }为可拆分数列．。
高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练：4版含解析
高三数学（理人教版）二轮复习高考大题专攻练：4版含解析4.数列(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点(an+1，Sn)在直线y=x-1上，n∈N*. 世纪金榜导学号92494440(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？并求数列{an}的通项公式.(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)，在(1)的结论下，令bn=f(log3an)+1，cn=an+，求{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)由题意得Sn=an+1-1，所以Sn-1=an-1，两式相减得an=an+1-an，即an+1=3an，所以当n≥2时，数列{an}是等比数列，要使n≥1时，数列{an}是等比数列，则只需要=3，因为a1=a2-1，所以a2=2a1+2，所以=3，解得t=2，所以实数t=2时，数列{an}是等比数列，an=2·3n-1.(2)因为bn=f(log3an)+1=[log3(2×3n-1)]+1，因为3n-1<2×3n-1<3n，所以n-1<log3(2×3n-1)<n，所以bn=n-1+1=n，所以cn=an+=2×3n-1+=2×3n-1+，因为{an}的前n项和为=3n-1，的前n项和为(1-+-+…+-)==-，所以Tn=3n-1+-=3n--.2.已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=nan，数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan-1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，。
高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练：11版含解析
高三数学（理人教版）二轮复习高考大题专攻练：11版含解析11.函数与导数(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知函数f(x)=x·ex-1-a(x+lnx)，a∈R.世纪金榜导学号92494447(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线为x轴，求a的值.(2)在(1)的条件下，求f(x)的单调区间.(3)若任意x>0，f(x)≥f(m)恒成立，且f(m)≥0，求证：f(m)≥2(m2-m3).【解析】(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，f′(x)=ex-1+x·ex-1-a，故f(1)=1-a，f′(1)=2-2a，故切线方程是y-(1-a)=(2-2a)(x-1)，即y=(2-2a)x+a-1；由2-2a=0，且a-1=0，解得a=1.(2)由(1)得a=1，f′(x)=(x+1)，令g(x)=ex-1-，x∈(0，+∞)，所以g′(x)=ex-1+>0，故g(x)在(0，+∞)上递增，又g(1)=0，x∈(0，1)时，g(x)<g(1)=0，此时f′(x)<0，f(x)递减，x∈(1，+∞)时，g(x)>g(1)=0，此时f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增.(3)f′(x)=(x+1)，令h(x)=ex-1-，x∈(0，+∞)，h′(x)=ex-1+，①a≤0时，h(x)>0，此时f′(x)>0，f(x)递增，无最小值，故a≤0不符合题意；②a>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，+∞)递增，取实数b，满足0<b<min，则eb-1<=，-<-2，故h(b)=eb-1-<-2<0，又h(a+1)=ea->1-=>0，所以存在唯一的x0∈(b，a+1)，使得h(x0)=0，即a=x0，x∈(0，x0)时，h(x)<h(x0)=0，此时f′(x)<0，f(x)递减，x∈(x0，+∞)时，h(x)>h(x0)=0，此时f′(x)>0，f(x)递增，故x=x0时，f(x)取最小值，由题设，x0=m，故a=m·em-1，lna=lnm+m-1，f(m)=mem-1(1-m-lnm)，由f(m)≥0，得1-m-lnm≥0，令ω(m)=1-m-lnm，显然ω(m)在(0，+∞)递减.因为ω(1)=0，所以1-m-lnm≥0，故0<m≤1，下面证明em-1≥m，令n(m)=em-1-m，则n′(m)=em-1-1，。
2020届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题四数列4.2Word版含解析.doc
