微专题训练13动能定理在曲线运动中的应用
动能定理的应用
动能定理的应用在物理学中，动能定理是一个非常重要的概念，它在解决各种力学问题中发挥着关键作用。
动能定理指出：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
这个定理看似简单，但其应用却十分广泛且精妙。
让我们先从一个简单的例子来理解动能定理。
想象有一个质量为 m 的物体，在一个水平面上受到一个恒力 F 的作用，沿着力的方向移动了一段距离 s。
如果物体的初速度为 v₁，末速度为 v₂，那么根据牛顿第二定律 F ＝ ma（其中 a 为加速度），以及运动学公式 2as ＝ v₂²v₁²，我们可以得到：Fs ＝ ½mv₂² ½mv₁²。
这就是动能定理的表达式。
在实际问题中，动能定理的应用场景多种多样。
比如在自由落体运动中，物体只受到重力的作用。
假设一个物体从高度 h 处自由下落，其质量为 m，到达地面时的速度为 v。
重力做的功为 mgh，根据动能定理，mgh ＝ ½mv² 0，从而可以很容易地求出物体到达地面时的速度 v＝√（2gh)。
再来看一个涉及多个力的问题。
假设一个物体在粗糙水平面上受到一个水平拉力 F 的作用，同时还受到摩擦力 f 的阻碍。
物体移动了一段距离 s，初速度为 v₁，末速度为 v₂。
拉力做的功为 Fs，摩擦力做的功为 fs，合力做的功为（F f）s。
根据动能定理，（F f）s ＝½mv₂² ½mv₁²。
通过这个式子，我们可以求出物体在这个过程中的末速度 v₂。
动能定理在解决曲线运动问题时也非常有用。
例如一个物体在竖直平面内做圆周运动，在最低点时，绳子对物体的拉力和物体的重力共同做功，使得物体的动能增加。
根据动能定理，我们可以计算出拉力和重力做功的总和与动能变化之间的关系。
在碰撞问题中，动能定理同样能发挥作用。
当两个物体发生碰撞时，虽然碰撞过程中的内力非常复杂，但如果我们只关心碰撞前后物体动能的变化，就可以运用动能定理。
高中物理精品课件：专题13 动能定理2(曲线)
（3）运动员落到A点时的动能。
题型二
用动能定理求解曲线运动问题 之 圆周运动
例题2：如图所示,一小球通过不可伸长的轻绳悬于点,现从最低点B给小球一水
平向左的初速度,使小球恰好能在竖直平面内做圆周运动,当小球经过A点时,其
速度为最高点速度的2倍,不计空气阻力,则在点轻绳与竖直方向的夹角等于( )
圆形轨道的半径R=0.5m．（空气阻力可忽略，重力加速度g=10m/s2 ，sin53°=0.8，
cos53°=0.6）求：
（1）B点速度大小；
（2）当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为多大；
（3）水平外力作用在滑块上的时间t．
题型五
用动能定理求解曲线运动问题 之 多过程问题
例题7:如图所示，一质量m=0.5kg的滑块（可视为质点）静止于动摩擦因数μ=0.2的
为上述正方形线圈)从轨道起点由静止出发,进入右边的匀强磁场区域ABCD ,BC长
d=0.2m,磁感应强度B=1T,磁场方向竖直向上.整个运动过程中不计小车所受的摩擦
及空气阻力,小车在轨道连接处运动时无能量损失.求:
（2）在第（1）问,小车进入磁场后做减速运动,当小车末端到达AB边界时速度刚好
减为零,求此过程中线圈产生的热量;
（1）当试验小车从h=1.25m高度无初速度释放,小车前端刚进入AB边界时产生感应
电动势的大小;
（2）在第（1）问,小车进入磁场后做减速运动,当小车末端到达AB边界时速度刚好
减为零,求此过程中线圈产生的热量;
（3）再次改变小车释放的高度,使得小车尾端
题型四
用动能定理求解曲线运动问题 之 安培力做功
水平轨道上的A点．现对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为
动能定理的几种典型应用
动能定理的几种典型应用应用一：动能定理解决匀变速直线运动问题例1、一个质量m=2kg 的小物体由高h=1.6m 倾角︒=30α的斜面顶端从静止开始滑下，物体到达斜面底端时速率是4m/s ，那么物体在下滑的过程中克服摩擦力做功是多少焦耳？由公式20222v v aS -=可知222022/5.22.3242s m S v v a =⨯=-= 对物体受力分析并由牛顿第二定律可知：ma f mg =-αsin 所以N N ma mg f 55.2221102sin =⨯-⨯⨯=-=α J J fS W f 16)1(2.35180cos -=-⨯⨯=︒= 解法二：由动能定理221mv W mgh f =+ 可得：J J mgh mv W f 166.110242212122-=⨯⨯-⨯⨯=-= 应用二：动能定理解决曲线运动问题例2、在离地面高度h=10m 的地方，以s m v /50=水平速度抛出，求：物体在落地时的速度大小？ 解法一：由221gt h =得 s s g h t 2101022=⨯== 所以s m s m gt v y /210/210=⨯== 所以s m s m v v v y /15/)210(522220=+=+=解法二：由动能定理可得 20222121mv mv mgh -=所以：s m s m v gh v /15/51010222202=+⨯⨯=+= 两种方法计算的结果完全一致，可见：动能定理同样适用于曲线运动。
并且可以求变力的功，如下题。
例3．质量m=2kg 的物体从高h=1.6m 的曲面顶部静止开始下滑，到曲面底部的速度大小为4m/s 。
求物体在下滑过程中克服摩擦力所做的功？应用3：利用动能定理求解多个力做功的问题例4、如图所示，物体置于倾角为37度的斜面的底端，在恒定的沿斜面向上的拉力的作用下，由静止开始沿斜面向上运动。
F 大小为2倍物重，斜面与物体的动摩擦因数为0.5，求物体运动5m 时速度的大小。
高考物理动能定理在曲线中的应用
动能定理在曲线运动中的应用1【例题解析】如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m 的小球沿轨道做完整的圆周运动。
已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N 1，在高点时对轨道的压力大小为N 2。
重力加速度大小为g ，则N 1–N 2的值为： 6mg【解析】设小球在最低点时速度为v 1，在最高点时速度为v 2，根据牛顿第二定律有，在最低点：N 1–mg =21mv R，在最高点：N 2+mg =22mv R ；从最高点到最低点，根据动能定理有mg ·2R =212mv –222mv ，联立可得：N 1–N 2=6mg 。
