3.3 二阶系统分析
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3-3二阶系统的时域分析
tp 由于t p 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：
n 1
2
d
可见峰值时间与闭环极点的虚部数值成正比，阻尼比 一定时，闭环极点离负实轴距离越远，系统的峰值时间越 短。这也是因为当闭环极点离负实轴距离越远时，特征根S 中虚部的成份就越多，越容易产生振荡，响应上升越快， 系统的峰值时间越短。
3-3 二阶系统的时域分析
希腊字母中英对照一览表
大写 A 小写 α 中文名 阿尔法 大写 Ν 小写 ν 中文名 纽
B
Γ Δ
β
γ δ
贝塔
伽玛 德尔塔
Ξ
Ο Π
ξ
ο π
克西
欧米克隆 派
Ε
Ζ Η Θ Θ Κ Λ
ε
ζ η θ ι κ λ
伊普西隆
泽塔 伊塔 西塔 约塔 卡帕 兰姆达
Ρ
Σ Τ Φ Υ Φ
π
ζ η υ θ χ ψ
2.86
4.38 3.38
5.2
7.04
nt
10 12
0
1 2
2
0 . 707
4
4.75
6
8
由分析知，在 上常取
16:14
0 .4 ~ 0 .8
之间，调节时间和超调量都较小。工程
作为设计依据，称为最佳阻尼常数。
21
（二）非振荡瞬态过程：过阻尼
通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望系统的 阻尼系数在0~1之间。而过阻尼系统响应缓慢（阻尼系数>1， 调节时间过长，在拖动系统中一般不采用，但对于一些特殊 的不允许时间响应出现超调的系统（如液位控制）和大惯性 系统（如加热装置），以及指示仪表系统，就需要用过阻尼系 统，有些高阶系统的时间响应往往可用过阻尼二阶系统的时间 响应来近似。
n 1
2
d
可见峰值时间与闭环极点的虚部数值成正比，阻尼比 一定时，闭环极点离负实轴距离越远，系统的峰值时间越 短。这也是因为当闭环极点离负实轴距离越远时，特征根S 中虚部的成份就越多，越容易产生振荡，响应上升越快， 系统的峰值时间越短。
3-3 二阶系统的时域分析
希腊字母中英对照一览表
大写 A 小写 α 中文名 阿尔法 大写 Ν 小写 ν 中文名 纽
B
Γ Δ
β
γ δ
贝塔
伽玛 德尔塔
Ξ
Ο Π
ξ
ο π
克西
欧米克隆 派
Ε
Ζ Η Θ Θ Κ Λ
ε
ζ η θ ι κ λ
伊普西隆
泽塔 伊塔 西塔 约塔 卡帕 兰姆达
Ρ
Σ Τ Φ Υ Φ
π
ζ η υ θ χ ψ
2.86
4.38 3.38
5.2
7.04
nt
10 12
0
1 2
2
0 . 707
4
4.75
6
8
由分析知，在 上常取
16:14
0 .4 ~ 0 .8
之间，调节时间和超调量都较小。工程
作为设计依据，称为最佳阻尼常数。
21
（二）非振荡瞬态过程：过阻尼
通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望系统的 阻尼系数在0~1之间。而过阻尼系统响应缓慢（阻尼系数>1， 调节时间过长，在拖动系统中一般不采用，但对于一些特殊 的不允许时间响应出现超调的系统（如液位控制）和大惯性 系统（如加热装置），以及指示仪表系统，就需要用过阻尼系 统，有些高阶系统的时间响应往往可用过阻尼二阶系统的时间 响应来近似。
3.3 二阶系统的时域分析
=
由
e
ζω nts
1 1ζ
=
2
e
ζω nt
sin(ω d t + β ) ≤
e
ζω nt
1ζ 2
1ζ 2
得
ts =
1
ζω n
(ln
1
+ ln
1 1ζ
2
)
15
当0.4<ζ≤0.8时,可 以采用下面的近似公式 3.5 = 0.05 tS ≤
= 0.02 tS ≤
ts =
1
ζω n
(ln
1
+ ln
18
�
ωd
ζ一定,即β一定, ωn↑ → tr↓,响应速度越快; ωn一定, ζ ↓ → tr ↓ ,响应速度越慢.
