清华概率统计课件(第十一章 区间估计)
数理统计之区间估计(ppt 50页)
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取置信水平1 =0.95或0.9等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
们求出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2]，使
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
教材上讨论了以下几种情形：
单个正态总体均值和方差 2的区间估计.
两个正态总体均值差 1 2和方差比
的区间估计.
2 1 2 2
比例 p 的区间估计.
下面我们举几个例子，其余部分请自己看.
休息片刻继续
例2 已知某地区新生婴儿的体重X~N(,2),
, 2未知,
…
随机抽查100个婴儿 得100个体重数据 X1,X2,…,X100
相应的置信区间平均长度越长.
也就是说，要想得到的区间估计可靠 度高，区间长度就长，估计的精度就差. 这是一对矛盾.
实用中应在保证足够可靠的前提下， 尽量使得区间的长度短一些 .
例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费， 观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准 差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值 的区间估计（置信水平为0.95）.
(ˆ1 ˆ2) 满足
P {ˆ1ˆ2}1
则称区间 [ˆ1,ˆ2]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
ˆ1 ˆ1(X1,…Xn) ˆ2 ˆ2(X1,…Xn)
下面我们就来正式给出置信区间的定义, 并通过例子说明求置信区间的方法.
区间估计 (3)ppt课件
当两样本为成对资料时，在置信度为P＝1- α 时，两总体平均数差数µ 1-µ 2的置信区间可估 计为：
0+1.96x
临界值
u x
P ( 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 1 . 96 ) P ( x 1 . 96 ) 0 . 05 x x
P ( 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
当为大样本时，不论总体方差σ2为已 知或未知，可以利用样本平均数 x 和总体 方差σ2作出置信度为P＝1-α的中体平均数 的区间估计为：
( L x u , L x u ) 1 2 x x
其置信区间的下限L1和上限L2为
L u 1 x x
L u 2 x x
总体平均数的点估计L为：
L x tsx
tа为正态分布下置信度P＝1－ α时的t临界值
蛋白质含量的点估计为：
L x u 14 . 5 1 . 96 0 . 50 14 . 5 0 . 98 x
说明小麦蛋白质含量有95％的把握落在13.52％～ 15.48％的区间里。
P ( x 2 . 58 ) P ( x 2 . 58 ) 0 . 01 x x
P ( x 1 . 96 x 1 . 96 ) 0 . 95 x x
P ( x 2 . 58 x 2 . 58 ) 0 . 99 x x
总体平均数的点估计未知时，
σ2需由样本方差s2来估计，于是置信度为P
＝1-α的总体平均数μ的置信区间可估计为
( x t s , x t s ) x x
区间估计ppt课件
极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。
概率论区间估计(课堂PPT)
区间：=0.05；=0.01。
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E ¶ X x 1 1 4 .6 1 5 .1 1 4 .9 1 4 .8 1 5 .2 1 5 .1 1 4 .9 5
由抽取的9个样本，可得 S 0 .1 8x 2 1 .4n 9
由 10.95得 0.05 查表得 t0.025(8)2.306
t2(8)Sn2.3060.1 980.13836
全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）
11
P127例5与P126例3的比较：
解 由题设可知：平均消费额X~N（，2）
1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， 使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
1——置信下限 2——置信上限
4
几点说明
1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。
1
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
x 1 1 4 5 5 1 5 0 2 1 3 7 0 1 6 1 0 1 4 3 0 1 4 7 3 .4
粒子物理与核物理实验中的数据分析lecture_11-置信区间
得到a与b的区间极限。
8
高斯分布估计量的置信区间
如果存在
ˆ − θ )2 ⎞ ⎛ − (θ ˆ;θ ) = ⎟ exp⎜ g (θ 2 ⎜ 2σ ˆ ⎟ 2πσ θ2 θ ⎝ ⎠ ˆ 1