A1．已知数列 { a n } 中， a 1＝a 2＝ 1， a n ＋ 2＝a n ＋ 2， n 是奇数，20 和数列 { a n } 的前2a n ， n 是偶数，()A ．1 121B ． 1 122C ．1 123D ． 1 124分析： 由 意可知，数列 { a 2n } 是首 1，公比 2 的等比数列，数列 { a 2n － 1} 是首1，公差1× 1－ 210＋10× 1＋ 10× 9× 2＝1 123.2 的等差数列， 故数列 { a n } 的前 20 和1－ 22C.答案： C2．若数列 { a n } 足 a 1＝ 15，且 3a n ＋1＝ 3a n － 2， 使 a k ·a k ＋ 1＜ 0 的 k( )A ．22B ． 21C ．24D ． 23分析：因 3a n ＋ 1＝ 3a n －2，因此 a n ＋ 1－ a n ＝－ 2，因此数列 { a n } 是首15，公差32的等差数列，因此22 n ＋ 47 ，令 a n ＝－ 2 47 ＞ 0，得 n ＜ 23.5，所 － a n ＝ 15－ ·(n － 1)＝－3 3n ＋ 3333以使 a k ·a k ＋ 1＜ 0 的 k23.答案： D3．(2017 广· 省五校 作体第一次 断考)数列 { a n } 足 a 1＝1，且 a n ＋1＝ a 1＋ a n ＋ n(n∈N *)， 1 ＋ 1＋⋯＋1 等于 ( )a 1 a 2 a 2 0164 0324 028 A.2 017 B ．2 015 2 0152 014C.2 016D ． 2 015分析：由 a 1＝ 1， a n ＋1 ＝a 1 ＋a n ＋n 可得 a n ＋ 1－ a n ＝n ＋ 1，利用累加法可得a n － a 1＝n － 1 n ＋2n 2＋ n1 2 11 1 1 1，因此a n ＝，因此＝ 2＋ n ＝ 2 － ，故 ＋ ＋ ⋯ ＋＝2n n n n ＋ 1 1 a 2 a 2 0162 a a 1 －1 111－ 1 ＝ 21 4 032 ， A.2 1 2 ＋－＋⋯＋2 0161－2 017＝2 017232 017 答案：A4．(2017 湖·北省七市 (州 ) 考 )在各 都 正数的数列{ a n } 中，首 a 1＝ 2，且点 (a n 2，a n 2－ 1)在直 x － 9y ＝ 0 上， 数列 { a n } 的前 n 和 S n 等于 ()nA ．3 －1C.2分析：由点 (a n 2，a n 2－ 1)在直nB ．1－ －33n 2＋ nD ．222x － 9y ＝ 0 上，得 a n － 9a n － 1＝ 0，即 (a n ＋ 3a n －1 )(a n － 3a n － 1)＝ 0，又数列 { a n } 各 均 正数，且 a 1＝ 2，∴ a n ＋ 3a n － 1>0，∴ a n － 3a n －1＝ 0，即a n＝ 3，∴a n － 1n n数列 { a n } 是首 a 1＝ 2，公比a 1 1－ q2× 3－1n q ＝ 3 的等比数列，其前 n 和 S n ＝＝3－ 1＝ 31－ q－1，故 A.答案：A5．已知等比数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 a 2＝ 12，a 3·a 5 ＝ 4， 以下 法正确的选项是 ()A ． { a n } 是 减数列B ． { S n } 是 减数列C ．{ a 2n } 是 减数列D ． { S 2n } 是 减数列分析：因为 { a n } 是等比数列， a 3 a 5＝a 42＝ 4，又 a 2＝ 12， a 4>0，a 4＝ 2，q 2＝ 1，当6q ＝－6， { a n } 和 { S n } 不拥有 性， A 和 B ； a 2n ＝ a 2q2n － 2＝ 12× 1 n － 166减， C 正确；当 q ＝－6， { S 2n } 不拥有 性， D ．6答案： C6．在数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n ＋ 2＋ (－ 1)n a n ＝ 1. S n是数列 { a n } 的前 n 和，S 100 ＝________.分析：当 n ＝2k ， a 2k ＋ 2＋ a 2k ＝ 1；当 n ＝ 2k － 1 ， a 2k ＋ 1＝ a 2k － 1＋ 1，因此 a 2k － 1＝ 1＋ (k － 1)× 1＝ k.因此 S 100＝ (a 1＋ a 3＋ ⋯ ＋ a 99) ＋ (a 2＋ a 4＋ a 6＋ a 8＋ ⋯ ＋ a 100 )＝ 1＋ 50×50＋ 25 2＝ 1 275＋ 25＝ 1 300.答案：1 3007． (2016 ·国卷乙全 ) 等比数列 { a n } 足 a 1＋ a 3＝ 10，a 2＋a 4＝ 5， a 1 a 2⋯a n 的最大________．分析：等比数列 { a n } 的公比1 q ， 由 a 1＋ a 3＝ 10，a 2＋ a 4＝q(a 1＋ a 3 )＝ 5，知 q ＝ .2又 a 1＋ a 1q 2＝ 10，∴ a 1＝8.故 a 1a 2⋯ a n ＝ a 1n q 1＋ 2＋ ⋯＋(n －1)＝ 23n ·1n － 1 n2 2＝ 23n －n 2＋ n ＝ 2－n 2＋7n.222 22 t ＝－ n＋7n＝－ 1(n 2－ 7n)，2 22合 n∈N*可知 n＝ 3 或 4 ， t 有最大 6.t6又 y＝ 2 增函数，进而a1a2⋯ a n的最大 2 ＝ 64.8．某数列的前n 和 S n，若S n常数，称数列“和数列”．若一个首S2n1，公差 d(d≠ 0)的等差数列 { a n} “和数列”，等差数列的公差d＝ ________.n11S分析：由S2n＝k( k 常数 )，且 a1＝ 1，得 n＋2n(n－ 1)d＝ k 2n＋2×2n2n－ 1 d ，即 2＋( n－ 1)d＝ 4k＋ 2k(2n－ 1)d，整理得， (4k－ 1)dn＋ (2k－ 1)(2－ d)＝ 0.∵ 随意正整数 n，上d 4k－ 1 ＝0，d＝ 2，1∴数列 { a n} 的公差 2.式恒建立，∴得2k－ 1 2－d ＝0，k＝4，答案： 2nn＋1＋ a(n∈N*n，且 6S n＝3)．9．