高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测77 坐标系 Word版含解析[ 高考]
高三数学(文科)一轮复习《坐标系》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
【对点训练】
以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，
2
已知曲线C的极坐标方程为ρ＝
.
1−sin θ
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O作直线l交曲线C于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的
极坐标系
方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________．
(2)极坐标：
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、
极径
极角
OM为终边的角度，ρ叫做点M的________，θ叫做点M的________，有
序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
ρ＝0
任意值
内的点和极坐标就一一对应了．
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作
为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图
所示．
(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0，2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公
4
2
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
反思感悟
极坐标方程与直角坐标方程的互化
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接
代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，
近年高考数学一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系作业本理(2021年整理)
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第一节坐标系A组基础题组1。
在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的半径为( ）A. B。
1 C。
2 D.42.在极坐标系中,点到直线ρcos θ-ρsin θ-1=0的距离等于( ）A.B。
C。
D。
23。
(2017北京海淀零模,4)在极坐标系中，圆ρ=2cos θ垂直于极轴的两条切线的方程分别为（）A。
θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=（ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=（ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R）和ρcos θ=14.已知点M的极坐标为，则将点M的极坐标化成直角坐标为( )A。
B。
C. D.5.在极坐标系中，曲线ρ=2cos θ是（)A.过极点的直线B。
半径为2的圆C.关于极点对称的图形D。
关于极轴对称的图形6。
(2017北京海淀二模，9)在极坐标系中，极点到直线ρcos θ=1的距离为.7.在极坐标系中，直线ρsin θ=3被圆ρ=4sin θ截得的弦长为.8。
(2017北京顺义二模,12）在极坐标系中,圆ρ=-2cos θ的圆心C到直线2ρcos θ+ρsin θ—2=0的距离等于。
9。
在极坐标系中,设ρ>0,0≤θ〈2π,则曲线ρ=2与曲线ρsin θ=2交点的极坐标为.10.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcos—1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,则在直角坐标系中，圆心C的坐标是。
高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测33Word版含答案
课时追踪检测( 三十三 )1．在等比数列 { a } 中，假如a＋a＝18，a＋a＝12，那么这个数列的公比为()n14231A．2B．211C．2 或2D．－ 2 或2答案： C分析：设数列 { a } 的公比为q，由a1＋ a4a1＋ q3＝1＋q3＝＋ q－ q＋ q2＝＝22na2＋ a3a1q＋qq＋ q q＋ q1－q＋q2181q＝12，得 q＝2或 q＝2.2．在等比数列 { a } 中，若a＝ 3，a＝ 24，则a＋a＋a＝ ()n14345A．33B．72C．84D．189答案： C34234a分析：由已知，得q ＝a1＝ 8，解得q＝ 2，则有a3＋a4＋a5＝a1( q＋ q＋ q )＝3×(4＋ 8＋16) ＝ 84.3．已知x，y，z∈ R，若－ 1，x，y，z，－ 3 成等比数列，则xyz＝()A．－ 3B．±3C．－3 3D．±3 3答案： C分析：由等比中项知，y2＝3，∴ y＝± 3.又∵ y 与－1，－3符号同样，∴ y＝－3，y2＝xz，∴xyz ＝ y3＝－3 3.4．已知正数构成的等比数列{ a n} ，若a1·a20＝ 100，则a7＋a14的最小值为 ()A．20B．25C．50D．不存在答案： A分析：∵ ( a7＋a14)222＝a7＋ a14＋2a7a14≥4a7a14＝4a1 a20＝400，∴ a7＋a14≥20.n－ 115．已知等比数列 { a n} 的前n项和为S n＝a·2＋6，则a＝ () 11A．－B．3311C ．－ 2D ．2答案： A分析：当n ≥2时，an －1n － 2a n －2.当 ＝1 时，1 n＝ n － n － 1＝ ·2 － ·2 ＝·21＝1＝＋，S Saana S a 61 a1∴ a ＋ 6＝ 2，解得 a ＝－ 3.6．已知数列 1， 1，2, 9 是等差数列，数列1，1， 2， 3, 9 是等比数列，则b 2 ＝ ()a abbba ＋ a1277A. 10B ．531C. 10D ．2答案： C分析：由于 1， a ，a 9 是等差数列，所以a ＋ a ＝ 1＋ 9＝ 10. 又 1，b ， b ， b 9 是等比数12, 12123,列，所以22＝1×9＝ 9，易知b 2>0，所以b 2＝ 3，所以b 2 ＝ 3 .b1210a ＋ a7．已知 { a n } 是等差数列， 公差 d 不为零，前 n 项和是 S n ，若 a 3，a 4，a 8 成等比数列， 则 ( )A ． 1 ＞0， 4＞ 0B ． 1 ＜ 0， 4＜0a ddSa ddSC ．a 1d ＞ 0， dS 4＜ 0D ．a 1 d ＜ 0， dS 4＞0答案： B分析：∵ a 3， a 4， a 8 成等比数列，∴ ( a 1＋ 3d ) 2＝ ( a 1＋ 2d )( a 1＋ 7d ) ，5 52整理，得 a 1＝－ 3d ，∴ a 1d ＝－ 3d ＜ 0.又 4 ＝4 1＋ 4×3 ＝－ 2da 2 d ，S 3 42d 2∴dS ＝－ 3 ＜ 0，应选 B.8．设各项都是正数的等比数列{ a } ，S 为其前 n 项和，且 S ＝ 10，S＝70，那么 S ＝()nn 10 3040A ．150B ．－ 200C ．150 或－ 200D ．400 或－ 50答案： A分析：依题意， 数列 S 10，S 20－ S 10，S 30 －S 20，S 40－ S 30 成等比数列， 所以有 ( S 20－ S 10) 2＝ S 10( S 30－ S 20) ，即( S 20－ 10) 2＝ 10(70 － S 20) ，故 S 20＝－ 20 或 S 20 ＝30. 又 S 20＞ 0，所以 S 20＝ 30， S 20－ S 10 ＝20， S 30－ S 20＝ 40，故 S 40－ S 30 ＝80， S 40＝ 150. 应选 A.9．等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 1，S 3，S 2 成等差数列， 则 { a n } 的公比 q 等于 ________．答案：－12分析：∵ S 1， S 3， S 2 成等差数列，∴ a 1＋ a 1＋ a 1q ＝ 2( a 1＋ a 1q ＋ a 1q 2) ．∵ a 1≠0， q ≠0，解得1 q ＝－ .210．在等比数列 { a } 中，若 a ＋ a ＋ a ＋ a ＝ 1591111 ＝ ________.8，a a ＝－ 8，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10n789108 95答案：－ 31 1 a ＋ a101 1 a ＋ a分析：由于＋＝7＋＝89a 7 a 10 a 7a 10 ， a 8a 9 ，a 8 a 9由等比数列的性质知，a 7a 10＝ a 8a 9，1 1 1 1 a ＋a ＋ a ＋ a 15 9 5所以＋＋＋7 8910÷ － ＝－.a a a a ＝ a a ＝ 8 8 37 89 10 9 811．已知各项均为正数的等比数列 { a } 的前 n 项和为 S ，若 S ＝ 3S ，a ＝ 2，则 a ＝ ________.nn 4 23 7答案： 8分析：设等比数列 {n }的首项为a 1，公比为q ，明显q ≠1 且＞0. 由于4＝ 3 2，所以aqSSa 1 － q 43a 1 － q 2 ，解得 2 ＝ 2. 由于 3＝ 2，所以 7 42＝qa＝ 3＝2×2＝ 8.1－ q1－ qa a q1．已知数列 { a n } 是首项a1＝4 的等比数列， 且 4 1，5，－ 2 a 3成等差数列，则其公比q ＝ ()a aA ．－ 1B ．1C ．1 或－ 1D ． 2答案： C分析：∵ 4a 1， a 5，－ 2a 3 成等差数列，∴ 2a 5＝ 4a 1－ 2a 3，即 2a 1q 4＝ 4a 1－ 2a 1 q 2，又∵ a 1＝ 4，则有 q 4＋ q 2－ 2＝ 0，解得 q 2＝ 1，∴ q ＝± 1，应选 C.