复变函数与积分变换 第二章第四节平面场的复势_复变函数论
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数及积分变换第二章
x
arg z在负实 轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取 ，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,
复变函数与积分变换第二章
u ux v uy 0 ,
v
ux
u
uy
0,
(A)
①若
u v
v u
0,
u v 0,
f ( x, y) 0(常数)；
②若
u v
v u
0,
求解得 A 2, B 1, C 1, D 2.
证 (1) 由 f (z) u i v 解析， ux vy , uy vx , 由 f (z) u i v 解析， ux (v)y , uy (v)x , ux uy vx vy 0 , u, v 为常数， 即得 f ( x, y) c(常数)。
二、解析函数概念
定义 (1) 如果函数 f (z) 在 z0点以及 z0点的邻域内处处可导，
P25 定义
则称 f (z)在 z0点解析；
2.2
(2) 如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点解析，则称 f (z)
在区域 D 内解析，或者称 f (z) 是 D 内的解析函数。
(3) 如果存在区域G :闭区域D G,且 f (z) A(G), 则称 f (z)在闭区域 D上解析.记作f (z) A(D)
2.2
且满足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程：
u v , x y
u v . y x
(简称 C R方程)
三、柯西-黎曼方程
1. 点可导的充要条件 求导公式 若 f (z) 在 z x i y 处可导，则
f (z) u i v . u i u x x x y
(1) 四则运算法则
[ f (z) g(z)] f (z) g(z) ;
复变函数论总结
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
复变函数与积分变换第二章
故不连续。 故不连续。
( 2 )在负实轴上 ∀ P ( x , 0 )( x < 0 ) Q lim+ arg z = π
y→ 0 y→ 0
y z o z
(z)
lim− arg z = − π
∀P ( x ,0)
x
∴ arg z 在负实轴 上不连续。 上不连续。
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为 连续函数的和、 分母不为0) 定理 分母不为 仍为连续函数; 仍为连续函数 定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。 连续函数的复合函数仍为连续函数。 定理 定理2.5 定理 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ), 则 f (z)
z → z0
内处处连续， 若在区域 D 内处处连续，则称 f ( z )在 D 内连续 ; 若 z 、 z 0 ∈ C , 且 lim f ( z ) = f ( z 0 )，则称 f ( z )
z → z0
在曲线 C 上点 z 0处连续 .
证明f 在原点及负实轴上不连续。 例4 证明 (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 在原点及负实轴上不连续 证明 (1) Q f ( z ) = arg z 在原点没有定义， 在原点没有定义，
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性 函数的连续性
复变函数的极限
定义2.2 定义 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 在 设复变函数 邻域内有定义, 是复常数 是复常数. 邻域内有定义 A是复常数 若对任意给定的ε >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<δ 的z , 都有 存在δ >0, 使得对一切满足
复变函数论 数学
复变函数论数学
复变函数论是数学的一个分支，研究复变函数的性质和变换。
复变函数是指定义在复平面上的函数，取值为复数。
它比实变函数更加复杂，有许多独特的性质和应用。
复变函数论主要包括以下内容：
1. 复数及其性质：复数是由实部和虚部组成的数，与实数的性质有所不同，例如有无穷多个复数的平方是-1。
复数还有其他重要性质，如乘法和除法的公式等。
2. 复变函数的导数和积分：与实变函数一样，复变函数也有导数和积分的概念。
但是，与实变函数不同的是，导数和积分具有更多的性质和奇异性。
3. 复变函数的级数表示：复变函数可以用级数表示，这种表示方法称为洛朗级数。
洛朗级数是一种特殊的幂级数，包含着函数的所有信息。
4. 解析函数和亚纯函数：解析函数是指在某个开区域内有导数的复变函数。
它具有许多重要的性质，如极值定理和最大-最小原理等。
亚纯函数是指在一定范围内可导，但是可能在某些点上存在奇异性的函数。
5. 积分定理和残量定理：积分定理和残量定理是复变函数论中最重要的定理之一。
它们可以通过对复变函数积分来计算它的值。
积分定理与Cauchy积分定理和Cauchy-Goursat定理等有关。
残量定理是通过计算奇点处的残量来求解积分。
复变函数论在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如电动力学、热力学和信号处理等。
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
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1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
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例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
《复变函数与积分变换》PPT课件
z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
复变函数与积分变换复习重点总结
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
复变函数知识点梳理
复变函数知识点梳理复变函数知识点梳理第一章：复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识，加减乘除，乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章：解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是：μ对x 与ν对y 的偏微分相等且μ对y 和ν对x 的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念：调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。
