六方晶系四指数推导

1.4 晶向指数和晶面指数

一晶向和晶面

1 晶向

晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。

2 晶面

晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。

不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。

二晶向指数和晶面指数的确定

1 晶向指数的确定方法

三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。

(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。

(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。

(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。

(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。

图1 晶向指数的确定方法

图2 不同的晶向及其指数

当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，

(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。

显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。

说明：

a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。

b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。

c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用表示，数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用表示。

<100>：[100] [010] [001] [001] [010] [100]

<111>：[111] [111] [111] [111] [111] [111] [111] [111]

图3 正交点阵中的几个晶向指数

2 晶面指数的确定

国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l ）。图4中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下。

图4 晶面指数的确定

(1)建立一组以晶轴a ，b ，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a ，b ，c 。

(2)求出待标晶面在a ，b ，c 轴上的截距xa ，yb ，zc 。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。

(3)取截距的倒数1/xa ，1/yb ，1/zc 。

(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h ，k ，l ，使h ∶k ∶l = 1/xa ∶1/yb ∶1/zc 。

(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h ，k ，l 置于圆括号内，写成(hkl )，则(hkl )就是待标晶面的晶面指数。

说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。

a 指数意义：代表一组平行的晶面；

b 0的意义：面与对应的轴平行；

c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；

d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。

在立方系中，{100}：（100）（010）（001），{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011），{111}：（111）（111）（111）（111）

e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;

f 若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。

立方系常用晶面指数图5。

图5 立方系常用晶面指数

例子：请确定图6中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面。

首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为a/2，2b/3，c/2。取倒数后得到2，3/2，2。再将其化成最小的简单整数比，得到4，3，4三个数。于是该面的晶面指数为(434)。

图6

图7晶面指数的标注

所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相

同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。

图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族

3 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：

(1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置）。但不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。

(2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（231），[112]等。

(3)若各指数同乘以不等于零的数n ，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是同向(当n >0)，或是反向(当n <0)。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非n =1。

从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是符号（正负号）和排列次序不同。这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号{hkl }，也很容易写出它所包括的全部等价晶面。

对于非立方晶系，由于对称性改变，晶面族所包括的晶面数目就不一样。例如正交晶系，晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族来包括。

与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用表示。仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的<100>，<110>，<111>，<112>和<123>等晶向族所包括的等价晶向。

以后，在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号，那就表示该性质（或行为）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立，因而没有必要区分具体的晶面或晶向。

另外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl)。

4.六方晶系指数表示

上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三指数表示方法，原则上适用于任意晶系。对六方晶系，取a，b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120°，c轴与a，b轴相垂直，如图9所示。

图9 六方晶体的等价晶面和晶向指数

但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从图9看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿

1）和(100)。图中夹角为60°的面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（10

两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110]。

由于等价晶面或晶向不具有类似的指数，人们就无法从指数判断其等价性，也无法由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示，而采用四指数表示（密勒-布拉菲指数）。

四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3和c轴，如图10所示，其中，a1，a2和c轴就是原胞的a，b和c轴，而a3=-(a1+a2)。下面就分别讨论用四指数表示的晶面及晶向指数。

图10 六方晶体的四轴系统

（1）六方晶系晶面指数的标定

六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在a 1，a 2，a 3和c 轴上的截距可求得相应的指数h ，k ，i ，l ，于是晶面指数可写成(hkil )。

根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。应用上述方法标定的晶面指数形式上是4个指数，但是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的关系：i = -( h + k )，因此，可以由前两个指数求得第三个指数。

六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中。从图看出，采用四指数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数。例如：

共6个等价面(Ⅰ型棱柱面)。

共6个等价面(Ⅱ型棱柱面)。

而{0001}只包括(0001)一个晶面，称为基面。六方晶体中比较重要的晶面族还有

，请读者写出其全部等价面。

图11 六方晶体中常见的晶面

（2）六方晶系晶向指数的标定

采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向OP 可表示为：OP=ua 1+va 2+ta 3+wC ，晶向指数用[uvtw]表示，其中t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图12中a 1轴为[0112]，a 2轴[0121]，a 3轴[2011]均属〈0112〉，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]，再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a 1、a 2轴在底面上，其夹角

为120o ，如图12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如[100]，[010]，[011]，见图12。

图12 六方晶系的一些晶面与晶向指数 六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下)2(31

V U u -=，

)2(1

U V v -=，)(v u t +-=，W w =。例如，[011]→[2011]，[100]→[0112]，

[010]→[0121]，这样等同晶向的晶向指数的数字都相同。

标定方法通常采用行走法。用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时，会遇到一个新的问题，即解是不唯一的。例如，a 1轴的指数可以是

，也可以是[2000]；a 2轴的指数可以是，也可以是[0200]。分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具有类似的四指数，就需要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零。若将晶向指数写成

[UVTW ]，则上述附加条件可写成：U+V+T=0，或T =-(U+V )。按照这个附加条件，上述a 1轴的指数就应该是，而不是[2000]；同样，a 2和a 3轴的指数分别是和