为了找到 θ 置信区间，解下列方程
ˆ −a⎞ ⎛θ ⎟, α = 1 − G (θˆobs ; a, σ θˆ ) = 1 − Φ⎜ obs ⎜ σˆ ⎟ θ ⎝ ⎠ ˆ −b⎞ ⎛θ ⎟, β = G (θˆobs ; b, σ θˆ ) = Φ⎜ obs ⎜ σˆ ⎟ θ ⎝ ⎠
ˆθˆ = 5.73 ± 0.21 θˆobs ± σ
其真正的含义是什么呢？
ˆ 将服从某一概率密度函数分布 g (θ ˆ;θ )，那么上述 如果我们知道 θ 结果的正确表述应该是
θ 的估计值为 5.73
σ θˆ 的估计值为 0.21
σ θˆ测量了g (θˆ;θ )的分布宽度
3
参数估计值的分布
ˆ;θ )是多维高斯分布 通常参数估计值服从的概率密度分布函数 g (θ
分支比上限 ≤ 2.30259 = 0.59 × 10−9 9 3.93 × 10
如果实验上观察到一个事例，要给出68%的置信区间的分支比，需要给 出重复实验在(1-0.68)/2=0.16范围内观察到至少一个事例的均值下限
∑ P(n; μ ) = 1 − P(0; μ ) = 0.16
n =1 1
ˆ) ≥ θ ) = α , P(b(θ ˆ) ≤ θ ) = β . P(a (θ
在不知道真值θ 的情况下，通过估计 ˆ与函数 a, b 给出θ 的置信区间。 值θ
6
在uα (θ ),υ β (θ )之间的区域称为置信带。
ˆ) ≥ θ , a (θ
高等数学 第十一章 电子课件
第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”． 引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”． 引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 且事先无法确定抛掷的结果是什么． 引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每 次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征． 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率 模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已 遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因 此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期 望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作 ．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写 英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件． 基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件． 复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．
版高考数学一轮总复习概率与统计中的区间估计问题
版高考数学一轮总复习概率与统计中的区间估计问题概率与统计是高中数学的重要内容之一，也是高考数学考试的重点知识点。
其中，区间估计是概率与统计中的一个重要概念，用于对总体参数进行估计。
本文将重点介绍区间估计的概念、原理和应用，并通过例题来进一步说明。
一、区间估计的概念区间估计是指利用样本统计量来对总体参数进行估计，并给出一个范围，可以称之为置信区间。
其中，总体参数可以是总体平均数、总体比例、总体标准差等。
置信区间由一个下限和一个上限构成，表示对总体参数的估计范围。
二、区间估计的原理区间估计的原理基于样本的随机性和样本统计量的抽样分布。
假设我们要估计总体平均数μ，首先从总体中随机抽取一个样本，然后计算样本平均数μ 。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本平均数的抽样分布近似服从正态分布。
假设我们希望得到一个置信水平为(1 − μ)的区间估计，那么我们需要找到样本平均数μ 与总体平均数μ之间的关系。
根据正态分布的性质，我们可以得到以下公式：μ − μ (μ/2) *μ/√μ≤ μ≤ μ + μ (μ/2) *μ/√μ其中，μ(μ/2)表示标准正态分布在尾部的面积，μ为显著性水平，μ为总体标准差，μ为样本容量。
三、区间估计的应用区间估计在实际问题中有着广泛的应用。
例如，某手机品牌声称其电池寿命平均为30小时，现在要对此进行验证。
我们可以随机抽取20部手机，记录其电池寿命，并计算样本平均数为28小时，样本标准差为3小时。
现在我们希望以95%的置信水平估计该手机品牌电池寿命的真实情况。
根据公式，我们可以得到置信区间为：28 - μ(0.025)*3/√20 ≤ μ≤ 28 + μ(0.025)*3/√20利用标准正态分布的对应值，我们可以计算出μ(0.025) ≈ 1.96，代入公式中得到：28 - 1.96*3/√20 ≤ μ≤ 28 + 1.96 *3/√20计算得到，置信区间为27.029小时≤ μ≤ 28.971小时。
清华大学概率论与数理统计课件强大数定理
lim
n
An
lim
n
An＝lim n
An
称
lim
n
An为随机事件序列{
An
}的极限事件.