*n22222．数列 { a n } 中，已知对随意 n ∈ N ， a 1＋ a 2＋ a 3＋ ＋ a n ＝ 3 － 1，则 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ ＋ a n ＝()n21 nA ．(3 － 1)B ．2(9 － 1)n－ 11 n － 1)C ．9D ． (34答案： Bn*，分析：∵ a1＋ a2＋＋ a n＝3－1，n∈ N当 n≥2时， a1＋ a2＋＋ a n－1＝3n－1－1，∴当 n≥2时， a n＝3n－3n－1＝2·3n－1.n－1又 n＝1时， a1＝2合适上式，∴ a n＝2·3，2故数列 { a n} 是首项为 4，公比为9 的等比数列．所以22＋＋a 2－9n1n－1)．1＋ 2n＝＝ (9a a1－ 92*13．已知数列 { a n} 知足 log 3a n＋1＝ log 3a n＋1( n∈ N) ，且a2＋a4＋ a6＝9，则log3 ( a5＋ a7＋a9)＝ ()A．－ 5B．－1 51C．5D．5答案： A分析：∵ log 3a n＋ 1＝ log 3a n＋1，∴a n＋1＝ 3a n.∴数列 { a n} 是以 3 为公比的等比数列．∴a2＋a4＋ a6＝ a2(1＋q2＋ q4)＝9.∴a5＋a7＋ a9＝ a5(1＋q2＋ q4)＝ a2q3(1＋q2＋ q4)＝35.15∴log 3 ＝－ 5.314．数列 { a n} 是等比数列，若a2＝2， a5＝4，则 a1a2＋ a2a3＋＋ a n a n＋1＝________.32－n答案：(1－4 )分析：设等比数列{ a n} 的公比为q，由等比数列的性质知，3a5＝a2q，解得1 q＝2，所以a1＝4.111a2a3＝2a12a2＝4a1a2，n n＋1＝1a n－111n(≥2)．2a n＝n－ 1a a24aa n设 b n＝ a n a n＋1，能够得出数列{ b n} 是以 8 为首项，以1a1a2＋a2a3 4为公比的等比数列，所以＋＋ a n a n＋1为数列{ b n}的前 n 项和，由等比数列的前n 项和公式，得a1a2＋ a2a3＋＋ a n a n＋11n81－432－ n＝1 ＝ 3(1－4 )．1－ 45. 已知公比不为11 的等比数列 { a } 的首项 a 1 ＝2，前 n 项和为 S ，且 a 4＋ S 4， a 5＋ S 5，a 6＋nnS 6 成等差数列．(1) 求等比数列 { a n } 的通项公式；*n与 a n ＋ 1之间插入 3n个数，使这 n个数成等差数列，记插入的这3n(2) 对 n ∈ N ，在 a 3 ＋ 2个数的和为 b n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .解： (1) 由于 a 4＋ S 4， a 5＋ S 5， a 6＋ S 6 成等差数列，所以 a 5＋ S 5－ a 4－S 4 ＝a 6＋ S 6－ a 5－ S 5 ，即 2a 6－ 3a 5＋ a 4＝0，所以 2q 2－ 3q ＋ 1＝ 0，1由于 q ≠1，所以 q ＝ 2，所以等比数列 { a } 的通项公式为1a ＝2 .nn n(2) 由题意，得nn ＋1n3× 3 n n ＝ a＋ a·3＝，b24 233n ＋ 13 2－29 3 n所以 T n ＝ ×＝－ 1 .41－34 226．已知数列 { a n } 知足 a 1＝5， a 2＝ 5，a n ＋ 1＝ a n ＋6a n － 1( n ≥2) ．(1) 求证： { a n ＋1＋ 2a n } 是等比数列；(2) 求数列 { a n } 的通项公式．(1) 证明：∵ a n ＋ 1＝ a n ＋ 6a n －1 ( n ≥2) ，∴ a n ＋ 1＋ 2a n ＝ 3a n ＋ 6a n －1＝ 3( a n ＋ 2a n － 1)( n ≥2) ．∵a 1＝5， a 2＝ 5，∴ a 2＋2a 1＝ 15，∴ a n ＋2a n －1≠0( n ≥2) ，a n ＋ 1＋ 2a n∴ a n ＋2a n －1＝ 3( n ≥2) ，∴数列 { a n ＋ 1＋ 2a n } 是以 15 为首项，以 3 为公比的等比数列．(2) 解：由 (1) ，得 a n ＋ 1＋ 2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则 a n ＋ 1＝－ 2a n ＋5×3n ，∴an ＋ 1n－ 3 ＝－ 2( a － 3 ) ．n ＋ 1n又∵ a1－3＝2，∴ a n－3n≠0，∴{a n－ 3n} 是以 2 为首项，以－ 2 为公比的等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，即 a n＝2×(－2)n－1＋3n.。
高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(七十六) 坐标系 理 新人教版
课时跟踪检测(七十六) 坐标系1．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求． 2．(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程． 解：(1)将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2， 得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r . 所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r (0≤θ＜2π)．(2)法一：把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x 2＋y 2＝8·yx 2＋y 2，即x 2＋y 2－8y ＝0， 即x 2＋(y －4)2＝16.法二：方程两边同时乘以ρ， 得ρ2＝8ρsin θ， 即x 2＋y 2－8y ＝0.3．(2015·广东高考改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4对应的直角坐标为A (2，－2)， 所以点A (2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为 |2＋2＋1|2＝522.4．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.5．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点，求M ，N 的最小距离．解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点，即M ，N分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径r ＝1，故最小值为|0－1－1|2－1＝2－1.6．(2016·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 7．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 8．(2016·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求： (1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离． 解：(1)如图，由正弦定理得 ρsin 2π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin 2π3＝32， ∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32.(2)作OH ⊥l ，垂足为H ，在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3，则OH ＝OA sin π3＝32，即极点到该直线的距离等于32.。
2025届高考数学一轮复习第7章不等式第2节二元一次不等式组及简单的线性规划问题课时跟踪检测理含解析
第七章 不等式其次节 二元一次不等式(组)及简洁的线性规划问题A 级·基础过关 |固根基|1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )A B C D解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C ．2．(2025届南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤12，43 C ．⎣⎡⎦⎤12，2D ．⎣⎡⎦⎤43，2解析：选C不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得点A (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得点C (1，2)．又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此依据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2.3．(2024年浙江卷)若实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点A (2，2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.故选C ．4．(2025届贵阳摸底)已知实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥4，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．11B ．9C ．8D ．3解析：选C 依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移，则当直线y ＝－3x ＋z 过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即B (2，2)，故z 的最小值为3×2＋2＝8.