已知等比数列 { a } 的前 n 和S(1)求 a 的及数列 { a n} 的通公式；1(2)若 b n＝ (1－ an)log 3(a n2·a n＋1)，求数列b n的前 n 和 T n.n＋ 1*分析：(1) ∵6S n＝ 3＋a(n∈ N)，当 n≥2 ， 6a n＝ 6(S n－ S n－1)＝ 2× 3n，即 a n＝ 3n－1，∵ { a n} 是等比数列，∴ a1＝ 1， 9＋ a＝ 6，得 a＝－ 3，∴数列 { a n} 的通公式a n＝ 3n－1(n∈N* )．(2)由 (1) 得 b n＝ (1－ an)log 3( a n2·a n＋1)＝ (3n－2)(3 n＋1) ，∴T ＝1＋1＋⋯＋1n b1b2b n＝1＋1＋⋯＋1 1×4 4×73n－ 2 3n＋ 1＝11－1＋1－1＋⋯＋1－1 34473n－ 23n＋ 1＝n.3n＋ 1*3x2x10．数列{ a n } 的前 n 和S n，且点 (n， S n)(n∈N )在函数 y＝2－2的象上．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2) b n＝a n＋ 2n＋1 ，求数列{ b n }的前n和T n. 32分析：(1) 因 点 (n ， S n )(n ∈ N * )在函数 y ＝3x－ x的 象上，22因此 3n 2 －n ＝ 2S n ，①因此当 n ≥ 2 ， 3(n － 1)2－ (n － 1)＝ 2S n － 1，② 由①－②，得6n － 4＝ 2a n ，因此 a n ＝ 3n －2.因 n ＝ 1 ， 3×12－1＝ 2a 1，因此 a 1＝ 1，切合上式，因此数列{ a n } 的通 公式a n＝3n － 2.a n ＋ 2 3n n12 3 n(2)因 b n ＝ 3 n ＋ 1 ＝ 3 n ＋ 1＝ 3n ， T n ＝3 ＋ 32＋33＋ ⋯＋ 3n ，③2 3 n 3T n ＝ 1＋3＋ 32＋ ⋯ ＋3n －1，④1 n1 n1 1 1 n 1×1－3n31－3n 由④－③，得2T n ＝ 1＋ 3＋32 ＋⋯ ＋ 3n －1－3n ＝ 1－ 3n ＝2－ 3n ，1－ 33 － 1 n3 2n ＋ 3 .因此 T n ＝n －1－ n ＝ － n4 4·32·3 4 4·3B1． (2017 全·国卷Ⅰ )几位大学生响 国家的 呼吁，开 了一款 用 件． 激 大家学 数学的 趣，他 推出了“解数学 取 件激活 ”的活 ． 款 件的激活下边数学 的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ，⋯，此中第一 是20，接下来0,10,1, 2N ：N>100的两 是 2 2 ，再接下来的三 是 2 2 2 ，依此 推．求 足以下条件的最小整数且 数列的前N 和 2 的整数 ．那么 款 件的激活 是()A ．440B ． 330C ．220D ． 110分析：首 第1 ，接下来的两 第2 ，再接下来的三 第3 ，依此推， 第 n 的 数 n ，前 n 的 数和n 1＋ n.2由 意知， N>100，令n 1＋ n>100 ? n ≥ 14，且 n ∈ N *，即 N 出 在第 13 以后．2nn第 n 的各 和 1－ 2＝ 2n － 1，前 n 全部 的和2 1－2 － n ＝ 2n ＋1－ 2－n.1－21－2N 是第 n ＋ 1 的第 k ，若要使前 N 和 2 的整数 ， N －n1＋ n的和即2第 n ＋ 1 的前 k 的和 2k －1 与－ 2－ n 互 相反数，即 2k － 1＝2＋ n(k ∈ N * ， n ≥ 14)， k＝log 2(n ＋ 3)? n 最小29，此 k ＝5， N ＝29×1＋ 29＋ 5＝ 440.故 A.2答案： A2． (2017 昆·明市教课 量 )在平面直角坐 系上，有一点列P 1， P 2，⋯， P n ，⋯ (n*)， 点 P n 的坐2 *)， 点 P n ，P n ＋ 1 的直 与两坐 所∈N(n ，a n )，此中 a n ＝ (n ∈Nn成的三角形的面b n ， S n 表示数列 { b n } 的前 n 和， S 5＝ ________.22 － 2n，即分析：由 意得， 点 P n ， P n ＋ 1 的直y － n＝n ＋12x ＋n(n ＋ 1)y － 2(2nx － n n ＋ 1 － n＋1) ＝ 0.令 y ＝ 0，得 x ＝ 2n ＋ 1，令 x ＝ 0，得 y ＝22n ＋1 ，因此 b n ＝ 1× (2n ＋1) ×2 2n ＋ 1＝n n ＋1 2 n n ＋ 14＋ 11 －11 1 1 1 1 125＝ 4＋ n ＋ 1，因此 S 5＝ 4×5＋ 1－ ＋ － ＋ ⋯ ＋ － ＝ .n n ＋ 1 n 2 2 3 5 6 6答案：12563．已知△ ABC 的角 A 、 B 、 C 的 分a 、b 、c ，其面S ＝ 4 3， B ＝ 60°，且 a 2＋ c 2＝2b 2；等差数列 { a n } 中， a 1＝ a ，公差 d ＝b.数列 { b n } 的前 n 和 T n ，且 T n －2b n ＋ 3＝0， n ∈ N * .(1)求数列 { a n } 、 { b n } 的通 公式；a n ， n 奇数(2) c n ＝，求数列 { c n } 的前 2n ＋ 1 和 P 2n ＋ 1.b n ， n 偶数分析：(1) ∵S ＝ 1acsin B ＝4 3，∴ ac ＝ 16，2又 a 2＋ c 2＝ 2b 2，b 2 ＝a 2＋ c 2－ 2accos B ，∴ b 2＝ ac ＝16，∴ b ＝4，进而 (a ＋ c)2＝ a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 64， a ＋ c ＝ 8， ∴ a ＝ c ＝ 4.a 1＝ 4，故可得∴ a n ＝ 4n.d ＝ 4，∵ T n － 2b n ＋ 3＝ 0，∴当 n ＝ 1 ， b 1＝ 3，当 n ≥2 ， T n － 1－ 2b n －1 ＋3＝ 0，两式相减，得 b n ＝ 2b n － 1(n ≥ 2)，n － 1∴数列 { b n } 等比数列，∴b n ＝ 3·2.4n ， n 奇数(2)依 意，c n ＝3·2n － 1， n 偶数 .P 2n ＋ 1＝ (a 1＋ a 3＋ ⋯＋ a 2n ＋ 1)＋ (b 2＋ b 4＋ ⋯ ＋b 2 n )＝[4＋ 4 2n ＋1 ] n ＋ 1 ＋6 1－4n21－4＝ 22n －1＋ 4n 2＋ 8n ＋ 2.4．