12
h(t ) = 1
1 1ζ 2
e ζω nt sin(ω d t + β )
(t ≥ 0)
(2) 峰值时间tp 根据峰值时间的定义,在峰值处,h(t)的导数为零,故 ζω nt p ζω e ωd dh(t ) ζω t = n sin(ω d t + β ) e n p cos(ω d t + β ) = 0 dt t =t p 1ζ 2 1ζ 2
R C R 实际阻尼系数 ζ= = = 2 L Rc 临界阻尼系数
2
故ζ 称为相对阻尼系数或阻尼比.
一,二阶系统的数学模型
R(s)
2 ωn
C(s)
开环传递函数
2 ωn G(s) = s ( s + 2ζω n )
-
s( s + 2ζω n )
图 3-13 典型二阶系统结构图
闭环传递函数
二阶系统
由曲线看出，实际响应曲线比指数曲线的包络线 收敛速度要快，因此可用包络线来估算调节时间。
二阶系统单位阶跃响应的通用曲线如下，可以利用它来 分析系统系统结构参数ξ、Wn对阶跃响应性能的影响。
C(t)
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
2 wn 2 s 2 2 wn s wn
其闭环特征方程为： s 2 2 w s w 2 0 n n
方程的特征根为：
s1, 2 wn wn 2 1
由方程的特征根说明，随着阻尼比的不同，二阶 系统的特征根（闭环极点）也不同，如下所示： s1
wn
jw
d n 1 2 决定了指数衰减的快慢，虚部
当ξ＝0.707，以ωnt为横坐标时的单位阶跃响应曲线如下： t=0:0.1:5 x=sqrt(1-0.99^2) h1=1+exp(-0.99*t)/x h2=1-exp(-0.99*t)/x h3=1-(exp(0.99*t)/x).*sin(x*t+acos (0.99)) plot(t,h1,t,h2,t,h3),grid
当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) 1 ，有：
s
1 C (s) (s) , s 1 c (t ) L1[ ( s ) ] s
分析：
1、过阻尼ξ>1的情况
系统闭环特征方程有两个不相等的实根 特征方程为： 1 1 2 2 s 2 wn s wn ( s )( S ) 0 T1 T2
1 2
e
100 %
σ
ζ
4、调节时间ts
根据定义，可由h(ts)-h(∞)=0.05h(∞)求得ts,但比较困 难，一般当阻尼比ξ＝0.4～0.8时，采用下列近似公式来 计算： 由于ξ通常是根据最 3 .5 3 .5T ts (允许误差范围为 5％) 大超调量的要求来确定 n 的，所以ts主要由wn来 4 .5 4 .5T ts (允许误差范围为 2％) 确定。
自动控制原理——第3章
第三章 时域分析法
系统的特征方程
Js + Fs + K = 0
2
F 称为实际阻尼系数。 称为实际阻尼系数。 当
F = 4JK
2
特征方程有一对相等的负实根， 时 ， 特征方程有一对相等的负实根 ， 系统 处于临界阻尼状态。 处于临界阻尼状态。 为临界阻尼系数， 令Fc为临界阻尼系数，则
Fc = 2 JK
解： (1) 由结构图写出闭环传递函数
100 / s 10 C ( s) Φ( s ) = = = R( s ) 1 + 100 × 0.1 0.1s + 1 s
自动控制原理
第三章 时域分析法
的分母多项式看出时间常数T=0.1 s， 从Φ(s)的分母多项式看出时间常数 的分母多项式看出时间常数 ， 故调节时间 ts = 3T = 3 × 0.1 s = 0.3 s (2) 计算 s＝0.1 s的反馈系数值 计算t 的反馈系数值 设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数 设反馈系数为
1/K h 100 / s Φ( s ) = = 100 0.01 1+ s +1 × Kh s Kh 0.01 T= Kh
故
自动控制原理
第三章 时域分析法
调节时间
0.03 ts =3T = Kh
要求t 要求 s=0.1 s，代入上式得 ，
0.03 0.1= Kh
所以
K h =0.3
自动控制原理
第三章 时域分析法
实际阻尼系数 临界阻尼系数
ξ=
F F = = Fc 2 JK
闭环传递函数写成如下一般形式
2 ωn Φ( s ) = 2 2 s + 2ξωn s + ωn
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
二阶系统分析
573.3 二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。