故选C ．5．(2025届昆明市质检)若x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －3y －3≤0，且z ＝x ＋2y ，则( )A ．z 有最小值也有最大值B ．z 无最小值也无最大值C ．z 有最小值无最大值D ．z 有最大值无最小值解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋2y 可变形为y ＝－12x ＋z2，所以z的几何意义为直线y ＝－12x ＋z2的纵截距的两倍，结合图形可知，当直线z ＝x ＋2y 过A 点时，z 取最小值，无最大值．6．(2025届郑州市其次次质量预料)设变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值为( ) A ．⎝⎛⎭⎫1311B ．⎝⎛⎭⎫133C ．3D ．4解析：选C 可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y，设u ＝3x ＋y ，欲求z＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值，等价于求u ＝3x ＋y 的最小值．u ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋u ，该直线的纵截距为u ，作出直线y ＝－3x 并平移，当直线y ＝－3x ＋u 经过点B (－1，2)时，纵截距u 取得最小值u min ＝3×(－1)＋2＝－1，所以z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y 的最大值z max ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3.故选C ．7．设x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1，5]B ．[2，6]C ．[2，10]D ．[3，11]解析：选D 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )与定点D (－1，－1)连线的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，易知B (0，4)，A ⎝⎛⎭⎫127，127，则z ′∈[k DA ，k DB ]，又k DB ＝4＋10＋1＝5，k DA ＝127＋1127＋1＝1，∴z ′∈[1，5]，所以z ＝1＋2z ′∈[3，11]．8．(2025届济南市高考模拟)已知变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，若z ＝2x －y ，则z 的取值范围是( )A ．[－5，6)B ．[－5，6]C ．(2，9)D ．[－5，9]解析：选A 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y＝2x ，并平移，可知当直线经过点A (－2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5；当直线经过点B (2，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×2＋2＝6.由于点B 不在可行域内，所以z ∈[－5，6)，故选A ．9．已知实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋1，y ≥－x ＋4，x ≥3，则z ＝1－y －3x 的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即B (3，1)．由图可知，直线z ＝1－y －3x 经过点B (3，1)时，z 取得最大值，z max ＝1－1－3×3＝－9.答案：－910．已知x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有多数个，则a的值等于________．解析：先依据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有多数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－1B 级·素养提升 |练实力|11.(2025届成都摸底)若实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≤0，x －1≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选A 解法一：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作出y ＝12x 并平移，由图可知，当动直线y ＝12x －12z 经过点A 时，z 取得小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －2＝0，得A 1，12，即z min ＝1－2×12＝0，故选A ．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，此时z ＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，此时z ＝2；由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，此时z ＝1.综上所述，z 最小值为0，故选A ． 12．(2025届南昌市重点中学测试)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]D ．(－∞，8]解析：选C不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，由图知目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值的最优解为A (1，4)，所以目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为6.因为∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，所以a ≤6，故选C ．13．(2025届江西五校联考)设点M 是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －2y ＋6≥0，x ＋2y ＋2≥0表示的区域Ω1内任一点，点N 是区域Ω1关于直线l ：y ＝x 的对称区域Ω2内的任一点，则|MN |的最大值为( )A ． 2B ．2 2C ．4 2D ．5 2解析：选D不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －2y ＋6≥0，x ＋2y ＋2≥0表示的区域Ω1如图中阴影部分所示，因为区域Ω1与区域Ω2关于直线y ＝x 对称，并且M 是区域Ω1内任一点，N 是区域Ω2内任一点，所以当点M 到直线y ＝x 的距离最大，并且点N 为M 关于直线y ＝x 的对称点时，|MN |最大，最大值为点M 到直线y ＝x 距离的2倍，因此转化为求区域Ω1内的点到直线y ＝x 的距离的最大值，由图可知点A (－4，1)到直线y ＝x 的距离最大，为522，所以|MN |的最大值为5 2.14．设实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，y －12x ≥0，x －1≥0，则u ＝y x －xy的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤－23，2 C ．⎣⎡⎦⎤－23，32 D ．⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令yx ＝t ，由图可得k BO ≤t ≤k OA ，而12≤t ≤2，则u ＝t －1t 在⎣⎡⎦⎤12，2上明显是增函数，所以当t ＝12时，u min ＝－32；当t ＝2时，u max ＝32，因此u ＝y x －xy的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，32.15．设x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．16解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线ax ＋by ＝0(a >0，b >0)并平移，可知在点A (2，3)处，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最小值2，故2a ＋3b ＝2≥22a ×3b ，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝12，b ＝13时取等号，所以ab ≤16，故选D ．16．(2025届河北五个一名校联盟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元B ．17万元C ．18万元D ．19万元解析：选C 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满意不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点A (2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．。
高考数学一轮复习 坐标系跟踪检测 理(含解析)新人教A