已知数列 { a n } 足 a n ＋1－ a n ＝ 2[f(n ＋1) －f(n)](n ∈ N * )．(1)若 a 1＝ 1， f(x) ＝3x ＋ 5，求数列 { a n } 的通 公式；(2)若＝ 6， f(x) ＝2x 且 λa n ＋ n ＋ 2λ 全部a 1 n >2n ∈ N * 恒建立，求 数λ的取 范 ．分析：(1) 因 a n ＋ 1－a n ＝ 2[f(n ＋ 1)－ f(n)](n ∈N * )， f(n)＝ 3n ＋ 5，因此 a n ＋ 1－ a n ＝ 2(3n ＋ 8－ 3n － 5)＝ 6， 因此 { a n } 是等差数列，首a 1＝1，公差6，即 a n ＝ 6n － 5.(2)因 f(x)＝ 2x ，因此 f(n ＋ 1)－ f(n)＝ 2n ＋1－ 2n ＝2n ， 因此 a n ＋ 1－ a n ＝ 2·2n ＝ 2n ＋1.当 n ≥2 ， a n ＝ (a n － a n －1)＋ ( a n － 1－ a n －2 )＋ ⋯＋ (a 2－ a 1)＋ a 1＝ 2n ＋ 2n － 1＋ ⋯ ＋ 22＋ 6＝ 2n＋1＋ 2，当 n ＝1 ， a ＝ 6，切合上式，因此a ＝2 n ＋1＋ 2.1n由 λa n2n ＋ n 1 nn ＋ 1n 1－n或 n ＝＋ n ＋ 2λ，得 λ>n ＋ 1 ＝ ＋ n ＋ 1，而n ＋2－ n ＋ 1＝n ＋ 2 ≤ 0，因此当 n ＝ 1n >222 22 22n＋ n 3，故 λ的取 范3，＋∞ .2n ＋1 获得最大2 ， 244。
第2讲 大题专攻——数 列 2023高考数学二轮复习课件
|方法总结| 数列判断与证明的注意点
(1)判定一个数列是等差(比)数列，可以利用通项公式或前n项和公式，但不 能将其作为证明方法；
(2)
an＋1 an
＝q和a
2 n
＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，
判定时还要看各项是否为零．
目录
已知数列{an}满足a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4. (1)证明：数列{an＋n－8}是等比数列； 证明：因为4an＋1＝3an－n＋4， 所以an＋1＝34an－n4＋1， 所以an＋a1n＋＋nn＋－18－8＝43an－n4a＋n＋1n＋－n8＋1－8＝34aann＋ ＋n34n－－86＝34（aann＋＋nn－－88）＝34. 又因为 a1＋1－8＝－6，所以数列{an＋n－8}是以－6 为首项，34为公比的等比
解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则
2q（2＋d）＝12， 2q＋3＋3d＝10， d>0，
解得dq＝ ＝12， ，
∴an＝n，n∈N*，bn＝2n，n∈N*.
目录
(2)设 cn＝bn＋S1n，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解：由(1)知 Sn＝n（n2＋1）. ∴cn＝bn＋S1n＝2n＋n（n2＋1）＝2n＋2n1－n＋1 1， ∴Tn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋21－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1 ＝2（11－－22n）＋21－n＋1 1 ＝2n＋1－n＋2 1.
目录
(2)求{an}的前20项和．
解 因为 an＋1＝aann＋＋12，，nn为为奇偶数数，，
所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，
高三数学(人教版理)二轮复习高考大题专攻练 4 Word版含解析
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高考大题专攻练
.数列(组)
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.已知在等比数列{}中,且是和的等差中项.
()求数列{}的通项公式.
()若数列{}满足(∈*),求{}的前项和.
【解析】()设等比数列{}的公比为,
因为是和的等差中项,
所以(),
所以,
所以(∈*).
()因为,
所以()()()…()
[…()](…)
.
.已知数列{}的前项和为，对于任意的正整数，直线总是把圆()()平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{}中，，且和的等差中项
是.
()求数列{}，{}的通项公式.
()若，求数列{}的前项和.
【解析】()由于总是把圆()()平均分为两部分，所以直线过圆心，所以，即，所以.
当≥时，()，经检验时也成立，所以.
等比数列{}中，由于，所以，
因为>，>，所以，
因为和的等差中项是，且，所以，
所以，解得，所以.
()由于，所以….
××…()，①
××…()，②
所以(…)()
×()
×()()，
().