【例题解析】如图所示，竖直平面内有一个半径为R 的半圆形轨道OQP ,其中Q 是半圆形轨道的中点，半面形轨道与水平轨道OE 在O 点相切，质量为m 的小球沿水平轨道运动，通过O 点进入半圆形轨道，恰好能够通过最高点P ,然后落到水平轨道上，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是A ．小球落地时的动能为2.5mgRB ．小球落地点离O 点的距离为2RC ．小球运动到半圆形轨道最高点P 时，向心力恰好为零D ．小球到达Q 点的速度大小为3gR1、如图所示，在光滑四分之一圆弧轨道的顶端a 点，质量为m 的物块（可视为质点）由静止开始下滑，经圆弧最低点b 滑上粗糙水平面，圆弧轨道在b 点与水平轨道平滑相接，物块最终滑至c 点静止。
若圆弧轨道半径为R ，物块与水平面间的动摩擦因数为μ。
求： （1）物块滑到b 点时的速度； （2）物块滑到b 点时对b 点的压力； （3）b 点与c 点间的距离。
【答案】（1）gR v b 2=；（2）mg F N 3=；（3）μRx =2、如图所示，左侧光滑轨道上端竖直且足够高，质量为m =1kg 的小球由高度为h =1.07m 的A 点以某一初速度沿轨道下滑，进入相切的粗糙水平轨道BC ，BC 段长L =1.00米，与小球间动摩擦因数为μ=0.02。
小球然后又进入与BC 相切于C 点的光滑半圆轨道CD ，CD 的半径为r =0.50m ，另一半径R =L =1.00米的光滑圆弧轨道EF 与CD 靠近，E 点略低于D 点，使可以当成质点的小球能在通过端点后，无碰撞地进入另一轨道，EF 轨道长度是3R， E 端切线水平，所有轨道均固定在同一竖直平面内，g =10m/s 2，求：（1）为了使小球能到达D 点，小球在A 点的初速度至少多大？ （2）为了使小球不越过F 点，小球经过D 点的速度不能超过多少？ （3）小球最多能通过D 点多少次？【答案】（1）2m/s （2）10/m s （3）14次3、轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l 。
动能定理的应用(2)
R
A B
5．质量为m的小球系在轻绳一端，在竖直平面内做半 径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的 作用，设某一时刻通过轨道最低点时绳子的张力为 9mg，此后小球做圆周运动，经过半周后恰能到达最 高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功 为 。
6．用细线通过光滑小孔牵引质量为m的物体，使之 在光滑水平面上做匀速圆周运动。当拉力为某个值F 时，物体的转动半径为R；当拉力逐渐减小到F/4时， 物体仍做匀速圆周运动，半径为2R。在这一过程中 拉力对物体所做的功是 A．FR/4 B．3FR/4 C．5FR/2 D．0
4．如图所示，AB是倾角为的粗糙直轨道，BCD是光滑 的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为 R，一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上 的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动。 已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩 擦因数为求： （1）物体做往返运动的整个过程中，在AB轨道上通过 的总路程； （2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对轨道的压 力
s V0
h
情景2：直线运动并圆周运动
1．如图，倾角θ=37°的斜面底端B平滑连接着半径 r=0.40m的竖直光滑圆轨道。质量m=0.50kg的小物 块，从距地面h=2.7m处沿斜面由静止开始下滑，小 物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，求： （1）物块滑到斜面底端B时的速度大小及轨道的压力 FN。 （2）物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压 力大小。
情景1：直线运动并平抛运动
1．高为h＝1.25m的平台上，覆盖一层薄冰，一乘雪橇 的滑雪爱好者，从距平台边缘s＝24m处以一定的初速度 向平台边缘滑去，如图，当他滑离平台即将着地时的瞬 间，其速度方向与水平地面的夹角为θ＝45°。求： （1）滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是多大； （2）若平台上的薄冰面与雪橇间的动摩擦因素为μ＝ 0.05，则滑雪者的初速度是多大？
曲线运动第12讲 功能关系(动能定理及其应用篇)
功能关系（动能定理及其应用）知识点梳理1．动能：物体由于运动而具有的能量。
影响因素：<1>质量 <2>速度 表达式：E k =221mv 单位：J 2、动能定理<1>定义：物体动能的变化量等于合外力做功。
<2>表达式：△E k =W F 合3、W 的求法动能定理中的W 表示的是合外力的功，可以应用W ＝F 合·lc os α（仅适用于恒定的合外力）计算，还可以先求各个力的功再求其代数和，W ＝W 1＋W 2＋…（多适用于分段运动过程）。
4．适用范围动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用。
5．动能定理的应用（1）选取研究对象，明确它的运动过程；（2）分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：受哪些力→各力是否做功→做正功还是负功→做多少功→各力做功的代数和（3）明确研究对象在过程的始末状态的动能E k 1和E k 2；母本身含有负号。
方法突破之典型例题题型一对动能定理的理解1．一个人用手把一个质量为m=1kg的物体由静止向上提起2m，这时物体的速度为2m/s，则下列说法中正确的是（）A．合外力对物体所做的功为12JB．合外力对物体所做的功为2JC．手对物体所做的功为22JD．物体克服重力所做的功为20J2．关于对动能的理解，下列说法不正确的是（）A．凡是运动的物体都具有动能B．动能总是正值C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化D．一定质量的物体，速度变化时，动能一定变化光说不练，等于白干1、若物体在运动过程中所受的合外力不为零，则（）A．物体的动能不可能总是不变的B．物体的动量不可能总是不变的C．物体的加速度一定变化D．物体的速度方向一定变化2、物体在合外力作用下，做直线运动的v﹣t图象如图所示，下列表述正确的是（）A．在0～1s内，合外力做正功B．在0～2s内，合外力总是做正功C．在1～2s内，合外力不做功D．