【选修2-3课件】1.3分类加法计数原理与分步乘法计数原理(3)

练习： 练习：
三个比赛项目，六人报名参加。 三个比赛项目，六人报名参加。 １）每人参加一项有多少种不同的方法？ 6 = 729 每人参加一项有多少种不同的方法？ 3 ２）每项１人，且每人至多参加一项，有多 每项１ 且每人至多参加一项， 少种不同的方法？ 少种不同的方法？ 6×5×4 =120 ３）每项１人，每人参加的项数不限，有多 每项１ 每人参加的项数不限， 少种不同的方法？ 少种不同的方法？ 3
75600有多少个正约数 有多少个正约数? 例6.75600有多少个正约数?有多少个奇约 数?
75600= 解:由于 75600=24×33×52×7 (1)75600的每个约数都可以写成 2l ⋅ 3 j ⋅ 5k ⋅ 7l (1)75600的每个约数都可以写成 75600 的形式, 的形式,其中 0 ≤i ≤ 4 ,0 ≤ j ≤ 3 ,0 ≤ k ≤ 2 0 ≤l ≤1 , 于是, 要确定75600 的一个约数, 可分四步完成, 即 于是 , 要确定 75600的一个约数 , 可分四步完成 , 75600 的一个约数 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值 这样i 分别在各自的范围内任取一个值, i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值 , 这样 i 有 5 种取法,j ,j有 种取法,k ,k有 种取法,l ,l有 种取法, 种取法,j 有4种取法,k有3种取法,l 有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5 120个 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
引申: 引申
将数字1,2,3,4,填入标号为 填入标号为1,2,3,4的四个方 将数字 填入标号为 的四个方 格里,每格填一个数字 每格填一个数字,则每个格子的标号 格里 每格填一个数字 则每个格子的标号 与所填的数字均不同的填法有_____种 与所填的数字均不同的填法有 种
１号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填 号方格里可填２ 三个数字， 号方格填好后，再填与１ 法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相 同的号的方格，又有３种填法， 同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只 种填法。 有１种填法。 所以共有3*3*1=9种不同的方法。 种不同的方法。 所以共有 种不同的方法
四、子集问题 集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 集合 它的子集个数 例4.集合 为 ，真子集个数为 ，非空 子集个数为 ，非空真子集个数为 。 规律： 元集合 规律：n元集合 A = {a1 , a2 ,..., an } 的不 n 同子集有个 2 。
五、综合问题: 综合问题
若直线方程ax+by=0中的 可以从 中的a,b可以从 例5 若直线方程 中的 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数 这五个数字中任取两个不同的数 字,则方程所表示的不同的直线共有多少 则方程所表示的不同的直线共有多少 条?
同色， ②④或⑥④同色 同色， （2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有 ） N2=4×3×2×2×1=48种； =4× 1=48种 （3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种 ② =4× 1=24种 同色， 所以， 所以，共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
二、映射个数问题: 映射个数问题
例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多 从 到 共有多 少种不同的映射? 少种不同的映射
三、染色问题: 染色问题
如图， 四个区域分别涂上3种不 例3.如图，要给 、B、C、D四个区域分别涂上 种不 如图 要给A、 、 、 四个区域分别涂上 同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相邻区 同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区 域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
练习:一蚂蚁沿着长方体的棱 从的一个 练习 一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个 一蚂蚁沿着长方体的棱 顶点爬到相对的另一个顶点的最近路 线共有多少条？ 线共有多少条？
从总体上看,如 蚂蚁从顶点 爬到顶点C 蚂蚁从顶点A爬到顶点 解:从总体上看 如,蚂蚁从顶点 爬到顶点 1 从总体上看 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成 从局部上看每类又需两步完成, 有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以, 所以 第一类, 第一类 m1 = 1×2 = 2 条 × 第二类, 第二类 m2 = 1×2 = 2 条 × 第三类, 第三类 m3 = 1×2 = 2 条 × 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点 到顶点C 所以 根据加法原理 从顶点 到顶点 1最 近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
1.3分类计数原理与分 分类计数原理与 分类计数原理 步计数原理（ 步计数原理（三）
一、复习回顾: 复习回顾
•两个计数原理的内容是什么 两个计数原理的内容是什么? 两个计数原理的内容是什么
•解决两个计数原理问题需要注意什么问题 解决两个计数原理问题需要注意什么问题? 解决两个计数原理问题需要注意什么问题 有哪些技巧? 有哪些技巧
5 练习： 练习：某城市在中心广场建造一个花 1 花圃分为6个部分（如右图） 圃，花圃分为6个部分（如右图）现 要栽种4种不同颜色的花， 要栽种4种不同颜色的花，每部分栽 3 4 2 6 种一种且相邻部分不能栽种同样颜色 的花，不同的栽种方法有______ ______种 的花，不同的栽种方法有______种. 以数字作答） （以数字作答） 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花， 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看 知必有2组同颜色的花， 知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 同色， ③⑥也同色或④⑥也同色 也同色或④⑥也同色， （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有 N1=4×3×2×2×1=48种； =4× 1=48种
6 = 216
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 一、排数字问题
这五个数字, 例1 用0,1,2,3,4这五个数字 这五个数字 (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? 的奇数 (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 可以组成多少个各位数字不重复的小于 的自然数? 的自然数 (3)可以组成多少个大于 可以组成多少个大于3000,小于 小于4321且各位数 可以组成多少个大于 小于 且各位数 字不允许重复的四位数? 字不允许重复的四位数
A
变式1: 变式
B
C
D
变式2：变式 图若用 图若用2色 色等,结果又怎样呢 变式 ：变式1图若用 色、4色、5色等 结果又怎样呢？ 色 色等 结果又怎样呢？ 变式3：若变式 图着色时共有 图着色时共有480种不同方法 求n. 种不同方法,求 变式 ：若变式1图着色时共有 种不同方法
变式4： 广东省)如图 变式 ：(2003广东省 如图，一个地区分为 个行 广东省 如图，一个地区分为5个行 政区域，现给地图着色， 政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使 用同一颜色，现有4种颜色可供选择 种颜色可供选择， 用同一颜色，现有 种颜色可供选择，则不同的 种.（以数字作答） （以数字作答） 着色方法共有