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2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练：_12_(有解析)
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高考大题专攻练12.函数与导数(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知函数f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)，其中a∈R. 世纪金榜导学号92494448(1)求f(x)的单调区间.(2)是否存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)f(x)=ln(2ax+a2-1)-ln(x2+1)=ln.设g(x)=，g′(x)=-.①当a=0时，f(x)无意义，所以a≠0.②当a>0时，f(x)的定义域为.令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)与g′(x)的情况如表：x (-∞，x1) x1(x1，x2) x2(x2，+∞)g′(x) - 0 + 0 -g(x) ↘g(x1) ↗g(x2) ↘-(-a)=>0，所以>-a.-=-<0，所以<.故f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.③当a<0时，f(x)的定义域为.令g′(x)=0，得x1=-a，x2=，g(x)与g′(x)的情况如表：x (-∞，x2) x2(x2，x1) x1(x1，+∞) g′(x) + 0 - 0 +g(x) ↗g(x2) ↘g(x1) ↗-(-a)=<0，所以<-a.-=->0，所以>.所以f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.(2)①当a>0时，由(1)可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在[0，+∞)上存在最大值f=lna2.下面研究最小值：由于f(x)的定义域为.(ⅰ)若≥0，即0<a≤1时，结合f(x)的定义域可知f(x)在[0，+∞)上没有最小值，不合题意.(ⅱ)若<0，即a>1时，因为在上单调递增，所以f(x)在上存在最小值f(0)；因为f(x)在上单调递减，所以f(x)在上不存在最小值.所以，要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，只可能是f(0)=ln(g(0)).计算整理g(x)-g(0)=-(a2-1)=.要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，只需x∈[0，+∞)，g(x)-g(0)≥0.因为x2+1>0，则问题转化为x∈[0，+∞)时，(1-a2)x+2a≥0恒成立.设h(x)=(1-a2)x+2a，则只需或解得0≤a≤1，这与a>1相矛盾，所以f(x)在[0，+∞)上没有最小值，不合题意.②当a<0时，由于f(x)的定义域为.(ⅰ)若≤0，即-1≤a<0时，f(x)在[0，+∞)上没有意义，也不存在最大值和最小值.(ⅱ)若>0，即a<-1时，由(1)可知f(x)在上单调递减，f(x)存在最大值，但不存在最小值.综上，不存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值.2.已知函数f(x)=ae x+(2-e)x(a为实数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线(3-e)x-y+10=0平行. 世纪金榜导学号92494449(1)求实数a的值，并判断函数f(x)在区间[0，+∞)内的零点个数.(2)证明：当x>0时，f(x)-1>xln(x+1).【解析】(1)f′(x)=ae x+2-e，由题设，可知曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率k=f′(0)=a+2-e=3-e，解得a=1，所以f(x)=e x+(2-e)x，所以x≥0时，f′(x)=e x+2-e≥e0+2-e>0，所以f(x)在区间[0，+∞)内为增函数，又f(0)=1>0，所以f(x)在区间[0，+∞)内没有零点.(2)当x>0时，f(x)-1>xln(x+1)等价于>ln(x+1)，记g(x)=e x-(x+1)，则g′(x)=e x-1，当x>0时，g′(x)>0，所以当x>0时，g(x)在区间(0，+∞)内单调递增，所以g(x)>g(0)=0，即e x>x+1，两边取自然对数，得x>ln(x+1)(x>0)，所以要证明>ln(x+1)(x>0)，只需证明≥x(x>0)，即证明当x>0时，e x-x2+(2-e)x-1≥0，①设h(x)=e x-x2+(2-e)x-1，则h′(x)=e x-2x+2-e，令φ(x)=e x-2x+2-e，则φ′(x)=e x-2，当x∈(0，ln2)时，φ′(x)<0；当x∈(ln2，+∞)时，φ′(x)>0.所以φ(x)在区间(0，ln2)内单调递减，在区间(ln2，+∞)内单调递增，又φ(0)=3-e>0，φ(1)=0，0<ln2<1，所以φ(ln2)<0，所以存在x0∈(0，1)，使得φ(x0)=0，所以当x∈(0，x0)，或x∈(1，+∞)时，φ(x)>0；当x∈(x0，1)时，φ(x)<0，所以h(x)在区间(0，x0)内单调递增，在区间(x0，1)内单调递减，在区间(1，+∞)内单调递增，又h(0)=h(1)=0，所以h(x)=e x-x2+(2-e)x-1≥0，当且仅当x=1时，取等号，即①式成立.所以f(x)-1>xln(x+1).关闭Word文档返回原板块。
高三数学(人教版理)二轮复习高考大题专攻练 2 Word版含解析
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高考大题专攻练
.三角函数与解三角形(组)
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.在△中分别是角的对边,且.
()求角的大小.
()若,求△的面积.
【解析】()因为,
由正弦定理得,
所以,
因为π,所以,
因为≠,所以,
因为<<π,所以.
()将代入,
即(),
所以,可得,
于是△.
.若向量(ω，ω)，(ω，ω)，其中ω>，记函数()·，且函数()
的图象相邻两条对称轴之间的距离是.
()求()的表达式及()的单调递增区间.
()设△三内角，，的对应边分别为，，，若，，()，求△的面积. 【解析】()因为(ω，ω)，
(ω，ω)，
所以()·ωωω.
由题意可知其周期为π，故ω，
则()，
由π≤≤π，∈，得π≤≤π(∈).
所以()的单调递增区间为，∈.
()由()，得，
因为<<π，所以<<，
所以，解得.。
高考数学二轮专题训练高考大题专项练四数列B组课件
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励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person. 世界上最好的课堂在老人的脚下. Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉. Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要. You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物. Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
选择三:选③a8=20.
(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为
a10 a8
所16以,
20,
aa11
解9d得
7d
16, 20,
d 2, a1 34,
所以an=a1+(n-1)d=34+(n-1)×(-2)
=36-2n,令36-2n=2024,
则n=-994,此方程无正整数解,
所以2 024不是数列{an}中的项.
×4=-60.
(2)令an>0,即4n-24>0,解得:n>6,
所以当n≥7时,an>0,当n≤6时,an≤0, 所以当n=5或n=6时,Sn的最小值为S5=S6=6×(-206)+2 5 Sn无最大值.