课时跟踪检测(七十七) 坐 标 系1．(2013·西城模拟)将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为________． 2．(2013·东城模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos θ围成的图形面积为________． 3．(2014·皖南八校联考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 4．(2013·安庆模拟)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为________．5．(2014·保定模拟)点M ，N 分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN |的最小值是________．6．(2013·福建模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)上任意两点间的距离的最大值为________．7．(2013·大连模拟)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，则PQ 的最大值是________． 8．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，圆C 的坐标方程为ρ＝2cos α＋4sin α，则直线l 被圆C 所截得的弦长为________．9．(2013·汉中模拟)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．10．在极坐标系中，圆ρ＝43cos θ的圆心到直线θ＝π3(ρ∈R )的距离是________．11．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．12．在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线l 极坐标方程为________．13．(2014·汕头模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ过极点，一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠AOx ＝45°，则OA ＝________.14．(2013·江西八校联考)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．15．(2013·福州质检)经过极点且圆心的极坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π4的圆C 的极坐标方程为________．16．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，则点B 的极坐标为________．17．(2013·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0.若点P (x ，y )在该圆上，则x ＋y 的最大值和最小值分别为________，________.答案1．解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6.∴M (2，7π6)．答案：⎝⎛⎭⎫2，7π6 2．解析：依题意得，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，它表示的是以点(2,0)为圆心、2为半径的圆，因此其面积是π×22＝4π.答案：4π3．解析：该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 答案：⎝⎛⎭⎫1，－π2 4．解析：由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点2，π3的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.答案： 35．解析：ρsin θ＝2化为普通方程为y ＝2， ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，圆(x －1)2＋y 2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y ＝2的距离减去半径，即为2－1＝1.答案：16．解析：曲线的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝22，易知此曲线为圆，而圆上任意两点间的距离的最大值为直径4.答案：47．解析：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， 圆心坐标为(33，3)，半径为6. ∴|PQ |max ＝6＋6＋ (33)2＋(6－3)2＝18.答案：188．解析：由题意知，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0，由极坐标系与直角坐标系的关系知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设AB 的中点为M ，在Rt △AMC 中，|AC |＝5，|CM |＝|3－2－3|3＋1＝1，∴|AM |＝5－1＝2，∴|AB |＝2|AM |＝4，故截得的弦长为4. 答案：49．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2. 答案：－8或210．解析：由题意可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－43x ＝0，圆心为(23，0)，直线的直角坐标方程是y ＝3x ，所以圆心到直线的距离为62＝3.答案：311．解析：由题意可得点⎝⎛⎭⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，点在圆上，所以切线只有一条，切线的直角坐标方程是x ＝2，极坐标方程为ρcos θ＝2.答案：ρcos θ＝212．解析：由题意可得直线l 的斜率是－33，所以直线l 的直角坐标方程是y ＝－33(x －1)，即x ＋3y ＝1，极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝1.答案：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1或2ρcos θ－π3＝1， ρcos θ＋3ρsin θ＝113．解析：圆C 的直角坐标方程为：x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线OA ：y ＝x 的距离为22，则弦长OA ＝ 2. 答案： 214．解析：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，则|3×1＋4×－2＋m |5>1，故m >10或m <0.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)15．解析：设圆C 上的任意一点的极坐标P (ρ，θ)，过OC 的直径的另一端点为B ，连接PO ，PB ，则在直角三角形OPB 中，∠OPB ＝π2，∠POB ＝θ－π4(写∠POB ＝θ－π4也可)．从而有ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 答案：ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 16．解析：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1. ∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)． 过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短． 易得|OB |＝22. ∴B 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4.答案：⎝⎛⎭⎫22，3π417．解析：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，所以x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2. 答案：6 2。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
高考数学一轮复习第6章数列第4节数列求和课件理新人教A版
(2)由(1)得 bn＝3n＋2n－1，
所以
Sn
＝
(3
＋
32
＋
33
＋
…
＋
3n)
＋
(1
＋
3
＋
5
＋
…
＋
2n
－
1)
＝
3（1－3n） 1－3
＋
n（1＋2n－1） 2
＝32(3n－1)＋n2
＝3n2＋1＋n2－32.
考点二 裂项相消法求和问题 【例 2】 (2020 届合肥调研)已知在等差数列{an}中，a2＝12，a5＝24，数列{bn}满 足 b1＝4，bn＋1－bn＝an(n∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求使得b11＋b12＋b13＋…＋b1n＞187成立的最小正整数 n 的值．
(2)由(1)得b1n＝2n2＋1 2n＝2n（n1＋1）＝121n－n＋1 1， ∴b11＋b12＋b13＋…＋b1n＝121－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝121－n＋1 1＝2（nn＋1），即 2（nn＋1）＞187，解得 n＞16， ∴满足条件的最小正整数 n 的值为 17.
►名师点津 利用裂项相消法求和的注意事项
|跟踪训练| 2．(2019 届安徽模拟)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求证：aa1＋1a21＋aa2＋2a31＋…＋aanna＋n＋11<1._________
证明：(1)由 an＋1＝2an＋1，得 an＋1＋1＝2(an＋1)． 又 a1＋1＝2，所以{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 所以 an＋1＝2n，因此{an}的通项公式为 an＝2n－1. (2)由(1)知aanna＋n＋11＝（2n－1）2（n 2n＋1－1）＝2n－1 1－2n＋11－1，于是aa1＋1a21＋aa2＋2a31＋…＋ aanna＋n＋11＝21－1 1－22－1 1＋22－1 1－23－1 1＋…＋2n－1 1－2n＋11－1＝1－2n＋11－1，所以aa1＋1a21＋ aa2＋2a31＋…＋aanna＋n＋11<1.