在0～3s内，合外力总是做正功3、物体沿直线运动的v－t关系如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则（）A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4WB．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2WC．从第5秒末到第7秒末合外力做功为WD．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W4、美国的NBA篮球赛非常精彩，吸引了众多观众.经常有这样的场面：在临终场0.1s的时候，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的胜利.如果运动员投篮过程中对篮球做功为W，出手高度为h1，篮筐距地面高度为h2，球的质量为m，空气阻力不计，则篮球进筐时的动能表达正确的是（）A.mgh1+mgh2－WB.mgh2－mgh1－WC.W+mgh1－mgh2D.W+mgh2－mgh15、轻质弹簧竖直放在地面上，物块P 的质量为m ，与弹簧连在一起保持静止。
高考物理专题复习 动能定理及其应用
解析：B对A的摩擦力所做的功，即A所受外力 的总功，由动能定理知A对。A与B间的摩擦力尽管 相等，但它们的位移不同，所以摩擦力做的功不 同，B错。外力F做的功等于A、B动能的增量与A、 B间产生的热量之和，C错。对B由动能定理得WF－ WFf＝ΔEk，故D对。
答案：AD
例4. （多选)质量为m的物体在水平力F的作用 下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之 后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增 大为2v，则( )
答案：C
例3. (多选)如图所示，一块长木板 B放在光滑的水平面上，再在B上放一 物体A，现以恒定的外力F拉B，A、B 发生相对滑动，向前移动了一段距离。 在此过程中( )
A．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能增加 B．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功 C．外力F做的功等于A和B动能的增加 D．外力F对B做的功等于B的动能的增加量与B克服摩擦力 所做的功之和
三、动能定理的理解及需注意的问题
1．从两个方面理解动能定理 (1)动能定理公式中体现的三个关系： ①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的 变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的 变化，求合外力的功，进而求得某一力的功。 ②单位关系，等式两侧物理量的国际单位都是 焦耳。 ③因果关系：合外力的功是引起物体动能变化 的原因。
动能定理及其 应用
张建设
动能定理及其应用
一、动能 二、动能定理 三、动能定理理解 四、动能定理的应用
1、动能定理与曲线运动相结合 2、用动能定理求变力做功 3、动能定理与图象结合问题 4、利用动能定理解决多过程问题
一、动能
1．定义
物体由于 运动 而具有的能。
2．公式
Ek＝12mv2
3．矢标性
动量和能量规律在曲线运动中的应用
va
b
a
p
va
b a
例题分析
1、(07全国卷Ⅱ23）如图所示，位于竖直平面 内的光滑轨道，有一段斜的直轨道和与之相切 的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。 一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开 始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通 过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨 道间的压力不能超过5mg
Xv0
X X X
X
X X X X X X
X
X X X
(1)电场强度E的大小是多少？ （2）两小球的质量之比是多少？
已知： B=π/2 T, 球1带正电， q1 /m1=4C/Kg.所mg=Eq ； 小球 1 v0 ，碰后 后经3/4秒又再次 相遇。
物理过程主线 碰撞 圆周 运动 平抛 相遇
B
X
X X X X
竖直：H=
Vy=
曲线运动 基础知识
竖直平面 圆周运动
最高点：
机械能守恒 (动能定理）
最低点：
这 些 运 动 形 式 大 家 都 常 见 到
R
m
h
组 合 之 后 ， 大 家 见 过 它 们 吗 ？
m
h
R
一个物体的曲线运动组合最简单： 1、找特殊点（最高点、最低点或初末位置） 2、确定研究过程分为几个阶段
例题分析
3．如图，一个竖直放置的半径为R的光滑绝缘 环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度 为E。有一质量为m、电荷量为q的带正电的 空心小球套在环上，并且qE= mg。
（1）当小球由静止开始从环 的顶端A下滑1/4圆弧长到位 置B时，小球的速度多大？环 对小球的压力为多大？ （2）小球从环的顶端A滑至 低端C的过程中，小球在何处 速度最大？最大速度为多少？
动能定理的应用
动能定理的应用动能定理是力学中的重要定理之一，它提供了描述物体运动的动能和力的关系。
动能定理指出，物体的动能变化量等于作用于物体的合外力对其所做的功。
在实际生活和科学研究中，动能定理有着广泛的应用。
本文将探讨动能定理在运动学、工程以及体育运动中的具体应用。
一、运动学中的应用在运动学研究中，动能定理可以帮助我们计算物体的速度和位移。
根据动能定理，我们可以通过测量物体的质量和能量的变化来确定物体的速度。
例如，在实验室中，当一个小球从一定高度自由落下时，我们可以测量它在不同位置上的动能，然后利用动能定理推断出它的速度。
此外，动能定理还可以帮助我们计算物体的位移。
当我们知道物体的初始速度、加速度和时间时，通过结合运动学公式和动能定理，可以计算出物体的位移。
二、工程中的应用在工程领域，动能定理在设计和分析多种机械系统中起着重要的作用。
例如，在汽车碰撞测试中，动能定理被用来评估汽车碰撞的力和能量。
通过测量汽车的质量、速度和撞击后的能量变化，工程师可以评估碰撞对乘客的影响，进而改进汽车的设计，提高安全性能。
此外，动能定理还可以应用于工程机械的运行与设计中。
例如，当我们需要设计一个能够加速物体的机械装置时，可以根据动能定理计算出所需的能量，从而确定合适的动力系统。
三、体育运动中的应用动能定理在体育运动中也有很多应用。
例如，在田径运动中，动能定理可以帮助我们理解运动员的力量和速度。