和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。
第三章：复变函数的积分这一章，主要是将实变函数的积分问题，在复变函数这个体系里进行了系统的转化，让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
复变函数与积分变换课堂PPT第二章
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反 函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以 因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多 值函数，并且每两个值相差 的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念 设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是 的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量 的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0， 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为 常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
复变函数与积分变换讲稿第二章解析函数
第二章 解析函数§1 复变函数一 、复变函数的概念1． 定义：设D 为复平面上的点集，对∀点D z ∈，按某种法则，总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。
其中，称W 为像；Z 为原像。
若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。
2、复变函数与实变函数的关系设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(，即有⎩⎨⎧⋅=⋅=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。
例：xy i y x Z W 2)(222+-==⎩⎨⎧=-=⇒xy v yx u 222。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒+-+=+-===22222222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w3．关于映射的慨念复变函数在几何上又称为映射（或变换）。
这种函数关系要用两个平面来表示。
函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到w 平面上的一个点集*G 。
例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .见下图：例2 问：函数2z w =将z 平面上的曲线C x =映射成w 平面上的何种曲线？解 ⎩⎨⎧=-=⇒+-=+==xyv y x u xy i y x iy x z w 22)(222222xy v 2=可得22242C v C u c x x v y -=⇒==是w 平面上 关于以u 轴为对称的抛物线。
复变函数与积分变换 第二章第四节平面场的复势_复变函数论
z
z
复势为
f
( z)
2eiLn
1 z
c,
(c
c1
ic2
)
于是力函数为 u( x, y) 2eArgz c1,
势函数为
v(
x,
y)
2eln
1 z
c2 .
如果导线竖立在 z z0,
复势为
f (z) 2eiLn 1 c. z z0
四、小结与思考
了解复变函数可表示平面向量场, 对于某单 连通域内给定的平面无源无旋场, 可以作出一解 析函数(称为该场的复势), 统一研究该场的分布 和变化情况.
反之,已知一个复变函数w
u(
x,
y)
iv( x,
y),
也
可作出对应的平面向量场 A u( x, y)i v( x, y) j .
例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面)
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j
可以用复变函数v v(z) vx ( x, y) ivy ( x, y) 表示,
o
x
等势线是直线族 x c2.
例2 在《场论》中将散度div v 0的点统称为
源点
(有时称使
div
v
0
的点为源点,
而使
div
v
0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常
流速场的复势, 并画出流动图象. 解 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原
点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷
远处保持静止状态.
流过圆周的流量为
N
v
r
0ds
g(r)r0 r0ds 2 z g( z ).
z r
z r
复变函数与积分变换课堂PPT第二章-70页精选文档
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果 ，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于 ，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，
仅在 z = 0 处可导，而在其他点都不
可导，由定义，它在复平面内处处不解析。
所以
例2 问 f (z)=x + 2yi 是否可导？ [解]
设 沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，因而 这时极限
设 沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，因而 这时极限
设 沿着平行于 y轴的直线趋向于 z，因而 这时极限
所以 f (z)=x + 2yi 的导数不存在。
ii)可导与连续
容易证明, 在z0点可导的函数必定在z0点连续。
由定理一可得函数 f (z) = u (x, y)+ iv (x, y) 在点 z = x + i y 处的导数公式：
根据函数在区域内解析的定义及定理一，就可得 到判断函数在区域D内解析的一个充要条件。
定理二 函数 f (z)= u(x,y) + i v(x,y)在其定义域D内 解析的充要条件是 u(x, y)与 v(x, y)在D内可微, 并满足 柯西-黎曼方程。
时, 此函数在复平面
例 设函数 问常数a, b, c 取何值时, f (z)在复平面内处处解析?