系统闭环传递函数为Ks s T Ks ++=Φ21)(化成标准形式2222)(nn ns s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5） 121)(22++=Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6）式中，KT T 1=，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。
ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。
二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。
二阶系统闭环特征方程为02)(22=++=n n s s s D ωξω其特征特征根为122,1-±-=ξωξωλn n若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。
58数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。
通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。
如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数te1λ，te 2λ，, tn eλ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。
如果特征根中有多重根λ，则模态是具有tte λ， ,2t e t λ形式的函数。
如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与te )j (ωσ-可写成实函数模态t etωσsin 与t e t ωσcos 。
每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。
3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为()n T ωξξλ11211---=-= ()n T ωξξλ11222-+-=-= )(21T T > 系统单位阶跃响应的拉氏变换sT s T s s R s s C n1)1)(1()()()(212++==ωΦ进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(211221-+-+=--T T eT T e t h T t T t0≥t （3-7）59过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。
3-3二阶系统的时域分析
输出为衰减振荡形 式(欠阻尼响应) ；
1：
s1, 2 n ；
c(t ) n te
2 t
C(t) t
；
输出为无振荡衰减形式(临界阻尼响应) ；
1 ： T11 n n 2 1 s1 ，T21 n n 2 1 s2 ； n t / T t / T
2
s ( s 2 n )
； ( s)
a2 s a1s a2
2
；
典型二阶系统有两个参数。系统有两个极点：
1
极点在S平面上的位置不同(值，见图3-9) ，系统 的性质不同，对输入信号的响应过程不同。
0
0
0
s1, 2 jd
(a ) 1 0
s1, 2 n 1
2
s1, 2 jd
(c) 0 1
(b) 1
0
0
0
s1, 2 jn
(d ) 0
s1, 2 n
(e) 1
s1, 2 n 1
2
(f ) 1
n
衰减系数， d n
1
2
(阻尼)振荡频率
图3-9 二阶系统的闭环极点分布
☆二阶系统的单位脉冲响应：
0：
s1, 2 jn ；
c(t ) n sin( nt ) ；
输出为等幅振荡形式(无阻尼响应) ；
0 1 ：s1, 2 jd ；c(t )
n
1
2
e
t
sin( d t ) ；
n
d
e
sin( d t 2 ) ；
自控理论 3-3二阶系统分析
令
Φ( s ) =
K
2
1 + Kτ s + s+ K T T
T
2 ω n1 = 2 2 s + 2ζ 1ω n1 s + ω n1
系统仍为二阶系统， 特征参数ζ 系统仍为二阶系统 ， 特征参数 ζ1 和 ωn1 与实际系 统参数的关系为
K ω = T 1 + Kτ 2ζ 1ω n1 = T
2 n1
2 n
h ( t ) = c ( t ) = 1 − cos ω n t
响应曲线为等幅振荡曲线。 响应曲线为等幅振荡曲线。
2.