引理5.4.1 (博雷尔－康特立引理)
(1) 若随机事件序列{ An }满足 P( An ) ,则 n1
P
(lim n
An
)
0,
P(lim An ) 1 n
(2) 若随机事件序列{An }相互独立,则 P( An )＝
定义 设A1, A2 , , An , 为一列事件，记
lnimAn
An
k 1 nk
称lnimAn为事件序列{ An }的上限事件. 记
lim An
An
n
k 1 nk
称lim An为事件序列系
上限事件lnimAn表示事件An发生无穷多次.下 限事件 lim An表示事件An至多只有有限个不发生.
若{i }是独立随机变量序列，Di
2 i
,
(i 1, 2, n),则对任意的 0，均有
P{max m jn
j
(i E(i ))
i 1
} 1 2
n
2 j
j 1
科尔莫戈罗夫不等式是概率论中最重要的不等 式之一，当n=1时，科尔莫戈罗夫不等式就退化为 车贝晓夫不等式，而咯依克－瑞尼不等式又是科 尔莫戈罗夫不等式的推广.
n1
成立的充要条件为
P(lnimAn ) 1,
或者 P(lim An ) 0 n
定理5.4.1 n ( ) a.s. ( ) n( ) P ( )
反例(p298例一) n ( ) a.s. ( ) NO n ( ) P ( )
概率论与数理统计课件--区间估计
1 2
2
得2的区间估计为
n
Xi 2
i1
,
2 (n)
2
n
Xi
2
i 1
2 (n)
1 2
小结
总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 假设置信水平为1- （4）均值未知，对方差的区间估计
构造2-统计量，查2-分布临界值表，
确定2的双侧分位数 2 (n 1), 2 (n 1)
1 2
2
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E¶X x 1 14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1 14.95
6
续解 （2）由题设知X~N（，0.06）
构造U-统计量，得EX的置信区间为
X
u
2
n , X u 2
n
而 x 14.95, 0.06 0.1
n6
当=0.05时，u0.025 1.96
9.22910000 92290 （公斤）
最多准备
10.77110000 107710 （公斤）
正态总体均值已知，对方差的区间估计
如果总体X~N（，2），其中已知，2未知
由 Xi ~ N (0,1) 构造2-统计量
n
2
n i1
X
i
2
i 1
Xi 2
2
~ 2 (n)
查2- 分布表，确定双侧分位数 2 (n), 2 (n)
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第11章
区间估计的基本概念前面介绍了参数的点估计，讨论了估计量的优良性准则，给出了寻求估计量最常用的矩估计法和最大似然估计法.参数的点估计是用一个确定的值去估计未知参数，看似精确，实际上把握不大，没有给出误差范围，为了使估计的结论更可信，需要引入区间估计.Neyman(1894–1981)引例在估计湖中鱼数的问题中，若根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计为1000条.实际上，N的真值可能大于1000，也可能小于1000.为此，希望确定一个区间来估计参数真值并且满足：1.能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值.“可靠程度”是用概率来度量的.2.区间估计的精度要高.可靠度：越大越好估计你的年龄八成在21－28岁之间区间：越小越好被估参数可靠度范围、区间一、置信区间的定义（Confidence Interval ）对于任意θ∈Θ，满足设总体X 的分布函数F (x ,θ)含有一个未知参数θ，θ∈Θ,对于给定常数α(0<α<1)，若由抽自X 的样本X 1,X 2,…,X n 确定两个统计量112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<≥-112ˆ(,,,)nX X X θ212ˆ(,,,)nX X X θ和则称随机区间是θ的置信水平为1−α的置信区间.12ˆˆ(,)θθ和分别称为置信下限和置信上限.1ˆθ2ˆθ（1）当X 连续时，对于给定的α，可以求出置信区间满足此时，找区间使得至少为1−α，且尽可能接近1−α.12ˆˆ(,)θθ112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1nnP X X X X X X θθθα<<=-12ˆˆ(,)θθ112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-12ˆˆ()P θθθ<<（2）当X 离散时，对于给定的α，常常找不到区间满足12ˆˆ(,)θθ说明：（2）估计的精度要尽可能高. 