固体物理课件 第一章 晶体结构

至今为止，晶体内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。
（1）X射线 -由高速电子撞击物质的原子所产生的电磁波。 早在1895年伦琴发现x射线之后不久，劳厄等在1912年就意识到X射线的 波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相同，晶体中的原子如果按点阵排 列，晶体必可成为X射线的天然三维衍射光栅，会发生衍射现象。在 Friedrich和Knipping的协助下，照出了硫酸铜晶体的衍射斑，并作出了正确 的理论解释。随后,1913年布拉格父子建立了X射线衍射理论，并制造了第 一台X射线摄谱仪，建立了晶体结构研究的第一个实验分析方法，先后测定 了氯化钠、氯化钾、金刚石、石英等晶体的结构。从而历史性地一举奠定 了用X射线衍射测定晶体的原子周期性长程序结构的地位。 时至今日，X射线衍射(XRD)仍为确定晶体结构，包括只具有短程序的无 定型材料结构的重要工具。
a
a
晶体结构
基元
布拉菲晶格
= n1 O n1，n2，n3 ， ，
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
面心立方
a1 a2
a3
面心立方
= n1
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
a1 a2
n1，n2，n3 ， ，
a3
面心立方
= n1
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
a1
a2 a3
n1，n2，n3 ， ，
面心立方
O
A
a1
CB = OB − OC =
a2 a3 − h2 h3
a1 a 2 = 2π − 2π = 0 − G h ⋅ CA = ( h1 b1 + h2 b 2 + h3 b3 ) ⋅ h h2 1 a2 a3 = 2π − 2π = 0 − G h ⋅ CB = ( h1 b1 + h2 b 2 + h3 b3 ) ⋅ h 2 h3
a1
a2 a3
晶胞基矢：(a, b, c )
简单立方（ SC）
体心立方（BCC）
ak
a1
a2
aj
ai
a3
a1 = ai a 2 = ai a 3 = ai
Ω = a3
a a1 = 2 a a2 = 2 a a3 = 2
( ) (i − j + k ) (i + j − k )
−i + j+k
Bravais 晶格
a
面心立方
Bravais 晶格
面心立方
基元：晶体的基本结构单元
(1)一个基元对应一个格点 (2)基元（格点）周围的环境相同 (3)基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
布拉菲晶格
由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称 为布拉菲（Bravais）晶格
晶体结构 = 基元 + 布拉菲晶格
证明 G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
ABC为在基矢 a1 , a 2 , a 3 上的截距为
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面
a1 a2 a3 , , h1 h2 h3
a3
C
Gh
a2
B
CA = OA − OC =
Leabharlann Baidu
a1 a 3 − h1 h 3
晶面
描述晶面的一个重要参数） (3)相互平行的一族晶面把所有的格点包揽 无遗，且每个平面上都有格点分布；
a3 a1 a2
晶面
:
:
= h1: h2: h3
a3
h3ˊa3 h ˊa a2 2 2
晶面指数
h1ˊa1
(h1 h2 h3)
a1
密勒指数 （Miller） : 在晶胞基 矢下的晶面指数， 记为(h k l )
1 3 Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 = a 2
(
)

金刚石
c
c
面心立方

钙钛矿 CaTiO3 (ABO3)
Ca
O
Ti
简单立方
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
晶面指数（122）
a
c b
(100)
(110)
(111)

在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的 波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物 理学中也是一个贯穿始终的概念。

在研究晶体结构时，必须分析x射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶 体中传播；
每个布里渊区的体积都相等且等于倒格子原胞的 体积，也就是每个格点所占有的体积。
布里渊区界面
布里渊区界面

凡是波矢端点落在布里渊区界面上的入射X射线都 满足布拉格公式，被某一晶面族所反射。这一结论 对于分析波在晶体中的传播是十分重要的。
不同空间描写晶体的对称性
r空间（实空间） 布拉菲格子 原胞 正（坐标）空间 观察：显微镜 k空间（相空间） 倒格子 布里渊区
晶体的 X射线衍射就是晶体中处在不同位置上的原子向外 散射的电磁波（不同相位）相互干涉的结果，是晶体原子 的有序排列，使某些方向上散射波始终互相叠加、某些方 向上的散射波始终相互抵消，而产生衍射线。因此每种晶 体的衍射花样都反映出晶体内部原子分布的规律。
4.线度量纲为[长度]
已知晶体结构如何求其倒格呢？ 晶体 结构 正格 基矢 倒格 基矢
正格
倒格
a1 ,a 2 ,a 3
2π ( i = j )
b1 , b 2 , b 3
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
0
(i ≠ j )
2π b1 = a2 × a3 Ω 2π b2 = a3 × a1 Ω 2π b3 = a1 × a2 Ω
O
+

正格子和倒格子互为倒易。倒格子是由基矢b1,b2,b3所确定的倒易空间 中的布拉非晶格。在正、倒两种格子空间中，长度的量纲互为倒数。

倒格子原胞的体积Ω*与正格子的原胞体积Ω的关系为

倒格矢G h h h 与正格子中面指数为（h1h2 h3)的晶面族正交，而且矢量G
1 2 3
的长度等于该晶面族中面间距离倒数的2π倍
a 1 ⋅ b1 = 2 π a1 ⋅ b2 = 0
a i ⋅ b j = 2 πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b 2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a 2π a
G = m1 b1 + m2 b2
倒格是边长为
( ( (
) ) )
G = m1 b1 + m2 b2 + m3 b3
一维