[解] 先求
从而要使 只需 所以，有
，因此,
35
例 设解析函数 ，那么求 f (z)。
[解] 由于 又函数解析，则有 即 对 积分得 求v关于y的偏导数，得 则 即 所以有
复变函数概述复数和复平面
复变函数起源简介
• 到了十九世纪, 上述两个方程在柯西和黎曼 研究流体力学时,作了更详细的研究, 所以这 两个方程也被叫做“柯西- 黎曼条件”。关 于复数理论最系统的叙述, 是由瑞士数学家 欧拉( Euler) 作出的。他在1777 年系统地 建立了复数理论, 发现了复指数函数和三角 函数之间的关系, 创立了复变函数论的一些 基本定理, 并开始把它们用到水力学和地图 制图学上, 用符号“i”作为虚数的单位, 也 是他首创的。此后, 复数才被人们广泛承认 和使用。
复变函数起源简介
• 从柯西算起, 复变函数论已有170 多年的历 史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成 为数学的一个重要组成部分。它曾经推动 过一些学科 的发展, 并且常常作为一个有力的工具被应 用在实际问题中。现在, 复变函数论中仍然 有不少尚待研究的课题, 所以它将继续向前 发展, 并将取得更多应用。
复变函数起源简介
• 从20世纪30年代开始，以华罗庚、熊庆来、庄圻 泰、李国平、余家荣、杨乐与张广厚为代表的我国数 学家在单复变和多复变函数方面，做过许多重要的工 作。在20世纪40年代、50年代，我国著名的数学家 华罗庚在多复变数典型域上的调和分析方面，作过许 多工作，其工作在调和分析、复分析、微分方程等的 研究中，有着广泛的影响。在70年代，我国著名的数 学家杨乐、张广厚在单复变函数的值的分布和渐近值 理论中，得到了首创性的重要成果。从80年代开始， 我国的数学工作者在数学的各个领域中开展了富有成 效的研究工作，这些都受到国际数学界的高度重视。
y z x iy
y
z (x, y)
面上的点向量oz 表示.
o
x
x
结论:
两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致.
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h( z ) . 流速 v i 1 ,
2 z
2 z
复势函数为
f (z) Lnz c, 2i
(c c1 ic2 )
于是势函数为
比较后得 , , 柯西 –黎曼
x y y x 方程
在单连域内可以作一个解析函数
w f (z) ( x, y) i ( x, y). 平面流速场的复
势函数(复势)
因为
v
vx
ivy
x
i
y
x
i
x
f (z),
所以流速场v 可以用复变函数v f (z) 表示.
给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数——它的复势与之对 应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给 定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速 场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得 到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图 形, 即得描绘该场的流动图象.
*第四节 平面场的复势
一、用复变函数表示平面向量场 二、平面流速场的复势 三、静电场的复势 四、小结与思考
一、用复变函数表示平面向量场平面ຫໍສະໝຸດ 常向量场:向量场中的向量都平
S
行于某一个平面S, 而且在
垂直于S 的任何一条直线
上的所有点处的向量都是
相等的; 场中的向量也都与
S0
时间无关.
显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情 况是完全相同的, 可以用So 平面内的场表示.
由对称性, z 0 处的流速 v g(r)r0,
其中r z 是 z 到原点的距离, r0 是指向点z 的向径上的单位向量, r0 z ,
z g(r) 是一待定函数.
因为流体不可压缩,
流体在任一以原点为中心的圆环域r1 z r2 内不可能积蓄,
所以流过圆周z r1 与 z r2 的流量相等,
的全微分, d( x, y) vxdx vydy,
x
vx,
y
vy.
grad
v.