如要求区间长度尽可能短，或者能体现该要求的其他准则.（1）要求θ以很大的可能被包含在区间内，即概率尽可能的大.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.12ˆˆ()P θθθ<<12ˆˆ(,)θθ21ˆˆθθ-（3）对于样本(X 1,X 2,…,X n )112212ˆˆ((,,,),(,,,))n n X X X X X X θθ以1−α的概率保证其包含未知参数的真值.随机区间112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-即有：（4）对于样本观测值(x 1,x 2,…,x n )可以理解为：该常数区间包含未知参数真值的可信程度为1−α.112212ˆˆ((,,,),(,,,))n n x x x x x x θθ常数区间只有两个结果，包含θ和不包含θ.此时，不能说：112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P x x x x x x θθθα<<=-没有随机变量，自然不能谈概率如：取1−α=0.95.若反复抽样100次，样本观测值为112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-1121ˆˆ((,,),(,,))i i i in n x x x x θθ于是在100个常数区间中，包含参数真值的区间大约为95个，不包含真值的区间大约为5个.12,,,ii i nx x x1,2,,100i =对应的常数区间为1,2,,100i =对一个具体的区间而言，它可能包含θ，也可能不包含θ，包含θ的可信度为95%.1121ˆˆ((,,),(,,))i i i i nnx x x x θθ二、构造置信区间的方法枢轴量法1.寻求一个样本X 1,X 2,…,X n 和θ的函数W =W (X 1,X 2,…,X n ;θ)，使得W 的分布不依赖于θ和其他未知参数，称具有这种性质的函数W 为枢轴量（Pivotal quantity ）.3.若由不等式a <W (X 1,X 2,…,X n ;θ)<b 得到与之等价的θ的不等式2.对于给定的置信水平1−α，定出两个常数a 和b ，使得P {a <W (X 1,X 2,…,X n ;θ)<b }=1−α112212ˆˆ(,,,)(,,,)n n X X X X X X θθθ<<即有P {a <W (X 1, X 2,…, X n ;θ)<b }关键：1.枢轴量W (X 1, X 2,…, X n ;θ)的构造2.两个常数a ,b 的确定一般从θ的一个良好的点估计出发构造，比如MLE因此，是θ的一个置信水平为1−α的置信区间.112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα=<<=-12ˆˆ(,)θθf (w )ababab1−α1−α1−α希望置信区间长度尽可能短.对于任意两个数a 和b ，只要使得f (w )下方的面积为1−α，就能确定一个1−α的置信区间.f(w)abab ab1−α1−α1−α当W 的密度函数单峰且对称时，如：N (0,1),t 分布等，当a =−b 时求得的置信区间的长度最短.如：b =z α/2或t α/2(n )当W 的密度函数不对称时，如χ2分布，F 分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.χ21−αα/2α/222()n αχ21-2()n αχ单个正态总体参数的区间估计一、单个正态总体的情形X 1, X 2,…, X n 为来自正态总体N (μ,σ2)的样本，置信水平1−α.样本均值样本方差11nii X X n ==∑2211()1nii S X X n ==--∑0-4-3-2-1012340.050.10.150.20.250.30.350.4是枢轴量W 是样本和待估参数的函数，其分布为N (0,1)，完全已知由于是μ的MLE ，且是无偏估计，由抽样分布定理知X ~(0,1)X W N nμσ-=1.