ζ >1 (过阻尼） (过阻尼 过阻尼）
ωn2
s ( s + 2ζω n s + ω n )
2 2
2 s 2 + 2ζω n s + ω n = 0
此时
C (s ) =
s1,2 = -ζωn ±ωn ζ 2 - 1
,
ω n1
, ζ1 =
K = T 1 + Kτ 2 KT
ωn = ζ=
K T 1
2 KT
由上式可见， 加入速度反馈不改变ω 由上式可见 ， 加入速度反馈不改变 ωn 值 ， 但 增大了，从而减小了超调量σ 阻尼比ζ增大了，从而减小了超调量σ% 。
所示， 【例3-3】 设系统结构如图 】 设系统结构如图3-20(b)所示，令T=1。若 所示 。 σ%＝ ％， ％，t 。 要求系统具有性能指标 σ%＝20％， p=1s。试决定系 统参数K和 统参数 和 τ，并计算暂态性能指标 td , tr 和ts（△=2%）。 （ ） 由图知， 解 由图知，闭环传函为
式中 β = tg −1 1−ζ 2
自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
0.6
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
21
二阶系统单位阶跃响应定性分析
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2 n s
n2
s1,2 n n 2 1
1 过阻尼
c(t)
1
T2 T1
1
1
e
1 T1
t
T1 T2
1
1
e
1 T2
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
特征方程的两个根（闭环极点）:
s1,2 n n 2 1 4
特征方程的两个根（闭环极点） s1,2 n n 2 1
若 0 则二阶系统具有两个正实部的特征根，其单位阶跃响应为
t
1 临界阻尼
c(t) 1 ent (1 nt)
0 1 欠阻尼
c(t) 1
ent
1 2
sin
nt
1 2 cos1
0 零阻尼
c(t) 1 cosnt
22
3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 td ,tr，tp，ts，s %
在控制工程上，除了一些不允许产生振荡响应的系统 外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速 度和较短的调节时间。
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
自动控制3.3~3.4二阶系统时域分析详解
e nt
1 2
sin(d t
) (t
0)
上升时间 tr
阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。
• 此时 •即
c(tr ) 1
entr
1 2
s in(d tr
)
0
•得
tr
d
n 1 2
dtr β arc cos
峰值时间 tp
c(t) 1
e nt
1 2
sin(d t
) (t
n
G0 (s)
s(s
n2 2
n)
s(s
/
2 2
n
1)
, K0
n 2
G(s) n2 (Td s 1)
n 2
(Td s 1)
, K n
s(s 2n ) s(s / 2n 1)
2
可见，比例－微分控制不改变开环增益。
R(s) (-) Tds+1
ωn2
s(s 2ωn )
Go(s)
C(s)
0 (s)
模 n 阻尼角 cos
sin 1 2
（1）单位阶跃响应：
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2n s
n2
.1 s
(s2
2ns n2 ) s2 2ns
s(s
n2
2n
)
.
1 s
1 s
(s
s n n )2 d 2
1 2
. (s
1 2n n )2 d 2
c(t ) 1 ent cosd t
n2 2n s
n2
1 s
n2 s(s2 n2 )
1 s
(s2
s
北航机电控制工程基础(自动控制原理)第三章2-时域分析法-一阶系统分析二阶系统分析
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
(3 )调节时间Regulation time ：t s 根据调节时间的定义，当t≥ts时 |h(t)-h(∞)|≤ h(∞) ×Δ%。
e nt
1 2
sin(d t
tg1
1 2
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
北京航空航天大学
• 定性分析 (1) 平稳性Stability ---> % ---> %
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
d n 1 2
1 1
s1,2 n n 2 1 s1,2 n
欠阻尼 underdamping
0
1
s1,2
n
jn
1 2
零阻尼 undamping
0
s1,2 jn
负阻尼
0
negative damping
s1,2 n n 2 1
两个不等负实根 两个相等负实根 两个负实部共轭复根 两个纯虚根 正实部特征根
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
3.3 二阶系统分析(Second-order System analysis)
