3D模型的加权特征点曲率球面调和表达

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引言
目前随着三维扫描设备和交互建模工作的快速发展， 使
将此向量作为 3D 模型的特征描述符。通过计算此特征描述 符与模型库中的其他模型的特征向量的欧式距离， 来实现检 索的目的。 使用球函数对 3D 模型进行特征提取， 关键是要找到合适 的球函数， 最广泛的做法是从模型的质心向外发射射线 [2]， 取 该射线与模型最远处的交点， 计算该交点与质心的距离， 作为 球函数的值。得到该函数后， 进行球面调和变换， 进而提取基 函数的系数作为模型的特征向量。这种做法提取了模型的全 局特征， 而忽略了模型的局部特征， 因此对局部有微小差别或 局部相似单整体有很大区别的模型， 无法达到很好的检索效 果。这两种情况如图 1 和图 2 所示。
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
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3D 模型的加权特征点曲率球面调和表达
杜卓明， 耿国华 DU Zhuoming， GENG Guohua
西北大学 信息科学与技术学院 可视化技术研究所， 西安 710127 Institute of Visualization Technology， School of Information Science & Technology， Northwest University， Xi’ an 710127， China DU Zhuoming， GENG Guohua.Spherical harmonic representation of weighted feature points curvature for 3D model. Computer Engineering and Applications， 2011， 47 （5） ： 21-23. Abstract： This paper uses product of maximum distance of feature points and curvature feature points to define the function of the corresponding ball of 3D model.Global features are used to define the function of the corresponding ball of 3D model for weighted value of local features.Then， spherical harmonic transform is used on the sphere.The energy of the coefficients of spherical harmonics forms the feature descriptions which are used for search.Experimental results show that using this method has a good search result. Key words：3D model retrieval； harmonic function； curvature； feature descriptor 摘 要： 利用特征点最远距离与特征点曲率的乘积对 3D 模型定义了对应的球函数， 使用全局特征对局部特征的加权值定义了
杜卓明， 耿国华： 3D 模型的加权特征点曲率球面调和表达
0.7 0.6 查准率（ / %） 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 查全率（ / %） 本文使用方法 最大距离调和方法
x
O
离进行匹配。
要求 M 点的曲率，MM ′ = Ds ，M 与 M ′ 两点的切线的夹 角为 Dα ， 则 | Dα/Ds | 成为 MM ′ 的平均曲率。点 M 的曲率为 M ′ 无限逼近 M 的极限值， 即 | | || Dα || || Dα || 为点 M 的曲率， 即 K = | dα | K = Dlim K = Dlim s ® 0| Ds | s ® 0| Ds | | dS | γ(t) = ( x(t) y(t)) 来表示， 如果一条曲线由参数方程： 则该
绘模型， 但是 n 很大时， 会导致复杂度提高， 计算量变大。
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局部特征提取
反映特征点局部特征的最好、 最直观的方法就是该点的
曲率， 因此在寻找球谐函数的函数值的时候不仅考虑了距离 的全局特征， 而且加入了曲率的局部特征， 将两者的乘积作为 球谐函数的函数值。提取全局特征的方法与原有的方法相 同。首先对模型进行预处理， 即对模型进行旋转、 平移、 放缩， 使得模型的质心与单位球的球心重合。然后由质心向外发射 射线与模型相交， 最远的交点到质心的距离作为模型的全局 特征， 此最远的交点也就成了模型的一个特征点。 计算特征点的方法有两种， 第一种是直接空间中点的曲 率 [3]， 即高斯曲率； 第二种是将空间中的点投影到 2D 平面上， 然后根据其相邻的点计算其曲率。第一种方法对特征点的曲 率的描述非常直接， 而且能够最好地描述其局部特征， 但是这 种方法太复杂， 不适合进行大规模的计算。 采用第二种方法， 即先将模型投影到单位球的赤道平面 上， 然后求出特征点的曲率。