。 图13中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数，它们是[0001]，，等等。

图13 六方晶体中常见的晶向

除上述几个特殊晶向外，对一般的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难保证在沿a1，a2，a3和c轴分别走了U，V，T和W步后既要到达晶向上的另一点，又要满足条件T=-(U+V)。比较可靠的标注指数方法是解析法。该法是先求出待标晶向在a1，a2和c三个轴下的指数u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数U，V，T，W。

(1-1)

T = - (U + V)

W = w

此公式可证明如下。

由于三指数和四指数均描述同一晶向，故：

U a1+ V a2+ T a3+ W c= u a1+v a2+w c

(1-2) 又由几何关系：

a1+ a2= - a3

(1-3) 再由等价性要求：

T = - (U+V)

(1-4) 解以上三个联立方程，即得到：

u = 2U+V，v = 2V+U，w = W

(1-5) (1-5)式和(1-1)式可用矩阵表示如下：

=

=

下面举两个例子。

例1 请写出a1轴的晶向指数。

解：从晶胞图直接得到：u=1，v=0，w=0，按(1-1)式算得：

故

。

例2 请写出a2和-a3交角的平分线D的晶向指数。

解：从晶胞图可看出：D=a1+(-a3)=2a1+a2，得u=2，v=1，w=0，代入(1-1)式得到：U=1，V=0，T=-1，W=0，故。

5 立方和六方晶体中重要晶向的快速标注

在以后各章将多次遇到立方和六方晶体中的一些低指数重要晶向，需要迅速确定其指数。根据上述标定指数的方法，我们归纳出一条快速标定晶向指数的口诀，即：“指数看特征，正负看走向”。就是说，根据晶向的特征，决定指数的数值；根据晶向是“顺轴”（即与轴的正向成锐角）还是“逆轴”（即与轴的正向成钝角），决定相应于该轴的指数的正负。下面具体讨论立方和六方晶体中的各重要晶向。

（1）立方晶体

立方晶体中各重要晶向的特征如下：

(1)<100> 是晶轴。若沿着a轴，则第一指数为1，依次类推；如果“逆轴”（如沿-a轴），则相应指数为。

(2)<110> 是立方体面对角线。若面对角线在a面（即(100)面）上，则第一指数为零，其余两个指数为1或（取决于所讨论的对角线是“顺着”还是“逆着”相应的晶轴）。

(3)<111> 是体对角线。三个指数都是1或，取决于该对角线与相应轴的交角（锐角为1，钝角为)。

(4)<112> 是顶点到对面（即不通过该顶点的{100}面）面心的连线。如果对面是a 面，则第一指数为2或，其余两个指数为1或。

（2）六方晶体

六方晶体中各重要晶向的特征如下：

(1)[0001] c轴。

(2)和a1，a2或a3轴平行的晶向。和哪个轴正（或反）平行，则相应的指数就是2（或），其余三个指数就是，，0（或1，1，0）。

(3)两个晶轴±a i和a j交角的平分线（i、j=1，2，3，i≠j）。例如，

是+a1轴和-a3轴交角的平分线；是-a2轴和+a3轴交角的平分线等等。

根据以上几类晶向指数，还可以迅速求得某些不平行于基面的重要晶向。方法是先求该晶向在基面上的投影线的指数[UVT 0]，而w 可从晶胞图中直观看出。例如，求图1-19中MN 的指数时，先将MN 平移至原点，找出其投影ON'的指数，从图1-19中可直观看出W=1，故MN 的指数，化整后得到。

6 晶带

相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数（hkl ）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶面指数为（h 1k 1l 1）和（h 2k 2l 2）则其交线即为晶带轴的指数[uvw]：1221l k l k u -=，1221h l h l v -=，1221k h k h w -=。

图14 晶带轴

7 晶面间距

一组平行晶面中，相邻两个平行晶面之间的距离叫晶面间距。两近邻平行晶面间的垂直距离，用d hkl 表示。对于不同的晶面族{hkl}其晶面间距也不同。总的来说，低指数晶面的面间距较大，高指数晶面的面间距较小。

图15 晶面间距

22)22(34)(1c l a k hk h hkl d +++=

图16 晶面间距公式的推导 由晶面指数的定义，可用数学方法求出晶面间距，（简单立方）：d=a/(h 2+k 2+l 2)1/2，正交系：222)()()(1

c l b k k h hkl

d ++=，立方系：222l k h a

hkl d ++=，六方系：22)22(34

)(1

c l a k hk h hkl

d +++=。此公式用于复杂点阵（如体心立方，面心立方等）时要考虑晶面层数的增加。例如，体心立方（001）

面之间还有同一类的晶面，可称为（002）面，故晶面间距应为简单晶胞001d 的一半，等于2a

。

由公式也可看出低指数晶面的面间距大。

三 晶体的极射赤面投影

采用立体图难以做到清晰表达晶体的各种晶向、晶面及它们之间的夹角。通过投影图可将立体图表现于平面上。晶体投影方法很多，广泛应用的是极射赤面投影。

1 参考球与极射赤面投影

（1）参考球

设想将一很小的晶体或晶胞置于一个大圆球的中心，由于晶体很小，可认为各晶面均通过球心，由球心作晶面的法线与球面的交点称为极点，这个球称参考球，如图17。球面投影用点表示相应的晶面，两晶面的夹角可在参考球上量出，如图17，(110)与(010)夹角为45o 。但使用上仍不方便。可在此基础上再作一次极射赤面投影。