当一个投掷者投掷铅球时，他所施加的力将使得铅球获得动能，并决定了铅球的速度和飞行距离。
运动员可以通过调整投掷力度和技术来最大化动能的转化，从而达到更远的投掷距离。
类似地，在其他体育项目中，动能定理也可以用来分析运动员的动作和能量转化。
例如，足球运动中的踢球动作，击球运动中的击球力度等。
综上所述，动能定理在运动学、工程以及体育运动中都有着广泛的应用。
通过应用动能定理，我们可以计算物体的速度和位移，评估碰撞和冲击的力和能量，设计工程机械以及分析体育运动中的动作和能量转化。
动能定理及其应用(二)
(2)物体最多能飞出槽外的次数？
2、用动能定理求变 力做功
例11. 如图所示，质量为m的小物体静止于长l 的木板边缘。现使板由水平放置绕其另一端O沿 逆时针方向缓缓转过α角，转动过程中，小物体相 对板始终静止，求板对物体的支持力对物体做的 功。
(1)若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压 缩量x；
(2)求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm； (3)讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v′和撞击速 度v的关系。
解：
例18. 如图所示，一根直杆由粗细相同的两段构成，其中 AB段为长x1＝5m的粗糙杆，BC段为长x2＝1m的光滑杆。将杆 与水平面成53°角固定在一块弹性挡板上，在杆上套一质量m ＝0.5 kg、孔径略大于杆直径的圆环。开始时，圆环静止在杆
底端A。
现用沿杆向上的恒力F拉圆环，当圆环 运动到B点时撤去F，圆环刚好能到达顶端 C，然后再沿杆下滑。已知圆环与AB段的 动摩擦因数μ＝0.1，g＝10m/s2，sin53°＝ 0.8，cos53°＝0.6。试求：
(1)拉力F的大小；(2)拉力F作用的时间；(3)若不计圆环与挡 板碰撞时的机械能损失，从圆环开始运动到最终静止的过程中
例14. 蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶 段。最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶 段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达 到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶 段。
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小 F＝kx(x为床面下沉的距离，k为常量)。质量m＝50 kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0＝0.10m； 在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于增 加其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，
专题03 应用动能定理处理曲线运动问题-高中物理动能定理的综合应用
曲线运动：运动轨迹为曲线的运动。
物体做曲线运动的条件：①物体做一般曲线运动的条件：物体所受合外力(加速度)的方向与物体的速度方向不在一条直线上。
②物体做平抛运动的条件：物体只受重力，初速度方向为水平方向。
可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。
③物体做圆周运动的条件：物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内(即在物体圆周运动的轨道平面内)总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。
曲线运动的分类曲线运动与动能相结合考查方式分析：与动能定理相结合考查的曲线运动主要有两种：①抛体运动；②圆周运动。
抛体运动：含斜抛运动和平抛运动平抛运动在处理时遵从运动的分解，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动竖直平面内圆周运动中的绳模型与杆模型问题绳模型（无支撑）过最高点的临界条件：2mv mg v r=⇒=临由。
杆模型（有支撑）过最高点的临界条件：由小球恰能做圆周运动得v 临＝0。
常考问题分类：①求位移（或路程）；②求速度。
1.如图所示，某同学利用斜面研究抛体运动的示意图，已知斜面AB 的倾角为α=45°，高为h=1m 。
斜面的底端A 处有一弹性发射器（大小不计），发射器可将小木块以一定的初速度沿斜面弹出，小木块冲出斜面后即做斜抛运动．若发射器将小木块弹出时的初速度为v 0=8m/s ，小木块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.4，不计空气阻力，g 取10m/s 2，求：（1）小木块飞离底面的最大高度；（2）小木块落地时的速度大小。
分析：由于动能定理的计算式为标量式，因此对于求解物体做曲线运动时的相关问题时，具有明显的优越性，关键是分清楚哪些过程力做功，并确定处、末状态的动能。
解析：（1）设小木块到达斜面顶端时的速度为v B ，有动能定理得：22011cos sin 22B h mg mgh mv mv μαα--=-g ，代入数据解得v B = v=6m/s ，竖直分速度的大小sin By B v v α== m/s 。
动能定理在多过程曲线运动中的应用(难度：中等)
1 圆 4
弧形的粗糙轨道，P 为最高点，Q 为最低点，Q 点处的切线水平，距底板高为 H .N 板上固 定有三个圆环. 将质量为 m 的小球从 P 处静止释放，小球运动至 Q 飞出后无阻碍地通过各 圆环中心，落到底板上距 Q 水平距离为 L 处。不考虑空气阻力，重力加速度为 g .求： （1）距 Q 水平距离为
（2015 重庆卷 8 ）同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如题 8 图所示的实验 装置。图中水平放置的底板上竖直地固定有 M 板和 N 板。 M 板上部有一半径为 R 的
1 圆 4
弧形的粗糙轨道，P 为最高点，Q 为最低点，Q 点处的切线水平，距底板高为 H .N 板上固 定有三个圆环. 将质量为 m 的小球从 P 处静止释放，小球运动至 Q 飞出后无阻碍地通过各 圆环中心，落到底板上距 Q 水平距离为 L 处。不考虑空气阻力，重力加速度为 g .求： （1）距 Q 水平距离为
L 的圆环中心到底板的高度； 2
（2）小球运动到 Q 点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向； （3）摩擦力对小球做的功 .