高考数学二轮复习数列多选题复习题含答案
高考数学二轮复习数列多选题复习题含答案一、数列多选题1．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB 【分析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案. 【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误.故选：AB . 【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.3．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列 【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．5．下列说法中正确的是（ ）A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-==-=，所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有212n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B选项错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，()2122122n n n d S na -=+，()3133132n n n dS na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22n n S S =-，所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0， 故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】 方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：()122n n n a a a n N*++=+∈；（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；（4）前n 项和法：2n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.2.判断等比数列有如下方法： （1）定义法：1n na q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：nn a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：nn S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.6．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】BCD【分析】由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以121423k k a --=⋅-，故S 奇()21321141232(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===+⨯++⨯--+++-=---，S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=+++=+++--，故2k S S =奇＋S 偶3285k k +=--，故121828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.故选：BCD . 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且112n n n S a a +=⋅-，则（ ）A ．12d =B ．11a =C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列D ．设(1)nn n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =【答案】AC 【分析】利用已知条件可得11212n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下21212n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-，所以11212n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，12d =，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112a =-，故选项B 不正确；由选项A 、B 可知，当112a =-，12d =时，()1111222n na n =-+-⨯=-，{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当()()1111122n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =+时，()221212n n b a n ==+，()212112112n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212n n n n b b a a --+=-+=，所以()()()212342122n n n n T b b b b b b -=++++++=， 当12n n a =-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213122n n n b a n ---⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭， 所以22131122n n b b n n -+=-+-=， 此时()()()22212223212n n n n n nT b b b b b b ---=++++++=， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.8．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r+-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即12p q +==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知，1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b 的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式2a b ab +≥，当且仅当a b =取等号.二、平面向量多选题9．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++= C ．若3||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D ．若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD 【分析】对选项A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C ，首先根据已知得到AD 为BAC ∠的平分线，即AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对选项D ，首先根据,,A P D 三点共线，设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤，再根据已知得到12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228tyt t ，即可判断选项D 正确. 【详解】 如图所示：对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误.对选项B ，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+ 111111222222AB AC BA BC CA CB =------1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确.对选项C ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为3||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BA BBABD BA，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线， 设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC .因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤. 令21111()2228t y t t ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】 本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ）A ．a 为单位向量B ．//b BC C ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥ 【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。