下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
a2 = a j
a
a
a 1 = ai a2 = a j
a
a
a 1 = ai
a i ⋅ b j = 2 πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 1 = ai a2 = a j
以一个格点为原点，作原点与其它格点连线的中垂面(或中垂线)， 由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即为W--S原胞。
（2）该取法今后要用到。 缺点：
（1） Wigner-Seitz原胞本身保持了布拉伐格子的对称性 优点：
（2） 平移对称性反而不直观。
（1） Wigner-Seitz原胞的体积等计算不方便；

在能带理论中，电子的空间分布以几率波的形式描述。
倒格子与布里渊区就是试图给出晶体 中传播的波的一些普遍的几何特性。

倒易点阵的概念是德国人厄瓦耳（Ewald） 1921年 在处理晶体x射线衍射问题时首先引入的，对我们 理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心 概念。
O
= n1
+ n2
+ n3
2π a
的正方形格子。
a1 = a i a2 = a j a3 = ak
2π b1 = i a 2π b2 = j a 2π b3 = k a
简单立方
ak
a1
a j+k 2 a a2 = i+k 2 a a3 = i+ j 2 a1 =
( ( (
) ) )
) ) )
aj
a2 a3
ai
2π −i + j +k a 2π b2 = i− j+k a 2π b3 = i+ j−k a b1 =
证明 G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
的长度于
2π d h1h2 h3
a3
C
Gh
a2
B
O
A
a1
d h1h2h3
a1 G h = ⋅ h1 G
a1 h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 2π = ⋅ = h1 G G
倒格矢G 是和正格中的一族晶面相对应的
G的方向是该族晶面的法线方向 G的大小是该族晶面面间距倒数2
原胞 以一格点为顶点，由此点向
近邻的三个格点作三个不共面的矢 量，以此三个矢量为邻边的平行六 面体。这个平行六面体沿三个不同 的方向进行周期性平移，就可以充
a
a1
a2 a3
满整个晶格，形成晶体。 体积最小的重复单元
Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3
(
)
a = 4
3
维格纳-塞茨（Wigner-Seitz）原胞（对称原胞）
π倍。
在正格子中的晶面取向和晶面面间距这2个参量在 倒格子中只用一个矢量就能综合地表达出来。
晶体结构
倒格
1.G
正格
1.
R n = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
= m1 b1 + m2 b2 + m3 b3
2.是真实空间中点的周期性排列 3.与晶体中原子位置相对应
2.是与真实空间相联系的傅里叶 空间中点的周期性排列 3.与晶体中一族晶面相对应 4.线度量纲为[长度]-1
倒空间中的Wigner-Seitz原胞
倒（动量）空间 观察：x射线衍射
虽然点群和空间群理论以及晶体点阵学说都是19世纪提出 的，但直到1912年Laue发现了晶体X射线衍射现象之后才得 以从实验上观测到晶体结构并证实了上述理论。 1982年扫描电子显微镜发明以来，直接观察晶体中的原子 排列已成为可能，但又由于物质对电子的强烈吸收作用， 目前也只能用于观察晶体表面原子的分布。
Léon Brilliouin （1889-1969）
等，1969年在纽约去世。
在倒格子中，取某一倒格电为原 点，做所有倒格矢G的垂直平分面， 这些垂直平分面把倒格子空间分 割成许多包围原点的多面体，其 中离远点最近的多面体区域称为 第一Brillouin区，离原点次近的 多面体与第一Brillouin区表面之 间的区域称为第二Brillouin区， 以此类推可得第三、第四等各个 Brillouin区。
2π G h1h2h3
简单立方
a1 = a i a2 = a j a3 = ak
2π b1 = i a 2π b2 = j a 2π b3 = k a
G h1h2h3 = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
= 2π h1 i + h2 j + h3 k a
(
)
G h1h2h3 =
2π 2 2 h12 + h2 + h3 a
d h1h2h3 =
2π G h1h2h3
=
a
2 2 2 h1 + h2 + h3
法国物理学家莱昂.布里渊（Lé on Brillouin，1889–1969），不仅定 义了倒易空间中的布里渊区，对量 子力学和固体物理的其它方面、以 及信息论，都有所贡献。他早期在 法国做物理研究，四十年代来到美 国，曾经任职于哥伦比亚大学、IBM
晶面
描述晶面的一个重要参数） (3)相互平行的一族晶面把所有的格点包揽 无遗，且每个平面上都有格点分布；
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
( ( (
面心立方的倒格是体心立方

一般情况，正、倒格子是同一种布拉菲 晶格。

例外的情况，面心和体心类型的布拉菲 晶格互为对方的倒格子。
证明简单立方晶面(h1h2h3)的面间距为 d h1h2 h3 =
由
a
2 2 2 h1 + h2 + h3
G =
2π d h1h2h3
得：
d h1h2h3 =
特点: (1) 体积最小的重复单元 (2)每个原胞平均包含一个格点 (3)原胞的选择方式有多种（形 状），但原胞的体积相等。原胞反 映了晶体结构的平移对称性。
特点: (1)晶胞的体积为原胞体积的整数倍 (2)每个晶胞中平均包含不止一个格 点 (3)晶胞的选取反映晶体的宏观对称 性
原胞基矢：(a1, a2, a3)
§1.1
晶体的基本性质
组成晶体的原子的性质以及原子的排列方式决 定了晶体的性质！

长程有序 ——晶体最突出的特点 自限性 ——晶体所具有的自发地形成封闭几何 多面体的能力。晶体内部原子的规则排列在晶体宏观形
态上的反映。


各向异性 ——晶体的各向异性是晶体的平移对称 性在晶体物理性质上的反映，是晶体区别于非晶体 的主要性质。