（2014 福建卷 21）图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图， 整个轨道在同一竖直平面内， 表面粗糙的 AB 段轨道与四分之一光滑圆弧轨道 BC 在 B 点水平相切． 点 A 距水面的高 度为 H ，圆弧轨道 BC 的半径为 R ，圆心 O 恰在水面．一质量为 m 的游客( 视为质点) 可从轨道 AB 的任意位置滑下，不计空气阻力． (1)若游客从 A 点由静止开始滑下，到 B 点时沿切线方向滑离轨道落在水面上的 D 点， OD＝2R ，求游客滑到 B 点时的速度 v B 大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功 W f ； (2)若游客从 AB 段某处滑下，恰好停在 B 点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑 到 P 点后滑离轨道，求 P 点离水面的高度 h .(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所 v2 受的向心力与其速率的关系为 F 向 ＝m ) R
动量和能量规律在曲线运动中的应用
动能定理在运动问题中的应用
动能定理在运动问题中的应用动能定理是经典力学中一个重要的定理，它描述了物体的动能与所受力的关系。
在运动问题中，动能定理可以帮助我们理解物体的运动规律，预测物体的速度和位置等信息。
本文将探讨动能定理在运动问题中的应用，并分析其在实际生活中的意义。
动能定理的基本原理是：物体的动能等于所受力对物体所做的功。
动能是物体运动时所具有的能量，它与物体的质量和速度有关。
所受力对物体所做的功是指力在物体运动方向上的分量与物体移动的距离的乘积。
根据动能定理，我们可以得到以下公式：动能 = 功 = 力 ×距离在运动问题中，动能定理可以应用于多种情况。
下面我们将通过几个例子来说明动能定理的应用。
首先，考虑一个简单的自由落体问题。
假设一个物体从高处自由下落，只受到重力的作用。
根据动能定理，物体的动能等于重力对物体所做的功。
由于重力的方向与物体下落的方向相同，所以重力对物体所做的功可以表示为：功 = 重力 ×下落的距离根据重力的公式 F = m × g，其中 m 表示物体的质量，g 表示重力加速度，可以得到：功 = m × g ×下落的距离由于动能等于所受力对物体所做的功，所以物体的动能可以表示为：动能 = m × g ×下落的距离通过这个例子，我们可以看到动能定理在自由落体问题中的应用。
它帮助我们理解物体下落时的速度变化，并可以用来计算物体的动能。
其次，我们考虑一个弹簧振子的问题。
假设一个质点通过弹簧与一固定点相连，当质点受到外力作用时，弹簧会发生振动。
根据动能定理，质点的动能等于外力对质点所做的功。
如果外力是恒定的，那么质点的动能将保持不变。
当质点受到弹簧的弹力作用时，外力对质点所做的功可以表示为：功 = 弹力 ×振幅根据弹簧的胡克定律，弹力与振幅成正比。
所以可以得到：功 = k ×振幅²其中 k 是弹簧的弹性系数。
根据动能定理，质点的动能等于所受力对质点所做的功，即：动能 = k ×振幅²通过这个例子，我们可以看到动能定理在弹簧振子问题中的应用。
动能定理在曲线运动中的应用
动能定理在曲线运动中的应用1、（单选）如图一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g .质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgRB.13mgRC.12mgR D.π4mgR 解析：在Q 点质点受到竖直向下的重力，和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有N －mg ＝m v 2R，N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR －W f ＝12mv 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确．答案：C2、(多选)如图所示，为半径＝0.50 m 的四分之一圆弧轨道，端距水平地面的高度＝0.45 m 。
一质量m ＝1.0 kg 的小滑块从圆弧轨道A 端由静止释放，到达轨道B 端的速度v ＝2.0 m/s 。
忽略空气的阻力，取g ＝10 m/s 2，则下列说法正确的是（ ）A ．小滑块在圆弧轨道B 端受到的支持力大小F N ＝16 NB ．小滑块由A 端到B 端的过程中，克服摩擦力所做的功W ＝3 JC ．小滑块的落地点与B 点的水平距离x ＝0.6 m 解析 小滑块在B 端时，根据牛顿第二定律有F N －mg ＝m v 2R ，解得F N ＝18 N ，A 错误；根据动能定理有mgR －W ＝12mv 2，解得W ＝mgR －12mv 2＝3 J ，B 正确；小滑块从B 点做平抛运动，水平方向上x ＝vt ，竖直方向上h ＝12gt 2，解得x ＝v ·2hg＝0.6 m ，C 正确、D 错误。
答案 BC3、（单选）质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是 ( ) A.14mgR B.13mgR C.12mgR D ．mgR 解析：小球通过最低点时，绳的张力为F ＝7mg①由牛顿第二定律可知：F －mg ＝mv 21R ②小球恰好过最高点，绳子拉力为零，由牛顿第二定律可知：mg ＝mv 22R③小球由最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得：－2mgR ＋WF f ＝12mv 22－12mv 21④由①②③④可得WF f ＝－12mgR ，所以小球克服空气阻力所做的功为12mgR ，故C 项正确．答案：C4、（多选）如图所示，用长为L 的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L 的O 点处，小铁球以O 为圆心在竖直面内做圆周运动且恰能到达最高点B 处，则有（ ） A ．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为6mg B ．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mgC ．若小铁球运动到最低点轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为gL 7D ．若小铁球运动到最低点轻绳断开，则小铁球落到地面时水平位移为2L【答案】AC ——A 、小铁球恰好能通过最高点B ，重力提供向心力，绳子拉力为零，根据牛顿第二定律，有2Bv mg m L=,从最高点到最低点只有重力做功，根据机械能守恒定律有：2211222B mv mg L mv +⋅= ，联立解得：5v gL =；根据牛顿第二定律，在最低点：2v F mg m L-=，得：F =6mg ，故小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为6mg ，最小为0，故A 正确、B 错误。
动能定理在曲线运动中的应用