函数
(
x,
y)
称为场
v
的势函数(或位函数).
等值线 ( x, y) c2 等势线(或等位线)
3. 平面流速场的复势函数: 如果在单连域B内,向量场 v 既是无源场又
是无旋场,
x
v
y
,
y
vx
与
x
v
x
,
y
v y 同时成立,
例1 设一平面流速场的复势为 f (z) az (a 0 为 实常数), 试求该场的速度、流函数和势函数.
解 因为 f (z) a,
所以场中任一点的速度 v f (z) a 0,
方向指向 x 轴正向.
y 等势线
流函数 ( x, y) ay,
流线是直线族 y c1;
流线
势函数 ( x, y) ax,
态, 试求该流速场的复势, 并画出流动图象.
解 与例2类似, 设场内某点 z 的流速 v h(r) 0,
0 是点 z 处与 r0 垂直的单位向量, 0 iz ,
z h(r) 是仅与r z 有关的待定函数.
沿圆周的环流量为
v
0ds
z r
h( z ) ds 2 z h( z ).
z r
场
v
x, y) vydx
在等值线 ( x,
vxdy y) c1
0, 所以 dy vy .
上每
dx 一点处
的v向x 量v
都与等值线相切,
函数
(
x,
y)
称为场
v
的流函数.
2.
势函数:
如果
v
又是
B内的无旋场 (即势量场),
那么 rot
v
0,
即 v y vx 0.
x y
于是 vxdx v ydy 为某个二元函数 ( x, y)
如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场),
那末
div
v
v x
v y
0,
x y
即 vx v y , x y
于是 v ydx vxdy 为某个二元函数 ( x, y)
的全微分, d ( x, y) vydx vxdy.
x
vy ,
y
vx.
因为等值线 ( x, y) c1, 流线
d (
o
x
等势线是直线族 x c2.
例2 在《场论》中将散度div v 0的点统称为
源点
(有时称使
div
v
0
的点为源点,
而使
div
v
0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常
流速场的复势, 并画出流动图象. 解 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原
点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷
远处保持静止状态.
平面电场强度向量为
E
Ex(
x,
y)i
Ey(
x,
y)
j
可以用复变函数E E(z) Ex ( x, y) iEy ( x, y) 表示.
二、平面流速场的复势
1. 流函数: 设向量场v 是不可压缩的定常的理想流
体的流速场:
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j ,
其中速度分量vx ( x, y) 与 vy ( x, y) 都有连续偏导数.
在平面
S0
内取定一直角坐标系
xoy,
向量 A Axi Ay j 可表示
y
Ay
A
为复数 A Ax iAy .
o
Ax
x
由于场中的点可用复数 z x iy 表示,
所以平面向量场 A Ax ( x, y)i Ay ( x, y) j 可表
示为复变函数 A A(z) Ax ( x, y) iAy ( x, y).
反之,已知一个复变函数w
u(
x,
y)
iv( x,
y),
也
可作出对应的平面向量场 A u( x, y)i v( x, y) j .
例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面)
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j
可以用复变函数v v(z) vx ( x, y) ivy ( x, y) 表示,
流过圆周的流量为
N
v
r
0ds
g(r)r0 r0ds 2 z g( z ).
z r
z r
N 称为源点的强度. 是与 r 无关的常数.
故 g( z ) N . 流速 v N z N 1 .
2 z
2 z z 2 z
复势函数 f (z)的导数为 f (z) v(z) N 1 . 2 z
复势函数为
f
( z)
N 2
Lnz
c,
(c
c1
ic2
复常数)
于是势函数为
( x,
y)
N ln 2π
z
c1 ,
流函数为
(
x,
y)
N 2π
Arg z
c2 . (流动图象如下)
y
(N 0)
y
(N 0)
o
x
o
x
蓝色为等势线, 红色为流线.
例3 平面流速场中rotv 0 的点称为涡点. 设平
面上仅在原点有单个涡点, 无穷远处保持静止状