高三数学二轮复习 高考大题专攻练 4 数列(B组) 理 新人教版(2021年整理)
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高考大题专攻练 4.数列(B组)大题集训练，练就慧眼和规范,占领高考制胜点！1.已知在等比数列｛a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项。
(1)求数列｛a n｝的通项公式.（2）若数列{b n｝满足b n=2n-1+a n（n∈N*),求｛b n｝的前n项和S n。
【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为a2是a1和a3-1的等差中项,a1=1，所以2a2=a1+（a3-1）=a3,所以q==2,所以a n=a1q n—1=2n-1（n∈N*）。
（2)因为b n=2n—1+a n,所以S n=(1+1）+（3+2）+(5+22）+…+（2n-1+2n-1)=[1+3+5+…+(2n—1)]+(1+2+22+…+2n-1)=+=n2+2n-1。
2.已知数列{a n｝的前n项和为S n,对于任意的正整数n，直线x+y=2n总是把圆（x-n)2+（y—)2=2n2平均分为两部分,各项均为正数的等比数列｛b n｝中，b6=b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3。
(1)求数列{a n｝，{b n}的通项公式。
(2）若c n=a n b n,求数列{c n｝的前n项和T n。
【解析】（1)由于x+y=2n总是把圆(x—n)2+（y-）2=2n2平均分为两部分，所以直线过圆心，所以n+=2n，即S n=n2，所以a1=S1=1.当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-（n—1）2=2n-1，经检验n=1时也成立，所以a n=2n—1。
2020届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练：5Word版含解析.doc
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高考大题专攻练[根源: 学。
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K]5. 概率与统计 (A 组)大题集训练，练就慧眼和规范，占据高考取胜点！1. 为认识少年小孩的肥胖能否与常喝碳酸饮料相关，现对30 名五年级学生进行了问卷检查获得以以下联表( 均匀每日喝 500mL以上为常喝，体重超出 50kg 为肥胖 ) ：常喝不常喝总计肥胖2不肥胖18总计30已知在所有 30 人中随机抽取 1 人，抽到肥胖的学生的概率为，(1)请将上边的列联表增补完好 .(2)能否在出错误概率不超出 0.005 的前提下以为肥胖与常喝碳酸饮料相关？请说明你的原因 .(3)若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有 2 名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2 人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参照数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.025 [来0.0100.0050.001源: 学§科§网 Z§X§X§K][ 根源 : 学&科&网 ]k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参照公式：K2=，此中n=a+b+c+d)【解题导引】填表即可 .(1) 设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，求出x 的值，(2)计算 K2，比较数表得出结论 .(3)用列举法计算基本领件数，求出对应的概率值 .【分析】 (1) 设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，则 = ，解得 x=6；填表以下：常喝不常喝总计肥胖628不肥胖41822总计102030(2)由已知数据可求得： K2=≈8.523>7.879 ，所以在出错误概率不超出0.005 的前提下以为肥胖与常喝碳酸饮料相关 .(3) 设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A，B，C，D，女生为 e，f ，则任取两人有[ 根源: ]AB，AC，AD， Ae，Af ，BC，BD，Be，Bf ， CD，Ce，Cf，De， Df，ef 共 15种.此中一男一女有Ae，Af ，Be，Bf ，Ce，Cf，De，Df 共 8 种，故抽出一男一女的概率是P= .2.为把中国武汉大学办成开放式大学，今年樱花节武汉大学在其下属的艺术学院和文学院分别招募 8 名和 12 名志愿者，将这 20 名志愿者的身高编成以下茎叶图 ( 单位：厘米 ). 若身高在 175cm及其以上定义为“高个子”，不然定义为“非高个子”且只有文学院的“高个子”才能担当兼职导游 . 世纪金榜导学号 92494441(1) 依据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.(2)假如用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么起码有一人是“高个子”的概率是多少.(3)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者 . 用ξ表示所选志愿者中能担当“兼职导游”的人数，试写出ξ的散布列，并求ξ的数学希望 . 【解题导引】 (1) 利用茎叶图求解文学院志愿者身高的中位数即可.(2)由茎叶图，依据分层抽样求出抽取的 5 人中“高个子”人数，“非高个子”人数，而后求解概率 .(3)文学院的高个子只有 3 人，则ξ的可能取值为 0，1，2，3；求出概率获得散布列，而后求解希望即可 .【分析】 (1) 依据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高的中位数为：=168.5.(2)由茎叶图可知，“高个子”有 8 人，“非高个子”有 12 人，所以按照分层抽样抽取的 5 人中“高个子”为5×=2 人，“非高个子”为5×=3 人；则起码有 1 人为高个子的概率P=1- =. [根源:学#科#网Z#X#X#K](3)由题可知：文学院的高个子只有 3 人，则ξ的可能取值为 0，1，2，3；故 P(ξ=0)= =，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)= =，即ξ的散布列为：ξ0123PE(ξ)=0 ×+1×+2×+3×= .封闭 Word 文档返回原板块。
高三数学二轮复习 高考大题分层练 2 三角、数列、概率
高考大题分层练2.三角、数列、概率统计、立体几何(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知函数f(x)=cos2错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
,g(x)=错误!未找到引用源。
sin错误!未找到引用源。
.(1)要得到y=f(x)的图象,只需把y=g(x)的图象经过怎样的变换?(2)设h(x)=f(x)-g(x),求:①函数h(x)的最大值及对应的x的值;②函数h(x)的单调递增区间.【解析】f(x)=错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
cos错误!未找到引用源。
.(1)因为f(x)=错误!未找到引用源。
cos错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
sin错误!未找到引用源。
,所以将y=g(x)的图象向左平移错误!未找到引用源。
个单位得到y=f(x)的图象.(2)h(x)=f(x)-g(x)=错误!未找到引用源。
cos错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
sin错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
cos错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
cos错误!未找到引用源。
.①h(x)max=错误!未找到引用源。
.当2x+错误!未找到引用源。
=2kπ(k∈Z),即x=kπ-错误!未找到引用源。
(k∈Z)时取最大值.②由2kπ-π≤2x+错误!未找到引用源。
≤2kπ,k∈Z,解得kπ-错误!未找到引用源。
≤x ≤kπ-错误!未找到引用源。
,k∈Z,所以递增区间为错误!未找到引用源。
(k∈Z).2.已知数列{b n}为单调递增的等差数列,b3+b8=26,b5b6=168,设数列{a n}满足2a1+22a2+23a3+…+2n a n=错误!未找到引用源。
.(1)求数列{b n}的通项.(2)求数列{a n}的前n项和S n.【解析】(1)设等差数列{b n}的公差为d,因为数列{b n}为单调递增的等差数列,所以d>0.由错误!未找到引用源。
高考数学二轮专题四数列复习题有答案