图17 参考球与立方系球面投影

（2）极射赤面投影

以球的南北极为观测点，赤道面为投影面。连结南极与北半球的极点，连线与投影面的交点即为晶面的投影，如图18。投影图的边界大圆与参考球直径相等叫基圆。位于南半球的极点应与北极连线，所得投影点可另选符号，使之与北半球的投影点相区分。也可选与赤道平行的其他平面作投影面，所得投影图形状不变，只改变其比例。对于立方系，相同指数的晶面和晶向互相垂直、所以立方系标准投影图的极点即代表了晶面又代表了晶向。若将参考球比拟为地球，以地球的两极为投影点，将球面投影投射到赤道平面上，就叫极射赤面投影。

图18 极射赤面投影

2 标准投影图

以晶体的某个晶面平行于投影面，作出全部主要晶面的极射投影图称为标准投影图。一般选择一些重要的低指数晶面作投影面，如立方系(001)，(011)，(111)及六方系(0001)等。例如(001)标准投影图是以(001)为投影面，进行极射投影而得到的，如图19。

图19 立方系（001）标准投影图

3 吴氏网

吴氏网是球网坐标的极射平面投影，分度为2 o，具有保角度的特性。其读数由中心向外读，分东，南，西，北。吴氏网如图20所示。

图20 吴氏网（分度为2o）

使用吴氏网时，投影图大小与吴氏网必须一致。利用吴氏网可方便读出任一极点的方位，并可测定投影面上任意两极点间的夹角，是研究晶体投影，晶体取向等问题的有力工具。在测量时，用透明纸画出直径与吴氏网相等的基圆，并标出晶面的极射赤面投影点。将透明纸

盖于吴氏网上。两圆圆心始终重合，转动透明纸、使所测两点落在赤道线上，子午线上，基因上，同一经线上。两点纬度差(在赤道上为经度差)就等于晶面夹角。不能转到某一纬线去测夹角，因为此时所测得的角度不是实际夹角。

例题

1.已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方结构和高温稳定的体心立方结

构，其同素异构转变温度为882.5℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）

和（001）的晶面间距（已知a a20℃=0.2951nm, c a20℃=0.4679nm, aβ900℃=0.3307nm）。

答案

20℃时为α-Ti：hcp结构

当h+2k=3n (n=0,1,2,3…) ，l=奇数时，有附加面。

；

900℃时为β-Ti：bcc结构

当奇数时，有附加面。

内容提要

晶胞是能反映点阵对称性、具有代表性的基本单元（最小平行六面体），其不同方向的晶向和晶面可用密勒指数加以标注，并可采用极射投影方法来分析晶面和晶向的相对位向关系。

重点与难点

1 晶向指数与晶面指数的标注；

2 晶面间距的确定与计算；

晶向指数：[uvw] 即为AB 晶向的晶向指数。

如u 、v 、w 中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。[21]和[1]就是两个相互平

行、方向相反的晶向。

因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用

表示

对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]和[00]、[00]、

[00]等六个晶向，它们的性质完全相同，用<100>表示

对于正交晶系 [100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶

向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a 、b 、c ，沿着这

三个方向，晶体的性质并不相同。

图1-19{100}，{111}，{110} 晶面族

在立方系中：

{100}=（100）、（010）、（001）；

{110}=（110）（101）（011）（10）（01）（01）；

{111}=（111）、（11）、（11）、（11）。

{123}=（123）、（132）、（231）、（213）、（312）、（321）；

（23）、（32）、（

31）、（13）、（12）、（21）；

（13）、（12）、（21）、（23）、（32）、（3

1）；

（12）、（13

）、（23）、（21）、（31）、（32）。

共24组晶面 晶面指数用来分别表示原子的排列构成的许多不同方位的晶面。 如（111）

在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布规律是完全相同的，晶面间距也相同，唯一不同的是晶面在空间的位向，一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}表示。 在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl] 垂直于（hkl ）。例如：[100] 垂直于（100），[110] 垂直于（110），[111] 垂直于（111），等等。但是，此关系不适用于其它晶系。

左边图，a 1、a 2、c 为晶轴，而

a 1与a 2 间的夹角为120度。六

方晶系六个柱面的晶面指数为

（100）、（010）、（10）、（00）、

（00）、（10）这六个面是同

类型晶面，但其晶面指数中的数

字却相同。晶向指数也有类似情

况，例如[100]和[110]是等同晶

向，但晶向指数却不相同。为了

解决这一问题，可采用专用于六

方晶系的指数标定方法。（右图）