3.3.1 数学模型 (Mathematical Model)
dc2 (t) dt2
2 n
dc(t) dt
dtp 0, ,2 ,
得：
tp
自动控制原理 3-3二阶系统的时域分析
σ%=33% 无振荡有超调
相当于无零点时 0.333
j
ts可能大了可能小了
上升时间减小
0
结论：
1 零点有削弱阻尼的作用
2 零点越靠近原点该作用越明显
证明(补充)
ab (s c) (s) c
(s a)(s b)
h(t) 1 b(c a) eat a(c b) ebt c(b a) c(a b)
(a)根分布
(b)单位阶跃响应
图3-12 临界阻尼情况(z ＝1)
3. ＞１，称为过阻尼情况 当阻尼比 ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
s1,2 ( 2 1)n 对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.27)
C(s) 1 [2 2 1(
2 1)]1 [2 2 1(
2 1)]1
3.917 3.932 3.959
0.4 3.083
0.4 3.999
0.5 3.140 0.6 3.219
20.5
0.6
4.056 4.135
0.7 3.332
0.7 4.269
0.8 3.506
ts
ln
1
1 2 h(
)e5%nt
n 1h(2 ) 2%
0.8
4.423
1 1 ent 12
ts
2%， 0.78； 5%， 0.7
当０＜ ＜0.9时，则
ts
3
n
3T
(按到达稳态值的95%~105%计)
或
ts
4
n
4T
(按到达稳态值的98%~102%计)
(3.40)
由此可见, n大，ts就小，当n一定，则ts与成反比，这与tp， tr与的关系正好相反。
自动控制原理(3-2)
arccos 1.09(rad )
1 0.7
d n 1 2 3.14(rad / s)
0.65( s ) d
td
n
3.5
0.37( s )
tr
ts
n
4.4
2.15( s ) 0.05
ts
n
2.70( s)
对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
h(t ) 1 e sin d t cos d t 2 1 1 1 e nt 1 2 cos d t sin d t 1 2
n t
1
1 1 2
e nt sin( d t ) , t 0
式中， arctan( 1 2 ) ，或者
arccos
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应有两部分组成：
稳态分量为1，系统在单位阶跃函数作用下不存在
稳态位臵误差；
瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为ωd，
故称为阻尼振荡频率。
t 0
系统的误差为：
e(t ) r (t ) c(t ) 2
n
2
n
1 2 e nt sin 1 2 n t 2arctg 1 2 1
1 2
e t T1 e t T2 h(t ) 1 , t0 T2 T1 1 T1 T2 1
4.无阻尼（ζ=0）二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) 1 cos nt , t 0
可见，这是一条平均值为1的正、余弦形式的等幅振 荡，其振荡频率为ωn，故可称为无阻尼振动频率。 实际的控制系统通常都有一定的阻尼比，因此不可能 通过实验方法测得ωn，而只能测得ωd，且小于ωn。
大学自动控制原理3.3二阶系统时间响应
极点位置影响响应的衰减速度，零点 位置影响响应的振荡频率。
特点
二阶系统的单位阶跃响应具有振荡和 衰减的特性，其形状由系统的极点和 零点决定。
单位冲激响应
定义
01
单位冲激响应是系统在单位冲激函数输入下的输出响应。
特点
02
与单位阶跃响应类似，二阶系统的单位冲激响应也具有振荡和
衰减的特性。
与单位阶跃响应的区别
根轨迹分析
通过分析系统的根轨迹来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析
通过分析系统的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
05
二阶系统的设计方法
串联校正
串联校正是指通过在系统输出端串联一个适当的装置，以改善系统的性能。常用的 串联校正装置有滞后器、超前器和积分器等。
串联校正的优点是结构简单，易于实现，适用于各种类型的系统。
二阶系统的分类
根据系统参数的性质，二阶系统可以分为欠阻尼、临界阻尼 和过阻尼三种类型。
欠阻尼系统的输出在达到稳态值之前会有一个振荡过程；临 界阻尼系统的输出则不会出现振荡过程；过阻尼系统的输出 则会有一个较大的超调量。
03
二阶系统的时域分析
单位阶跃响应
定义
极点与零点对响应的影响
单位阶跃响应是系统在单位阶跃函数 输入下的输出响应。
电机控制系统
电机控制系统的稳定性
二阶系统的时间响应特性对于电机控制系统的稳定性至关重要， 能够保证电机在各种工况下的正常运行。
电机控制系统的动态性能
二阶系统的快速响应能力有助于提高电机控制系统的动态性能，实 现更精确的速度和位置控制。
电机控制系统的鲁棒性
二阶系统的鲁棒性使其在电机控制系统中具有广泛的应用，能够适 应各种不确定性和干扰。
系统阻尼比
2
1 2 cos d t sin d t
ent 1 2