动能定理及其应用1. 如图，在光滑水平面上有一长木板，质量为M ，在木板左端放一质量为m 的物块，物块与木板间的滑动摩擦力为f ，给物块一水平向右的恒力F ，当物块相对木板滑动L 距离时，木板运动位移为x ，则下列说法正确的是( )A. 此时物块的动能为FLB. 此时物块的动能为(F －f )LC. 此时物块的动能为F (L ＋x )－fLD. 此时木板的动能为fx2. [2014·太原调研](多选)一物体沿直线运动，其v －t 图象如图所示．已知在前2 s 内合力对物体做的功为W ，则( )A. 从第1 s 末到第2 s 末合力做功为35W B. 从第3 s 末到第5 s 末合力做功为－WC. 从第5 s 末到第7 s 末合力做功为WD. 从第3 s 末到第7 s 末合力做功为－2W3. (多选)如图所示，长为L 的长木板水平放置，在木板的A 端放置一个质量为m 的小物块，现缓慢地抬高A 端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v ，则在整个过程中( )A. 支持力对物块做功为零B. 支持力对小物块做功为mgL sin αC. 摩擦力对小物块做功为mgL sin αD. 滑动摩擦力对小物块做功为12mv 2－mgL sin α 4. 如图所示，将质量为m 的小球以速度v 0由地面竖直向上抛出．小球落回地面时，其速度大小为34v 0.设小球在运动过程中所受空气阻力的大小不变，则空气阻力的大小等于( )A. 34mg B. 316mg C. 716mg D. 725mg 5. 如图所示，质量为m 的小球，从离地面H 高处由静止释放，落到地面后继续陷入泥中h 深度而停止，设小球受到空气阻力为f ，则下列说法正确的是( )A. 小球落地时动能等于mgHB. 小球陷入泥中的过程中克服泥土阻力所做的功小于刚落到地面时的动能C. 整个过程中小球克服阻力做的功等于mg (H ＋h )D. 小球在泥土中受到的平均阻力为mg (1＋H /h )6. [2013·河北石家庄质检]如图所示为汽车在水平路面上启动过程中的速度图象，Oa 为过原点的倾斜直线，ab 段表示以额定功率行驶时的加速阶段，bc 段是与ab 段相切的水平直线，则下述说法正确的是( )A. 0～t 1时间内汽车做匀加速运动且功率恒定B. t 1～t 2时间内汽车牵引力做功为12mv 22－12mv 21 C. t 1～t 2时间内的平均速度为12(v 1＋v 2) D. 在全过程中t 1时刻的牵引力及其功率都是最大值，t 2～t 3时间内牵引力最小7. 质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是( )A. 14mgR B. 13mgR C. 12mgR D. mgR8. (多选)在海滨游乐场里有一种滑沙的游乐活动，某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为v 0，设人下滑时所受摩擦阻力不变，沙坡长度为l ，斜面倾角为α，人和滑沙板的总质量为m ，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )A. 人沿沙坡下滑时所受摩擦阻力为mg sin α－mv 202lB. 人在下滑过程中重力功率的最大值为mgv 0C. 若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v 0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为2v 0D. 若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v 0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为2v 0题组二 提能练9. 光滑水平面上，一质量为m 的物块受到水平向右的随位移变化的力F 的作用，F 随位移变化的图象如图，下列说法正确的是( )A. 物块的位移为x 0时，物块的速度最大B. 物块先加速运动，后减速运动C. 物块的最大速度为 6F 0x 0mD. 由于物块受变力作用，无法求合外力做的功，因此无法求物块的速度 10. [2013·扬州模拟](多选)一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后又返回到斜面底端．已知小物块的初动能为E ，它返回到斜面底端的动能为E2，小物块上滑到最大路程的中点时速度为v ；若小物块以2E 的初动能冲上斜面，则有( ) A. 返回斜面底端时的动能为EB. 返回斜面底端时的动能为3E 2C. 小物块上滑到最大路程的中点时速度为2vD. 小物块上滑到最大路程的中点时速度为2v11. 如图所示，竖直平面内有四分之一圆弧轨道固定在水平桌面上，圆心为O 点．一小滑块自圆弧轨道A 处由静止开始自由滑下，在B 点沿水平方向飞出，落到水平地面上的C 点．已知小滑块的质量为m ＝1.0 kg ，C 点与B 点的水平距离为x ＝1 m ，B 点高度为h ＝1.25 m ，圆弧轨道半径R ＝1 m ，g 取10 m/s 2.求小滑块：(1)从B 点飞出时的速度大小；(2)在B 点时对圆弧轨道的压力大小；(3)沿圆弧轨道下滑过程中克服摩擦力所做的功．答案：(1)2 m/s (2) 14 N (3)8 J12. 如图所示，AB 是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧的半径为R .一个质量为m 的物体(可以看作质点)从直轨道上的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P 点与圆弧的圆心O 等高，物体与轨道AB 间的动摩擦因数为μ，求：(1)物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程；(2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E 时，对圆弧轨道的压力；(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D ，释放点距B 点的距离L ′应满足什么条件． 答案：(1)R μ (2)(3－2cos θ)mg ，方向竖直向下(3)L ′＝3＋2cos θ2sin θ－μcos θ·R动能定理在曲线运动中的应用1．(单选)如图1所示，水平传送带AB长21 m，以6 m/s顺时针匀速转动，台面与传送带平滑连接于B点，半圆形光滑轨道半径R＝1.25 m，与水平台面相切于C点，BC长s＝5.5 m，P点是圆弧轨道上与圆心O等高的一点．一质量为m＝1 kg的物块(可视为质点)，从A点无初速度释放，物块与传送带及台面间的动摩擦因数均为0.1，则关于物块的运动情况，下列说法正确的是( )．图1A．物块不能到达P点B．物块能越过P点做斜抛运动C．物块能越过P点做平抛运动D．物块能到达P点，但不会出现选项B、C所描述的运动情况2．如图2所示，光滑半圆形轨道的半径为R，水平面粗糙，弹簧自由端D与轨道最低点C之间的距离为4R，一质量为m可视为质点的小物块自圆轨道中点B由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D点恰好静止．已知小物块与水平面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内．图2(1)求弹簧的最大压缩量和最大弹性势能；(2)现把D点右侧水平面打磨光滑，且已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比．现使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆形轨道最高点A，求压缩量至少是多少？3．如图3甲所示，长为4 m的水平轨道AB与半径为R＝0.6 m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接，有一质量为1 kg的滑块(大小不计)，从A处由静止开始受水平向右的力F作用，F的大小随位移变化的关系如图乙所示，滑块与AB间的动摩擦因数为μ＝0.25，与BC间的动摩擦因数未知，取g＝10 m/s2.