高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测37 绝对值不等式(选修4-5) Word版含解析[ 高考]
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课时跟踪检测(三十七)绝对值不等式(选修4－5) 第Ⅰ组：全员必做题1．如果|x－a|<ε2，|y－a|<ε2，则一定有()A．|x－y|<εB．|x－y|>εC．|x－y|<ε2D．|x－y|>ε22．不等式2<|x＋1|<4的解集为()A．(1,3) B．(－5，－3)∪(0,3)C．(－5,0) D．(－5，－3)∪(1,3)3．(2012·哈尔滨模拟)不等式|x＋1|>|2x－3|－2的解集为()A．(－∞，－6) B．(－6,0)C．(0,6) D．(6，＋∞)4．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]5．已知不等式|a－2x|>x－1，对任意x∈[0,2]恒成立，则a的取值范围为() A．(－∞，1)∪(5，＋∞) B．(－∞，2)∪(5，＋∞)C．(1,5) D．(2,5)6．若关于x的不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的值为________．7．(2014·青岛一模)不等式|2x＋1|－|x－4|>2的解集是________．8．(2014·西安检测)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围为________．9．(2013·福建高考)设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且32∈A，12∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．10．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·广州一模)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．2．(2013·湖北八校联考)若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选A |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|y －a |<ε，即|x －y |<ε.2．选D ∵2<|x ＋1|<4，∴2<x ＋1<4或－4<x ＋1<－2，∴1<x <3或－5<x <－3.3．选C 原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－(x ＋1)>－(2x －3)－2 或②⎩⎨⎧ －1<x <32，x ＋1>－(2x －3)－2或③⎩⎨⎧ x ≥32，x ＋1>2x －3－2.不等式组①的解集为∅，不等式组②的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，不等式组③的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，6，因此原不等式的解集为(0,6)． 4．选A 由绝对值的几何意义易知：|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.5．选B 当0≤x <1时，不等式|a －2x |>x －1对a ∈R 恒成立；当1≤x ≤2时，不等式|a －2x |>x －1，即a －2x <1－x 或a －2x >x －1，x >a －1或3x <1＋a ，由题意得1>a －1或6<1＋a ，a <2或a >5；综上所述，则a 的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．6．解析：由题意可知，－1和2都是|ax ＋2|＝6的根，所以|－a ＋2|＝6且|2a ＋2|＝6，解得a ＝－4.答案：－47．解析：原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎨⎧ －12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2，解得x ∈(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 答案：(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 8．解析：函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)9．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ， 且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.10．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |>3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|>3即可，所以m ＋1>3或m ＋1<－3，解得m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．解析：只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a＋4a整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．答案：(－∞，－4]∪[－1,0)。
高考数学理一轮总复习 开卷速查 坐标系(含解析)新人教
开卷速查(选修4－4－1) 坐标系A 级 基础巩固练1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，2y′＝y.(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到点B′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l′的方程．解析：(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，2y′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设B(x ，y)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，2y′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x′，y ＝2y′.由于点B′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B(－1,1)为所求．(3)由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，2y′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′3，y ＝2y′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y′＝x′，因此直线l 的方程为y ＝x.2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1＋t (t 为参数)与圆C ：ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)试判断直线l 和圆C 的位置关系； (2)求圆上的点到直线l 的距离的最大值．解析：(1)直线l 的参数方程消去参数t ，得x ＋y －1＝0.由圆C 的极坐标方程，得ρ2＝42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r ＝2 2.从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋2－1|12＋12＝322， 显然322＜22，所以直线l 和圆C 相交．(2)由(1)知圆心C 到直线l 的距离为d ＝322，所以圆上的点到直线l 的距离的最大值为322＋22＝722. 4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．B 级 能力提升练5．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP|·|OQ|＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解析：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．6．[2014·辽宁]将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t ，(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。
21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心素养测评 七十七 坐 标 系 含解析
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核心素养测评七十七坐标系(20分钟40分)1.(10分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程.(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得由+=1,得x2+=1,即曲线C的标准方程为x2+=1.(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率为k=,于是所求直线的方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,故所求直线的极坐标方程为ρ=.2.(10分)(2019·洛阳模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【解析】(1)由ρ=2知ρ2=4,由坐标变换公式,得x2+y2=4.因为ρ2-2ρcos=2,所以ρ2-2ρ=2.由坐标变换公式,得x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=.3.(10分)(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点. 综上可得,k=-,C1的方程为:y=-|x|+2.4.(10分)已知曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线l过原点,且被曲线C截得的弦长最小,求直线l的直角坐标方程.(2)若M是曲线C上的动点,且点M的直角坐标为(x,y),求x+y的最大值.【解析】(1)ρ2-2ρcos-2=0,即ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-2=0,将代入上式,得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,圆心C(1,-1),若直线l被曲线C截得的弦长最小,则直线l与OC垂直, 即k l·k OC=-1,k OC=-1,因而k l=1,故直线l的直角坐标方程为y=x. (2)因为M是曲线C上的动点,因而利用圆的参数方程可设(φ为参数),则x+y=2sin φ+2cos φ=2sin,当sin=1时,x+y取得最大值2.关闭Word文档返回原板块。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：71 坐标系 Word版含解析