均值μ的置信区间（方差σ2已知情形）单峰对称-4-3-2-1012340.050.10.150.20.250.30.350.4即等价变形为选择两个常数b =−a =z α/222{}1X P z z nααμασ--<<=-22{}1P X z X z nnαασσμα-<<+=-1−αα/2α/2z α/2−z α/2简记为因此，参数μ的一个置信水平为1−α的置信区间为22(,)X z X z nnαασσ-+2()X z nασ±置信区间的长度为22n l z nασ=说明：2.置信区间的中心是样本均值；4.样本容量n 越大，置信区间越短，精度越高；1.l n 越小，置信区间提供的信息越精确；5.σ越大，则l n 越大，精度越低.因为方差越大，随机影响越大，精度越低.3.置信水平1−α越大，则z α/2越大.因此，置信区间长度越长，精度越低；22n l z nασ=22(,)X z X z nnαασσ-+2.均值μ的置信区间（方差σ2未知情形）想法：用样本标准差S 代替总体标准差σ.是枢轴量包含了未知未知参数σ，~(0,1)X W N nμσ-=此时，因此不能作为枢轴量.~(1)X T t n Snμ-=-由抽样分布理论知：使即枢轴量~(1)X T t n Snμ-=-22((1)(1))1X P t n t n Snααμα---<<-=-22{(1)(1)}1P t n T t n ααα--<<-=-选择两个常数b =−a =t α/2 (n -1)等价于因此，方差σ2未知情形下均值μ的一个置信水平为1−α的置信区间为22{(1)(1)}1S S P X t n X t n nnααμα--<<+-=-22((1),(1))X t n X t n nnαα--+-例1.现从中一大批糖果中随机取16袋，称得重量（以克记）如下：506508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设每袋糖果的重量近似服从正态分布. 试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.解：这是单总体方差未知，总体均值的区间估计问题.均值μ的置信水平1−α的置信区间为22((1),(1))x t n x t n nnαα--+-根据给出的数据，算得这里10.95,16n α-==/20.025(1)(15) 2.1315t n t α-==503.75, 6.2022x s ==因此，μ的一个置信水平为0.95的置信区间为6.20226.2022(503.75 2.1315,503.75 2.1315)1616(500.4,507.1)-⨯+⨯=此区间包含μ的真值的可信度为95%.22((1),(1))x t n x t n nnαα--+-3.方差σ2的置信区间（均值μ未知）σ2的常用点估计为S 2，且是无偏估计。
《点估计与区间估计》课件
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
概率统计 点估计 课件
n−∑xi ∑xi ∵L( p) = p i=1 (1− p) i=1
ln L( p) = ∑xi ln( p) + (n − ∑xi ) ln( 1− p)
求导并令其为0， 对p求导并令其为0， 求导并令其为
i=1 i=1
n d ln L( p) 1 n 1 = ∑xi − (n − ∑xi ) dp p i=1 1− p i =1
n
X = 1 ∑Xi =α1; n i=1 1 2 S = ∑( Xi - X) ≠ β2 . n-1 i =1
2 n
设总体X具有已知的概率函数 设总体 具有已知的概率函数 p ( x ; θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k ), ( θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) ∈ Θ 未 知 x1,x2,….xn 是来自 X 的样本，假定总体的 阶矩存在，那么它的 的样本，假定总体的k 阶矩存在， 都存在。 前 k 阶矩 α1 , α2 ,⋯, αk 都存在。 若 θ1 ,θ2 ,⋯,θk能够表示为 α1 , α2 ,⋯, αk 的函数，即由 的函数，
统计 推断 的 基本 问题
参数估计 问题
点估计 区间估 计
假设检验 问题
第一节 参数的点估计
参数的点估计是指:对未知参数 选用一个统计量 参数的点估计是指:对未知参数θ选用一个统计量 ˆ ˆ θ = θ( x1, x2 ,⋯, xn ) 的取值作为 的估计值 θ 的取值作为θ的估计值 ˆ 的估计值, 就是θ的点估 ).简称估计 好的估计量体现好的统计思想. 简称估计. 计(量).简称估计.好的估计量体现好的统计思想.