求：图3(1)滑块到达B 处时的速度大小；(2)滑块在水平轨道AB 上运动前2 m 过程所用的时间；(3)若到达B 点时撤去力F ，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C ，则滑块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？4．如图4所示，有一个可视为质点的质量为m ＝1 kg 的小物块，从光滑平台上的A 点以v 0＝3 m/s 的初速度水平抛出，到达C 点时，恰好沿C 点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D 点的质量为M ＝3 kg 的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑接触，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R ＝0.5 m ，C 点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝53°，不计空气阻力，取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图4(1)A 、C 两点的高度差；(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D 点时对轨道的压力；(3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) 应用动力学和能量观点解决多过程问题1．如图1所示，粗糙水平面与半径R ＝1.5 m 的光滑14圆弧轨道相切于B 点，静止于A 处m ＝1 kg 的物体在大小为10 N 、方向与水平面成37°角的拉力F 作用下沿水平面运动，到达B 点时立刻撤去F ，物体沿光滑圆弧向上冲并越过C 点，然后返回经过B 处的速度v B ＝15 m/s.已知s AB ＝15 m ，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：图1图2(1)物体到达C点时对轨道的压力；(2)物体与水平面间的动摩擦因数μ.2．如图2所示半径分别为2R和R的甲、乙两光滑圆形轨道固定放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，曲面轨道与水平面轨道在B处光滑连接(物块经过B点时没有机械能损失)，现有一小物块从斜面上高h处的A点由静止释放，曲面轨道以及水平轨道BC段是光滑的，小物块与CD段以及D右侧的水平轨道间的动摩擦因数均为μ.已知小物块通过甲轨道最高点时与轨道间压力为物块重力的3倍，而后经过有摩擦的CD段后又进入乙轨道运动．(1)求初始释放物块的高度h；(2)为避免出现小物块脱离圆形轨道乙而发生撞轨现象，则CD段的长度应满足什么条件？3．如图3所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M＝1.0 kg的木板与轻弹簧接触、但不拴接，弹簧与斜面平行、且为原长，在木板右上端放一质量为m＝2.0 kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为μ1＝0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为μ2＝0.25，系统处于静止状态．小金属块突然获得一个大小为v1＝5.3 m/s、平行斜面向下的速度，沿木板向下运动．当弹簧被压缩x＝0.5 m 到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动．设金属块从开始运动到木块达到共速共用时间t＝0.75 s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sin θ＝0.28、cos θ＝0.96，g取10 m/s2，结果保留二位有效数字．图3(1)求木板开始运动瞬间的加速度；(2)假设木板由P点压缩弹簧到弹回P点过程中不受斜面摩擦力作用，求木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离．2014高考物理最新名校试题汇编大题冲关专题03 功和能综合题1.（14分）（2014洛阳市二模）如图所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直放置，在B点与水平轨道AB相切，【考点定位】：此题考查动能定理、牛顿运动定律及其相关知识。
动量和能量规律在曲线运动中的应用(PPT)5-2
• 曲线运动中质点的速度方向和加速度（Ⅱ） • 平抛运动（Ⅱ） • 宇宙速度 人造地球卫星 万有引力定律的运动
（Ⅱ） • 航天技术发展和宇宙航行（Ⅱ） • 带电粒子在匀强电场中的运动（Ⅱ） • 磁场对运动电荷的作用 洛仑兹力 带电粒 子在
匀强磁场的圆周运动（Ⅱ） • 质谱仪 回旋加速器 （Ⅰ）
树脂和染料等。 【吡】见下。 【吡啶】名有机化合物，化学式。无色液体，有臭味。用作溶剂和化学试剂。［英］ 【吡咯】名有机化合物，化学式。无色
液体，在空气中颜色变深，有刺激性气味。用来制品。［英］ 【佊】〈书〉邪。 【沘】①沘江，水名，在云南。②沘河，水名，在安徽。 【妣】〈书〉
这
些
R
运
动
形
式
大
家
m
喻互相帮助，共同前进。 【比喻】①名修辞方式，用某些有类似点的事物来比方想要说的某一事物，以便表达得更加生动鲜明。②动比方?：人们常用园 丁～教师。 【比照】动①按照已有的（格式、标准、方法等）；对比着：～着实物绘图。②比较对照：两种方案一～，就可看出明显的差异。 【比值】名两 个数相比所得的值，即前项除以后项所得的商，如∶的比值是。也叫比率。 【比重】名①物质的重量和它的体积的比值，即物质单位体积的重量。②一种事 物在整体中所占的分量：我国工业在整个国民经济中的～逐年增长。 【芘】名有机化合物，棱形晶体，浅黄色，不溶于水，溶于乙醇和乙醚。可用来制合成
一种意大利式饼，饼上放番茄、奶酪、肉类等，用烤箱烘烤而成。［比萨，英a］ 【比赛】①动在体育、生产等活动中，比较本领、技术的高低：～篮球。 ②名指这种活动：今晚有一场足球～。 【比试】?动①彼此较量高低：咱们～一下，看谁做得又快又好。②做出某种动作的姿势：他把大一～，不在乎地说， 叫他们来吧。 【比岁】①名比年?。②副比年?。 【比索】名①西班牙的旧本位货币。②菲律宾和一部分拉丁美洲国家的本位货币。［西］ 【比特】量信息 量单位，二进制数的一位所包含的信息量就是比特。如二进制数包含的信息量为比特。［英］ 【比武】∥动比赛武艺，也泛指比赛技艺。 【比翼】动翅膀挨 着翅膀（飞）：～齐飞。 【比翼鸟】名传说中的一种鸟，雌雄老在一起飞，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。 【比翼齐飞】比喻夫妻恩爱，朝夕相伴。也比
动量和能量规律在曲线运动中的应用
方最优秀的撷取文字的人，因为她知道如果没有文字，一个人该是何等脆弱。 （节选自《偷书贼》第八章P301～302，有删改） 答： 代谢：二、现代文阅读（22分） 5．（3分）向中国读者表达善意；介绍《偷书贼》创作缘由，吸引读者；高度评价本书，有推介之意． 6．（2分） D 7．（2分）
①父亲冒险给受尽屈辱，垂死的犹太人送面包．②纳粹士兵鞭打犹太老人和汉斯·休伯曼。 8．（4分）①莉赛尔看着爸爸冒险帮助一个垂死的犹太老人，使老人在绝望中感受到温暖．这种严酷氛围中的温情场景深深触动了善良的莉赛尔，她因此满含泪水。 ②犹太人一路遭受非人的折磨，内心早已
这
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运
动