课时作业71 坐标系1．在极坐标系中 ,圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 π4 ,圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点 ,求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中 ,令θ＝0 ,得ρ＝1 ,所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 π4 ,所以圆C 的半径 |PC |＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1 ,于是圆C 过极点 ,所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.2．设M ,N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点 ,求M ,N 的最|小距离．解：因为M ,N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点 ,即M ,N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点 ,要求M ,N 两点间的最|小距离 ,即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最|小 ,即圆心(0 ,－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径 ,故最|小值为|0－1－1|2－1＝2－1.3．(2021·广东华南师大附中检测)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α y ＝1＋t sin α(t 为参数)．以O 为极点 ,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线C 的极坐标方程为ρ＝ρcos θ＋2.(1)写出直线l 经过的定点的直角坐标 ,并求曲线C 的普通方程； (2)假设α＝π4 ,求直线l 的极坐标方程 ,以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．解：(1)直线l 经过定点(－1,1) , 由ρ＝ρcos θ＋2得ρ2＝(ρcos θ＋2)2 ,得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝(x ＋2)2 ,化简得y 2＝4x ＋4.(2)假设α＝π4 ,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22ty ＝1＋22t的普通方程为y ＝x ＋2 ,那么直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋2 ,联立曲线C ：ρ＝ρcos θ＋2.因为ρ≠0得sin θ＝1 ,取θ＝π2 ,得ρ＝2 ,所以直线l 与曲线C 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2 π2.4．(2021·江苏卷)在极坐标系中 ,直线l 的方程为ρsin(π6－θ)＝2 ,曲线C 的方程为ρ＝4cos θ ,求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ ,所以曲线C 是圆心为(2,0) ,直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin(π6－θ)＝2 , 那么直线l 过A (4,0) ,倾斜角为π6 ,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ,那么∠OAB ＝π6.连接OB .如图．因为OA 为直径 ,从而∠OBA ＝π2 , 所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此 ,直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.5．在平面直角坐标系xOy 中 ,曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1 ,曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数) ,以O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1 ,C 2的极坐标方程；(2)射线y ＝33x (x ≥0)与C 1异于原点的交点为A ,与C 2的交点为B ,求|AB |.解：(1)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入曲线C 1的方程：(x －1)2＋y 2＝1 ,可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ ,曲线C 2的普通方程为x 22＋y 2＝1 ,将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ y ＝ρsin θ代入 ,得到C 2的极坐标方程为ρ2(1＋sin 2θ)＝2.(2)射线的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0) ,与曲线C 1的交点的极径为ρ1＝2cos π6＝ 3 ,射线θ＝π6(ρ≥0)与曲线C 2的交点的极径满足ρ22⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2π6＝2 , 解得ρ2＝2105 ,所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝3－2105.6．(2021·河南八市测评)在平面直角坐标系xOy 中 ,直线l ：y ＝3x ,圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos α y ＝a ＋3sin α(α为参数) ,以坐标原点为极点 ,以x 轴正半轴为极轴 ,建立极坐标系．(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)假设直线l 与圆C 交于A ,B 两点 ,且△ABC 的面积是334 ,求实数a 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得3ρcos θ＝ρsin θ ,所以θ＝π3.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos α y ＝a ＋3sin α化为直角坐标方程为(x －3)2＋(y －a )2＝3 , 所以x 2＋y 2－6x －2ay ＋a 2＋6＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入上式得ρ2－6ρcos θ－2aρsin θ＋a 2＋6＝0.圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－2aρsin θ＋a 2＋6＝0.(2)因为S △ABC ＝12AC ·BC sin ∠ACB ＝12×3×3sin ∠ACB ＝334 ,得∠ACB ＝π3或23π ,当∠ACB ＝π3时 ,|AB |＝ 3.由(1)知直线l 的极坐标方程为θ＝π3 ,代入圆C 的极坐标方程得ρ2－(3＋3a )ρ＋a 2＋6＝0.所以|ρ1－ρ2|2＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝(3＋3a )2－4(a 2＋6)＝3 , 化简得a 2－63a ＋18＝0 , 解得a ＝33＋3或a ＝33－3.当∠ACB ＝23π时 ,|AB |＝3 ,同理计算可得a ＝43或a ＝2 3. 综上：a 的取值为33±3或23或4 3.。
一轮复习课时跟踪检测(三)小说归纳概括类题目+Word版含解析.doc
课时跟踪检测（三）小说归纳概括类题目一、阅读下面的文字，完成1～3题。
梨花箱李德霞奶奶上山挖野菜，回来时滚了坡，两条腿就不能动了。
父亲把奶奶背到金先生家，金先生看过后说：“人上了岁数不经摔，回家慢慢调养吧。
调养得好，兴许能送个屎尿。
”奶奶的腿，被金先生判了死刑。
父亲又把奶奶背回家。
奶奶原来住西屋，父亲的腿还没迈上台阶，背上的奶奶就喊：“雷劈的，西屋照不了多少日头，你想让我早点死啊！我住北屋！”父亲看看母亲，母亲说：“就依娘。
”北屋是倒炕，离窗户远，奶奶说：“给我弄张床，我睡窗口那边。
”父亲和母亲“吭哧吭哧”从下房挪来那张老式木头床，摆在窗口前，铺好被褥，扶奶奶躺下去。
奶奶很满足，很惬意的样子。
奶奶似乎把支使父亲做这儿做那儿当成了乐趣，刚躺一会儿，奶奶又说：“去，把我西屋那边的梨花箱搬过来。
”梨花箱是奶奶的陪嫁品，梨木做的，上面画着一朵朵梨花，煞是好看。
梨花箱里没啥值钱的东西，全是奶奶打了补丁、磨出毛边的旧衣裳。
破归破，旧归旧，可一件件洗得干净，叠得齐整。
父亲搬来梨花箱，放到奶奶够得着的地方，奶奶闭上眼安静地睡了。
吃饭了，父亲端来玉米糁子糊糊。
奶奶爱吃煮烂了的土豆块，父亲就多捞几块沉在碗底。
奶奶一看父亲手里的稀饭，脸一板，叫：“雷劈的，你要饿死我吗？我不喝稀的，吃稠的……我吃玉米饽饽！”父亲不敢还嘴，赔着笑端走稀饭。
回到西屋，父亲一脸疑惑地对母亲说：“咱娘以前不是这个样子，咋就不讲理了？”母亲边做玉米饽饽边说：“昨天咱娘还活蹦乱跳的，一下子不能动了，换你，心里能好受？她不拿捏你拿捏谁？”母亲做好了玉米饽饽，父亲趁热给奶奶端过去。
父亲搁下碗，扶奶奶起来，拉条板凳坐在奶奶床边。
父亲想和奶奶好好说会儿话。
奶奶并不领情，瞪一眼父亲，凶巴巴地嚷：“我吃饭，你看着，你让我怎么往下咽？几年的私塾白念啦？”父亲灰了脸，急急地走开。
从此，父亲再给奶奶送玉米饽饽，搁下碗就走，他怕惹奶奶不高兴。
转眼，几天过去。
父亲发现了新问题，回来对母亲说：“咱娘一顿两个玉米饽饽，一天吃两顿，咋越吃越没精神头了？”母亲说：“你快去请金先生来，可别憋出别的病来。
高考人教版数学(理)一轮复习跟踪检测74 变量间的相关关系、统计案例 Word版含解析[ 高考]
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课时跟踪检测(七十四)变量间的相关关系、统计案例第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·枣庄模拟)下面是2×2列联表：则表中a，b的值分别为()A．94,72B．52,50C．52,74D．74,522．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；^＝3－5x，变量x增加1个单位时，y^平均增加5个单②设有一个回归方程y位；^＝b^x＋a^必过样本点的中心(x，y)；③线性回归方程y④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3本题可以参考独立性检验临界值表3.(2013·广州模拟)工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ＝60＋90x，下列判断正确的是()A．劳动产值为1 000元时，工资为50元B．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，算得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元6．高三某学生高考成绩y (分)与高三期间有效复习时间x (天)正相关，且回归方程是y ^＝3x ＋50，若期望他高考达到500分，那么他的有效复习时间应不低于________天．7．高三某班学生每周用于物理学习的时间x (单位：小时)与物理成绩y (单位：分)之间有如下关系：________．(答案保留到0.1)8．某中学生物研究性学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究，记录了实验室4月10日至4月14日的每天昼夜温差与每天每50颗稻籽浸泡后的发芽数，得到如下资料：关于温差x 的线性回归方程为________．(参考公式：回归直线方程y ^＝b^x ＋a ^，其中b^＝∑i=1nx i y i －n x y ∑i=1nx 2i －n (x )2，a^＝y －b^x ) 9．(2013·深圳调研)一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：(1)归方程；(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2名参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )．(回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑i=1n(x i－x)(y i－y)∑i=1n(x i－x)2，a^＝y－b^x)10．(2013·石家庄模拟)为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表的概率；(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)第Ⅱ组：重点选做题1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为() A．－1 B．0C.12D．12．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x－，y－)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.2．选B数据的方差与加了什么样的常数无关，①正确；对于回归方程y^＝3－5x，变量x增加1个单位时，y^平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的相关概念易知③正确；因为K2＝13.079>k＝10.828，故有99%的把握确认这两个变量间有关系，④正确．3．选C回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b个单位．4．选C根据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.5．选B样本中心点是(3.5,42)，a^＝y－b^x，则a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y^＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y^＝65.5.6．解析：本题主要考查运用线性回归方程来预测变量取值．当y^＝500时，易得x＝500－503＝150.答案：1507．解析：由已知可得x＝24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋1310＝17.4，y＝92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋5910＝74.9.设回归直线方程为y^＝3.53x＋a^，则74.9＝3.53×17.4＋a^，解得a^≈13.5. 答案：13.58．解析：因为x＝12，y＝13.2，所以b ^＝10×11＋12×13＋13×14＋14×16＋11×12－5×12×13.2102＋122＋132＋142＋112－5×122＝1.2，于是，a^＝13.2－1.2×12＝－1.2，故所求线性回归方程为y ^＝1.2x －1.2.答案：y ^＝1.2x －1.29．解：(1)散点图如图所示．x ＝89＋91＋93＋95＋975＝93，y ＝87＋89＋89＋92＋935＝90，∑i =15(x i －x )2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40，∑i =15(x i －x )(y i －y )＝(－4)×(－3)＋(－2)×(－1)＋0×(－1)＋2×2＋4×3＝30，b^＝3040＝0.75，b ^x ＝69.75，a ^＝y －b ^x ＝20.25. 故这些数据的回归方程是：y ^＝0.75x ＋20.25. (2)随机变量X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 24＝16；P (X ＝1)＝C 12C 12C 24＝23；P (X ＝2)＝C 22C 24＝16.故X 的分布列为：∴E (X )＝0×16＋1×23＋2×16＝1.10．解：(1)由男生上网时间与频数分布表可知100名男生中，上网时间少于60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为C 1 60C 2 40C 3100＝156539.(2)K 2＝200×(1 800－2 800)2100×100×130×70＝20091≈2.20，∵K 2≈2.20<2.706.∴没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”． 第Ⅱ组：重点选做题1．选D 利用相关系数的意义直接作出判断．样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即y i ＝y ^i ，代入相关系数公式R＝1－∑i=1n(y i－y^i)2∑i=1n(y i－y－)2＝1.2．选D根据线性回归方程中各系数的意义求解．由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(x，y)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D 不正确．。
高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测44 Word版含答案
课时跟踪检测(四十四)1．点M (－8,6,1)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－8，－6，－1) B ．(8，－6，－1) C ．(8，－6,1) D ．(－8，－6,1)答案：A解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．2．O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断 答案：B解析：因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．3．在空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直 答案：B 解析：由题意得， AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线．又AB →与CD →没有公共点，∴AB ∥CD .4．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)答案：B解析：由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．5．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案：C解析：∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0， ∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．6．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →＜AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →＞AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较 答案：C解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉＞90°，所以AE →·CD →＜0. 又因为AE →·BC →＝0，所以AE →·BC →＞AE →·CD →.7．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．43 C.53 D ．75答案：D解析：由题意，得k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75.8．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．答案：(0，2，3) 解析：由题意知，点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)．9．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|＝________. 答案：773解析：设P (x ，y ，z )， ∴AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.又D (1,1,1)，∴|PD →|＝773.10．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案：60°解析：由题意，得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10， 即2a·c ＋b·c ＝－10. 又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.1．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2 C.14a 2 D ．34a 2 答案：C解析： 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a·c ＋b·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案：B解析：分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，∵A 1M ＝AN ＝23a ， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23a ，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，23a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴C 1D 1→＝(0，a,0)， ∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．答案：解析：由题意，设BP →＝λBD 1→， 其中λ∈，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →) ＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→ ＝AB →2＋λAB →·(AD 1→－AB →) ＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈． 因此DC →·AP →的取值范围是．4.已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：∵点Q 在直线OP 上， ∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.5．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 解：记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝ 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.6．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，P (0,0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解：假设存在满足条件的点G ，设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，即存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业70坐标系 含解析
(2)设点Q在C2上， ＝ ，求动点P轨迹的极坐标方程．
解析：(1)联立，得 得cosθ＝± ，
∵0≤θ＜ ，∴cosθ＝ ，θ＝ ，
∴2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，则ρ0＝4cosθ0，θ0∈ ，
由 ＝ ，得
∴ ρ＝4cosθ ，故动点P的极坐标方程为ρ＝10cosθ，θ∈ .
|AB|＝ρB－ρA＝4 ＝2( －1)，
则△MAB的面积S＝ |AB|×d＝3－ .