sin(d t ) (t 0)
s1
n
β
jω
jn 1 2
arctan(
1
2
arc cos
)
0
σ
在欠阻尼二阶系统单位阶 c(t) 跃响应是衰减的正弦振荡曲线。 衰减速度取决于特征根实部的 绝对值的大小, 振荡角频率是 1 特征根虚部的绝对值，振荡周 2 2 期为
—— 系统阻尼比（阻尼系数） n —— 无阻尼自然振荡角频率 2 闭环系统特征方程为：s2 2n s n 0
闭环系统特征根(闭环极点)为：
s1,2 n n 1 n jn 1
2
2
jd n —— 衰减系数 d n 1 2 —— 阻尼自然振荡角频率
s2
jn 1 2
Td
d
n 1 2
0
t
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2
C(t)
二阶系统的单位阶跃响应曲线
Hale Waihona Puke 0 无阻尼0 1 欠阻尼
jω
h(t ) 1 e
nt
nte
nt
(t 0)
1
s1=s2
c(t)
0 σ
临界阻尼二阶系统的
单位阶跃响应是稳态值为
1的无超调单调上升过程。
0
t
4.0 1时（欠阻尼）
(一对不等的共轭负根)
jω
jn 1 2
2 s j 1 闭环极点为： 1,2 n n s1 n jd
1 2 cos d t sin d t
ent 1 2
sin(d t ) (t 0)
s1
n
β
jω
jn 1 2
arctan(
1
2
arc cos
)
0
σ
在欠阻尼二阶系统单位阶 c(t) 跃响应是衰减的正弦振荡曲线。 衰减速度取决于特征根实部的 绝对值的大小, 振荡角频率是 1 特征根虚部的绝对值，振荡周 2 2 期为
—— 系统阻尼比（阻尼系数） n —— 无阻尼自然振荡角频率 2 闭环系统特征方程为：s2 2n s n 0
闭环系统特征根(闭环极点)为：
s1,2 n n 1 n jn 1
2
2
jd n —— 衰减系数 d n 1 2 —— 阻尼自然振荡角频率
s2
jn 1 2
Td
d
n 1 2
0
t
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2
C(t)
二阶系统的单位阶跃响应曲线
Hale Waihona Puke 0 无阻尼0 1 欠阻尼
jω
h(t ) 1 e
nt
nte
nt
(t 0)
1
s1=s2
c(t)
0 σ
临界阻尼二阶系统的
单位阶跃响应是稳态值为
1的无超调单调上升过程。
0
t
4.0 1时（欠阻尼）
(一对不等的共轭负根)
jω
jn 1 2
2 s j 1 闭环极点为： 1,2 n n s1 n jd
3-3 二阶系统
0
s1
s2
0
n
s2
7
1
0
二阶系统单位阶跃 响应定性分析
1 1
1
Φ(s)=
j
n 2 s2 +2 ns + n2
jj 00 j
＞1 ＞1 ＝1
T s1,2= -n T n √2 - 1 ± ＝1
2
0
h(t)= s+ Te 11,2=
2
t T1
T1
1
-e + Tn
15
（3）临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应
n 2 n 2 闭环传递函数 (s) 2 2 2 s 2n s n ( s n )
1
单位阶跃响应为
n n 1 1 1 C ( s) 2 2 ( s n ) s s ( s n ) s n
s n n 1 2 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d
10
d n 1 2
s n n 1 C ( s) 2 2 2 2 s ( s n ) d ( s n ) d
dc(t ) 2 斜率k n te nt 0, 当t趋向无穷时 k 0 dt
wn=2,ζ=1.0
稳态值为1，无 稳态误差 响应过程是单调 上升的
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
17
（4）过阻尼二阶系统的单位阶跃 响应 过阻尼时，系统有两个负实根
s1, 2 n n 2 1
利用如下公式对C(s)求拉氏逆变换
L1[ sa 1 1 ] e at cos t , L1[ ] e at sin t ( s a) 2 2 ( s a) 2 2
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)
(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
(3-13)
第3章 时域分析法 图3-5 一阶系统的动态结构图
第3章 时域分析法
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
设输入
R(s) 1 s
则输出量的拉氏变换为
C(s) (s) 1 1 1 1 1
s Ts 1 s s s 1/T
单位阶跃响应为
1t
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2ns
n2
1 s
其中, 由
s2 2 ns n2 0
可求得两个特征根
s1,2 n n 2 1
(3-22)
第3章 时域分析法
1) ξ>1, 过阻尼
ξ>1
时
, 2 1 s1,2=-ξωn±ωn
为两个不相等的负实数根， 即有
C(s)
n2
A1 A2 A3
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
(3-21)