pi + 1 。
转， 使其统一到同一方向和尺度且质心与单位球的球心重 合。从质心向外发射射线， 与 3D 模型相交， 取最远的相交点 到质心的距离， 作为 3D 模型在此点的整体特征。该点在球坐 标 的 表 示 为 ：(r sin θ cos φ r sin θ sin φ r cos θ) 。 θ Î [0 π] ，
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球面谐函数在 3D 模型特征提取中的应用及其缺点
球函数应用于 3D 模型检索是 Vranic 等人首先在文献 [1]
中提出的。目前有很多关于球函数用于 3D 模型的特征提取 的研究， 这些研究的主要观点是将 3D 模型投影到球面上， 然 后根据投影后的几何特征构造球函数， 再对此函数进行球面 调和分析， 即展开为一组基函数的线性级数。其基函数的系 数构成了一个向量， 这个向量反映了 3D 模型的几何特征， 顾
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| x′ | | x″ y′ | | y″ |
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K=
（1）
( x ′ 2 + y ′ 2) 2
一个小弧段可以用二次多项式近似， 这样 γ(t) = ( x(t) y(t)) 可以定义为：
y
M0
求解以上两方程组可得： x -x x +x a1 = i + 1 i - 1 a 2 = i + 1 i - 1 - xi 2 2 yi + 1 - yi - 1 yi + 1 + yi - 1 b1 = b2 = - yi 2 2 a2 ， b1 ， b 2 四点的值， 根据 a1 ， 根据式 （2） ， 便可以计算出 pi 点 的曲率。
ìb 2 - b1 + b0 = yi - 1 ï íb0 = xi ï îb 2 + b1 + b0 = xi + 1
（2）
标 为 (sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ) 。 具 体 的 实 现 方 法 为 ：
xij = (sin θi cos φ j sin θi sin φ j cos θi) ， θ = (2i + 1)π/2n ， φ = (2jπ)/n ， i j = 0 1 n ， n 的取值越大， 采样点越密集， 可以更好地描
x(t) = a 2 t 2 + a1t + a0 y(t) = b 2 t 2 + b1t + b0
图2 局部相似图
t Î [- 1 1]
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整体特征的提取
首先对 3D 模型进行预处理， 即对其进行缩放、 平移和旋
当 t = - 1 时， 定义点 pi - 1 ，t = 0 时表示点 pi ，t = 1 时定义点
图 1 整体相似图
图 1 反映了整体相似， 但是局部有区别的情况， 图 2 反映 了局部相似， 但是整体有区别的情况。以上两种情况说明了 局部特征的重要性， 也说明了本文所研究的必要性。
基金项目： 国家自然科学基金重点项目 （the Key National Natural Science Foundation of China under Grant No.60736008） ； 国家自然科学基金 （the National Natural Science Foundation of China under Grant No.60873094） 。 作者简介： 杜卓明 （1980—） ， 男， 博士生， 研究方向： 计算机图形学， 模式识别， 最优化理论； 耿国华 （1955—） ， 女， 教授， 博士生导师， 研究方向： 模式 识别， 图像处理， 数据库原理。E-mail： Duzhuoming423dzm@ 收稿日期： 2010-11-18； 修回日期： 2011-01-10
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球面调和函数的建立
利用以上方法找到 3D 模型的整体特征点， 再计算出该点
的曲率， 以及该点到质心的距离， 利用距离和曲率的乘积构造 调和函数[5]：f (θ φ) = d*K 。该函数的散度为 0 ， 即： Ñ 2 f=0 。 用球面坐标表示为：
¶2 f 2 ¶f ö ¶ (sin θ ¶f ) + 1 ¶æ 1 1 =0 çr ÷+ 2 2 r ¶r è ¶r ø r 2 sin θ ¶θ ¶θ r sin θ ¶φ2
φ Î [0 2π] 。由于是单位球， 所以只用 r = 1 ， 因此每点的坐
由式 （1） 可得在 pi 点的曲率为： 2(a1b 2 - a 2 b1) K= 3 (a12 + b12) 2 将 t = - 1 0 1 ， 分别带入弧段的参数方程得到： ìa 2 - a1 + a0 = xi - 1 ï ía0 = xi ï îa 2 + a1 + a0 = xi + 1