4．[2019·南昌模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρsin ＝2.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)设曲线C1，C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．
将C2的参数方程代入曲线C1的直角坐标方程得到 2＋ －2t＝0，
整理得t2－(4 ＋2)t＋16＝0，判别式Δ＞0，
则线段AB的中点对应的参数为2 ＋1，
所以线段AB的中点到点E的距离为2 ＋1.
5．[2019·东北三省模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ .
(2)由(1)知圆心C2(－ ，－1)，圆的半径r＝ ，
又圆心C2到直线C1的距离
d＝ ＝1，
则|PQ|＝2 ＝2 .
又原点O到直线PQ的距离d1＝ ＝1，
所以S△OPQ＝ |PQ|·d1＝ ×2 ×1＝ .
3．[2019·太原模拟]已知点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹方程为曲线C2.
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课时跟踪检测(七十七) 坐 标 系
1．(2013·西城模拟)将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为________． 2．(2013·东城模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos θ围成的图形面积为________． 3．(2014·皖南八校联考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 4．(2013·安庆模拟)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π
3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为________．
5．(2014·保定模拟)点M ，N 分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN |的最小值是________．
6．(2013·福建模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π
3)上任意两点间的距离的最大值为
________．
7．(2013·大连模拟)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
6上的动点，则PQ 的最大值是________． 8．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝1＋12
t ，
y ＝3
2t
(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标，圆C 的坐标方程为ρ＝2cos α＋4sin α，则直线l 被圆C 所截得的弦长为
________．
9．(2013·汉中模拟)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．
10．在极坐标系中，圆ρ＝43cos θ的圆心到直线θ＝π
3(ρ∈R )的距离是________．
11．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π
4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．
12．在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线θ＝π
3(ρ∈R )垂直，则直线l 极坐标方程为
________．
13．(2014·汕头模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ过极点，一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠AOx ＝45°，则OA ＝________.
14．(2013·江西八校联考)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．
15．(2013·福州质检)经过极点且圆心的极坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π
4的圆C 的极坐标方程为________．
16．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎫1，π
2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，则点B 的极坐标为________．
17．(2013·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＋6＝0.若点P (x ，y )在该圆上，则x ＋y 的最大值和最小值分别为________，________.
答案
1．解析：ρ＝
(－3)2＋(－1)2＝
3＋1＝2，
tan θ＝－1
－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6.∴M (2，7π
6)．
答案：⎝
⎛⎭⎫2，7π
6 2．解析：依题意得，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，它表示的是以点(2,0)为圆心、2为半径的圆，因此其面积是π×22＝4π.
答案：4π
3．解析：该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为⎝
⎛⎭⎫1，－π
2. 答案：⎝
⎛⎭⎫1，－π
2 4．解析：由⎩⎨⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π
3＝1，
y ＝ρsin θ＝2sin π
3
＝3可知，点2，π
3
的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos
θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.
答案： 3
5．解析：ρsin θ＝2化为普通方程为y ＝2， ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，
圆(x －1)2＋y 2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y ＝2的距离减去半径，即为2－1＝1.
答案：1
6．解析：曲线的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝22，易知此曲线为圆，而圆上任意两点间的距离的最大值为直径4.
答案：4
7．解析：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， 圆心坐标为(33，3)，半径为6. ∴|PQ |max ＝6＋6＋ (33)2＋(6－3)2＝18.
答案：18
8．解析：由题意知，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0，由极坐标系与直角坐标系的关系知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设AB 的中点为M ，在Rt △AMC 中，|AC |＝5，|CM |＝
|3－2－3|
3＋1
＝1，
∴|AM |＝5－1＝2，
∴|AB |＝2|AM |＝4，故截得的弦长为4. 答案：4
9．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |
32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.
故a 的值为－8或2.
答案：－8或2
10．解析：由题意可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－43x ＝0，圆心为(23，0)，直线的直角坐标方程是y ＝3x ，所以圆心到直线的距离为6
2
＝3.
答案：3
11．解析：由题意可得点⎝⎛⎭⎫22，π
4的直角坐标为(2,2)，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，点在圆上，所以切线只有一条，切线的直角坐标方程是x ＝2，极坐标方程为ρcos θ＝2.
答案：ρcos θ＝2
12．解析：由题意可得直线l 的斜率是－
33，所以直线l 的直角坐标方程是y ＝－3
3
(x －1)，即x ＋3y ＝1，极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝1.
答案：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1或2ρcos θ－π
3＝1， ρcos θ＋3ρsin θ＝1
13．解析：圆C 的直角坐标方程为：
x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线OA ：y ＝x 的距离为2
2
，则弦长OA ＝ 2. 答案： 2
14．解析：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.
要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，则|3×1＋4×－2＋m |
5>1，故m >10或m <0.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
15．解析：设圆C 上的任意一点的极坐标P (ρ，θ)，过OC 的直径的另一端点为B ，连接PO ，PB ，则在直角三角形OPB 中，∠OPB ＝π2，∠POB ＝θ－π4(写∠POB ＝θ－π
4
也可)．
从而有ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4. 答案：ρ＝4cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π4 16．解析：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.
∴直线的极坐标方程化为θ＝
3π
4
(直线如图)． 过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短． 易得|OB |＝
22
. ∴B 点的极坐标为⎝⎛⎭
⎫
22，3π4.
答案：⎝⎛
⎭
⎫
22，3π4
17．解析：圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos α，
y ＝2＋2sin α(α为参数)，
所以x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4. 那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2. 答案：6 2。