L(θ ) = p(x1, x2 ,…, xn;θ )
ˆ L(θ) = sup L(θ)
为似然函数
概率论7-3
引例 某农作物的平均亩产量X（单位:kg）服从正态分 布N(μ,1002),今随机抽取100亩进行试验，观察其亩产量 值 x1, , x100 ，基此算出 x 500(kg) ，因此μ的点估计值 为500.由于抽样的随机性，μ的真值与 x 的值总有误差， 我们希望以95%的可信度估计 x 与μ的最大误差是多少？
2、 置信区间的长度2 1，反映了估计精度 ， 2 1
越小, 估计精度越高.
3、 反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1-
越大, 估计的可靠度越高,但这时, θ2-θ1往往增大, 因而 估计精度降低.
4、 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选置信
区间的长度最小的一个.
其含义是，若反复抽样多次，每个样本值(n=16)按(*)
式确定一个区间，在这么多的区间中，包含的约占95%
不包含的约仅占5%。现在抽样得到的区间(4.71, 5.69)，
则该区间属于那些包含的区间的可信程度为95%，或
“该区间包含”这一陈述的可信度为95%。
然而置信区间为1 的置信区间并不是唯一的，若
给定 =0.05，则
P{ z0.04
X
/
n
z0.01}
0.95
这样我们得到了的另一个置信水平为1-的置信
区间
（X
n
z 0.01
,X
z ）
n 0.04
由( X z0.025
,
n
X z0.025
n
)给出的区间长度为
2 n z0.025 3.92 n
由(
X
z0.01
,
n
X z0.04
n
)给出的区间长度为
概率论与数理统计课件第十一讲.
可算得当 t = 3500 时，
E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
说明
前面我们给出了求g(X)的期望的方法。实 际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函 数 Z = g(X,Y)的情形。
设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布为 pij, i=1, 2, ， j=1, 2, . 则：
e
k 1
k 1
( k 1)!
e
m k 1
m
m 0
m!
e 1 .
4.1.2 连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，密度函数 f(x) 在 数轴上取很密的点 x0< x1< x2<…, 则X 落在小 区间 [xi , xi+1) 的概率是
P(1000 X 1200} 10000.001e 0.001x d x e 1 e 2 0.067 .
1200
4.1.3 随机变量函数的数学期望 I. 问题的提出： 设随机变量X的分布已知，需要计算的量 并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比 如说是 g(X) 的期望。那么，如何计算呢？
设X是一个随机变量，Y=g(X)，则
X离散型 , g ( xk ) pk , E (Y ) E[ g ( X )] k 1 g ( x) f ( x)dx, X连续型 .
当X为离散型时, P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时, X 的密度函数为 f(x)。
3t , g( X ) 3 X (t X ),
X t, X t.
应用统计学置信区间估计ppt
24
案例思考题解答(1)
由 d Z /2 p(1 p) / n ，可得
n
Z2 / 2
p(1 d2
p)
本案例中, 当 p 0.5时，p(1 p) 达到最大值，
故需要得样本容量至少为
6
用 Excel 求 2 (n)
可用 Excel 得统计函数 CHIINV 返回 2 (n)
语法规则如下: 格式:CHIINV ( , n )
功能:返回 2 (n) 得值。
7
2、 总体方差 2 得区间估计
设总体 X~N( μ, σ2 ), X1, X2, ···, Xn 为 X 得容量为n得样本,
90、01,90、01,90、02,90、03,89、99
89、98,89、97,90、00,90、01,89、99
(
)
S求2 σ 02 .得01置85信32度为 95% 得置信区间。
10
二、 总体均值μ得区间估计
1、 标准正态分布得右侧 分位点 Z
Z 就是标准正态分布中满足下式得右侧分位点:
P{ Z > Z } =
(n
2 /
1) S 2 (n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
f (x)
/2
1-
/2
012 /2 (n 1)
2/2 (n 1) x
8
【例2】求例1中元件寿命方差 2 得 95% 置信区间。
解:由例1,S2 =196、52,n =10,/2=0、025,
1-/2=0、975,