复变函数与积分变换 第二章第四节平面场的复势_复变函数论

场
v
x, y) vydx
在等值线 ( x,
vxdy y) c1
0, 所以 dy vy .
上每
dx 一点处
的v向x 量v
都与等值线相切,
函数
(
x,
y)
称为场
v
的流函数.
2.
势函数:
如果
v
又是
B内的无旋场 (即势量场),
那么 rot
v
0,
即 v y vx 0.
x y
于是 vxdx v ydy 为某个二元函数 ( x, y)
复势函数为
f
( z)
N 2
Lnz
c,
(c
c1
ic2
复常数)
于是势函数为
( x,
y)
N ln 2π
z
c1 ,
流函数为
(
x,
y)
N 2π
Arg z
c2 . (流动图象如下)
y
(N 0)
y
(N 0)
o
x
o
x
蓝色为等势线, 红色为流线.
例3 平面流速场中rotv 0 的点称为涡点. 设平
面上仅在原点有单个涡点, 无穷远处保持静止状
反之,已知一个复变函数w
u(
x,
y)
iv( x,
y),
也
可作出对应的平面向量场 A u( x, y)i v( x, y) j .
例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面)
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j
可以用复变函数v v(z) vx ( x, y) ivy ( x, y) 表示,
比较后得 , , 柯西 –黎曼
x y y x 方程
在单连域内可以作一个解析函数
w f (z) ( x, y) i ( x, y). 平面流速场的复
势函数(复势)
因为
v
vx
ivy
x
i
y
x
i
x
f (z),
所以流速场v 可以用复变函数v f (z) 表示.
给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数——它的复势与之对 应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给 定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速 场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得 到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图 形, 即得描绘该场的流动图象.
例1 设一平面流速场的复势为 f (z) az (a 0 为 实常数), 试求该场的速度、流函数和势函数.
解 因为 f (z) a,
所以场中任一点的速度 v f (z) a 0,
方向指向 x 轴正向.
y 等势线
流函数 ( x, y) ay,
流线是直线族 y c1;
流线
势函数 ( x, y) ax,
是与 r 无关的常量. i 称为涡点的强度.
h( z ) . 流速 v i 1 ,
2 z
2 z
复势函数为
f (z) Lnz c, 2i
(c c1 ic2 )
于是势函数为
在平面
S0
内取定一直角坐标系
xoy,
向量 A Axi Ay j 可表示
y
Ay
A
为复数 A Ax iAy .
o
Ax
x
由于场中的点可用复数 z x iy 表示,
所以平面向量场 A Ax ( x, y)i Ay ( x, y) j 可表
示为复变函数 A A(z) Ax ( x, y) iAy ( x, y).
由对称性, z 0 处的流速 v g(r)r0,
其中r z 是 z 到原点的距离, r0 是指向点z 的向径上的单位向量, r0 z ,
z g(r) 是一待定函数.
因为流体不可压缩,
流体在任一以原点为中心的圆环域r1 z r2 内不可能积蓄,
所以流过圆周z r1 与 z r2 的流量相等,
态, 试求该流速场的复势, 并画出流动图象.
解 与例2类似, 设场内某点 z 的流速 v h(r) 0,
0 是点 z 处与 r0 垂直的单位向量, 0 iz ,
z h(r) 是仅与r z 有关的待定函数.
沿圆周的Hale Waihona Puke Baidu流量为
v
0ds
z r
h( z ) ds 2 z h( z ).
z r
o
x
等势线是直线族 x c2.
例2 在《场论》中将散度div v 0的点统称为
源点
(有时称使
div
v
0
的点为源点,
而使
div
v
0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常
流速场的复势, 并画出流动图象. 解 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原
点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷
远处保持静止状态.
*第四节 平面场的复势
一、用复变函数表示平面向量场 二、平面流速场的复势 三、静电场的复势 四、小结与思考
一、用复变函数表示平面向量场
平面定常向量场:
向量场中的向量都平
S
行于某一个平面S, 而且在
垂直于S 的任何一条直线
上的所有点处的向量都是
相等的; 场中的向量也都与
S0
时间无关.
显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情 况是完全相同的, 可以用So 平面内的场表示.
平面电场强度向量为
E
Ex(
x,
y)i
Ey(
x,
y)
j
可以用复变函数E E(z) Ex ( x, y) iEy ( x, y) 表示.
二、平面流速场的复势
1. 流函数: 设向量场v 是不可压缩的定常的理想流
体的流速场:
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j ,
其中速度分量vx ( x, y) 与 vy ( x, y) 都有连续偏导数.
如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场),
那末
div
v
v x
v y
0,
x y
即 vx v y , x y
于是 v ydx vxdy 为某个二元函数 ( x, y)
的全微分, d ( x, y) vydx vxdy.
x
vy ,
y
vx.
因为等值线 ( x, y) c1, 流线
d (
流过圆周的流量为
N
v
r
0ds
g(r)r0 r0ds 2 z g( z ).
z r
z r
N 称为源点的强度. 是与 r 无关的常数.
故 g( z ) N . 流速 v N z N 1 .
2 z
2 z z 2 z
复势函数 f (z)的导数为 f (z) v(z) N 1 . 2 z
的全微分, d( x, y) vxdx vydy,
x
vx,
y
vy.
grad
v.
函数
(
x,
y)
称为场
v
的势函数(或位函数).
等值线 ( x, y) c2 等势线(或等位线)
3. 平面流速场的复势函数: 如果在单连域B内,向量场 v 既是无源场又
是无旋场,
x
v
y
,
y
vx
与
x
v
x
,
y
v y 同时成立,