其中， ξ为阻尼比， ωn为无阻尼自然振荡频率， 它们 均为系统参数。
第3章 时域分析法
由式(3-21)可以看出， 二阶系统的动态特性 可以用ξ和ωn这两个参数的形式加以描述。 如果0<ξ<1， 则闭环极点为共轭复数， 并且位于左半s平面， 这时系统 叫做欠阻尼系统， 其瞬态响应是振荡的。 如果ξ=1， 那 么就叫做临界阻尼系统。 而当ξ>1时， 就叫做过阻尼系 统。 临界阻尼系统和过阻尼系统的瞬态响应都不振荡。 如果ξ=0， 那么瞬态响应变为等幅振荡。
此时系统输出响应的拉氏变换为
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
33二阶系统解析
➢单位阶跃响应的变化率为：
dc(t) dt
n2tent
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0 dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
➢ 单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2h(t) dt 2
dh(t ) max
e2 nt n
(1
nt )
0
dt
解得 t 1/。n ➢ 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时 间做为调整时间，则
（1）平稳性
主要由最大超调量 % 和振荡次数 表征。 增大， %减 小，平稳性变好；若 不变，n 增大，d 增大， 增大，平
稳性变差。
（2）快速性
主大要，由则上tr升越时长间，t快r 速和性调越节差时；间当ts
表征。当 n 一定时，
越短，快速性越好。而对于ts ，则与 和n
一定时， 越
n 越大，则 tr
讨论: (1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的 正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值
ζωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有 阻尼自振角频率ωd，
d n 1 2
(2)振荡周期为
Td
2 d
n
2 1 2
(3)ζ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。
(4)上升时间tr的计算：
dc(t)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
dt 2 2 1( 2 1)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1)
dc(t ) dt
0
0
t 0 t 0
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tr
d
，其中 d
n
1 2， arccos
3.3 二阶系统的时域分析
峰值时间tp
c(t) 1
1
1 2
e nt sin(d t )
c(tp)=cmax
dc(tp)/dt=0
1
1 2
e nt sin(d t p ) 0
sin d t p 0, d t p k , k
解： k 6,n 2.45, 0.408
ts
4
n
4
M p 22%
k 12,n 3.46, 0.289
ts
4
n
4
M p 40%
K增大，系统的上升时间减小，超调量增大。 系统的响应速度加快，但振荡幅度增大、频率加快
3.3 二阶系统的时域分析
例题3.3 已知某系统的结构和单位阶跃响应的Mp<5%， tS<4秒，求系统的参数。
n n
2
1
,..T2
n
1
n
,
2 1
C(s)
n2
1
(s 1/ T1)(s 1/ T2 ) s
t
t
c(t) 1 e T1
e T2
T2 / T1 1 T1 / T2 1
1 / T2 1/ T1
3.3 二阶系统的时域分析
T1
1
n n
n
K
3.3.6 改善二阶系统性能的措施
1. 比例—微分控制
(1) 方法的思路
r(t)
1
c(t)01
R(s) E(s)
U(s
ωn2
C(s
t
(-)
) s(s 2ωn) )
Go(s)
e(t)0 t 1
0
Td e(t)
0
u(t)
t
未超前校正
t
超前校正
t
抑制振荡， 使超调减弱， 改善系统平稳性, 调节时间减小。
2.0
1.8
1.6
1.4
c(t)
1.2 1.0
0.8
0.6
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
3.3 二阶系统的时域分析
阻尼比小于零的情况,例如
c(t) 1
1
1 2
e nt
极点性质与阻尼比有关
0
1 0 1
3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环极点
s1,2 n n 2 1
欠阻尼 共轭复根
0 1,....s1,2 n jn 1 2
临界阻尼 相等的负实根 1,....s1,2 n
阻 尼
0
3.3 二阶系统的时域分析
观察它们的异同
一阶系统的单位斜坡响应
稳态波形近似
3.3 二阶系统的时域分析
存在误差！
e(t) r(t) c(t)
ess
lim e(t) t
2
lim[
t n
1
d
e nt
s in(d t
2 )]
2 n
典型二阶系统可以跟踪速率函数,但有常值稳态误差.