适用精选文件资料分享2014 年高考数学二四数列复（有答案）升等差数列、等比数列 (:60 分分:100分)一、 ( 本大共 6 小 , 每小 6 分, 共 36 分) 1. 已知数列 {an}足 a1=1, 且,a2 014=() A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 0152. 已知各均正数的等比数列{an} 中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,a4a5a6=( 3.(2013? 山青模 ,6) 等比数列{an} 的前 n 和 Sn, 且 4a1,2a2,a3 成等差数列 . 若 a1=1,S4=() A.7 B.8 C.15 D.16 4.已知等差数列{an}的前n和Sn, 若=a1+a200,且 A,B,C 三点共 ( 直不原点O),S200=() A.100 B.101 C.200 D.201 5.在等差数列{an}中,an>0,且 a1+a2+⋯+a10=30,a5 ?a6的最大等于(6. {an},{bn}分等差数列与等比数列, 且 a1=b1=4,a4=b4=1,以下正确的选项是 ( ) A.a2>b2 B.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6 二、填空( 本大共 3 小 , 每小 6 分, 共 18 分) 7. 定“等数列”:在一个数列中 , 假如每一与它的后一的都同一个常数 , 那么个数列叫做等数列 , 个常数叫做数列的公 , 已知数列 {an}是等数列 , 且 a1=3, 公 15, 那么 a21=. 8. 在数列 {an}中, 假如任意 n∈N*都有 =k(k 常数 ), 称数列 {an} 等差比数列,k 称公差比 . 出以下命 : ①等差比数列的公差比必定不零; ②等差数列必定是等差比数列 ; ③若 an=-3n+2, 数列 {an} 是等差比数列 ; ④若等比数列是等差比数列 , 其公比等于公差比 . 此中正确命的序号. 9. 已知 a,b,c 是减的等差数列 , 若将此中两个数的地点互, 获得一个等比数列 , =.三、解答 ( 本大共 3 小 , 共 46 分. 解答写出必需的文字明、明程或演算步 ) 10.( 本小分 15 分) 已知数列 {an} 公差不零的等差数列 ,a1=1, 各均正数的等比数列 {bn} 的第 1 、第 3 、第 5 分是 a1,a3,a21. (1) 求数列 {an} 与{bn} 的通公式 ; (2) 求数列 {anbn} 的前 n 和 .11.( 本小分 15 分) 数列 {an} 是公差不 0 的等差数列 , 其前 n 和 Sn,且S9=135,a3,a4,a12 成等比数列 . (1) 求{an} 的通公式 .(2) 能否存在正整数 m,使仍数列 {an} 中的一 ?若存在 , 求出足要求的全部正整数m;若不存在 , 明原由 .12.( 本小分 16分) 等差数列 {an} 的前 n 和 Sn,a1=1+,S3=9+3.(1) 求数列 {an} 的通 an 与前 n 和 Sn; (2)bn=(n∈N*), 求 :数列 {bn} 中任意不一样样的三都不能够能成等比数列解析:由, 可得 an=n, 故解析:(a1a2a3)?(a7a8a9)==50,且an>0, ∴a4a5a6==5. 3.C 解析: 数列{an} 的公比q, 由意得4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q2,即 q2-4q+4=0, 得 q=2. ∴S4==15.解析:∵=a1+a200,且A,B,C三点共,∴a1+a200=1,故依据等差数列的前n和公式得解析: ∵a1+a2+⋯+a10=30,得 a5+a6==6,又 an>0, ∴a5?a6≤解析 : 等差数列 {an} 的公差 d, 等比数列 {bn} 的公比 q, 由a1=b1=4,a4=b4=1, 得d=- 1,q=, ∴a2=3,b2=2;a3=2,b3=;a5=0,b5=;a6= -1,b6=. 故 A. 7.3 解析 : 由意知 an?an+1=15,即 a2=5,a 3=3,a4=5, ⋯察可得 : 数列的奇数都 3, 偶数都 5. 故 a21=3. 8. ①③④解析 : 若 k=0,{an} 常数列 , 分母没心 , ①正确 ; 公差零的等差数列不是等差比数列, ② ;=3, 足定 , ③正确 ; an=a1qn-1(q ≠0), =q, ④正确 . 9.20 解析 : 依意得①也许②也许③ 由①得 a=b=c, 与 a,b,c 是减的等差数列矛盾 ; 由②消去 c 整理得 (a-b)(a+2b )=0.又a>b,所以有 a=-2b,c=4b,故=20;由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0.又b>c, 所以有 c=-2b,a=4b,故=20. 10.解:(1)数列{an}的公差d(d ≠0), 数列 {bn} 的公比 q(q>0),由意得=a1a21,∴(1+2d)2=1 ×(1+20d),∴4d2- 16d=0.∵d≠0,∴d=4.∴an=4n-3.于是 b1`=1,b3=9,b5=81,{bn}的各均正数,∴q=3.∴bn=3n-1. (2)anbn=(4n-3)3n-1,∴Sn=30+5×31+9×32+⋯+(4n - 7) ×3n-2+(4n- 3) ×3n- 1,3Sn=31+5×32+9×33+⋯+(4n - 7) ×3n-1+(4n- 3) ×3n. 两式两分相减得-2Sn=1+4×3+4×32+4×33+⋯+4×3n -1-(4n- 3) ×3n=1+4(3+32+33+⋯+3n-1)-(4n- 3) ×3n =1+ -(4n- 3) ×3n =(5- 4n)×3n- 5, ∴Sn=. 11. 解:(1) {an} 的公差 d≠0, S9=9a1+d=135.∴a1+4d=15.①又∵ a3,a4, a12 成等比数列 ,∴=a3?a12, 即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+11d),化简, 得13d+7a1=0.②由①② , 得 d=7,a1=- 13, ∴an=a1+(n-1)d=7n-20. (2)因为am=am+1d,am+2=am+1+d,-∴=am+1+, 设 ak=am+1+,则7k-20=7(m+1)-20+,即 k=m+1+, 又 k,m 均为正整数 ,故7必能被7m-13整除 , ∴m=2,k=10, ∴存在独一的正整数m=2. 12. 解:(1) 由已知得∴d=2. 故 an=2n-1+,Sn=n(n+). (2) 由(1)得 bn==n+. 假设数列{bn} 中存在三项 bp,bq,br(p,q,r互不相等 ) 成等比数列, 则=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),∴(q2 -pr)+(2q-p- r)=0.∵p,q,r∈N*, ∴∴=pr,(p - r)2=0. ∴p=r, 这与 p≠r矛盾 . ∴数列 {bn} 中任意不一样样的三项都不能够能成等比数列 .。
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高考大题专攻练 4.数列(B组)
大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!
1.已知在等比数列{a n}中,a1=1,且a2是a1和a3-1的等差中项.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)若数列{b n}满足b n=2n-1+a n(n∈N*),求{b n}的前n项和S n.
【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,
因为a2是a1和a3-1的等差中项,a1=1,
所以2a2=a1+(a3-1)=a3,
所以q==2,
所以a n=a1q n-1=2n-1(n∈N*).
(2)因为b n=2n-1+a n,
所以S n=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+2n-1)
=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)
=+
=n2+2n-1.
2.已知数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数n，直线x+y=2n总是把圆(x-n)2+(y-)2=2n2平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n}中，b6=b3b4，且b3和b5的等差中项是2a
3.
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式.
(2)若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n.
【解析】(1)由于x+y=2n总是把圆(x-n)2+(y-)2=2n2平均分为两部分，所以直线过圆心，
所以n+=2n，即S n=n2，所以a1=S1=1.
当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1，经检验n=1时也成立，所以a n=2n-1.
等比数列{b n}中，由于b6=b3b4，所以b1q5=q5，
因为b1>0，q>0，所以b1=1，
因为b3和b5的等差中项是2a3，且2a3=10，所以b3+b5=20，
所以q2+q4=20，解得q=2，所以b n=2n-1. (2)由于c n=a n b n，所以T n=a1b1+a2b2+…+a n b n. T n=1+3×2+5×22+…+(2n-1)2n-1，①
2T n=2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n，②
所以-T n=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)2n
=1+2×-(2n-1)2n
=-3+2×2n-(2n-1)2n=-3+(3-2n)2n，
T n=3+(2n-3)2n.。