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一个物体的曲线运动组合最简单： 1、找特殊点（最高点、最低点或初末位置） 2、确定研究过程分为几个阶段
A B
C
（ 08 理综山东卷24 ）（15分）某兴趣小组设计了如图所示
的玩具轨道,其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆
回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。 （节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改） 致中国读者的信 亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
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微专题训练13动能定理在曲线运动中的应用
1．如图所示，水平传送带AB长21 m，以6 m/s顺时针匀速转动，台面与传送带平滑连接于B点，半圆形光滑轨道半径R＝1.25 m，与水平台面相切于C点，BC长s＝5.5 m，P 点是圆弧轨道上与圆心O等高的一点．一质量为m＝1 kg的物块(可视为质点)，从A点无初速度释放，物块与传送带及台面间的动摩擦因数均为0.1，则关于物块
的运动情况，下列说法正确的是()．
A．物块不能到达P点
B．物块能越过P点做斜抛运动
C．物块能越过P点做平抛运动
D．物块能到达P点，但不会出现选项B、C所描述的运动情况
2．如图所示，光滑半圆形轨道的半径为R，水平面粗糙，弹簧自由端D与轨道最低点C之间的距离为4R，一质量为m可视为质点的小物块自圆轨道中点B由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D点恰好静止．已知小物块与水平面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内．
(1)求弹簧的最大压缩量和最大弹性势能；
(2)现把D点右侧水平面打磨光滑，且已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正
比．现使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆形轨道最高点A，求压缩量至少是多少？
3．如图甲所示，长为4 m的水平轨道AB与半径为R＝0.6 m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接，有一质量为1 kg的滑块(大小不计)，从A处由静止开始受水平向右的力F作用，F的大小随位移变化的关系如图乙所示，滑块与AB间的动摩擦因数为μ＝0.25，与BC间的动摩擦因数未知，取g＝10 m/s2.求：
(1)滑块到达B处时的速度大小；
(2)滑块在水平轨道AB上运动前2 m过程所用的时间；
(3)若到达B点时撤去力F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C，则滑
块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？
4．如图所示，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0＝
3 m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的
光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3 kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑接触，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.5 m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝53°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2.求:
(1)A、C两点的高度差；
(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
(3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
微专题训练13 动能定理在曲线运动中的应用
1．解析 物块从A 点释放后在传送带上做加速运动，假设到达台面之前能够达到传送带的
速度v ，则由动能定理得，μmgs 1＝12
m v 2，得s 1＝18 m<21 m ，假设成立．物块以6 m/s 冲上台面，假设物块能到达P 点，则到达P 点时的动能E k P 可由动能定理求得，－μmgs －
mgR ＝E k P －12
m v 2，得E k P ＝0，可见，物块能到达P 点，速度恰为零，之后从P 点沿圆弧轨道滑回，不会出现选项B 、C 所描述的运动情况，D 正确．
2．解析 (1)设弹簧的最大压缩量为x ，最大弹性势能为E p ，对小物块，从B 到D 再压缩弹簧又被弹回到D 的过程由动能定理有mgR －μmg (4R ＋2x )＝0
解得x ＝0.5R
小物块从压缩弹簧最短到返回至D ，由动能定理有
E p －μmgx ＝0
解得E p ＝0.1mgR .
(2)设压缩量至少为x ′，对应的弹性势能为E p ′，则
E p ′E p ＝x ′2
x 2 小物块恰能通过半圆形轨道最高点A ，则mg ＝m v 2A R
小物块从压缩弹簧到运动至半圆形轨道最高点A ，由动能定理有E p ′－μmg ·4R －2mgR ＝12m v 2A
联立解得x ′＝332R . 答案 (1)0.5R 0.1mgR (2)332
R 3．解析 (1)对滑块从A 到B 的过程，由动能定理得
F 1x 1－F 3x 3－μmgx ＝12m v 2B
即20×2 J －10×1 J －0.25×1×10×4 J ＝12
×1×v 2B ，得v B ＝210 m/s. (2)在前2 m 内，有F 1－μmg ＝ma ，且x 1＝12at 21
，
解得t 1＝ 835
s. (3)当滑块恰好能到达最高点C 时，应用：mg ＝m v 2C R
对滑块从B 到C 的过程，由动能定理得：W －mg ·2R ＝12m v 2C －12
m v 2B 代入数值得W ＝－5 J ，即克服摩擦力做的功为5 J.
答案 (1)210 m/s (2) 835
s (3)5 J 4．解析 (1)小物块在C 点时的速度大小为
v C ＝v 0cos 53°
＝5 m/s ，竖直分量为v Cy ＝4 m/s 下落高度h ＝v 2Cy 2g
＝0.8 m (2)小物块由C 到D 的过程中，由动能定理得
mgR (1－cos 53°)＝12m v 2D －12m v 2C
解得v D ＝29 m/s
小球在D 点时由牛顿第二定律得
F N －mg ＝m v 2D R
代入数据解得F N ＝68 N
由牛顿第三定律得F N ′＝F N ＝68 N ，方向竖直向下
(3)设小物块刚好滑到木板右端时与木板达到共同速度，大小为v ，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为
a 1＝μg ＝3 m/s 2，
a 2＝μmg M
＝1 m/s 2 速度分别为v ＝v D －a 1t ，v ＝a 2t
对物块和木板系统，由能量守恒定律得
μmgL ＝12m v 2D －12
(m ＋M )v 2 解得L ＝3.625 m ，即木板的长度至少是3.625 m
答案(1)0.8 m(2)68 N方向竖直向下(3)3.625 m。