1
2
k ωn2 2 a 2ξωn 2
3.3 二阶系统的时域分析
特征 参数
关 系
极点
位置
等阻尼线
等n 1 2
等 n
3.3 二阶系统的时域分析
性能 指标
极点 位置
设调节时间<2s,超调 <5%
画出闭环极点的可能区域
等调节时间线
等超调量线
3.3 二阶系统的时域分析
4 过（临界）阻尼二阶系统的动态性能指标计算
n2 16,
4
n 4,
ts
4
n
2秒,
2n 4
0.5
M p 16.3%
3.3 二阶系统的时域分析
例题3.2 开环传递函数G(s)=k/s(s+2), 计算当k=12和6时的各项性 能指标。比较k减小一半时，系统的动态性能有哪些变化？
解：G(s) k k / 2
系统参数与标准参数的关系
k
C(s) R(s)
s(s 1
a) k
s2
k as
k
s(s a)
n2 k , a a
2n 2 k
R(s)
k
C(s)
s(s a)
性能指标与标准参数的关系
M p 5%, 0.707, M p 4.3%
ts
4 n
4, n
3.3 二阶系统的时域分析
c(t)
调节时间ts
c(t) 1
1
1 2
e nt
s in(d t
)
1
0
c(t) c() c(),...(t ts )
e- nt 1
1 2
包络线
T 1 n
e- nt 1
1 2
t
e nt
1 2
0 t1'
t
(2) 性能分析
R(s)
(-)
Tds+
1
ωn2 s(s 2ωn)
C(s
)
Go(s)
开环传递函数： 开环增益：
闭环传递函数：
G(s) C(s) n2(Td s 1) K(Td s 1)
E(s)
K=n/2ζ
ts 4.75T1,... 5%.... 1
3.3 二阶系统的时域分析
5 二阶系统的单位斜坡响应
r(t)
t1(t), R(s)
1 s2
C(s)
n2
1,
s2 2ns n2 s2
c(t)
t
2 n
1
d
ent
sin(d t
2 ),....t
2
jn
jn
无阻尼
ξ＝0
单选题 2分 四张图中，哪种情况是不稳定系统？
A 欠阻尼 B 临界阻尼 C 过阻尼 D 无阻尼
提交
3.3 二阶系统的时域分析
2 二阶系统单位阶跃响应
★★★
r(t) 1(t),...R(s) 1 s
C(s)
s2
n2 2ns
n2
R(s)
1
s1,2 n
1
C(s) s(s n )2
n
0
c(t) 1 ent (1 nt)
按指数规律单调增加,趋向稳态值.
二阶系统的单位阶跃响应
加响应曲线
3.3 二阶系统的时域分析
③过阻尼情况
1
s1,2 n n 2 1
T1
1
k2 C(s)
(s b)
3）由一个惯性环节 和一个积分环节的 串联反馈组成
R(s)
k1 (s a)
1 C(s)
s
3.3 二阶系统的时域分析
例题3.1 求系统的动态性能指标，概略绘制单位阶跃响应曲线
解：1）写出闭环传递函数 C(s)/R(s)=
R(s)
12
C(s)
(s 2)2
2) 整理为标准形式后，求出特征参数 （阻尼比，自然频率）
s(s 2) s(0.5s 1)
R(s)
k
C(s) R(s)
s(s 1
2) k
s2
k 2s
k
s(s 2)
k
C(s)
s(s 2)
n2 k, 2n 2
n k , 1 1
n k
闭环增益？
3.3 二阶系统的时域分析
例题3.2 开环传递函数G(s)=k/s(s+2), 计算当k=12和6时的各项性 能指标。比较k增大时，系统的动态性能有哪些变化？
tp
0,1,2
d
n
1 2
3.3 二阶系统的时域分析
相对超调量 σ%
根据定义
c(t) 1
1
1 2
e nt
s in(d t
)
% c(t p ) c() 100%
c()
% e 1 2
上式表明：相对超调量仅是阻尼比的函数，与自然频率无关。
(s2
n2 2ns
n2 )
1 s
n2
s(s s1)(s s2 )
3.3 二阶系统的时域分析
①欠阻尼情况★
0 1
C(s)
s(s2
n2 2n s
n2 )
C(s)
n2
s(s n jd )(s n jd )
c(t) 1
提交
3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统的单位阶跃响应（不同自然频率）
自然频率分别为10， 3，1 rad/s 阻尼比为0.3固定
单选题 2分 哪条曲线对应的是wn=10?
A红
B
绿
C蓝
提交
单选题 2分 系统性能指标超调量只与哪个参数有关？
A 阻尼系数 ξ B 自然振荡频率 ωn C 时间系数 T
3.3 二阶系统的时域分析
高伟
3.3 二阶系统的时域分析